《基本概念与运算法则》史宁中

小学数学教学中的若干问题

史宁中

东北师范大学数学与统计学院

目录

前言

第一部分数的认识

问题1数量是什么？数量关系的本质是什么？

数量是对现实生活中事物量的抽象 / 数量关系的本质是多与少

问题2如何认识自然数？

数是对数量的抽象/ 数关系是对数量关系的抽象：大与小 / 可以有两种方法实现这种抽

象：对应的方法和定义的方法

问题3表示自然数的关键是什么？

十个符号和数位 / 数位法则是依次相差十倍 / 自然数集合

问题4如何认识自然数的性质？

依据性质可以对自然数进行分类 / 奇数与偶数 / 素数与合数

问题5如何认识负数？

负整数是与自然数数量相等意义相反的数 / 绝对值表示数量

问题6如何认识分数？

分数本身是数而不是运算 / 整体与等分关系/ 整比例关系

问题7如何认识小数？

对应的方法 / 重新理解十进制 / 基底与线性组合 / 表示有理数与无理数问题8什么是数感？

数与现实的联系 / 抽象的核心是舍去现实背景 / 联系的核心是回归现实背景

第二部分数的运算

问题9如何解释自然数的加法运算？

可以有两种方法解释加法：对应的方法和定义的方法 / 如何体现数学思想问题10为什么说减法是加法的逆运算？

四则运算源于加法 / 减法是加法的逆运算 / 相反数/ 整数集合

问题11 乘法是加法的简便运算吗？

自然数集合上的乘法 / 乘法运算的性质 / 整数集合上的乘法不是加法的简便运算

问题12整数集合上的乘法是如何得到的？

整数集合上的乘法运算是一种推广 / 为什么负负为正 / 运算与算理等价问题13为什么说除法是乘法的逆运算？

如何表示除法 / 得到的商是一个整数 / 得到的商不是整数 / 倒数 / 有理数集合问题14 为什么混合运算要先乘除后加减？

运算次序的两个基本法则 / 所有混合运算都是在讲述两个以上的故事问题15 为什么要学习估算？

精算有利于培养抽象能力 / 估算有利于培养直观能力 / 估算问题要有合适的实际背

景：合适的量纲 / 大多数的估算问题是为了得到上界或者下界

问题16 什么是符号意识？

用字母表示数 / 代数学的开始 / 两类符号：概念符号和关系符号 / 基于符号的运算/

符号的表达具有一般性

问题17 方程的本质是什么？

用字母表示未知的量 / 讲述的是现实世界中的两个故事 / 两个故事的共同点 / 要用等

式的性质解方程

问题18什么是模型？小学数学中有哪些模型？

用数学的语言讲述现实世界中一类与数量有关的故事 / 总量模型 / 路程模型 /植树

模型 / 工程模型

问题19发现问题和提出问题有什么不同？

从双基到四基 / 发现问题与创新意识 / 提出问题与创新能力

第三部分图形与几何

问题20为什么要把“空间与图形”修改为“图形与几何”？

时间和空间是人类认识世界最为基本的概念 / 几何学是研究如何构建空间度量方法的

学科 / 欧几里得几何是平直的 / 欧几里得几何的核心是直线距离

问题21如何理解点、线、面、体、角？

看到的物体都是立体的 / 点、线、面、体、角是从立体图形中抽象出来的概念 / 如何用

描述的方法给出几何概念

问题22认识图形的教育价值是什么？

更重要的是让学生学会分类 / 制定标准和遵循标准 / 培养学生的抽象能力问题23如何理解长度、面积、体积？

长度是一维空间图形的度量 / 面积是二维空间图形的度量/ 体积是三维空间图形的度

量 / 度量的基础是直线距离

问题24如何理解平移、旋转、轴对称？

图形的运动 / 保持两点间直线距离不变：刚体运动 / 运动的参照物问题25如何理解空间观念和几何直观？

空间观念的本质是空间想象力 / 直观是对事物的直接判断因此是经验层面的 / 直观能

力的养成依赖本人参与其中的思维活动 / 几何直观不限于几何甚至不限于数学

第四部分统计与概率

问题26：为什么要强调数据分析观念？

统计学研究的基础是数据 / 描述数据分析/ 推断数据分析 / 通过样本推断总体问题27：三种统计图之间有什么共性和差异？

直观地表述数据是三种统计图的共性 / 条形统计图表述数量的多少 / 扇形统计图表

述数量的比例 / 折线统计图表述数量的变化

问题28：如何理解数据的随机性？

随机性与不确定性有所区别 / 减少系统误差/ 减少人为因素 / 估计是统计推断的重

要手段 / 最大似然估计/ 通过样本频率估计概率

问题29：平均数的意义是什么？

样本平均数不仅是一个算式 / 误差模型 / 误差的随机性：正负抵消和为零 / 样本平均

数是随机的 / 样本平均数是无偏估计

问题30：什么是概率？如何得到概率？

概率是随机事件发生的属性 / 概率是未知的/ 估计概率 / 定义概率 / 定义概率是一

种度量 / 古典概率模型

附录1 若干与小学数学有关的话题

话题1 几种古代的数字符号

话题2数量的本质

话题3 数量多少的比较

话题4十进制的自然数

话题5十二进制与六十进制

话题6公理体系定义的自然数

话题7 借助算术公理体系解释加法运算

话题8公理体系的必要性与数学证明的形式

话题9 加法运算和减法运算性质的证明

话题10 负数的意义

话题11 用符号表示分类

话题12 素数的故事

话题13 有理数与无理数

话题14 用反证法证明√2是无理数

话题15数学证明的思维过程

话题16逻辑推理的思维起点

话题17数学归纳法的逻辑基础

话题18 用小数定义有理数和无理数

话题19乘法的定义

话题20 除法运算规定0不能为除数

话题21 除数是分数时的除法运算

话题22 数学中的符号表达

话题23 路程模型：绝对时间和相对时间

话题24 几何学的由来

话题25 欧几里得《几何原本》

话题26 几何基本概念的进一步抽象

话题27 长度单位的确定

话题28 曹冲称象与浮力

话题29 统计学的由来

话题30 概率的定义和基于概率模型的估计

附录2 相关内容的教学设计

问题2“如何认识自然数”的相关教学设计

问题3“表示自然数的关键是什么”的相关教学设计问题4“如何认识自然数的性质”的相关教学设计

问题5“如何认识负数”的相关教学设计

问题6“如何认识分数”的相关教学设计

问题7“如何认识小数”的相关教学设计