第十讲 分解质因数(一)
北师大版小学数学五年级上册《分解质因数》知识点讲解突破
分解质因数知识精讲1.质因数和分解质因数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就是这个合数的质因数。
如30=2×3×5，2，3，5就是30的质因数。
把一个合数分解成若干个质数相乘的形式，这个过程就叫作分解质因数。
2.分解质因数的方法（1）分解法不断把这个合数分解成一个质数和另一个数相乘的形式，一直到最后都是质数为止，以把24分解质因数为例。
242 × 122 × 62 × 3上面第一步是把合数24分解成2×12，接着再把12分解成2×6，再把6分解成2×3，最后整理可得：24=2×2×2×3。
（2）短除法短除法是指不按一般的除法竖式格式书写，而是在被除数的左边写除数、在被除数的下面直接写出商的方法。
用短除法分解质因数时，从最小的质数除起，如果得到的商是质数，就把除数和商写成相乘的形式；如果得到的商是合数，就继续除，直到所得商是质数为止，最后把所有除数和最后的商写成连乘的形式。
如： 2 242 122 63因此，24=2×2×2×3。
易错易误点1.质因数分解不完全分解质因数时，容易出现分解的最后结果中仍有合数的情况。
如将36分解质因数的结果写成36=2×3×6。
这里，6是合数，不是质数，这是错误的，最后结果必须分解为全是质数的形式。
因此需要继续将6分解质因数，最后得到的结果应该是36=2×2×3×3。
2.用短除法分解质因数时除数不是质数如： 4 482 122 63所以48=4×2×2×3。
这里错在第一个除数4不是质数，所以这个分解质因数的结果是错误的，正确结果应该是48=2×2×2×2×3。
典型例题例1 请把56分解质因数。
解析：可以用分解法进行，即用分解的形式把56一步一步用整数乘法分解，直到全部分解为质数相乘的形式为止。
分解质因数的方法与技巧(用例子讲解分解质因数的步骤)
最近，五年级正在学习因数与倍数知识，许多同学反映分解质因 数对于他们来说有点难，能不能给他们总结归纳一些方法，让他们高 效率做出题目，今天老师就给大家总结一些方法，希望同学们能快速 掌握。 一、知识铺垫 1、因数和倍数：在整数乘法里，如果 a×b=c，那么 a 和 b 是 c 的因数， c 是 a 和 b 的倍数。 2、 为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数(一 般不包括 0)。但是 0 也是整数。 3、一个数的最小因数是 1，最大因数是它本身。一个数的因数的个数 是有限的。 4、一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数的倍数的 个数是无限的。 如果两个整数(a、b)都是另一个整数(c)的倍数，那么这两个整数的和 (a+b)也是另一个整数(c)的倍数。 5、 个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数。 个位上是 0、5 的数都是 5 的倍数。 个位上是 0 数既是 2 的倍数，也是 5 的倍数。 一个数各个数位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
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(1)利用乘法口诀 (2)抓住数的特点 (3)熟记质数表(见前两篇文章中——100 以内质数歌) 课后练习： 1， 把 12 分解质因数后求全部因数。 2.把 80 分解质因数后求全部 因数。 3.四个连续自然数的积是 360，求这四个自然数。 4.四个连续奇数的积 3465，求这四个数。 5，三个连续偶数的积是 960，这三的偶数的和是多少? 6，学区举行团体操表演，有 1430 名学生参加，分成人数相等的若干 队，要求每队人数在 题意，每队人数×队数=1430，每队人数在 100 至 200 之间，所以问题相当于求 1430 有多少个在 100 至 200 之间的约数。 先把 1430 分解质因数， 得 1430=2×5×11×13。 从这四个质数中选若干个，使其乘积在 100 到 200 之间，这是每队人 数，其余的质因数之积便是队数。 2×5×11=110，13; 2×5×13=130，11; 11×13=143，2×5=10。 好了，今天就分享到这里，希望孩子们能顺利掌握。
高思数学_5年级上第10讲约数、倍数初步(彩色)
高
思
5400 共有多少个约数？求出所有约数乘积的质因数分解
教
在数字较小的时候，可以利用配对法进行枚举，当数比较大的时候，利用公式就会
育
63
五 年 级
上册第 10 讲
有奇数个，它的所有质因数的指数加 1 就都得是奇数，即每一个质因数的指数都是偶数． 例如：4 = 22 ， 400 = 24 × 52 ， 90000 = 24 × 32 × 54 ，…… 不难看出 4、36、400、90000 这些数都是完全平方数．原因就在于它们所含的每个 质因数，其指数都是偶数． 关于平方数和约数个数之间的关系，我们有如下的结论： 含有奇数个约数的数是完全平方数，含有偶数个约数的数不是完全平方数． 如果一个数不是完全平方数，它的所有约数刚好可以配对，而且每一对的乘积都是 这个数本身． 对于完全平方数，我们可以按如下方法计算其所有约数的乘积．36 是一个完全平方 数，它的所有约数有 9 个．其中除了 6 以外，另 8 个约数可以配成 4 对，积为 4 个 36 相 乘．所以 36 的所有约数乘积是 36 × 36 × 36 × 36 × 6 = 69 ．
例题 3
数的约数个数多 1．这两个数分别是多少？
数，2800 的约数中哪些数有奇数个约数呢？
练习
3. 两数乘积为 2100，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数的 2 倍还多 1．这两个数分别是多少？ 下面， 继续来学习公约数与公倍数的概念．顾名思义， 公约数就是几个数公共的约数， 其中最大的一个称为最大公约数； 公倍数就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为 最小公倍数．特别地，1 为所有数的公约数． 通常，我们把两个数 a、b 的最大公约数记为 (a , b ) ； a、b 的最小公倍数记为 [a , b ]． 三个数 a、b、c 的最大公约数记为 (a , b , c ) ； a、b、c 的最小公倍数记为 [a , b , c ] ． 求几个数的最大公约数与最小公倍数，常用的方法有如下几种： 短除法、分解质因 数法、辗转相除法． 分解质因数的方法比较实用， 也利于我们分析数的构成， 所以本讲将重点讲解这种办法：
北京版数学五下《分解质因数》WORD教案
北京版数学五下《分解质因数》WORD教案教案：分解质因数一、教学目标：1.理解质数和合数的定义。
2.学会使用分解质因数的方法，将一个自然数分解为质因数的乘积。
3.能够应用所学的知识解决实际问题。
二、教学内容：1.质数和合数的定义。
2.分解质因数的方法。
3.实际问题的应用。
三、教学重难点：1.理解质数和合数的定义。
2.掌握分解质因数的方法。
四、教学过程：1.导入新课：（1）简单复习上节课的内容，提问学生一些简单的问题，引导学生思考质数和合数的概念。
（2）告诉学生本节课的学习目标：学会分解质因数的方法。
2.讲解质数和合数的概念：（1）引导学生回顾质数和合数的定义，并总结质数的特征（只有1和自身两个因数）和合数的特征（有除1和自身以外的其他因数）。
（2）通过示例和讲解，让学生理解质数和合数的区别。
比如：2、3、5、7是质数，4、6、8、9是合数。
（3）板书质数和合数的定义和示例。
3.学习分解质因数的方法：（1）向学生介绍分解质因数的概念，并说明分解质因数的意义和重要性。
（2）通过示例和讲解，教给学生分解质因数的步骤：①找到一个质数因子；②用这个质数因子除以给定的自然数；③如果可以整除，则继续用商进行步骤①和②，直到无法整除为止；④找下一个质数因子，重复步骤①、②和③，直到将原始数分解成一个或多个质数的乘积。
（3）通过一些简单的例题，让学生掌握分解质因数的方法。
4.提高拓展：（1）让学生自己尝试分解一些给定的自然数的质因数。
（2）教师巩固学生对质数和合数的理解，进行小结。
5.实际问题的应用：（1）通过一些实际问题，让学生应用所学的知识解决问题。
（2）提问学生如何使用分解质因数的方法解决问题，鼓励学生分享自己的思路和答案。
6.课堂练习：（1）让学生在课堂上完成一些练习题，检查他们对于分解质因数的掌握程度。
（2）教师及时纠正学生的错误，对于不会的问题进行解答。
7.课堂总结：（1）归纳学生所学的知识点，复习质数和合数的定义以及分解质因数的方法。
讲义：分解质因数应用题、2的偶质性(北师大版五年级上册、备战小升初)
大脑体操小华是一名小学五年级学生，他参加了全校举办的数学竞赛，同学问：“这次数学竞赛你得了多少分?在60人中获得了第几名?”小华说：“我的分数和名次、年龄都是质数,它们的乘积是2134,你知道我的成绩和名次各是多少吗?”解：一分：先将2134分解质因数，得2134=2×11×97二凑：小华上五年级，年龄应该是11岁，60人参加竞赛，不会排第97名，所以得了第2名，分数为97分。
1、一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。
2、把一个“合数”，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如：24=2×2×2×3。
3、把一个数分解成质因数相乘的形式，是启发我们解决很多问题的突破口。
1、掌握分解质因数类题型“一分二凑”的解题思路（分解后再组合）。
2、掌握用“凑对法”寻找一个数所有因数的解题方法。
3、掌握考察“2的偶质性”类分解质因数题型。
题型一：一分二凑（分解后再组合）例题1 写出若干个连续的自然数，使它们的乘积是15120解：一分：先把15120分解质因数，进而组合（凑）因数，使几个因数成为连续的自然数。
15120=2×2×2×2×3×3×3×5×7二凑：=5×（2×3）×7×（2×2×2）×（3×3）=5×6×7×8×9例题2王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组，如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植树了539棵。
这个班有多少学生？每人植树多少棵？解：一分：539=7×7×11二凑：如果每人植数7棵，这个班就有7×11-1=76人，一个班一般不会有76人，所以每人植树11棵，一共有7×7-1=48人。
分解质因数
分解质因数同学们，你们好！在这一讲中，我们一起来研究“分解质因数”的知识。
（一）阅读思考同学们都知道：一个合数可以写成几个质数相乘的形式。
例如：，2、2、3都叫做合数12的质因数。
把一个合数写成质数相乘的形式，叫做分解质因数。
对于一个合数，它只有一种分解质因数的方法。
例1. 有两个两位数的乘积是3927，这两个两位数的和是多少？分析与解答：把这两个两位数相乘，也就等于把这两个数各自的质因数相乘。
我们可以先把3927分解质因数：，再把这4个质因数搭配组合成两个两位数：，那么，这两个两位数的和是：。
例2. 将55名同学用船渡过河，已知每条船载的人数相等，且最少载5人，最多载12人，问应有多少条船？每船载多少人？分析与解答：我们可以先看看55能被哪些数整除。
可以先把55分解质因数，所以55能被1、5、11和55整除，其中5和11在5~12之间。
所以有两种可能：11条船——每条载5人。
5条船——每条载11人。
例3. 求294000有几个约数？分析与解答：这是一个六位数，如果我们用列举法把它的约数一一找出来，会很麻烦。
所以今天就给同学们介绍一个很简单的方法，但要先把294000分解质因数。
，也就是有4个2，1个3，3个5，2个7。
根据294000各种质因数的个数，我们就可以计算出它有个约数。
如果总结一下方法，就是：一个大于1的整数的约数的个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的指数加上的和的连乘积。
（二）尝试体验：（答题时间：45分钟）1. 学校商店出售每支5角的铅笔，没有人买，但降价后，一下子把全部铅笔都卖光了，共计卖得31.93元，问每支降价多少元？共卖了多少支铅笔？2. 四个小朋友的年龄，一个比一个大1岁，他们年龄的乘积是11880，你能算出四个小朋友各多少岁吗？3. 把20、26、33、35、39、42、44、55、91这九个数分成三组，每每组三个数的乘积都相等。
4. 4410和924各有多少个约数？5. 12345678987654321的除本身以外最大的约数是多少？6. 有四个数相乘，（）要想使四个数的乘积末尾有5个0，括号中的数最少是多少？【试题答案】（二）尝试体验：1. 学校商店出售每支5角的铅笔，没有人买，但降价后，一下子把全部铅笔都卖光了，共计卖得31.93元，问每支降价多少元？共卖了多少支铅笔？有103支铅笔，每支降价19分，合0.19元。
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小学五年级奥数全册讲义第1讲数字迷(一)第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
小升初必考专题：分解质因数(讲义)-数学六年级下册-全国通用(含答案)
分解质因数定义：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如，12＝2×2×3。
部分特殊数的分解：111＝3×37；1001＝7×11×13；11111＝41×271；10001＝73×137；1995＝3×5×7×19；1998＝2×3×3×3×37；2007＝3×3×223；2008＝2×2×2×251；2007＋2008＝4015＝5×11×73；10101＝3×7×13×37。
特别注意：将一个数分解质因数时通常把相同质因子写成指数形式，这对求这个数的约数个数或者所有约数的和来说，很重要。
例如：120＝23×3×5，而不写成：120＝2×2×2×3×5。
例1975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？例2已知，a、b、c、d、e这5个质数互不相同，并且符合下面的算式：(a＋b)(c＋d)e＝2890，那么，这5个数当中最大的数至多是______。
一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是_____厘米。
例4已知两个大于1的数互质，它们的和是5的倍数，它们的积是2924，那么它们的差等于_____。
例5有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140。
如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？例6在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872。
数论班讲义
第一讲整除特征（1）[知识要点]数的整除特征：（1）末位数字是偶数的能被2整除；末位数字是0或5的能被5整除；末两位是4或25的倍数的能被4或25整除；末三位是8或125的倍数的能被8或125整除。
（2）各位数字之和能被3或9整除的数能被3或9整除。
（3）如果一个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
（4）一个数分成两个数：末三位为一个数，其余各位为一个数，如果这两个数之差能被7、11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除。
例1、（1）六位数43256□能被4整除，□里应当填几？（2）33690□中，□内填上几，这个数能被25整除？（3）125745□中，□中填上几，这个数能被8整除？例2、在□内填上适当的数，使得下列五位数能被9整除1849□716□2 3□757例3、用1，2，3，4，5，6这六个数中的四个组成一个四位数，它是4的倍数且最大是多少？最小是多少？例4、六位数23□56□是8的倍数，也是9的倍数，这个数是几？例5、小明的生日是2月29日，他2010年能否过生日？例6、在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.例7、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？例8、试找出这样的最小自然数,它可被11整除,且它的各位数字之和等于13.练习:1．四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2．已知四位数7**1能被9整除，*代表相同的数，问*代表几？3．□32347中，□内填上几能被9整除？4．在□内填上适当的数，使得下列五位数能被9整除，并且后两位数字能被7整除，求出所有的可能情况。
□81□4 32□3□5．能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.6．能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.7．1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.8．所有能被3整除的两位数的和是______.第二讲整除性质例题分析：例1，（1）试判断123453与2376能否被11整除，由此125829能否被11整除。
小学思维数学讲义：分解质因数(一)-含答案解析
分解质因数（一）1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分解质因数【例 1】 分解质因数20034= 。
【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分【解析】 原式323753=⨯⨯⨯【答案】323753⨯⨯⨯例题精讲 知识点拨 教学目标【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【解析】 210分解质因数：2102357=⨯⨯⨯，可知这三个数是5、6和7。
八年级奥数-第十讲：因式分解的应用
(52 4)(92 4)(132 4)(172 4)(212 4)(252 4)(292 4)(332 4)(372 4)(412 4) 原式 2 (1 4)(52 4)(92 4)(132 4)(172 4)(212 4)(252 4)(292 4)(332 4)(372 4) 412 4 2 337. 1 4
• • • • •
不妨设 x y z, 因x、y、z为正数，对于不等式①，只能有如下两种情况： 1．左边的三个因式都大于0； 2．左边的因式为二负一正． 只要我们能推出第一种情况成立，则原命题成立，但直接证 比较困难，现假设不等式①左边三个因式为二负一正，则有：
• 这与所设X≥y≥z矛盾，于是可知不等式①左边三个因式不能 为二负一正，故只能是不等式①左边三个因式都为正， • 即有：y+z>z，z+x>y，x+y>z成立， • 所以原命题得证， • 即以x、y、z为长度的三条线段能构成一个三角形，
• 任何数的N次方都有如下规律:x的(4k+1)次 方,(4k+2)次方,(4k+3)次方,(4k)次方个位数 分别相同,比如： • 2^1=2,2^5=32,2^9=512,个位数都是2. • 1985=4×496+1,1949=4×487+1,所以,任 何数的1985或1949平方,个位数都相同,所 以10可以被两数差整除.
4 4 4 4
2
64) . 4 4 4 4 4 (3 64)(11 64)(19 64)( 27 64)( 335 64)
4
解 : a 4 64 a 4 16a 2 64 16a ( a 2 8) 2 16a 2 ( a 2 4a 8)(a 2 4a 8) [(a 2)2 法扫描
2014下第十讲第三章最大公约数和最小公倍数的求法和应用1
N+
• 定理4 任何一个大于1的整数都可以分解质因数. • 例如 35=5×7；27=32 ； • 108=22×32 =32×22 =3×3×2×2 ，但是108=22×32 是标准分解式. • 定理5 一个大于1的整数,如果不论质因数的次序，那么分解质因数的 结果是唯一的. • （这个定理叫做算数基本定理）
•
• （3）质数的判别方法 • 方法1 查表法; 把1000以内的质数列出表，需要时查表即可.
• 方法2 试除法 • 如果没有质数表，可以用试除法给出.即用质数去试除,能用数的 整除性特征判断直接用数的整除性特征判断. • 例 判断197是不是质数. • 解：可以用2、3、5、7、11...等质数去试除（能用数的整除特征直 接判断的就不必试除）. • 用数的整除特征直接可以判断197不能被2、3、5、7、11、13... 整除； • 由于13下一个质数是17，而197÷17=11（余10），所以197也不 能被17整除. • 由于用17去除所得的商比17小，所以就可以断定197不能被比17 大的整数整除. • 这是因为如果有比17大的质数整除197，那么所得到的比17小的
• 互质数：如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数是互质数. • 即对于两个自然数m,n,如果（m,n）=1,那么m与n互质.(7,2)=1 • 例如∵ (2,3)=1, ∴2与3互质,或者说2与3是互质数； • ∵ (1,2)=1, ∴1与2互质； • ∵ (11,18)=1, ∴11与18互质.
10 2700 7560 9 270 756 2 30 84 15 42
3960 396 44 22
• 定理2 如果第一个数能被第二个数整除，那么这两个数的最大公约数 就是第二个数. • 如果 b∣a,那么（a,b）=b. • 例如 （3，21）=3；（11,121）=11；（15，75）=15.
分解质因数讲义
分解质因数【适用场景】沪教版--六年级上册--新课【知识定位】分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。
分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。
【知识梳理】1.质数、合数的定义：问：1的约数有：1；2的约数有：1，2；3的约数有：1，3；4的约数有：1，2，4；6的约数有：1，2，3，6；7的约数有：1，7；12的约数有：1，2，3，4，6，12；……从上面各数的约数的个数中我们可以看到：一个自然数的约数的个数有三种情况：①只有一个约数的，如1。
因此，1不是质数，也不是合数。
②只有两个约数的（1和它本身），如2，3，7……③有两个以上约数的，如4，6，12……所以，我们将属于第__②__种情况的，即：除了1和本身以外，不再有别的约数，这样的数叫做质数。
我们将属于第__③__种情况的，即：除了1和本身以外，还有别的约数，这样的数叫做合数。
2.质因数：如果某个质数是一个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数。
我们观察下面这些式子：4=1×2×2；6=1×2×38=1×2×2×2；10=1×2×5；12=1×2×2×3；……从上面各数的约数的情况中我们可以看到：一个合数最终总是能被写成质数相乘的形式，这里，我们就将这些质数叫做这个合数的质因数。
例如：18=2×3×3这里的2、3、3都是18的因数，而2和3本身又都是质数，于是我们就把2、3、3叫做18的质因数。
这里需要注意的是：18也可以写成3与6的乘积，即：18=3×6，无疑3和6都是18的因数，但3本身是质数，可以称做18的质因数，而6是合数，则不能称做6是18的质因数。
3.互质数：两个或几个自然数，当它们的最大公约数是1的时候，这两个或几个数，就叫做互质数（也叫互素数）。
小学思维数学讲义：分解质因数(一)-含答案解析
分解质因数（一）1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分解质因数【例 1】 分解质因数20034= 。
【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分【解析】 原式323753=⨯⨯⨯【答案】323753⨯⨯⨯例题精讲 知识点拨 教学目标【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【解析】 210分解质因数：2102357=⨯⨯⨯，可知这三个数是5、6和7。
分解质因数(1)
分解质因数（一）【专题剖析】质因数:如果一个质数是某个数的因数,那么就说这个质数是这个数的质因数。
互质数:公因数只有1的两个自然数,叫做互质数。
分解质因数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
例如:30=2×3×5.其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12=2×2x3=2的22x3，2、3都叫做12的质因数,其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数因数的个数和因数的和的时候都要用到这个标准式。
分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。
2、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即：n=其中为质数,a1<a2< …… < a k为自然数，并且这种表示是唯一的，该式称为n的质因子分解式。
例如;三个连续自然数的乘和是210,求这三个数。
分析: ∵210=2×3×5×7,∴可知这三个数是5、6和73、部分特殊数的分解111=3×37；1001=7×11×13；1111=41×271；10001=73×137；1995=3×5×7×19；1998=2×3×3×3×37；2007=3×3×223；2008=2×2×2×251；10101=3×7×13×37。
4、若自然数N分解质因数的结果是N= ,其中P1P2P3…P n为互不相同的质数,r1r2r3…r n为自然数,且分别是P1P2P3…P n的指数,那么：N的因数个数是:(r1+1) x (r2+1)x(r3+1)x…x(r n+1)。
N的所有因数和是:(1+P1+如果一个数是某一个质数的平方,那么这个数只有3个因数。
分解质因数的例题讲析
分解质因数的例题讲析分解质因数的例题讲析分解质因数的例题讲析分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。
分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。
*例1 ABC×D=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D代表不同的数字，ABC是一个三位数。
求ABC代表什么数？（适于六年级程度）解：因为ABC×D=1673，ABC是一个三位数，所以可把1673分解质因数，然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是ABC所代表的数。
1673=239×7答：ABC代表239。
例2 一块正方形田地，面积是2304平方米，这块田地的周长是多少米？（适于六年级程度）解：先把2304分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数，每组质因数的积就是正方形的边长。
2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3因为，105=3×5×7，所以，含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个；含有两个质数的乘积的约数有3×5、3×7、5×7共3个；含有三个质数的乘积的约数有3×5×7共1个。
所以，105的约数共有4+3+1=8个。
答略。
*例5 把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组，使每组三个数的乘积都相等。
这三组数分别是多少？（适于六年级程度）解：将这九个数分别分解质因数：15=3×522=2×1130=2×3×535=5×739=3×1344=2×2×1152=2×2×1377=7×1191=7×13观察上面九个数的质因数，不难看出，九个数的质因数中共有六个2，三个3，三个5，三个7，三个11，三个13，这样每组中三个数应包括的质因数有两个2，一个3，一个5，一个7，一个11和一个13。
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第十讲：分解质因数问题
一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。
而把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
分解质因数除了可以约分外，还可以解决许多的实际问题，尤其是分成几个数相乘。
例1、实验小学四年级180人参加体操表演，表演时要有队形变换，但因场地有限，要求每队人数控制在15到45人之间，问共有几种队形变化？
练1、195名同学排成长方形队列，要求行数和列数都必须大于1，共有几种排法？
练2、筐里有100个苹果，如果不是一次全部拿出，也不一个一个的拿出，但每次拿出的个数都相等，并且最后一次正好全部拿完，共有几种方法？
练3、用120个大小相等的正方形，拼成一个长方形，共有多少种不同的方法？
例2、写出若干个连续的自然数的，使它们的乘积是15120.
练1、有4个小朋友，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，4个人的年龄乘积是3024，这4个小朋友中排行第三的是几岁？
练2、已知4个连续的奇数的乘积是19305，求这4个奇数各是多少？
练3、要使（）×15×19×125×30的积的末尾有四个0，（）里最小应是几？
练3、有一个长方体的长宽高是三个连续的自然数，且体积是39270立方厘米，求长方体的占地面积？
例3、把下面八个数平均分成两组，使这两组的几个数的乘积相等？
2、5、14、24、27、55、56、99
练1、把39、45、49、56、60、70、78、84、91这几个数平均分成三组，使每组中的三个数相等
练2、已知有三个自然数，a×b=35,b×c=63, c×a=45，求a×b×c=?
例4、王老师带领学生去植树，学生恰好能分成4组，如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植树539棵，这个班级共有多少名学生？每人植树多少棵？
练1、李老师带领能排成两列纵队，并且每列人数相等的同学去植树，已知同学们每人植树棵树相等，李老师植树棵树是一个同学的3倍，全体师生共植树111棵，有多少同学？每人植树多少棵？
练2、小明去看电影，已知他买的票的排数与座位号乘积是391，而且排数比座位号大6，则小明买的是几排几号？
例5、下面算式里，（）里数字各不相同，求这四个数字的和
（）（）×（）（）=1995
练1、在下面的括号里，各填入一个数字，使算式成立
（）（）（）×（）=1995
练2、下面括号里是4个连续的偶数，请写出下列完整的算式
（）（）×（）（）=1288练3、在下列括号里填上适当的数字，使下列竖式成立
（）（）
×（）（）
1 6 5 3
练4、把1、2、3、4、5、6、7、8、9填入（）内，每个数字只能用一次，使下面的等式成立？
（）（）（）×（）（）=（）（）×（）（）=5568
※用340张纸，由少到多的装订不同的练习本，已知第一本16页，以后每本都比前一本多4页，问最后一本多少页？
练习、电影院共有380个座位，已知第一排有18个，以后每一排都比前一排多2个座位，问最后一排有多少座位？。