等比数列概念及性质PPT课件

1o等比数列的符号表示 a n 1
{ a n }成等比数列
an
新疆 王新敞
奎屯
=q(≠0) （ nN ）
2 隐含：任一项 an0且q0 (等比数列无零项)
3 q= 1时，{an}为常数列
新疆 王新敞
奎屯
非零的常数数列既是等差数列又是等比数列
思考1 ：
1.用下列方法表示的数列中能确定
是等比数列的是 ① ④ ⑥.
设数 an列 为等差数 m,n,列 p,q ， N， 且
函数的图象上的 一点 些孤立 0 1 2 3 4 n
探究三:
等比数列的图象与指数函数之间的关系:
等比数列{an}通项公式可整理为：an
a1 qn， q
它的图象是函数y a1 qx的图象上的孤立点. q
三.巩固 应用
例题1：某种放射性物质不断变化 为其他物质，每经过一年剩留的 这种物质是原来的84％.这种物质 的半衰期为多长（精确到1年）？
探究 特别地，如果是a n 等比数列，c是不等 于０的常数，那么数列 can 也是等比数列．
对于例４中的等比数列 a n 与b n ，数
ຫໍສະໝຸດ Baidu
是 列
a b
n n
也一定是等比数列吗？
比较：
数 列 等差数列
定义式
公差（ 比）
定义变 形
通项公 式
一般形
an+1-an=d
d 叫公差
an+1=an+d
例题3：一个等比数列的第3项和第4 项分别是12和18，求它的第1项和第2 项。
1.在等比数列{an}中，已知 a320,a6160
求an.
四. 应用示例
开始
A=1
例2.根据右图的框图,写出所打印
数列的前5项,并建立数列的递
n=1
推公式.这个数列是等比数列吗? 输出A
n=n+1
A=1/2A
否
n>5? 是
an amqnm (n,mN*)
变通公式
性1质 ：设 an,am为等比an数 中列 任意两
且公比 q，为 则 anamqnm.
证明设等比数a列 n的首项a为 1,公比为 q，
则有an a1qn1,am a1qm1
从而an am
qnm,即an
amqnm.
注：运用此公式，已知任意两项， 可求等比数列中的其他项
① 1，-1，1，…，(-1)n+1 ；√
②1，2，4，6…；×
③a，a，a，…，a；×
④已知a1=2，an=3an+1 ；√
⑤ m,2m,4m2,8m3,... ×
⑥2a，2a，2a，…，2a. √
2、求出下列等比数列中的未知项： (1)2，a，8；(2)－4，b，c，12.
思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特 点？ 正负交替
an=a1qn-1
其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1， 即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它 就是等比数列｛an｝的通项公式。
等比数列的通项公式： an=a1qn-1 （n∈N﹡,q≠0）
特别地，等比数列{an}中，a1≠0,q≠0
且 性1公 质 ：比 q设 a， n,a为 m则 为 an等 amqn 比 m.或an数 q中 nm列 任 aamn 意
对公比q的探究： （a1 ﹥0时） 当0﹤q﹤1时，等比数列{an}为递减数列; 当q﹥1时，等比数列{an}为递增数列； 当q=1时，等比数列{an}为常数列； 当q﹤0时，等比数列{an}为摆动数列。
探究二：通项公式
思考3：如何用a1和q表示第n项an 1.不完全归纳法 2.叠乘法（累乘法）
等比数列的通项公式：
思考4：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
＿＿an＿＿2＿n-1＿
an
8
·
上式还可以写成
an
1 2n 2
7 6
可见，这个等比数列
5
的图象都在函数
y
1 2
2x
4 3
·
的图象上，如右图所示。
2
·
结论 ： 等比数 an列 的图象是其对 1 应 ·的
第二课时
二、新课
1.什么是等比数列？
如果一个数列从第2项起，每一项与它的
前一项的比等于同一个常数，那么这个数
列叫做等比数列，这个常数叫做公比q.
数学语言表示为： a n 1 q 2.什么是等比中项？ a n
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做
G a与b的等比中项 ，即 a
b G
或G2
ab
定义说明：
否
由于 an 1 ， 这 个 数 列 是 等 比 数 列 ， n>5?
an1 2
其通项公式为:
an
（ 1 ）n1 2
是 结束
2n 3n 6 n
是
( 1 ）n 2
( 1)n 3
(1 )n 6
是
已知 an,bn是项数相同的等比数列， 求证 an bn是等比数列.
证明:设数列an 首项为a 1,公比为q 1;b n 首项为b 1 ,公比为q 2 那么数列 an bn的第n项与第n+1项 分别为：
a 1 q 1 n 1 b 1 q 2 n 1 与 a 1 q 1 n b 1 q 2 n 即为 a 1 b 1(q 1q 2)n 1与 a 1 b 1(q 1q 2)n
an an 1b bn n1aa11 bb11((qq11 qq22))nn 1q1q2.它是一个与n无关的常数，
所以 an bn是一个以 q1q2 为公比的等比数列
an a1 qn1 （n∈N﹡,q≠0）
2.由定义归纳通项公式
问：如何用a1和q表示第n项an 1.叠乘法（累乘法） 2.不完全归纳法
a2/a1=q a3/a2=q a4/a3=q …
an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 所以 an=a1qn-1
a2=a1q a3=a2q=a1q2 a4=a3q=a1q3 …
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
等比数列
an 1 an
q
q叫公比
an+1=an q
an=a1qn-1 an=amqn-m
变形结论: 变通公式
在等差数列 a n 中
anam(nm)d
(n, m N* )
试问：在等比数列 a n 中，如果知道 a m 和公
比q，能否求 a n ？如果能，请写出表达式。
结束
开始
解 ： 若 将 打 印 出 来 的 数 依 次 记 为
a1(即 A),a2,a3,......, 则：a1 1，
a2
a1
1 2
1, 2
a3
a2
1 2
1 4
,
a4
a3
1 2
1, 8
a5
a4
1 2
1, 16
A=1 n=1 输出A n=n+1
可得递推公式： a1
1, 1
an 2an1(n1)
A=1/2A