垂直平分线与角平分线(讲义及答案).

垂直平分线与角平分线（讲义）
知识点睛
1.垂直平分线相关定理：
①线段垂直平分线上的点到这条线段___________________；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平
分线上．
2.角平分线相关定理：
①角平分线上的点到这个角的_____________________；
②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平
分线上．
精讲精练
1.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AC于点
E，垂足为点D．若BE+CE=12，BC=8，则△ABC的周长为___________．
第1题图第2题图
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是线段AB
的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E．若DE=1，则线段AC的长为________．
3.如图，在△ABC中，DE，GF分别是AC，BC的垂直平分线，
AD=8，BG=10．若AD⊥CD，则DG的长为_______．
4.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．
求证：OE垂直平分BD．
5.如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AB=8，BC=6．若
S△ABC=14，则DE=__________．
第5题图第6题图
6.如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD，点E
在射线OA上，若∠AOB=60°，∠OPE=80°，则∠AEP的度数为_________．
7.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交
于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．
求证：OD=OE．
8.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于
点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
9.如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在x
轴正半轴上，且OC=OB，点D位于x轴上点C的右侧，连接BC，∠BAO和∠BCD的平分线AP，CP相交于点P，连接BP，则∠PBC的度数为__________．
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，在AC和AB上分别截取
AE，AD，使AE=AD．再分别以点D，E为圆心，大于1
2 DE
的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG=4，AB=10，则△ABG的面积为________．
第10题图第11题图
11.如图，在△ABC中，∠B=35°，∠ACB=75°，请依据尺规作图
的痕迹，计算∠α=__________．
12.过直线上一点，作已知直线的垂线．
已知：A为直线MN上一点．
求作：直线AB，使AB⊥MN．
作法：
①以点A为圆心，任意长为半径作弧，交直线MN于C，D
两点；
②分别以______，______为圆心，_________为半径作弧，两
弧交MN上方于一点B；
③______________．
______________即为所求．
13.过直线外一点，作已知直线的垂线．
已知：A为直线MN外一点．
求作：直线AB，使AB⊥MN．
作法：
①在MN下方任取一点P；
②以_____为圆心，______为半径作弧，交MN于C，D两点；
③分别以______，______为圆心，_________为半径作弧，两
弧交MN下方于一点B；
④______________．
______________即为所求．
14.如图，已知△ABC，求作：（不写作法，保留作图痕迹）
（1）AC边上的高；
（2）BC边上的高．
15.如图，C，D是∠AOB内部两点，在∠AOB内部求作一点P，
使PC=PD，并且使点P到∠AOB两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
16.已知：如图，∠ABC，点D在射线BC上．
求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P 在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
17.如图，A，B是平面上的两定点，在平面上找一点C，使△ABC
是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，这样的点C有几
个？请用尺规作图确定点C的位置，保留作图痕迹．
【参考答案】
课前预习
1.①两个端点的距离相等
2.①两边的距离相等
精讲精练
1.32
2.3
3.6
4.证明略；
提示：证△AOB≌△COD（ASA），得到OB=OD，
再结合BE=DE，由“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”得证
5.2
6.110°
7.证明略；
提示：由“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”可证OD=OF=OE
8.证明略；
提示：过点F分别作FG⊥AD于G，FH⊥AE于H，FK⊥BC 于K，先由“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”
可证FG=FK=FH，再由“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”求证
9.45°
10.20
11.75°
12.①点C；点D；大于1
CD的长；③作直线AB；直线AB
2
13.②点A；AP长；③点C；点D；大于1
CD的长；③作直线
2
AB；直线AB
14.作图略
提示：过直线外一点作已知直线的垂线；
15.作图略
提示：作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线；16.作图略
提示：作线段BD的垂直平分线和∠ABC的角平分线；17.这样的点C有2个，作图略。