学而思教师版第六讲数阵图
数阵图一.教师版
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图87654321【答案】87654321【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）h gf ed c baa+b+c=14（1）c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7.说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。
小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方
小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方”知识定位一、什么是数阵图?在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察上面两个图：右图（1）中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右图（2）就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从如何来填好数阵图开始。
如何填好数阵图?数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和.第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.【授课批注】数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题. 本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧，还有以下注意点：1.引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；2.教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整除性质的数学方法；3.锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；4.培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力.二、什么是幻方？同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图：三、如何解决幻方问题？幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键.知识梳理987653421987654321（一）封闭型数阵问题（二）辐射型数阵（三）其它类型的数阵图（四）幻方例题精讲【试题来源】【题目】将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围.k=9 k=10 k=11 k=12【题目】小猴聪聪有一天捡到像左下图的模具，它试着将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上的数字之和为图中所表示的数值，你能做到吗？【题目】图中的6条线分别连接着9个圆圈，其中一个圆圈里的数是6．请你选9个连续自然数(包括6在内)填人圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．6543216543216543216543216【题目】小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，上面写着：把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？【题目】海豚是很聪明的动物，它能将1～9填入右下图的九个○内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？【题目】在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得循环式成立：【题目】请在图中的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，最下面的数是20．+=====----20【题目】请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等.【题目】请你将1～25这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.【题目】将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为k÷3【题目】在下图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.【题目】将前9个自然数填入右图的9个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.【题目】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.【题目】在一个3×3的网格中填入9个数使得每一横行、竖行、对角线上三个数的乘积相等.习题演练【题目】将1～7这七个数分别填入图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
小学数学思维训练——数阵
小学数学思维训练----数阵一、知识讲解把给定的一些数，按照一定的要求或规律填在某一特定形状的图形中，这样的图形叫做数阵图，有时简称数阵。
传说在四千年前，洛河洪水泛滥，大禹去治水。
有一天，从河里浮出一只大乌龟，龟驮着一本书，称为“洛书”，书上有一幅奇特的图案（见下左图）。
这幅图用现在的数字表示，即为1到9这九个数字，填在九个格子里，每一纵列、每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是15（见上右图）。
多么巧妙、奇特的数字图！我国古代数学家称它为“纵横图”或“九宫图”，国外称它为“魔方”或“幻方”。
我们这一讲学习的数阵问题就是由幻方演变而来的填数问题。
数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。
幻方一般均为正方形。
图中纵、横、对角线数字和相等。
数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。
变幻多姿，奇趣迷人。
一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字的和相等。
492357816它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解决数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。
有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
二、例题解析：例1将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。
20－例2将自然数1至9，分别填在下图的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。
解：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。
（l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为15。
学而思各年级数学大纲
1.通过动手操作学习倒油取水问题，进行条件判断分析； 2.通过动手测量，判断物品的真假，培养学生的逻辑推理能力。 探索多种类型数学游戏中的乐趣，感受数学之美，拓展思维。 阶段学校效果检测，帮助学生查漏补缺，有利于后期学习方法的改进。 主要内容 学会通过观察数字和得数，利用倒推思想适当添加运算符号使算式成立，并通过“24点”益 智游戏提高学习兴趣，培养学生数感。 理解小数的意义，学会读写小数并会比较小数大小；会解决生活中简单小数问题。 面积认知进阶，通过观察掌握平行四边形及梯形特征；引导学生通过转化思想推导出平行四 边形及梯形面积公式；学会利用面积公式解决实际几何问题。 利用差不变思想解决常见年龄问题。 复习余数，倍数概念。掌握带余数除法的计算及各数之间关系。 学会读懂简单的条形统计图和折线统计图，并会分析统计图提出合理性建议；学会分析表格 中通的过数找据规，律结与合递逻推辑思推想理解、决列经方典程种等树方问法题解中决的一经些典应排用列性方问式题问。题及多线交点个数、分平面个 数方法。 掌握等差数列的概念及识别方法；熟练掌握等差数列的通项公式、项数公式、求和公式、中 项定理、连续奇数和公式等重要结论并会运用；学会利用等差数列解决应用题。 学习和解决各种以数字与数值为内容的文字数字谜问题，包括数字组成的多位数，数字在运 算下的变化，数的分解、分拆与排列。
★★★
★★★
计算
几何
应用
应用 应用
逻辑 应用
巧算加减法
几何计数问题进阶
有趣的周期问题
和差问题 移多补少应用题
推理综合 重叠问题
几何
计算 应用 方法
巧求周长
数阵图 猜猜他几岁 逆向思考
学而思奥数第六级第六讲逻辑思维综合(邹、陈、罗)
学而思奥数第六级第六讲 逻辑推理综合逻辑推理作为数学思维中重要的一部分，经常出现在各种数学竞赛中，除此以外，逻辑推理还经常作为专项的内容出现在各类选拔考试，甚至是面向成年人的考试当中。
对于学生学习数学来说，逻辑推理既有趣又可以开发智力，学生自主学习研究性比较高。
本讲我们主要从各个角度总结逻辑推理的解题方法。
一、 列表推理法逻辑推理问题的显著特点是层次多，条件纵横交错.如何从较繁杂的信息中选准突破口，层层剖析，一步步向结论靠近，是解决问题的关键.因此在推理过程中，我们也常常采用列表的方式，把错综复杂的约束条件用符号和图形表示出来，这样可以借助几何直观，把令人眼花缭乱的条件变得一目了然，答案也就容易找到了.二、 假设推理用假设法解逻辑推理问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设．如果推出矛盾，那么假设不成立；如果推不出矛盾，而是符合题意，那么假设成立．解题突破口：找题目所给的矛盾点进行假设三、 计算中的逻辑推理能够利用数论等知识通过计算解决逻辑推理题.一、 列表推理法【例 1】 刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛．事先规定：兄妹二人不许搭伴．第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹．问：三个男孩的妹妹分别是谁？【巩固】 王文、张贝、李丽分别是跳伞、田径、游泳运动员，现在知道：⑴张贝从未上过天；⑵跳伞运动员已得过两块金牌；⑶李丽还未得过第一名，她与田径运动员同年出生.请根据上述情况判断王文、张贝、李丽各是什么运动员？例题精讲知识结构【例2】张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：⑴张明不在北京工作，席辉不在上海工作；⑵在北京工作的不是教师；⑶在上海工作的是工人；⑷席辉不是农民．问：这三人各住哪里？各是什么职业？【巩固】甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员．已知：⑴甲不是辽宁人，乙不是广西人；⑵辽宁人不是演员，广西人是教师；⑶乙不是工人．求这三人各自的籍贯和职业．【例3】甲、乙、丙、丁四个人的职业分别是教师、医生、律师、警察．已知：⑴教师不知道甲的职业；⑵医生曾给乙治过病；⑶律师是丙的法律顾问（经常见面）；⑷丁不是律师；⑸乙和丙从未见过面．那么甲、乙、丙、丁的职业依次是：．【巩固】甲、乙、丙三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长．一次数学测验，这三个人的成绩是：⑴丙比大队长的成绩好．⑵甲和中队长的成绩不相同．⑶中队长比乙的成绩差．请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？【例4】甲、乙、丙、丁每人只会中、英、法、日四种语言中的两种，其中有一种语言只有一人会说．他们在一起交谈可有趣啦：⑴乙不会说英语，当甲与丙交谈时，却请他当翻译；⑵甲会日语，丁不会日语，但他们却能相互交谈；⑶乙、丙、丁找不到三人都会的语言；⑷没有人同时会日、法两种语言．请问：甲、乙、丙、丁各会哪两种语言？【巩固】宝宝、贝贝、聪聪每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们，此外：⑴数学博士夸跳高冠军跳的高⑵跳高冠军和大作家常与宝宝一起看电影⑶短跑健将请小画家画贺年卡⑷数学博士和小画家关系很好⑸贝贝向大作家借过书⑹聪聪下象棋常赢贝贝和小画家问：宝宝、贝贝、聪聪各有哪两个外号吗？【例5】六年级四个班进行数学竞赛，小明猜想比赛的结果是：3班第一名，2班第二名，1班第三名，4班第四名．小华猜想比赛的结果是：2班第一名，4班第二名，3班第三名，1班第四名．结果只有小华猜到的4班为第二名是正确的．那么这次竞赛的名次是班第一名，班第二名，班第三名，班第四名。
巧数图形教案学而思
巧数图形教案学而思精品文档巧数图形教案学而思:一、规则图形线段角 1. 分类数2. 公式法基本线段数依次加到1.端点,1,基本线段数一数下图中一共有多少条线段,? ? ? ?方法1: 方法2:恰含1条:4条基本线段有4条，所以从4开始加恰含2条:??、??、??条，3，2，1,10恰含3条:???、???条恰含4条:???? 1条注:肩并肩手拉手的规则图形都能用公式总数:4，3，2，1,10 法，关键是找火车头。
二、多层图形1. 多层三角形每层个数×层数,总数数一数图中有多少个三角形,每层个数:3，2，1,层数:2层总数:6×2,1 一共12个。
1 / 11精品文档2. 多层长方形每层个数× 层数 , 总数× , 总数数一数下图中一共有多少个长方形,每层个数:3，2，1,6层数:2，1,3总数:6×3,1一共18个。
三、不规则图形按方向分类分类数按大小分类按方向分类下图中有多少个三角形, ?、?、?、?、?、?6个??、??、??个???、???、???、???、???、???个?????? 1个6，3，6，1,1 一共16个。
:1. 下面图中给出的五个点之间，每两个点之间画一2 / 11精品文档条线段，一共可以画出多少条线段,2. 数一数图中有多少个正方形,3. 数一数下图中一共有多少个三角形,4. 数一数，图中共有个长方形，个三角形，条线段。
:本讲讲的是数图形的方法，根据不同类型的图形有不同的巧妙方法，同学们要仔细辨认图形种类，像是规则图形和多层图形都是有巧妙方法的;如果是不规则图形，那么一定要注意分类，数的时候思路要清楚，这样才不会数错。
二年级数学思维训练数图形教案11、使学生学会解决数线段的问题，掌握有序分类图形的方法。
增强学生应用数学的意识。
2、通过活动，培养学生的口头表达能力、初步的观察推理能力和探究问题的能力。
进一步培养学生的发散思维和创新能力。
学而思三年级奥数 数阵图进阶
把8，9，10，11，12，14，16这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上4个数的和都等于46．把1，2，4，5，6，8，10这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上4个数的和都等于20．数阵图进阶第九讲第4级下·提高班·学生版第4级下·提高班·学生版把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入图中的圆圈中，使两个正方形中四个数之和都等于19． 将5，9，13，14，17，21，25这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都等于44．第4级下·提高班·学生版将5，6，9，11，14，15这6个数分别填入图中的圆圈里，使两个大圆上4个数的和都等于40．把1，5，9，10，16，21这6个数分别填入图中的○里，使每一个大圆上的四个数之和都等于36．第4级下·提高班·学生版1． 把5，6，7，8，9这5个数分别填在下图的内，使横行、竖列3个数的和都等于( )中的数．把1，3，4，5，6，8，11，15这8个数分别填入图中的圆圈里，使得每个大圆上5个数的和都等于33．第4级下·提高班·学生版2. 把3，5，7，9，11，13，15这7个数分别填入图中的圆圈内，使每条直线上的3个数的和都等于27．3. 把2，4，6，8，10，12，14，16，18这9个数分别填入下图的圆圈中，使得每条直线上的3个数的和都等于24．4.把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入图中的圆圈内，使两个正方形中四个数之和都等于21．5.把1，2，4，5，6，11这6个数分别填入图中的○里，使每个圆圈上的四个数之和都等于22．第4级下·提高班·学生版第4级下·提高班·学生版6. 把2，5，6，8，10，12，14，22这8个数分别填入下图中，使得每个大圆上的5个数的和都等于49．思维跳板——剪指甲小华的爸爸1分钟可以剪好5个自己的指甲．那么，他在5分钟内可以剪好几个自己的指甲呢？。
学而思(四年级)目30讲全
合用标准准数，各数与基准数的差的和叫做累学而思（四年级）若是你需要更多的各种奥数计差。
由例 1 获取：教材，课程同步教材，同步总和数 =基准数×加数的个数+累计第 1 讲速算与巧算（一）练习题，培优练习题，期中差，第 2 讲速算与巧算（二）期末单元试卷，平均数 =基准数 +累计差÷加数的个第 3讲高斯求和各种致富管理文学作品书籍数。
第4讲4， 8， 9 整除的数的特点维修书籍大人物传记在使用基准数法时，应采用与各第 5讲弃九法都是电子档。
能够联系我数的差较小的数作为基准数，这样才第 6 讲数的整除性（二）468453607简单计算累计差。
同时考虑到基准数第 7 讲找规律（一）微信电话与加数个数的乘法能够方便地计算出第 8 讲找规律（二）来，所以基准数应尽量采用整十、整第 9 讲数字谜（一）百的数。
第 10 讲数字谜（二）例 2 某农场有 10 块麦田，每块的产量第 11 讲归一问题与归总问题以下（单位：千克）：第 12 讲年龄问题462，480，443，420，473，429 ，第 13 讲鸡兔同笼问题与假设法例 1 四年级一班第一小组有10名同468， 439，475 ， 461。
求平均每块麦第 14 讲盈亏问题与比较法（一）学，某次数学测试的成绩（分数）如田的产量。
第 15 讲盈亏问题与比较法（二）下：解：选基准数为 450，则第 16 讲数阵图（一）86， 78， 77， 83， 91， 74， 92，累计差 =12＋ 30－7－ 30＋23－ 21第 17 讲数阵图（二）69，84，75。
＋18－11＋25＋11第 18 讲数阵图（三）求这 10 名同学的总分。
＝50，第 19 将乘法原理解析与解：平常的做法是将这10 个数平均每块产量 =450 ＋ 50÷ 10 ＝第 20 讲加法原理（一）直接相加，但这些数纷乱无章，直接455（千克）。
第 21 讲加法原理（二）相加既繁且易错。
学而思四年级秋季班幻方与数阵图
学⽽思四年级秋季班幻⽅与数阵图第⼋讲幻⽅与数阵图⼀、幻⽅基本概念1、幻⽅：是指横⾏、竖列、对⾓线上数的和都相等的数的⽅阵，具有这⼀性质的3×3的数阵称作三阶幻⽅，4×4的数阵称作四阶幻⽅，5×5的称作五阶幻⽅……2、幻和：幻⽅中每⾏/列/对⾓线的数的和幻和=总和÷阶数⼆、幻⽅的构造⽅法 1、杨辉⼝诀法（三阶）——九⼦斜排，上下对易，左右相更，四维挺出具体操作如下：九⼦斜排上下对易，左右相更四维挺出2、连续摆数法（罗伯法）适合于连续⾃然数或者等差数列的奇数阶幻⽅。
要点：1、⾸数填在第⼀⾏的正中间 2、连续往右上⽅摆数3、出格了怎么办？——卷纸筒，上⾯出格就卷到下⾯，右⾯出格就卷到左⾯。
4、格⼦中已有数了怎么办？——右上没路了就往下拐弯嘛。
如，构造三阶具体操作：⼀居上⾏正中央上出框时往下填右出框时往左填排重便在下格填（注意是原数3的下格）注意：6的右上⽅经过卷纸筒应该对应的是左下⽅“4”的位置，已经有数“4”了，7就要在原数6的下⽅写。
同学们⾃⼰试试5阶、7阶：）56398742156398742156398742121321342156342156374215638742156398742113、楼梯法（适合奇数阶）要点：1、构造楼梯2、数字按顺序斜排3、把幻⽅外的数字平移进幻⽅——上到下，下到上，左到右，右到左如，构造五阶具体操作：54 103 9 152 8 14 201 7 13 19256 12 18 2411 17 2316 22213 16 9 22 1520 8 21 14 27 25 13 1 1924 12 5 18 611 4 17 10 23 在四边都构造楼梯按顺序排好数把幻⽅外的数字平移进幻⽅——上到下，下到上，左到右，右到左移完后去掉楼梯就OK啦4、四阶（对⾓线法）总体来说，偶数阶的幻⽅构造⽐奇数阶要复杂。
但因为四阶阶数不⼤，作为拓展，程⽼师也给⼤家补充⼀下四阶的⼀种简单构造⽅法——对⾓线法。
奥数七大模块逐个突破系列六之组合模块总复习资料
五、 逻辑推理（寒）
5.1 体育比赛 例 1：市里举行足球联赛，有 5 个区参加比赛，每个区出两个代表队，每个队都要与其他队赛一场， 这些比赛分别在 5 个区的体育场进行，那么平均每个体育场都要举行多少场比赛？ （答案：9 场）
5.2 真假判断 例 1：某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别。甲判断：不是铁，也不是铜。乙判断：不是 铁，而是锡。丙判断：不是锡，而是铁。经化验证明：有一个人的判断完全正确，有一个 人说对了一半，而另一个人完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一 半吗？ （答案：丙全说对了，甲说对了一半，乙全说错了）
5.3 考试分数 例目略
5.3 图形推理 例目略
六、 策略问题（春）
6.1 数字操作 例 1：在黑板上写 1、2、3、……、2008，按下列规定进行“操作”：每次擦去其中的任意两个数 a 和 b，然后写上他们的差（大数减小数），直到黑板上剩下一个数为止。问黑板上剩下的数
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备注：更多例题讲解及解题方法敬请关注寒假第六讲（组合模块）
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武汉小升初研究中心
学而思寒假课程第六讲组合模块预习资料 出题人：卫沈傲 审题人：贾豪杰
一、 数字迷（寒）
1.1 横式谜 例 1：用尽量少的“1”，以及若干个+， − ， × ， ÷ ，（）符号，组成一个等于 1999 的算式。 （答案：（1111−111）×（1+1）−1=1999）
1.2 竖式谜 例 1：在右式竖式中，每个不同的汉字代表 0~9 中不同的数字 求出它们使竖式成立的值：
2.4 其他 例 1：如右图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写地， 请找出规律，并求出 X 所代表的值。 （答案：20）
高思导引五年级第6讲 几何计数—完整版
第6讲几何计数内容概述合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算。
兴趣篇1．如图6 -1，线段AB，BC，CD，DE的长度都是3厘米．请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度之和是多少厘米？答案：10条；60厘米解析：(1)图中最短的小线段共有4条：AB，BC，CD，DE;而由两条小线段组成的线段共有3条：AC，BD，CE;由三条小线段组成的线段共有2条：AD，DE;由四条小线段组成的最长线段只有一条：AE因此所有线段共有4+3+2+1=10条．(2)最短的线段每条长度都是3厘米，因此总长度为3×4=12厘米；由两条小线段组成的线段每条长度都是6厘米，总长度为6×3=18厘米；由三条小线段组成的线段每条长度都是9厘米，总长度为9×2=18厘米；由四条小线段组成的一条线段长度为12厘米，因此所有线段总长度为12+18+18+12=60厘米．2．小明把巧克力棒摆成了如图6-2所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问：(1) 一共有多少个巧克力棒？(2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？(3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？答案：(1) 30个 (2) 27个 (3) 22个解析：(1)先数横向的巧克力棒：共有四层，一共有1+2+3+4 =10个．根据图形的对称性，每个方向的巧克力棒个数都相同，所以图中一共有10 ×3=30个巧克力棒．(2)如果假设一段巧克力棒的长度为l，那么图形中的等边三角形边长可以是l，2，3，4，按边长把这些三角形分成四类分别计算：边长为1的三角形，从上往下一层一层来数，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，所以一共有1+3+5+7=16个；边长为2的三角形，第一、二层有1个，第二、三层有2个，第三、四层有4个，共7个；边长为3的三角形共3个；边长为4的三角形只有1个．因此，整个图形中共有16+7+3+l=27个三角形．(3)考虑吃掉一个巧克力棒后三角形会减少多少个，容易想到，减少的三角形都是以吃掉的巧克力棒为边（或边的一部分）的三角形．分类来数：这种三角形中边长为1的有2个，边长为2的有2个，边长为3的有1个，没有边长为4的，共5个．因此剩下的图形中还有27-5=22个三角形．3．如图6-3，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个？答案：6个解析：设图中小正三角形的边长为1．包含“*”的边长为1的正三角形只有1个，包含“*”的边长为2的正三角形有4个，包含“*”的边长为3的正三角形只有1个，所以图中包含“*”的各种大小的正三角形共有1+4+1=6个．4．数一数，图6-4中共有多少个三角形？答案：13个解析：若将图中的斜边去掉，容易算得剩下的图形中有6个三角形．此时再添上这条斜线，会多7个三角形，因此图中共有6+7 =13个三角形。
学而思二数阵图4
学而思二数阵图4第四天：数阵图和数字谜【知识点】一、数阵图方法一：尝试法1.先填重叠数（大忙人）砍头、砍腰、砍尾（等差数列）2.再填其余数大手拉小手方法二：计算法（已知线和）1.先填重叠数（总线和-数和）÷多算次数2.再填其他方法一：尝试法【例】把5、8、11、14、17、20、23这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都等于36.【解析】：砍头、砍腰、砍尾，尝试发现重叠数为5为正确答案。
李方法二：计算法【例】将5、9、13、14、17、21、25这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都等于44.【解析】不是等差数列，不能直接用砍头、砍腰、砍尾的方法。
这里三条线，每条线的和加起来称为总线和：44×3=132；所有数加起来称为数和：5+9+13+14+17+21+25=104；差值：132-104=28；多算两次重叠数多出来28，所以重叠数：28÷2=14，其他六个数，大手拉小手分组即可。
【例】把2、3、4、5、6、7、8这七个数分别填入图中的圆圈中，使两个正方形中四个数之和等于19.【解析】计算法：找到重叠部分，重叠了两次，多算一次。
总线和：19×2=38；数和：2+3+4+5+6+7+8=35；多算一次的重叠数：38-35=3；重叠数为3÷1=3，剩余6个数，左边3个，右边3个，先在左边填最大数8，那左边另外两个数相加为19-8-3=8，所以另两个数只能是2和6了，剩余的4，5，7填到左边。
【例】把1、2、3、4、5、7这6个数分别填入图中的圆圈内，使每个大圆上的4个数的和都等于13。
【解析】计算法（把一个大圆看成一条线）。
总线和：13×2=26；数和：1+2+3+4+5+7=22；总线和-数和：26-22=4。
本题中重叠部分是中间两个圆，每个圆多算了一次。
所以知道两个圆相加的和为4，满足条件的只有1和3，所以中间填1和3，其余可以大手拉小手，答案如下：二、数字谜1、横式数字谜分别：一一对应（一个萝卜一个坑）从情况少的入手【例】将1~9这九个数字分别填入下面四个等式的九个中，使得四个等式都成立。
小学数学数阵图
解题过程
边和X3 = a+b+c+d+e+f+g+2c 14X3 = 1+2+3+4+5+6+7+2c 42 = 28+2c 14 = 2c c= 7
2020/12/9
例1 （★★）
将1~7这七 个数字， 分别填入 2 图中各个 ○内，使 每条线段 上的三个 ○内数的 和都等于 14。
1
6
7
5
4
3
先填入边和，直线上微调，满足圆圈。
【超常大挑战】(★★★★★)
a ,b ,c ,d ,e, f, g ,h ,I ,处分别填入1至9， 如果每个圆环所填的数的和都相等， 那么这个相等的和最大是多少？最少是多少？
a+e+i+c+g+2(b+d+f+h)=和×5 45+b+d+f+h=和×5 b+d+f+h最大时为6,7,8,9 此时和为15 b+d+f+h最小时为1,2,3,4 和为11 当和为15时无解，和为14有解 最大为14，最小为11
行 业 PPT模 板 ： /hangye/ PPT素 材 下 载 ： /sucai/ PPT图 表 下 载 ： /tubiao/ PPT教 程 ： /powerpoint/ Excel教 程 ： /excel/ PPT课 件 下 载 ： /kejian/ 试 卷 下 载 ： /shiti/
圈和X2=数字和+a+b 圈和X2=36+a+b 圈和等于21 a+b=6 则a 和b有两种可能1,5和2,4
【精品】数阵图典型题目讲解(可编辑
数阵图典型题目讲解------------------------------------------作者------------------------------------------日期数阵图典型题目讲解【例1】：你能把1--6六个数字分别填入下图的六个圆圈中，使每一边三个数相加的和都等于11吗？【分析】：因为每条边上的和都是11，所以三条边上的数字之和为11333⨯=，在三角形三个顶点上的数都重复算了两次，而12345621+++++=，所以三个角上的三个数之和是332112-=。
在16中，和是12的三个数有可能是156246345、、；，，；，，。
但是当三个数是156、、时，我们发现在一条边上中点那个数找不到，所以删去。
再通过我们的计算发现只有246、、的时候，才能满足条件，所以结果是：135642【解法总结】：做数阵题目，我们的步骤是：①.先观察在图中有哪些格子重复了，重复了几次。
②.根据题中给出的数字以及图形来发现重复的这几个数有什么特点。
③.看看在给出的数中有哪些数符合我们特点，再通过试算，确定每个格子中的数。
【拓展】：在下图12个小圆圈中分别填入1--9这九个数字，规定4个角上的圆圈中必须填入相同的数字，并要使每边上四个数字的和都相等。
有（）种不同的填法，每边上四个数的和可以是（）。
【分析】：根据我们做数阵题目的步骤，我们可以发现只有角上四个数是重复了，所以我们可以设角上的数为x，设每条线上四个数的和为y。
而++++++=，那么12348945+=。
这是一个不定方程，我们可以用奇偶分析法。
因为45是奇数，4y x y4534是偶数，所以3x一定为奇数，那么x只可能是、、三、、、、。
我们通过试算发现x只可能是15913579种情况。
【例4】：20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数，这八个奇数填入下图的八个圆中（其中3已经填好），使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。
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第六讲数阵图教学目标数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题。
本讲除了要讲授填数真阵图的主要技巧，还有以下注意点：1. 引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；2. 教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整体性质的数学方法；3. 锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；4. 培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力。
经典精讲数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积得和得代数式，即数阵图关系线（关系区域）上喝的中和，这个合适关系线（关系区域）的个数的整数倍。
第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和。
第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键， 基本类型的数阵图【例1】 将1~6填入左下图的六个○中，是三角形每条边上的三个数之和都等于k ，请指出k 的取值范围。
162435 163254 254163 435162【分析】设三角形三个顶点的数字之和为s ，因为每个顶点属于两条边公有，所以把三条边的数字和加起来，等于将1至6加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍，于是有（1+2+3+4+5+6）+ s = 3k ，化简后为213S k +=。
由于s 是三个数之和，故最小为1+2+3=6，最大为4+5+6=15，由此求出912k ≤≤。
s 和k 有四组取值：96k s =⎧⎨=⎩ 109k s =⎧⎨=⎩ 1112k s =⎧⎨=⎩ 1215k s =⎧⎨=⎩ 通过实验，每组取值都相应一种填数方法（见右上图）。
点亮设计：（1）求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复数，教会学生学会找关键词的方法是最重要的。
（2）设计问题：三角形每条边之和等于1~6的和吗？为什么？不等于，因为三条边上所有数相加的过程中三个角上的数都被重复加一次，也就是说三个角上的数是重复数，三个重复数的和可求为：3(12...56)321k k -++++=-。
（3）强调分组法与试验法：知道了三个数的和，通过分组可以知道k 的取值范围，进一步采用实验法，将它们一一进行试验，选择正确的结果。
（4）小结：对于封闭型的数阵，重复数其本上都是两条线相交的点，就在后面的例题中有大量体现。
【铺垫】将1~6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11.【分析】 此图是封闭3—3图，因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和为11 333⨯=，而1+2+…+5+6=21.所以三角形的三个数之和等于33-21=12，在1~6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5,经试验，填法如图。
像例题中的数阵图，它的各边相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”天这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系方式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图。
一般地，有m 条边，每条有n 个数的图形称为封闭型（或辐射型或复合型）m n -图，封闭型m n -图有m 个重叠数，重叠次数都是1次。
对于封闭型数阵图，因为重叠一次，所以：已知各数之和+重叠之和=每边各数之和⨯边数【例2】 把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，是每条线上3个圆内所填的和都相等。
如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法。
[分析]将五条边上的和相加，得数一定是5的倍数，其中中间的数被重复计算了5次，而10+11+12+…+20=165.所以中间的数必须是5的倍数，才能使在中间的数多被计算了4次后，综合仍能被5整除。
所以中间的数只能是10、15、20.。
亮点设计：（1）建议老师首先让学生进行试做，并让学生尝试多种填法。
（2）当要求将20、22、24、…38、40十一个数字填入数阵，应该怎么填？分析：如例题。
将五条边上的和相加，得数一定是5的倍数，其中中间的数被重复计算了5次，而20+22+24+…+40=330，所以中间的必须是5的倍数，才能使在中间的数多被计算了4次后，总和仍能被5整除。
所以中间的数只能是20、30、40.（3）将这个数阵进行变形，变为如下形式：填入10~20十一个数，使得每条线断和每个圆周上所有数的和相等，如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法。
问中间的数有多少种填法？分析：计算7个和的和，这个和一定是7的倍数，其中中心圆上的数被计算了5遍，其它数只是被计算了2遍，设中心圆上的数为x ，因此这个数等于(1011++⨯…+19+20）2+ 31653x x +⨯=+⨯，3x ⨯取31+7k ，31+3k 可以被3整除，经试验，x 只能是15。
[铺垫]将1~7这七个数字，分别填入图中各个○内，使每条线段上的三个○内数的和相等。
【分析】设中心○内填a ，由于三条线上的数字和相加应是3的倍数，其中a 一共加了3次，所以1+2+3+4+5+6+7+2a =28+2a 一定是3的倍数。
而28391÷=……，那么2a 3÷的余数应该是2，因此，1,a =，4或7.（1） 当1,a =28+2=30，30310÷=，10-1=9，除中心外，其它两数的和应是9，只要把2，3，4，5，6，7，六个数按“和”是9分成三组填入相应的，○内就可以了。
填法如图（1）（2） 当4a =时，28+8=36，36312÷=。
填法如图（2）（3） 当7a =时，28+14=42，42314÷=。
填法如图（3）像例题中的数阵图，它的特点是从一个中心出发，想外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图。
填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析，进行试验填数求解。
辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即1m -，对于辐射型数阵图，有已知各数之和+重叠数⨯重叠次数⨯直线上各数之和⨯直线条数。
【例3】 下图中有三个正三角形，将1~9填入它们顶点处的九个○种，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○的每条直线上的四数之和也相等。
【分析】每个正三角形顶点的三数之和为（1+2+…+9）315÷=,每条直线上的三数之和为（45+15）320÷=。
将1~9九个数分为三个一组，且每组三个数的和为15只有如下两种分法：（1）1，5，9；2，6，7；3，4，8；（2）1，6，8；2，4，9；3，5，7；对于（1），中心小正三角形三个顶点数为1，5，9时，可得中间图的解；对于（2），中心小三角形三个顶点数为3，5，7时，可得右上图的解。
【巩固】将1~9填入下图的九个○内，使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上。
【分析】每个圆周和每条直线上三数之和应为15，其中有9的只有9+1+5和9+2+4.分别对应右上图的两个解。
像例题中的数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的要求，所以叫做“复合型数阵图”，我们在思考数阵图问题时，首先要确定所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找到相等的和与关键字。
其他类型的书阵图【例4】 如下图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写地，请找出规律，并求出x 所代表的数。
【分析】经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的和得一半。
比如：（26+18）222÷=. (3026)228+÷=. (2430)227+÷=.所以18172x +=⨯，16x =。
经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20.【拓展】找规律求x【分析】经观擦，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的差的2倍。
比如：（26-18）216⨯=。
（30-26）212⨯=。
因为52 22624÷=>，所以 262450x =+=。
经检验，（50-18）⨯2=64.【例5】将1~10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上数字之和为图中所表示的数值。
图【分析】先确定中间5个重复数，它们的和为（20+16+12+13+10）-（1+2+…+10）=16，所以中间5个重复只能是1，2，3，4，6的组合。
又因为有一个和为20，相应三角形上的三个数只能只能是4，6，10，逐一试验，答案如右上图。
【铺垫】能否将数0，1，2，…，9分别填入下图的各个圆圈中，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等？图【分析】0+…+9=45，45-中心数=3个阴影三角形的3个顶点上的数字之和，所以中心数必须是3的倍数，只能是0，13，6，9.枚举法实验，中心数只能是3，6，答案如右上图。
【拓展】图中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形。
现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个顶点上。
（1）能否使8个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由。
（2）能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同？给出填数方法：如果不能，请说明理由。
【分析】（1）不能，如果能，则8个三角形顶点和的总数和应该是8的倍数，但是这个综合有三组1、2、3、4组⨯+++=，成，其中一组数被计算三次，一组数被计算两次，一组数仅被计算一次，因此该总和的值为6 (1234)60不是8的倍数，产生矛盾，因此没有任何填法使8个三角形顶点上数字之和都相等。
（2）能，见右上图。
【例6】如图十奥林匹克的五环标志，其中,,,,,,,,a b c d e f g h i 处分别填入整数1至9，如果每个圆环内所填的个数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少？图【分析】计算五个圈内个数之和的和，其中,,,b d f h 被计算了两遍，所以这个和是1+2+3+4+5+6+7+8+9+ b d f h +++，而这个和一定能被5整除，所以,,,b d f h 中填入大数时能使这个和取得最大值，最大是6、7、8、9各圆圈内的和也取得15，由于15=6+9=7+8,所以满足条件的所有数无法配成15，当和为14时可以找出满足条件的填法，所以和最大为14，当,,,b d f h 取1、2、3、4时这个和取得最小值，各圆圈内的和也取得最小值11.【巩固】~9分别填入小三角形（每个小三角形只填一个数），要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等。