高等数学专升本试卷(含答案)

高等数学专升本试卷

考试说明：

1、考试时间为150分钟；

2、满分为150分；

3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；

4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求.本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）

1函数1

arccos

2

x y +=的定义域是 （ ） .A 1x < .B ()3,1-

.C {}{}131x x x <⋂-≤≤ .D 31x -≤≤.

2.极限sin 3lim

x x

x

→∞等于 ( )

.A 0 .B 1

3

.C 3 .D 1.

3.下列函数中,微分等于

1

ln dx x x

的是 ( ) .A ln x x c + .B ()ln ln y x c =+ .C 21ln 2

x c + .

D ln x

c x

+.

4.()1cos d x -=⎰

（ ）

.A 1cos x - .B cos x c -+

.C sin x x c -+ .D sin x c +.

5.方程22

22x y z a b

=+表示的二次曲面是（超纲，去掉） ( )

.A 椭球面

.B 圆锥面

.C 椭圆抛物面 .D 柱面.

二.填空题(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程, 本题共有10个小题，每小题4分,共40分)

1.2226

lim _______________.4x x x x →+-=-

2.设函数(),

,x e f x a x ⎧=⎨+⎩

00x x ≤>在点0x =处连续,则

________________a =.

3.设函数x

y xe =,则()''0__________________y =.

4.函数sin y x x =-在区间[]0,π上的最大值是_____________________.

5.sin 1_______________________.4dx π

⎛⎫+= ⎪⎝

⎭

⎰

6.()() ____________________________.a

a

x f x f x dx -+-=⎡⎤⎣⎦⎰

7.设()() x

a x F x f t dt x a

=-⎰,其中()f t 是连续函数，

则()lim _________________.x a

F x +

→=

8.设32, 2a i j k b i j k =--=+-,则____________________.a b ⋅=

9.设()2,y

z x y =+则()0,1____________________________.

z

x ∂=

∂（超纲，去掉） 10.设(){},01,11,D x y x y =

≤≤-≤≤则_____________________.D

dxdy =⎰⎰（超纲，去掉）

三.计算题( 本题共有10个小题，每小题6分,共60分)

1.计算0lim

.x x

x e e x

-→-

2.

设函数y =求.dy

3.计算1x

x

e dx e +⎰.

4.设 2 0

2sin cos t

x u du y t

⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰,求.dy dx

5.计算 2 .22

dx

x x +∞

-∞

++⎰

6. 设曲线()y f x =在原点与曲线sin y x =相切,

求n

7.求微分方程'tan 3y x y +=-满足初值条件02y π⎛⎫

= ⎪⎝⎭

的特解. .

8.设(),z z x y =是由方程222

4x y z z ++=所确定的隐函数,求

.z

x

∂∂（超纲，去掉） 9.

求D

⎰⎰ ,其中区域(){}

2

222,4D x y x y π

π=≤+≤ .（超纲，去掉）

10.求幂级数21

1

13n n n x ∞

-=∑的收敛域.

四.综合题(本题有3个小题，共30分,其中第1题14分，第2题8分，第3题8分) 1.求函数21

x y x

+=

的单调区间,极值及其图形的凹凸区间.

(本题14分)

2.设()f x 在[]0,1上可导,()()00,11f f ==,且()f x 不恒等于x ,

求证：存在()0,1ξ∈使得()' 1.f ξ> (本题8分)

3.设曲线2

2y x x =-++与y 轴交于点P ,过P 点作该曲线的切线,求切线与该曲线及x 轴围成的区域绕x 轴旋转生成的旋转体的体积. (本题8分)

参考答案及评分标准

一. 选择题(每小题4分,共20分)

1.D ,

2.A ,

3.B ,

4.B ,

5.C . （超纲，去掉） 二. 填空题(每小题4分,共40分) 1.

54 , 2.1 , 3.2 , 4.0 , 5.sin 14x c π⎛⎫

++ ⎪⎝

⎭ ,

6.0 ,

7.()af a ,

8.3 ,

9.2 , （超纲，去掉） 10.2 . （超纲，去掉） 三. 计算题(每小题6分,共60分)

1. 解.00lim lim 1

x x x

x

x x e e e e x --→→-+=

5分

2.=

6分

2.解.()

3

22

1

',1y x ==

+ 5

分

故

()

3

22

1+dx

dy x =

.

6分

3.解.原式=()11x x

d

e e

++⎰

3分

()ln 1.x e c =++

6分

4.解法1.dy dy dt

dx

dx dt

=

3分

22

2sin 2.sin t t t t -==-

6分

解法2.因为22

sin ,2sin dx t dt dy t t dt ==-， 4

分

故

2.dy

t dx

=- 6分 5.

解.

原

式

()()

2

111d x x +∞

-∞

+=++⎰

3分