八年级数学上册专题等线段替换证明线段和差习题课件新版新人教版
人教版数学八年级上册全套ppt课件(共1200页)
由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.
例4 如图，D是△ABC 的边AC上一点，AD=BD， 试判断AC 与BC 的大小.
三角形的分类 问题1：观察下列三角形，说一说，按照三角形内角 的大小，三角形可以分为哪几类？
锐角三角形、 直角三角形、 钝角三角形.
问题2：你能找出下列三角形各自的特点吗？
三边均 不相等
有两条 边相等
腰
顶角 底角
三条边 均相等
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
底边
总结归纳
➢三条边各不相等的三角形叫做不等边三角形 ； ➢有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； ➢三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
物到微小的分子结构，都有什么样的形象？ （2）在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例.
讲授新课
三角形的概念
问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形? A
定义：由不在同一条直线上的三条线段
首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
B
C
问题2：三角形中有几条线段?有几个角?
有三条线段，三个角 边：线段AB，BC，CA是三角形的边. 顶点：点A，B，C是三角形的顶点， 角：∠A，∠B，∠C叫作三角形的内角，简称三角
例3 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么 ？
解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm, x+2x+2x=18. 解得 x=3.6. 所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm.
三角形的三边关系
在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它 选择A B 路线，而不选择A C B
12-2-6 全等专题-几何变换模型2021-2022学年八年级数学上册练(人教版)(解析版)
12.2.6 全等专题-几何变换模型平移全等模型【例题1】（2021·衡阳）如图，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，,//,//AB DE AC DF BC EF =．求证：ABC DEF △≌△．【分析】根据//,//AC DF BC EF ，可以得到,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠，然后根据题目中的条件，利用ASA 证明△ABC △△DEF 即可．【详解】证明：点A ，B ，C ，D ，E 在一条直线上 △//,//AC DF BC EF△,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠在ABC 与DEF 中CAB FDE AB DEABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△()ABC DEF ASA △≌△【点睛】平移是几何变换中的一种，平移不改变形状和大小，三角形平移得到的两个三角形是全等的.本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等．此题型通常结合线段的和差以及平行线的性质与判定综合考察.1. 平移全等模型，如下图：变式训练【变式1-1】（2021·河南）如图，在ABC 和DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的—个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明． △AB DE =；△AC DF =；△ABC DEF ∠=∠；△BE CF =； 解：我写的真命题是：在ABC 和DEF 中，已知：________________． 求证：________________．（不能只填序号） 【详解】解：将△△△作为题设，△作为结论，可写出一个正确的命题，如下：已知：如图，在ABC 和DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB DE =，AC DF =，BE CF =． 求证：ABC DEF ∠=∠． 证明：△BE CF =， △BC EF =．在ABC 和DEF 中，AB DEAC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△()ABC DEF SSS ≌． △ABC DEF ∠=∠；将△△△作为题设，△作为结论，可写出一个正确的命题，如下：已知：如图，在ABC 和DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB DE =，ABC DEF ∠=∠，BE CF =． 求证：AC DF =． 证明：△BE CF =， △BC EF =．在ABC 和DEF 中，AB DEABC DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()ABC DEF SAS ≌， △AC DF =．【变式1-2】（2021·北京一模）如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，//,,AB DE AB DE BE CF ==．求证：A D ∠=∠．【分析】根据平行得出B DEF ∠=∠，然后用“边角边”证明ABC DEF △≌△即可． 【详解】证明：△//AB DE ， △B DEF ∠=∠． △BE CF =，△BE EC CF EC +=+． △BC EF =．在ABC 和DEF 中，,,,AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC DEF △≌△． △A D ∠=∠．【变式1-3】（2021·湖北武汉市·九年级三模）已知：如图，点E 、C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB △DE ，AC △DF ．求证：△ABC △△DEF ．【分析】由BE ＝CF ，可推出BC ＝EF ，再由平行线的性质可推出△B ＝△DEF ，△ACB ＝△F ．即可利用“ASA”证明△ABC △△DEF ． 【详解】证明：△BE ＝CF ， △BC ＝EF ，△AB △DE ，AC △DF ， △△B ＝△DEF ，△ACB ＝△F ， 在△ABC 和△DEF 中，B DEFBC EF ACB F ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， △△ABC △△DEF （ASA ）．翻折全等模型【例2】（2021·全国九年级专题练习）如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，△BAE ＝△DAC ．求证：△C ＝△E ． 【分析】根据△BAE =△DAC ，可推出△BAC =△DAE ，解题已知可证△BAC △△DAE 即可得出答案． 【详解】△△BAE =△DAC ，△△BAE ＋△EAC =△DAC ＋△EAC ， 即：△BAC =△DAE ． 在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△BAC △△DAE ． △△C =△E ．【点睛】翻折是几何变换中的一种，翻折不改变形状和大小，其实就是一种抽对称变换.翻折的边，角都对应相等．此题型通常结合公共边、公共角、角的和差以及等量代换综合考察三角形全等. 变式训练【变式2-1】（2021·苏州一模）已知：如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，,AD AE BD CE ==． 求证：B C ∠=∠．【分析】根据全等三角形的判定定理SAS 推出即可． 【详解】证明：△AD ＝AE ，BD ＝CE ， △AB ＝AC ，翻折全等模型，如下图：在△ABE 和△ACD 中AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ABE △△ACD （SAS ）， △△B =△C ．【变式2-2】（2021·昆明二模）如图，已知AE 平分CAD ∠，AC AD =，求证：CBE DBE ∠=∠． 【分析】根据题意得出CAB DAB ∠=∠，再利用SAS 即可证明ABC ABD △≌△，然后利用全等三角形的性质得出CBA DBA ∠=∠，最后根据等角的补角相等即可证明．【详解】证明：△AE 平分CAD ∠， △CAB DAB ∠=∠． 在ABC 和ABD △中，,,,AC AD CAB DAB AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC ABD △≌△（SAS ）． △CBA DBA ∠=∠． △CBE DBE ∠=∠．【变式2-3】（2021·全国练习）你见过如图所示的风筝吗？开始制作时，AB CD =，AC DB =，后来为了加固，又过点O 加了一根竹棒EF ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，且AOE DOF =∠∠，你认为OE ，OF 相等吗？请说明理由．【答案】OE OF =，理由见解析【分析】连接BC ，首先证明△ABC △△DCB 可得△A =△D ，然后再证明△ABO △△DCO 可得AO =DO ，最后证明△AEO △△DFO 可得EO =FO ． 【详解】解：OE OF =；理由如下： 连接BC ，如图在ABC ∆和DCB ∆中，AB DC AC BD BC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABC DCB SSS ∴∆≅∆，A D ∴∠=∠，在ABO ∆和DCO ∆中，A D AOB DOC AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABO DCO AAS ∴∆≅∆，AO DO ∴=，在AEO ∆和DFO ∆中，A D AO DOAOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AEO DFO ASA ∴∆≅∆，EO FO ∴=．中心对称全等模型【例题3】（2020·浙江温州市·八年级期末）如图，,,AE BF AD BC DF CE===，求证：//AD CB．【分析】根据AE=BF，得到AF=BE，再利用SSS证明△ADF△△BCE，得到△A=△B，可得AD//B C．【详解】解：△AE=BF，△AE+EF=BF+EF，△AF=BE，又△AD=BC，DF=CE，△△ADF△△BCE（SSS），△△A=△B，△AD//B C．【点睛】中心对称是几何变换中的一种，中心对称不改变形状和大小，其实就是一种特殊的旋转变换（旋转180°）.中心对称的边，角都对应相等．此题型通常结合公共边、公共角、角的和差以及等量代换综合考察三角形全等.变式训练【变式3-1】（2021·辽宁大连市·九年级二模）如图，点A，F，E，D在一条直线上，AF＝DE，CF△BE，AB△CD．求证BE＝CF．中心对称全等模型，如下图：【分析】根据线段的和差关系可得AE ＝DF ，根据平行线的性质可得△D ＝△A ，△CFD ＝△BEA ，利用ASA 可证明△ABE △△DCF ，根据全等三角形的性质即可得结论． 【详解】 △AF ＝DE ，△AF ＋EF ＝DE ＋EF ，即AE ＝DF ， △AB //CD ， △△D ＝△A ， △CF //BE ， △△CFD ＝△BEA ，在△ABE △△DCF 中，A D AE DF BEA CFD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△ABE △△DCF ， △BE ＝CF ．【点睛】本题考查平行线的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 【变式3-2】（2021·广东肇庆市·九年级一模）如图，四边形ABCD 的对角线交于点O ，点E 、F 在AC 上，//DF BE ，且DF BE =，AE CF =．求证：AB CD =，且//AB CD ．【详解】//DF BE BEO DFO ∴∠=∠AEB CFD ∴∠=∠又DF BE =∵，AE CF =ABE CDF ∴△≌△AB CD ∴=，BAE DCF ∠=∠ //AB CD ∴【变式3-3】（2021·山东济南市·七年级期末）如图，已知//AB CD ，AB CD =，BF CE =．求证：AE DF =且//AE DF ．【答案】见解析 【分析】先由平行线的性质得△B =△C ，结合BF EF CE EF +=+，从而利用SAS 判定△ABE △△DCF ；根据全等三角形的性质得AE DF =且//AE DF ． 【详解】 证明：BF CE =，BF EF CE EF ∴+=+，即BE CF =，//AB CD ， B C ∴∠=∠，在ABE △与CDF 中，AB CD B C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABE CDF SAS ∴△≌△，AEB DFC ∴∠=∠，AE DF =//AE DF ∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，属于全等基础知识的考查，难度不大，注意证明过程的规范性．简单旋转全等模型【例题4】（2021·广东广州市·九年级一模）如图，∠B ＝∠E ，∠1＝∠2，BC ＝EC ． 求证：AB ＝DE ．【分析】先证出△ACB =△DCE ，再根据AAS 证明 △ABC △△DEC ，即可得出AB =DE ； 【详解】证明：△△1=△2 ， △△ACB =△DCE ， 在△ABC 和△DCE 中，=B E ACB DCE BC EC ⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ △△ABC △△DEC (AAS )， △AB =DE ．变式训练【变式4-1】（2021·陕西中考真题）如图，//BD AC ，BD BC =，点E 在BC 上，且BE AC =．求证：D ABC ∠=∠．【分析】由题意易得EBD C ∠=∠，进而可证EDB ABC ≌△△，然后问题可求证． 【详解】证明：△//BD AC ， △EBD C ∠=∠． △BD BC =，BE AC =， △()EDB ABC SAS ≌． △D ABC ∠=∠．简单旋转全等模型，如下图：【变式4-2】（2021·昆明二模）如图所示，AC BC ⊥，DC EC ⊥，垂足均为点C ，且AC BC =，EC DC =．求证：AE BD =．【分析】根据SAS 证明ACE BCD △≌△即可．【详解】证明：△AC BC ⊥，DC EC ⊥，△90ACB ECD ∠=∠=︒△ACB BCE ECD BCE ∠+∠=∠+∠即ACE BCD ∠=∠在ACE 和BCD △中AC BC ACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()SAS ACE BCD ≌△△ △AE BD =【变式4-3】在△ABC 中，AB =AC ，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AD =AE ，△DAE =△BAC ，连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果△BAC =90°，则△BCE 为多少？说明理由；（2）设△BAC =α，△BCE =β．△如图2，当点D 在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；△当点D 在直线BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需证明．【答案】（1）90°；（2）△α＋β＝180°，理由见详解；△点D 在直线BC 上移动，α＋β＝180°或α＝β．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得△ABC ＝△ACB ＝45°，由“SAS”可证△BAD△△CAE ，可得△ABC ＝△ACE ＝45°，可求△BCE 的度数；（2）△由“SAS”可证△ABD△△ACE 得出△ABD ＝△ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；△分两种情况画出图形，由“SAS”可证△ABD△△ACE 得出△ABD ＝△ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】解：（1）△AB ＝AC ，△BAC ＝90°，△△ABC ＝△ACB ＝45°，△△DAE ＝△BAC ，△△BAD ＝△CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，△△BAD△△CAE （SAS ）△△ABC ＝△ACE ＝45°，△△BCE ＝△ACB ＋△ACE ＝90°；（2）△α＋β＝180°，理由：△△BAC ＝△DAE ，△△BAC−△DAC ＝△DAE−△DAC ．即△BAD ＝△CAE ．在△ABD 与△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ABD△△ACE （SAS ），△△B ＝△ACE ．△△B ＋△ACB ＝△ACE ＋△ACB ．△△ACE ＋△ACB ＝β，△△B ＋△ACB ＝β，△α＋△B ＋△ACB ＝180°，△α＋β＝180°；△如图1：当点D 在射线BC 上时，α＋β＝180°，连接CE ，△△BAC ＝△DAE ，△△BAD ＝△CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ABD△△ACE （SAS ），△△ABD ＝△ACE ，在△ABC 中，△BAC ＋△B ＋△ACB ＝180°，△△BAC ＋△ACE ＋△ACB ＝△BAC ＋△BCE ＝180°，即：△BCE ＋△BAC ＝180°，△α＋β＝180°，如图2：当点D 在射线BC 的反向延长线上时，α＝β．连接BE ，△△BAC ＝△DAE ，△△BAD ＝△CAE ，又△AB ＝AC ，AD ＝AE ，△△ABD△△ACE（SAS），△△ABD＝△ACE，△△ABD＝△ACE＝△ACB＋△BCE，△△ABD＋△ABC＝△ACE＋△ABC＝△ACB＋△BCE＋△ABC＝180°，△△BAC＝180°−△ABC−△ACB，△△BAC＝△BCE．△α＝β；综上所述：点D在直线BC上移动，α＋β＝180°或α＝β．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，证明△ABD△△ACE是解本题的关键．。
人教版数学八年级上册《11.1.1 三角形的边》课件精品
① 若底边长为 4 cm，设腰长为 x cm，则有 4 + 2x = 18，解得 x = 7.
②若腰长为 4 cm，设底边长为 x cm，则有 2×4 + x = 18，解得 x = 10. ∵ 4 + 4＜10，不符合三角形三边关系， ∴ 该情况不存在. 综上可知，可以围成底边长是 4 cm，腰长是 7 cm 的 等腰三角形.
解：设第三根木棒长为 x，则应有 7 - 2 < x < 7 + 2， 即 5 < x < 9. 则用长度为 4 或 11 的木棒都不能和它们拼成三 角形. 第三根木棒长的范围为 5 < x < 9.
归纳 三角形的第三边长 x 满足两边之差＜x＜两边之和.
例2 用一条长为 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形. (1) 如果腰长是底边长的 2 倍，那么各边的长是多少？ (2) 能围成有一边的长是 4 cm 的等腰三角形吗？为什么？ 解：(1) 设底边长为 x cm，则腰长为 2x cm，
归纳总结
三角形两边的和大于第三边. 三角形两边的差小于第三边.
典例精析
例1 下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？ （1）3 cm、8 cm、4 cm；（2）5 cm、6 cm、11 cm； （3）5 cm、6 cm、10 cm. 解：（1）不能，因为 3 cm + 4 cm < 8 cm．
人教版数学八年级上册教学课件
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边
与三角形有关的线段(课件)八年级数学上册(人教版)
1
AD×BC＝ BP×AC.
2
2
24
代入数值，可解得BP＝ .
5
【点睛】面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出
面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.
如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝9cm．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AD的长．
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
（11.1.1-11.1.3）
情景引入
在我们日常生活中经常能看到三角形的影子.
减速慢行
注意儿童
前方村庄
11.1.1 三角形的边
三角形的概念
问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三
角形?
A
定义：由不在同一条直线上的三条
线段首尾顺次相接所组成的图形叫
解：
1
2
1
2
（1）由题意得：△ = AB×CE= ×6×9=27cm2 ．
1
2
（2）∵△ = BC×AD，
∴
1
27=
2
×12×AD
解得AD=4.5cm．
思考 已知D是BC的中点，试问△ABD的面积与△ADC的面积有何
关系？
连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的
中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC
把一条线段分成两条相等的线段的点.
3.角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角
的平分线.
思考 你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？
A
B
思考 如何求△ABC的面积？
D
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所
线段的和差(53张PPT)数学
答案
解析
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18
CD
CB
解析 由题图可知：BD＝BC＋CD，AD＝AC＋BD－CB.
(2)如果CD＝4 cm，BD＝7 cm，B是AC的中点，那么AB的长为_____cm.
答案
解析
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3
解析 如果CD＝4 cm，BD＝7 cm，B是AC的中点，则BC＝BD－CD＝7－4＝3 cm，∴AB＝BC＝3 cm.
∴点O是线段AB的中点；∵AB＝2OB，∴点O是线段AB的中点.故选C.
答案
解析
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4.如图，C是线段AB上的一点，点D是线段BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则AD等于( )A.4 B.6 C.7.5 D.8
D
解析 ∵BC＝AB－AC＝4，点D是线段BC的中点，∴CD＝DB＝ BC＝2，∴AD＝AC＋CD＝6＋2＝8.故选D.
中点
知识点2 与中点有关的计算
答案
自我检测2.点C是线段AB的中点，则下列结论不成立的是( )A.AC＝BC B.AC＝ ABC.AB＝2AC D.BC＝ AB
B
答案
返回
人教版八年级上册数学课件：与三角形有关线段综合复习优秀课件
则它的最短边长为( B )
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
2.已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，
能组成三角形的是（ C ）
A.1，2，3
B.2，5，8
C.3，4，5
D.4，5，10
3.已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能
是（D）
A．3
B．5
C．7
D．9
人教版八年年级级上上册册数数学学课课件件：：1与1.三1与角三形角有形关有线关段线综段合综复合习复优习秀(共 ppt18课张件PP T)
8.下列各组给出的三条线段中不能组成三角形的是（ D）
A.3，4，5
B.3a，4a，5a
C.3+a，4+a，5+a D.三条线段之比为3∶5∶8
人教版八年年级级上上册册数数学学课课件件：：1与1.三1与角三形角有形关有线关段线综段合综复合习复优习秀(共 ppt18课张件PP T)
9.. 三 角 形 三 边 的 比 是 3 ∶ 4 ∶ 5 ， 周 长 是 96cm ， 那 么 三 边 分 人教版八年年级级上上册册数数学学课课件件：：1与1.三1与角三形角有形关有线关段线综段合综复合习复优习秀(共 ppt18课张件PPT)
别是 24,32,40 cm.
10.已知等腰三角形的周长是25cm，其中一边长为10cm，
求另两边长 10,5或7.5,7.5cm .
11.已知三角形的三边长分别为3,8,x; 若x的值为奇数,则x的
值有__2_个;
12.已知等腰三角形的周长为21cm，若腰长为底边长的3倍，
则其三边长分别为 3,9,9cm ;
图11.1-2
人教版八年级上册数学课件：11.1与 三角形 有关线 段综合 复习(共 18张PP T)
2022-2022八年级数学上册 11.1.1 三角形的边课件 (新版)新人教版
考考你！ 有人说，自己步子大，
一步能走3米多，你相 信吗？说说你的理由！
答：不能。如果此人一步能走 3米多，由三角形三边的关系 得，此人两腿的长大于3米多 ，这与实际情况相矛盾，所以 它一步不能走3米多。
练一练
1.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是 9cm,则这个等腰三角形的周长=______________.
•
11、人总是珍惜为得到。2022/2/172022/2/172022/2/17Feb-2217-Feb-22
•
12、人乱于心，不宽余请。2022/2/172022/2/172022/2/17Thursday, February 17, 2022
•
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。2022/2/172022/2/172022/2/172022/2/172/17/2022
（）
2.小颖要制作一个三角形木架，现有
两根长度为8cm和5cm的木棒，如果
要求第三根木棒的长度是偶数，小颖
有几种选法？第三根的长度可以是多
少？
• 1 用一根长为18厘米的细铁丝围成一个 等腰三角形。
• （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边 的长是多少？
• （2）能围成有一边的长为4厘米的等腰 三角形吗？为什么？
5
5
3
3 53
5
5
2
2、已知两条边长分别为2cm、5cm，
你可以画出几个符合条件的等腰三角形？
摘苹果
（1）任何三条线段都能组成一个三角形
()
（2）因为a+b>c,所以a、b、c三边可以构成三角形（ ）
(3) 以长为3cm、5cm、7cm、10cm的四条线段中的
三条线段为边，可构成_____个三角形．
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第11章三角形11.2.2 三角形的外角教学课件
∴∠ADB＝180°–∠B–∠BAD ＝180°–36°–34°
B
DC
＝110°.
巩固练习
11.1 与三角形有关的线段/
4. 如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，则：
∠1 = ∠2 ；
1
∠3 = 2 ∠ABC ；
∠ACB = 2∠4.
A
1
2
12 E F
3
B
3
D
44
C
探究新知
三角形的 重要线段
解得x=4.
探究新知
11.1 与三角形有关的线段/
知识点 2 三角形中线的概念
我们学习了三角形的高，我们已经知道了三 角形的面积公式，你能经过三角形的一个顶点画 一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三 角形吗？
探究新知
11.1 与三角形有关的线段/
三角形的中线的定义
在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做 三角形的中线．
巩固练习
11.1 与三角形有关的线段/
2.如图，(1)写出以AE为高的三角形;(2)当BC=8，AE=3， AB=6时，求AB边上的高的长度.
解：(1)△ABE，△ABD，△ABC，
△AED，△AEC，△ADC.
(2)设AB边上的高为x，
∵S△ABC=
1
2 BC·AE=
1
2AB·x
∴BC·AE=AB·x，8×3=6x
3条高，锐角三角 形：形内；钝角 三角形：形外； 直角三角形：直 角顶点
∵ AD是△ABC的BC上
的中线. ∴ BD=CD= 12BC.
3条，交点叫作三 角形的重心.形内
∵AD是△ABC的∠BAC
的平分线 ∴ ∠1=∠2= 12∠BAC
三角形全等作辅助线模型二截长补短知识讲解20212022学年八年级数学上册基础知识专项讲练人教版
专题12.12 三角形全等作辅助线模型（二）-截长补短（知识讲解）有一类几何题其命题主要证明三条线段长段的“和”或“差”及其比例关系，这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。
所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已经线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。
所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段关系。
有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。
【典型例题】1、 阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC V 中，AD 平分BAC Ð，2B C Ð=Ð．求证：AB BD AC +=．李老师给出了如下简要分析：“要证AB BD AC +=就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截长法’如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD =__________即可，这就将证明线段和差问题__________为证明线段相等问题，只要证出V __________≌△__________，得出B AED Ð=Ð及BD =_________，再证出Ð__________=Ð___________，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD 平分BAC Ð，将ABD △沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处’成为可能．方法二：“补短法”如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可．此时先证Ð__________C =Ð，再证出V _________≌△_________，则结论成立．”“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【答案】方法一：CE ；转化；ABD ；AED ；DE ；EDC ；C ；方法二：F ；AFD ；ACD【分析】方法一：在AC 上截取AE AB =，由SAS 可证ABD AED D @D 可得B AED Ð=Ð，BD=DE ，根据等角对等边得到CE=DE ，即可求证；方法二：延长AB 至点F ，使BF BD =，由AAS 可证AFD ACD D @D ，可得AC=AF ，即可证明：方法一：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2∵AD 平分BAC Ð，∴BAD DAC Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴ABD AED D @D ，∴B AED Ð=Ð，BD=DE ，∵2B C Ð=Ð，∴2AED CÐ=Ð而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，∴EDC C Ð=Ð，∴DE=CE ，∴AB+BD=AE+CE=AC ，故答案为：CE ；转化；ABD ；AED ；DE ；EDC ；C ；方法二：如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，∴F BDFÐ=Ð∴2ABD F BDF FÐ=Ð+Ð=Ð∴2ABD CÐ=Ð∴F CÐ=Ð在AFD D 和ACD D 中FAD CAD F CAD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴AFD ACD D @D ，∴AC=AF ，∴AC=AB+BF=AB+BD ，故答案为：F ；AFD ；ACD ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式．举一反三：【变式】 数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC D 中，90BAC Ð=°，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD Ð=Ð；在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ^交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB Ð与HFC Ð有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD Ð=Ð；（2）猜想AFB Ð与HFC Ð的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）HFC BFA Ð=Ð，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD @V V 可得结论；（2）设ABE ACD x Ð=Ð=，推出=45BFA x а+，=45HFC x а+，即可证明HFC BFA Ð=Ð；（3）过点C 作CM AC ^交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明△ABE ≌△CAM ，得出BE AM =和M BEA Ð=Ð，从而证明△NFC ≌△MFC ，得到FM FN =和M FNC Ð=Ð，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.（1）证明：∵在△ABE 和△ACD 中，==AB AC A A AE AD ìïÐ=Ðíïî，ABE ACD \D @D （SAS ），ABE ACD \Ð=Ð；（2）设ABE ACD x Ð=Ð=，AF BE ^ ，90BAF x \Ð=°-，()=9045=45BFA x x \а-°-°+，ACD x Ð= ，45HCF x \Ð=°-，FP CD ^ ，()9045=45HFC x x \Ð=°-°-°+，HFC BFA \Ð=Ð；（3）过点C 作CM AC ^交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC Ð+Ð=° ，90BAF ABG Ð+Ð=°，FAC ABG \Ð=Ð，在△ABE 和△CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ÐÐìïíïÐÐî，ABE CAM \D @D （ASA ），BE AM \=，M BEA Ð=Ð，BFA MFC NFC Ð=Ð=Ð ，FC FC =，45ACB BCM Ð=Ð=°，NFC MFC \D @D （ASA ），FM FN \=，M FNC Ð=Ð，FNC BEA \Ð=Ð，PN PE \=，∴BP BE PE AM PE AF FM PE =-=-=+-AF FN PN AF PF =+-=+.【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度.2、 阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积．【答案】（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK V V ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH V V ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S S S S S S =+=+==V V V V V 四边形，故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，\∠FNK=∠FGH=90°，\FGH FNK V V ≌，\FH=FK ，又 FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，\FMK FMH V V ≌，\MK=FN=2cm ，\12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S S S S S MK FN =++=´×=V V V V 五边形．【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．举一反三：【变式】在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．请证明AB=AC+CD；（2）①如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；②如图③，当∠C≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【答案】（1）证明见解析；（2）①AB=AC+CD；②AC+AB=CD，证明见解析．【分析】（1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD，进而得出答案；（2）①首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE，求出BE=DE=CD，进而得出答案；②首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠EDC，求出BE=DE=CD，进而得出答案．（1）证明：∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED=90°，∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，∴∠B=45°，∴∠BDE=45°，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；①AB=AC+CD．理由如下：在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠B+∠BDE=∠AED，∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；②AC+AB=CD．理由如下：在射线BA上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠EAC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠ACD=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴设∠B=x，则∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，∴∠B=∠EDC，∴BE=ED=CD，∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，利用已知得出△AED≌△ACD是解题关键．3、（初步探索）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；（灵活运用）（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a 于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；（延伸拓展）（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．【答案】（1）DA=DC+DB，证明见详解；（2）见详解；（3）∠EAF=11802DAB°-Ð，证明见详解.【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB；（2）首先在AC上截取CM=CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，则可证得CD+CE=CA；（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，进而推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论．解答：DA=DC+DB，理由如下：（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD=AE ，∠BAD=∠CAE ，∵∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB ，即DA=DC+DB ；（2）证明：在AC 上截取CM=CD ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴△CDM 是等边三角形，∴MD=CD=CM ，∠CMD=∠CDM=60°，∴∠AMD=120°，∵∠ADE=60°，∴∠ADE=∠MDC ，∴∠ADM=∠EDC ，∵直线a ∥AB ，∴∠ACE=∠BAC=60°，∴∠DCE=120°=∠AMD ，在△ADM 和△EDC 中，ADM EDC MD CDAMD ECD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△ADM≌△EDC(ASA)，∴AM=EC，∴CA=CM+AM=CD+CE；即CD+CE=CA.（3）∠EAF=11802DAB°-Ð；证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，又∵AB=AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=11802DAB°-Ð.【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．举一反三：【变式1】 如图，AB CD ∥，BE 平分ABC Ð，CE 平分BCD Ð，点E 在AD 上，求证：BC AB CD =+.【分析】在BC 上取点F ，使BF=BA ，连接EF ，由角平分线的性质可以得出∠1=∠2，从而可以得出△ABE ≌△FBE ，可以得出∠A=∠5，进而可以得出△CDE ≌△CFE ，就可以得出CD=CF ，即可得出结论．证明：在BC 上取点F ，使BF=BA ，连接EF ，∵BE 、CE 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE 和△FBE 中，12AB FB BE BE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABE ≌△FBE(SAS)，∴∠A=∠5，∵AB ∥CD ，∴∠A+∠D=180°，∴∠5+∠D=180，∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D ，在△CDE 和△CFE 中，634D CE CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△CDE ≌△CFE(AAS)，∴CF=CD ．∵BC=BF+CF ，∴BC=AB+CD．【点拨】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用截取法正确作辅助线是关键．【变式2】如图，在△ABC 中，60BAC Ð=°，40ACB Ð=°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线．求证：（1）BQ CQ =；（2）BQ AQ AB BP +=+．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由三角形的内角和就可以得出∠ABC ＝80°，再由角平分线的性质就可以得出∠QBC ＝40°，就有∠QBC ＝∠C 而得出结论；（2）延长AB 至M ，使得BM ＝BP ，连结MP ，根据条件就可以得出∠M ＝∠C ，进而证明△AMP ≌△ACP 就可以得出结论．（1）证明：∵BQ 是ABC Ð的角平分线，∴12QBC ABC Ð=Ð．∵180ABC ACB BAC Ð+Ð+Ð=°，且60BAC Ð=°，40ACB Ð=°，∴80ABC Ð=°，∴180402QBC Ð=´°=°，∴QBC C Ð=Ð，∴BQ CQ =；（2）证明：延长AB 至M ，使得BM BP =，连结MP ．∴M BPM Ð=Ð，∵△ABC 中60BAC Ð=°，40C Ð=°，∴80ABC Ð=°，∵BQ 平分ABC Ð，∴40QBC C Ð=°=Ð，∴BQ CQ =，∵ABC M BPM Ð=Ð+Ð，∴40M BPM C Ð=Ð=°=Ð，∵AP 平分BAC Ð，∴MAP CAP Ð=Ð，在△AMP 和△ACP 中，∵M C MAP CAP AP AP Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AMP ≌△ACP ，∴AM AC =，∵AM AB BM AB BP =+=+，AC AQ QC AQ BQ =+=+，∴AB BP AQ BQ+=+【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．。
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第11章三角形11.2.2 三角形的外角教学课件
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？
A
F
钝角三角形的三条高不相交于一点；
(4)它们所在的直线交于 一点吗？
DB
C
钝角三角形的三条高所在的直线交
E
于一点.
O
探究新知
11.1 与三角形有关的线段/
三角形的三条高的特性：
高在三角形内部的数量 高之间是否相交
高所在的直线是否相交 三条高所在直线的 交点的位置
探究新知
知识点 1
11.1 与三角形有关的线段/
三角形高的概念
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边
A
的垂线吗?
B
C
探究新知
11.1 与三角形有关的线段/
三角形的高的定义
从三角形的一个顶点，向它的对边 所在直线作垂线， 顶点 和垂足之间的线段 叫做三角形的高线，简称三角形的高.
如右图， 线段AD是BC边上的高. B
如图， 点D 是BC 的中点， 则线段AD 是△ABC 的中线，
几何语言：BD =DC = 1 BC．
2
探究新知
11.1 与三角形有关的线段/
如上页图，画出△ABC 的另两条中线，观 察三条中线，你有什么发现？
探究新知
11.1 与三角形有关的线段/
画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角 形，再分别画出这三个三角形的三条中线.
解得x=4.
探究新知
11.1 与三角形有关的线段/
知识点 2 三角形中线的概念
我们学习了三角形的高，我们已经知道了三 角形的面积公式，你能经过三角形的一个顶点画 一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三 角形吗？
探究新知
11.1 与三角形有关的线段/
八年级期末复习专题一 等线段代换法证线段和差问题
1八年级上数学期末复习专题一2018.12.6 专题 等线段代换法证线段和差问题【方法技巧】三条线段之间的和差问题一般通过全等转化为证两线段相等的问题1、 如图，D 为ΔABC 边BC 的中点，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F 。
（1） 求证：BE=CF; （2） 求证：AE+AF=2AD.2、如图，若在四边形ABCD 中，AB=AD, ∠B+∠D=180º.E,F 分别是BC,CD 上的点，且∠EAF=∠BAD 求证：EF=BE+DF;3、 如图，已知∆ABC 中，∠BAC=90º,AB=AC,点P 为BC 边上一动点（BP<CP ）,分别过B 、C 作AP 的垂涎BE 、CF ，垂足为E 、F 。
（1） 求证：①∆ABE ≌∆CAF; ②EF=CF-BE.BCE（2） 若点P 为BC 延长线上一点，其他条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论4、如图，△ABC 中，∠BAC=90°,AC=2AB,O 为AC 的中点，AD 为高，OG ⊥AC ，交AD 的延长线于G ，OB 交AD 于F ，OE ⊥OB 交BC 于E 。
（1） 求证：△A OG≌△BAC;（2） 求证：△A BF≌△COE; （3） 求证：BC=CE+FG专题 中点问题（二）向中线作垂线构造全等【方法技巧】：过线段的两端点向中点处的线段作垂线构造全等三角形1、如图，AD 为△A BC,BE⊥AD 于E ，C F⊥AD 于F ，求证：DE=DF 。
CBC2、如图，AD 为△ABC 的中线，求证： S △AB D =S △ADC .3、如图，D 为CE 的中点，F 为AD 上一点，且EF=AC ，求证：∠D FE=∠DAC.4、如图，∠C=90°,BE⊥AB 且B E=AB,BD⊥BC 且BD=BC,CB 的延长线交DE 于F. （1） 求证：点F 是ED 的中点；DBDEA.（2）求证：S△ABC=2S△BEF4。
人教版八年级上册数学复习-完整PPT课件
1、完成下表 抢答
已知点
(2,-3) (-1,2) (-6,-5) (0,-1.6) (4,0)
关于x轴的对称点 关于y轴的对称点
2, 3 -1,-2 -2, -3 1, 2
-6, 5 6, -5
2、已知点2ab,-3a与点’8,b2
0,16 4,0 0, -16 -4,0
若点与点’关于轴对称，则a=_____ 2b=______4_
4．三角形的分类：
1：按边分类
不 等 边 三 角 形 三 角 形 等 腰 三 角 形 腰 腰 与 与 底 底 不 相 相 等 等 的 的 等 等 边 腰 三 三 角 角 形 形
2：按角分类
直角三角形 三角形斜三角形锐 钝角 角三 三角 角形 形
5、三角形的稳定性 6、三角形内角和定理： 1什么是三角形内角和定理？
三角形的外角与内角的关系：
1:三角形的一个外角与它相邻的内角互补； 2:三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和；
3:三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
4:三角形的外角和为360°。
8、多边形
（1）n边型内角和等于（n-2）180° （2）多边形的外角和等于360° （3）从n边形一个顶点可以作（n-3）条对角线， 把n边形分成（n-2）个三角形。
使DC=BC,连接AD
第十三章 轴对称
一轴对称图形
1、轴对称图形：
• 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称 图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
•
2、轴对称： •把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另 一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条 直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的 点是对应点,叫做_对称点
人教版八年级数学上册阶段方法技巧训练：专训2 三角形的三种重要线段的应用 (共30张PPT)
类型2 作三角形的高
2. (动手操作题】画出图中△ABC的三条高．(要 标明字母，不写画法)
解： 如图．
类型3 求与高相关线段的问题
3．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边 上的高AD＝4.求：
4x)cm. 依题意，有AB＋AD＝15 cm或AB＋AD＝6 cm， 则有2x＋x＝15或2x＋x＝6， 解得x＝5或x＝2. 当x＝5时，三边长为10 cm，10 cm，1 cm； 当x＝2时，三边长为4 cm，4 cm，13 cm，而4 ＋4＜13，故不成立． 所以这个等腰三角形的三边长为10 cm，10 cm， 1 cm.
解： 因为AE平分∠BAC， 所以∠BAE＝∠CAE. 又因为∠1＝∠2＝15°， 所以∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°. 所以∠CAE＝∠BAE＝30°， 即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°. 又因为∠4＝15°， 所以∠3＝15°. 所以∠2＝∠3. 所以AE是△DAF的角平分线．
类型2 三角形的角平分线与高相结合求角的度数
1 BC，
1
4
∴GH＝BD＝ BC.
∴S阴影＝
1´ 4
骣 ççç桫124BC
• h÷÷÷
＝
1 4
S△ABC＝4.
故选B.
应用 2 三角形的中线的应用
类型1 求与中线相关线段的问题
6. 如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4， DE＝2，则BD的长为( A ) A．2 B．3 C．4 D．6
同类变式
7. 如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线， BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的 周长为( ) A．40 B．46 C．50 D．56