2012年中考数学二轮复习独家精品——专题二方程与不等式

专题二：方程与不等式孙法光一、考点综述考点内容：1、方程的解、解方程及各种方程（组）的有关概念2、一元一次方程及其解法和应用；二元一次方程组及其解法和应用3、用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法角一元二次方程4、可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法及其应用5、一元二次方程根的判别式及应用6、不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集7、不等式的基本性质8、一元一次不等式（组）的解法及应用考纲要求：熟练解方程和方程组；简单运用一元二次方程根的判别式以及根与系数关系；列方程和方程组解应用题；熟练解不等式或不等式组以及列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题。

考题分值：方程与方程组始终是中考命题的重点内容，近几年全国各地的中考试题中，考查方程和方程组的分值平均占到25%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法；一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的简单运用；列方程和方程组解应用题三大类问题．其中列一元一次方程求解商品利润问题以选择题为主；一元二次方程的解法以选择题和解答题为主；根的判别式及根与系数的关系以选择题和解答题为主，但难度一般不大；列二元一次方程组解应用题以解答题为主，主要考查解工程类、方案设计类及愉策类问题．结合2007－2008年的中考题不难看出，课改区对方程（组）的考题难度已经有所降低，如根与系数关系的运用，课改区几乎不再考查．不等式与不等式组的分值一般占到5－8%左右，其常见形式有一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主；列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题，以解答题为主．近年试题显示，不等式（组）的考查热点是其应用，即列不等式（组）求解实际生活中的常见问题．备考策略：对于方程与不等式的知识的复习，关健在于扎实基本概念和基本知识。

在对应用题的复习时一方面要弄清题目中的已知、未知以及它们之间的关系；另一方面要弄清基本关系量及变式，还要善于找出其中的相等关系式，还可以使用图表等多种方式来帮助分析问题。

二、例题精析例1解方程：224111x x x x -=-+- ．【解题思路】去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母即可．原方程变形为)1)(1(4121-+=+--x x x x x 方程两边都乘以)1)(1(-+x x ，去分母并整理得022=--x x ，解这个方程得1,221-==x x ．经检验，2=x 是原方程的根，1-=x 是原方程的增根．∴原方程的根是2=x ．【答案】2=x ．【规律总结】部分学生在解分式方程时，往往不能拿到全部分数，其中很多人是因为忘记检验．突破方法：牢牢记住分式方程必须验根，检验这一步不可缺少．例2．⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.03,04222xy x y x【解题思路】解方程组的基本思路就是消元和降次，要根据方程组的特点选取适当方法．⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-②xy x ①y x .03,04222由方程①可得()()022=-+y x y x ，∴02,02=-=+y x y x 或.它们与方程②分别组成两个方程组： ⎩⎨⎧=+-=+04022xy x y x ⎩⎨⎧=+-=-04022xy x y x 解方程组⎩⎨⎧=+-=+04022xy x y x 可知，此方程组无解；解方程组⎩⎨⎧=+-=-04022xy x y x 得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==42422221y x x x 所以原方程组的解是⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==42422221y x x x 【答案】⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==42422221y x x x 【规律总结】少数学生未能掌握二元二次方程组的基本解题思路，不知如何处理．突破方法：将第一个方程通过因式分解，得到两个一次方程，再分别与第二个方程组成两个新的方程组，求解．解题关键：解二元二次方程组的基本解题思想是消元，即化二元为一元．常用的方法就是通过因式分解进行降次，再重新组成新的方程组求解，所求得的结果即为原方程组的解．例3如图甲是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图乙是车棚顶部截面的示意图，弧AB 所在圆的圆心为O ．车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）．【考点要求】本题考查用方程解几何问题，方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的形式出现．【解题思路】连结OB ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交弧AB 于F ，如图． 由垂径定理，可知：E 是AB 中点，F 是弧AB 中点， ∴EF 是弓形高 ∴AE ==AB 2123，EF =2．设半径为R 米，则OE =(R －2)米．在Rt △AOE 中，由勾股定理，得 R 2=22)32()2(+-R ．解得R =4．∵sin∠AOE =23=OAAE ， ∴ ∠AOE =60°，∴∠AOB =120°． ∴弧AB 的长为1804120π⨯=38π．∴帆布的面积为38π×60=160π（平方米）．【答案】160π（平方米）．【规律总结】方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的形式出现，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．例4已知方程组2,231y x m y x m -=⎧⎨+=+⎩的解x 、y 满足2x +y ≥0，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥－43B ．m ≥43C ．m ≥1D ．－43≤m ≤1【解题思路】由题意，可求出752,71m y m x +=-=，代入2x +y ≥0，解得m ≥－43．或者也可整体求值，把第(2)式乘以4减去第(1)式直接得43147+=+m x y ，得07432>+=+m y x ，解得m ≥－43．【答案】选A ．·E FO BAO BA ·图乙图甲 AB2米 43米60米【规律总结】本题一般做法是把m 看作是已知系数，用含m 的代数式表示x 、y ，解出方程组的解，然后再把所求的x 、y 的值入题目中的不等式，从而得到只含m 的不等式，求出解集．或者也可以依据题目条件的特点，从整体考虑，直接进行整理得到与不等式相关的代数式，进行求解．例5．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品，共50件．已知生产一件A 种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克．（1） 据现有条件安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你设计出来． （2） 若甲种原料每千克80元，乙种原料每千克120元，怎样设计成本最低．【解题思路】（1）设生产A 种产品x 件，B 种产品)50(x -件．按这样生产需甲种的原料⎩⎨⎧≤-+≤-+290)50(103360)50(49x x x x ，∴⎩⎨⎧≥≤.30,32x x 即：3230≤≤x ．∵x 为整数，∴,32,31,30=x ∴有三种生产方案． 第一种方案：生产A 种产品30件，B 种产品20件； 第二种方案：生产A 种产品31件，B 种产品19件； 第三种方案：生产A 种产品32件，B 种产品18件．（2）第一种方案的成本：62800)2010303(120)204309(80=⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯（元）．第二种方案的成本：62360)1910313(120)194319(80=⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯（元）． 第三种方案的成本：61920)1810303(120)184329(80=⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯（元）． ∴第三种方案成本最低．【答案】（1）第一种方案：生产A 种产品30件，B 种产品20件； 第二种方案：生产A 种产品31件，B 种产品19件； 第三种方案：生产A 种产品32件，B 种产品18件． （2）第三种方案成本最低．【规律总结】解决本题的关键在于找出生产A 种产品和B 种产品分别甲种原料和乙种原料的数量，再根据厂里现有甲乙两种原料的数量列出不等式组，解不等式组得出结果可得三种生产方案．再根据三种不同方案，求出最低成本． 三、综合训练一、选择题1. 不解方程判断下列方程中无实数根的是( ) A.-x 2=2x -1 B.4x 2+4x +54=0; C. 2230x x --= D.(x +2)(x -3)==-52. 若,αβ是方程2220070x x +-=的两个实数根，则23ααβ++的值 （ ） A ．2007 B ．2005 C ．－2007 D ．40103．某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )A.200(1+x )2=1000B.200+200×2x =1000C.200+200×3x =1000D.200[1+(1+x )+(1+x )2]=10004.一元一次不等式组⎩⎨⎧>-<-x x x 332312的解集是 （ ）A ．-2＜x ＜3B ．-3＜x ＜2C ．x ＜-3D ．x ＜2 5．如图1，在数轴上所表示的是哪一个不等式的解集 （ ）A ．121->x B ．323-≥+x C ．x +1≥-1 D ．-2x ＞46．关于x 的方程632=-x a 的解是非负数，那么a 满足的条件是( ) A ．a ＞3 B ．a ≤3 C ．a ＜3 D ．a ≥3 二、填空题 1. 已知方程组x y a x y b+=⎧⎨⋅=⎩的一组解是23x y =⎧⎨=⎩，则其另外一组解是 ．2. 3 名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一场，一共需要______场比赛，则 5 名同学一共需要______比赛．3．不等式132≤-x 的解集是__________________．4．当x _________时，代数代x 32-的值是正数． 5．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥+<312134x x x x 的解集是__________________． 6．不等式0103≤-x 的正整数解是_______________________．7．2x ≥的最小值是a ，6-≤x 的最大值是b ，则.___________=+b a8．生产某种产品，原需a 小时，现在由于提高了工效，可以节约时间8%至15%，若现在所需要的时间为b 小时，则____________< b <_____________．三、解答题1．已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+m y x y x 212．（1）求这个方程组的解；（2）当m 取何值时，这个方程组的解中，x 大于1，y 不小于－1．2．已知方程组⎩⎨⎧-=-+=+172652y x k y x 的解为负数，求k 的取值范围．3．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费．①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用 A 表示）？②下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：月份 用电量（度） 交电费总数（元） 3月 80 25 4月4510根据上表数据，求电厂规定A 度为多少？4．艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元?5．近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设，正在修建的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作24天可以完成，需费用120万元，若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样需费用110万元．问：（1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要多少天？（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元？答 案一 、选择题1．B （提示：先将各方程整理为一般式，再利用根的判别式进行判断，B 项中254164444b ac -=-⨯⨯=-＜0，所以B 项方程无实数根）2．B （提示：因为,αβ是方程2220070x x +-=的两个实数根，则220072αα=-，把它代入原式得2007232007ααβαβ-++=++，再利用根与系数的关系得2αβ+=-，所以原式=2005）3．D （提示：第一季度1000万元营业额为一、二、三三个月的总额，应把三个月营业额相加） 4．C （提示：不等式①的解集为x ＜2，不等式②的解集为x ＜－3，共公部分为x ＜－3）5. C （提示：解四个不等式，得解集分别为x ＞－2，x ≥－9，x ≥－2，x ＜－2，数轴上表示的范围是x ≥－2）6. D （提示：解关于x 的方程得223x a =-，因为解非负，所以223a -≥0，解得a ≥3）二、填空题 1. 36x y =⎧⎨=⎩（将23x y =⎧⎨=⎩代入原方程然后所得解方程即可）2. 3，10（提示：设x 名学生参加比赛，每人需参赛（x －1）场，因为甲跟乙比赛时，也是乙跟甲比，所以总共比赛场次为1(1)2x x -3. x ≤5（利用不等式的基本性质）4. x ＜23（提示：由题意，2－3 x ＞0，解得x ＜23）5.－2≤x ＜1（提示：求两不等式解集的公共部分）6.1，2，3（提示：先求出不等式的解集为x ≤103，再取其中的正整数）7.－4（提示：x ≥2最小值a =2，x ≤－6，最大值b =－6，a ＋b =2＋(－6)=－4） 8.85%a ＜b ＜92% a （提示：由题意可列不等式（1－15%）a ＜b ＜（1－8%）a ） 三、解答题1. 解（1）1214m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩(2)由题意得11x y>⎧⎨≥-⎩即112114mm+⎧>⎪⎪⎨-⎪≥-⎪⎩，解得1＜x ≤5. 2. 解方程组，得218x k y k =-⎧⎨=+⎩，因为方程组的解是负数，所以00x y <⎧⎨<⎩即21080k k -<⎧⎨+<⎩，解得k ＜－8)3．解：①10＋12(90－A) ②由表中数据可得25＝10＋12(80－A) 解得：A ＝50 4．解：(1)设该工艺品每件的进价为x 元，则标价为)45(+x .由题意得:12)3545(])45(85.0[8⨯-=-+x x 解得20045155=+∴=x x （2）工艺品应降价a 元.则4900)10(4)4100)(45(2+--=+-=a a a W 10=∴a 时,获得的利润最大为4900.5．解：（1）设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要x 天，y 天．根据题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1402012424y xy x解这个方程组得x=30,y=120 . 经检验x=30,y=120是方程组的解．（2）设单独完成此项工程，甲需费用m 万元，乙需费用n 万元， 根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+⨯=⨯+11040120203012024)2030(n m n m解这个方程组得m=135,n=60 .。