三角函数在各象限的函数值符号
三角函数在各个象限的符号
例8已知sin 0,且 tan 0,确定是第几象限的角
解:
+
--
+
∴ θ是第三象限角
确定 是第几象限的角
(7) 如果sin >0,且cos <0 (8) 如果sin <0,且cos >0 (9) 如果tan >0,且cos <0 (10) 如果sin >0,且tan <0 (11) 如果sin <0,且tan <0
-1 2
1 2
3
-3
3
-3
复习：
1、直角坐标系中四个象 限点的横纵坐标的符号 有何特点？
y
第二象限 第一象限 X<0,y>0 +x>0 ,y>0
0
+ x
第三象限 -第四象限
X<0,y<0 x>0,y<0
复习：
2、三角函数值在 各象限的符号有何特点？
y
+ 0 -
+ x
-
sin y
r
y
第二象限 第一象限 X<0,y>0 +x>0 ,y>0
0
+ x
第三象限 -第四象限
X<0,y<0 x>0,y<0
y -+
0x -+
cos x
r
y -+
0x +-
tan y
x
y ++
0x --
正弦
y -+
0x -+
余弦
三角函数象限
三角函数象限
三角函数象限是sin为负cos为负tan为正cot为正。
奇变偶不变，符号看象限是三角函数里关于诱导公式的一句口诀，第一象限sin为正cos为正tan为正cot为正，第二象限sin为正cos为负tan为负cot为负，第四象限sin为负cos 为正tan为负cot为负。
三角函数象限的特点
函数图像的四个象限分别在坐标系中x轴上方纵坐标右侧是第一象限，纵坐标左侧是第二象限，x轴下方纵坐标左侧是第三象限，纵坐标的右侧是第四象限，即一三象限关于原点对称，二四象限关于原点对称，一四，二三象限关于x轴对称，一二象限三四象限关于y轴对称。
一全正二正弦三正切四余弦，一全正就是说在第一象限三个三角函数都是正号，二正弦第二象限sin函数为正其余为负，三正切第三象限tan函数为正其余为负，四余弦第四象限cos函数为正其余为负。
三角函数在各象限的符号
不存在
公式一的作用：
把求任意角的三角函数值转化为求 00到3600角的三角函数值。
例3、求下列三角函数的值： 9 0 1 sin1480 2 cos 4 11 3 tan 6
特殊角的三角函数值表
0
例2 根据条件,判断 是第几象限角
(1)sin 0且 tan 0
(2) cos tan 0
终边相同的角的同一三角函数值相等：
sin k 3600 sin 0 公式一cos k 360 cos , k Z 0 tan k 360 tan
y 3 、正切函数值 tan x
x
y
y
y
o
x
o
x
o
x
sin
cos
tan 、 cot
规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”
“一全二正弦，三切四余弦”
例1、确定下列三角函数值的符号： 1 cos 250 2 sin 4 11 0 3 tan 672 4 tan 3
sincostancotyrxryxxy一三角函数在各象限的符号0xxyprxyry第二四象限k0x
三角函数在各象限 的符号
一、复习回顾
1、任意角三角函数的定义
y r 正弦： sin 余割： csc r y x r 余弦： cos 正割： sec r x y x 正切： tan 余切： cot x y
二、新课讲授
三角函数在各象限内的符号：
y 1 、正弦函数值 sin r
y
y 第一象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第二象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第三象限：y 0, r 0, 故 为负值； r y 第四象限：y 0, r 0, 故 为负值； r
三角函数口诀
三角函数口诀1三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
2三角函数诱导公式口诀:公式1—5：函数名不变，符号看象限。
公式1—6及推广：奇变偶不变，符号看象限。
3两角和与差的三角函数公式两角和与差的余弦公式： 同名积 符号反两角和与差的正弦公式： 异名积 符号同两角和与差的正切公式：符号上同 下不同奇变偶不变符号看象限在学习了任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式与诱导公式后，很多老师为了让学生便于记忆和灵活使用诱导公式，都会给出十字口诀“奇变偶不变，符号看象限”．这个十字口诀既是对所有诱导公式的一个高度概括，又是灵活运用诱导公式求值和化简的技巧．诱导公式：公式一： απαsin )2sin(=+k ；απαcos )2cos(=+k ；απαtan )2tan(=+k ．（其中Z ∈k ）． 公式二： ααπ-sin sin(=+）；ααπ-cos cos(=+）；ααπtan tan(=+）． 公式三： sin()-sin αα-=；cos()cos αα-= ；tan()tan αα-=-．公式四： ααπsin sin(=-）；ααπ-cos cos(=-）；ααπtan tan(-=-）公式五： sin(2sin παα-=-）；cos(2cos παα-=）；tan(2tan παα-=-）公式六： sin(2π-α) = cos α； cos(2π -α) = sin α． 公式七： sin(2π+α) = cos α；cos(2π+α) =- sin α． 公式八： sin(32π-α)=- cos α； cos(32π -α) = -sin α． 公式九： sin(32π+α) = -cos α；cos(32π+α) = sin α． 以上九组公式可以推广归结为：要求角2k πα⋅±的三角函数值，只需要直接求角α的三角函数值的问题．这个转化的过程及结果就是十字口诀“奇变偶不变，符号看象限”．例1 求cos 2130°、sin (－2130°)、127cos6π、127sin()6π-. （１）化角为2k πα⋅±或090k α⋅±的形式并判断k 的奇偶及角所在的象限：在角度制下处理方法是：∵ 2390213018033027060∴ 2130°＝23×90°+60°，可以看出90°的系数为正奇数，逆时针方向旋转23个90°到y 负半轴，再旋转60°到第四象限，因此2130°是第四象限角；－2130°＝－23×90°－60°，可以看出90°的系数为负奇数，顺时针方向旋转23个90°到y 正半轴，再旋转60°到第一象限，因此－2130°是第一象限角；在弧度制下处理方法是：12712712712(42)42662323226ππππππ=⨯⨯=⨯=+⨯=⨯+，可以看出2π的系数为正偶数，逆时针旋转42个2π到x 负半轴，再旋转6π到第三象限，因此1276π是第三象限角；12742626πππ-=-⨯-，可以看出2π的系数为负偶数，顺时针旋转42个2π到x 负半轴，再旋转6π到第二象限，因此1276π-是第二象限角． (2)根据上面的判断，运用十字口诀“奇变偶不变，符号看象限”求值：cos 2130°＝sin 60sin (－2130°)＝cos 60°＝12； 127cos 6π＝cos 6π-= 127sin()6π-＝1sin 62π=. 由“奇变偶不变，符号看象限”一步法化简比直接采用诱导公式化简要简捷得多，但在使用“奇变偶不变，符号看象限”时要对其真正的含义有透彻的理解，即诱导公式的左边为k ·900＋α（k ∈Z ）的正弦（切）或余弦（切）函数，当k 为奇数时，右边的函数名称正余互变；当k 为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将α“看成”锐角（可能并不是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角），然后分析k ·900＋α（k ∈Z ）为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号．。
各象限角的三角函数值的符号
( B) ( D)
sin 0 且cos 0 sin 0 且cos 0
3、在△ABC中，下列函数中可以是负值的是（ D ）
( A) sin A
( B) A BC (C ) cos tan 2 2
( D) tan A
二、填空题
25 1、计算： tan 3
二、新课讲授
三角函数在各象限内的符号：
y 1 、正弦函数值 sin r
y
y 第一象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第二象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第三象限：y 0, r 0, 故 为负值； r y 第四象限：y 0, r 0, 故 为负值； r
一、复习回顾
1、任意角三角函数的定义
y r 正弦： sin 余割： csc r y x r 余弦： cos 正割： sec r x y x 正切： tan 余切： cot x y
(1) sin 280 (4)
25 sin 4
0
(2) cos473
0
742.3 ) (3) tan(
0
Hale Waihona Puke 38 ) (5) cos( 5
e
62 tan( ) 5
解 (1)因为280°就是第四象限角，所以
sin 280 < 0
0
(2)
(5)
cos473 0 (3)
0
tan(742.3 ) 0
o
x
x 第一象限：x 0, r 0, 故 为正值； r x 第二象限：x 0, r 0, 故 为负值； r x 第三象限：x 0, r 0, 故 为负值； r x 第四象限：x 0, r 0, 故 为正值； r
各象限角的三角函数值的正负号
高一学前（1）班
y r 正弦： sin 余割： csc y r y P（x , y) x r 余弦： cos 正割： sec r y r x y x 正切： tan 余切： cot x y x
解 （1） 因为 4327º角为第
（2）因为
象限角， 0，
27 角为第 5 故 sin 4327 27 5
象限角，
数
故 sin
cos 0， cos 4327 tan 4327 0．
27 0 ， 5
0，
27 tan 5
0．
巩固知识 典型例题
三 角 函 数
例3
根据条件 sin 0 且 tan 0 ， 确定 是第几象限的角．
y
+
o
sinα
+ x
y
+
o
+
tanα
-
x
应用知识 强化练习
三 角 函 数
练习5.3.2
1.判断下列角的各三角函数符号 （1）525º ； （2）-235 º ； （3）
19 3 ； （4） ． 4 6
2．根据条件 sin 0 且 tan 0 , 确定 是第几象限的角．
归纳小结 自我反思
r
y
o
x
x 2 、余弦函数值 cos r
第一象限：x 0, r 0, 故
第二象限：x 0, r 0, 故
x 为正值； r
y
o
x 为负值； r x 第三象限：x 0, r 0, 故 为负值； r
x
x 第四象限：x 0, r 0, 故 为正值； r
5.4三角函数在各象限的符号
解 （2）因为 27 角为第 象限角，
解 （1） 因为 54327º角为第
象限角，
故故sinsin2754327o 0， co0s，275
0，
co2s74327o tatnan54327o
0．
0， 0．
三
例3 根据条件 sin 0 且 tan 0 ， 确定 是第几象限的角．
角 y
2．计算：
cos tan 1 tan2 sin 3 cos
2
43 3
2
三 角 函 数
归纳小结 自我反思
本次课学习 哪些内容？
你会解决 哪些新问题？
体会到哪些 学习方法？
再见
y
函
++
-+
数
-o - x
sinα
+o - x
tanα
三 角 函 数
应用知识 强化练习 练习5.3.2
1.判断下列角的各三角函数符号
（1）525º；（2）-235
º；（3）
19 6
；（4）
3 4
．
2．根据条件 sin 0 且 tan 0 ,
确定 是第几象限的角．
几个特殊角的三角函数
sinα>0 y
cosα<0 tanα<0
sinα>0 cosα>0 tanα>0
sinα<0 o
cosα<0 tanα>0
sinα<0 x
cosα>0 tanα<0
动脑思考 探索新知
三
任意角三角函数的符号：
y
角++
y
-+
(完整版)三角函数公式和图像大全(最新整理)
初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscαcosα·secαtanα·cotα反三角函数的图形设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h。
2、三角函数值在各象限的符号
y
x 第二象限：x 0, r 0, 故 为负值； r
x 第三象限：x 0, r 0, 故 为负值； r
x 第四象限：x 0, r 0, 故 为正值； r
o
x
y 3 、正切函数值 tan x
y 第一象限：x 0, y 0, 故 为正值； x
三角函数值在各象 限的符号
复习旧知
任意角三角函数的定义：
在角α的终边上任取一点P(x,y),点P到原点的距离记作r，
有：r | OP |
x2 y 2 r 0
x r , tan α y x
那么我们定义
sin α
y r
, cos α
新课讲授
三角函数值在各象限内的符号：
y 第二象限：x 0, y 0, 故 为负值； x
y
y 第三象限：xБайду номын сангаас 0, y 0, 故 为正值； x
第四象限：x 0, y 0, 故 y 为负值； x
o
x
y
y
y
o
x
o
x
o
x
sin
口诀：
cos
tan 、 cot
“一全正、二正弦、三正切、四余弦”
例题赏析
例1 、确定下列三角函数值的符号： 1 cos 250 2 sin 4 11 0 3 tan 672 4 tan 3
y 1 、正弦函数值 sin r
y 第一象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第二象限：y 0, r 0, 故 为正值； r
y 第三象限：y 0, r 0, 故 为负值； r
各象限角的三角函数值的正负号
巩固提高 布置作业
1．判断下列角的各三角函数值的正负号：
（1）525º
（2）-235 º
（3）
19 6
（4）
3 4
2.根据sin 0 且tan 0 ，确定θ是第几象限角。
情感升华
谢谢大家！
第三象限：y 0, r 0,故 y 为负值；
o
x
r
第四象限：y 0, r 0, 故 y 为负值； r
设疑激探 自主学习
2、余弦函数值 cos x
r
第一象限：x 0, r 0,故 x 为正值；
y
r
第二象限：x 0, r 0,故 x 为负值；
r
第三象限：x 0, r 0,故 x 为负值；
o
x
r
第四象限：x 0, r 0,故 x 为正值； r
设疑激探 自主学习
3、正切函数值 tan y
x
第一象限：x 0, y 0,故 y 为正值； x
y
第二象限：x 0, y 0,故 y 为负值； x
第三象限：x 0, y 0,故 y 为正值；
o
x
x
第四象限：x 0, y 0,故 y 为负值； x
小组合作 共同讨论
讨论;如何巧记三角函数的正负号？
y
o x
sin
y o x
cos
பைடு நூலகம்
y o x
tan
y
sin 全为+
ox
tan cos
规律:
一全正 三正切
二正弦 四余弦
小组合作 共同讨论
y
y
y
o
xo
各象限角的三角函数值的正负号
2、余弦函数值cos x
r
第一象限：x 0, r 0,故 x 为正值； r
y
第二象限：x 0, r 00,故 x 为负值； o
x
r
第四象限：x 0, r 0,故 x 为正值； r
3、正切函数值 tan y
x
y
二、新课讲授
三角函数在各象限内的符号：
1、正弦函数值sin y
y
r
第一象限：y 0, r 0,故 y 为正值；
r
第二象限：y 0, r 0,故 y 为正值； o
x
r
第三象限：y 0, r 0,故 y 为负值； r
第四象限：y 0, r 0,故 y 为负值； r
角
00
三角函数
sin
0
cos
1
tan
0
300 450
1
2
2
2
3
2
2
2
3
1
3
600 900
3
1
2
1
0
2
3 不存在
特殊角的三角函数值表
角
1800
三角函数
2700
3600
sin
0
1
0
cos
1
0
1
tan
0 不存在 0
x
第一象限：x 0, y 0,故 y 为正值； x
y
第二象限：x 0, y 0,故 y 为负值；
x
第三象限：x 0, y 0,故 y 为正值； o
x
x
第四象限：x 0, y 0,故 y 为负值；
4)、余切函数值
三角函数各象限正负
在平面直角坐标系中，三角函数的正负可以根据各象限的坐标值来确定。
下面是三角函数在不同象限的正负情况：正弦函数（sin）：- 第一象限（0° < θ < 90°）：在第一象限，正弦函数的值始终为正。
- 第二象限（90° < θ < 180°）：在第二象限，正弦函数的值始终为正。
- 第三象限（180° < θ < 270°）：在第三象限，正弦函数的值始终为负。
- 第四象限（270° < θ < 360°）：在第四象限，正弦函数的值始终为负。
余弦函数（cos）：- 第一象限（0° < θ < 90°）：在第一象限，余弦函数的值始终为正。
- 第二象限（90° < θ < 180°）：在第二象限，余弦函数的值始终为负。
- 第三象限（180° < θ < 270°）：在第三象限，余弦函数的值始终为负。
- 第四象限（270° < θ < 360°）：在第四象限，余弦函数的值始终为正。
正切函数（tan）：- 第一象限（0° < θ < 90°）：在第一象限，正切函数的值始终为正。
- 第二象限（90° < θ < 180°）：在第二象限，正切函数的值始终为负。
- 第三象限（180° < θ < 270°）：在第三象限，正切函数的值始终为正。
- 第四象限（270° < θ < 360°）：在第四象限，正切函数的值始终为负。
割函数（sec）、余割函数（csc）、余切函数（cot）的正负情况与余弦、正弦、正切函数的正负情况类似，可以根据各象限的坐标值来确定。
三角函数在各个象限的符号
角度 30° 150° 210° 330°
弧度 5 7 1 1
6
66
6
正弦值 1
1
-1
-1
2
2
2
2
余弦值 3
正切值
2
3
-3 2
-3
-3 2
3
3 2
-3
3
3
3
3
角度 60° 120° 240° 300°
弧度 3
正弦值 3
2
余弦值 1
2
正切值 3
2 4 5
思考：1、已知sin tan 0 确定是第几象限的角 2、已知cos与tan异号 确定是第几象限的角
y ++
0x --
正弦
y -+
0x -+
余弦 y
0
x
y -+
0x +-
正切
一全正 二正弦
三正切 四余弦
小结：三角函数值在
各象限的符号 一全正
y
sin 全为正
tan0
x
cos
(3) 如果tan ＞0，则是__或是___象限的角；
y ++
0x --
正弦
y -+
0x -+
余弦
y -+
0x +-
正切
填空：(4) 如果sin<0，则是_______或是 _________象限的角，或是__y_负_半__轴__上__的_角___； (5) 如果cos<0，则是___或是___象限的角， 或是_X__负_半__轴__上__的_角__；
高中数学三角函数值的符号
高中数学三角函数值的符号
三角函数是数学中重要的内容之一，其中的正弦、余弦、
正切等函数在数学问题中起到重要作用。
在高中数学中，学生需要掌握三角函数的定义、性质以及其在不同象限内的取值范围。
在学习三角函数时，最基本的就是了解三角函数值的符号，这样才能正确应用到具体问题中。
正弦函数的符号
正弦函数在不同象限内的取值符号有着明确的规律。
正弦
函数在第一象限和第二象限为正，第三象限和第四象限为负。
这是因为正弦函数的定义是对边与斜边之比，在不同象限下，对边和斜边的正负性使得正弦函数值也有所不同。
余弦函数的符号
余弦函数与正弦函数类似，也有着象限规律。
余弦函数在
第一象限和第四象限为正，第二象限和第三象限为负。
这是由于余弦函数的定义是邻边与斜边之比，而邻边和斜边在不同象限下的正负性导致余弦函数值的符号也相应改变。
正切函数的符号
正切函数在不同象限内的符号也有规律可循。
正切函数在
第一象限和第三象限为正，第二象限和第四象限为负。
这是因为正切函数的定义是对边与邻边之比，而对边和邻边在不同象限下的正负性决定了正切函数值的符号。
总结
高中数学中，三角函数值的符号是很重要的，它决定了在
具体问题中如何应用三角函数计算。
通过对正弦、余弦、正切
函数在不同象限下符号的规律性掌握，可以更好地理解和应用三角函数在数学问题中的运用。
希望以上内容对您有所帮助。
7.2.4三角函数值在各象限的符号(单位圆)
sin y
x
+
0
y + x
0
y + x +
0 +
y + x -
正弦
余弦
正切
结论：综上分析，各三角函数在各个象限 的取值符号如限
cos
sin
+ +
+
+ －
－
－
－ +
－
+ －
cos
tan
你可以采用自己喜欢的方法记住它们
例题分析
x 叫做角α的余弦，记作cosα，即cosα= x r r y y x 叫做角α的正切，记作tanα，即tanα= x
O
任意角三角函数的定义 sinα
cosα
tanα
2、设 α 的终边与单位圆交点为P(x,y)，那么
y sin = ____
1
y
P(x,y)
x cos = ____
y ( x 0) tan = ____ x
O
1
x
故：P(x,y)=P(cosα,sinα) 这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位 圆交点的横坐标和纵坐标。
复习：
1、直角坐标系中四个象限内的点（x，y）的横坐标x、 纵坐标y的符号有何特点？
y
第二象限
X<0 ,y>0 0
第一象限
x>0 ,y>0
x
第四象限
第三象限
X<0 ,y<0
• 例7 确定下列三角函数值的符号
π 11 π （ 1 ） sin( )；（2） cos 250 ；（3） tan( 600 )；（4） cos 4 3
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tan( 2k ) tan k Z
其数学意义如何？ 终边相同的角的同名三角函数值相等.
1.2.1 任意角的三角函数
三角函数线
知识探究（一）：以形表示数
思考1：如图，设角α 为第一象限角， 角α 的正弦、余弦值能否分别用一条线 段表示？
| MP | y sin
y
P （x ，y ）
成立的α 的取值范围.
y = 3 2
3 例2 在0～ 2 内，求使 sin a > 2
y P P1 P2
O M
x
变式：解下列关于x的不等式：
(1)2 cos x 3 0 (2) tan x 1 0
例3：若 （ ， ），则 sin , cos , tan 的大小顺序是（ 4 2 A. sin cos tan B. cos sin tan C. tan sin cos D. cos tan sin
复习回顾
1.设α 是一个任意角，它的终边与单位 圆交于点P（x，y），角α 的三角函数 是怎样定义的？ y sin y cos x tan ( x 0)
x
2.三角函数在各象限的函数值符号分别 如何？
3.公式
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos
| OM | x cos
O
M
x
思考2：若角α 为第三象限角，角α 的 正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？
y
| MP | y sin
| OM | x cos
M
OБайду номын сангаас
x
P （x ，y ）
1、有向线段 定义：规定了方向(即规定了起点和终点) 的线段称为有向线段.
将线段的两个端点规定一个为始点，另一个 为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.
P
P O x
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线 是一个点；当角α的终边在y轴上时，角 α的正切线不存在.
应用举例
例1 作出下列各角的正弦线、余弦 线、正切线：
2 （1 ） 3
；
12 （2 ） ； 5
例2、利用三角函数线，解下列关于x的方程：
(1)2 si nx 1 0 (2)2 cos x 3 0 ( 3) tan x 1 0
）
小结说明 1.三角函数线是三角函数的一种几何表示， 即用有向线段表示三角函数值，是今后进一 步研究三角函数图象的有效工具.
2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而 变化，余弦线和正切线的始点都是定点， 分别是原点O和点A（1，0）.
3.利用三角函数线处理三角不等式问题， 是一种重要的方法和技巧，也是一种数形 结合的数学思想.
· · · · · ·· · A C B
AB=4
BA=–4
CB=–2
α的终边
P
y
y P
α的终边 T
M o
A
x T
o
M A x
(Ⅱ) y
y (Ⅰ)
T
M
P
o
A x
o
M A P x T α的终边
α的终边
(Ⅲ)
( Ⅳ)
思考5：当角α的终边在坐标轴上时， 角α的正弦线和余弦线的含义如何？
y
P P O x
思考6：当角α 的终边在坐标轴上时，角 α 的正切线的几何含义如何？ y
探索题：对于不等式 sin a < a < tan a （其中α 为锐角），你能用数形结合 思想证明吗？
y P
O M A x T