导数与数列

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导数与数列结合题目

导数与数列结合题目一、背景介绍数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按特定规则排列的数构成。

数列的性质和规律对于数学的发展和应用有着重要的影响。

而导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

导数的计算和性质对于函数的研究和应用有着重要的意义。

在数学学习中，我们常常会遇到一些题目涉及到导数和数列的结合。

这些题目既考察了对导数和数列的理解，也考察了学生的解题能力和思维灵活性。

本文将介绍一些常见的导数与数列结合题目，并通过具体的例子进行说明和解答。

二、题目示例题目1：数列的导数已知数列 {an} 满足 an = 2n + 1，求数列的导数{a’n}。

解答：首先，我们需要知道数列的导数的定义。

对于数列 {an}，其导数{a’n} 的定义为：a’n = limh→0 (an+h - an) / h代入题目给定的数列 {an} = 2n + 1，得到：a’n = limh→0 ((2(n+h)+1) - (2n+1)) / h化简上式得：a’n = limh→0 (2h) / h由此可知，数列的导数{a’n} = 2。

题目2：数列的极限与导数已知数列 {an} 满足 a1 = 2，an+1 = an + 3 / an，求数列的极限。

解答：首先，我们先对数列 {an} 进行求导。

令 f(x) = x + 3 / x，根据导数的定义，有：f’(x) = limh→0 (f(x+h) - f(x)) / h代入 f(x) = x + 3 / x，得到：f’(x) = limh→0 ((x+h + 3 / (x+h)) - (x + 3 / x)) / h化简上式得：f’(x) = limh→0 (3h / (x(x+h))) / h通过化简，得到f’(x) = 3 / x^2。

接下来，我们考察数列 {an} 的极限。

根据题目中给定的递推关系式，我们可以得到数列 {an} 的通项公式：an = an-1 + 3 / an-1化简上式得：an^2 = an-1^2 + 3进一步推导，可得：an^2 - an-1^2 = 3再次化简，可得：(an + an-1) * (an - an-1) = 3由此可知，数列 {an} 是一个有界数列，其极限存在。

导数在数列极限中的应用

导数在数列极限中的应用数列极限是数学中一种重要的概念，它可以帮助我们理解数学关系的本质，以及不同类型的数量间的联系。

导数在数列极限中也扮演着重要的角色。

其主要作用是描述数列中变化量的大小，从而使我们能够更好地分析数列的特征。

一般而言，导数可以是正数、负数或零。

当导数为正数时，数列的变化量是增大的，而当导数为负数时，数列的变化量是减小的。

此外，当导数为零时，数列的变化量是不变的。

这就是导数在数列极限中的应用函数的变化率可以用它来表示。

在数学分析中，导数还可以用来分析数列的特征。

例如，给定一个数列，当其第一项的导数大于零时，该数列一定是单调递增的；反之，当其第一项的导数小于等于零时，该数列一定是单调递减的。

此外，当一个数列的第二项的导数大于零时，该数列的变化量会越来越快，而当其第二项的导数小于零时，该数列的变化量会越来越慢。

这种性质很重要，因为它可以帮助我们更好地理解数列特征，从而使我们能够对特定数列进行更有效的分析。

此外，在研究极限和连续函数时，导数也可以发挥重要作用。

我们知道，连续函数在极限中是无穷小量，如果我们知道连续函数的导数值，那么就可以算出该函数的递增量，从而更好地理解其变化特征。

另外，导数在应用极限的概念时也有重要的作用。

在某些情况下，我们可以用导数来计算一个函数的极限。

这一点非常重要，因为极限有助于我们确定数列的构成以及数量的变化趋势。

总之，导数在数列极限中发挥着重要的作用。

它不仅可以帮助我们了解数列的特性，还可以用来计算连续函数的极限。

对于数学家而言，导数就像一个分析数学关系的桥梁，使我们能够理解更多的数学知识。

综上所述，导数是一种重要的数学概念，它在数列极限中的应用十分广泛。

要想更好地了解数列特征，必须熟练掌握导数的概念和计算方法，以及对导数的运用等方面的知识。

高中数学《导数和数列综合证明 (1)》导学案

高中数学《导数和数列综合证明（一）》导学案例2：已知：x x <+)1ln(2，（1）求证：）*2222()21...(81)41)(21(N n e n ∈<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++（2）求证：*2()311)...(8111)(911(N n e n ∈<+++）（3）求证：（1+421）（1+431）…（1+41n）＜e )211ln(......)411ln()211ln()]211)...(411)(211ln[()1ln(12222222n n x x ++++++=+++∴<+ ）（e n n n n <+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++<)211)...(411)(211(12112112112121 (814121222),)311)...(8111)(911(21311213113113131......3131)311ln(......)8111ln()911()]311)...(8111)(911ln[(2212222e e n n n n n n =<+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++<++++++=+++∴）（（3）ln[（1+421）（1+431）……(1+41n )]=ln[（1+421）（1+431）+…ln （1+41n ）＜221+231+…+21n＜)1(1321211-+⨯+⨯n n =1-21+21-31+…+n n 111--=1-n 1＜1∴（1+421）（1+431）……(1+41n )＜e 例3：设曲线y = f (x ) =cx bx x a ++23213在点x 处的切线斜率为k (x )，且k (-1) = 0.对一切实数x ，不等式).0()1(21)(2≠+≤≤a x x k x 恒成立（1）求f (1)的值；（2）求函数k (x )的表达式；（3）设数列)(1n k 的前n 项和为S n ，求证22+>n nS n解：（1）04)1(,0,00)(222≤--≤∆>∴≥-++++=ac b a x c bx ax c bx ax x k ①0)21)(21(4,0,021,02121222≤---≤∆<-∴≤--++c a b a x c bx ax ②又,4)1(1)1(),11(21)1(12a cb a k k k =++==∴+≤≤ 又1270)1(41=∴=∴f a（2）)0()(2≠++='=a c bx ax y x k ，由0)1(,1)1(=-=k k 得⎩⎨⎧=+-=++01c b a c b a 得⎪⎩⎪⎨⎧==+2121b c a 又)1(21)(2+≤≤x x k x 恒成立，则由)0(0212≠≥+-a c x ax 恒成立得410402141==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+≤-=∆>c a c a ac a 同理由02121)21(2≥-++-c x x a 恒成立得41==c a 综上，21,41===b c a 412141)(2++=∴x x k（3）∑=+++⨯+⨯>+++=ni n n n i k 122])2)(1(1431321[41])1(121[41)(1 22]2121[41+=+-=n n n 法二：和式代换，要证22+>n n S n ，即也证()1121+->-n n S n ，只需证：()()()21411222++=+--+>n n n n n n a n ，只需()()()21414)(12++>+=n n n n k ，且()322121114211=+>=+==S a ，故22+>n n S n。

高中数学专题练习《数列、导数知识点》含详细解析

数列、导数知识点一、等差数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即a n+1-a n =d(n∈N *,d 为常数).2.等差中项:由三个数a,A,b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项,且2A=a+b.3.通项公式:等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,则其通项公式为a n =a 1+(n-1)d.4.前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d(n∈N *).5.性质:(1)通项公式的推广:a n =a m +(n-m)d(m,n∈N *).(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N *),则有a m +a n =a p +a q .(3)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列.(4)数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn(A,B 为常数).(5)在等差数列{a n }中,若a 1>0,d<0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d>0,则S n 存在最小值.二、等比数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,即a n a n -1=q(n≥2,n∈N *,q 为非零常数).2.等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G,使a,G,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.此时,G 2=ab.3.通项公式:等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,则其通项公式为a n =a 1q n-1.4.前n 项和公式:S n ={na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q=a 1-a n q 1-q,q ≠1.5.性质:(1)通项公式的推广:a n=a m q n-m(m,n∈N*).(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有a k·a l=a m·a n.(3)当q≠-1或q=-1且n为奇数时,S n,S2n-S n,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为q n.三、求一元函数的导数1.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数) f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sin x f'(x)=cos xf(x)=cos x f'(x)=-sin xf(x)=a x(a>0,且a≠1)f'(x)=a x ln af(x)=e x f'(x)=e xf(x)=log a x(a>0,且a≠1)f'(x)=1xlnaf(x)=ln x f'(x)=1x2.导数的四则运算法则已知两个函数f(x),g(x)的导数分别为f'(x),g'(x).若f'(x),g'(x)存在,则有:(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).3.简单复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x =y'u ·u'x .四、导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增; 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. 2.函数的极值与导数条件 f'(x 0)=0x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0x 0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0图象极值 f(x 0)为极大值 f(x 0)为极小值极值点 x 0为极大值点x 0为极小值点3.函数的最大(小)值与导数(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值.(3)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.。

导数与数列不等式结合解题技巧

导数与数列不等式结合是数学中一个重要的解题技巧，它涉及到函数的单调性、极值、最值等概念，以及数列的单调性、不等式性质等知识。

下面是一些导数与数列不等式结合解题的技巧：
1. 构造函数：根据题目条件，通过构造适当的函数，将问题转化为求函数的极值或最值问题。

2. 求导数：对构造的函数求导数，利用导数的性质判断函数的单调性。

3. 利用单调性：根据函数的单调性，结合数列不等式的性质，推导出不等式的结论。

4. 寻找临界点：在求解过程中，寻找函数的临界点，这些点可能是极值点或拐点，对于解决问题至关重要。

5. 转化问题：在解决问题时，有时需要将问题转化为其他形式，例如将不等式问题转化为函数问题，以便更好地利用已知条件和解题技巧。

6. 综合分析：在解题过程中，需要综合运用数学知识，如函数、导数、数列、不等式等，进行全面的分析和推理。

7. 检验结论：在得出结论后，需要进行检验，以确保结论的正确性和合理性。

总之，导数与数列不等式结合解题需要灵活运用各种数学知识和技巧，通过构造函数、求导数、利用单调性等方法，逐步推导出问题的结论。

同时需要注意检验结论的正确性和合理性。

数列和函数的导数

数列和函数的导数导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。

在数学中，我们经常使用导数来研究数列和函数的性质。

本文将深入探讨数列和函数的导数，并介绍一些相关的概念和方法。

一、数列的导数数列是由一系列有序的数按照规律排列而成的序列。

对于数列中的每一个元素，我们可以计算其相邻两项之差，称为差分。

差分表示了数列的递推关系和变化趋势。

对于数列{an}，如果其相邻两项之差始终趋近于一个常数，即存在一个常数k，使得an+1 - an = k，那么我们称数列{an}是等差数列。

等差数列的导数为常数k。

同样地，如果数列{an}的差分an+1 - an 的极限存在，那么我们称这个极限为数列{an}的导数，并用an'表示。

数列的导数表示了数列的变化率和变化趋势。

二、函数的导数函数是一种将自变量映射到因变量的关系。

对于函数f(x)，我们可以通过求取其导数来描述函数在某一点的变化率。

函数的导数可以用以下两种方式表示：一阶导数和高阶导数。

一阶导数表示了函数在某一点的切线斜率，表示为f'(x)或df/dx。

高阶导数表示了函数的变化率变化率，表示为f''(x)、f'''(x)等。

使用导数的定义来计算函数的导数是一种常见的方法。

根据导数的定义，函数f(x)在点x处的导数可以表示为极限lim(x->a)[f(x) - f(a)]/(x- a)，其中a为x的一个邻近点。

另一个常用的方法是使用导数的性质和求导法则来计算函数的导数。

一些常见的求导法则包括：常数规则、幂函数规则、和差规则、乘积规则和商规则等。

通过运用这些规则，我们可以更便捷地计算函数的导数。

函数的导数在数学中具有广泛的应用。

它可以用来求解函数的极值、判断函数的增减性、研究函数的曲线形状等。

导数在物理学、经济学等领域也有着重要的应用价值。

三、数列和函数的关系数列和函数之间存在着密切的联系。

实际上，数列可以看作是一种特殊的函数，即定义域为自然数集的函数。

导数与函数的数列极限与级数

导数与函数的数列极限与级数在微积分学中，导数与函数的数列极限与级数是两个核心概念。

导数描述了函数在某一点上的变化率，而数列极限与级数则涉及了数列和无穷级数的性质与收敛性。

本文将深入探讨这两个概念以及它们之间的关联。

一、导数与函数导数是描述函数变化率的概念。

对于函数y=f(x)，在某一点x处的导数用f'(x)或dy/dx表示，表示函数在该点的瞬时变化率。

具体地，导数可以通过函数的极限来定义。

对于函数f(x)，x的增量为Δx时，其相应的函数增量为Δy=f(x+Δx)-f(x)。

当Δx趋近于0时，如果这个极限存在，就称函数在x处可导。

此时，导数f'(x)等于这个极限值。

导数的存在保证了函数在某一点的光滑性，反映了函数在该点的局部变化情况。

导数在数学和物理中都有广泛的应用，例如曲线的切线斜率、速度和加速度等。

通过导数的计算，我们可以推导函数的最值、拐点和凹凸性等重要信息。

二、函数的数列极限与级数数列极限是数列中每一个项趋近于某个值（可以是实数、无穷大或无穷小）的过程。

如果对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，数列的项a_n与极限L的距离小于ε，则称该数列收敛于L，记作lim(a_n)=L。

数列极限的性质包括唯一性、有界性和保号性等。

此外，数列的收敛性还可以通过逐项比较判别法、夹逼准则和拉链定理等方法来判断。

级数是由数列的项所组成的无穷和。

设有数列a_n，级数S_n=a_1+a_2+...+a_n。

如果数列S_n的部分和有极限，即lim(S_n)=S存在，则称级数收敛于S。

否则，级数发散。

常见的级数包括等比级数和调和级数。

等比级数是由等比数列的项所组成的级数。

当公比|r|<1时，等比级数收敛于a_1/(1-r)；当|r|>=1时，等比级数发散。

调和级数是由倒数数列的项所构成的级数。

调和级数发散，即无穷大。

三、导数与数列极限和级数的关联导数与数列极限和级数之间存在着紧密的联系。

导数、数列、不等式知识点

导数及其应用一．导数的概念：x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0'.二．导数的几何意义： (1) 导数的几何意义: 函数在y=f(x)在x 0处的导数，就是曲线y=f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f(x)在点P(x 0, f(x 0))处的切线斜率是)('0x f 。

相应地，切线方程为：))(('000x x x f y y -=-。

注：在导数几何意义的应用过程中，应注意几种关系：① 切点),(00y x P 在曲线上，即)(00x f y =；②切点),(00y x P 也在切线上； ③在切点处的切线斜率为)('0x f k = （2）求曲线过点),(00y x P 的切线方法：①设切点为),(11y x M ；②求导得)('1x f ；③列方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)()(')(1011011x x x f y y x f y ，解出x 1 ④点斜式写出切线方程：))(('000x x x f y y -=-注：曲线在P 点处的切线与曲线过点P 的切线不是同一个概念：前者P 点为切点；后者P 点可能是切点也可能不。

一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的切点。

三、导数的计算（1）常见函数的导数： 1．0='C 2．1)(-='n n nx x 3．xx e e =')( 4．a a a x x ln )(=' 5．1(ln )x x'= 6．a x e x x a a ln 1log 1)(log =='7．x x cos )(sin =' 8．x x sin )(cos -='（2）导数的四则运算1．和差：()u v u v '''±=± 2．积：v u v u uv '+'=')( 3．商：2)(v v u v u v u '-'=' 四、判断函数的单调性：设函数y=f(x)在区间（a ,b ）内可导（1）如果恒有0)('>x f ，则函数f(x)在区间（a ,b ）内为增函数；（2）如果恒有0)('<x f ，则函数f(x)在区间（a ,b ）内为减函数；（3）如果f(x)在区间（a ,b ）上递增（或递减），则在该区间内0)('≥x f （或0)('≤x f ）。

数列与导数高考知识点

数列与导数高考知识点1. 数列的概念与性质数列作为数学中重要的概念之一，是指按照一定规律排列的一组数。

数列可以是有限的或无限的，其中的每一个数称为该数列的项。

在高考中，数列作为必考的知识点，具有以下重要性质：1.1 公式法数列中的每一项可以通过一个公式进行表示，这种公式称为通项公式。

在求解数列问题时，通过寻找数列的通项公式，可以简化计算过程，提高解题效率。

1.2 递推关系数列中的每一项与前一项之间存在一种递推关系，通过该关系可以得到数列的后续项。

在高考中，经常会考察学生对数列递推关系的理解和应用能力。

1.3 数列的分类数列可以按照不同的特点进行分类，如等差数列、等比数列、等差数列的和、等差数列的前n项和等。

掌握不同类型数列的性质和求解方法，对于解题非常有帮助。

2. 数列的应用数列作为数学中的基础概念，具有广泛的应用，不仅仅局限于数学领域。

在现实生活和其他学科中，也经常会遇到数列的应用问题。

以下是数列在实际问题中的一些常见应用：2.1 经济学中的数列经济学中常常使用数列来描述经济发展过程中的变化规律，如人口增长、GDP 增长等。

通过对数列的分析和计算，可以预测未来的经济趋势，对决策和规划具有指导作用。

2.2 生物学中的数列生物学中的进化过程、生物种群的数量等也可以用数列来描述。

通过分析数列的规律，可以研究生物体的演化规律，深入了解生物种群的变化趋势。

2.3 计算机科学中的数列在计算机科学中，数列也是一种基本数据结构。

常见的排序算法如冒泡排序、快速排序等都与数列的排列规律有关。

掌握数列的性质和求解方法，对于理解和设计算法非常重要。

3. 导数的概念与应用导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点上的变化率。

在高考中，导数作为必考的知识点，具有以下重要性质：3.1 几何意义导数在几何上表示曲线在某一点上的切线斜率。

通过求解导数，可以研究曲线的变化趋势和几何性质，如曲线的凹凸性、极值点等。

3.2 物理应用在物理学中，导数与速度、加速度等物理量的关系密切。

导数在数列中的应用

导数在数列中的应用摘要：导数是解决函数问题的有力工具，更为数学解题注入了新的活力。

由于数列可看做特殊的函数，所以自然可联想尝试应用导数知识解决数列问题。

一．导数的概念1、定义：0'0000()()()()()limlim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ∆→∆→→-∆+∆-===∆∆-左导数：0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ----∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 右导数： 0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ++++∆→∆→→-∆+∆-===∆∆-'''()()()f x A f x f x A -+∴=⇔==可以证明：可导⇒连续即：可导是连续的充分条件连续是可导的必要条件导函数：'00()()()lim limx x y f x x f x f x y x x∆→∆→∆+∆-===∆∆ 二．导数在数列问题中的应用1.利用导数确定数列的最大或最小项例1 已知数列{n a }的通项n a =328x x -,n ∈N+,求数列{n a }的最大项解：构造辅助函数f(x )=328x x -(x>0),则()x f '=16x-23x 显然，当0<x<316时，()x f '>0,当x>316时，'f (x )<0,故f(x)在区间（0,316）上是增函数，在区间（316,+∞）上是减函数，所以当x=316时，函数取最大值。

对于n ∈N+,f(n )=328n n -,f(5)=75,f(6)=72,所以f(n)的最大值是75，即数列{n a }的最大项为5a =75. 2.利用导数研究数列的增减性例2 设定以在R 上的函数f(x )与数列{n a }满足：1a >a,其中a 是方程f(x )=x的实数根，()n n a f a =+1,f(x )可导，且()x f '∈（0,1）.（1）证明：n a >a,(1)判定n a 与1+n a 的大小关系，并证明证明（1）由已知1a >a,即n=1时，n a >a 成立. (2)设n=k 时 k a >a因为'f (x )>0，所以f(x )是增函数，所以1+k a =f(k a )>f(a) 又由题设可知 f(a)=a ，所以k k a a >+1 即n=k+1时，命题成立. 由（1）（2）知 n ∈N+时，n a >a 成立.(2) 要比较 n a ,1+n a 的大小，即比较n a 和f(n a )的大小，构造辅助函数g(x )=x-f(x )，则'g (x)=1-'f (x)>0,故g(x )是增函数，所以当n a >a 时，g （n a ）>g(a)，又因为g(a)=a-f(a)=0,g(n a )=()n n a f a -，所以()n n a f a ->0，故()n n a f a >即1+>k k a a 3.利用导数求数列前n 项和例3 求数列,...,...3,2,112-n nx x x 前项的和 s n . 解：当x=1时，n s =1+2+3+…+n=()121+n n 当x ≠1时，因x+2x+23x+…+nx=xx x n --+11，两边求导数，得1+2x+32x +…+n-1-n x =1-(n+1)nx +()()21111x x x n n n -++-+ 综上可知：当 x=1时，()121+=n n s n ,当x ≠1时，()()21111x nx x n s n n n -++-=+ 4．利用导数证明数列不等式例4 若⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n t t a 121 其中t ∈[21,2],n T 是数列{n a }前n 项的和，求证：nnn T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<222证明：构造辅助函数 f (t )=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n t t 121,t ∈[21,2] 则'f (t )=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-1112n n t t n . 当121≤≤t 时 'f (t)<0 当1<t ≤2时 'f (t )>0故f(t )在[21,1]上递减，在[1,2]上递增所以 ()m a x t f =f(21)=f(2)=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 21221 即n a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤n n 21221 所以()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++≤n n n T 21 (2)1212...222122nn n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫⎝⎛+-=222211212说明这里需要证明：212221121n nn =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 121221222122121221212121212==∙>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-+n nn n n n ∴nn n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=>⎪⎭⎫ ⎝⎛+2221211212所以命命题的证. 5. 导数在数列求和中的应用例5 1≠x ，求下列数列之和（1）12...321-++++n nx x x （2）22221123...n x x n x -++++（3）222242322...-+++n n x c x c x c c 分析（1）由),...,2,1()'(1n k kx x k k ==- 可设12...321)('-++++=n nx x x x f 则n x x x x x f ...1)(32++++=而 )1(11 (11)32≠--=++++++x xx x x x x n n上式两端对x 求导，并整理得 2212)1()1(1...321x nx x n nxx x n n n -++-=+++++- [1]（2）比较（1），（2）两式中的通项可发现，只需对[1]两端同乘以x ，再对x 求导便可得到：22212212222)1()122()1(1...321x x n x n n x n x xn x x n n n n ---+++-+=+++++--（3）由 21222)(212)1(---=-=n n n n nx x n n x c 可知只需对[1]式两端继续求导便可得到： 22)1(...34232--++∙+∙+n x n n x x=212212)1()()1(2)(2x x n n x n x n n n n n ----++-+- ∴ 312212222242322)1(2)()1(2)(2...x x n n x n x n n xc x c x c c n n n n n----++-=+++++--三．数列是特殊的函数（导数的应用）1. 函数的单调性与导数例1 已知函数f(x)=3x -ax -1.（1）若f(x)在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由.解析（1）由已知)('x f =32x -a.因为f(x)在R 上是单调增函数，所以f ′(x)=32x -a ≥0在R 上恒成立，即a ≤32x 对x ∈R 恒成立. 又因为32x ≥0，所以只需a ≤0.又因为当a=0时，f ′(x)=32x ≥0, 即f(x)=3x -1在R 上是增函数，所以a ≤0.(2)由)('x f =32x -a ≤0在(-1，1)上恒成立,得a ≥32x ，x ∈(-1,1)恒成立.因为-1<x<1,所以32x <3,所以只需证明a ≥3. 当a=3时，)('x f =3(2x -1),在x ∈(-1,1)上，f ′(x)<0，即)(x f 在(-1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3,使f(x)在(-1，1)上单调递减.2. 函数的极值与导数例2 已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+2x -10x 的一个极值点. (1)求a;(2)求函数f(x)的极大值；(3)若直线y=b 与函数y=)(x f 的图象有3个交点，求b 的取值范围.解析 (1)因为)('x f = x a +1+2x-10, 所以)3('f = 4a+6-10=0, 因此a=16.(2)由(1)知，)('x f =x+116+2x-10 = xx x +--1)3)(1(2 (x>-1).此时，)('x f 、)(x f 随x 的变化情况如下表：x(-1,1)1(1,3)3(3,∞)f ′(x) + 0- 0 +f(x)单增极大值单减极小值单增由上表知函数f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9.(3)由(2)知，f(x)在(-1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3,+∞)上单调递增，且当x=1或x=3时,f ′(x)=0，所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9,极小值为f(3)=32ln2-21.若直线y=b 与函数y=f(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)<b<f(1). 因此，b 的取值范围为(32ln2-21，16ln2-9). 3. 函数的最大值、最小值与导数例3 已知函数f(x)=3x -12x+8在区间［-3,3］上的最大值与最小值分别为M,N ，试求M-N 的值.解析 )('x f =32x -12=3(x+2)(x-2)，令)('x f =0，得1x =-2，2x =2.则)('x f ，f(x)随x 的变化情况如下表：x -3 (-3,-) -2(-2,2) 2 (2,3) 3 f ′(x) + 0 - 0 + y=f(x) 17单增极大值24单减极小值-8单增-1显然，M=24，N=8，则M-N=24+8=32.。

导数应用之数列

导数应用之数列一．导数的概念1、定义：0'0000()()()()()limlim limx x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 左导数：0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ----∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 右导数： 0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ++++∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- '''()()()f x A f x f x A -+∴=⇔==可以证明：可导⇒连续即：可导是连续的充分条件连续是可导的必要条件导函数：'00()()()lim lim x x y f x x f x f x y x x∆→∆→∆+∆-===∆∆二．导数在数列问题中的应用1.利用导数确定数列的最大或最小项例1 已知数列{n a }的通项n a =328x x -,n ∈N+,求数列{n a }的最大项解：构造辅助函数f(x )=328x x -(x>0),则()x f '=16x-23x 显然，当0<x<316时，()x f '>0,当x>316时，'f (x )<0,故f(x)在区间（0,316）上是增函数，在区间（316,+∞）上是减函数，所以当x=316时，函数取最大值。

对于n ∈N+,f(n )=328n n -,f(5)=75,f(6)=72,所以f(n)的最大值是75，即数列{n a }的最大项为5a =75.2.利用导数研究数列的增减性例2 设定以在R 上的函数f(x )与数列{n a }满足：1a >a,其中a 是方程f(x )=x 的实数根，()n n a f a =+1,f(x )可导，且()x f '∈（0,1）.（1）证明：n a >a,(1)判定n a 与1+n a 的大小关系，并证明证明（1）由已知1a >a,即n=1时，n a >a 成立.(2)设n=k 时 k a >a因为'f (x )>0，所以f(x )是增函数，所以1+k a =f(k a )>f(a) 又由题设可知 f(a)=a ，所以k k a a >+1 即n=k+1时，命题成立. 由（1）（2）知 n ∈N+时，n a >a 成立.(2) 要比较 n a ,1+n a 的大小，即比较n a 和f(n a )的大小，构造辅助函数g(x )=x-f(x )，则'g (x)=1-'f (x)>0,故g(x )是增函数，所以当n a >a 时，g （n a ）>g(a)，又因为g(a)=a-f(a)=0,g(n a )=()n n a f a -，所以()n n a f a ->0，故()n n a f a >即1+>k k a a 3.利用导数求数列前n 项和例3 求数列,...,...3,2,112-n nx x x 前项的和 s n . 解：当x=1时，n s =1+2+3+…+n=()121+n n 当x ≠1时，因x+2x+23x+…+nx=xx x n --+11，两边求导数，得1+2x+32x +…+n-1-n x =1-(n+1)nx +()()21111x x x n n n -++-+ 综上可知：当 x=1时，()121+=n n s n ,当x ≠1时，()()21111x nx x n s n n n -++-=+ 4．利用导数证明数列不等式例4 若⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n t t a 121 其中t ∈[21,2],n T 是数列{n a }前n 项的和，求证：nn n T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<222 证明：构造辅助函数 f (t )=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n t t 121,t ∈[21,2] 则'f (t )=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-1112n n t t n . 当121≤≤t 时 'f (t)<0 当1<t ≤2时 'f (t )>0故f(t )在[21,1]上递减，在[1,2]上递增所以 ()m a x t f =f(21)=f(2)=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 21221 即n a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤n n 21221 所以()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++≤n n n T 21 (2)1212...222122nn n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫⎝⎛+-=222211212说明这里需要证明：212221121n nn =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 121221222122121221212121212==∙>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-+n nn n n n ∴nn n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=>⎪⎭⎫ ⎝⎛+2221211212所以命命题的证. 5. 导数在数列求和中的应用例5 1≠x ，求下列数列之和（1）12...321-++++n nx x x （2）12222...321-++++n x n x（3）222242322...-+++n n x c x c x c c分析（1）由),...,2,1()'(1n k kx x k k ==- 可设12...321)('-++++=n nx x x x f 则n x x x x x f ...1)(32++++=而 )1(11 (11)32≠--=++++++x xx x x x x n n上式两端对x 求导，并整理得 2212)1()1(1...321x nx x n nxx x n n n -++-=+++++- [1] （2）比较（1），（2）两式中的通项可发现，只需对[1]两端同乘以x ，再对x 求导便可得到： 22212212222)1()122()1(1...321x x n x n n x n x xn x x n n n n ---+++-+=+++++-- （3）由 21222)(212)1(---=-=n n n nnx x n n x c 可知只需对[1]式两端继续求导便可得到： 22)1(...34232--++∙+∙+n x n n x x=212212)1()()1(2)(2x x n n x n x n n n n n ----++-+-∴ 312212222242322)1(2)()1(2)(2...x x n n x n x n n xc x c x c c n n n n n----++-=+++++-- 三．数列是特殊的函数（导数的应用）1. 函数的单调性与导数例1 已知函数f(x)=3x -ax -1.（1）若f(x)在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由.解析（1）由已知)('x f =32x -a.因为f(x)在R 上是单调增函数，所以f ′(x)=32x -a ≥0在R 上恒成立，即a ≤32x 对x ∈R 恒成立. 又因为32x ≥0，所以只需a ≤0.又因为当a=0时，f ′(x)=32x ≥0, 即f(x)=3x -1在R 上是增函数，所以a ≤0.(2)由)('x f =32x -a ≤0在(-1，1)上恒成立,得a ≥32x ，x ∈(-1,1)恒成立.因为-1<x<1,所以32x <3,所以只需证明a ≥3. 当a=3时，)('x f =3(2x -1),在x ∈(-1,1)上，f ′(x)<0，即)(x f 在(-1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3,使f(x)在(-1，1)上单调递减.2. 函数的极值与导数例2 已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+2x -10x 的一个极值点. (1)求a;(2)求函数f(x)的极大值；(3)若直线y=b 与函数y=)(x f 的图象有3个交点，求b 的取值范围. 解析 (1)因为)('x f = x a +1+2x-10, 所以)3('f = 4a+6-10=0, 因此a=16.(2)由(1)知，)('x f =x+116+2x-10 = xx x +--1)3)(1(2 (x>-1).此时，)('x f 、)(x f 随x 的变化情况如下表：x(-1,1)1(1,3)3(3,∞)f ′(x) + 0 -0 +f(x) 单增极大值单减极小值单增由上表知函数f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9.(3)由(2)知，f(x)在(-1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3,+∞)上单调递增，且当x=1或x=3时,f ′(x)=0，所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9,极小值为f(3)=32ln2-21.若直线y=b 与函数y=f(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)<b<f(1). 因此，b 的取值范围为(32ln2-21，16ln2-9). 3. 函数的最大值、最小值与导数例3 已知函数f(x)=3x -12x+8在区间［-3,3］上的最大值与最小值分别为M,N ，试求M-N 的值.解析 )('x f =32x -12=3(x+2)(x-2)，令)('x f =0，得1x =-2，2x =2.则)('x f ，f(x)随x 的变化情况如下表：x -3 (-3,-) -2(-2,2) 2 (2,3) 3 f ′(x) + 0 - 0 + y=f(x) 17单增极大值24单减极小值-8单增-1显然，M=24，N=8，则M-N=24+8=32.。

导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法

导数和数列不等式的综合问题解决技巧之构造函数法1．已知曲线．从点向曲线引斜率为22:20(1,2,)n C x nx y n -+== (1,0)P -n C 的切线，切点为．(0)n n k k >n l (,)n n n P x y （1）求数列的通项公式； {}{}n n x y 与（2）证明：．13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅<<A A A A 【解析】曲线是圆心为，半径为的圆， 222:()n C x n y n -+=(,0)n n 切线 :(1)n n l y k x =+ （Ⅰ，解得，又，n =2221n n k n =+2220n n n x nx y -+= 联立可解得， (1)n n ny k x =+,1n n n x y n ==+（Ⅱ=n n x y = 先证：， 13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅< 证法一：利用数学归纳法当时，，命题成立， 1n =112x =<假设时，命题成立，即 n k =13521kx x x x -⋅⋅⋅⋅< 则当时，1n k =+135212121k kk x x xx x x -++⋅⋅⋅⋅<=∵， 2222416161483k kk k ++=>++．<=∴当时，命题成立，故成立． 1n k =+13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅<==，121214)12(4)12(2122222+-=--<-=-nnnnnnnnnnn xxnnnnnxxxx+-=+=+-⨯⨯⨯<-⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋅-1112112125331212432112531<不妨设，令，t=()f t t t=则在上恒成立，故在上单调递减，()10f tt'=<t∈()f t t t=t∈从而()(0)0f t t t f=-<=<综上，成立．13521nnnxx x x xy-⋅⋅⋅⋅<<2．设函数表示的导函数．2()2(1)ln(),()kf x x x k N f x*'=--∈()f x（I）求函数的单调递增区间；()y f x=（Ⅱ）当k为偶数时，数列{}满足，求数列{}的通项公式；na2111,()3n n na a f a a+'==-2na （Ⅲ）当k为奇数时，设，数列的前项和为，证明不等式()12nb f n n'=-{}n b n n S对一切正整数均成立，并比较与的大小．()111n bnb e++>n20091S-2009ln解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），又，212[(1)]()22(1)kkxy f x xx x--''==--=当k为奇数时，，122(1)()xf xx+'=即的单调递增区间为．(0,),()0(0,)x f x'∈+∞∴>+∞在恒成立.()f x'(0,)+∞当k为偶函数时，222(1)2(1)(1)()x x xf xx x-+-'==(0,),0,10,x x x∈+∞>+>又由，得，即的单调递增区间为，()0f x'>10,1x x->∴>()f x(1,)+∞综上所述：当k 为奇数时，的单调递增区间为， ()f x (0,)+∞当k 为偶数时，的单调递增区间为()f x (1,).+∞（Ⅱ）当k 为偶数时，由（Ⅰ）知，所以22(1)()x f x x-'=22(1)().n n n a f a a -'=根据题设条件有 2222221112(1)3,21,12(1),n n n n n n a a a a a a +++-=- ∴=+ +=+∴{}是以2为公比的等比数列， 21n a +∴ 221211(1)22,2 1.n n n n n a a a -+=+⋅= ∴=-（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当k 为奇数时，12(),f x x'=+ 11111(),1.223n n b f n n S n n'∴=-= =+++⋅⋅⋅+由已知要证两边取对数，即证111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭事实上：设则 11,t n+=1(1),1n t t =>-因此得不等式 …………………………………………① 1ln 1(1)t t t>->构造函数下面证明在上恒大于0．1()ln 1(1),g t t t t=+->()g t (1,)+∞∴在上单调递增，即211()0,g t t t '=->()g t (1,)+∞()(1)0,g t g >=1ln 1,t t>-∴ ∴即成立．11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭()111n b n b e ++>由得 11ln,1n n n +>+111231ln ln ln ln(1),23112n n n n +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+=++即当时， 11ln(1),n S n +-<+2008n =20091S -<2009.ln3．已知，函数． 0a >1()ln xf x x ax-=+（Ⅰ）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；（Ⅱ）若()f x 在区间 [)1,+∞上是单调递增函数，试求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当 1a =时，设数列 1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为，求证：n S 111()(2)n n nS f n S n N n n---<-<∈*≥且解：（Ⅰ）的定义域为，，由得． ()f x ()0,+∞21()ax f x ax -'=()0f x '=1x a=当时，，递减； 1(,x a a∈()0f x '<()f x 当时，，递增． 1(,)x a∈+∞()0f x '>()f x所以不是定义域上的单调函数．()y f x =（Ⅱ）若在是单调递增函数，则恒成立，即恒成立． ()f x x ∈[1,)+∞()0f x '≥1a x≥即．1max,[1,)a x x ⎧⎫≥ ∈+∞⎨⎬⎩⎭11x∴≤1a ∴≥ （Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，在上为增函数， 1a =1()ln xf x x x-=+[1,)+∞ 111()ln ln ,n n nf n n n n n n----=+-= 又当时，，，即．1x >()(1)f x f >1ln 0x x x -∴+>1ln 1x x>- 令则，当时，()1ln ,g x x x =--1()1g x x'=-(1,)x ∈+∞()0.g x '>从而函数在上是递增函数， ()g x [1,)+∞所以有即得()(1)0,g x g >=1ln .x x -> 综上有： 11ln 1,(1).x x x x-<<->111ln .1x x x x+∴<<+ 令时，不等式也成立，1,2,...,1,(2)x n n N n *=-∈≥且111ln .1x x x x+∴<<+ 于是代入，将所得各不等式相加，得1112311...ln ln ...ln 1....2312121n n n n +++<+++<+++--即 11111...ln 1. (2321)n n n +++<<+++-即 111()(2).n n nS f n S n N n n*---<-<∈≥且4．设函数．（是自然对数的底数）()(1),()x f x e x g x e =-=e （Ⅰ）判断函数零点的个数，并说明理由； ()()()H x f x g x =-（Ⅱ）设数列满足：，且 {}n a 1(0,1)a ∈1()(),,n n f a g a n N *+=∈①求证：；②比较与的大小．01n a <<n a 1(1)n e a +-解：（Ⅰ），令 ()(1)x H x e e '=--0()0,ln(1)H x x e '= =- 当时，在上是增函数 0(,)x x -∞()0,H x '> ()H x 0(,)x x -∞ 当时，在上是减函数 0(,)x x +∞()0,H x '< ()H x 0(,)x x +∞ 从而max 0()(0)(1)1(1)ln(1)2x H x H e x e e e e ==-+-=---+注意到函数在上是增函数， ()ln 1k t t t t =-+[)1,+∞ 从而从而 ()(1)0,11k t k e ≥=->又0()0H x > 综上可知：有两个零点．()H x （Ⅱ）因为即，所以 1()(),n n f a g a +=1(1)1na n e a e +-+=11(1)1n a n a e e +=-- ①下面用数学归纳法证明．当时，，不等式成立． (0,1)n a ∈1n =1(0,1)a ∈ 假设时，那么 n k =(0,1)k a ∈11(1)1k a k a e e +=--1011kka a e e e e << ∴<-<- 即 10(1)11k a e e ∴<-<-1(0,1)k a +∈ 这表明时，不等式成立．所以对， 1n k =+n N *∈(0,1)n a ∈②因为，考虑函数1(1)1na n n n e a a e a +--=--()1(01)x p x e x x =-- << ，从而在上是增函数()10x p x e '=->()p x (0,1)()(0)0p x p >=所以，即1(1)0n n e a a +-->1(1)n n e a a +->5．数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列． {}n a n S n n N *∈2,,n n n a S a （1）求数列的通项公式；{}n a（2）设数列的前项和为，且，求证：对任意实数是常数，{}n b n n T 2ln n n nxb a =(1,](x e e ∈e=2．71828…）和任意正整数，总有；n 2n T <（3）在正数数列中，．求数列中的最大项． {}n c 11(),()n n n a c n N +*+=∈{}n c 解：由已知：对于，总有成立 (1)n N *∈22n n n S a a =+ (2)21112(2)n n n S a a n ---∴=+≥（1）—（2）得22112n n n n n a a a a a --∴=+-- 111()()n n n n n n a a a a a a ---∴+=+-均为正数，1,n n a a - 11(2)n n a a n -∴-=≥ 数列是公差为1的等差数列∴{}n a 又时，，解得，1n =21112S a a =+11a =()n a n n N *∴=∈（2）证明：对任意实数和任意正整数，总有(]1,x e ∈n 22ln 1n n n x b a n=≤222111111...1...121223(1)n T n n n∴≤+++<++++⋅⋅-⋅1111111(1() (22223)1n n n ⎛⎫=+-+-++-=-<⎪-⎝⎭（3）解：由已知22112a c c ==⇒= ，33223a c c ==⇒=44334a c c ==⇒==易得55445a c c ==⇒=12234,......c c c c c <>>> 猜想时，是递减数列2n ≥{}n c令，则 ln ()x f x x=221ln 1ln ()x xx x f x x x ⋅--'==当时，，则，即 ∴3x ≥ln 1x >1ln 0x -<()0f x '< 在内为单调递减函数， ∴()f x [)3,+∞由知 11n n n a c ++=ln(1)ln 1n n c n +=+ 时，是递减数列，即是递减数列 2n ∴≥{}ln n c {}n c又，数列中的最大项为12c c <∴{}n c 2c =6．已知23()ln 2,().8f x x xg x x =++=（1）求函数的极值点；()()2()F x f x g x =-⋅（2）若函数在上有零点，求的最小值；()()2()F x f x g x =-⋅),()te t Z ⎡+∞∈⎣t （3）证明：当时，有成立；0x >[]1()1()g x g x e +<（4）若，试问数列中是否存在？若存在，求出所有相1(1)()()g n n b g n n N *+=∈{}n b ()n m b b m n =≠等的两项；若不存在，请说明理由．（为自然对数的底数）．e 解：（1）由题意，的定义域为23()ln 228F x x x x =++-(0,)+∞,函数的单调递增区间为和， (32)(2)()4x x F x x --'=∴()F x 20,3⎛⎤⎥⎝⎦[)2,+∞的单调递减区间为，()F x 2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以为的极大值点，为的极小值点，23x =()F x 2x =()F x （2）在上的最小值为 ()F x 2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭(2)F且，在上没有零点， 23ln 41(2)242ln 2082F -=⨯-++=>()F x ∴2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭函数在上有零点，并考虑到在单调递增且在单调递减，故只∴()F x ),te ⎡+∞⎣()F x 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦须且即可，23t e <()0F t ≤易验证 121222313()120,()20,88F e e e F e e e -----⎛⎫=⋅+->=⋅-< ⎪⎝⎭当时均有所以函数在上有零点， 2,t t Z ≤∈()0,t F e <()F x )1,()t e e t Z -⎡∈⎣即函数在上有零点，的最大值为()F x ),()te t Z ⎡+∞∈⎣t ∴2-（3）证明：当时，不等式0x >[]1()1()g x g x e +<即为： 11(1)ln(1)1ln(1)xx e x x x x+<⇔+<⇔+<构造函数则 ()ln(1)(0),h x x x x =+->1()10,11x h x x x-'=-=<++所以函数在上是减函数，因而时， ()h x (0,)+∞0x >()(0)0,h x h <=即：时，成立，所以当时，成立；0x >ln(1)x x +<0x >[]1()1()g x g x e +<（4）因为 1(1)(2)111(1)(2)2222(1)11(1)3(1),(1n n n n n n n n n n n b n n e n n b n b n n n n n++++++++++++===⋅+<<令，得， 23(1)1n n+<2330n n -->因此，当时，有4n ≥(1)(2)1(1)(2)1,n n n n n nb b +++++<所以当时，，即 4n ≥1n n b b +>456...b b b >>>又通过比较的大小知：， 1234b b b b 、、、1234b b b b <<<因为且时所以若数列中存在相等的两项，只能是与后面的项11,b =1n ≠111,n n b n +=≠{}n b 23b b 、可能相等，又，所以数列中存在唯一相等的两项， 11113964283528,35b b b b ====>={}n b 即．28b b =7．在数列中， {}n a 12a =11,22().n n n a a n N ++=+∈ （I ）求证：数列为等差数列； }2{nn a（II ）若m 为正整数，当时，求证：． 2n m ≤≤1231(1)()n m n n m m n a m⋅--+≤解：（I ）由变形得：1122+++=n n n a a 122,1221111=-+=++++n nn n n n n n a a a a 即故数列是以为首项，1为公差的等差数列 }2{nn a121=a （II ）（法一）由（I ）得n n n a 2⋅= m m n m m m a n n m m nm n n 1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即令mn m nn m n f n m n f 123()()1(,23()1()(+⋅-=+⋅+-=则当mn m n m n f n f n m 1)32(1)1()(,2⋅-+-=+≥>时m m m n m 11)32()211(32()11(⋅-+≥⋅-+=又 23221211211(1>>-+>+-⋅+=-+m m m C m m m m m 123(211>-+∴则为递减数列． )(,1)1()(n f n f n f 则>+当m=n 时，递减数列．)1()(+>n f n f )(,2n f n m 时当≥≥∴ mm m m f x f m m 1)1(49(),1()49()2()(11max-≤--==∴2故只需证要证：时，2,)11()1(491)23)(1(2≥+=+≤-≤+-m mm m m m n m m m m n 而即证49221212212122122)1(121111(22010=⨯-+≥-+=-+=-⋅+=⋅+⋅+≥+m m m m m mm C m C C m m m m m 故原不等式成立．（法二）由（I ）得n n n a 2⋅= mm n m m m a n n m m nm n n 1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即令)123ln 1()23()('),2()23)(1()(-⋅+-=≤≤+-=m x m x f m x x m x f m xm x则上单调递减． ],2[)(0)(',11,2m x f x f mx m m x 在即<∴<+-∴≤≤ ∴ mm m m f x f m m 1)1()49(),1()49()2()(11max-≤--==∴2故只需证也即证，时而2,)11(149≥+≤m mm49221212212122122)1(121111(22210=⨯-+≥-+=-+=-⋅+=⋅+⋅+≥+m m m m m mm C m C C m m m m m 故原不等式成立．。

导数与数列相结合的压轴题

导数与数列相结合的压轴题《导数与数列相结合的压轴题：我的挑战与收获》我呀，是一个在数学海洋里畅游的小学生，虽然导数和数列相结合的压轴题对我来说就像是一座超级高大、云雾缭绕的山峰，但是我可不怕它，我还想跟你们好好讲讲我和它之间的那些事儿呢。

导数，我刚听到这个词的时候，感觉就像听到了一个来自神秘魔法世界的咒语。

它好像有着无穷的力量，可以把函数的变化情况摸得一清二楚。

就像一个超级侦探，能发现函数是怎么偷偷变化的。

数列呢，那就是一列列规规矩矩排着队的数字，有的数列像听话的小士兵，按照一定的规律整整齐齐地站着，比如说等差数列，就像每次都齐步走一样，相邻两个数的差都是一样的。

等比数列呢，就像在玩倍数游戏，后一个数总是前一个数乘上一个固定的数。

那导数和数列相结合的压轴题呢？哎呀，这可就像把两个魔法世界的东西硬凑到一起，创造出一个超级大怪兽。

我第一次遇到这样的题目的时候，我都懵了。

题目就像一个复杂的迷宫，那些数字和符号扭成一团，好像在跟我做鬼脸，说：“嘿嘿，你能把我们怎么样？”我记得有一道题是这样的。

给出了一个函数，然后又有一个数列的通项公式跟这个函数的导数有关系。

我就想啊，这可咋整？我看着那些密密麻麻的字和符号，心里就像有只小兔子在乱蹦。

我同桌看到我这个样子，就凑过来说：“你咋啦？愁眉苦脸的。

”我指了指题目说：“你看这个，这也太难了吧。

”同桌看了看说：“我觉得咱们可以先从函数的导数入手，看看它有啥特点。

”我听了同桌的话，就像抓住了一根救命稻草。

我开始求那个函数的导数，求出来之后，发现它还是一个挺复杂的式子。

这时候我就想，这跟数列的通项公式到底咋联系起来呢？我就像一个迷失在森林里的小探险家，找不到方向。

这时候，老师走了过来，看到我在纠结这道题，就笑着说：“你看啊，这个导数的值在某些特殊点上的情况，是不是和数列的开头几项有啥联系呢？”我眼睛一亮，对啊，我怎么没想到呢。

我赶紧把特殊点代入导数式子，再和数列的前几项对比，嘿，还真发现了点规律。

数列与导数高考知识点归纳

数列与导数高考知识点归纳数学作为一门科学，是很多人望而却步的学科之一。

尤其是数列与导数等高中数学知识点，更是很多学生头疼的难题。

为了帮助大家更好地理解和掌握这些知识点，本文将对数列与导数的相关概念、性质和解题技巧进行归纳总结。

一、数列的概念与性质数列是由一串有序的数按照一定规律排列而成的。

数列的一般形式可以表示为{an}，其中an是数列的第n项。

数列有许多重要的性质，包括公差、等差数列、公比、等比数列等。

1. 公差与等差数列公差指的是相邻两项之间的差值，用d表示。

若数列的相邻两项之间的差值是一个常数d，那么该数列就是等差数列。

等差数列的通项公式是an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，n是项数。

2. 公比与等比数列公比指的是相邻两项之间的比值，用q表示。

若数列的相邻两项之间的比值是一个常数q，那么该数列就是等比数列。

等比数列的通项公式是an = a1 * q^(n-1)，其中a1是首项，n是项数。

除了等差数列和等比数列，数列还有其他一些特殊的形式，如递推数列、斐波那契数列等。

掌握数列的概念和性质，对于解题时的运算和推导起到至关重要的作用。

二、导数的概念与性质导数是微积分中一个重要的概念，用来描述函数在某点处的变化率。

函数f(x)在点x0处的导数表示为f'(x0)或dy/dx|x=x0，它的几何意义是函数曲线在该点处的切线斜率。

1. 导数的定义导数的定义是极限的思想，函数f(x)在点x0处的导数定义为：f'(x0) = lim┬(Δx→0)⁡〖(f(x0+Δx)-f(x0))/Δx〗。

这个定义可以理解为：当自变量x的增量趋近于0时，函数f(x)在点x0处的增量与x的增量的比值的极限值。

2. 导数的性质导数具有许多重要的性质，包括导数的四则运算、导数的复合运算、导数的乘积法则和导数的链式法则等。

导数的四则运算指的是对于两个求导函数f(x)和g(x)，他们的和、差、积、商的导数分别为：(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x)，(f(x)-g(x))' = f'(x)- g'(x)，(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)，(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2。

专题3-10 导数与数列,导数与概率统计(解析版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型

a＝1.
于是
f′(x)＝
1 x
－1＝
1
x
x
，
当 x(0，1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当 x(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
即 f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
(2) 由(1)知 x1(0，＋∞)，f(x1)≤f(1)＝0，即 f(x1)的最大值为 0，由题意知：对∀x1(0，＋∞)，∃x2(－∞，0)使得 f(x1)≤g(x2)成立，只需 f(x)max≤g(x)max.
在区间 ea1,1 单调递减.
又 f ea1 f 1 0 ,与 f x0 恒成立相矛盾.
综上, 实数 a 的取值范围为1, .
(2)
由（1）知当 a 1 时， x 1 x ln x ≤ 0 0 x ≤1
即 ln x ≥ x 1 1 1
x
x
令 x 1 ，则 ln 1 ≥1 n
.............................................................22
题型一：利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题
【典例分析】
例题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列an 满足
a0
0,
a2 n1
an2
2(n
1), n
N
．
(1)求证： an2 an1 ； an1 an
.
4．（2022·湖南张家界·高二期末）已知函数 f x ln x ax 1，其中 a R ．
(1)当 a 1 时，求函数 f (x) 的单调区间；
(2)①若 f x 0 恒成立，求 a 的最小值；

导数和数列结合的大题

导数和数列结合的大题好嘞，今天咱们就聊聊导数和数列这对“老冤家”，听起来有点复杂，但其实咱们可以轻松搞定它。

想象一下，导数就像一辆飞驰的车，而数列呢，就像那条蜿蜒的公路。

这车在这条路上，时不时得停下看看风景，顺便计算一下它的速度，明白了吧？数列就像一颗颗珍珠，串在一起。

每一个数都是一个珍珠，大家手拉手，排成一行。

可别小看这些数列哦，搞得好的话，可以为我们揭开很多数学的秘密。

就拿等差数列来说，想象一下你在走路，每一步都是固定的长度，那就是等差。

每次前进都一样，简单又明了，像是每天都要吃的泡面，一碗接一碗，没啥新花样。

但这也好，稳稳的，不容易出错。

然后，咱们再来看看导数。

导数可不简单，速度、变化，它就像是人生的节奏。

有时候慢悠悠地走，有时候拼命狂奔。

你想，生活中许多事情都是在变化的，导数就帮我们把这些变化给捋顺了。

比如，你开车的时候，车速一会快一会慢，想知道什么时候加油，什么时候刹车，导数给你个明确的答案。

这个时候，你会发现，原来数学和生活是息息相关的，不是说只有在教室里才有用。

大家可能会想，导数和数列能有什么关系呢？嘿嘿，这可就有意思了。

数列中的每个数，其实都可以看作是一个瞬间，而导数呢，就负责告诉我们这些瞬间之间的变化。

举个例子，一个数列是：1, 3, 5, 7, 9，大家都知道它是等差数列，后一个数比前一个数大2。

想象一下，这就像你在跟朋友聊天，话题在不断变化，而导数就是你的语气，偶尔高昂，偶尔低沉，传递着每个瞬间的感受。

我们再深入点，考虑一下数列的极限。

极限就像是人生的终点，每个数列都在追求某个目标，想要达到某个状态。

就像小孩子长大一样，逐渐成熟，走向自己的目标。

这时候，导数就像是助推器，帮你加速，推动你更快地达到那个目标。

设想一下，你在山坡上爬，慢慢地，越来越接近山顶。

导数告诉你，这一路的高度变化，给你提个醒：要坚持啊，快到了！大家应该也听说过“微分”的概念，这其实和导数是好朋友。

微分就像是把导数放大了，细细地观察每一个细节。

导数之数列型不等式证明

导数之数列型不等式证明首先，我们需要明确什么是数列的导数。

在数学中，数列的导数是描述数列变化趋势的一个概念。

对于数列${a_n}$，它的导数数列${b_n}$定义为$b_n=a_{n+1}-a_n$。

导数数列可以用来描述原数列的变化速度。

接下来，我们将通过数学推导来证明一个关于数列导数的不等式。

我们假设${a_n}$是一个递增数列，并要证明它的导数数列${b_n}$也是递增数列。

即$b_n<b_{n+1}$。

证明过程如下：假设数列${a_n}$是一个递增数列，则对于任意的$n$，都有$a_n<a_{n+1}$成立。

我们来观察导数数列${b_n}$，根据导数数列的定义，我们可以得到$b_n=a_{n+1}-a_n$。

要证明导数数列也是递增数列，即证明$b_n<b_{n+1}$成立。

首先，我们将$b_n$表示成数列${a_n}$的形式，即$b_n=a_{n+1}-a_n$。

然后将$b_{n+1}$表示成数列${a_n}$的形式，即$b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}$。

然后，我们可以得到$b_{n+1}-b_n=(a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_n)=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n$。

根据数列${a_n}$是递增数列的假设，我们可以得到$a_{n+2}>a_{n+1}$且$a_{n+1}>a_n$。

将这两个不等式代入上面的等式中，我们可以得到$b_{n+1}-b_n=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n>0$。

由此可得，$b_{n+1}>b_n$，即导数数列${b_n}$是递增数列。

综上所述，我们通过数学推导证明了当数列${a_n}$是一个递增数列时，它的导数数列${b_n}$也是一个递增数列。

总结起来，数列导数之不等式证明是通过对数列的导数进行数学推导与证明，验证数列导数的性质。

通过上述证明过程，我们得出了当数列是递增数列时，其导数数列也是递增数列的结论。

导数数列递推

导数数列递推导数和数列递推是高等数学中重要的概念和方法，它们在数学和其他科学领域中具有广泛的应用。

导数是函数的一个基本性质，而数列递推则是数列的一种定义和计算方法。

本文将详细介绍导数和数列递推的概念、计算方法和应用。

一、导数导数是微积分中最基本的概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。

数学上，如果函数f(x)在点x处的导数存在，那么它可以通过以下公式计算：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，lim表示极限运算，h表示一个无穷小的增量。

导数的计算方法有很多种，可以使用定义式、求导法则和微分法等方法。

求导法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。

微分法则则是一种通过微分运算简化导数计算的方法。

导数的概念和计算方法在数学和其他科学领域中有广泛的应用。

在数学中，导数可以用于求函数的最值、判断函数的增减性、解微分方程等。

在物理学中，导数可以描述物体的速度、加速度等物理量的变化。

在经济学和工程学中，导数可以用于优化问题和控制系统的设计等。

二、数列递推数列递推是一种定义数列的方法，它通过给出数列的前几项和递推关系，来计算数列的其他项。

数列递推的一般形式可以表示为：a_(n+1) = f(a_n)其中，a_n表示数列的第n项，a_(n+1)表示数列的下一项，f是一个给定的递推关系函数。

数列递推的计算方法有很多种，可以使用递推关系式、通项公式、递归算法等方法。

递推关系式是一种通过前一项计算下一项的方法，通项公式则是一种通过数列的性质和规律计算任意项的方法，递归算法是一种通过递归调用函数来计算数列的方法。

数列递推在数学和其他科学领域中有广泛的应用。

在数学中，数列递推可以用于数列的求和、数列的极限计算、数列的性质研究等。

在计算机科学和算法设计中，数列递推可以用于设计递归算法、动态规划算法等。