材料力学扭矩习题

第六章 圆轴的扭转

习题解析

6-1 试述绘制扭矩图的方法和步骤。

答：首先求任意截面的扭矩，一般步骤为：“假截留半，内力代换，内外平衡”。熟练后也可用简捷方法计算而无须画出分离体受力图。

取平行于轴线的横坐标表示横截面的位置，用纵坐标表示扭矩的代数值，画出各截面扭矩的变化图，即为扭矩图。

6-2 为什么空心轴比实心轴能充分发挥材料的作用？

答：空心圆轴比实心轴能充分发挥材料的作用，其原因在于圆轴扭转时，横截面上应力呈线性分布，越接近截面中心，应力越小，那里的材料就没有充分发挥作用。做成空心轴，使得截面中心处的材料安置到轴的外缘，材料得到了充分利用。而且也减轻了构件的自重。 6-3 已知圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T 对应的切应力分布图。

图6-1 题6-3图

解：截面上与T 对应的切应力分布图如下：

图6-2

6-4 用截面法求图6-3所示各杆在1-1、2-2、3-3截面上的扭矩。

图6-3 题6-4图

解：a)采用截面法计算扭矩（见图6-4）。

取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-311。

取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程

062122=+⋅-+-T m kN ）（，可得

m kN T ⋅=-322。

取3-3截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅=-133。

图6-4

b) 采用截面法计算扭矩（见图6-5）。

取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-511。

取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程05522=+⋅+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅-=-1022。

取3-3截面右侧外力偶矩计算，由平衡方程03333=+⋅+-T m kN ）（

，可得m kN T ⋅-=-633。

图6-5

6-5 如图6-6所示，作各杆的扭矩图。

图6-6 题6-5图

解：a)采用截面法计算扭矩（见图6-7）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得

m kN T ⋅=-411。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-222。作出扭矩图。

a)

图6-7

b) 由力矩平衡方程可得e A M M 2-=（负号表示与图中假设方向相反）。采用截面法计算扭矩（见图6-8b ）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得e M T 211-=-。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得e M T -=-22。作出扭矩图。

c) 由力矩平衡方程可得0=C M 。采用截面法计算扭矩（见图6-8c ）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得e M T -=-11。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得022=-T 。作出扭矩图。

b) c)

图6-8

6-6 图6-9所示圆轴长l =500mm ，直径d =60mm ，受到外力偶矩M 1=4kN ·m 和M 2＝７kN ·m 作用，材料的剪切弹性模量G=80GP a （1）画出轴的扭矩图； （2）求轴的最大切应力； （3）求轴的最大单位长度扭转角。

图6-9 题6-6图

解：（1）绘扭矩图

用截面法求得1-1截面上的扭矩为m kN M M T ⋅=-=3121，2-2截面的扭矩为

m kN M T ⋅-=-=412。绘出的扭矩图如图6-9所示。

（2）由扭矩图可见BC 段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在BC 段内。由式（6-13）得其最大切应力为

()

a a P MP MP W T 3.94106016

10433

3

2max =⨯⨯⨯==-πτ

(3) BC 段扭矩最大，BC 段内最大单位长度扭转角即轴的最大单位长度扭转角。按式（6-20）得

m

m

GI T

p

25.2180106032

10801041804

39

3

max max =⨯

⨯⨯⨯⨯⨯=

⨯=-π

ππ

θ）

（

6-7 实心圆轴和空心轴通过牙嵌离合器而连接，如图6-10所示。已知轴的转速n =100r/min ，传递的功率P=7.5kW ，材料的许用应力][τ=40MP a ，试通过计算确定 （1） 采用实心轴时，直径d 1和的大小；

（2） 采用内外径比值为1/2的空心轴时，外径D 2的大小。

图6-10 题6-7图

解：计算外力偶矩，作用在轴上的外力偶矩由式（6-1），可得

m N m N n P T ⋅=⋅⨯==716100

5

.795509550

（1）采用实心轴时，直径d 1的大小应满足下式：

a a P P P d W T 63

1

max 1040][16

716⨯=≤⨯==τπτ

解得 mm m T

d 0.451040716

][3

616

3

16

1=⨯⨯=⨯≥π

π

τ （2）采用内外径比值α=1/2的空心轴时，外径D 2的大小应满足下式：

a

a P

P P D W T 6432

max 1040][)1(16

716⨯=≤-⨯=

=ταπτ

解得 mm m T

D 0.46)5.01(1040716

)1]([34616

3

4162=-⨯⨯⨯=-⨯≥π

π

ατ 6-8 图6-11所示的变截面钢轴，已知作用于其上的外力偶矩M 1=1.8kN ·m ，M 2=1.2kN ·m 。

材料的剪切弹性模量G=80GP a ，试求最大切应力和最大相对扭转角。

图6-11 题6-8图

解：（1）绘扭矩图

用截面法求得1-1截面上的扭矩为m kN M M T ⋅=--=3121，2-2截面的扭矩为

m kN M T ⋅-=-=2.122。绘出的扭矩图如图6-11所示。

（2）由扭矩图可见AB 段扭矩最大，但是由于ABC 圆轴是变截面钢轴，故无法判断危险截面是在AB 段还是BC 段内。分别计算AB 段、BC 段最大切应力：

由式（6-13）得

()

a a P MP P W T 2.361075161033

33

11max 1=⨯⨯⨯==-πτ ()

a a P MP P W T 9.48105016

102.133

3

22max 2=⨯⨯⨯==-πτ