3.3 向量组的线性相关性
3.3线性相关性
关于齐次线性方程组的推论1：如果齐次线性方程组
的方程个数小于未知数个数，则它必有非零解。 向量维数 < 向量个数
a11 x1 a12 x2 a1 n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0 齐次线性方程组 am1 x1 am 2 x2 amn xn 0 n 1 2 O 可表示为 x11 x2 2 xn n O
3.向量的线性运算：加法和数乘运算。
4.线性方程组的向量形式： （1）一般的线性方程组 x11 x2 2 xn n 其有解等同于存在一组数x1, x2,·, xn , 使得： · ·
β=x11+x22+·+xnn · ·
（2）齐次线性方程组 x11 x2 2 xn n O 其有非零解等同于存在一组不全为零的数
2.定理：向量β能用向量组1, 2, ·, s线性表示的 · · · · · · 充要条件是：r(1, 2, ·, s)= r(1, 2, ·, s, β)
注：等同于 x11+x22+·+xss=β 有解。 · · 注：(1) r(1, 2, ·, s)= r(1, 2, ·, s,β)=s时，表 · · · ·
方程组x11+x22+x33=O的解， 前三个方程是 x11+x2 2+x3 3=O ，从而x1=x2=x3=0
结论： 线性无关向量组的“加长”向量组线性无关； 线性相关向量组的“减短”向量组线性相关。 “加长”— 指加入相同序号的分量 “减短” 指减去相同序号的分量 —
2.定理：若1,2,·,s 线性无关，而1,2,·,s , β · · · ·
3.3 向量组的线性相关性
~ ~ (a1, a2, a3) 111
0 2 5
742
r
100
0 2 5
522
r
100
0 2 0
022
可见r(a1 a2 a3)2< 3 r(a1 a2)2 故向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a1 a2线性无关.
n个 n维向量a1 a2 an线性相关｜a1 a2 an｜＝０； n个 n维向量a1 a2 an线性无关｜a1 a2 an｜≠０.
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二 、线性相关性的判定
定理3.1 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示.
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向量组a1 a2 am线性无关r(a1 a2 am)m. n维单位坐标向量组e1 e2 en是线性无关的.
例3.2 已知
a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性.
不妨设k10 于是 a1(1/k1)(k2a2 kmam)
即a1能由a2 am线性表示.
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二 、线性相关性的判定
定理3.1 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示.
证 充分性
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例3.3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3
b3a3a1 试讨论向量组b1 b2 b3线性相关性.
证
由于此方程组的系数行
设有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30
3.3判别向量组线性相关性的几种方法
判别向量组线性相关性的几种方法方法1 依据下面的结论来判断向量组的线性相关性1）含零向量的向量组一定线性相关2）对应分量成比例的两个向量一定线性相关3）向量组中的某个向量可由其余向量线性表示的一定线性相关4）相关组增加向量仍相关，无关组减少向量仍无关5）无关组添加分量仍无关，相关组减少分量仍相关6）向量组的个数大于向量维数的必线性相关22211=,=1211=1,=223⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭γγββ11线性无关，则仍线性无关22312=1,=21212-1=1,=2=0126⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααα11线性相关，则，仍线性相关232312-1=1,=2=020126⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααααα 11，线性相关,234120-1=1,=0,=0,=31215⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα1线性相关（个数大于维数）方法2 利用向量组线性相关性的定义转化为齐次线性方程组的求解212122122,,,,,...,,,,,=n n n n n nk k k k k k k k k +++⎛⎫ ⎪⎪⇔⇔= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααOαααO AK O 111已知列向量组， 设有使得=（）齐次线性方程组22,,,,,,n n =⇔=⇔=AK O αααAK O αααAK O 11可利用初等行变换求解齐次线性方程组线性无关只有零解线性相关有非零解例1234213344223344,,,+,+,-,+(2)+,+,,+-αααααααααααααααααααα11111已知向量组线性无关，判断下列向量组的线性相关性（1）122233344414122233344(2)(+)(+)()()()()()()k k k k k k k k k k k k ++++-=-++++++=ααααααααOααααO111设213344+-1++1-+1+=⨯⨯⨯⨯ααααααααO11解(1)0（）（）（）（）所以该向量组线性相关234,,,αααα1已知向量组线性无关，有14121234233400000k k k k k k k k k k k k -=⎧⎪+=⎪⇒====⎨+=⎪⎪+=⎩所以线性无关方法3 利用矩阵的秩判断向量组的线性相关性122,,,m n ij m n nm a ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ββA αααβ 1矩阵=()=()=22,,, ,,,=n n ⇔⇔αααA αααA 11向量组线性相关R （）< n 向量组线性无关R （） n22,,,,,,=m m ⇔⇔βββA βββA 11向量组线性相关R （）< m 向量组线性无关R （） m例223()3=,,,R =∴A ααα 1向量的个数线性无关23112011201120312504-4504-45201102-310023---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦→→αA αα初等初等1变换变换解 利用初等变换求向量组的秩令=()()()23=1-120,=3125,=2011ααα1判断线性相关性方法4 利用向量组的秩判断线性相关性2222(,,,,,,(,,,,,,n n n n R R ⇔⇔αααααααααααα 1111)< n 线性相关)= n 线性无关22=()(,,,T T n T n R R ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ααB B αααα 11 或 , 则)22(,,,),()(,,,n n R R ==A αααA ααα 11令则),2(,,,n R ααα 1) 因此，将(矩阵的秩等于行（列）向量组)转化为的秩矩阵求秩方法5 利用初等变换判断向量组的线性相关性1）初等行变换不改变矩阵列向量组的线性相关性2）初等列变换不改变矩阵行向量组的线性相关性2323,,,,16-3=0=2a a ∴⇔βββγγγB 11线性无关，线性无关R()=3，即，[]23123102102102210-3006-3=31001-601-611301100-5()a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦=→→A βββB B γγγ初等初等变换变1行行换令=，，2310221=,=,=3101-13a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ1已知向量组线性无关，求例3解思考题：下面的结论是否正确• 1.线性无关组增加向量仍然线性无关答案：不正确• 2.求向量组的秩时只能用初等行变换答案：不正确THANKS。
3.3 线性相关性
7）若向量组 α i = (ai 1 , ai 2 ,L , ain ), i = 1,2,L , s ） 线性无关， 线性无关，则向量组
β i = (ai 1 , ai 2 ,L , ain , ai ,n+1 ), i = 1,2,L , s
也线性无关 . 反之， 反之，若向量组 β 1 , β 2 ,L , β s 线性
4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向 ）一个向量组中若部分向量线性相关， 量组也线性相关； 量组也线性相关； 一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组 一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组 都线性无关. 都线性无关 5）如果向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 线性无关 而向量组 ） 线性无关，而向量组
线性无关的. 则称向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 为线性无关的
换句话说， 换句话说，对于一个向量组α1 ,α 2 ,L,α s , 若由
k1α1 + k2α 2 + L + k sα s = 0
必有
k1 = k2 = L = k s = 0,
则称向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 为线性无关的 线性无关的.
二、向量组的等价 1、定义 、
若向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 中每一个向量 α i ( i = 1,2,L , s ) 皆可经向量组 β 1 , β 2 ,L , β t 线性表出，则称向量组 线性表出，
α1 ,α 2 ,L ,α s 可以经向量组 β 1 , β 2 ,L , β t 线性表出； 线性表出；
若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个 若两个向量组可以互相线性表出， 向量组等价. 向量组等价.
2、性质 、
向量组之间的等价关系具有： 向量组之间的等价关系具有： 1) 反身性 2) 对称性 3) 传递性
3章3节 向量组的线性相关性
即：部份相关, 则全组相关； ?全组无关, 则部份无关。 ?
定理4 若向量组1 ,2 ,, s， 线性相关，而向量组
则向量 可由1 ,2 ,, s线性表示， 1 ,2 ,, s线性无关，
且表示法唯一。
无关组加一个后相关， 则后加者由原组表出法唯一。
定理5 设有两向量组 A:1 , 2 ,, s ; B:1 , 2 ,, t ;
定义1 给定向量组A : 1 , 2 ,, s , 如果存在不全为零的数
k1 , k2 ,, ks , 使k11 k22 ks s 0, 则称向量组
线性相关 ，否则称为线性无关 。
与上一节对应，本定义相当于零向量由一组向量线性表出
(线性组合)， 但这里要求k1 , k2 ,, ks不全为零。
§ 3.3 向量组的线性相关性
上一节分析了某向量与一组向量的线性组合关系，
以及线性组合的表示， 这一内容对应非齐次线性方程组
的有解判断以及求解的内容。为下一步学习向量之间的
相关性做好了理论准备，
本节将分析一组向量内各向量之间的线性相关性。 这一内容则对应齐次线性方程组的有解判断以及求解的
内容。
一、线性相关性概念
秩小于向量的个数s。
即为齐次线性方程组系数矩阵的秩小于未知数个数 ——有非零解。
推论1 s个n维列向量1 ,2 ,, s线性无关(线性相关)的
充要条件是: 矩阵A (1 ,2 , s )的秩(等于)小于向量的个数s。
齐次线性方程组系数矩阵的秩等于未知数个数 ——仅有零解；
推论2 n个n维列向量1 ,2 ,, s线性无关(线性相关)的
1 0 2 r r = 1 2 4 2 1 r3 r1 1 5 7
3.3 线性相关性
m维列向量线性无关的充要条件是，以 α 1 , α 2 , ⋯ , α n 维列向量线性无关 充要条件是 维列向量线性无关的 为列向量的矩阵的秩等于向量的个数n。 为列向量的矩阵的秩等于向量的个数 。 对于行向量组显然也成立。 对于行向量组显然也成立。
推论1 推论 设n 个n 维向量α j = ( a1 j , a 2 j , ⋯ , a nj )( j = 1,2, ⋯ , n)， 则向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α n a11 a12 ⋯ a1n
例2
零向量是任何一组向量的线性组合。 零向量是任何一组向量的线性组合。 因为 0 = 0α1 + 0α2 +…+ 0αs.
例3
向量组α 中的任一向量α 向量组 1,α2,…,αs中的任一向量 j (1≤j≤s) 都是此向量组的线性组合。 都是此向量组的线性组合。 因为α 因为 j = 0α1 + 0α2 +…+1αj + … + 0αs.
判断向量β 例4 判断向量 1=(4,3,-1,11)与β2=(4,3,0,11) 与 是否各为向量组α 与 是否各为向量组 1=(1,2,-1,5)与 α2=(2,-1,1,1)的线性组合，若是，写出表达式。 的线性组合， 的线性组合 若是，写出表达式。 对矩阵(α 解：设k1α1+k2α2=β1，对矩阵 1T, α2T, β1 T) 施以初等行变换
2 4 1 2 4 1 1 2 − 1 3 0 − 5 − 5 0 → − 1 1 − 1 → 0 3 3 0 5 0 − 9 − 9 0 1 11 0 2 1 1 0 0 0 0
除零解x 除零解 1=x2=0外，还有非零解，如x1=2, x2=3。 外 还有非零解， 。
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解
§3.1 线性方程组解的判定1.定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12•••a 1n a 21a 22•••a 2n••••a m1a m2•••a mn),x=( x 1x 2••x n ) ,b=( b 1b 2••b m )(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ， (3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。
有解时再化为行最简形求解。
(2)R(A)=m 时，AX=b 有解。
(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。
2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。
3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组例1. {4x 1+2x 2−x 3=23x 1−x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8例2. {2x 1+x 2−x 3+x 4 =14x 1+2x 2−2x 3+x 4=22x 1+x 2 −x 3−x 4 =1例3. 求解齐次线性方程组{3x 1+ 4x 2−5x 3+ 7x 4 =02x 1−3x 2+3x 3− 2x 4 =04x 1+11x 2−13x 3+16x 4=07x 1−2x 2+ x 3+ 3x 4 =0例4.写出一个以X=C 1(2−310)+C 2(−2401)为通解的齐次线性方程组。
例5（每年）.（1）λ取何值时，非齐次线性方程组{ λx 1+x 2+x 3=1x 1+λx 2+x 3=λx 1+x 2+λx 3=λ2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并在有无穷多组解时求出通解.（2）非齐次线性方程组{x 1+x 2+2x 3=02x 1+x 2+ax 3=13x 1+2x 2+4x 3=b当a,b 取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并求出通解.例5(12/13学年).设A=(λ110λ−1011λ), b=(a11),已知Ax=b 存在两个不同的解：(1)求λ,a;(2)求Ax=b 的通解。
线性代数 向量组线性相关性的判别定理
3.α1 = ( 2,3,1,0) , α 2 = (1,2,5,7 ) , α 3 = ( 5,8,7,7 ) ,
T T T
2 3 解 Q α 1 , α 2 , α 3构成矩阵 A = 1 0
T
T
3.α1 = ( 2,3,1,0) ,α2 = (1,2,5,7) ,α3 = ( 5,8,7,7) ,
T T T
1 2 5 7
5 8 , 7 7
T
可求得r ( A) = 2 < 3, ∴α1 , α 2 , α 3线性相关
T
4.α1 = (1,0,0,2) ,α2 = ( 0,1,0,1) ,α3 = ( 0,0,1,4)
T T
解.Q e1 = (1,0,0) , e2 = ( 0,1,0 ) , e3 = ( 0,0,1) 线性无关 T T T ∴α1 = (1,0,0,2 ) , α 2 = ( 0,1,0,1) , α 3 = ( 0,0,1,4 ) 线性无关
3.3线性相关性的判别定理 线性相关性的判别定理
内容：4个定理 内容： 个定理
定理1 定理1
若 向量组 A：α1 , α 2 ,L , α r 线性相关, 则向量组
B : α1 , L, α r , α r +1 L , α m 也线性相关.(部分相关，则整体相关） 反言之, 若向量组B 线性无关, 则 向量组A也线性无关 .
证明 Q向量组 A：α1 , α 2 ,L, α r 线性相关,
∴ ∃不全为零的数 k1 , k 2 , L , k r ，使得k1α1 + k 2α 2 + L + k rα r = 0 即为 k1α1 + k 2α 2 + L + k rα r + 0α r +1 + L + 0α m = 0 k1 , k 2 ,L , k r ,0 L 0为m个不全为零的数 ∴向量组B : α1 , L , α r , α r +1 L , α m 也线性相关. 向量组B 的向量组是线性相关的向量组。 推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组 推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组。
3.3向量组线性相关性的判别定理-PPT文档
定理4 向量组 r(A )m , A ： , , , 线性相关 1 2 m
其中 A ( , , , ) 1 2 m r(A ) m 向量组 A ： , , , 线性无关 1 2 m
( n 个 n 维向量组成的向量组 A 线性无关 A 0 .)
解 . e 1 , 0 , 0 , e 0 , 1 , 0 , e 0 , 0 , 1 线性无 1 2 3 T T T 1 , 0 , 0 , 2 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 4 线性无 1 2 3
是自然数 1 ， 2 ， n 的某个排列， p p 1 n
齐次方程组（ 1 ）与齐次方程组（ 2 ）同解，
则向量组 A 与向量组 B 相同的线性相关性
定理3向量组 A : a a , 即 j添上一个分量得 j j 1 j a 2 j rj
T T
向量组 B : a a ,( j 1 , 2 , , m ), j 1 j a 2 j rj a r 1 , j
则向量组必线性相关 .
推论1： n 个 n 维向量组成的向量组 A 线性相关 A 0 .
当维数 n 向量个数 m 时 , 推论2： m个n维向量组成的向量组，
例1
讨论下列向量组的线性相关性：
T
1 . 1 , 2 3 , 5 , 1 2 T T T T 2 . 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 4 1 2 3 4
4 . 1 , 0 , 0 , 2 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 4
3.3向量组的线性相关性
则( k1 l1 ) 1 .... ( k s l s ) s 0 ∵ 1 , 2 ,......, s 线性无关，
∴( k1 l1 ) 0,...., ( k s l s ) 0
k1 l1 ,...., k s l s ，
因此表示法唯一.
证毕
推论2 当向量组中所含向量的个数m大于向量的 维数n时，此向量组 线性相关
r (1 , 2 ,, m ) n m
例1 判断向量组1 (1, 2, 1, 5)T ， 2 (2, 1, 1, 1)T ， 3 (4, 3, 1, 11)T ， 是否线性相关. 解法一 设 k11 k2 2 k3 3 0，即
ks k1 这时 k 0, 则 1 .... s ， k k 即 可由 1 , 2 ,......, s 线性表示.
使 k1 1 k 2 2 .... k s s k 0成立，
(2)证表示法唯一
如果 k1 1 .... k s s ， 且 l1 1 .... l s s
例如，任意n维向量
可由初始单位向量组 1, 2 , , n 唯一的线性表示
1, 2 , ,n
当且仅当 k1 0, k2 0,..., kn 0 时成立
则称向量组 1 , 2 , ..., s 线性无关.
注意
1.对于任一向量组而言, 不是线性无关的
就是线性相关的.
2.向量组只包含一个向量 时，若 0, 则说
线性相关， 若 0 则说 线性无关.
故 1 , 2 , 3 线性相关.
解法二较解法一简单
解法二
1 2 4 2 1 3 1 1 1 5 1 11
§3.3 向量组的线性相关性
证明 记A (1,2 , ,m ), B (1,2 , ,m ,b),
则有R( A) R(B). 因A组线性无关,有R( A) m; 因B组线性相关,有R(B) < m 1.
所以m R(B) < m 1, 即有R(B) m.
由R( A) R(B) m,知方程组(1,2 , ,m )x b
因 1,2,3 线性无关,
故有:
x1 x3 0 x1 x2 0,
1 01
x2 x3 0
1 1 0 2 0 , 故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0 , 011
所以向量组 1, 2, 3 线性无关.
二、几个简单结论
定理3.10 设向量组A：1,2, ,m 线性相关,则 向量组B :1, ,m ,m1 也线性相关.
则向量 a, b, c 线性相关, 但 c 不可由 a,b 线性表示.
3. 线性相关性在线性方程组中的应用
当方程组中有某个方程是其他方程的线性组 合时,这个方程就是多余的, 这时称方程组(各个方 程)是线性相关的；当方程组中没有多余方程, 就称 该方程组(各个方程)线性无关．
பைடு நூலகம் 定理3.9 向量组 1,2,,m 线性相关的充要条件是 它所构成的矩阵A=(1, 2,,m )的秩小于向量的
向量组 A：a1, a2, …, am
线性相关
m 元齐次线性方程组 Ax = 0
有非零解
R(A) < m
说明
(1) 含有零向量的向量组必线性相关.
(2) 向量组只含一个向量 时: 若 =0, 则向量组线性相关; 若 0, 则向量组线性无关.
(3) 两个向量 1,2 线性相关的充分必要条件是 存在常数k, 使得 1= k2 .
3.3 向量组的线性相关性
法２ a1 , a2 , a3 1 2 1 4 0 行列式法 0 1 2
a1 , a2 , a3线性无关
2 1 0
线性代数
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§3.3
向量组的线性相关性
例4 标准单位向量组 : T T T e1 1,0,,0 , e2 0,1,,0 ,, en 0,0,,1
秩法
cor n维n个向量组 a1 ,, an线性相关 a1 , ,, an 0
行列式法
线性无关 a1 , ,, an 0
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§3.3
向量组的线性相关性
2 1 0 例3 讨论a1 1 ，a2 2 ，a3 1 线性相关性 0 1 2 2 1 0 1 2 1 秩法 解：法１ A (a1 , a2 , a3 ) 1 2 1 ~ 2 1 0 0 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 2 ~ 0 3 2 ~ 0 1 2 阶梯形矩阵 2 0 0 4 0 1
1 1 2 , 2 2 3 , , n n 1 ,
证明:当 n为奇数时,向量组1 , 2 , , n 线性无关； 当 n为偶数时，向量组 1 , 2 , , n 线性相关. 证：设一组数 k1 , k2 ,kn使k11 k2 2 kn n 0 即k （ （ （ 1 a1 a2 ) k 2 a2 a3 ) k n an a1 ) 0 亦即 （ k1 kn )a1 ( k1 k2 )a2 ( k2 k3 )a3 ( kn1 kn )an 0, a1，a2， , an线性无关，有
3.3 向量组的线性相关性
因此得到惟一解 k1 0, k2 0, k3 0,
故向量组 1, 2 , 3 线性无关。
注 向量组 1, 2 , 3 线性无关，表明这三个向量不是“共面”
或“共线”的。
9
§3.3 向量组的线性相关性
第 三
例
1
2
3
1
已知向量 1 1 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ,
n
维 解 方法一 令 k11 k22 k33 k44 0 ,
向 量 空 间
(k1
,
k2, k3
记为 K
,
k4
)
1 2 3 4
0
,
K A 0,
记为 A
由 | A| 16 0 , 有 A 可逆， K 0 ,
故向量组 1, 2 , 3 4 线性无关。
12
§3.3 向量组的线性相关性
思考 单个向量的线性相关性与线性无关性如何？
6
§3.3 向量组的线性相关性
第 例 下列向量组是否线性相关？ 三 章
n
维
向
量 空
答
(1) 相关，因为 31 42 (1)3 0;
间
(2) 相关，因为 01 02 13 0;
(3) 相关，因为 01 02 23 (1)4 0 .
7
§3.3 向量组的线性相关性
维
其中至少有一个向量可由其余的向量线性表示。
向
量 空
证明 充分性 设 al 可由其余向量线性表示，即
间
al 11 l1l1 l1l1 mm ,
令 l 1, 则有
11 22 ll mam 0 ,
其中 1, 2 , , m 不全为 0.
高等数学第三章课件-线性相关性
与
⎧ a11 x1 + ⋯ + a1,n−1 x n−1 = a1n ⎪ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎪ ⎪ a j −1,1 x1 + ⋯ + a j −1,n−1 xn−1 = a j −1,n ⎨ ⎪ a j +1,1 x1 + ⋯ + a j +1,n −1 xn −1 = a j + 1,n ⎪ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎪ ⎩ a s1 x1 + ⋯ + a s ,n−1 xn−1 = a sn
ε 1 = (1,0,⋯ ,0), ε 2 = (0,1,⋯ ,0), ⋯ , ε n = (0,0,⋯ ,1)
线性表出.
α = (a1 , a2 ,⋯ , an ) , 事实上，对任意 皆有 α = a1ε 1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n . ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n也称为 n 维单位向量组．
若向量 β 可表成向量组 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s 的一个 α1 ,α 2 ,⋯ ,α β 线性组合, 则称向量 可由向量组 s 线性表出.
注： 1) 若 α = k β ，也称向量 α 与 β 成比例. ℝ 3 中,向量 α 与 β 成比例 ⇔ α 与 β 共线. ℝ 3 中,若向量 α 1与 α 2不成比例,则
⎛ α1 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ α1 ⎞ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜αs ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜αs ⎟ → ⎜ ⎟ ⎯⎯ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎯⎯ β1 ⎟ β1 ⎟ 0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ βt ⎠ ⎝ βt ⎠ ⎝ 0⎠
若能，写出它的一个线性组合．
线性代数3.3向量组线性相关性的判别定理
线性代数3.3向量组线性相关性的判别定理线性代数是数学中的一个分支，它研究向量空间和线性映射等代数结构的性质和规律。
在线性代数中，向量组的线性相关性是一项基本概念。
本文将介绍向量组线性相关性的判别定理。
在数学中，如果存在一组非零向量$\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n$以及一组不全为零的标量$k_1,k_2,\cdots,k_n$，使得向量组的线性相关性判别定理是指，存在一个简单的方法，可以判断一个向量组是否是线性相关的。
推论：零向量不参与线性相关性的判断但是，如果向量组中包含了零向量，那么零向量不参与线性相关性的判断。
因为任何向量与零向量的线性组合都等于零向量，所以如果向量组中包含了零向量，只有当其他向量出现线性相关性时，才能称向量组是线性相关的。
证明：因为$k_1,k_2,\cdots,k_n$中至少有一个不为零，不妨设$k_1$不为零。
则有因此，向量$\boldsymbol{v}_1$可以表示为其余向量的线性组合。
$$\boldsymbol{v}_i=k_1\boldsymbol{v}_1+k_2\boldsymbol{v}_2+\cdots+k_{i-1}\bold symbol{v}_{i-1}+k_{i+1}\boldsymbol{v}_{i+1}+\cdots+k_n\boldsymbol{v}_n$$将上式代入得到总结向量组的线性相关性是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的秩、行列式、特征值等有密切的关联。
在实际应用中，判断向量组的线性相关性是很有用的，例如在计算机图形学、信号处理、机器学习等领域中，经常需要对向量组进行操作和分析。
通过本文所介绍的向量组线性相关性的判别定理，我们可以更方便地应用向量空间理论解决实际问题。
第3章 3.3向量组的线性相关性
证明: (II )线性相关,故存在不全为0的数
k1 , k2 , , ks , k, 使得
k11 k22 kss k 0
现证k 0.若k 0,则k1, , ks不全为0，使得
k11 k22 kss 0,推出(I )线性相关，
这与(I )线性无关矛盾，故k 0,所以
性质1 向量组1,2, ,s(s 1)(I )线性相关
的充分必要条件是(I )中至少有一个向量可
由其余s 1个向量线性表出.
证明：必要性,1,2 , ,s ( I )线性相关,则
存在不全为零的数k1, k2 , .ks使得
k11 k22 kss 0,
必有一个ki 0,于是
i
k1 ki
1
由1,2 ,,s线性无关，得:
λ1 μ1 , λ2 μ2 , 唯一性得证.
, λs μs
23
性质3.设1,2 , ,（s I )的一部分线性相关， 则(I )线性相关. “部分相关,则整体相关”
证明：为简单起见，不妨设1,2 ,, at (t s)
线性相关,即存在不全为0的数k1, k2 ,, kt，使得
例如 : α1 (1,1，2),α2 (3, 3，6)线性相关，则
β1 (1,2), β2 (3,6)线性相关.
29
性质总结
性质1 向量组1,2, ,s(s 1)(I )线性相关
的充分必要条件是(I )中至少有一个向量可 由其余s 1个向量线性表出.
性质2 设向量组1,2 , ,s (I )线性无关， 1,2 , ,s， ( II )线性相关,则 可由
11
或者说 “个数大于维数必相关”
A
A 的列组是 4 个 3 维向量, 必相关.
高等代数第二版课件§3.3线性相关性
线性相关性可以用于研究几何图形中的向量、线性变换和线性子空间等概念。例如，在 解析几何中，线性相关性可以帮助我们分析平面或空间中的直线、平面和曲面之间的关
系。
在线性方程组中的应用
总结词
线性相关性在解决线性方程组问题中起 着关键作用，它可以提供有效的算法和 技巧来求解线性方程组。
VS
详细描述
03
在学习过程中，我们需要注意线性相关与线性无关的区别。线性相关表示向量 之间存在某种依赖关系，而线性无关则表示向量之间相互独立。理解这两种关 系对于深入理解高等代数的其他概念非常重要。
线性无关性的总结
01
线性无关性是高等代数中的另一个重要概念，它描述了向 量之间的独立关系。在本章中，我们学习了线性无关的定 义、性质以及判定方法。线性无关的应用也十分广泛，例 如在向量空间的基底、矩阵的秩等概念中都有涉及。
2
如果向量组中任何一个向量可以由其他向量线性 表示，则该向量组线性相关。
3
如果向量组的秩小于向量的个数，则该向量组线 性相关。
向量线性无关的推论
如果向量组中的部分向量线性相关，则整个向 量组也线性相关。
如果向量组中增加一个线性相关的向量，则整 个向量组也线性相关。
如果向量组中增加一个线性无关的向量，则整 个向量组不一定线性无关。
04
线性无关性的概念
向量线性无关的定义
01
向量线性无关的定义：如果向量组中的向量个数大 于向量的维数，则该向量组线性无关。
02
线性无关的向量组中任意向量不能由其他向量线性 表示。
03
线性无关的向量组具有唯一性，即如果存在两个线 性无关的向量组，则它们是等价的。
向量线性无关的判定定理
1
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0 k3
0
系数行列式 D
2 1
1 2
0 1 40
k2 2k3 0
012 只 a有1,零a2 ,解a3线k性1 无k关2 . k3 0
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§3.3 向量组的线性相关性
例2
a已2 知a3向,a量3 组aa1也1,a线2,性a3 无线关性.无关
,
证明a1
a2
,
证：k设（1 一a1组 a数2 )k1,
所以m R(B) m 1，即有R(B) m.
由R( A) R(B) m,知方程组Ax b 有唯一解，
即向量b能由向量组A线性表示,且表示式唯一.
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§3.3 向量组的线性相关性
证 例5明.设：((21向))aa量14能不组由能a1a由,2a,a2a1,3a,线a3线2性, a性3表线相示性关表，示而a2
2 1
1 2
0 1 40
行列式法 0 1 2
a1,a2 ,a3线性无关
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§3.3 向量组的线性相关性
例4 标准单位向量组 :
e1 1,0,,0T ,e2 0,1,,0T ,,en 0,0,,1T
讨论其线性相关性 . 解：A (e1,e2 ,,en ) En
kk（22, ka32使
a3
)
k（3 a3
a1
)
0
亦即（ka11， ka32，)a1a3线(k性1 无k关2 )a， 2 有(k2 k3 )a3 0,
k1 k1
k3 k2
0 0
k2 k3 0
1 01 系数行列式 D 1 1 0 2 0
0 1 1 克莱默 法则
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§3.3 向量组的线性相关性
第三章 线性方程组与向量组的 线性相关性
§3.3 向量组的线性相关性
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§3.3 向量组的线性相关性
一.线性相关性定义
设组A : a1, 数k1, k2 ,,
ka2m,使，, amk,1如a1
果存在一组不全为零的
k2a2
kmam
0
则称组A 是线性相关的，否则称它线性无关．
2 1
1 0
秩法
0 1 2 0 1 2
~
1 0
2 3
12
~
1 0
2 1
12 阶梯形矩阵
0 1 2 0 0 4
R( A) 3 a1,a2 ,a3线性无关
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§3.3 向量组的线性相关性
例3
讨论a1
2 1
，a2
1 2
，a3
0 1
线性相关性
0
1
2
法２
a1,a2 ,a3
1, 2 , , n 线性相关；
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§3.3 向量组的线性相关性
二.线性相关性的判定定理
Th1 组a1,a2 ,,am (m 2)线性相关 其中至少 有一个向量可由其余m 1向量线性表示
证明: 必要性 设 a1,a2 ,,am 线性相关，
则有不全为0的数 k1a1 k2a2
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§3§.33.向3量组向的量线组性的相线关性相关性
内容小结
1. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点）
2. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）
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§3.3 向量组的线性相关性
作
业
习题三（P70）
k1b1 k2b2 k3b3 k4b4 0
向量组b1,b2 ,b3 ,b4线性相关 .
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§3.3 向量组的线性相关性
已知向量组 1, 2, , nn 2 线性无关，又
1 1 2, 2 2 3, , n n 1,
证明:当 n为奇数时,向量组1, 2 , , n 线性无关；
线性无关
只 才有 有当k1ak11
kkmmam
0时 , 0成立
.
a1
1 , 2
a2
3 6
1 2
b1
, 2
b2
1
3a1
a2
0
0b1 0b2 0
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§3.3 向量组的线性相关性
*(1)单单独独一一个个非零零向向量量线线性性相无关关, 1 0a000
故
(1)a1
k2a2
kmam
0
1, k2 ,, km 这 m个数不全为0，
故 a1,a2 ,,am 线性相关.
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§3.3 向量组的线性相关性
Th2
组A
:
a1
,
a2
,, am线性相关
A
( a1
,
a2
,,
am
)
的秩小于向量个数m 即R( A) m
组A : a1,a2 ,,am线性无关 R( A) m.
R(E) n.
即R( E )等于向量组中向量个数，此向量组 是线性无关的.
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§3.3 向量组的线性相关性
Th3
组 组
BA：: aa1,1,,a,amm,
线性相关,则 am1 也线性相关
A是B的 部分组：
反之,组B 线性无关,则组A也线性无关.
A : a1,,am
B : a1,,am ,am1,,as
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§3.3 向量组的线性相关性
例2
a已2 知a3向,a量3 组aa1也1,a线2,性a3 无线关性.无关
,
证明a1
a2
,
证：k设（1 一a1组 a数2 )k1,
kk（22, ka32使
a3
)
k（3 a3
a1
)
0
1 01 系数行列式 D 1 1 0 2 0
011
只a1 有 a零2 ,a解2 ka13 ,a3k2 a1k也3 线 0性无关 .
(2)含零向量的向量 组是线性相关.
0a1
1
0
0am
0
(3) a1,a2线性相关 分量对应成比例
几何意义 : 是两向量共线；
三个向量相关的几何意义是三向量共面.
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§3.3 向量组的线性相关性
(4)n个k1en1维 标k2e准 2 单位向kn量en组e01,e2,,en线性无关 (k1,k2,,kn )T (0,0,,0)T k1 kn 0
,
a3
,
a4线
性无关
证：(1) a2 ,a3 ,a4线性无关 a2 ,a3线性无关
而a1,a2 ,a3线性相关
a1能由a2，a3线性表示
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§3.3 向量组的线性相关性
(2)反证法
假设a4能由a1,a2 ,a3线性表示
a1能由a2，a3线性表示
a4能由a2 ,a3线性表示
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§3.3 向量组的线性相关性
k1 kn 0
kk12
k2 k3
0 0
kn1 kn 0
由于此方程组的系数行列式
1 00 1
1 10 0
0 1 0 0 1 1 n1
0 01 1
于是当 n为奇数时,方程组只有零解,所以向量组
1, 2 , , n 线性无关；
当 n为偶数时,方程组有非零解,所以向量组
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§3.3 向量组的线性相关性
因向量组1,2 ,, s ,s1 线性无关，
k1 0
k2 0
ks 0
k1 k2 ks 0
1 0
0 1
0 0
A
0
0
1
1 1 1
R( A) n 只有零解 k1 k2 ... ks 0
1, 2 ,, s 线性无关，
部分组相关 向量组相关
向量组无关 任一部分组无关
1 2 1 2, 4, 1 3 6 1
2 1 0 1 , 2 , 1 0 1 2
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§3.3 向量组的线性相关性
推导: 设 a1,,am线性相关，
存在不全为零的数k1,,km ,使
k1a1
k2a2
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§3.3 向量组的线性相关性
ex设
b4
a4
b1a1,a证1 明a向2 ,b量2 组ab21
a3
, b3
a3
a4
,
,b2 ,b3 ,b4线性相关
.
b1a1b2a2
b3(a2b4
a3
)
(a3
a4
)
(a4
a1
)
0
即存在k1
k3
1,
k2