线性相关

相关系数假设检验：
从样本计算的r值，是总体相关系数ρ的估 计值，从ρ=0（无直线相关）的总体抽出的样本， 其r不一定为0，因此得到r后必须检验r是否来自 ρ=0的总体，以判断两变量间是否存在直线相关 关系。可用t检验或直接查r界值表实现。
t
1 r n 2
2
r
，υ =n-2
实例讲解
作直线回归分析时的注意事项：
1）两变量间的关系必须有实际意义。 2）计算直线回归的两变量，若X为选定的，则对应 于每个X值的Y值必须服从正态分布，其即Y的均数；
若X、Y都是随机变量，则要求X、Y服从双变量正态
分布。否则先经变量变换，使资料符合要求后再进 行回归分析。
3）用同一资料计算X推算Y，和由Y推算X的两个 回归方程，结果不同。因此，要正确选定自变量。 若两变量之间有因果关系，应以“因”为X；无 法确定时，则以较易测定者或变异较小者为X。 4）观察值必须是同质的。如果有两个不同的子 群，可能产生实际上不存在的回归，也可能忽视 了确实存在的回归关系。 5）回归方程一般只适用于自变量X的原观察数据 范围，而且实验条件也应与取得原观察数据的实 验条件一致，不能任意外推。
人们发现这种不太明确的规律以后，为 了验证、利用这些规律，人们会进一步试验， 筛选出最主要的变量，再进行理论论证，直 至形成一种比较稳定的、可控的操作模式。
统计学上，如果发现了某两个变量之间 的相关关系，会对这两个变量的一系列观测 值进行有效的统计技术处理（回归分析）， 形成具有一定概率的统计规律。
实例讲解
SPSS软件操作过程：
1、建立数据库 2、分析操作： 2.1 绘散点图
Graphs—— Scatter—— Simple—— Define:
Y Axis: 前臂长 X Axis: 身高

OK
散点图：
52
50
48
46
44
臂 前 长
42
40 150 身高 160 170 180 190
若引入回归分析的自变量有两个以上，那么 就是多重线性回归分析或多元线性回归分析，所 得方程叫多重线性回归方程。
“回归”一词的来历。
用途：
两变量之间存在直线关系时，通过计算
回归方程来描述这两个变量相互依存的 数量关系。
根据直线回归方程由已知（或易测）变
量值，估计未知（或难测）变量值。
对总体回归直线作出估计，评价样本回
归直线的可信程度。
估计正常值范围。
简单线性回归方程：
y = a + bx
^
表 1 来自百度文库线回归方程 a、b 两系数对比
a
含义 回归直线在 Y 轴上的截距（intercept） 。 表示 X 为零时，Y 的平均水平的估计值。
b
系数>0 系数<0 系数=0 计算公式
回归系数（regression coefficient） ， 即直线的斜率。表示 X 每变化一个 单位时，Y 的平均变化量的估计值。 a>0 表示直线与纵轴的交点在原点的 上 b>0，表示直线从左下方走向右上 方。 方，即 Y 随 X 增大而增大。 a<0 表示直线与纵轴的交点在原点的 下 b<0，表示直线从左上方走向右下 方。 方，即 Y 随 X 增大而减小。 a=0 表示回归直线通过原点 b=0，表示直线与 X 轴平行，即 Y 不随 X 的变化而变化。 ( X X )(Y Y ) l XY b a Y bX l XX ( X X )2
肺癌标化死亡率（1/10 5.60 万） 苯并 （a） （μ g/100m3） 0.05 芘
实例讲解
本题资料不服从双变量正态分布，宜计算等级相关 系数。计算过程见下表。
城市 肺癌标化死亡率（1/10 万） 编号 等级 X ⑴ ⑵ ⑶ 1 5.60 1 2 18.50 8 3 16.23 6 4 11.40 3 5 13.80 5 6 8.13 2 7 18.00 7 8 12.10 4 苯并（a）芘 d 等级 Y ⑷ ⑸ ⑹=⑶－⑸ 0.05 1 0 1.17 7 1 1.05 6 0 0.10 2 1 0.75 5 0 0.50 3 －1 0.65 4 3 1.20 8 4 d2 ⑺ 0 1 0 1 0 1 9 16 ∑ d2=28
作直线相关分析时注意事项：
1. 在进行相关分析之前，一定要根据专业知识 来判断两个变量之间是否存在联系。 2. 相关可以是因果关系，也可以是伴随关系。 3. 不能只根据相关系数绝对值的大小来判断相 关的密切程度。
例如有两个样本相关系数：r1=0.601, υ1=6; r2=0.401, υ2=40.不能根据r1> r2，就判断r1比r2 相关更密切。因为查表，若按同一检验水准0.05，则 前者认为无相关而后者有相关，可见正确推断有无相 关必须经过假设检验。
实例讲解
3、与ρ=0进行假设检验
H0：ρ=0，即身高与前臂长间无直线相关关系 H1：ρ≠0，即身高与前臂长间有直线相关关系
t r 0 sr
1 r n 2
2
r

0.8227 10 2 1 0.8227
2
4.09
α=0.05 n 2 10 2 8 ，查t界值表，得0.002<P<0.005， 按α=0.05水准拒绝H0，接受H1，故可认为20岁男青年身 高与前臂长呈正直线相关。
BEN
直线回归
线性回归分析是基于最小二乘法原理产生古 典统计假设下的最优线性无偏估计。 直线回归是回归分析中最基本、最简单的一 种，是处理两变量（其中至少一个是随机变量） 间线性依存关系的一种统计方法，即自变量只有 一 个 的 情 况 ， 故 又 称 简 单 回 归 （ simple regression），所得方程叫直线回归方程。
实例2
某省卫生防疫站对八个城市进行肺癌死亡回 顾调查，并对大气中苯并（a）芘进行监测，结果 如下:
试检验两者有无相关？
表3 城市编号 八个城市的肺癌标化死亡率和大气中苯并（a）芘浓度 1 2 3 4 5 6 8.13 0.50 7 8 18.50 16.23 1.17 1.05 11.40 13.80 0.10 0.75 18.00 12.10 0.65 1.20
2 2
l XX X X n 298525 17252 10 962.5 lYY Y Y n 20690 4542 10 78.4
2 2
Y 454 Y 2 20690 Y 45.4， XY 78541 ， ，
l XY XY X Y n 78541 1725 454 10 226 l XY 226 r 0.8227 l XX lYY 962.5 78.4
4. 积差相关分析只适用于双变量正态分布资料。
秩相关：又叫等级相关（rank
correlation）, 即斯皮尔曼（Spearman）等级相关。是用双变量数 量等级顺序作直线相关分析。
适用于以下资料：
不服从双变量正态分布而不宜作积差相关分析。
总体分布类型未知。
用等级表示的原始数据。
实例讲解
实例讲解
rs = 1-
n(n 1)
2
6 d 2
n：总例数 d：每一对值的等级差
rs= 1－6×28／[8×(82－1)]=0.6667
H0：ρs＝0，即肺癌标化死亡率和大气中苯并（a）芘无相关关系 H1：ρs≠0，即肺癌标化死亡率和大气中苯并（a）芘有相关关系 α＝0.05
查rs界值表，得0.10>P>0.05，按α ＝0.05水准，不拒绝H0， 尚不能认为肺癌标化死亡率和大气中的苯并（a）芘有相关 关系。
相关关系的种类：
按相关的方向不同可以分为正相关和负相关 按相关的形式不同可以分为线性相关和非线
性相关
按影响因素的数量不同分为单相关、复相关
和偏相关
按照变量关联的密切程度可分为完全相关、
不完全相关和完全不相关（无关）
简单线性相关
当一个变量X由小到大，另一个变量Y亦 相应地由小到大（或由大到小），两变量的 散点图呈直线趋势，那么这两个变量之间有 线性关系。分析这种线性关系的理论和方法， 统称为直线相关或线性相关。
2.2 分析模块操作：

Analyze——
Correlate—— Bivariate—— Variables: 身高 前臂长 Correlation Coefficients: Pearson

OK
实例讲解
身高与前臂长相关分析结果：
身高 Pearson Correlation 身高 Sig. (2-tailed) N Pearson Correlation 前臂长 Sig. (2-tailed) N 1 . 10 0.823 0.003 10 前臂长 0.823 0.003 10 1 . 10
最小二乘法原理，此时估计误差平方和
Y Y 最小。
^
2
b
l xy l xx
X X Y Y X X
2
a y bx
直线回归方程的假设检验
样本回归系数b的假设检验 （1）方差分析；
（2）t检验。
决定系数:
r
2
l
2 xy
l xx l yy
i i 2 i i
2
x x
2 2
2
/ n （x的离均差平方和）
2
l yy y y l xy
y y / n （y的离均差平方和） x x y y xy x y / n
2 2
（x与y的离均差积和）
1．由原始数据及散点图进行初步分析（图1）
51 49 47 45 43 41 39 37 35 150
前臂长( c m )
160
身高(cm)
170
180
190
图1 10名20岁男青年身高与前臂长散点图
实例讲解
2、计算相关系数
X 1725 X 2 298525 X 172.5 ， ，
习惯上，相关系数的绝对值|r|在： 0.3以下，称为微弱线性相关； 0.3-0.5，称为低度线性相关； 0.5-0.8，称为显著线性相关； 0.8以上，称为高度线性相关。
r计算公式：
r l xy l xxl yy
l xx x x

x xy y x x y y
单因素线性相关
与回归分析
临床流行病学应用研究室 周罗晶
现实世界中许多事物与事物之间存在着 联系，统计方法的一个重要目的是探讨事物 的数量规律，通过对不同性质的事物进行大 量观察，发现某些表面关系不大的事物之间 存在的依存关系，并度量这种关系的紧密程 度。 然而，多数情况是两事物间虽存在着联 系，但其方式不是“决定”，统计学中把这 种现象之间在数量上非确定性的对应关系叫 做“相关关系” 。

l / l xx l yy
2 xy

SS 回归 SS总
r 2 习惯上写成 R 2 ，称为确定系数（或决定系 数），数值上等于自变量对因变量的贡献率，即用自 变量能解释因变量变化的百分之多少。
R 2 越接近于1，回归拟合分析的效果越好，即
价值越大。 注意：如果X与Y有回归关系，则一定存在相关关
系，但是若存在相关关系，则不一定存在回归关系。
SPSS软件分析结果：
Correlations MORTAL Spearman's rho MORTAL Correlation Coefficient Sig. (2-tailed) N Correlation Coefficient Sig. (2-tailed) N 1.000 . 8 .667 .071 8 BEN .667 .071 8 1.000 . 8
实例1． 10名20岁男青年身高与前臂长的数据见表1。
计算相关系数并对ρ=0进行假设检验；
表1
身 高 （cm） 前臂长 （cm） 170 45 173 42
10名20岁男青年身高与前臂长
160 44 155 41 173 47 188 50 178 47 183 46 180 49 165 43
实例讲解
两变量直线相关的性质和密切程度，用 直线相关系数r来描述。
相关系数的计算及意义：
相关系数：又称为积差相关系数或积 矩相关系数，它表示两个变量之间直线关 系的密切程度和相关方向的统计指标。
总体相关系数用符号ρ表示，随机样 本相关系数用符号r表示。 r取值范围：-1≤r≤1，没有单位。
相关性质与r值的关系：