山东省淄博市2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题
高中数学压轴题题型名校模考题汇总
专题10压轴题题型汇总压轴题型一、保值函数型“保值函数”，又称为“k 倍值函数”，“和谐函数”，“美好区间”等等。
1、现阶段主要是一元二次函数为主的。
核心思路是转化为“根的分布”。
2、函数单调性是解决问题的入口之一。
3、方程和函数思想。
特别是通过两个端点值构造对应的方程，再提炼出对应的方程的根的关系。
如第1题1.（江苏省连云港市市区三星普通高中2020-2021学年高一上学期期中联考）对于区间[,]a b 和函数()y f x =，若同时满足：①()f x 在[,]a b 上是单调函数；②函数(),[,]y f x x a b =∈的值域还是[,]a b ，则称区间[,]a b 为函数()f x 的“不变”区间.（1）求函数2(0)y x x =≥的所有“不变”区间；（2）函数2(0)y x m x =+≥是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.2.（北京市昌平区2020-2021学年高一上学期期中质量抽测）已知函数2()f x x k =-.若存在实数,m n ，使得函数()f x 在区间上的值域为，则实数k 的取值范围为（）A ．(1,0]-B ．(1,)-+∞C ．2,0]D ．(2,)-+∞3.（广东省广州市第一中学2020-2021学年高一上学期11月考试）已知函数221()x f x x-=.（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）若不等式23()1x f x kx x +-≥在1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）当11,(0,0)x m n m n ⎡⎤∈>>⎢⎥⎣⎦时，函数()()1(0)g x tf x t =+>的值域为[23,23]m n --，求实数t 的取值范围.4.(江苏省盐城市实验高级中学2020-2021学年高一上学期期中）一般地，若()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],a b 为()f x 的“k 倍跟随区间”；特别地，若()f x 的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”，（1）若[]1,b 为2()22f x x x =-+的跟随区间，则b =______；（2）若函数()f x m =m的取值范围是______.压轴题型二、方程根的个数1.一元二次型“根的分布”是期中考试的一个难点和热点。
山东省菏泽市2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题期中答案
高一数学试题（B ）参考答案一、选择题1—5 BCADC6—8 DBA 二、多项选择题9．BC10．AC 11．ABD 12．BD 三、填空题13．(,3)−∞−14．[1,2)(2,)+∞∪ 15．1± 16．9(,4−∞ 四、解答题17．解：（1）由(1)f x +=得()f x =，……………………………2分(1)1f ===，得1a =；……………………………4分所以()f x =；……………………………5分（2）该函数的定义域为[0,)+∞，……………………………6分 令12x x <，所以210x x −>，所以21()()f x f x −===，……………………………8分 因为210x x −>0+>，所以21()()0f x f x −>，……………………………9分所以()f x 在其定义域为单调增函数. ……………………………10分 18．解：（1）2a =−，所以[3,1]A =−−，……………………………1分[3,2]A B =−−∩，……………………………2分(,1][5,)A B =−∞−+∞∪∪；……………………………4分（2）若A ∩B ＝A ，得A B ⊆；……………………………5分当A =Ø时，2135a a +>+，得4a <−；……………………7分当A ≠ Ø时，2135,352,a a a +≤+ +≤− 或2135,215,a a a +≤+ +≥……………………10分 得743a −≤≤或2a ≥，.……………………………11分 综上所述，73a ≤或2a ≥，…………12分 19．解：（1）由题意知，生产x 件产品的仓储费用为88x +x =288x x +，………………2分 所以28800(0)8x x y x +=+>；………………………………………5分 （2）由题意知，平均费用为288008y x x x x x+=+，……………6分 因为0x >，28800800188x x x x x x ++=++121≥+=，……………10分 当且仅当8008x x=，即80x =时取得；………………………………………11分 所以当每批生产80件时，平均费用最小为21元. …………………12分20．解：（1）因为()0f x ≥，即关于x 的不等式2(1)10x m x m −+++≥恒成立，所以2(1)4(1)0m m ∆=+−+≤；………………2分 解得13m −≤≤；………………4分 （2）原不等式转化为()10f x −<, 即2(1)x m x m −++()(1)0x m x =−−<,………………6分 当1m >时，1x m <<；………………8分当1m <时，1m x <<；………………10分公众号：潍坊高中数学当1m =时，不等式无解；………………11分综上可得，当1m >时，不等式解集为{1}x x m <<；当1m <时，不等式解集为{1}x m x <<；当1m =时，不等式无解. ………………12分21．解：（1）由f (x )＝x ，得x ax ＋b ＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0. ……………………………1分因为方程f (x )＝x 有唯一解，所以∆＝(b －1)2＝0，即b ＝1，…………………………3分因为f (2)＝1，所以22a ＋b ＝1，……………………………4分所以a ＝12，…………………………5分 所以f (x )＝112xx +＝2x x ＋2；……………………………6分 （2）因为2x <−，所以()y xf x =2222122x x x x==++，……………………7分 而22121112()48x x x +=+−，……………………………9分 当114x =−，即4x =−时， 21112()48x +−取得最小值18−，……………………………11分 此时()()g x xf x =取得最大值16−.……………………………12分22．解：（1）令0x y ==，得(00)(0)(0)f f f +=+，得(0)0f =，……………………………………1分 令1,1x y =−=，得(0)(1)(1)f f f =−+，得(1)2f −=−；………………………………………2分令y x =−，得(0)()()f f x f x =+−，即()()f x f x =−−，所以()f x 为奇函数；………………………………………4分（2）令12x x <，所以210x x −>，所以212111()()()()f x f x f x x x f x −=−+−2111()()()f x x f x f x =−+−21()f x x =−，………………………………………4分因为210x x −>，所以21()0f x x −>，所以21()0f x x −>，……………………………………5分即()f x 在R 上为增函数；……………………………………7分（3）因为2(3)()2f ax x f x −+<−，即2(2)2f ax x −<−，又(1)2f −=−，所以2(2)(1)f ax x f −<−，……………………………………8分 又因为()f x 在R 上为增函数，所以221ax x −<−在[1,2]x ∈上恒成立；得2210ax x −+<在[1,2]x ∈上恒成立， 即221a x x <−在[1,2]x ∈上恒成立，………………………………………9分 因为22211(1)1x x x−=−−+， 当2x =时，221x x −取最小值34， 所以34a <；………………………………………11分 即34a <时满足题意. ………………………………………12分 公众号：潍坊高中数学。
山东省淄博市高青县第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题
山东省淄博市高青县第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题8．已知函数()2,01,0x a x f x x ax x --³ì=í++<î，则下列说法不正确的是（ ）A ．若()()12f f =-，则6a =B ．若1a £-，则()f x 的值域为RC ．若()f x 是R 上的减函数，则a 的范围是0a £D ．若4a =-，则()2f x =有三个解9．已知M ，N 为全集U 的真子集，若()UM N Ç=Æð，则（ ）A ．M N Ç=ÆB ．M N MÈ=C ．()U N M =ÆI ðD ．()UN M U=U ð三、填空题六、应用题18．设某水库的最大储水量为380000m，泄水闸每天泄水量为128000m，原有储水量3八、问答题20．已知二次函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且该函数的图象过点()1,3-，在x 轴上截得的线段长为2．(1)求函数()f x 的解析式；(2)对于每个实数x ，设()g x 取()y f x =，2y x =两个函数值中的最大值，用分段函数的形式写出()g x 的解析式,并求出()g x 的值域．九、证明题21．设矩形ABCD （其中AB BC >）的周长为24，如图所示，把它沿对角线AC 对折。
潍坊市2020-2021学年高一上学期期中数学试题(解析版)
关于 的不等式 解集包含 ，令 ，
，解得 ，
故选： ．
【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9.下列命题中是假命题的是（）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
举反例即可判断选项A、C，解方程 即可判断选项B、D.
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先求得集合A，再由集合的补集运算和交集运算可求得答案；
（2）分集合C为空集和不是空集两种情况分别建立不等式（组），可求得所求的范围.
【详解】解：（ 时，满足 ，即 ，解得 ．
【详解】对于A选项，函数 为奇函数，且该函数在定义域上不单调，A选项中的函数不合乎要求；
对于B选项，函数 为奇函数，且该函数在定义域上为减函数，B选项中的函数合乎要求；
对于C选项，当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
又 ，所以，函数 为奇函数，
当 时，函数 单调递减；当 时，函数 单调递减.
由于函数 在 上连续，所以，函数 在 上为减函数，C选项中的函数合乎要求；
画出函数的图象，如图所示：
对于 ：根据函数的图象， 的定义域为 ，值域为 ，故 错误；
山东省淄博市张店区2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
8．已知 ，则锐角 的取值范围是()
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系 中，如果抛物线 不动，而把 轴、 轴分别向下、向左平移 个单位，则在新坐标系下抛物线的表，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）
【详解】
解：因为AC＝40，BC＝10，sin∠A＝ ，
所以sin∠A＝0.25.
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
A． B． C． D．
5．若∠A＋∠B＝90°，且cosB＝ ，则sinA的值为()
A． B． C． D．
6．已知直线y=kx（k＞0）与双曲线 交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为( )
A．﹣6B．﹣9C．0D．9
7．二次函数 ＝ （ ≠0）图象如图所示，下列结论：① ＞0；② ＝0；③当 ≠1时， ＞ ；④ ＞0；⑤若 ＝ ，且 ≠ ，则 ＝2．其中正确的有（）
(2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由(参考数据： ≈1.4， ≈1.7)．
21．已知二次函数 ．
（ ）用配方法将 化成 的形式．
（ ）当 时， 的最小值是__________，最大值是__________．
（ ）当 时，直线写出 的取值范围．
22．一般情况下，学生注意力上课后逐渐增强，中间有段时间处于较理想的稳定状态，随后开始分散．实验结果表明，学生注意力指数y随时间x(min)的变化规律如图所示(其中 分别为线段， 为双曲线的一部分)：
···
···
···
···
点 在函数的图像上，则当 时， ____ ．
山东省潍坊市2020-2021学年高一上学期期中数学试题 (1)
山东省潍坊市2020-2021学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{}1,0,1,2U =-，{} 1,1A =-，则集合UA（ ）A ．{0,2}B ．{1,0}-C ．{0,1}D ．{1,2}2．命题“(0,)x ∃∈+∞，13x x+≥”的否定是( ) A ．(0,)x ∃∈+∞，13x x +≤ B ．(0,)x ∃∈+∞，13x x +< C ．(0,)x ∀∈+∞，13x x+<D ．(0,)x ∀∈+∞，13x x+≤3．设x ∈R ，则“|3|1x -<”是“2x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列各式运算正确的是( ) A ．245(1)(5)a a a a ++=++ B ．222249(23)a ab b a b ++=+ C ．()3322()a b a b a ab b+=+-+ D ．()3322()a b a b a ab b-=--+5．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞是增函数，设(3)a f =-，()b f π=，(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<6．我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为2() 4.914.717h t t t =-++，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为( )A ．26米B ．28米C ．30米D ．32米7．对x R ∀∈，不等式()2214(2)02m x m x m -+-+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2,6]B ．[2,6){2}⋃-C ．(,2)[2,6)-∞-⋃D ．[2,6)8．读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为( ) A ．120B ．130C ．150D ．1809．已知a ，b 为正实数，则下列判断中正确的个数是( )①若11a b <> ②若1a b +=，则14a b+的最小值是10； ③114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ④函数11y a a =++的最小值为1． A ．1B ．2C ．3D ．410．定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞是减函数，且(2)1f -=，则满足1(1)1f x -≤-≤的x 的取值范围是( )A ．[2,2]-B ．[2,1]-C ．[1,3]-D ．[0,2]11．关于x 的方程225(9)20x a x a a -++--=的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(3,1)--B ．(11)(3,1--⋃+C ．(2,1)(2,3)--⋃D ．(2,6)12．已知函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，31()2x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()88,x y ，则128128x x x y y y +++++++的值为( ) A ．20 B ．24 C ．36 D ．40二、填空题13．函数(11)f x x -的定义域是_______． 14．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =-，则(2)f -=________．15．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)A a b ，若函数()y f x =满足：[1,1]x a a ∀∈-+，都有[1,1]y b b ∈-+，则称这个函数是点A 的“界函数”．已知点(,)B m n 在函数212y x =-的图像上，若函数212y x =-是点B 的“界函数”，则m 的取值范围是________．三、解答题17．已知集合{|26}A x x =-≤≤，{|35}B x x =-≤≤． （1）求AB ，A B ；（2）若{|121}C x m x m =+≤≤-，()C A B ⊆，求实数m 的取值范围．18．已知函数2()(0)1x af x a x -=>+，若不等式()1f x ≥-的解集为(,1)[0,)-∞-+∞． （1）求实数a 的值；（2）证明函数()f x 在[0,)+∞上是增函数．19．已知函数223,(02)()43,(2)x x f x x x x -+≤<⎧=⎨-+≥⎩，()(||)F x f x =．（1）判断()F x 的奇偶性，在给定的平面直角坐标系中，画出函数()F x 的大致图像；并写出该函数的单调区间；（2）若函数()()H x F x t =-有两个零点，求t 的取值范围． 20．已知函数2()(1)()f x x a x a a R =+--∈． （1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）若[1,1]a ∀∈-，()0f x ≥恒成立，求实数x 的取值范围．21．第二届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，来自151个国家和地区的3617家企业参展，规模和品质均超过首届．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”，专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃．某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2021年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金()R x 万元，且2210,040()901945010000,40x ax x R x x x x x ⎧+<<⎪=⎨-+≥⎪⎩．经测算生产10千台空调需另投入的资金为4000万元．由调研知，每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2021年的企业年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2021年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少？注：利润=销售额–成本22．已知二次函数()y f x =满足：①x R ∀∈，有(1)(1)f x f x --=-+；②(0)3f =-；③()y f x =的图像与x 轴两交点间距离为4． （1）求()y f x =的解析式；（2）记()()5g x f x kx =++，[1,2]x ∈-． ①若()g x 为单调函数，求k 的取值范围；②记()g x 的最小值为()h k ，讨论()24h t λ-=的零点个数．参考答案1．A 【分析】利用集合补集的性质直接求解即可 【详解】由于{}1,0,1,2U =-，{} 1,1A =-，所以，UA {0,2}故选A 2．C 【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项. 【详解】原命题是特称命题，其否定是全称命题，注意到要否定结论，故C 选项正确. 故选C. 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题. 3．A 【分析】求得不等式|3|1x -<的解集，由此判断出充分、必要条件. 【详解】由|3|1x -<得131x -<-<，即24x <<，所以“|3|1x -<”是“2x >” 充分不必要条件. 故选A. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 4．C 【分析】利用乘法分配律和立方和、立方差公式，判断出正确选项. 【详解】对于A 选项，右边265a a =++≠左边，故A 选项错误.对于B 选项，右边224129a ab b =++≠左边，故B 选项错误. 对于C 选项，根据立方和公式可知，C 选项正确.对于D 选项，根据立方差公式可知，正确的运算是()3322()a b a b a ab b -=-++，故D选项错误. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查乘法分配律，立方和、立方差公式，考查因式分解，属于基础题. 5．D 【分析】利用函数的奇偶性化简,a c ，再根据单调性比较出三者的大小关系. 【详解】由于()f x 是偶函数，故()()()()33,11a f f c f f =-==-=.由于()f x 在(0,)+∞是增函数，所以()()()13πf f f <<，即c a b <<. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性、单调性比较大小，属于基础题. 6．B 【分析】利用配方法求得()h t 的最大值，也即烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度. 【详解】依题意2() 4.914.717h t t t =-++234.928.0252t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，故当32t =时，()max 28.02528m h t =≈.故选B. 【点睛】本小题主要考查二次函数最大值的求法，考查函数在生活中的应用，属于基础题. 7．D 【分析】对m 分成2m =和2m ≠且2m ≠-两种情况，结合一元二次不等式恒成立，求得的m 的取值范围. 【详解】当2m =时，原不等式化为104>恒成立. 当2m ≠且2m ≠-时，要使对x R ∀∈，不等式()2214(2)02m x m x m -+-+>+恒成立，则需()()22240124402m m m m ⎧->⎪⎨∆=---⋅<⎪+⎩即()()()()220260m m m m ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩，解得26m <<. 综上所述，m 的取值范围是[2,6). 故选：D. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 8．A 【分析】设出3种书每本的数量，设出学生人数，根据已知条件列方程组，解方程组求得学生人数. 【详解】设毛诗x 本，春秋y 本，周易z 本，学生人数为m ，则94345x y z mxm y mz++=⎧⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎪⎩， 解得120403024m x y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故选A. 【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查方程的思想，属于基础题. 9．B 【分析】对四个判断逐一分析，由此确定判断正确的个数.对于①，由于0,0a b >>，由11a b <，得110b a a b ab--=<，即0a b >>>以①正确.对于②，由于0,0a b >>，()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当42,23b a b a a b ===时等号成立，故②错误. 对于③，由于0,0a b >>，所以112,2a b a b+≥+≥，根据不等式的性质，有114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故③正确.对于④，由于0,0a b >>，所以1111121111y a a a a =+=++-≥=-=++，但是由于111a a +=+时，0a =或2a =-，不符合题意，故等号不成立.所以④错误.综上所述，正确的判断个数为2个. 故选B. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查基本不等式的运用，属于基础题. 10．C 【分析】根据奇函数的性质，求得不等式1(1)1f x -≤-≤的解集. 【详解】由于()f x 是奇函数，故()()221f f =--=-.由于奇函数()f x 在[0,)+∞是减函数，所以()f x 在R 上是减函数.由1(1)1f x -≤-≤得()()()212f f x f ≤-≤-，所以212x ≥-≥-，解得13x -≤≤.故选C. 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.【分析】构造函数()225(9)2f x x a x a a =-++--，根据()f x 零点分布列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】构造二次函数()225(9)2f x x a x a a =-++--，其开口向上.依题意，()f x 的零点分别在区间(0,1)和(1,2)内，所以()()()001020f f f ⎧>⎪<⎨⎪>⎩，即()()222205920202920a a a a a a a a ⎧-->⎪-++--<⎨⎪-++-->⎩，解得(11)(3,1a ∈-⋃+. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查根据一元二次方程根的分布求参数的取值范围，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 12．D 【分析】根据已知条件判断()f x 和()g x 都关于()2,3中心对称，由此求得128128x x x y y y +++++++的值.【详解】由于()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，当0x =时，()23f =，所以()f x 关于()2,3中心对称.由于()325315()3222x x g x x x x -+-===+---，所以()g x 关于()2,3中心对称.故()f x 和()g x 都关于()2,3中心对称.所以()f x 与()g x 的图像交点()11,x y ，()22,x y ，…，()88,x y ，两两关于()2,3对称.所以128128x x x y y y +++++++828340=⨯+⨯=.故选：D. 【点睛】本小题主要考查函数图像的对称性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.13．[2,1)(1,)-+∞【分析】要使函数()f x 有意义，只需2010x x +⎧⎨-≠⎩，解此不等式组即可．【详解】解：要使函数()f x 有意义，须有2010x x +⎧⎨-≠⎩，解得2x -，且1x ≠，故函数()f x 的定义域为：{|2x x -，且1}x ≠， 故答案为：[2,1)(1,)x ∈-+∞．【点睛】本题考查函数定义域的求解，属基础题，若函数为偶次根式，被开放数须大于等于0；若函数为分式，分母必不为0． 14．2 【分析】根据函数的奇偶性求得()2f -的值.【详解】由于()f x 是奇函数，故()()()222122f f -=-=--=⎡⎤⎣⎦. 故答案为：2. 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题. 15．{1|6x x <或12x ⎫>⎬⎭.【分析】根据20ax bx c ++>的解集写出根与系数关系，由此求得不等式20cx bx a ++<的解集. 【详解】由于不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<，所以0a <，2682612b a c a⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，即812b a c a=-⎧⎨=⎩，所以不等式20cx bx a ++<可化为21280ax ax a -+<，由于0a <，所以21280ax ax a -+<可化为212810x x -+>，即()()21610x x -->，解得16x <或12x >. 故答案为{1|6x x <或12x ⎫>⎬⎭. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于基础题.16．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】对m 分成1,11,1m m m ≤--<<≥三种情况，结合[1,1]x m m ∀∈-+，都有[1,1]y n n ∈-+进行分类讨论，由此求得m 的取值范围.【详解】 函数212y x =-开口向下，对称轴为y 轴.由于B 在函数212y x =-的图像上，所以212n m =-.依题意[1,1]x m m ∀∈-+，都有[1,1]y n n ∈-+，即：[1,1]x m m ∀∈-+，都有22[11122,1]y m m --∈-+. 当10m +≤，即1m ≤-时，函数212y x =-在[1,1]m m -+上递增，最小值为()2112m --，最大值为()2112m -+，所以()()2222111111211222m m m m ---<-+≤--≤+，此不等式在1m ≤-时无解.当101m m -<<+，即11m -<<时，函数212y x =-在[1,1]m m -+上，最大值为0，最小值在区间[1,1]m m -+的端点取得，故()()222222221110122111111222111111222m m m m m m m m ⎧--≤≤-+⎪⎪⎪--≤--≤-+⎨⎪⎪--≤-+≤-+⎪⎩，解得1122m -≤≤. 点10m -≥，即m 1≥时，函数212y x =-在[1,1]m m -+上递减，最小值为()2112m -+，最大值为()2112m --，所以()()2222111111211222m m m m --+<--≤--≤+，此不等式在m 1≥时无解.综上所述，m 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解，考查分类讨论的数学思想方法，考查不等式的解法，属于中档题.17．（1）{|25}A B x x ⋂=-≤≤,{|36}A B x x ⋃=-≤≤（2）3m ≤【分析】（1）根据交集、并集的知识，求得A B ，A B . （2）根据（1）得到A B ，对C 分成C =∅和C ≠∅两种情况，结合()C A B ⊆进行分类讨论，由此求得m 的取值范围.【详解】（1）由已知可得{|25}A B x x ⋂=-≤≤，{|36}A B x x ⋃=-≤≤．（2）由（1）知{|25}A B x x ⋂=-≤≤.由于()C AB ⊆，①若C =∅，则121m m +>-，∴2m <；②若C ≠∅，则12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m ≤≤，综上可得3m ≤．【点睛】本小题主要考查集合交集和并集的概念和运算，考查根据集合的包含关系求参数，属于基础题.18．（1）1a =；（2）证明见解析.【分析】（1）化简不等式()1f x ≥-为整式形式，根据不等式()1f x ≥-的解集，求得a 的值.（2）利用函数单调性的定义，计算()()210f x f x ->，由此证得函数()f x 在[0,)+∞上是增函数.【详解】（1）由题意211x a x -≥-+， 变形2311011x a x a x x --++=≥++， 等价于(31)(1)0x a x -++≥且10x +≠，解得1x <-或13a x -≥， 所以103a -=，解得1a =． （2）由（1）得21()1x f x x -=+， 任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，则210x x ->，那么()()()()()2121212112321211111x x x x f x f x x x x x ----=-=++++， ∵210x x ->，()()12110x x ++>，∴()()210f x f x ->，∴函数()f x 在[0,)+∞上是增函数．【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查利用函数单调性的定义证明函数单调性，属于基础题.19．（1）()F x 在R 上是偶函数,增区间为(2,0)-，(2,)+∞，递减区间为：(,2)-∞-，(0,2),图像见解析；（2）3t >或1t =-【分析】（1）利用奇偶性的定义，判断出()F x 为偶函数，根据函数()f x 的解析式以及()F x 图像的对称性，画出()F x 的图像，根据图像写出()F x 的单调区间.（2）令()()0H x F x t =-=，()F x t =，结合()F x 图像与y t =的图像有两个交点，求得t 的取值范围.【详解】（1）由题意知()F x 定义域为R ，关于原点对称，又()(||)(||)()F x f x f x F x -=-==，∴()F x 在R 上是偶函数．函数()F x 的大致图像如下图：观察图像可得：函数()F x 的单调递增区间为：(2,0)-，(2,)+∞，单调递减区间为：(,2)-∞-，(0,2)．（2）当()()H x F x t =-有两个零点时，即()F x 的图像与直线y t =图像有两个交点，观察函数图像可得3t >或1t =-．【点睛】本小题主要考查函数奇偶性，考查函数图像的对称性，考查函数零点问题的求解策略，考查20．（1）当1a <-时，不等式的解集为(,1)a -；当1a =-时，不等式的解集为∅；当1a >-时，不等式的解集为(1,) a -；（2）{|1x x ≤-或}1x ≥.【分析】（1）将不等式()0f x <左边因式分解，将a 分成1,1,1a a a <-=->-三种情况分类讨论，结合一元二次不等式的解法，求得不等式()0f x <的解集.（2）变换主参变量，将“[1,1]a ∀∈-，()0f x ≥恒成立”转化为一次函数在区间[]1,1-上恒大于零，列不等式组来求解得x 的取值范围.【详解】（1）不等式2(1)0x a x a +--<等价于 ()(1)0x a x -+<，当1a <-时，不等式的解集为(,1)a -；当1a =-时，不等式的解集为∅；当1a >-时，不等式的解集为(1,)a -．（2）22(1)(1)x a x a a x x x +--=-+++，设2()(1),[1,1]g a a x x x a =-+++∈-，要使()0g a ≥在[1,1]a ∈-上恒成立， 只需(1)0(1)0g g -≥⎧⎨≥⎩， 即22210,10,x x x ⎧++≥⎨-≥⎩解得1x ≥或1x ≤-，所以x 的取值范围为{|1x x ≤-或}1x ≥．【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21．（1）2210600260,040()919010000,40x x x W x x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+-≥⎪⎩（2）2021年产量为100（千台）时，企业所获利润最大，最大利润是8990万元【分析】（1）利用()104000R =求得a 的值.利用销售额减去固定成本和()R x ，求得利润()W x 的函数关系式.（2）结合二次函数的性质、基本不等式，求得当x 为何值时，()W x 取得最大值.【详解】（1）由题意2(10)1010104000R a =⨯+=，所以300a =，当040x <<时，()22()9001030026010600260W x x x x x x =-+-=-+-； 当40x ≥时， 22901945010000919010000()900260x x x x W x x x x-+-+-=--=， 所以2210600260,040()919010000,40x x x W x x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+-≥⎪⎩． （2）当040x <<，2()10(30)8740W x x =--+当30x =时，max ()8740W x = 当40x ≥，29190100001000010000()91909190x x W x x x x x x -+-⎛⎫==--+=-++ ⎪⎝⎭， 因为0x >，所以10000200x x +≥=， 当且仅当10000x x=时，即100x =时等号成立， 此时()20091908990W x ≤-+=，所以max ()8990W x =万元，因为87408990<，所以2021年产量为100（千台）时，企业所获利润最大，最大利润是8990万元．【点睛】本小题主要考查分段函数在实际生活中的应用，考查分段函数求最值的方法，属于中档题.22．（1）2()23f x x x =+-（2）①0k ≥或6k ≤-；②2λ>时无零点；12λ<<时，有4个零点，1λ=时，有3个零点，2λ=或1λ<时，有2个零点【分析】（1）设出二次函数解析式，根据已知条件得到二次函数对称轴、与y 轴交点、根与系数关系，由此列方程组，解方程组求得二次函数解析式（2）①求得()g x 解析式，根据其对称轴与区间[1,2]-的位置关系，求得k 的取值范围. ②将k 分成0k ≥，60k -<<，6k ≤-三种情况，结合()g x 的单调性，求得()h k 的表达式，利用换元法：令244m t =-≥-，即()(4)h m m λ=≥-，结合()h m 的图像对λ进行分类讨论，由此求得()24h t λ-=的零点个数.【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由题意知对称轴12b x a=-=-；① (0)3f c ==-；②设()0f x =的两个根为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=，124x x -===；③ 由①②③解得1a =，2b =，3c =-，∴2()23f x x x =+-．（2）①2()(2)2g x x k x =+++，其对称轴22k x +=-． 由题意知：212k +-≤-或222k +-≥， ∴0k ≥或6k ≤-．② 1)当0k ≥时，对称轴212k x +=-≤-，()g x 在[1,2]-上单调递增，()(1)1h k g k =-=-+，2)当60k -<<时，对称轴2(1,2)2k x +=-∈-，2244()24k k k h k g +--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 3)当6k ≤-时，对称轴222k x +=-≥，()g x 在[1,2]-单调递减， ()(2)210h k g k ==+， ∴21,0,44(),604210, 6.k k k k h k k k k -+≥⎧⎪--+⎪=-<<⎨⎪+≤-⎪⎩， 令244m t =-≥-，即()(4)h m m λ=≥-，画出()h m 简图，i ）当1λ=时，()1h m =，4m =-或0，∴244t -=-时，解得0t =，240t -=时，解得2t =±，有3个零点．ii ）当1λ<时，()h m λ=有唯一解10m >，2140t m -=>，t =2个零点．iii ）当12λ<<时，()h m λ=有两个不同的零点2m ，3m ，且23,(4,2)(2,0)m m ∈--⋃-，2340,40m m +>+>，∴224t m -=时，解得t =234t m -=时，解得t =4个不同的零点．iv ）当2λ=时，()2h m =，224m t =-=-，∴t =有2个零点．v ）当2λ>时，()h m λ=无解．综上所得：2λ>时无零点；12λ<<时，有4个零点；1λ=时，有3个零点；2λ=或1λ<时，有2个零点．【点睛】本小题主要考查根据二次函数的性质求得二次函数解析式，考查含有参数的二次函数在给定区间上的单调性讨论问题，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.。
山东省淄博市2020-2021学年高一上学期期末数学试卷
2020-2021学年山东省淄博市高一（上）期末数学试卷1.已知集合A={x|3x<13}，B={−3,−2,−1,0,1,2}，则(∁R A)⋂B=( )A. {−3,−2}B. {−3,−2,−1}C. {0,1,2}D. {−1,0,1,2}2.已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为( )A. 2B. 4C. 6D. 83.下列函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−x 12 B. f(x)=3−x C. f(x)=log2|x| D. f(x)=1x44.用二分法求方程log2x+x=2的近似解时，可以取的一个区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5.已知a=212，b=313，c=ln52，则( )A. b>c>aB. a>c>bC. b>a>cD. a>b>c6.函数f(x)=x1−x2的图象大致是( )A. B.C. D.7.已知实数x>3，则4x+9x−3的最小值是( )A. 24B. 12C. 6D. 38.我们知道：y=f(x)的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：y=f(x)的图象关于(a,b)成中心对称图形的充要条件是y=f(x+a)−b为奇函数.若f(x)=x3+3x2的对称中心为(m,n)，则f(2019)+f(2017)+f(2015)+…+f(3)+ f(1)+f(−3)+f(−5)+…+f(−2017)+f(−2019)+f(−2021)=( )A. 8080B. 4040C. 2020D. 1010A. lg2−lg 14+3lg5=3 B. 命题“∀x >0，2x >1”的否定为“∃x ≤0，2x ≤1”C. “α=β”是“sinα=sinβ”成立的充分不必要条件D. 若幂函数f(x)=x α(α∈R)经过点(18,2)，则α=−310. 若角α为钝角，且sinα+cosα=−15，则下列选项中正确的有( )A. sinα=45 B. cosα=−45 C. tanα=−43D. sinαcosα=−122511. 设a >b >0，c ≠0，则下列不等式成立的是( )A. a −c >b −cB.c 2a>c 2b C. a b <a+cb+cD. a −1a >b −1b12. 三元均值不等式：“当a ，b ，c 均为正实数时，a+b+c 3≥√abc 3，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a =b =c 时等号成立.”利用上面结论，判断下列不等式成立的有( ) A. 若x >0，则x 2+2x ≥3B. 若0<x <1，则x 2(1−x)≤19C. 若x >0，则2x +1x 2≥3D. 若0<x <1，则x(1−x)2≤1913. 函数f(x)=(12)1−x 2的值域为__________.14. 已知函数f(x)={x 2−3x,x ≤0log 2x,x >0，若f(a)=4，则实数a =__________.15. 若sin(π3−α)=15，则sin(2π3+α)=__________，cos(5π6−α)=__________.16. 已知函数f(x)=2x +ax 2(a >0)，g(x)=x 2−4x +1.若对任意x 1∈[−1,2]，总存在x 2∈[−1,2]，使得f(x 1)=g(x 2)，则实数a 的取值范围是__________. 17. 已知角α终边上一点P(1,2).(1)求sinα+2cosαsinα−cosα的值； (2)求cos(11π2−α)+sin(9π2+α)的值.18. 已知集合A ={x|(x −a)(x +1)>0}(a ∈R)，B ={x|−1<log 2x ≤1}.(1)当a =1时，求A⋂B ；(2)是否存在实数a ，使得_____成立？请在①A⋂B =B ，②A⋂B =⌀，③B ⊆(∁R A)这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中；若问题中的实数a 存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.19.已知函数g(x)=asin(2x+π6)+b(a>0,b∈R).若函数g(x)在区间[0,π2]上的最大值为3，最小值为0.(1)求函数g(x)的解析式；(2)求出g(x)在(0,π)上的单调递增区间.20.某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量M(x)(单位：千克)与施用肥料x(单位：千克)满足如下关系：M(x)={5(x2+3),0≤x≤250x1+x+53,2<x≤5，单株成本投入(含施肥、人工等)为30x元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为f(x)(单位：元).(1)求f(x)的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？21.已知一元二次函数f(x)=ax2−x+1(a≠0).(1)若0<a≤1，证明函数f(x)在区间(−∞,12]上单调递减；(2)若函数f(x)在区间[1,4]上的最小值为−2，求实数a的值.22. 函数f(x)的定义域为D ，若x 0∈D ，满足f(x 0)=x 0，则称x 0为f(x)的不动点.已知函数f(x)={3−3x,0≤x ≤1log 3x,1<x ≤3，g(x)=f(f(x)).(1)试判断g(x)不动点的个数，并给予证明；(2)若“∃x ∈[0,23),g(x)−1>log 3(1+x)+log 3(x +k)”是真命题，求实数k 的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义，运算即可．本题考查了集合的化简与运算问题．【解答】}={x|x<−1}，解：集合A={x|3x<13所以∁R A={x|x≥−1}；又集合B={−3,−2,−1,0,1,2}，所以(∁R A)⋂B={−1,0,1,2}.故选D.2.【答案】B【解析】【分析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力．【解答】解：设扇形的半径为R，所以2R+2R=8，所以R=2，扇形的弧长为4，半径为2，×4×2=4.扇形的面积为S=12故选B.3.【答案】C【解析】可看出选项A，B的函数都是非奇非偶函数，选项D的函数在(0,+∞)上是减函数，从而只能选C.本题考查了函数奇偶性，幂函数、指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．【解答】解：f(x)=−x 12和f(x)=3−x都是非奇非偶函数；f(x)=log2|x|是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增；f(x)=1x4是偶函数，在(0,+∞)上单调递减．故选C.4.【答案】B【解析】【分析】令f(x)=log2x+x−2，分别求出f(1)，f(2)，然后利用零点的存在性定理即可判断得到答案．本题考查了二分法，涉及了函数零点的存在性定理的应用，属于基础题．【解答】解：令f(x)=log2x+x−2，则f(1)=log21+1−2=−1<0，f(2)=log22+2−2=1>0，故f(1)f(2)<0，由零点的存在性定理可得，在区间(1,2)内存在函数的零点，故方程log2x+x=2的近似解可以取的一个区间是(1,2).故选B.5.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．【解答】解：∵a =212>20=1，b =313>30=1，a 6=23=8，b 6=32=9，∴a <b ，c =ln 52<lne =1，∴b >a >c.故选C.6.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系，结合排除法是解决本题的关键，是中档题． 【解答】解：函数的定义域为{x|x ≠±1}，f(−x)=−x 1−x 2=−f(x)，为奇函数，图象关于原点对称，排除CD ， 当x >1时，f(x)<0，排除B ， 故选A.7.【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题． 4x +9x−3=4(x −3)+9x−3+12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值．【解答】解：∵x >3，∴x −3>0，4x +9x−3=4(x −3)+9x−3+12≥12+2√4(x −3)×9x−3=24， 当且仅当4(x −3)=9x−3，即x =92时，取得最小值24.8.【答案】B【解析】【分析】根据对称性的定义求出函数的对称中心，结合对称性进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合对称性的定义求出函数的对称中心，然后进行转化是解决本题的关键，是拔高题．【解答】解：若函数f(x)=x3+3x2图象的对称中心为(m,n)，则y=f(x+m)−n为奇函数，即y=(x+m)3+3(x+m)2−n=x3+(3m+3)x2+(3m2+6m)x+m3+3m2−n为奇函数，必有3m+3=0且m3+3m2−n=0，解得m=−1，n=2，则f(x)的对称中心为(−1,2)，所以f(−2+x)+f(−x)=4，设S=f(2019)+f(2017)+f(2015)+…+f(3)+f(1)+f(−3)+f(−5)+…+f(−2017)+f(−2019)+f(−2021)，则S=f(−2021)+f(−2019)+f(−2017)+…+f(3)+f(5)+…+f(2017)+f(2019)，由−2021=2019−2(n−1)，得n=2021，去掉f(−1)项，共2020项，则两式相加得2S=[f(2019)+f(−2021)]+[f(2017)+f(−2019)]+…+[f(−2021)+f(2019)]=4+4+…+4=4×2020，所以S=2×2020=4040，故选B.9.【答案】AC【解析】【分析】A根据对数运算判断；B根据全称量词命题的否定定义判断；C根据充分条件和必要条件概念判断；D 根据幂函数函数值运算判断．本题以命题的真假判断为载体，考查了幂函数与对数的基本运算，考查了全称量词命题的否定概念，属中档题．【解答】解：对于A ，lg2−lg 14+3lg5=lg2+lg4+lg53=lg(2×4×53)=lg103=3，所以A 正确；对于B ，命题“∀x >0，2x >1”的否定为“∃x >0，2x ≤1”，所以B 错误； 对于C ，α=β⇒sinα=sinβ，反之未必成立，如sin0=sinπ，0≠π， 即“α=β”是“sinα=sinβ”成立的充分不必要条件，所以C 正确；对于D ，幂函数f(x)=x α(α∈R)经过点(18,2)，则(18)α=2，α=−13，所以D 错误． 故选AC.10.【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查． 根据sinα+cosα=−15，sin 2α+cos 2α=1，角α为钝角，求得α的三角函数值．【解答】解：∵角α为钝角， ∴sinα>0，cosα<0，联立方程组{sinα+cosα=−15sin 2α+cos 2α=1，解得{sinα=35cosα=−45， ∴tanα=sinαcosα=−34，sinα⋅cosα=−1225. 观察选项，选项BD 符合题意． 故选BD.11.【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质对选项中的命题判断正误即可．本题主要考查了不等式的性质和应用问题，熟练掌握不等式成立的性质是解题的关键，是中档题． 【解答】解：对于A，因为a>b>0，c≠0，所以a−c>b−c，所以A正确；对于B，因为a>b>0，c≠0，所以c2>0，1a <1b，所以c2a<c2b，所以B错误；对于C，因为a>b>0，当b+c<0且a+c>0时，ab >0>a+cb+c，所以C错误；对于D，因为a>b>0，所以1a <1b，所以−1a>−1b，所以a−1a>b−1b，所以D正确．故选AD.12.【答案】AC【解析】【分析】根据已知将原式变形为，a+b+c3≥√abc3，即可判断．本题考查了新定义三元均值不等式的应用，属于拔高题．【解答】解：对于A：x>0，x2+2x =x2+1x+1x≥3√x2⋅1x⋅1x3=3，当且仅当x=1时取等号，故A正确，对于B：∵0<x<1，∴1−x>0，x2(1−x)=12x⋅x⋅(2−2x)≤12(x+x+2−2x3)3=427，当且仅当x=23时取等号，故B错误，对于C：x>0，2x+1x2=x+x+1x2≥3√x⋅x⋅1x23=3，当且仅当x=1时取等号，故C正确，对于D：∵0<x<1，∴1−x>0，x(1−x)2=12×2x(1−x)(1−x)≤12(2x+1−x+1−x3)3=427，当且仅当x=13时取等号，故D错误．故选AC.13.【答案】[12,+∞)【解析】【分析】本题主要考查指数函数值域的求解，注意换元法的使用．利用换元法，结合指数函数的性质进行求解即可．解：设t =1−x 2，则t ≤1， 所以y =(12)t ≥(12)1=12，所以函数f(x)=(12)1−x 2的值域为[12,+∞),故答案为[12,+∞).14.【答案】−1或16 【解析】 【分析】本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数的应用. 直接利用分段函数的解析式，分两种情况分别求解，即可得到答案． 【解答】解：当a ≤0时，则有a 2−3a =4，解得a =−1或a =4(舍)； 当a >0时，则有log 2a =4，解得a =16. 故a =−1或16. 故答案为：−1或16.15.【答案】15−15【解析】 【分析】由题意利用诱导公式，计算求得结果． 本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题． 【解答】解：若sin(π3−α)=15，则sin(2π3+α)=sin[π−(π3−α)]=sin(π3−α)=15； cos(5π6−α)=cos(π2+π3−α)=−sin(π3−α)=−15， 故空1答案为：15；空2答案为：−15.16.【答案】(0,12]【解析】【分析】本题考查了恒成立问题，涉及了二次函数求最值、函数单调性的应用，对于此类问题一般会转化为两个函数值域的包含关系进行研究，属于较难题．先求出g(x)在[−1,2]上的值域，设函数f(x)的值域为A，然后将问题转化为A⊆[−3,6]，进而研究函数f(x)的取值情况，得到f(x)>0恒成立，又f(x)的最大值为f(2)，则f(2)≤6，求解即可．【解答】解：函数g(x)=x2−4x+1=(x−2)2−3，因为x2∈[−1,2]，所以g(x2)∈[−3,6]，因为对任意x1∈[−1,2]，总存在x2∈[−1,2]，使得f(x1)=g(x2)，设函数f(x)的值域为A，所以A⊆[−3,6]，又2x>0，ax2≥0，故f(x)>0在[−1,2]上恒成立，又f(x)在[0,2]上单调递增，所以f(x)的最大值为f(2)=4+4a≤6，解得a≤12，又a>0，所以实数a的取值范围是(0,12].故答案为(0,12].17.【答案】解：(1)因为α终边上一点P(1,2)，所以tanα=yx=2，所以sinα+2cosαsinα−cosα=tanα+2tanα−1=4.(2)角α终边上一点P(1,2)，则r=|OP|=√12+22=√5，所以sinα=yr =√5=2√55，cosα=xr=√5=√55，所以cos(11π2−α)+sin(9π2+α)=−sinα+cosα=−√55.【解析】(1)由α终边上一点P(1,2)，得tanα=y x=2，由此能求出sinα+2cosαsinα−cosα的值．(2)由角α终边上一点P(1,2)，求出sinα=y r=√5=2√55，cosα=x r=√5=√55，由此能求出cos(11π2−α)+sin(9π2+α)的值．本题考查三角函数值的求法，考查任意角三角函数的定义、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)若a =1，则A ={x|(x −1)(x +1)>0}=(−∞,−1)⋃(1,+∞)， 解不等式−1<log 2x ≤1，得，12<x ≤2，所以集合B =(12,2], 所以A⋂B =(1,2]. (2)由于B =(12,2],若选①A⋂B =B ，则B ⊆A ，当a ≥−1时，集合A =(−∞,−1)⋃(a,+∞)， 要使B ⊆A ，则需a ≤12，所以−1≤a ≤12；当a <−1时，集合A =(−∞,a)⋃(−1,+∞)，此时满足B ⊆A ， 所以若选①，则实数a 的取值范围为{a|a ≤12}；若选②A⋂B =⌀，当a ≥−1时，集合A =(−∞,−1)⋃(a,+∞)， 要使A⋂B =⌀，则需a ≥2，所以a ≥2；当a <−1时，集合A =(−∞,a)⋃(−1,+∞)，此时不满足A⋂B =⌀， 所以若选②，则实数a 的取值范围为{a|a ≥2}； 若选③B ⊆(∁R A)，B =(12,2],当a >−1时，集合A =(−∞,−1)⋃(a,+∞)，∁R A =[−1,a]， 要使B ⊆(∁R A)，则需a ≥2，所以a ≥2；当a =−1时，集合A =(−∞,−1)⋃(−1,+∞)，此时(C R A)={−1}，不满足条件B ⊆(∁R A)；当a <−1时，集合A =(−∞,a)⋃(−1,+∞)，此时∁R A =[a,−1]，B⋂(∁R A)=⌀，不满足条件B ⊆(∁R A)； 所以若选③，则实数a 的取值范围为{a|a ≥2}.【解析】本题考查交集、补集、并集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于拔高题．(1)求出a =1时集合A ，化简集合B ，根据交集的定义写出A⋂B ； (2)由集合知识可以解出集合B ，若选①A⋂B =B ，则B ⊆A ，对集合A 进行分类求解，再利用集合的子集解出； 若选②A⋂B =⌀，对集合A 进行分类求解，再利用集合的交集解出； 若选③B ⊆(∁R A)，对集合A 进行分类求解，再利用集合的子集，补集解出．19.【答案】解：(1)由题意知，若x ∈[0,π2]，则π6≤2x +π6≤7π6，所以sin(2x +π6)∈[−12,1]，又因为a >0，所以{a +b =3−12a +b =0，得a =2，b =1；所以g(x)=2sin(2x +π6)+1；(2)令2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2,k ∈Z ，得到kπ−π3≤x ≤kπ+π6,k ∈Z ，当k =0时，−π3≤x ≤π6； 当k =1时，2π3≤x ≤7π6，所以g(x)在(0,π)上的单调递增区间为(0,π6]和[2π3,π).【解析】本题主要考查了y =Asin(ωx +φ)+b 的图象及性质，属于中档题． (1)由题意知，利用正弦函数的性质可得sin(2x +π6)∈[−12,1]，又a >0，可得{a +b =3−12a +b =0，解得a ，b 的值，即可求g(x)的函数解析式； (2)根据正弦函数的单调性即可求解．20.【答案】解：(1)由题意得：f(x)=15M(x)−30x ， 则函数f(x)的解析式为：f(x)={75x 2−30x +225,0≤x ≤2750x 1+x−30x +25,2<x ≤5；(2)由(1)得f(x)={75x 2−30x +225,0≤x ≤2750x 1+x −30x +25,2<x ≤5；(i)当0≤x ≤2时，f(x)=75(x −15)2+222， 当x =2时，f(2)=465；(ii)当2<x ≤5时，f(x)=750x 1+x−30x +25=805−30[251+x+(1+x)]≤805−30×2√251+x ⋅(1+x)=505，当且仅当251+x =1+x 时，即x =4时等号成立， 因为465<505，所以当x =4时，f(x)max =505，所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是505元．【解析】本题考查了根据实际问题建立函数模型，涉及到分段函数求最大值的问题，考查了学生的运算能力．(1)由题意得：f(x)=15M(x)−30x ，然后即可求解； (2)根据(1)，分段求出函数的最大值，比较即可求解．21.【答案】(1)证明：根据题意，设x 1<x 2≤12，则f(x 1)−f(x 2)=(ax 12−x 1+1)−(ax 22−x 2+1)=(x 1−x 2)[a(x 1+x 2)−1]， 因为x 1<x 2，得x 1−x 2<0； 因为x 1<12,x 2≤12，得x 1+x 2<1，且0<a ≤1，得a(x 1+x 2)<a ≤1，即a(x 1+x 2)−1<0； 所以f(x 1)−f(x 2)>0成立，即f(x 1)>f(x 2)； 函数f(x)在区间(−∞,12]上单调递减；(2)解：根据题意，f(x)=ax 2−x +1，其对称轴为x =12a ， 分4种情况讨论：①当a <0时，此时f(x)的对称轴12a<0，函数f(x)=ax 2−x +1在区间[1,4]上单调递减，此时f(x)min =f(4)=16a −3=−2，得a =116，不符合题意； ②当0<a ≤18时，此时f(x)的对称轴12a ≥4， 函数f(x)=ax 2−x +1在区间[1,4]上单调递减，此时f(x)min =f(4)=16a −3=−2，得a =116，符合题意； ③当18<a ≤12时，此时f(x)的对称轴满足1≤12a <4， 此时函数f(x)=ax 2−x +1的最小值为f(x)min =f(12a )=4a−14a=−2，解得a =112，不符合题意；④当a >12时，此时f(x)的对称轴满足0<12a <1，函数在区间[1,4]上单调递增，f(x)min =f(1)=a =−2，不符合题意． 综合可得：a =116.【解析】(1)根据题意，作差分析可得结论．(2)根据题意，结合二次函数的对称轴和单调性，按a 的取值范围分4种情况讨论，求出a 的值，综合可得答案．本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数的单调性证明．22.【答案】解：g(x)=f(f(x))={log 3(3−3x),(0≤x <23)3−3(3−3x),(23≤x ≤1)3−3log 3x,(1<x ≤3)={log 3(3−3x),(0≤x <23)9x −6,(23≤x ≤1)3−3log 3x,(1<x ≤3). (1)下面分区间讨论g(x)的不动点个数．①当0≤x <23时，g(x)=x ⇒log 3(3−3x)=x ⇒x −log 3(1−x)−1=0，因为函数ℎ(x)=x −log 3(1−x)−1在[0,23)上单调递增，ℎ(0)=−1<0，ℎ(23)=23>0，所以ℎ(x)在[0,23)内存在唯一零点，即g(x)在[0,23)内存在唯一不动点；②当23≤x ≤1时，g(x)=x ⇒9x −6=x ，解得x =34， 即g(x)在[23,1]内存在唯一不动点；③当1<x ≤3时，g(x)=x ⇒3−3log 3x =x ；φ(x)=x +3log 3x −3在(1,3]上单调递增，φ(1)=−2<0，φ(3)=3>0， 所以φ(x)=x +3log 3x −3在(1,3]内有唯一零点，即g(x)在(1,3]内存在唯一不动点； 综上所述，g(x)有3个不动点．(2)因为“∃x ∈[0,23),g(x)−1>log 3(1+x)+log 3(x +k)”是真命题， 所以{ log 3(3−3x)−1>log 3(x +1)+log 3(x +k)0≤x <23x +1>0x +k >0有解，即{log 3(1−x)−log 3(x +1)>log 3(x +k)0≤x <23x >−k有解，所以{1−x 1+x>x +k0≤x <23−x <k有解，即{k <2x+1−(x +1)−x <k 0≤x <23有解，即{−x <k <2x+1−(x +1)0≤x <23有解， 令p(x)=−x ，q(x)=2x+1−(x +1)，函数p(x)与q(x)在[0,23)上都是减函数，值域分别为(−23,0]和(−715,1]；所以k 的取值范围是(−23,1).【解析】本题主要考查命题的真假应用，考查了不等式性质，考查了复合函数，理解新定义是是解决本题的关键，属于难题．(1)用函数复合运算求出函数解析式，理解新定义，分段讨论，解方程确定不动点个数； (2)对命题等价变换，用函数值域确定取值范围．第18页，共1页。
山东省淄博市高青县第一中学2025届高三上学期期中考试数学试题(含答案)
山东省淄博市高青县第一中学2025届高三上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ={x|−2≤x ≤2}，集合A ={x |−1≤x <2}，则∁U A =( )A. (−2,−1)B. [−2,−1]C. (−2,−1)∪{2}D. [−2,−1)∪{2}2.若复数z 满足zi =1+i ，则z 的共轭复数是( )A. −1−iB. 1+iC. −1+iD. 1−i3.已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为15，则此正四棱锥的体积为( )A. 605B. 6015C. 1205D. 180154.在△ABC 中，CD =2DB ，AE =ED ，则CE =( )A. 16AB−13ACB. 16AB−23ACC. 13AB−56ACD. 13AB−13AC5.已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和.若a 1=2a 2，公差d ≠0,S m =0，则m 的值为( )A. 4B. 5C. 6D. 76.若cos(π4−α)=3 210，则sin 2α=( )A. 725B. 1625C. −1625D. −7257.“a <3”是“函数f(x)=log 2[(3−a)x−1]在区间(1,+∞)上单调递增”的( )A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件8.设a =ln 54，b =sin 14，c =0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. b >c >aD. c >b >a二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a =(3,m )，b =(0,1)，则下列说法正确的是( )A. 若|a |=2，则a ⋅b =1B. 不存在实数m ，使得a //bC. 若向量a ⊥(a−4b )，则m =1或m =3D. 若向量a 在b 向量上的投影向量为−b ，则a ,b 的夹角为2π310.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为CA延长线上一点，∠DAB的平分线交直线CB 于E，若a=7，b=3，c=2，则( )A. sin A:sin B:sin C=7:3:2B. A=π6C. △ABC的面积为33D. AE=4211.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)+f(−x)=0，f(x+1)+f(3−x)=0，当0<x<2时，f(x)=x2−2x，则( )A. f(x)=f(x+8)B. f(x)的图象关于直线x=2对称C. 当4<x≤6时，f(x)=x2−10x+24D. 函数y=f(x)−lgx2有4个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2020-2021学年山东省实验中学高一(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年山东省实验中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合U={1,2，3，4，5，6}，A={2,3，5}，B={1,3，6}，则∁U(A∩B)=()A. {4}B. ⌀C. {1,2，4，5，6}D. {1,2，3，5，6}2.下列各组函数中，表示同一函数的是()A. f(x)=2x，g(x)=2x2xB. f(x)=|x|，g(x)=√x2C. f(x)=x2−1，g(x)=x+1x−1D. f(x)=√x+1·√x−1，g(x)=√x2−13.命题“∀x≥0，x3+x≥0”的否定是()A. ∀x<0，x3+x<0B. ∀x<0，x3+x≥0C. ∃x≥0，x3+x<0D. ∃x≥0，x3+x≥04.在同一坐标系中，函数f(x)=ax+1与g(x)=ax2的图象可能是()aA. B.C. D.5.已知4枝郁金香和5枝丁香的价格小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格大于24元．设2枝郁金香的价格为A元，3枝丁香的价格为B元，则A，B的大小关系为()A. A>BB. A=BC. A<BD. 不确定<0 6.若函数y=f(x)为偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，又f(3)=0，则f(x)+f(−x)2x 的解为()A. (−3,3)B. (−3,0)∪(3,+∞)C. (−∞,−3)∪(0,3)D. (−∞,−3)∪(3,+∞)7.若正实数a，b，满足a+b=1，则b3a +3b的最小值为()A. 2B. 2√6C. 5D. 4√38.定义域是R的函数f(x)满足f(x)=−f(−x)，当x∈(0,2]时，f(x)={x2−x,x∈(0,1],−x+1,x∈(1,2]．若x∈[−2,0)时，f(x)≥t4−12t有解，则实数t的取值范围是()A. (−∞,−2−√6]∪[−2+√6,+∞)B. (−∞,2−√6]∪(0，2+√6]C. (−∞,−2−√6]∪(0，−2+√6]D. (−∞,−√2]∪(0，√2]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.满足M⊆{a1,a2,a3,a4}，且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M可能是()A. {a1,a2}B. {a1,a2,a3}C. {a1,a2,a4}D. {a1,a2,a3,a4}10.设函数f(x)的定义域为(−1,1)，且满足：①x∈(−1,0)时，f(x)>0；②f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，x，y∈(−1,1)．则下列说法正确的是()A. f(x)是奇函数B. f(x)是偶函数C. f(x)在定义域上是减函数D. f(x)在定义域上是增函数11.若a，b，c为实数，下列说法正确的是()A. 若a>b，则ac2>bc2B. 若a<b<0，则a2>ab>b2C. “关于x的不等式ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“a>0，b2−4ac≤0”D. “a<1”是“关于x的方程x2+x+a=0有两个异号的实根”的必要不充分条件12.对于定义在R上的函数f(x)，下列说法正确的是()A. 若f(x)是奇函数，则f(x−1)的图象关于点(1,0)对称B. 若对x∈R，有f(x+1)=f(x−1)，则f(x)的图象关于直线x=1对称C. 若函数f(x+1)的图象关于直线x=−1对称，则f(x)为偶函数D. 若f(1+x)+f(1−x)=2，则f(x)的图象关于点(1,1)对称三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(214)12−(−9.6)0−(338)−23+(1.5)−2=．14.幂函数y=(m2−m−5)x m2−4m+1的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为15.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如图：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元(用数字作答)16.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2.若A={y|y=[x]+[2x]+[3x],0≤x≤1}，则A中所有元素的和为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知关于x的不等式ax2+5x−2>0的解集是M．(1)若a=3，求解集M；(2)若M={x|12<x<2}，解关于x的不等式ax2−5x+a2−1>0．18.已知函数f(x)=1−2x．(1)若函数g(x)=f(x)−a为奇函数，求a的值；(2)试判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，并用定义证明．19. 已知函数f(x)={x −5,(x <−1)3x −3,(−1≤x ≤2)−x +5,(x >2)．(1)解不等式f(x)>1；(2)若f(x)+t <0对任意实数x 都成立，求实数t 的取值范围．20. 已知函数f(x)=ax 2−2ax +1+b(a >0)．(1)若a =b =1，求f(x)在[t,t +1]上的最大值；(2)若f(x)在区间[2,4]上的最大值为9，且最小值为1，求实数a ，b 的值．21. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，在党和国家强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情，之后一方面防止境外输入，另一方面复工复产，某厂经调查测算，某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技(x2−600)万元作为术革新和营销策略改革，并将定价提高到x元．公司拟投入16x万元作为浮动宣传费用．试问：技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．22.已知函数f(x)=x2−4x+a+3，g(x)=mx+5−2m(1)当a=−3，m=0时，求方程f(x)−g(x)=0的解；(2)若方程f(x)=0在[−1,1]上有实数根，求实数a的取值范围；(3)当a=0时，若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使f(x1)=g(x2)成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】先求出A∩B={3}，由此能求出∁U(A∩B)．本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：∵集合U={1,2，3，4，5，6}，A={2,3，5}，B={1,3，6}，∴A∩B={3}，∁U(A∩B)={1,2，4，5，6}．故选C．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和对应关系是否都相同，属于基础题．判断每个选项的两函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的为同一函数，否则不是同一函数．【解答】解：A.f(x)=2x的定义域为R，g(x)=2x2的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同x一函数；B.f(x)=|x|的定义域为R，g(x)=√x2=|x|的定义域为R，定义域和对应关系都相同，是同一函数；C.f(x)=x2−1的定义域为{x|x≠1}，g(x)=x+1的定义域为R，定义域不同，不是同x−1一函数；D.f(x)=√x+1⋅√x−1的定义域为{x|x≥1}，g(x)=√x2−1的定义域为{x|x≤−1或x≥1}，定义域不同，不是同一函数．故选B．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查全称量词命题的否定，属于基础题．根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即可得到结论．【解答】解：命题为全称量词命题，则命题的否定为：∃x≥0，x3+x<0，故选C．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数的图象特征，一次函数的单调性，以及二次函数的性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．可先根据a的符号判断一次函数的单调性，二次函数的图象的开口方向，然后作出选择．【解答】在R上是解：当a>0时，g(x)=ax2的图象是开口向上的抛物线，函数f(x)=ax+1a增函数，故A满足条件，B、C、D不满足条件．在R上是减函当a<0时，g(x)=ax2的图象是开口向下的抛物线，函数f(x)=ax+1a)，4个选项都不满足条件．数，且直线过定点(0,1a故选A．5.【答案】A【解析】本题考查不等式的概念与不等关系，属于中等题．设每枝郁金香和每枝丁香的价格分别为x 元和y 元，列出不等式组，把不等式组的右侧常数化为同一个数，得出不等式即可得出结论． 【解答】解：设每枝郁金香和每枝丁香的价格分别为x 元和y 元， 由题意可知：{4x +5y <226x +3y >24，即{4x +5y <222x +y >8，∴{16x +20y <8822x +11y >88， ∴22x +11y >16x +20y ，即2x >3y ． 故A >B ． 故选A ．6.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用数形结合的思想是解决本题的关键． 利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集． 【解答】解：因为y =f(x)为偶函数，所以f(x)+f(−x)2x=2f(x)2x=f(x)x<0，所以不等式等价为{x >0f(x)<0或{x <0f(x)>0．因为函数y =f(x)为偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，又f(3)=0，作出大致图象如图所示，所以解得x >3或−3<x <0， 即不等式的解为(−3,0)∪(3,+∞)．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用基本不等式求最值，注意基本不等式的形式以及运用的条件一正二定三相等，灵活代换是解题的关键，属于中档题．根据题意，分析可得b3a +3b=b3a+3a+3bb=b3a+3ab+3，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，若正实数a，b，满足a+b=1，则b3a +3b=b3a+3a+3bb=b3a+3ab+3≥2×√b3a×3ab+3=5，当且仅当b=3a=34时等号成立，即b3a +3b的最小值为5．故选C．8.【答案】B【解析】【分析】由题意可知函数f(x)是R上的奇函数，画出函数f(x)在[−2,2]上的大致图象，得到当x∈[−2,0)时，0⩽f(x)≤1，由题意可知t4−12t≤1，从而求出t的取值范围．本题主要考查了分段函数的应用，考查了解不等式，是较难题．解：∵定义域是R 的函数f(x)满足f(x)=−f(−x)， ∴函数f(x)是R 上的奇函数，又∵当x ∈(0,2]时，f(x)={x 2−x,x ∈(0,1],−x +1,x ∈(1,2]．∴利用函数的奇偶性画出函数f(x)在[−2,2]上的大致图象，如图所示：，当x ∈[−2,0)时，0⩽f(x)≤1， ∵若x ∈[−2,0)时，f(x)≥t4−12t 有解， ∴t4−12t ≤1，即t 2−4t−24t≤0，解得t ≤2−√6或0<t ≤2+√6， 故选B ．9.【答案】AC【解析】 【分析】本题考查了子集的定义，交集的定义及运算，属于基础题．根据条件即可得出集合M 一定含元素a 1，a 2，不含a 3，然后即可得出集合M 可能的情况． 【解答】解：∵M ⊆{a 1,a 2,a 3,a 4}，且M ∩{a 1,a 2,a 3}={a 1,a 2}， ∴集合M 一定含元素a 1，a 2，不含a 3， ∴M ={a 1,a 2}或{a 1,a 2,a 4}. 故选AC ．10.【答案】AC【解析】【分析】由条件②，令x=y=0，可得f(0)=0，再令y=−x，即可得到f(x)+f(−x)=0，根据定义域，从而可得函数的奇偶性，判断选项A，B；利用函数单调性的定义，结合条件①可得函数f(x)的单调性，从而判断选项C，D．本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的判断，属于较难题．【解答】解：f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，令x=y=0，则f(0)+f(0)=f(0)，所以f(0)=0，令y=−x，则f(x)+f(−x)=f(0)=0，又因为x∈(−1,1)，所以f(x)为奇函数，故A对，B错；任取−1<x1<x2<0，所以f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1−x21−x1x2)，因为−1<x1<x2<0，所以x1−x2<0，0<x1x2<1，所以1−x1x2>0，所以x1−x21−x1x2<0，因为x1−x21−x1x2+1=(1+x1)(1−x2)1−x1x2>0，所以x1−x21−x1x2>−1，所以−1<x1−x21−x1x2<0，由条件①得f(x1−x21−x1x2)>0，所以f(x1)−f(x2)=f(x1−x21−x1x2)>0，所以f(x)在(−1,0)上单调递减，所以f(x)在(−1,1)上单调递减，故C对，D错．故选AC．11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质以及充分、必要条件的判断，是中档题．根据不等式的基本性质，可以判断选项A、B是否正确；通过特殊值可以判断选项C错误；求出命题成立的充要条件，判断选项D正确．【解答】解：对于A：若a>b，当c=0时ac2>bc2不成立，所以A错误；对于B：根据不等式的性质，若a<b<0，则−a>−b>0，所以−a2<−ab，−ab<−b2，所以a2>ab，ab>b2，即a2>ab>b2，选项B正确；对于C：a=b=0，c=0时，不等式ax2+bx+c≥0也恒成立，所以选项C错误；对于D：方程x2+x+a=0有两个异号的实根的充要条件是a<0，所以a<1是“关于x的方程x2+x+a=0有两个异号的实根”的必要不充分条件，D 正确．故选BD．12.【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质，涉及函数的周期性、对称性分析，属于较难题．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，将f(x)的图象向右平移1个单位得到函数f(x−1)的图象，f(x)为奇函数，则其图象关于点(0,0)对称，则函数f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，A正确；对于B，若对x∈R，有f(x+1)=f(x−1)，即f(x−2)=f(x)，函数f(x)是周期为2的周期函数，其图象不一定关于直线x=1对称，B错误，对于C，将f(x+1)的图象向右平移1个单位得到函数f(x)的图象，若函数f(x+1)的图象关于直线x=−1对称，则f(x)的图象关于直线x=0对称，即f(x)为偶函数，C正确，对于D，若f(1+x)+f(1−x)=2，即f(1+x)−1=−[f(1−x)−1]，则f(x)的图象关于点(1,1)对称，D正确，故选ACD．13.【答案】12【解析】 【分析】本题考查了指数幂的运算法则，属于基础题． 利用指数幂的运算法则即可得出． 【解答】解：原式=[(32)2]12−1−[(23)−3]−23+(32)−2=32−1−49+49=12． 故答案为12．14.【答案】3【解析】 【分析】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．由题意利用幂函数的定义可得m 2−m −5=1，根据图象分布可知m 2−4m +1为偶数，由此求得m 的值． 【解答】解：∵幂函数y =(m 2−m −5)x m2−4m+1的图象分布在第一、二象限，∴m 2−m −5=1，且m 2−4m +1为偶数，解方程m 2−m −5=1，即(m −3)(m +2)=0，可得m =3或−2， 当m =3时，32−4×3+1=−2为偶数，符合题意；当m =−2时，(−2)2−4×(−2)+1=13为奇数，函数图像不可能分布在第一、二象限，舍去， 则实数m 的值为3． 故答案为3．15.【答案】148.4【解析】【分析】本题考查利用分段函数模型解决实际问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．先计算出高峰时间段用电的电费，和低谷时间段用电的电费，然后把这两个电费相加．【解答】解：高峰时间段用电的电费为50×0.568+150×0.598=28.4+89.7=118.1(元)，低谷时间段用电的电费为50×0.288+50×0.318=14.4+15.9=30.3(元)，本月的总电费为118.1+30.3=148.4(元)，故答案为148.4．16.【答案】12【解析】【分析】推导出A={y|y=[x]+[2x]+[3x],0≤x≤1}={0,1，2，3，6}，由此能求出A中所有元素的和．本题考查集合的新定义问题，考查元素的求法，是中档题．【解答】解：∵函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，∴A={y|y=[x]+[2x]+[3x],0≤x≤1}={0,1，2，3，6}，则A中所有元素的和为0+1+2+3+6=12．故答案为12．17.【答案】解：(1)当a=3时，不等式为3x2+5x−2>0，即(3x−1)(x+2)>0，解得x<−2或x>13，所以集合M={x|x<−2或x>13}，(2)∵M={x|12<x<2}，∴12，2是方程ax2+5x−2=0的两根，∴12×2=−2a，∴a=−2，∴不等式ax2−5x+a2−1>0即为−2x2−5x+3>0，即(2x−1)(x+3)<0，解得−3<x<12，故解集为{x|−3<x<12}.【解析】(1)不等式为3x2+5x−2>0化为(3x−1)(x+2)>0，解得即可．(2)12，2是方程ax2+5x−2=0的两根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2−5x+a2−1>0易解出其解集．本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，求出a的值，是解答本题的关键．18.【答案】解：(1)由已知g(x)=f(x)−a，得g(x)=1−a−2x，∵g(x)是奇函数，∴g(−x)=−g(x)，即1−a−2−x =−(1−a−2x)，解得a=1；(2)函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，证明如下：设任意x1，x2满足0<x1<x2，f(x1)−f(x2)=(1−2x1)−(1−2x2)=2(x1−x2)x1x2，∵0<x1<x2，∴x1−x2<0，x1x2>0从而2(x1−x2)x1x2<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数．【解析】本题考查了函数的奇偶性问题，考查根据单调性的定义证明函数的单调性问题，是一道中档题．(1)根据函数的奇偶性求出a的值即可；(2)根据函数的单调性的定义证明即可．19.【答案】解：(1)由题意f(x)={x −5,(x <−1)3x −3,(−1≤x ≤2)−x +5,(x >2)，①当x <−1时，f(x)=x −5>1，解得：x >6， 又∵x <−1，∴无解，②当−1≤x ≤2时，f(x)=3x −3>1，解得：x >43， 又∵−1≤x ≤2，∴43<x ≤2，③当x >2时，f(x)=−x +5>1，解得：x <4， 又∵x >2，∴2<x <4，综上所述，不等式f(x)>1的解集为(43,4)． (2)①当x <−1时，f(x)=x −5<−6， ②当−1≤x ≤2时，−6≤f(x)=3x −3≤3， ③当x >2时，f(x)=−x +5<3， 所以f(x)≤3，所以−f(x)≥−3， ∵f(x)+t <0对任意实数x 都成立， ∴t <−f(x)对任意实数x 都成立， ∴t <−3，即实数t 的取值范围为(−∞,−3)．【解析】本题主要考查了分段函数的应用，考查了解不等式，是中档题． (1)分段求出不等式f(x)>1的解集，再取并集即可．(2)分段求出f(x)的范围，再取并集得到f(x)的范围，进而求出−f(x)的范围，f(x)+t <0对任意实数x 都成立，等价于t <−f(x)对任意实数x 都成立，只需t 小于−f(x)的最小值即可．20.【答案】解：(1)f(x)=x 2−2x +2，x ∈[t,t +1]，因为对称轴x =1，而t+t+12=t +12，所以，①t +12≤1，即t ≤12时，最大值f(t)=t 2−2t +2； ②t +12>1，即t >12时，最大值f(t +1)=t 2+1；综合可知，t ≤12时，最大值为t 2−2t +2；t >12时，最大值为t 2+1； (2)因为函数f(x)图象的开口方向向上，且对称轴方程为x =1，所以，函数f(x)在区间[2,4]上单调递增， ∴{f(2)=b +1=1f(4)=8a +b +1=9， 解得，{a =1b =0．【解析】本题考查了含参的二次函数求最值问题，已知最值求参数问题，属于较难题． (1)对称轴定，区间动，分类讨论，利用对称轴与区间的位置关系，解出函数在区间的最值；(2)由函数解析式可知函数在区间[2,4]上单调递增，可解出a ，b 的值．21.【答案】解：(1)设每件定价为t 元，依题意得，(8−t−251×0.2)t ≥25×8，整理得t 2−65t +1000≤0，解得25≤t ≤40．∴要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为40元；(2)依题意，当x >25时，不等式ax ≥25×8+50+16(x 2−600)+15x 成立， 等价于x >25时，a ≥150x+16x +15有解，由于150x+16x ≥2√150x⋅16x =10，当且仅当150x=x6，即x =30时等号成立．∴a ≥10.2．故当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时商品的每件定价为30元．【解析】本题考查函数模型的选择及应用，训练了不等式的解法及利用基本不等式求最值，是较难题．(1)设每件定价为t 元，由题意列关于t 的不等式求解；(2)当x >25时，不等式ax ≥25×8+50+16(x 2−600)+15x 成立，分离参数a ，再由基本不等式求最值，则答案可求．22.【答案】解：(1)当a =−3，m =0时，求方程f(x)−g(x)=0化为x 2−4x −5=0，解得：x =−1或x =5；(2)∵函数f(x)=x 2−4x +a +3的对称轴是x =2，开口向上， ∴f(x)在区间[−1,1]上是减函数， ∵函数在区间[−1,1]上存在零点，则必有：{f(1)≤0f(−1)⩾0，即{a ≤0a +8≥0，解得−8≤a ≤0． 故所求实数a 的取值范围为[−8,0]；(3)若对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使f(x 1)=g(x 2)成立， 只需函数y =f(x)的值域为函数y =g(x)的值域的子集． f(x)=x 2−4x +3，x ∈[1,4]的值域为[−1,3]， 下面求g(x)=mx +5−2m 的值域．①当m =0时，g(x)=5为常数，不符合题意舍去；②当m >0时，g(x)的值域为[5−m,5+2m]，要使[−1,3]⊆[5−m,5+2m]， 需{5−m ≤−15+2m ≥3，解得m ≥6； ③当m <0时，g(x)的值域为[5+2m,5−m]，要使[−1,3]⊆[5+2m,5−m]， 需{5+2m ≤−15−m ≥3，解得m ≤−3． 综上，m 的取值范围为(−∞,−3]∪[6,+∞)．【解析】(1)直接把a =−3，m =0代入方程，求解一元二次方程得答案；(2)求出函数f(x)的对称轴，得到f(x)在区间[−1,1]上是减函数，由函数在区间[−1,1]上存在零点得不等式组{f(1)≤0f(−1)⩾0，求解不等式组得实数a 的取值范围；(3)把对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使f(x 1)=g(x 2)成立转化为函数y =f(x)的值域为函数y =g(x)的值域的子集，然后求g(x)的值域得答案．本题考查了函数的零点，考查了函数恒成立问题，训练了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法．。
山东省淄博市淄博中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含解析)
淄博中学2023-2024学年第二学期高二期中考试数学试题一、单选题（每小题5分，共40分，只有一个正确选项）1．已知函数，则（ ）A ．B ．1CD2．是等差数列a 的前项和，，，则首项（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．在数列中，若，则（ ）A ．B ．2C ．1D ．4．某同学是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前六个数字3、1、4、1、5、9进行某种排列得到密码，要求两个1必须相邻，那么可以设置的不同密码有（ ）A ．120B ．240C ．60D ．305．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（ ）A ．15B ．17C ．18D ．196．设，函数的导函数是，若是奇函数，则曲线在处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，用四种不同颜色给矩形A 、B 、C 、D 涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（）A ．12种B ．24种C ．48种D ．72种8．已知函数在区间上单调递减，则a 的值可能为（）()cos f x x =066lim x f x f xππ∆→⎛⎫⎛⎫+∆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=∆12-n S {}n a 3412a a +=749S =1a ={}n a 11a =-()1121n n a n a -=≥-2024a =1-12{}n a {}n b 8b =a R ∈()()4323f x x a x ax =-++()f x '()f x '()y f x =1x =31y x =-+2y x=-24y x =+24y x =-+()ln x f x ae x =-()1,2A ．B ．C ．D ．e二、多选题（每小题6分，共18分，选错得0分）9．下列求导运算正确的是（）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）A ．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B ．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法C ．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法D ．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法11．已知数列的通项公式为，，记为数列的前n 项和，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．若，则D ．若，则三、填空题（每小题5分，共15分）12．函数在上的最大值为______．13．已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n 项积，则取最大值时，n 的值为______．14．已知函数有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是______．四、解答题（本大题共77分）15．（13分）某医院有内科医生7名，外科医生5名，现选派4名参加赈灾医疗队，其中，（1）甲、乙有且仅有一人参加，有多少种选法？2e2e-3e-()()cos 21f x x =+()()2sin 21f x x '=+()23x f x e -+=()232x f x e -+'=-()x x f x e =()1x xf x e +'=()lg f x x x =()1lg ln10f x x '=+{}n a ()214n n a π-=tan n n b a =n S {}n a ()11n n b -=-()1123112n n b b b b -+-++++=n n n c a b =()12314nnn c c c c π-++++=n n n d b S =()2123224n d d d d n n π++++=-+ ()ln f x x x =-(]0,e {}n a 164a =12q =n T {}n a n T ()()ln 2f x x ax a =-+∈R（2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？16．（15分）设函数，曲线在点处的切线斜率为1．（1）求a 的值；（2）设函数，求的最小值；17．（15分）已知等比数列中，且是和的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）若函数，满足，求的前n 项和．18．（17分）已知数列的前n 项和为，满足．（1）求的通项公式；（2）删去数列的第3i 项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前n 项和为，请写出的前6项，并求出和．19．（17分）已知函数（，e 为自然对数的底数）．（1）若在处的切线与直线垂直，求a 的值；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，求证：．淄博中学2023-2024学年第二学期高二期中考试数学试题答案一、单选题（每小题5分，共40分，只有一个正确选项）1．【答案】，选A 2．【答案】得所以选A3．【答案】，，，所以周期为3，所以选D ()()()2ln 1f x x x ax =++-()y f x =()()0,0f ()()g x f x ='()g x {}n a 12a =22a 3a 14a {}n a {}n b ()22n n b n a n N *=+∈{}n b n S {}n a n S 22n n S a =-{}n a {}n a 1,2,3,i = {}n b {}n b n T {}n b 6T 2n T ()()21x f x axe x =-+a ∈R ()f x 0x =y ax =()f x 21a e≥()2ln 2f x x x x ≥---()sin f x x =-'()016limsin 662x f x f x f x πππ∆→⎛⎫+∆- ⎪⎛⎫⎝'⎭==-=- ⎪∆⎝⎭3471249a a S +=⎧⎨=⎩112a d =⎧⎨=⎩11a =-212a =32a =41a =-{}n a 2024212a a ==4．【答案】，选A5．【答案】前几项为3、5、7、9、11，所以，所以，所以选B 6．【答案】因为是奇函数所以所以所以切点为所以所以选B7．【答案】选C 8．【答案】因为，所以，因为在区间上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，当时，因为在上恒成立，故上式成立，满足题意；当时，则在上恒成立，令，，所以在上恒成立，所以在上单调递增，又，故，即，选C 二、多选题（每小题6分，共18分，选错得0分）9．【答案】A ．B ．55120A ={}n b 21n b n =+817b =()()324332f x x a x ax +'=-+()f x '3a =-()423f x x x =-()1,2-()12f '=-2y x =-432248⨯⨯⨯=()()ln 0x f x ae x x =->()1x f x ae x'=-()f x ()1,2()10xf x ae x =-≤'()1,21x a xe≤()1,20a ≤10xxe >()1,20a >1x xe a≥()1,2()x g x xe =()1,2x ∈()()10x g x x e =+>'()1,2()g x ()1,2()()222g x g e <=212e a ≥2102a e<≤()()2sin 21f x x =-+'()232x f x e -+'=-C ．D ． 选BD 10．【答案】A ．B ．C ．D ．选ABD11．【答案】由可知是以，的等差数列。
山东省淄博市2020-2021学年度上学期高一期末考试语文试题(含答案)
淄博市2020-2021学年度上学期高一期末考试语文试题注意事项∶1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置。
2.选择题答案必须使用 2B铅笔（按填涂样例）正确填涂;非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
保持卡面清洁，不折叠、不破损。
一、现代文阅读（35 分）（一）现代文阅读I（本题共 5 小题，19 分）阅读下面《乡土中国》的文字，完成1～5题。
材料一∶家庭在西洋是一种界线分明的团体，而在中国，这个"家"字可以说最能伸缩自如了。
为什么我们这个最基本的社会单位的名词会这样不清不楚呢?在我看来却表示了我们的社会结构本身和西洋的格局是不相同的，我们的格局不是一捆一捆扎清楚的柴，而是好像把一块石头丢在水面上所发生的一圈圈推出去的波纹。
每个人都是他社会影响所推出去的圈子的中心。
被圈子的波纹所推及的就发生联系。
每个人在某一时间某一地点所动用的圈子是不一定相同的。
我们社会中最重要的亲属关系就是这种丢石头形成同心圆波纹的性质。
亲属关系是根据生育和婚姻事实所发生的社会关系。
从生育和婚姻所结成的网络，可以一直推出去包括无穷的人，过去的、现在的和未来的人物。
我们俗语里有"一表三千里"，就是这个意思，其实三千里者也不过指其广袤的意思而已。
这个网络像个蜘蛛的网，有一个中心，就是自己。
我们每个人都有这么一个以亲属关系布出去的网，但是没有一个网所罩住的人是相同的。
在，一个社会里的人可以用同一个体系来记认他们的亲属，所同的只是这体系罢了。
体系是抽象的格局，或是范畴性的有关概念。
当我们用这体系来认取具体的亲亲戚戚时，各人所认的就不同了。
我们在亲属体系里都有父母，可是我的父母却不是你的父母。
2020-2021学年山东省淄博市高一上学期期中考试地理试题(解析版)
山东省淄博市2020-2021学年高一上学期期中试题第I卷（选择题共45分）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）目前为止，水星依然是人类探索的禁区。
美国“信使号”水星探测器，是1975年以来美国宇航局首次对水星进行探测工作。
它装备有2块太阳能板以提供自身能量、一块遮光板以保持冷却，在2015年4月30日结束了任务，撞毁于水星表面。
据此完成下面小题。
1. 人类发射的“信使号”水星探测器到达水星表面，说明探测器已经离开（）A. 地月系B. 太阳系C. 银河系D. 河外星系2. 探测器的太阳能电池板能量来源于（）A. 太阳核心物质燃烧B. 强劲的太阳风C. 太阳核心物质的核聚变D. 太阳核心物质的核裂变『答案』1. A 2. C『解析』【1题详解】人类发射的“信使号”水星探测器到达水星表面，说明探测器已经离开地月系，故A正确。
水星是太阳系的八大行星之一，太阳系属于银河系的一部分，所以探测器并未离开太阳系和银河系，故BC错误。
银河系与河外星系是并列的关系，水星属于银河系，本来就不属于河外星系，故D错误。
所以本题选A。
【2题详解】探测器的太阳能电池板能量来源于太阳辐射，而太阳辐射的能量来自于太阳核心物质的核聚变，故C正确，ABD错误。
所以本题选C。
北京时间2017年9月6日18时和20时，太阳活动区AR12673分别爆发了两次X级耀斑，后者更是达到了X9.3级的高强度，一举打破了自2005年以来保持了十二年之久的太阳耀斑强度记录，产生了很强的“太阳风暴”。
读太阳大气层结构图，完成下面小题。
3. 太阳的大气层结构由内向外依次是（）A. 光球层、色球层、日冕层B. 日冕层、色球层、光球层C. 光球层、日冕层、色球层D. 色球层、光球层、日冕层4. 在耀斑强盛的时期，下列现象与其相关的是（）①信鸽迷失方向②大气中二氧化碳增加，温室效应加剧③扰乱电离层，影响无线电长波通信④地球极端天气现象增加A. ①③B. ②④C. ②③D. ①④『答案』3. A 4. D『解析』【3题详解】结合所学知识可知，太阳的大气层结构由内向外依次是光球层、色球层、日冕层，故A正确，BCD错误。
2020--2021学年度第一学期期中考试安排
育英中学高中部2020—2021学年度第一学期期中考试工作安排高中部定于11月9日至11月11日进行2020—2021学年度第一学期期中考试。
现将有关事项安排如下：一、考试工作领导小组：组长：梁耀録副组长：马永昌考务组：贾兴隆乔小飞李洋巡查组：贾兴隆乔小飞赵龙龙刘迎考务办设在三楼会议室。
李洋负责试题印制、发放、收交、装订、保管，负责考务办开关门、考勤、收发考场记录，准备考务办公室各种物品（考场标牌、监考牌、草稿纸、考场记录单、考场对照表等）。
李洋负责试题印制、考场布置、考场卫生，收集教室门钥匙，准备探测仪，发考试指令。
李洋负责试卷的扫描，每科考试结束后，迅速开始试卷的扫描。
二、考试科目：高一理科：语文、数学、英语、物理、化学、生物高一文科：语文、数学、英语、政治、历史、地理高二理科：语文、数学、英语、物理、化学、生物高二文科：语文、数学、英语、政治、历史、地理三、考试时间：高一高二考试时间四、各科考试用时及分值：语文：150分钟，数学、英语：120分钟，地理、化学、物理90分钟，语数英满分均为150分，政史地理化生满分均为100分。
五、试场编排1、考场设置：（1）高一年级13个试场（1--13），共计551人。
高一1班--高一8班对应1到8考场,每场40人，高一9班--高一12班对应9到12场，每考场对应50人，四楼培优教室对应13考场，31人。
（2）高二年级14个试场（14--27），共计452人。
高二年级理科205人，6个试场（14-18）。
高二1班--高二5班对应14--18考场，每考场41人。
高二年级文科237人，8个试场（19-25）高二6班--高二8班为文科19、20、21考场，每场40人，物理实验室301对应22考场，物理实验室303对应23考场，物理实验室305对应24考场，化学实验室101对应25考场，每考场30人，尾考场27人。
3、座位排列：试场桌椅排成5列8排，座位号从前门内左手第一行开始，按倒“S”形依次排列，每列8人。
2020-2021学年山东省淄博市高二上学期期末考试数学试题 解析版
2020-2021学年山东省淄博市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．直线x+y+1＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．椭圆x2+2y2＝1的焦点坐标是（）A．（±1，0）B．（0，±1）C．（±，0）D．（0，±）3．空间两点A（1，5，4），B（﹣1，3，5）间的距离等于（）A．2B．3C．4D．94．圆C1：x2+y2+8x+12＝0和圆C2：x2+y2﹣6y＝0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切5．2020年10月26日至29日，中国共产党第十九届中央委员会第五次全体会议在北京举行，审议通过了《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十四个五年规划和二O三五年远景目标的建议》．某班级从3名男生和3名女生中任选2人参加学校十九届五中全会精神宣讲团，则选中的2人恰好都是女生的概率为（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.56．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若＝x+y+z，求x+y+z＝（）A．1B．C．2D．7．光线通过点A（2，3），在直线l：x+y+1＝0上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为（）A．4x﹣5y+1＝0B．4x+5y﹣9＝0C．5x﹣4y﹣1＝0D．5x+4y﹣9＝0 8．设F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点．若|PF1|+|PF2|＝6a，且＝，则双曲线C的渐近线方程是（）A．x±y＝0B．x y＝0C．x±2y＝0D．2x y＝0二、多项选择题（共4小题）.9．若，，与的夹角为120°，则λ的值为（）A．17B．﹣17C．﹣1D．110．已知空间向量都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（）A．向量的模是3B．可以构成空间的一个基底C．向量和夹角的余弦值为D．向量与共线11．已知A，B是随机事件，则下列结论正确的是（）A．若A，B是互斥事件，则P（AB）＝P（A）P（B）B．若事件A，B相互独立，则P（A+B）＝P（A）+P（B）C．若A，B是对立事件，则A，B是互斥事件D．事件A，B至少有一个发生的概率不小于A，B恰好有一个发生的概率12．已知F1，F2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A1，A2分别为其实轴的左、右端点，且|F1F2|＝，点P为双曲线右支一点，I为△PF1F2的内心，则下列结论正确的有（）A．离心率B．点I的横坐标为定值aC．若（λ∈R）成立，则λ＝﹣1D．若PH垂直x轴于点H，则|PH|2＝|HA1|•|HA2|三、填空题（共4小题）.13．已知直线l1：（m﹣1）x﹣3y+3＝0和直线l2：2x+my﹣5＝0垂直，则实数m＝．14．现有3个灯泡并联而成的闭合电路，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.9，那么在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是．15．已知空间直线l的方向向量是，平面α的法向量．若l⊥α，则a+b＝．16．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与y轴交于点M，当最大时，弦AB长度是．四、解答题（共6小题）.17．已知在空间直角坐标系Oxyz中，点A，B，C，M的坐标分别是（2，0，2），（2，1，0），（0，4，﹣1），（2，3，﹣1），过点A，B，C的平面记为α．（1）证明：点A，B，C，M不共面；（2）求点M到平面α的距离．18．已知△ABC中，点A（﹣1，5），边BC所在直线l1的方程为7x﹣y﹣18＝0，边AB上的中线所在直线l2的方程为y＝x．（1）求点B和点C的坐标；（2）若△ABC的外接圆为⊙M，求直线l2被⊙M截得的弦长．19．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：（Ⅰ）从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？（Ⅱ）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？20．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）（y＞0）到定点M（0，1）的距离比到x轴的距离大1．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点M的直线l交曲线C于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．21．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BC，CD的中点．（1）求平面C1EF与平面AB1D1夹角的余弦值；（2）设，若平面C1EF∥平面MB1D1，求λ的值．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），中恰有三点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）蝴蝶定理：如图1，AB为圆O的一条弦，M是AB的中点，过M作圆O的两条弦CD，EF．若CF，ED分别与直线AB交于点P，Q，则MP＝MQ．该结论可推广到椭圆．如图2所示，假定在椭圆C中，弦AB的中点M的坐标为（0，），且两条弦CD，EF所在直线斜率存在，证明：MP＝MQ．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．直线x+y+1＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°解：直线x+y+1＝0的斜率k＝，设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则tan，∴θ＝150°．故选：D．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．2．椭圆x2+2y2＝1的焦点坐标是（）A．（±1，0）B．（0，±1）C．（±，0）D．（0，±）解：∵椭圆x2+8y2＝1的标准方程为：x2+＝1，∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2﹣b2＝，∴c＝．又椭圆x2+2y2＝1的焦点在x轴，∴椭圆x2+2y2＝1的焦点坐标是（±，0）．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质，着重考查椭圆的焦点坐标的求法，由其方程明确焦点位置是关键，属于中档题．3．空间两点A（1，5，4），B（﹣1，3，5）间的距离等于（）A．2B．3C．4D．9解：因为空间两点A（1，5，4），B（﹣1，3，5），故A，B两点间的距离为．故选：B．【点评】本题考查了空间中两点间的距离公式的应用，解题的关键是熟练掌握空间两点间的距离公式，属于基础题．4．圆C1：x2+y2+8x+12＝0和圆C2：x2+y2﹣6y＝0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切解：根据题意圆C1：x2+y2+8x+12＝0，即（x+4）2+y2＝4，其圆心为（﹣4，0），半径r ＝2，圆C2：x2+y2﹣6y＝0，即x2+（y﹣3）2＝9，其圆心为（0，3），半径R＝3，圆心距|C1C2|＝＝5，则圆心距|C1C2|＝R+r＝5，则两圆外切，故选：D．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，注意将圆的方程变形为标准方程，属于基础题．5．2020年10月26日至29日，中国共产党第十九届中央委员会第五次全体会议在北京举行，审议通过了《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十四个五年规划和二O三五年远景目标的建议》．某班级从3名男生和3名女生中任选2人参加学校十九届五中全会精神宣讲团，则选中的2人恰好都是女生的概率为（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5解：某班级从3名男生和3名女生中任选2人参加学校十九届五中全会精神宣讲团，基本事件总数n＝＝15，选中的2人恰好都是女生包含的基本事件个数m＝＝3，则选中的2人恰好都是女生的概率为P＝＝＝0.2．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若＝x+y+z，求x+y+z＝（）A．1B．C．2D．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵点F是侧面CDD1C1的中心，∴连接DC1，D1C，交于点F，＝＝＝（﹣）＝+（﹣）＝﹣，∵＝x+y+z，∴x+y+z＝1+＝1．故选：A．【点评】本题考查代数式求值，考查空间向量加法定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．光线通过点A（2，3），在直线l：x+y+1＝0上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为（）A．4x﹣5y+1＝0B．4x+5y﹣9＝0C．5x﹣4y﹣1＝0D．5x+4y﹣9＝0解：根据光学性质可知点A（2，3）关于直线x+y+1＝0的对称点A′（﹣4，﹣3）在反射光线所在直线上，由两点式可得反射光线所在直线方程为：＝，化简得：4x﹣5y+1＝0．故选：A．【点评】本题考查了点关于直线对称，直线方程的两点式，属中档题．8．设F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点．若|PF1|+|PF2|＝6a，且＝，则双曲线C的渐近线方程是（）A．x±y＝0B．x y＝0C．x±2y＝0D．2x y＝0解：由双曲线的定义知，|PF1|﹣|PF2|＝2a，∵|PF1|+|PF2|＝6a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵＝|PF1|•|PF2|sin∠F1PF2，∴•4a•2a•sin∠F1PF2＝，即sin∠F1PF2＝，在△PF1F2中，由余弦定理知，cos∠F1PF2＝＝＝1﹣，∵，∴（）2+（1﹣）2＝1，化简得，＝2，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0．故选：A．【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，还运用了正弦的面积公式和余弦定理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．若，，与的夹角为120°，则λ的值为（）A．17B．﹣17C．﹣1D．1解：∵，，与的夹角为120°，∴cos120°＝＝，解得λ＝﹣1或λ＝17．故选：AC．【点评】本题考查实数值的求法，考向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．已知空间向量都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（）A．向量的模是3B．可以构成空间的一个基底C．向量和夹角的余弦值为D．向量与共线解：对于选项A，因为空间向量都是单位向量，且两两垂直，所以，且，则＝，所以向量的模是，故选项A错误；对于选项B，因为空间向量都是单位向量，且两两垂直，所以不共面，而向量均与共面，所以与不共面，则可以构成空间的一个基底，故选项B正确；对于选项C，设与的夹角为α，则＝，所以向量和夹角的余弦值为，故选项C正确；对于选项D，因为，同理可得，则，所以向量与的夹角为120°，则向量与不共线，故选项D错误．故选：BC．【点评】本题考查了空间向量的应用，涉及了空间向量模的求解、空间向量的基底、空间向量的夹角等知识点，考查的知识面广，对学生基础知识掌握的情况有较高的要求，属于中档题．11．已知A，B是随机事件，则下列结论正确的是（）A．若A，B是互斥事件，则P（AB）＝P（A）P（B）B．若事件A，B相互独立，则P（A+B）＝P（A）+P（B）C．若A，B是对立事件，则A，B是互斥事件D．事件A，B至少有一个发生的概率不小于A，B恰好有一个发生的概率解：对于A，若A，B是互斥事件，则P（AB）＝0，故A错误；对于B，若事件A，B互斥事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B），故B错误；对于C，∵对立事件一定是互斥事件，∴若A，B是对立事件，则A，B是互斥事件，故C正确；对于D，∵事件A，B至少有一个发生包含A，B恰好有一个发生和A，B同时发生两种情况，∴事件A，B至少有一个发生的概率不小于A，B恰好有一个发生的概率，故D正确．故选：CD．【点评】本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件、相互独立事件的性质等基础知识，是基础题．12．已知F1，F2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A1，A2分别为其实轴的左、右端点，且|F1F2|＝，点P为双曲线右支一点，I为△PF1F2的内心，则下列结论正确的有（）A．离心率B．点I的横坐标为定值aC．若（λ∈R）成立，则λ＝﹣1D．若PH垂直x轴于点H，则|PH|2＝|HA1|•|HA2|解：∵|F1F2|＝＝2c，且b2＝c2﹣a2，∴c2﹣2ac﹣a2＝0，∵e＝＞1，∴e2﹣2e﹣1＝0，∴e＝+1，即选项A正确；设内切圆I与△PF1F2的三边分别相切于点M，N，T，如图所示，由圆的切线长定理知，|PM|＝|PN|，|F1M|＝|F1T|，|F2N|＝|F2T|，由双曲线的定义知，2a＝|PF1|﹣|PF2|＝|PM|+|F1M|﹣（|PN|+|F2N|）＝|F1T|﹣|F2T|，而|F1T|+|F2T|＝2c，∴|F1T|＝c+a，|F2T|＝c﹣a，∴T（a，0），即点I的横坐标为定值a，故选项B正确；设圆I的半径为r，∵（λ∈R），∴|PF1|•r＝|PF2|•r+λ•|F1F2|•r，即|PF1|＝|PF2|+λ|F1F2|，∴|PF1|﹣|PF2|＝λ|F1F2|，即2a＝λ•2c，∴λ＝＝＝＝，即选项C正确；假设点P在第一象限，设其坐标为（m，n），则﹣＝1，∵PH垂直x轴于点H，∴|PH|2＝n2＝（1﹣）b2，|HA1|＝m+a，|HA2|＝m﹣a，∴|HA1|•|HA2|＝（m+a）（m﹣a）＝m2﹣a2，若|PH|2＝|HA1|•|HA2|，则（1﹣）b2＝m2﹣a2，化简得m2＝a2，此时点P与H重合，不符合题意，即选项D错误．故选：ABC．【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，圆的切线长定理，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l1：（m﹣1）x﹣3y+3＝0和直线l2：2x+my﹣5＝0垂直，则实数m＝﹣2．解：因为直线l1：（m﹣1）x﹣3y+3＝0和直线l2：2x+my﹣5＝0垂直，所以（m﹣1）×2+（﹣3）×m＝0，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了两条直线位置关系的运用，涉及了直线的一般式方程的应用、两条直线互相垂直的充要条件的应用，属于基础题．14．现有3个灯泡并联而成的闭合电路，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.9，那么在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是0.972．解：现有3个灯泡并联而成的闭合电路，在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.9，∴在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是：P＝＝0.972．故答案为：0.972．【点评】本题考查概率的求法，考查n个独立重复试验中事件A恰好有k个发生的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．已知空间直线l的方向向量是，平面α的法向量．若l⊥α，则a+b＝2．解：∵是直线l的方向向量，是平面α的法向量，l⊥α，∴∥，∴＝＝，解得a+b＝2．故答案为：2．【点评】本题向量平行、线面垂直的性质，考查运算求解能力，是基础题．16．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与y轴交于点M，当最大时，弦AB长度是8．解：抛物线的标准方程为x2＝8y，所以焦点F（0，2），准线方程为y＝﹣2，因为抛物线的准线与y轴交于点M，所以点M（0，﹣2），设A（x1，y1），y1＞0，则有，所以，，所以＝＝，当且仅当，即y1＝2时取等号，所以当y1＝2时，最大，此时A（±4，2），故AB＝4+4＝8．答案为：8．【点评】本题考查了抛物线的应用，涉及了抛物线标准方程的应用、抛物线的几何性质、利用基本不等式求最值等，涉及知识点多，对学生的解题能力有一定的要求，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知在空间直角坐标系Oxyz中，点A，B，C，M的坐标分别是（2，0，2），（2，1，0），（0，4，﹣1），（2，3，﹣1），过点A，B，C的平面记为α．（1）证明：点A，B，C，M不共面；（2）求点M到平面α的距离．【解答】证明：（1）由已知可得，，，，假设A、B、C三点共线，则存在实数λ，使得，即（0，1，﹣2）＝λ（﹣2，4，﹣3），则，此方程组无解，故不共线，∴A，B，C不共线，即过点A，B，C的平面是惟一的，若点A，B，C，M共面，则存在x，y∈R，使得，即（0，3，﹣3）＝x（0，1，﹣2）+y（﹣2，4，﹣3），即，此方程组无解，即不存在实数x，y，使得，即A、B、C、M不共面；（2）设平面α的法向量为，则，取c＝2，得．∴点M到平面α的距离为d＝＝．【点评】本题考查平面的基本性质及应用，训练了利用空间向量求点到面的距离，考查运算求解能力，是中档题．18．已知△ABC中，点A（﹣1，5），边BC所在直线l1的方程为7x﹣y﹣18＝0，边AB上的中线所在直线l2的方程为y＝x．（1）求点B和点C的坐标；（2）若△ABC的外接圆为⊙M，求直线l2被⊙M截得的弦长．解：（1）联立方程组，解得，即C（3，3）．设B（s，t），则边AB上的中点坐标为（，），可得方程组，解得，即点B（2，﹣4）；（2）设△ABC的外接圆方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），将三角形的三个顶点坐标代入，得：．解得．所以三角形外接圆的方程为（x+1）2+y＝25．所以该圆的圆心坐标是（﹣1，0），半径r＝5．圆心（﹣1，0）到直线l2的方程为x﹣y＝0的距离为：d＝＝．所以弦长等于2＝7．【点评】考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系和圆的一般方程等知识，属于中档题．19．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：（Ⅰ）从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？（Ⅱ）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？【解答】（1）解：从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，根据已知得，解得∴从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是．（2）由（1）知黑球、黄球、绿球个数分别为3，2，4，得到的两个球同色的可能有：两个黑球共3种情况，两个黄球只有1种情况，两个绿球共有6种情况，而从9个球中取出2个球的情况共有36种，所以所求概率为，则得到的两个球颜色不相同的概率是．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件事件概率加法公式的合理运用．20．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）（y＞0）到定点M（0，1）的距离比到x轴的距离大1．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点M的直线l交曲线C于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．解：（1）动点P（x，y）到x轴的距离为y，到点M的距离为PM＝，因为动点P（x，y）（y＞0）到定点M（0，1）的距离比到x轴的距离大1，所以＝y+1，两边平方可得，x2＝4y，故动点P的轨迹C的方程为x2＝4y；（2）根据题意，显然直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去x可得y2﹣（2+4k2）y+1＝0，所以，所以AB＝，解得k＝±1，所以直线l的方程为y＝x+1或y＝﹣x+1．【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，涉及了抛物线标准方程的应用、直线与抛物线位置关系，要掌握常见的求解动点轨迹的方法：定义法、直接法、代入法、消元法、交轨法等，属于中档题．21．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BC，CD的中点．（1）求平面C1EF与平面AB1D1夹角的余弦值；（2）设，若平面C1EF∥平面MB1D1，求λ的值．解：（1）以D为坐标原点，分别以棱DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2），因为E，F分别为BC，CD的中点，所以点E（1，2，0），F（0，1，0）所以，设平面C1EF的法向量为，则有，所以，令z＝1，则x＝2，y＝﹣2，所以，又，设平面AB1D1的法向量为，则有，所以，令c＝1，则a＝1，b＝﹣1，所以，设平面C1EF和平面AB1D1的夹角为θ，所以＝，所以平面C1EF与平面AB1D1夹角的余弦值为；（2）因为，设点M的坐标为（x，y，z），所以（x，y﹣2，z）＝λ（2，﹣2，0），故点M的坐标为（2λ，2﹣2λ，0），所以，由（1）可知，平面C1EF的法向量为，因为平面C1EF∥平面MB1D1，所以，所以，解得．【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，主要考查了利用空间向量求二面角的余弦值，利用空间向量解决空间中线面位置关系，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，属于中档题．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），中恰有三点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）蝴蝶定理：如图1，AB为圆O的一条弦，M是AB的中点，过M作圆O的两条弦CD，EF．若CF，ED分别与直线AB交于点P，Q，则MP＝MQ．该结论可推广到椭圆．如图2所示，假定在椭圆C中，弦AB的中点M的坐标为（0，），且两条弦CD，EF所在直线斜率存在，证明：MP＝MQ．【解答】（1）解：由于P3，P4两点关于y轴对称，所以椭圆C必经过P3，P4两点，又+＞+，所以椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上，所以，解得，所以椭圆C的方程为．（2）证明：因为点M在y轴上，且M为AB的中点，所以直线AB平行于x轴，设C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），F（x4，y4），设直线CD的方程为y＝k1x+，代入椭圆C的方程中，得（+）x2+k1x﹣＝0，所以x1+x2＝，x1x2＝，同理，设直线EF的方程为y＝k2x+，则x3+x4＝，x3x4＝，因为C、P、F三点共线，所以＝＝，解得x P＝，同理，由E、Q、D三点共线，可得x Q＝，所以x P+x Q＝+＝＝＝＝＝＝0．即x P＝﹣x Q，所以|x P|＝|x Q|，即MP＝MQ【点评】本题主要考查直线与椭圆的位置关系中的定值问题，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于难题．。
浙江省台州市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析
2023年学年第一学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}|210B x x =->，则()A B ⋂R ð等于（）A.{}1,0- B.{}1,2C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先求B R ð，然后由交集运算可得.【详解】因为{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，所以(){}1,0A B ⋂=-R ð.故选：A2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（）A.2000,10x x x ∃∈++≥R B.2000,10x x x ∃∈++>R C.2,10x x x ∀∈++≥R D.2,10x x x ∀∈++>R 【答案】C 【解析】【分析】在写命题的否定中要把存在变任意，任意变存在.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以2000,10x x x ∃∈++<R 的否定即为2,10x x x ∀∈++≥R .故选：C.3.设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈，由12x -<得()1,3x ∈-，故“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.4.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法错误的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集是{}6x x <C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得,,a b c 的关系式，然后对选项进行分析，所以确定正确答案.【详解】由于关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，所以0a >（A 选项正确），且2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，整理得,6b a c a =-=-，由0bx c +>得60,6ax a x --><-，所以不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-，所以B 选项错误.660a b c a a a a ++=--=-<，所以C 选项正确.()()22260,6121310cx bx a ax ax a x x x x -+=-++<--=-+<，解得13x <-或12x >，所以D 选项正确.故选：B5.已知函数()y f x =的定义域为{}|06x x ≤≤，则函数()()22f xg x x =-的定义域为（）A.{|02x x ≤<或}23x <≤B.{|02x x ≤<或}26x <≤C.{|02x x ≤<或}212x <≤ D.{}|2x x ≠【答案】A 【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，02620x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得，02x ≤<或23x <≤.故选：A ．6.已知函数5(2),22(),2a x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.()0,2 B.()1,2 C.[)1,2 D.(]0,1【答案】C 【解析】【分析】由题可得函数在2x ≤及2x >时，单调递减，且52(2)22aa -+≥，进而即得.【详解】由题意可知：ay x=在()2,+∞上单调递减，即0a >；5(2)2y a x =-+在(],2-∞上也单调递减，即20a -<；又()f x 是R 上的减函数，则52(2)22aa -+≥，∴02052(2)22a a a a ⎧⎪>⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得12a ≤<．故选：C ．7.已知函数()y f x =的定义域为R ，()f x 为偶函数，且对任意12,(,0]x x ∈-∞都有2121()()0f x f x x x ->-，若(6)1f =，则不等式2()1f x x ->的解为（）A.()(),23,-∞-⋃+∞ B.()2,3- C.()0,1 D.()()2,01,3-⋃【答案】B 【解析】【分析】由2121()()0f x f x x x ->-知，在(,0]-∞上单调递增，结合偶函数，知其在在[0,)+∞上单调递减即可解.【详解】对120x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x ->-，等价于函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为函数()f x 关于直线0x =对称，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减.则()21f x x ->可化为26x x -<，解得23x -<<.故选：B.8.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18【答案】C 【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（）A.若a b <，则22ac bc <B.若a b >，c d <，则a c b d ->-C.若14a ≤≤，21b -≤≤，则06a b ≤-≤D.a b >是22a b >的充要条件【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A ，若0c =，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，c d c d <⇒->-，由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故B 正确；对于C ，2121b b -≤≤⇒≥-≥-，由不等式的同向可加性可得06a b ≤-≤，故C 正确；对于D ，若102a b =>>=-，明显22a b <，a b >不能得出22a b >，充分性不成立，故D 错误.故选：BC10.已知函数()42f x x =-，则（）A.()f x 的定义域为{}±2x x ≠ B.()f x 的图象关于直线=2x 对称C.()()56ff -=- D.()f x 的值域是()(),00,-∞+∞ 【答案】AC 【解析】【分析】根据解析式可得函数的定义域可判断A ，利用特值可判断，直接求函数值可判断C ，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D.【详解】由20x -≠，可得2x ≠±，所以()f x 的定义域为{}±2x x ≠，则A 正确；因为()14f =-，()34f =，所以()()13f f ≠，所以()f x 的图象不关于直线=2x 对称，则B 错误；因为()453f -=，所以()()56f f -=-，则C 正确；因为2x ≠±，所以0x ≥，且2x ≠，所以22x -≥-，且20x -≠，当220x -≤-<时，422x ≤--，即()2f x ≤-，当20x ->时，402x >-，即()0f x >，所以()f x 的值域是(](),20,-∞-+∞ ，故D 错误．故选：AC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.x ∀，R y ∈，若[][]x y =，则有1x y ->-D.方程[]231x x =+的解集为【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：取12x =，不成立；对于B ：设[]x x a =-，[0,1)a ∈,讨论10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭与1,1)2a ⎡∈⎢⎣求解；对于C ：,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，由||x y -=||1t s -<得证；对于D ：先确定0x ≥，将[]231x x =+代入不等式[][]()2221x x x ≤<+得到[]x 的范围，再求得x 值.【详解】对于A ：取12x =，[][][]1211,2220x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦==，故A 错误；对于B ：设11[],[0,1),[][][]22x x a a x x x x a ⎡⎤⎡⎤=-∈∴++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12[]2x a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,[2][2[]2]2[][2]x x a x a =+=+，当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，11,122a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[0,1)a ∈，则102a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]0a =则1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎣⎦，[2]2[]x x =,故当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时，131,22a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[1,,)2a ∈则112a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]1a =则1[]2[]1[2]],2[12x x x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎣⎦，故当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.综上B 正确.对于C ：设[][]x y m ==，则,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，则|||()x y m t -=+-()|||1m s t s +=-<，因此1x y ->-，故C 正确;对于D ：由[]231x x =+知，2x 一定为整数且[]310x +≥，所以[]13x ≥-，所以[]0x ≥，所以0x ≥，由[][]()2221x x x ≤<+得[][][]()22311x x x ≤+<+，由[][]231x x ≤+解得[]33 3.322x +≤≤≈，只能取[]03x ≤≤，由[][]()2311x x +<+解得[]1x >或[]0x <(舍)，故[]23x ≤≤，所以[]2x =或[]3x =，当[]2x =时x =[]3x =时x =，所以方程[]231x x =+的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由x 求[]x 时直接按高斯函数的定义求即可.由[]x 求x 时因为x 不是一个确定的实数,可设[]x x a =-，[0,1)a ∈处理.(3)求由[]x 构成的方程时先求出[]x 的范围,再求x 的取值范围.(4)求由[]x 与x 混合构成的方程时,可用[][]1x x x ≤<+放缩为只有[]x 构成的不等式求解.12.函数()1f x a x a =+--，()21g x ax x =-+，其中0a >.记{},max ,,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，设()()(){}max ,h x f x g x =，若不等式()12h x ≤恒有解，则实数a 的值可以是（）A.1B.12 C.13 D.14【答案】CD 【解析】【分析】将问题转化为()min 12h x ≥；分别在a ≥和0a <<的情况下，得到()f x 与()g x 的大致图象，由此可得确定()h x 的解析式和单调性，进而确定()min h x ，由()min 12h x ≤可确定a 的取值范围，由此可得结论.【详解】由题意可知：若不等式()12h x ≤恒有解，只需()min 12h x ≥即可.()1,21,x x af x a x x a +≤⎧=⎨+-≥⎩，∴令211ax x x -+=+，解得：0x =或2x a=；令2121ax x a x -+=+-，解得：x =或x =；①当2a a≤，即a ≥时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),02,02,g x x h x f x x a g x x a ⎧⎪≤⎪⎪∴=<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，()h x ∴在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，()()()min 001h x h g ∴===，不合题意；②当2a a>，即0a <<时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),0,0,g x x h x f x x g x x ⎧≤⎪∴=<<⎨⎪≥⎩()h x ∴在(],0-∞，a ⎡⎣上单调递减，[]0,a，)+∞上单调递增；又()()001h g ==，21hg a ==，∴若()min 12h x ≥，则需()min h x h =，即1212a ≤，解得：14a -≤；综上所述：实数a的取值集合10,4M ⎛⎤-= ⎥ ⎝⎦，1M ∉ ，12M ∉，13M ∈，14M ∈，∴AB 错误，CD 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定()f x 与()g x 图象的相对位置，从而得到()h x 的单调性，结合单调性来确定最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是__________．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．【详解】设幂函数()y f x x α==，其图像过点()42，，则42α=，解得12α=；∴()12f x x ==，函数定义域为[)0,∞+，在[)0,∞+上单调递增，不等式()()21f a f a ->-等价于210a a ->-≥，解得312a ≤<；则实数a 的取值范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.已知0a >，0b >，且41a b +=，则22ab +的最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得24282221018b a b ab a b a ab +=++=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝++≥⎭，当且仅当13a =，6b =时，等号成立．故答案为：1815.若函数()()22()1,，=-++∈f x x xax b a b R 的图象关于直线2x =对称，则=a b +_______．【答案】7【解析】【分析】由对称性得()(4)f x f x =-，取特殊值(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩求得,a b ，再检验满足()(4)f x f x =-即可得，【详解】由题意(2)(2)f x f x +=-，即()(4)f x f x =-，所以(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩，即15(164)08(93)b a b a b =-++⎧⎨=-++⎩，解得815a b =-⎧⎨=⎩，此时22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =--+=-+--+，432(4)(4)8(4)14(4)8(4)15f x x x x x -=--+-----+432232(1696256256)8(644812)14(168)32815x x x x x x x x x x =--+-++-+---+-++432814815x x x x =-+--+()f x =，满足题意．所以8,15a b =-=，7a b +=．故答案为：7．16.设函数()24,()2,ax x a f x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩存在最小值，则a 的取值范围是________.【答案】[0,2]【解析】【分析】根据题意分a<0，0a =，02a <≤和2a >四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当a<0时，0a ->，故函数()f x 在(),a -∞上单调递增，因此()f x 不存在最小值；②当0a =时，()24,0()2,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当0x ≥时，min ()(2)04f x f ==<，故函数()f x 存在最小值；③当02a <≤时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，2()(2)(2)0f x x f =-≥=.若240a -+<，则()f x 不存在最小值，故240a -+≥，解得22a -≤≤.此时02a <≤满足题设；④当2a >时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，22()(2)()(2)f x x f a a =-≥=-.因为222(2)(4)242(2)0a a a a a a ---+=-=->，所以22(2)4a a ->-+，因此()f x 不存在最小值.综上，a 的取值范围是02a ≤≤.故答案为：[0,2]【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-．（1）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[)0,∞+（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 是q 的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】由于A B ⋂=∅，①当B =∅时，21m m ³-，解得13m ≥，②当B ≠∅时，2111m m m <-⎧⎨-≤⎩或2123m mm <-⎧⎨≥⎩，解得103m ≤<．综上所述，实数m 的取值范围为[)0,∞+．【小问2详解】命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，故A B ⊆，所以2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-；所以实数m 的取值范围为(],2-∞-．18.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）级数全年应纳税所得额所在区间（对应免征额为60000）税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,30000020X 4(]300000,42000025319205(]420000,66000030529206(]660000,96000035859207()960000,+∞45181920有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.（1）请计算表中的数X ；（2）假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.【答案】（1）16920X =（2）153850元.【解析】【分析】（1）根据公式“个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数”计算，其中个税税额按正常计税方法计算；（2）先判断他的全年应纳税所参照的级数，是级数2还是级数3，然后再根据计税公式求解.【小问1详解】按照表格，假设个人全年应纳税所得额为x 元(144000300000x ≤≤)，可得：()()20%14400020%1440003600010%360003%x X x -=-⨯+-⨯+⨯，16920X =.【小问2详解】按照表格，级数3，()30000030000020%16920256920-⨯-=；按照级数2，()14400014400010%2520132120-⨯-=；显然1321206000019212020000031692025692060000+=<<=+，所以应该参照“级数3”计算.假设他的全年应纳税所得额为t 元，所以此时()20%1692020000060000t t -⨯-=-，解得153850t =，即他的税前全年应纳税所得额为153850元.19.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-.（1）求()0f 的值，并证明()2f x +为奇函数；（2）求证()f x 在R 上是增函数；（3）若()12f =，解关于x 的不等式()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）(0)2f =-,证明见解析（2）证明见解析（3）{1x x <-或}2x >【解析】【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造[]1122()()f x f x x x =-+即可；（3）运用题干的等式，求出(3)10f =，结合（2）的单调性即可.【小问1详解】令0x y ==，得(0)2f =-.()2()2(0)20f x f x f ++-+=+=，所以函数()2f x +为奇函数；【小问2详解】证明：在R 上任取12x x >，则120x x ->，所以12()2f x x ->-.又[]11221222()()()()2()f x f x x x f x x f x f x =-+=-++>，所以函数()f x 在R 上是增函数.【小问3详解】由(1)2f =，得(2)(11)(1)(1)26f f f f =+=++=，(3)(12)(1)(2)210f f f f =+=++=.由2()(12)8f x x f x ++->得2(1)(3)f x x f -+>.因为函数()f x 在R 上是增函数，所以213x x -+>，解得1x <-或2x >.故原不等式的解集为{1x x <-或}2x >.20.已知函数()2,R f x x x k x k =-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性（写出结论，不需要证明）；（2）如果当[]0,2x ∈时，()f x 的最大值是6，求k 的值.【答案】（1）答案见解析（2）1或3【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.（2）将()f x 表示为分段函数的形式，对k 进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得k 的值.【小问1详解】当0k =时，()f x ＝||2x x x +，则()f x -＝||2x x x --＝()f x -，即()f x 为奇函数，当0k ≠时，(1)f ＝|1|2k -+，(1)|1|2f k -=-+-，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|0f f k k k k +-=-+-+-=--+≠，则()f x 不是奇函数，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|40f f k k k k --=-++++=-+++≠，则()f x 不是偶函数，∴当0k =时()f x 是奇函数，当0k ≠时，()f x 是非奇非偶函数.【小问2详解】由题设，()f x ()()222,2,x k x x k x k x x k ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，函数()22y x k x =+-的开口向上，对称轴为2122k kx -=-=-；函数()22y x k x =-++的开口向下，对称轴为2122k k x +=-=+-.1、当1122k k k -<+<，即2k >时，()f x 在(,1)2k-∞+上是增函数，∵122k+>，∴()f x 在[]0,2上是增函数；2、当1122k k k <-<+，即2k <-时，()f x 在1,2k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，∵102k-<1，∴()f x 在[]0,2上是增函数；∴2k >或2k <-，在[]0,2x ∈上()f x 的最大值是(2)2|2|46f k =-+=，解得1k =（舍去）或3k =；3、当1122k kk -≤≤+，即22k -≤≤时，()f x 在[]0,2上为增函数，令2246k -+=，解得1k =或3k =（舍去）.综上，k 的值是1或3.【点睛】研究函数的奇偶性的题目，如果要判断函数的奇偶性，可以利用奇偶函数的定义()()f x f x -=或()()f x f x -=-来求解.也可以利用特殊值来判断函数不满足奇偶性的定义.对于含有绝对值的函数的最值的研究，可将函数写为分段函数的形式，再对参数进行分类讨论来求解.21.已知函数()2f x x =-，()()224g x x mx m =-+∈R .（1）若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（2）若1m =-，对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式()200g x x n k -+≥成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）54m ⎡∈⎢⎣（2）(],4∞-【解析】【分析】（1）将题目条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据[]11,2x ∈的两端点的函数值()()1,2g g 得到()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，从而得到()()min g x g m =，进而求出m 的取值范围；（2）将不等式()200g x x n k -+≥化简得不等式024x n k ++≥成立，再构造函数()0024h x x n =++，从而得到()0max h x k ≥，再构造函数()(){}0max max ,8n h x n n ϕ==+，求出()min n ϕ即可求解.【小问1详解】设当[]11,2x ∈，()1g x 的值域为D ，当[]24,5x ∈，()2f x 的值域为[]2,3，由题意得[]2,3D ⊆，∴()()211243224443g m g m ⎧≤=-+≤⎪⎨≤=-+≤⎪⎩，得5342m ≤≤，此时()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，故()()[]min 2,3g x g m =∈，即()222243g m m m =-+≤≤得1m ≤≤1m ≤≤-，综上可得54m ⎡∈⎢⎣.【小问2详解】由题意得对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式024x n k ++≥成立，令()0024h x x n =++，由题意得()0max h x k ≥，而()()(){}{}0max max 2,2max ,8h x h h n n =-=+，设(){}max ,8n n n ϕ=+，则()min n k ϕ≥，而(){},4max ,88,4n n n n n n n ϕ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，易得()()min 44n k ϕϕ=-=≥，故4k ≤.即实数k 的取值范围为(],4∞-.22.已知函数()()01ax g x a x =≠+在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1．（1）求实数a 的值；（2）若函数()()()()()210x b f x b b g x +=-+>，是否存在正实数b ，对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在以()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2a =（2）存在，15153b <<【解析】【分析】（1）由题意()1a g x a x =-+，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分a<0，0a >两种情况讨论函数()g x 的单调性，即可得出结果；（2）由题意()()0bf x x b x=+>，可证得()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()0b f g x f u u b u ==+>，从而把问题转化为：1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max2f u f u >时，求实数b 的取值范围．结合()bf u u u=+的单调性，分109b <≤，1193b <≤，113b <<，1b ≥四种情况讨论即可求得答案.【小问1详解】由题意()11ax a g x a x x ==-++，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①当a<0时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以()max 151566a ag x g a ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，得6a =（舍去）．②当0a >时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以()()max 1122a ag x g a ==-==，得2a =．综上所述，2a =．【小问2详解】由题意()22211x g x x x ==-++，又115x ≤≤，由（1）知函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，∴()()115g g x g ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()113g x ≤≤，所以函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又因为()()()()()()()()()2211111x b x x b x b x b f x b b b g x x x++++++=-+=-+=-+，∴()()20x b bf x x b x x+==+>，令120x x <<，则()()()12121212121b b b f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1x ，(2x ∈时，()121210b x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x >，()f x 为减函数；当1x ，)2x ∈+∞时，()121210b x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x <，()f x 为增函数；∴()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，由（1）知1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()()()0bf g x f u u b u==+>；所以，在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形，等价于1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2f u f u >．①当109b <≤时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()min 133f u b =+，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >，得115b >，从而11159b <≤．②当1193b <≤时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u =，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >得77b -<<+1193b <≤．③当113b <<时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u ==，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得74374399b -+<<，从而113b <<．④当1b ≥时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()min 1f u b =+，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得53b <，从而513b ≤<．综上，15153b <<．。
2020-2021学年高一数学上学期期中模块考试试题
2020-2021学年高一数学上学期期中模块考试试题一、选择题（本题共16小题，每题5分，共80分） 1．已知集合1|222x A x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，1|ln 02B x x ⎧⎫⎛⎫=-≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，则()R A C B （ ） A. ∅ B. 11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. (]1,1-2、设集合24{|20},{|0}1x M x x x N x x -=-->=≤+，则M N ⋂=（ ） A ．{|24}x x <≤ B ．{|14}x x <≤ C ．{|14}x x -<≤ D ．{|14}x x -≤≤ 3．函数()22log (2)f x x =--的定义域为 ( )A. {}| 6 x x ≤B. {}|2x 6x ≤≤C. {}|2<x 6x ≤D. {}|2<x<6x 4．集合A={y|y= log 2x ，x>2}, B={y|12x y =-},则A∩B=（ ）A. {y|0<y<12}B. 1{|1}2y y <≤C. 1{|1}2y y << D. {|01}y y <<5．设集合A={x|1＜x ＜2}，B={x|x ＜a}满足A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2，+∞）B ．（﹣∞，1]C ．(2，+∞）D ．（﹣∞，2]6．函数()ln 1xf x ex =--的图像大致是（ ）7．若238log ,log 2,l 3og 21a b c ===，则（ ）A. c a b >>B. c b a >>C. a b c >>D. a c b >>8．已知 ()f x 是定义在R 上奇函数，0x ≥时，2()2f x x x =-，则在0x <上()f x 的表达式是（ ）A. ()22f x x x =+ B. ()22f x x x =-- C. ()22f x x x =- D. ()22f x x x =-+9．下列函数中，既是偶函数，又在()0,+∞上单调递增的是（ ） A. ()2f x x =- B. ()||2x f x -= C. ()1||f x x= D. ()lg (1)a f x x a =>10、设偶函数()log ||a f x x b =-在(,0)-∞上递增，则(1)f a +与(3)f b +的大小关系是（ ）.A (1)(3)f a f b +=+ .B (1)(3)f a f b +>+.C (1)(3)f a f b +<+ .D 不确定11．函数221()3xxy -=的单调增区间是（ ）A ． (,1]-∞B ．[1,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)+∞12．已知定义域为R 的函数)(x f 在),8(+∞上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（ ）A 、)7()6(f f >B 、)9()6(f f >C 、)9()7(f f >D 、)10()7(f f >13．设函数()223,{22,x f x x x -=--1,1.x x ≥<若()01f x =，则0x =（ ） A. -1或3 B. 2或3 C. -1或2 D. -1或2或314．已知函数y=f （x ）是函数y=log a x （a ＞0，a ≠1）的反函数，若f （x ）的图象过点(2，41)，则的值为（ ）A.1B.2C. 14错误！未找到引用源。
2020-2021学年山东省济南一中高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年山东省济南一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M＝{﹣1，0，1，2，3}，N＝{x|﹣1≤x＜3}，则M∩N＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．M D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件3．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝1，g（x）＝x0B．f（x）＝x﹣1，C．f（x）＝x，D．f（x）＝|x|，4．（5分）设a＝30.5，b＝0.53，c＝log30.5，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b5．（5分）已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）是递减的，则m的值为（）A．﹣1B．2C．﹣1或2D．36．（5分）已知a＞1，函数y＝a x﹣1与y＝log a（﹣x）的图象可能是（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．[1，+∞）D．[1，2]8．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞），（x1≠x2），有，且f（2）＝0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）下列不等式成立的是（）A．若a＜b＜0，则a2＞b2B．若ab＝4，则a+b≥4C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b＞0，m＞0，则10．（5分）下列叙述正确的是（）A．已知函数f（x）＝，则f（6）＝8B．命题“对任意的x＞1，有x2＞1”的否定为“存在x≤1，有x2≤1”C．已知正实数a，b满足a+b＝4，则的最小值为D．已知x2﹣5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}，则a+b＝511．（5分）关于函数f（x）＝，下列结论正确的是（）A．f（x）的图象过原点B．f（x）是奇函数C．f（x）在区间（1，+∞）上单调递减D．f（x）是定义域上的增函数12．（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为D（x）＝，关于函数D（x）有以下四个命题，其中真命题是（）A．∀x∈R，D（D（x））＝1B．∃x，y∈R，D（x+y）＝D（x）+D（y）C．函数D（x）是偶函数D．函数D（x）是奇函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（+1）＝x﹣2，则f（x）的解析式是．14．（5分）已知函数y＝a x﹣2+2（a＞0且a≠1）恒过定点（m，n），则m+n＝15．（5分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．16．（5分）定义区间[x1，x2]的长度为x2﹣x1，若函数y＝|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，3]，则区间[a，b]的长度最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分。