最短距离之将军饮马

例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM 吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A问：这位将 军怎样走路程最短？
M 草地
O
.驻地A
N 河边
例3变式：已知如图 MON和 MON 内
一点A
A1
M
作法:
（1）作点A关于OM、
B
ON的对称点A1、A2
O
C
(2）连结A1和A2，交OM于B,交ON于C
点分别放在两条直线的异侧）
练习
1.在锐角AOB中有一点p,若从p点出发到达AO上任意一点后 再到达BO上任意一点,然后返回P点,使总路程最短？
2.探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两 个 定 点 A 、 B ， 在 直 线 l 上 存 在 点 P ， 使 得 PA + P B 的 值 最 小
两点在两相交直线内部
练习：如图，A为马棚，B为帐篷，将军某一天 要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再 到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这 一天的最短路线。
(一)两点在一条直线两侧
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡 B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样 走路程最短？
最短路线：
最短路线：
A
A ---P--- B.
P
根据： 两点之间线段最短.
源自文库
B
(二)两点在一条直线同侧 例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中 马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程 最短？
A
B
作法： （1）作点B关于直线 L 的对称点 B1 （2）连结B1A，交L于点 C；
所以 点C就是所求的点．
A ---P--- B. A
P
根据：两点之间线段最短.
B
作法： （1）作点B关于直线 L 的对称点 B1 （2）连结B1A，交L于点 C；
所以 点C就是所求的点．
A
B
L C
B1
例3变式：已知如图 MON和 MON 内
一点A
.A1
M
求作:OM上一点B,ON上
一点C,使AB+BC+AC最小 B .
作法:
A
B
L C
B1
1、动点所在直线为对称轴 2、异侧和最小：两点在这条直线的异侧时，才能
使这两点在同一条直线上并且与直线L有交点
A
B
L C
B1
例2变式1： 已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在 BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？ R即为所求点
R P1
一点在两条相交线的内部
最短路线
为什么有的人会经常践踏草地呢？
两点之间，线段最短
禁止践踏
将军饮马问题：
将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途 中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程 最短？
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
(一)两点在一条直线两侧
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡 B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样 走路程最短？
B，C为所求的点
.A
N
A2
例3：
已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、 AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长 最短吗？
P2
Q
R
P1
总结：异侧和最小；两点之间线段最短
• 一、两点在一条直线的两侧（直接连接两点） • 二、两点在一条直线的同侧（通过对称将两点放
在直线异侧） • 三、一点在两条相交线的内部（通过对称将这一
.A
（1）作点A关于OM、 O
ON的对称点A1、A2
.N . C
A2
(2）连结A1和A2，交OM于B,交ON于C,则点
B、C为所求。