导数与数列

导数与数列的综合应用

导数引入中学数学教材，给传统的中学数学内容注入了新的生机与活力，怎样利用导数这一工具重新认识原中学数学课程中的有关问题并为其研究提供新的途径和方法，是当今中学数学教学中的新课题之一。纵观各类刊物，对导数的研究多都停留在函数，解析几何等内容上，而对其他方面关注甚少，本文从一个侧面，介绍导数在一类数列求和问题中的应用，以开阔视野。

一．利用导数求数列之和

例1 1x ≠求下列数列之和：

（1）21123n x x nx -+++

； （2）22221123n x x n x -+++

（3）sin 2sin 23sin 3sin x x x n nx ++++

二．利用导数证明数列不等式 例2：对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.如

果函数有且仅有两个不动点、，且. （Ⅰ）试求函数的单调区间；

（Ⅱ）已知各项不为1的数列满足14()1n n

S f a ⋅=，求证：； （Ⅲ）在（2）中，设，为数列的前项和，求证：.

()f x 0x R ∈00()f x x =0x ()f x 2()(,*)x a f x b c N bx c

+=∈-021(2)2f -<-()f x {}n a 1111ln n n n a n a ++-<<-1n n

b a =-n T {}n b n 200820071ln 2008T T -<<

练习．

1已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为 (0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．

（1）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；

（2

）证明：13521n n n x x x x x y -⋅⋅⋅<

<．

2【2014·陕西卷（理21）】设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.

（1）11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式；

（2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；

（3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n ++

+与()n f n -的大小，并加以证明.