勾股定理的应用——画无理数PPT课件
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勾股定理数学优秀ppt课件
实际应用
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
新人教版八年级下用勾股定理作出长度为无理数的线段课件
设定直角三角形及求解边长
设定直角三角形
选择一个直角三角形，其中一条直角边的长度为已知有理数，斜边长度为已知有理数，另一条直角边长度为未知 无理数。
求解边长
利用勾股定理，已知直角三角形两条直角边的长度，可以求解斜边的长度。
利用计算器求解无理数长度线段
01
02
03
选择计算器
选择具有函数计算功能的 计算器。
对勾股定理和无理数知识的进一步理解
勾股定理的应用
通过本次课程，学生对勾股定理的应用有了更深入的理解，掌握 了在特定情况下如何应用该定理解决问题。
无理数的理解
学生对无理数的概念有了更清晰的认识，了解了无理数在现实生活 中的应用。
理论与实践的结合
学生能够更好地将理论知识应用到实践中，提高了解决问题的能力 。
勾股定理在无理数长度线段作图中的应用
通过勾股定理可以作出长度为无理数的线段，比如利用勾股定理和相似三角形的性质可以作出一个长 度为√2的线段。
勾股定理在数学史上的重要地位
勾股定理的历史渊源
勾股定理是数学史上的一个重要定理，最早可以追溯到古希 腊时期。在中国，商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理 的特例。
a^2 + b^2 = c^2，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是直角三角形的 斜边。
勾股定理的应用
在解决实际问题中，勾股定理可以用来计算不可直接测量的距离，比如计算两 点之间的距离等。
利用勾股定理解决实际问题
勾股定理在实际问题中的应用
在物理学、工程学、生物学等各个领域，都可以利用勾股定理来解决问题，比如计算建筑物的斜梁长 度、计算树木的高度等。
所必需的长度。
02
圆周率π
圆周率π是一个无理数，它在圆的周长和面积的计算中起着关键作用。
《勾股定理》PPT精品课件(第1课时)
解：本题斜边不确定，需分类讨论： B 4
当AB为斜边时，如图
BC2 AB2 AC2 16 9 7，
3 C 图
B
4 AA 3 C
图
BC 7.
方法点拨：已知直角三角形的两边求
当BC为斜边时，如图
第三边,关键是先明确所求的边是直
BC2 AB2 AC2 16 9 25， 角边还是斜边,再应用勾股定理. BC 5.
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
c2 4 1 ab b a 2 a2 b2.
2
cb a b-a
赵爽弦图
知识讲解
右图是四个全等的直角三角形拼成的.请你根据此图， 利用它们之间的面积关系推导出: a2 b2 c2
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
知识讲解
猜想直角三角形的三边关系
B
C A
图中每个小方格子都是 边长为1的小正方形．
问题1
1、 BC=_3__, AC=_4__, AB=__5_ 2、 S黄 =_9__, S蓝 =1_6__, S红 =2_5__
3、S黄、S蓝与S红的关系是S_黄__+_S_蓝_=__S_红_.
4、能不能用直角三角形ABC的三边表 示S黄、S蓝、S红的等量关系？
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× 1 ab+c2
2
=c2+2ab， ∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
a b
ac b
b ca
cb a
知识讲解
勾股定理
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
17.1勾股定理的应用在数轴上表示无理数
你能在数轴上画出表示 15 点吗？
B
0 •A1 2 3C 4 5
动脑筋
1、如图为4×4的正方形网格,以格点与点 A为端点,你能画出几条边长为 1的0 线段?
、如图，AB＝2，点C表示的数是( B ).
（A） 12 （B） 13
（C） 14
（D） 15
l B
01
AC 23
知识回顾---勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方。
Rt△ABC中，∠C=90° a
c
a2 b2 c2
b
知识回顾---勾股定理
图中的x等于多少?
x 5
1
1
x 10
2
3
x 13
4
2
1
3
x 15
利用勾股定理作出长为 1, 2, 3, 4, 5 的线段.
1
17
1
2
345
6
知识回顾---数轴与实数
必做题： 1、在数轴上画出表示 5 的点 2、在数轴上画出表示 20 的点 选做题： 在数轴上画出表示 2 2 ，24 的点
知识拓展
数学海螺图：
在数学中也有这样一幅 美丽的“海螺型”图案 由此可知,利用勾股定 理,可以作出长为
2, 3, 5, , n
的线段.
111 1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
第七届国际数学
教育大会的会徽
课堂小结
• 这节课你学会了什么？
• 说说在数轴上画出无理数要用到哪些 学过的知识？
课后作业：
一一对应 实数
数轴上的点
勾股定理的应用课件
利用勾股定理确定卫星轨 道参数，提高卫星通信的 覆盖范围和信号质量。
广播信号
在广播信号传输中，勾股 定理用于优化信号传输路 径，提高广播信号的覆盖 范围和清晰度。
勾股定理在日常生活中的应用
航海
在航海中，勾股定理用于确定航行方向 和距离，保证船舶能够准确到达目的地 。
VS
测量
在日常生活中，勾股定理用于测量物体的 高度、长度等参数，方便人们进行各种实 际操作。
勾股定理的应用 ppt课件
目 录
• 勾股定理的介绍 • 勾股定理的应用场景 • 勾股定理的实际应用案例 • 勾股定理的扩展应用 • 总结与展望
01
勾股定理的介绍
勾股定理的定义
勾股定理是几何学中的基本定理之一 ，它描述了直角三角形三边的关系。 具体来说，在一个直角三角形中，直 角边的平方和等于斜边的平方。
导航系统
利用勾股定理计算飞行器的位置和速 度，提高航空和航天导航的精度和可 靠性。
航天器设计
在航天器设计中，勾股定理用于确定 火箭的发射角度和卫星轨道的参数， 以确保航天器能够成功进入预定轨道 。
通信工程中的应用
电波传播
在通信工程中，勾股定理 用于计算电波传播的距离 和范围，优化信号传输质 量。
卫星通信
02
勾股定理的应用场景
几何学领域
确定直角三角形
勾股定理是确定直角三角形的重 要工具，通过已知的两边长度， 可以判断是否为直角三角形，并 进一步求出第三边的长度。
解决几何问题
勾股定理在解决几何问题中有着 广泛的应用，如求三角形面积、 判断三角形的形状、计算最短路 径等。
物理学领域
力的合成与分解
在物理学中，勾股定理常用于力的合 成与分解，特别是在分析斜面上的物 体受力情况时，通过勾股定理可以确 定力的方向和大小。
广播信号
在广播信号传输中，勾股 定理用于优化信号传输路 径，提高广播信号的覆盖 范围和清晰度。
勾股定理在日常生活中的应用
航海
在航海中，勾股定理用于确定航行方向 和距离，保证船舶能够准确到达目的地 。
VS
测量
在日常生活中，勾股定理用于测量物体的 高度、长度等参数，方便人们进行各种实 际操作。
勾股定理的应用 ppt课件
目 录
• 勾股定理的介绍 • 勾股定理的应用场景 • 勾股定理的实际应用案例 • 勾股定理的扩展应用 • 总结与展望
01
勾股定理的介绍
勾股定理的定义
勾股定理是几何学中的基本定理之一 ，它描述了直角三角形三边的关系。 具体来说，在一个直角三角形中，直 角边的平方和等于斜边的平方。
导航系统
利用勾股定理计算飞行器的位置和速 度，提高航空和航天导航的精度和可 靠性。
航天器设计
在航天器设计中，勾股定理用于确定 火箭的发射角度和卫星轨道的参数， 以确保航天器能够成功进入预定轨道 。
通信工程中的应用
电波传播
在通信工程中，勾股定理 用于计算电波传播的距离 和范围，优化信号传输质 量。
卫星通信
02
勾股定理的应用场景
几何学领域
确定直角三角形
勾股定理是确定直角三角形的重 要工具，通过已知的两边长度， 可以判断是否为直角三角形，并 进一步求出第三边的长度。
解决几何问题
勾股定理在解决几何问题中有着 广泛的应用，如求三角形面积、 判断三角形的形状、计算最短路 径等。
物理学领域
力的合成与分解
在物理学中，勾股定理常用于力的合 成与分解，特别是在分析斜面上的物 体受力情况时，通过勾股定理可以确 定力的方向和大小。
(精选幻灯片)勾股定理ppt课件
2 2 22
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
17.1勾股定理(第1课时)课件(共23张PPT)
让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系
C A B 9 C A B 图2-2 4 9 4 18 8
图2-1
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C A B 图2-1 A B
S正方形c
C
1 4 3318 2
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
弦 勾
股
图1-1
漂亮的勾股树
活动 2
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
我们也来观察右 图中的地面，看看有 什么发现？
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC 直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？ A a B b
Sa+Sb=Sc
c
C
2 2 2 a +b =c
b
a
c b (a+b )2
证 明 二
a
c
c
1 = c 4 ab 2
2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
b a
c
b
a
可得: a2 + b2 = c2
C A B 图2-1 A B
S正方形c
C
1 6 2
2
1 8（单位面积）
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的 正方形面积的一半
人教版八年级数学下《勾股定理 第3课时：用勾股定理在数轴上表示无理数》精品教学课件
能画出长为 13的线段，就能在数轴上画出表示 13的点.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究
步骤：
1 在数轴上找到点A，使OA=3；
2 作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB=2；
3 以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
13 3
数轴交于C点，则点C即为表示 13的点.
l
正整数的角三角形的斜边； 2 以原点为圆心，以无理数斜边为半径画弧与数轴
存在交点，弧与数轴的交点即为表示无理数的点.
原点左边的点表示负无理数，原点右边的点表示 正无理数.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
拓展
利用勾股定理可以作出这样一幅美丽的“海螺型” 图案，它被选为第七届国际数学教育大会的会徽.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
复习回顾
勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别 b
c
为a，b，斜边长为c，那么a²b²c². a
变 求斜边：c a2 b2 形 求直角边：a c2 b2 ，b c2 a2
已知两边可求第三边
利用勾股定理还能解决哪些问题呢？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习 2.如图，O为数轴原点，A、B两点分别对应3、3，作腰 长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，OC长为半
径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 7 .
3 2 1 O 1 2M3
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
3.如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形， 以Rt△BAC的斜边AC为直角边，画第二个等腰 Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边， 画第三个等腰Rt△ADE.依此类推，则第2018个
华师版数学八年级上册 14.2勾股定理的应用 课件(共19张ppt)
B NhomakorabeaA
新知探究
（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画 几条路线，你觉得哪条路线最短？
B
B
B
A 方案①
A 方案②
A 方案③
（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到
点B的最短路线是什么？你画对了吗？
B
B
A B
A
A
因为两点之间线段最短， 所以方案③的路线最短.
（3）蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱 侧面爬行的最短路程是多少？
第14章 勾股定理
14.2 勾股定理的应用
学习目标
➢ 能解决与勾股定理有关的问题：立体图形中最 短路径问题、网格问题等.
➢ 能将实际问题转化为直角三角形的数学模型， 并能用勾股定理解决简单的实际问题，培养数 学应用意识.
情境引入
如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长 为18 cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃 到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬 行的最短路程是多少？
解：设滑道AC的长度为x m，则AB的 长也为x m，AE的长度为（x-1）m.
CD
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，
即（x-1）2+32=x2，
A
解得x=5.
EB
故滑道AC的长度为5 m.
感谢观看！
例2 如图，在公路AB旁有一危楼 C需要爆破，已知点C与公路上的 停靠站A的距离为300米，与公路 上另一停靠站B的距离为400米， 且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围250米范 围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB段是否 因有危险而需要暂时封锁？
新知探究
（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画 几条路线，你觉得哪条路线最短？
B
B
B
A 方案①
A 方案②
A 方案③
（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到
点B的最短路线是什么？你画对了吗？
B
B
A B
A
A
因为两点之间线段最短， 所以方案③的路线最短.
（3）蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱 侧面爬行的最短路程是多少？
第14章 勾股定理
14.2 勾股定理的应用
学习目标
➢ 能解决与勾股定理有关的问题：立体图形中最 短路径问题、网格问题等.
➢ 能将实际问题转化为直角三角形的数学模型， 并能用勾股定理解决简单的实际问题，培养数 学应用意识.
情境引入
如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长 为18 cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃 到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬 行的最短路程是多少？
解：设滑道AC的长度为x m，则AB的 长也为x m，AE的长度为（x-1）m.
CD
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，
即（x-1）2+32=x2，
A
解得x=5.
EB
故滑道AC的长度为5 m.
感谢观看！
例2 如图，在公路AB旁有一危楼 C需要爆破，已知点C与公路上的 停靠站A的距离为300米，与公路 上另一停靠站B的距离为400米， 且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围250米范 围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB段是否 因有危险而需要暂时封锁？
勾股定理的实际应用画无理数课件
THANKS
[ 感谢观看 ]
物理学
在物理学中，勾股定理用于描 述力和运动的关系，以及电磁 波的传播。
计算机科学
在计算机科学中，勾股定理用 于图形学和动画制作，例如绘 制直角三角形和计算像素位置。
CHAPTER 02
勾股定理在实际生活中的应用
建筑行业中的应用
建筑设计
勾股定理在建筑设计中被广泛应 用，如确定建筑物的垂直角度、 计算建筑物的斜率等。
绘制直角三角形
确定无理数点
在直角三角形上，根据无理数的性质 确定一个点，该点即为所求的无理数。
在直角坐标系中，根据确定的边长绘 制直角三角形。
画ห้องสมุดไป่ตู้理数的注意事项与技巧
选择合适的边长
选择合适的直角三角形边 长，使得斜边的长度尽可 能接近无理数。
精度要求
根据实际需求，选择合适 的精度来绘制无理数，以 满足实际应用的要求。
无理数的引入可以帮助我们更好地理解和预测现实世界中 的各种现象，从而为解决实际问题提供更准确的数学模型。
勾股定理与无理数在数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，勾股定理和无理数都是重要的考点。通过这些知识点，竞赛者可 以解决一些复杂的问题，展示自己的数学能力和思维水平。
勾股定理和无理数在数学竞赛中的应用还包括与其他数学知识的结合，如代数、 函数、几何等。这种跨学科的综合性题目能够全面考察竞赛者的数学素养和解题 能力。
CHAPTER 03
勾股定理与无理数的关系
无理数的定义与特性
无理数的定义
无理数是不能表示为两个整数的比的 实数，如π和√2。
无理数的特性
无理数的小数部分是无限不循环的， 无法精确表示。
勾股定理与无理数的关系证明
18.1勾股定理精品PPT课件
1．观察图1-1（图中每个小方格代表一个单位面积）
正方形A中含有 9 个
小方格，即A的面积是
9 个单位面积．
正方形B的面积是
9 个单位面积．
正方形C的面积是
18 个单位面积．
1 2 3 继续
C A
B
图1-1
你是怎样得到上面的 结果的？与同伴交流
交流．
正方形周边上的 格点数L=12
正方形内部的格 点数N=13
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
§18.1
活动 1
你见过这个图案吗？ 你听说过勾股定理吗？
这就是本届大会 会徽的图案．
这个图案是我国汉代数学 家赵爽在证明勾股定理时用到 的，被称为“赵爽弦图”．
活动 2
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
我们也来观察右 图中的地面，看看有 什么发现？
其实勾股定理 中国比西方早 500多年就发现
了哦！
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家 之一。早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出，将一根直尺折 成一个直角，如果勾等于三，股 等于四，那么弦就等于五，即 “勾三、股四、弦五”，它被记 载于我国古代著名的数学著作 《周髀算经》中。
1945年，人们在研究古巴比伦人遗 留下的一块数学泥板时，惊讶地发 现上面竟刻有15组能构成直角三角 形三边的数，其年代远在商高之前。
所以，正方形C的 面积为：
•
勾股定理的应用PPT课件1
B
A
B
B
10
A
10
10
C
A
拓展2
如果盒子换成如图长为3cm，宽为 2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着 表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
B
A
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有
多少种情况？ B
(1)经过前面和上底面;
2
(2)经过前面和右面;
1
(3)经过左面和上底面.
A
3
C
B
B
A
3
1 2C
B 2
A
A1
3
C
解:(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最 短路程为
B
B
2
1
A
3
C
A
AB＝ AC2 BC2 ＝ 32 32 ＝ 18
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程 为
B
B
1
A
A
3
2C
AB＝ AC2 BC2 ＝ 52 12 ＝ 26
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路
程为
B 1m
一个门框的尺寸如图所示， 一块长3m、宽2.1m的薄木板能否
D 从门框内通过?为什么?
解：联结AC，在Rt△ABC中AB=2m, BC=1m ∠B=90°,根据勾股定理：
AB2 BC2 AC2
AC AB2 BC2
12 22 2.236m ＞2.1m
∴薄木板能从门框内通过。
C
超越自我
6 米
棵树折断之前有多高
吗？ A
8米
6
米
B
C
8米
问题二
帮卡车司机 排忧解难。
一辆装满货物的 卡车，其外形高2.5 米，宽1.6米，要开 进厂门形状如图的 某工厂，问这辆卡 车能否通过该工厂 的厂门?说明理由
A
B
B
10
A
10
10
C
A
拓展2
如果盒子换成如图长为3cm，宽为 2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着 表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
B
A
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有
多少种情况？ B
(1)经过前面和上底面;
2
(2)经过前面和右面;
1
(3)经过左面和上底面.
A
3
C
B
B
A
3
1 2C
B 2
A
A1
3
C
解:(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最 短路程为
B
B
2
1
A
3
C
A
AB＝ AC2 BC2 ＝ 32 32 ＝ 18
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程 为
B
B
1
A
A
3
2C
AB＝ AC2 BC2 ＝ 52 12 ＝ 26
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路
程为
B 1m
一个门框的尺寸如图所示， 一块长3m、宽2.1m的薄木板能否
D 从门框内通过?为什么?
解：联结AC，在Rt△ABC中AB=2m, BC=1m ∠B=90°,根据勾股定理：
AB2 BC2 AC2
AC AB2 BC2
12 22 2.236m ＞2.1m
∴薄木板能从门框内通过。
C
超越自我
6 米
棵树折断之前有多高
吗？ A
8米
6
米
B
C
8米
问题二
帮卡车司机 排忧解难。
一辆装满货物的 卡车，其外形高2.5 米，宽1.6米，要开 进厂门形状如图的 某工厂，问这辆卡 车能否通过该工厂 的厂门?说明理由
人教版八年级数学下册第十七章：17.1.3勾股定理和无理数 课件(共39张PPT)
能否放入行李箱 小明要外出旅游，他所带的行李箱如图，长40cm，宽 30cm，高60cm，请问：一把70cm长的雨伞能否装进 这个行李箱？ 解：如图，由题意可知△ADC都是直 角三角形，
雨伞能装进这个行李箱？
圆柱中的最短路径问题
如图所示,圆柱体的底面直径为6cm,高AC为12cm,一只 蚂蚁从A点出发,沿着圆柱的侧面爬行到点B,试求出爬 行的最短路程.(π取3）．
A
12
2
8 C
4
2
2
总结
利用勾股定理解决立体图形问题的基本思路 ： ①展平：只需展开包含相关点的面．可能存在多种展开法． ②定点：确定相关点的位置． ③连线：连接相关点，构建直角三角形． ④计算：利用两点之间线段最短，及勾股定理求解．
复习巩固
1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c 。 （1）已知a=12，b=5，求c （2）已知a=3，c=4，求b （3）已知c=10，b=9，求a
、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一
只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B
点最短路程是多少？
Ａ
20
楼梯上铺地毯问题
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只 蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
综合运用
9.已知一个三角形工件尺寸（单位：mm）如图，计算l 的长（结果取证书）
综合运用
10。有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池 正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水 池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度与这 根芦苇的长度分别是多少?
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2、你能用几种方法画出长为 无理数的数？
-习了哪些知识内容？ 你对你的学师或学友的表现感觉如何？你还有 那些疑惑？
-
16
谢谢
敬请各位多多指点
-
17
-
5
问题探究： 一一对应
实数
数轴上的点
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示 无理数
你能在数轴上表示出 2 的点吗？
-
6
作法：
师友探究
１．在数轴上找点A，使OA=1；
2．作直线l垂直于OA,在l上取点B,使AB=1;
3．以原点O为圆心,以OB为半径作弧,弧
与数轴的交点C即为表示 2 的点．
l
B
AC ０１
-
7
教师讲解
在数轴上画出表示 13的点吗？
步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3;
2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2; 3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴交于C点l ，则点C即为表示 13的点。
B
∴点C即为表示 13的点
0 1 2 A•3 C 4
-
8
1 0 1 2 32 5 3 4 5
-
9
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为 1, 2 , 3, 4 , 5 的线段.
1 12
34 5
-
10
1、完成导学案内容：学师学友相互 讲给对方听。并画出来 2、预习自测找小组展示:
-
11
合作探究：
-
12
-
13
教师讲解
-
14
归纳总结： 1、如何画出无理数
首先构造一个直角三角形，通过作出其余两边， 运用勾股定理构造出第三边√a.
4、重点：在数轴上画表示无理数的点。
-
3
预习导学：师友相互检查。
导学案1、证明三角形全等的方法有：
2、阅读本节教材第二个思考，利 用勾股定理证明“HL”
3、如果利用“SSS”怎么证明？
-
4
思考与探究
长为 13 的线段是直角边为 正整数__3____，__2____的直角 三角形的斜边．
并在数轴上画出表示 13的点.
勾股定理 ----实际应用
木兰中学：孟红英
-
1
温馨提示：
1、准备好本节课所要用的课本，资料书以及学习用具。 2、学师学友相互激励，平复好心情，准备上课。
教师寄语： 不比起点，比进步 不比智力，比努力。
-
2
学习目标：
1、会利用勾股定理证明：“HL” 2、能利用勾股定理做长度为无理数的线 段。 3、经历在数轴上画无理数的点的过程， 体会数形结合思想方法。
-习了哪些知识内容？ 你对你的学师或学友的表现感觉如何？你还有 那些疑惑？
-
16
谢谢
敬请各位多多指点
-
17
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问题探究： 一一对应
实数
数轴上的点
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示 无理数
你能在数轴上表示出 2 的点吗？
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6
作法：
师友探究
１．在数轴上找点A，使OA=1；
2．作直线l垂直于OA,在l上取点B,使AB=1;
3．以原点O为圆心,以OB为半径作弧,弧
与数轴的交点C即为表示 2 的点．
l
B
AC ０１
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7
教师讲解
在数轴上画出表示 13的点吗？
步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3;
2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2; 3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴交于C点l ，则点C即为表示 13的点。
B
∴点C即为表示 13的点
0 1 2 A•3 C 4
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数学海螺图：
利用勾股定理作出长为 1, 2 , 3, 4 , 5 的线段.
1 12
34 5
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1、完成导学案内容：学师学友相互 讲给对方听。并画出来 2、预习自测找小组展示:
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11
合作探究：
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12
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教师讲解
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14
归纳总结： 1、如何画出无理数
首先构造一个直角三角形，通过作出其余两边， 运用勾股定理构造出第三边√a.
4、重点：在数轴上画表示无理数的点。
-
3
预习导学：师友相互检查。
导学案1、证明三角形全等的方法有：
2、阅读本节教材第二个思考，利 用勾股定理证明“HL”
3、如果利用“SSS”怎么证明？
-
4
思考与探究
长为 13 的线段是直角边为 正整数__3____，__2____的直角 三角形的斜边．
并在数轴上画出表示 13的点.
勾股定理 ----实际应用
木兰中学：孟红英
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1
温馨提示：
1、准备好本节课所要用的课本，资料书以及学习用具。 2、学师学友相互激励，平复好心情，准备上课。
教师寄语： 不比起点，比进步 不比智力，比努力。
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2
学习目标：
1、会利用勾股定理证明：“HL” 2、能利用勾股定理做长度为无理数的线 段。 3、经历在数轴上画无理数的点的过程， 体会数形结合思想方法。