相似三角形与三角函数的应用(第1课时)

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平面几何中的相似三角形与正弦定理应用

平面几何中的相似三角形与正弦定理应用平面几何是几何学的一部分，研究平面上的点、线、面及其关系。

其中，相似三角形和正弦定理是平面几何中常见且重要的概念与定理。

在本文中，我们将深入探讨相似三角形的性质以及正弦定理的应用。

一、相似三角形相似三角形指的是具有相同形状但可能不同大小的三角形。

两个三角形相似的条件是它们对应角度相等，即对应角度的比值相等。

1. 三角形的比例设有两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

若它们的对应边长的比值相等，即AB/DE = BC/EF =AC/DF，我们可以说这两个三角形是相似的。

2. 相似三角形的性质(1) 两对对应角度相等的三角形是相似的。

(2) 相似三角形的对应边长的比值相等。

(3) 相似三角形的各对应角度的正弦、余弦和正切值相等。

二、正弦定理的应用正弦定理是平面几何中的一项重要定理，它用于计算三角形的边长或角度。

该定理适用于任意三角形。

设三角形ABC中，∠A对应的边长为a，∠B对应的边长为b，∠C对应的边长为c。

则有以下公式：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C = 2R其中，R表示三角形的外接圆的半径。

正弦定理的应用场景种类繁多，以下介绍其中几个常见的应用情况：1. 已知两边和夹角，求第三边的长度根据正弦定理的公式，我们可以通过已知两边和夹角来计算第三边的长度。

2. 三角函数的运用正弦定理可以用于计算三角函数的值。

例如，已知一条边的长度和角度，可以利用正弦定理求出任意角的正弦值。

3. 测量不可直接测量的距离在实际应用中，有时我们需要测量一些不方便直接测量的距离。

通过建立合适的三角形，利用正弦定理可以计算出所需距离的值。

总结：在平面几何中，相似三角形和正弦定理是两项重要的概念与定理。

相似三角形的性质使得我们能够推导出各种几何关系，而正弦定理则为我们提供了计算三角形边长和角度的有力工具。

在实际应用中，我们可以利用相似三角形和正弦定理解决各种几何问题，计算并测量出需要的数值。

相似三角形的应用于三角函数

相似三角形的应用于三角函数相似三角形是三角函数中重要的应用之一。

在几何学中，相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，并且对应边成比例的三角形。

在三角函数中，我们可以利用相似三角形的性质，来推导和解决各种三角函数的问题。

首先，我们来了解一下相似三角形的定义和性质。

两个三角形相似的条件是：它们的对应角相等，且对应边成比例。

相似三角形的性质有以下几点：1. 相似三角形的对应角相等，如∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；2. 相似三角形的对应边成比例，如AB/DE=BC/EF=AC/DF；3. 相似三角形的对应边的比值等于一个常数，我们通常称为相似比或相似比例因子。

在三角函数中，我们利用相似三角形的性质，可以推导出各种三角函数的关系式，从而求解各种与三角函数有关的问题。

下面，我们将介绍几个常见的相似三角形在三角函数中的应用。

1. 正弦定理正弦定理是三角函数中最基本的定理之一，在相似三角形中有着重要的应用。

假设在三角形ABC中，有一个角A，对应边BC，以及另一个三角形DEF中的一个角D，对应边EF。

如果∠A=∠D，且BC/EF=k（其中k为常数），那么根据相似三角形的性质，我们可以得到以下关系式：sinA/sinD=BC/EF=k或者更一般地表示为：sinA/BC=sinD/EF=k2. 余弦定理余弦定理也是三角函数中的重要定理之一，它描述了三角形中三条边之间的关系。

在相似三角形中，我们也可以利用余弦定理来推导和求解各种问题。

假设在三角形ABC中，有一个角A，对应边BC，以及另一个三角形DEF中的一个角D，对应边EF。

如果∠A=∠D，且BC/EF=k，那么根据相似三角形的性质，我们可以得到以下关系式：cosA/cosD=BC/EF=k或者更一般地表示为：cosA/BC=cosD/EF=k3. 正切定理正切定理是三角函数中的另一个重要定理，它描述了角A的正切值与对应边BC之间的关系。

在相似三角形中，我们也可以利用正切定理来推导和解决各种问题。

《相似三角形的应用》课件

到相似三角形的运用。
力学中杠杆原理和滑轮组设计原理
杠杆原理
杠杆是一种简单机械，通过力矩的平衡来实现力的传递和转换。利用相似三角形原理，可以计算出杠杆两端的力和力臂之间的关系。
滑轮组设计
滑轮组是由多个滑轮组成的复杂机械，可以实现力的方向和大小的改变。利用相似三角形原理，可以分析出滑轮组中各个滑轮之间的受力关系。
光学中镜像和折射现象分析
平面镜成像
当光线碰到平面镜时，会遵循“ 入射角等于反射角”的规律，形成虚像。利用相似三角形原理，可以计算出物体与镜像之间的距
离关系。
透镜折射
透镜可以改变光线的传播方向，形成实像或虚像。利用相似三角形原理，可以分析出光线在经过
透镜前后的路径变化。
凹面镜和凸面镜
凹面镜和凸面镜具有会聚和发散光线的作用，其成像原理也涉及
回顾如何利用相似三角形证明线段比例、角度相等等问题。
强调相似三角形在测量、建筑设计等领域的应用，如利用相似三角形计算高度、距离等。
学生自我评价报告分享
知识掌握情况
01
学生分享自己在本节课中对相似三角形相关知识的理解和掌握
情况。
学习方法与技巧
02
学生分享自己在学习相似三角形时采用的方法和技巧，如记忆
老师点评与总结
老师对学生的讨论和提问进行点评和总结，强调相似三角形的重要性和应用价值，鼓励学生继续深入学习和探索。
感谢您的观看
THANKS
02
相似三角形在几何问题中应用
利用相似三角形解决线段比例问题
通过相似三角形的性质，确定线段之间的比例关系
应用实例：利用相似三角形解决建筑物高度测量问题
利用比例关系，求解未知线段的长度

相似三角形在三角函数中的应用

相似三角形在三角函数中的应用相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。

在数学中，相似三角形的性质被广泛应用于各种领域，尤其是在三角函数中。

本文将介绍相似三角形在三角函数中的应用，包括比值定义、角度关系、三角函数图像等方面。

一、比值定义相似三角形的比值定义是指在两个相似三角形中，对应角的正弦、余弦和正切的比值相等，即三角函数的比值定义。

以两个相似三角形ABC和DEF为例，设它们对应的角为A和D，对边分别为a、b和c、d。

根据相似三角形的比值定义可得以下关系：sin(A)/sin(D) = a/dcos(A)/cos(D) = b/dtan(A)/tan(D) = a/b通过比值定义，我们可以根据已知的角度和边长来求解未知的边长或角度，从而应用于实际问题的计算中。

二、角度关系相似三角形的角度关系指的是在两个相似三角形中，对应角的角度相等。

利用相似三角形的角度关系，可以解决一些三角函数的问题。

例如，当一个角的正弦等于另一个角的余弦时，可以通过相似三角形的角度关系推导出两个角的关系式。

这种应用在解三角方程时十分实用。

三、三角函数图像相似三角形的应用还可以扩展到三角函数的图像中。

正弦、余弦和正切函数的图像都是周期性的，可以通过相似三角形来观察和分析其周期性质。

例如，对于正弦函数的图像，当我们将函数图像放大或缩小时，其峰值和谷值的位置以及波长都会发生对应的变化。

这可以通过相似三角形的性质来解释。

当函数图像垂直方向的拉伸或压缩时，可以与相似三角形中对边长度的变化进行类比，从而更好地理解正弦函数图像的性质。

此外，利用三角函数图像的相似性，在解决实际问题时也是相当有效的。

例如，通过比较两个相似三角形在函数图像上的对应点，可以确定在不同的输入值下函数值的关系，从而得出更精确的计算结果。

综上所述，相似三角形在三角函数中有着广泛的应用。

通过比值定义、角度关系和三角函数图像，我们可以解决各种三角函数相关的问题，包括解方程、计算未知边长或角度以及分析函数图像的性质。

相似三角形的判定说课稿（1）

说课稿尊敬的领导、各位老师，大家好：今天我说课的内容是人教版初中数学九年级下册《相似三角形的判定》第二课时的内容。

我将从教材分析、教法分析、学法指导、教学程序四个方面来对本课进行说明。

教材分析：一、地位和作用在这之前，学生学习了全等三角形的相关知识，相似三角形是全等三角形的拓广和发展，而相似三角形的判定是相似三角形的主要内容之一，相似三角形的判定是进一步对相似三角形的本质和定义的全面研究，也是相似三角形性质的研究基础，同时还是研究圆中比例线段和三角函数的重要工具，可见一相似三角形的判定占据着重要的地位。

二、教学目标基于对教材、教学大纲的认识和学生的已有的认知结构和心理特征的分析，我确定了本节的教学目标：知识目标：1、经历三角形相似的判定定理 1 的探索及证明过程。

2、能应用定理1判定两个三角形相似，解决相关问题。

能力目标：让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题的能力。

情感目标：通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐。

三、重难点依照教材和教学大纲的要求，为了能更好的完成本节课的教学目标，我制定了本节课教学的重、难点和关键。

重点：本节教学的重点是使学生了解判定定理并学会应用难点：了解判定定理的证明方法是难点关键：即重难点的突破方法（1）判定方法1的探究是让学生通过作图展开的，我们在教学过程中，要通过从作图方法的迁移过程，让学生进一步感受，由特殊的全等三角形到一般相似三角形，以及类比认识新事物的方法．（2）讲判定方法1时，要扣住“对应”二字，一般最短边与最短边，最长边与最长边是对应边．根据以上的教学分析，制定本节课的教法和学法。

教法分析：针对初三学生的年龄特点和心理特征，以及他们的知识水平，根据教学目标，本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，利用多媒体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态。

学法指导这节课主要采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程。

相似三角形与三角函数的关系探究

相似三角形与三角函数的关系探究相似三角形是指对应角相等、对应边成比例的两个三角形。

它们之间存在着一种有趣的关系，与三角函数密切相关。

本文将探究相似三角形与三角函数之间的关系。

1. 引言相似三角形与三角函数是高中数学中的重要概念，它们的关系不容忽视。

相似三角形是几何学中的基础概念，而三角函数则是在解析几何和三角学中广泛应用的数学工具。

通过研究它们之间的关系，我们可以更深入地理解三角函数的性质和相似三角形的性质。

2. 相似三角形的定义与性质相似三角形的定义是指两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。

在相似三角形中，我们可以通过关联两个三角形的对应边，建立起三角函数与相似三角形之间的联系。

3. 三角函数与相似三角形的关系在相似三角形中，我们可以利用三角函数来研究各个角的关系。

以正弦函数为例，我们知道在一个直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比。

在相似三角形中，如果两个三角形的某个角相等，那么这两个三角形的对边与斜边的比例也相等。

因此，我们可以利用相似三角形的性质，将三角函数的定义推广到非直角三角形上。

4. 应用举例：利用三角函数求解相似三角形的边长比例在解决实际问题时，我们经常会遇到需要求解相似三角形边长比例的情况。

通过建立适当的三角函数关系，我们可以利用已知条件来求解未知边长的比例。

这种方法在测量不便或无法直接测量的情况下非常有用，例如建筑物高度的测量、地理测量等。

5. 三角函数与角度的关系除了与相似三角形相关联之外，三角函数还与角度的概念息息相关。

我们知道，三角函数的定义依赖于角度的概念。

在相似三角形中，对应角相等的两个三角形中，角的度数也是相等的。

因此，我们可以通过相似三角形的性质进一步研究三角函数与角度的关系。

6. 三角函数的周期性三角函数的周期性是它们独特的性质之一。

在相似三角形中，如果两个角的度数相等，那么这两个角的三角函数值也是相等的。

这意味着在一个周期内，三角函数的值会重复出现。

相似三角形的三角函数关系

相似三角形的三角函数关系相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。

在几何学中，相似三角形的三角函数关系起着重要的作用。

本文将详细介绍相似三角形的三角函数关系。

一、相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。

即若三角形ABC与三角形DEF相似，则有∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE = BC/EF = AC/DF。

二、正弦函数与相似三角形的关系对于一个直角三角形ABC，其中∠A为直角，BC为斜边，分别定义其两个尖角为∠B和∠C。

假设∠B = α，则∠C = 90° - α。

根据正弦函数的定义，我们可以得到：sin(∠B) = BC/AB，sin(90° - α) = AC/AB。

由于AB是一个恒定值，那么BC/AB与AC/AB之间的比值为常数。

所以，当两个三角形相似时，它们对应角的正弦函数值相等。

三、余弦函数与相似三角形的关系同样以直角三角形ABC为例，根据余弦函数的定义可得：cos(∠B) = AC/AB，cos(90° - α) = BC/AB。

与正弦函数类似，两个相似三角形的对应角的余弦函数值相等，即cos(∠B) = cos(90° - α)。

四、正切函数与相似三角形的关系正切函数是切线与斜边之比，所以对于直角三角形ABC，有tan(∠B) = BC/AB，tan(90° - α) = AC/AB。

同样地，当两个三角形相似时，它们对应角的正切函数值相等，即tan(∠B) = tan(90° - α)。

五、例题分析现在我们通过一个具体的例题来说明相似三角形的三角函数关系。

设有两个相似三角形ABC和DEF，已知AB = 5cm，BC = 8cm，AC = 10cm，且∠B = α。

求∠C和∠A。

根据三角形相似的定义，我们可以得到的比值公式是AB/DE=BC/EF=AC/DF=5/DE。

相似三角形及锐角三角函数

九年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间：一、相关概念：1. 相似图形：形状相同的图形。

2. 相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例。

3. 相似比：相似多边形对应边的比。

二、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等三、相似三角形的判定✓通过定义（三边对应成比例，三角相等）✓平行于三角形一边的直线✓三边对应成比例（SSS）✓两边对应成比例且夹角相等（SAS）✓两角对应相等（AA）✓两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（HL）四、相似三角形的性质✓对应角相等。

✓对应边成比例。

✓对应高的比等于相似比。

✓对应中线的比等于相似比。

✓对应角平分线的比等于相似比。

✓周长比等于相似比。

✓面积比等于相似比的平方。

五、位似：✓位似图形的概念：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比.✓在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.考点一一、选择题（每小题3分，共24分）1.下列命题：①所有的等腰三角形都相似，②所有的等边三角形都相似，③所有的等腰直角三角形都相似，④所有的直角三角形都相似.其中，正确的是 ( )A.②③B.②③④C.③④D.②④2.有两个顶角相等的等腰三角形框架，其中一个三角形框架的腰长为6，底边长为4，另一个三角形框架的底边长为2，则这个三角形框架的腰长为 ( ) A.6 B.4 C.3 D.23.如图，点P 是△ABC 的边AB 上的一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截△ABC ，使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有 ( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条4.如图，E 是□ABCD 的边BC 延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（）A.1对B.2对C.3对D.4对5.两个相似菱形边长的比是1:4，那么它们的面积比是 ( ) A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:166.下列条件中，不能判定以A /、B /、C /为顶点的三角形与△ABC 相似的是（） A.∠C=∠C /=90°,∠B=∠A /=50° B.AB=AC ，A /B /=A /C /，∠B=∠B /C.∠B=∠B /，////C B BC B A AB =D. ∠A=∠A /，////C B BC B A AB =7.△ABC 的周长等于16，D 是AC 的中点，DE ∥AB ，交BC 于点E ，则△DEC 的周长等于( ) A.2 B.4 C.6 D.88.在□ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是BE 的中点，AE 与DF 相交于H ，则△EFH 的面积与△ADH 的面积的比值为（） A ．21 B ． 81 C ．161 D ．41二、填空题（每小题3分，共18分）9．有一张比例尺为1∶4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，则这个地区的实际周长________。

相似三角形和三角函数

相似三角形考点
1.
推论——直角三角形相似：
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

2.性质定理：
(1)对应角相等。

(2)对应边成比例。

(3)对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)周长比等于相似比。

(5)面积比等于相似比的平方。

3.相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2
4、比例的性质
（1）比例的基本性质：
b a =d c
⇔ad=bc （bd≠0）（2）合比性质：b a =d c ⇒b b a +=d d
c +
（3）等比性质：===(0)a c m a c m a
b d n b d n b d n b
+++⇒=++
+≠+++
5、位似
如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

对应边的比叫做位似比，位似比等于相似比。

锐角三角函数知识点总结
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
3、特殊角的三角函数值(重要)
对边
邻边
C。

相似三角形的应用ppt课件

3
定义及判定方法
01
02
03
04
定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似
。
AAA相似
如果两个三角形的三组对应角分别相等，则这两个三角形相
似。
SAS相似
如果两个三角形有两组对应边成比例且夹角相等，则这两个
三角形相似。
SSS相似
如果两个三角形的三组对应边都成比例，则这两个三角形相
相似三角形的应用ppt课件
2024/1/27
1
contents
目录
2024/1/27
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何问题中应用 • 相似三角形在三角函数中应用 • 相似三角形在物理问题中应用 • 相似三角形在建筑设计中应用 • 总结与展望
2
01
相似三角形基本概念与性质
2024/1/27
匀变速直线运动
通过相似三角形描述匀变速直线运动中速度、时间和位移之间的
关系，推导运动学公式。
抛体运动
运用相似三角形分析抛体运动的轨迹，求解抛体的初速度、角度和射程等参数。
圆周运动
利用相似三角形研究圆周运动的线速度、角速度和半径之间的关系，探讨向心加速度的表达式。
2024/1/27
18
05
似。
2024/1/27
4
相似比与对应边长成比例关系
相似比
两个相似三角形的对应边之间的比值称为相似比。
对应边长成比例关系
在相似三角形中，任意两边之间的比值等于其他两边之间的比值，即 a/a'=b/b'=c/c'，其中a、b、c和a'、 b'、c'分别是两个相似三角形的对应边长。

相似三角形的应用课件初中数学PPT课件

相似三角形可以与三角函数、向量等知识点结合，解决更广泛的实际问题。
相似三角形在现实生活中的应用
相似三角形在现实生活中有着广泛的应用，如建筑设计、地理测量、物理实验等。通过了解这些应用，可以更好地理解相似三角形的重要性和实用性。
THANKS
感谢观看
构造相似三角形，通过已知条件求解未知边长。
利用相似三角形证明角相等
通过证明两个三角形相似，进而证明对应角相等。
利用相似三角形的性质，通过已知角求解未知角。
构造相似三角形，通过证明对应角相等来证明两角相等。
利用相似三角形解决面积问题
通过已知相似三角形的边长比例，利用面积公式求解未知面积。
构造相似三角形，通过已知条件求解未知面积。
利用相似三角形的性质，通过已知面积求解未知面积。
03 相似三角形在代数问题中应用
利用相似三角形建立方程
通过相似三角形的性质，建立比例关系，从而构建方程。
结合图形与代数方法，将几何问题转化为代数问题。
利用已知边长和角度，通过相似三角形对应边成比例的性质，列出方程。
通过比较两个三角形的对应角或对应边来判断它们是否相似。
相似三角形的应用
利用相似三角形可以解决一些实际问题，如测量高度、计算距离等。
易错难点剖析及注意事项提醒
易错点
在判断两个三角形是否相似时，需要注意对应角和对应边的关系，
避免出现错误。
难点
在实际问题中，如何准确地找到相似三角形并应用其性质进行求解是一个难点。
结合相似三角形的性质，解决一些综合性的问题。
04 相似三角形在三角函数问题中应用
利用相似三角形推导三角函数公式
通过相似三角形的性质，推导正弦、余弦、正切等基本三角函数公式。引导学生理解三角函数公式与相似三角形之间的联系，加深对公式的理解和记忆。

三角函数与三角形的关系与运用

正切函数的应用
工程和城市规划
应用正切函数解决建筑物倾斜度
等问题
电子技术和通信
正切函数在信号处理中的实际应
用
三角形角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 和边长比例
利用正切函数求解实际三角形问
题
正切函数的变换
平移
改变正切函数的水平位置
伸缩
调整正切函数的振幅和周期
反转
对正切函数图像进行上下反转
旋转关系
正切函数与三角形旋转的数学联系
02 增减性和最值
余弦函数在0到π上是递减的，在π到2π上是递增的
03 与三角形内角的关系
余弦函数与三角形内角的关系密切，可以用来求解三角形的内角大小
余弦函数的应用
测量和建模中的应用
余弦函数可以用来测量角度和模拟周期性现象
求解不定形三角形中的边长和角度
通过余弦定理可以求解不定形三角形内部的边长和角度关系
三角函数的基本定义
正弦
定义为对边比斜边
正切
定义为对边比邻边
周期性
周期性为2π
余弦
定义为邻边比斜边
三角形的特性与性质
锐角三角形
三个内角都小于 90°
三角形的周长公式
周长等于三边之和
三角形的面积公式
面积等于底边乘以高再除以2
内角和定理
三角形的内角和为180°
三角函数与三角形的关系
正弦函数的综合应用
正弦函数在数学和实际生活中都有着广泛的应用，从测量角度到分析波动，正弦函数都发挥着重要作用。通过对正弦函数的理解和运用，我们可以更好地解决各种复杂的问题，探索事物背后的规律。
● 03
第三章余弦函数

三角函数的定义及应用教学教案【优秀4篇】

三角函数的定义及应用教学教案【优秀4篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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中学数学复习三角函数与相似三角形

中学数学复习三角函数与相似三角形中学数学复习：三角函数与相似三角形导言：数学是一门既抽象又具有实用性的学科，其中三角函数与相似三角形是中学数学中重要的内容之一。

通过对三角函数与相似三角形的复习，我们能够巩固对于三角函数定义、性质以及相似三角形判定及性质应用的理解和掌握。

本文将全面复习这些内容，帮助读者进一步加强数学知识，为数学学习打下坚实的基础。

一、三角函数复习1. 三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别是以一个角的正弦值、余弦值和正切值为函数值的函数。

对于一个锐角∠A，我们定义其正弦值为∠A的对边与斜边的比值，记作sinA；余弦值为∠A 的邻边与斜边的比值，记作cosA；正切值为∠A的对边与邻边的比值，记作tanA。

2. 三角函数的性质（1）单位圆上的正弦、余弦、正切值单位圆是半径为1的圆，将圆心O作为坐标原点，将x轴和y轴作为坐标轴。

对于单位圆上的点P(x, y)，P到x轴的距离即为∠A的弧度值，也是∠A的正弦值和余弦值。

利用单位圆，我们可以得出许多三角函数的性质，如sin2A + cos2A = 1以及tanA = sinA/cosA等。

（2）三角函数的周期性三角函数在定义域（一般是实数集合）上都是周期函数。

其中，正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。

（3）三角函数的奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sinx；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cosx；正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tanx。

3. 三角函数的图像与性质（1）正弦函数和余弦函数的图像正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的图像都是由一条连续的波浪线组成。

正弦函数的最大值为1，最小值为-1，而余弦函数的最大值也为1，最小值同样为-1。

这两个函数的图像关于y轴对称。

（2）正切函数的图像正切函数在定义域的某些点处不存在，称为奇点。

在正切函数的图像中，奇点以虚线表示。

26.1 锐角三角函数 - 第1课时课件(共19张PPT)

提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
3.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在BC上,M,N两点关于对角线AC对称, 若DM=1，求tan∠ADN的值.
解：由正方形的性质可知，∠ADN=∠DNC，BC=DC=4，∵ M、N两点关于对角线AC对称, ∴ DM=1BN=DM=1.tan∠AND=tan∠DNC= .
知识点正切的概念
新知探究
思考
在两个直角三角形中，当一对锐角相等时，这两个直角三角形相似，从而两条对应直角边的比相等，即当∠A（小于90°）确定时，以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比是确定的.
发现
正切
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA ，即
在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）如图（1），∠A=30°，求tanA，tanB的值．（2）如图（2），∠A=45°，求tanA的值．
例1
例题示范
随堂演练
1.在△ABC中，已知AC=5，BC=4，AB=3.那么下列各式正确的是（）A.tanA= B.tanA=CtanC= DtanC=
课堂小结
正切
定义
对边与邻边的比
表示方法
有关计算
与锐角的大小有关，与三角形边的长短无关
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
A
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值（） A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定
C
3. 如图， P是平面直角坐标系上的一点，且点P的坐标为（3，4），则tan α = .
第二十六章解直角三角形

相似三角形与三角函数的关系

相似三角形与三角函数的关系相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。

在数学中，相似三角形是一个重要的概念，它与三角函数有着密切的关系。

本文将探讨相似三角形与三角函数之间的关系，以及如何运用三角函数来解决相似三角形的问题。

一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，对应边比值相等的三角形。

根据相似三角形的定义，我们可以得出以下性质：1. 相似三角形的对应角度相等在两个相似三角形中，每个角度的度数都相等。

这是相似三角形的基本性质之一。

2. 相似三角形的对应边比例相等在两个相似三角形中，对应边的长度的比值是相等的。

这意味着，若两个三角形的对应边分别为a1、b1、c1和a2、b2、c2，则有以下比例关系：a1/a2 = b1/b2 = c1/c23. 相似三角形的面积比例是边长比例的平方相似三角形的面积比例等于对应边长比例的平方。

设两个相似三角形的对应边分别为a1、b1、c1和a2、b2、c2，则有以下关系：面积1 / 面积2 = (a1^2 / a2^2) = (b1^2 / b2^2) = (c1^2 / c2^2)二、三角函数与相似三角形的关系三角函数是研究角度与边长之间关系的重要工具。

在相似三角形中，对应角度相等，因此对应角的三角函数值也相等。

利用这一性质，我们可以在解决相似三角形问题时运用三角函数。

1. 正弦函数在相似三角形中的应用正弦函数在相似三角形中的运用较为广泛。

根据正弦定理，对于一个角为A的三角形，其对应的边长与正弦函数之间的关系为：a / sin(A) =b / sin(B) =c / sin(C)当两个三角形为相似三角形时，对应角相等，对应边比例相等。

因此，我们可以利用实际已知数据，通过正弦函数来计算未知量。

2. 余弦函数在相似三角形中的应用余弦函数也可以在相似三角形中得到应用。

根据余弦定理，对于一个角为A的三角形，其对应的边长与余弦函数之间的关系为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)在相似三角形中，对应边比例相等，因此可以通过已知数据和余弦函数来计算未知量。

三角函数的应用(1)优秀教案

《三角函数的应用》（第一课时）教学设计（附：图1）【学生活动】学生对照屏幕认真读题，找出问题疑惑。

（附：图2）（附：图3）【学生活动】学生有能力自学仰角和俯角，通过跟踪练习提问，加深对概念的理解，接着动手在导学案中独立画出问题情境中的300和450俯角，学以致用。

【设计意图】从发生在学生身边的国际热门话题引入课题，激发学生的爱国主义热情和求知欲望，同时也提高了继续探究的兴趣.第2个问题的提出，使学生能带着目的去学习，学习的针对性很强，效果明显。

（附：图4）【学生活动】学生在老师的引导下，回忆并回答解直角三角形的相关知识。

【设计意图】通过领着同学们复习解直角三角形的相关知识，使同学们能熟记解题模型，为下面活动中的问题解决打下基础。

【活动预期】学生在老师的引导下，回忆并回答解直角三角形的相关知识。

直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方PP45°，学生独立在导学案上完成练习题，学生到黑板上板演讲解；接着乘胜追击，先独（附：图6）【学生活动】学生现在导学案上自己抽象画出几何图形，独立完成。

一学生起来对答案。

【设计意图】做到问题设置有始有终，真正让学生体会学以致用。

（附：图7）要求：学生独立思考，根据题意画出简图，找到解题方案。

（2）教师几何画板形象展示动态问题，加深学生能否侦测到飞机问题的理解。

【学生活动】先思考几分钟，独立完成本问题任务。

接着借小组的力量，合作探究，找到解决货轮继续向东航行途中会有触礁的危吗?(tan55、B两地之间有一座山，汽车原来从现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）【学生活动】处测得广告牌顶部C的仰角为将本节课的知识要点应用数学模型来解决实际问题，将解题模型画在黑。

相似三角形与三角函数

初三数学---相似三角形和解直角三角形一、相似三角形1．相似三角形判定定理：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. （2）判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．即“两角对应相等，两三角形相似”．（3）判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．即“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”．（4）判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．即“三边对应成比例，两三角形相似”．（5）若△1∽△2、△2∽△3、则△1∽△3．对于直角三角形相似，还有如下判定定理：（6）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（7）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．2．相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应边成比例；（3）相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；（4）相似三角形周长比等于相似比；（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方．二、锐角三角函数1．掌握锐角三角函数的定义，准确地进行计算．2．互余角的三角函数间的关系（1）sin（90°－）＝cos；（2）cos（90°－）＝sin；（3）．3．同角三角函数间的关系（1）；（2）．三、解直角三角形1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2；（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；（3）边与角之间的关系：，，．2．如图，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h2＝pq；由△ACD∽△ABC或由△ABC的面积，得ab＝ch．从三角函数的角度考虑，有由，得a2＝pc；同理，得b2＝qc；由，得h2＝pq；由，得ab＝ch．在有关直角三角形的相似问题中，可以尝试运用三角函数的知识来解题，即“三角法”．3．如图1，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则（1）CD＝AD＝BD＝；（2）点D是Rt△ABC的外心，外接圆半径．4．如图2，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则．图1 图2 图3 5．直角三角形的面积：（1）如图2，S△ABC．（2）如图3，S△ABC．6B＝90°－A，，，由求角A，B＝90°－A，由求角A，B＝90°－A例题分析例1．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为下底BC上一点（不与B，C重合），连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．（1）你认为图中哪两个三角形相似，为什么?（2）当点P在底边BC上自点B向C移动的过程中，是否存在一点P，使得DE∶EC＝5∶3?如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．例2．如图，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求x的值．例3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5，求sin B·sin C的值．例4．如图，D是AB上一点，且CD⊥AC于C，S△ACD∶S△CDB＝2∶3，，AC＋CD＝18，求tan A的值和AB的长．5．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝与x轴交于点E．求点E的坐标．6．已知：如图（a），梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝BC＝4，CD＝6．（1）E为BC边上一点，EF∥AD，交CD边于点F，FG∥EA，交AD边于点G，若四边形AEFG为矩形，求BE的长；（2）如图（b），将（1）中的∠AEF绕E点逆时针旋转为∠A′EF′，EF′交CD边于F′点，且F′点与D点不重合，射线EA′交AB边于点M，作F′N∥EA′交AD边于点N，设BM为x，△NF′D中，F′D边上的高为y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围．图（a）图（b）答案例1、解：（1）△ABP∽△PCE．其理由是除∠B＝∠C外，由于∠APE＝∠B＝60°，∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APE＋∠CPE，∴∠BAP＝∠CPE．由“两角对应相等，两三角形相似”可得△ABP∽△PCE．说明：此图形结构可以称为“一线三等角问题”．（2）作DF⊥BC于F，由已知可得CF＝，腰长AB＝CD＝2CF＝4，这样原问题转化为在底边BC上是否存在一点P，使得CE＝1.5．假设存在P点，使CE＝1.5，由△ABP∽△PCE，得，可得BP·PC＝AB·CE＝6．设BP＝x，∵BC＝BP＋PC＝7，∴PC＝7－x．∴x（7－x）＝6，即x2－7x＋6＝0．解得x1＝1，x2＝6．答：当BP＝1或BP＝6时，使得DE∶EC＝5∶3．例2、解：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°．∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°．∴∠CMN＋∠AMB＝90°．在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，∴∠MAB＝∠CMN．∴Rt△ABM∽Rt△MCN．（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，，即．．．当x＝2时，y取最大值，最大值为10．（3）∵∠B＝∠AMN＝90°，∴要使△ABM ∽△AMN，只需．由（1）知．∴BM＝MC．∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x＝2．例3、分析:为求sin B，sin C，需将∠B，∠C分别置于直角三角形之中，另外已知∠A的邻补角是60°，若要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B，C，向CA，BA的延长线作垂线段，即可顺利求解．解：过点B作BD⊥CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA的延长线于点E．∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°．；．又∵CD＝CA＋AD＝10，，．同理，可求得．．说明：由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可以通过作垂线段等方法将其置于直角三角形中．例4、解：作DE∥AC交CB于E，则∠EDC＝∠ACD＝90°．∵，设CD＝4k（k＞0），则CE＝5k，由勾股定理得DE＝3k．∵△ACD和△CDB在AB边上的高相同，∴AD∶DB＝S△ACD∶S△CDB＝2∶3．．即．．∵AC＋CD＝18，∴5k＋4k＝18．解得k＝2．．．说明：本章解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程．在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等．例5、解：作AF⊥x轴于F．∴OF＝OA·cos60°＝1，AF＝OF·．∴点A坐标为（1，）．代入直线解析式，得．．．当y＝0即时，x＝4．∴点E坐标为（4，0）．例6、解：（1）作AH⊥CD于点H（如图（c））可得∠1＝∠2＝∠D．由AB＝BC＝CH＝4可得HD＝CD－CH＝2．．．∴BE＝2，即E为BC的中点．（2）图（d），作NP⊥CD于点P，则PN＝y．可得∠4＝∠5＝∠6，它们的正切值相等．，即．，．，，∵CD＝CF′＋PF′＋PD，，即．整理，得．若点F′与点D重合（见图（e）），则∠BEM＝∠EDC，．．．∴x的取值范围为。