高中数学必备知识点-4

19,题目高中数学复习专题讲座几种常见解不等式的解法高考要求不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式重难点归纳解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论x ⎪ 典型题例示范讲解例 1 已知 f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且 f (1)=1，若 m 、n ∈［－1，1］，m +n ≠0 时f (m ) + f (n ) ＞0m + n(1) 用定义证明 f (x )在［－1，1］上是增函数；(2) 解不等式 f (x + 12)＜f ( 1 x -1 )；(3)若 f (x )≤t 2－2a t +1 对所有 x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数 t 的取值范围命题意图 本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力知识依托 本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用错解分析 (2)问中利用单调性转化为不等式时，x + 1 2 ∈［－1，1］， 1 x -1∈［－1，1］必不可少，这恰好是容易忽略的地方技巧与方法 (1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把 f (x )转化成“1”是点睛之笔(1)证明 任取 x ＜x ，且 x ，x ∈［－1，1］，则 f (x )－f (x )=f (x )+f (－x )=f ( x 1 ) + f (-x 2 )·(x －1212121x 1 - x 2x 2)∵－1≤x 1＜x 2≤1，∴x +(－x )≠0，由已知f ( x 1 ) + f (-x 2 )＞0，又 x －x ＜0，12- x 1 2∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即 f (x )在［－1，1］上为增函数 (2)解 ∵f (x )在［－1，1］上为增函数，⎧- 1 ≤ x + 1 ≤ 1 ⎪∴ ⎪- 1 ≤ 2 1 ≤ 1解得 {x |－3 ≤x ＜－1，x ∈R }⎨ x - 1 2⎪x + 1 < 1 ⎩⎪ 2 x - 1211 2(3)解由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1，故对x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t2－2a t+1 对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t2－2a t+1≥1成立，故t2－2a t≥0，记g(a)=t2－2a t，对a∈［－1，1］，g(a)≥0，只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于 0，g(－1)≥0，g(1)≥0，解得，t≤－2 或t=0 或t≥2∴t的取值范围是{t|t≤－2 或t=0 或t≥2}例 2 设不等式x2－2a x+a+2≤0的解集为M，如果M⊆［1，4］，求实数a的取值范围命题意图考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系知识依托本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想错解分析M=∅是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错技巧与方法该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗解M ⊆［1，4］有两种情况其一是M= ∅，此时Δ＜0；其二是M≠∅，此时Δ=0 或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围设f(x)=x2 －2a x+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2) (1)当Δ＜0 时，－1＜a＜2，M= ∅Ø ［1，4］(2)当Δ=0 时，a=－1 或 2当a=－1 时M={－1} ⊄［1，4］；当a=2 时，m={2} Ø ［1，4］(3)当Δ＞0 时，a＜－1 或a＞2即⎪ ⎨⎪ 设方程 f (x )=0 的两根 x 1，x 2，且 x 1＜x 2，那么 M =［x ，x ］，M ⊆ ［1，4］ ⇔ 1≤x ＜x ≤4 ⇔⎧ f (1) > 0,且f (4) > 01⎧- a + 3 > 0 ⎪18 - 7a > 0 ⎨a > 0⎪⎩a < -1或a > 221 2，解得 2＜a ＜ 18 ， 7 ⎩1 ≤ a ≤ 4,且∆ > 0∴M ⊆ ［1，4］时，a 的取值范围是(－1， 18 )7例 3 解关于 x 的不等式a ( x -1)＞1(a ≠1)x - 2解 原不等式可化为 (a - 1)x + (2 - a ) ＞0，x - 2 ①当 a ＞1 时，原不等式与(x － a - 2)(x －2)＞0 同解a -1由于 a - 2 = 1- a -11 a -1 < 1 < 2∴原不等式的解为(－∞，a - 2 )∪(2，+∞)a -1②当 a ＜1 时，原不等式与(x －a - 2 )(x －2) ＜0 同解a -1由于 a - 2= 1- a -11 a -1 ,若 a ＜0， a - 2 = 1- a -11 a -1 <2 ,解集为( a - 2，2)；a -1 若 a =0 时， a - 2= 1- a -11 a -1 =2 ，解集为∅ ；若 0＜a ＜1， a - 2 = 1- a -11 a -1 >2 ,解集为(2， a - 2)a -1 综上所述 当 a ＞1 时解集为(－∞， a - 2 )∪(2，+∞)；当 0＜a ＜1 时，解集为(2， a - 2)；当a -1 a =0 时，解集为∅ ；当 a ＜0 时，解集为(a - 2 ，2）a -1a -120,题目 高中数学复习专题讲座 不等式知识的综合应用高考要求不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出 不等式的应用大致可分为两类 一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一⎨ 些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题 重难点归纳1 应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题，在解决这些问题时，关键是把非不等式问题转化为不等式问题，在化归与转化中，要注意等价性2 对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题 典型题例示范讲解例 1 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积 为 2 平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为 h 米，盖子边长为 a 米，(1) 求 a 关于 h 的解析式；(2) 设容器的容积为 V 立方米，则当 h 为何值时，V 最大？求出 V 的最大值(求解本题时，不计容器厚度)命题意图 本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值知识依托 本题求得体积 V 的关系式后，应用均值定理可求得最值错解分析 在求得 a 的函数关系式时易漏 h ＞0技巧与方法 本题在求最值时应用均值定理解 ①设 h ′是正四棱锥的斜高，由题设可得⎧a 2+ 4 ⋅ 1 h 'a = 2 ⎪ 2 消去h '.解得: a = 1 (a > 0) ⎪a 2 + 1 a 2 = h 12⎩⎪ 4②由V = 1a 2h =3h3(h 2+ 1)(h ＞0) h 2 + 1h ⋅ 1 h 得 V = 13(h + 1 )h 1 而h + 1= 2 = 2 h 1所以 V ≤ 6，当且仅当 h = h即 h =1 时取等号1 故当 h =1 米时，V 有最大值，V 的最大值为6立方米例 2 已知 a ，b ，c 是实数，函数 f (x )=a x 2+b x +c ，g (x )=a x +b ，当－1≤x ≤1 时|f (x )|≤1(1)证明 |c |≤1；(2)证明 当－1 ≤x ≤1 时，|g (x )|≤2；(3) 设 a ＞0，有－1≤x ≤1 时， g (x )的最大值为 2，求 f (x )命题意图 本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力知识依托 二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂错解分析 本题综合性较强，其解答的关键是对函数 f (x )的单调性的深刻理解，以及对条件“－ 1≤x ≤1 时|f (x )|≤1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密，从而使题目陷于僵局技巧与方法 本题(2)问有三种证法，证法一利用 g (x )的单调性；证法二利用绝对值不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |；而证法三则是整体处理 g (x )与 f (x )的关系(1)证明 由条件当=1≤x ≤1 时，|f (x )|≤1， 取 x =0 得 |c |=|f (0)|≤1，即|c |≤1 (2)证法一 依题设|f (0)|≤1 而 f (0)=c ，所以|c |≤1 当 a ＞0 时，g (x )=a x +b 在［－1，1］上是增函数，于是 g (－1)≤g (x )≤g (1)，(－1≤x ≤1) ∵|f (x )|≤1，(－1≤x ≤1)，|c |≤1，∴g (1)=a +b =f (1)－c ≤|f (1)|+|c |=2，g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≥－(|f (－2)|+|c |)≥－2，因此得|g (x )|≤2(－1≤x ≤1)；当 a ＜0 时，g (x )=a x +b 在［－1，1］上是减函数， 于是 g (－1)≥g (x )≥g (1)，(－1≤x ≤1)， ∵|f (x )|≤1(－1≤x ≤1)，|c |≤1∴|g (x )|=|f (1)－c |≤|f (1)|+|c |≤2综合以上结果，当－1≤x ≤1 时，都有|g (x )|≤2证法二 ∵|f (x )|≤1(－1≤x ≤1)∴|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，|f (0)|≤1，∵f (x )=a x 2+b x +c ，∴|a －b +c |≤1，|a +b +c |≤1，|c |≤1，因此，根据绝对值不等式性质得 |a －b |=|(a －b +c )－c |≤|a －b +c |+|c |≤2，|a +b |=|(a +b +c )－c |≤|a +b +c |+|c |≤2，∵g (x )=ax +b ，∴|g (±1)|=|±a +b |=|a ±b |≤2， 函数 g (x )=a x +b 的图象是一条直线，因此|g (x )|在［－1，1］上的最大值只能在区间的端点 x =－1 或 x =1 处取得，于是由|g (±1)|≤2 得|g (x )|≤2，(－1＜x ＜1 )( x + 1)2- ( x - 1)2证法三: x =4= ( x + 1)2 2- ( x - 1)2,2 ∴ g ( x ) = ax + b = a [( x + 1)2 - ( x - 1)2 ] + b ( x + 1 - x - 1)2 2 2 2= [a ( x + 1)2 + b ( x + 1) + c ] - [a ( x - 1)2 + b ( x - 1) + c ]2 2 2 2 = f ( x + 1) - f ( x - 1)2 2当－1≤x ≤1 时，有 0≤x + 1 ≤1，－1≤ x -1 ≤0，22∵|f (x )|≤1，(－1≤x ≤1)，∴|f (x + 1) |≤1，|f ( x -1)|≤1； 2 2因此当－1≤x≤1 时，|g(x)|≤|f ( x + 1) |+|f( x -1 )|≤22 2(3)解因为a＞0，g(x)在［－1，1］上是增函数，当x=1 时取得最大值 2，即g(1)=a+b=f(1)－f(0)=2①∵－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1，∴c=f(0)=－1因为当－1≤x≤1 时，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，根据二次函数的性质，直线x=0 为f(x)的图象的对称轴，由此得－b2a＜0 ，即b=0由①得a=2，所以f(x)=2x2－1例 3 设二次函数f(x)=a x2+b x+c(a＞0)，方程f(x)－x=0 的两个根x、x满足 0＜x＜x＜11 2 1 2 a(1)当x∈［0，x1 )时，证明x＜f(x)＜x1；(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x 对称，证明x＜x10 0 2解(1)令F(x)=f(x)－x，因为x1，x2 是方程f(x)－x=0 的根，所以F(x)=a(x－x1)(x－x2) 当x∈(0，x1)时，由于x1＜x2，得(x－x1)(x－x2)＞0，又a＞0，得F(x)=a(x－x1)(x－x2)＞0，即x＜f(x) x1－f(x)=x1－［x+F(x)］=x1－x+a(x1－x)(x－x2)=(x1－x)［1+a(x－x2)］1∵0＜x＜x＜x＜，∴x－x＞0，1+a(x－x)=1+a x－a x＞1－a x＞01 2 a 1 2 2 2∴x1－f(x)＞0，由此得f(x)＜x1(2)依题意x=－b，因为x、x是方程fx)－x=(0 的两根，即x，x是方程a x2+(b－1)x+c=00 2a 1 2 1 2的根∴x+x=－b -11 2 a∴x=－b=a(x1 +x2 ) - 1 =ax1 +ax2 - 1 ，因为ax＜1，0 2a 2a 2a 2∴x＜ax1 =x10 2a 221,题目高中数学复习专题讲座直线方程及其应用高考要求直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容应达到熟练掌握、灵活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的重难点归纳1对直线方程中的基本概念，要重点掌握好直线方程的特征值(主要指斜率、截距)等问题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的问题等2对称问题是直线方程的一个重要应用，中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具3线性规划是直线方程的又一应用线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式(组)表示的平面区域求线性目标函数z=a x+b y的最大值或最小值时，设t=a x+b y,则此直线往右(或左) 平移时，t值随之增大(或减小)，要会在可行域中确定最优解4由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行，考查学生的综合能力及创新能力典型题例示范讲解例 1 某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a＞b) 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？命题意图本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力ab ab yA BαoC x知识依托 三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值错解分析 解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求 t a n AC B 的最大值 如果坐标系选择不当，或选择求 si n ACB 的最大值 都将使问题变得复杂起来技巧与方法 欲使看画的效果最佳，应使∠A CB 取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值解 建立如图所示的直角坐标系，A O 为镜框边，A B 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在 x轴的正半轴上找一点 C (x ,0)(x ＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值由三角函数的定义知 A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、(b cos α,b sin α),于是直线 A C 、B C 的斜率分别为k A C=tan x C A = 于是 a sin α a cos α- x , k BC= tan xCB = b sin α .b cos α- xt a n A C B =k BC - k AC = (a -b )⋅ x sin α =(a -b )⋅sin α1 + k BC ⋅ k AC ab -(a + b )x cos α+ x2 ab+ x -(a + b )⋅cos α x由于∠A C B 为锐角，且 x ＞0,则 t a n A C B ≤(a - b ) ⋅ s in α,当且仅当ab =x ，即 x = x2时，等号成立，- (a + b ) c os α此时∠A C B 取最大值，对应的点为 C (,0),因此，学生距离镜框下缘 cm 处时，视角最大，即看画效果最佳例 2 预算用 2000 元购买单件为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的 1 5 倍，问桌、椅各买多少才行？命题意图 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，本题主要考查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解知识依托 约束条件，目标函数，可行域，最优解ab ab⎨y ≤ 1.5x ⎪ ⎩ ⎨⎪⎩ 错解分析 解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设技巧与方法 先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解解 设桌椅分别买 x ,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件⎧50x + 20 y ≤ 2000 ⎪ y ≥ x⎧50x + 20 y = 2000 ⎧x = 200为⎪ ⎪ ⎪⎩x ≥ 0, y ≥ 0由⎨y = x ,解得⎨⎪ y = ⎩7 2007 ∴A 点的坐标为( 200 ， 200 )7⎧50x + 20 y = 20007⎧x = 25 由⎨ y = 1.5x ,解得⎪ 75 y =⎩ 2∴B 点的坐标为(25，75 )2所以满足约束条件的可行域是以 A ( 200 ，200 )，B (25，75 )，O (0，0)为顶点的三角形区域(如772右图)由图形直观可知，目标函数z =x +y 在可行域内的最优解为(25，75)，但注意到 x ∈N ,y ∈N *,故2取 y =37故有买桌子 25 张，椅子 37 张是最好选择例 3 抛物线有光学性质 由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线 y 2=2p x (p ＞0) 一光源在点 M (41,4)处，由其发出的光线沿平4行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点 P ，折射后又射向抛物线上的点 Q ，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射 出，途中遇到直线 l 2x －4y －17=0上的点 N ，再折射后又射回点 M (如下图所示)(1) 设 P 、Q 两点坐标分别为(x ,y )、(x ,y )，证明y ·y =－p 2； 1 12 21 2(2) 求抛物线的方程；⎨ (3) 试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点 M 关于P N 所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由命题意图 对称问题是直线方程的又一个重要应用 本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力知识依托 韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程错解分析 在证明第(1)问题，注意讨论直线P Q 的斜率不存在时技巧与方法 点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键(1) 证明 由抛物线的光学性质及题意知光线PQ 必过抛物线的焦点 F ( p，0)，2设直线P Q 的方程为 y =k (x － p) ①21 p 222 p 2由①式得 x = y +k2yy =－p 2,将其代入抛物线方程y =2px 中，整理，得 y －ky －p =0,由韦达定理，1 2当直线P Q 的斜率角为 90°时，将 x = p代入抛物线方程，得 y =±p ,同样得到 y ·y =－p 221 2(2) 解 因为光线 Q N 经直线 l 反射后又射向 M 点，所以直线 M N 与直线 Q N 关于直线 l 对称，设点 M (41，4)关于 l 的对称点为 M ′(x ′,y ′)，则4⎧ y ' - 4 ⨯ 1 = -1⎪ x ' - 41 2 ⎧ 51 ⎪ 4 ⎨ 41 解得⎪x ' = 4 ⎪ x ' + y ' + 4 ⎪⎩ y ' = -1 ⎪2 ⨯ 4 - 4 ⨯ - 17 = 0 ⎩⎪ 2 2直线 Q N 的方程为 y =－1,Q 点的纵坐标 y 2=－1，由题设 P 点的纵坐标 y =4，且由(1)知y ·y =－p 2,则 4·(－1)=－p 2, 11 2得 p =2,故所求抛物线方程为 y 2=4x(3) 解 将 y =4 代入 y 2=4x ,得 x =4，故 P 点坐标为(4，4)⎨ 4 ⎪ ⎨ 将 y =－1 代入直线 l 的方程为 2x －4y －17=0,得 x = 13 ,2故 N 点坐标为(13 ，－1)2由 P 、N 两点坐标得直线 P N 的方程为 2x +y －12=0, 设M 点关于直线 N P 的对称点 M 1(x 1,y 1)⎧ y 1 - 4 ⨯ (-2) = -1 ⎪ x -41⎧1 则 1 解得⎪x 1 = 41 ⎪ x 1 + y + 4 ⎪⎩ y 1 = -1 ⎪2 ⨯ 4 + 1 - 12 = 0 ⎪⎩ 2 21 21又 M 1( 4,－1)的坐标是抛物线方程y =4x 的解，故抛物线上存在一点( 4，－1)与点 M 关于直线 PN 对称例 3 已知|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1,求证a b c +2＞a +b +c证明 设线段的方程为 y =f (x )=(bc －1)x +2－b －c ,其中|b |＜1,|c |＜1,|x |＜1,且－1＜a ＜1∵f (－1)=1－bc +2－b －c =(1－bc )+(1－b )+(1－c )＞0f (1)=bc －1+2－b －c =(1－b )(1－c )＞0∴线段 y =(bc －1)x +2－b －c (－1＜x ＜1)在 x 轴上方，这就是说，当|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1 时，恒有 abc +2＞a +b +c22,题目 高中数学复习专题讲座 曲线的轨迹方程的求法高考要求求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点 重难点归纳4( x - 4)2 + y 2求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法(1) 直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程(2) 定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求(3) 相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程(4) 参数法 若动点的坐标(x ,y )中的 x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念典型题例示范讲解22例 1 如图所示，已知 P (4，0)是圆 x +y =36x内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠AP B =90°，求矩形 A P B Q 的顶点 Q 的轨迹方程命题意图 本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程知识依托 利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段 A B 中点的轨迹方程错解分析 欲求 Q 的轨迹方程，应先求 R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题技巧与方法 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程解 设 A B 的中点为 R ，坐标为(x ,y )，则在 R t △ABP 中，|A R |=|P R |又因为 R 是弦 A B 的中点，依垂径定理 在 Rt △O A R 中，|A R |2=|A O |2－|O R |2=36－(x 2+y 2)又|A R |=|P R |=所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即 x 2+y 2－4x －10=0yB QRAoP( y y ) 2 因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动 设 Q (x ,y )，R (x ,y )，因为 R 是 PQ 的中点，所以 x =x + 4, y =y + 0 ,1 1121 2代入方程 x 2+y 2－4x －10=0,得( x + 4 )2+ ( 2 y )2 - 4 ⋅x + 4 －10=0 2 2整理得 x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程例 2 设点 A 和 B 为抛物线 y 2=4p x (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知 O A ⊥O B ，O M ⊥A B ， 求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线命题意图 本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程知识依托 直线与抛物线的位置关系错解分析 当设 A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论技巧与方法 将动点的坐标 x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于 x 、y 的关系解法一 设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M(x ,y ) (x ≠0)直线 AB 的方程为 x =my +a 由 O M ⊥A B ， 得 m =－ yx由 y 2=4p x 及 x =m y +a ，消去 x ,得 y 2－4p my －4pa =02所以 yy =－4pa , xx =1 2 = a 1 21 2(4 p )2所以，由 O A ⊥O B ，得 x 1x 2 =－y 1y 2所以a 2 = 4 pa ⇒ a = 4 p故 x =m y +4p ,用 m =－ y 代入，得 x 2+y 2－4p x =0(x ≠0)x故动点 M 的轨迹方程为 x 2+y 2－4p x =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点解法二 设 OA 的方程为 y = kx ，代入 y 2=4p x 得A ( 2 p , 2 p )k 2 kyAoN xMByPA oBxQ则O B 的方程为y = - 1x ，代入 y 2=4p x 得B (2 pk 2 , -2 pk )k∴A B 的方程为y =k1- k 2(x - 2 p ) ，过定点N (2 p , 0)， 由 OM ⊥AB ，得 M 在以 ON 为直径的圆上（O 点除外）故动点 M 的轨迹方程为 x 2+y 2－4p x =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以 2p 为半径的圆，去 掉坐标原点解法三 设 M (x ,y ) (x≠0)，O A 的方程为 y = kx ，代入 y 2=4p x 得A ( 2 p , 2 p )k 2 k 则O B 的方程为y = - 1 x ，代入 y 2=4p x 得B (2 pk 2 , -2 pk )k 由 OM ⊥AB ， 得 M 既在以 OA 为直径的圆x 2 + y 2 -2 p x -2 p y = 0 ……①上，k2k又在以 OB 为直径的圆 x 2 + y 2 - 2 pk 2 x + 2 pky = 0 ……②上（O 点除外），①⨯k 2 +②得 x 2+y 2－4p x =0(x ≠0)故动点 M 的轨迹方程为 x 2+y 2－4p x =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以 2p 为半径的圆，去 掉坐标原点例 3 某检验员通常用一个直径为 2 cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为 3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？命题意图 本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力知识依托 圆锥曲线的定义，求两曲线的交点错解分析 正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键技巧与方法 研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程解 设直径为3,2,1 的三圆圆心分别为O 、AB ，问题转化为求两等圆 P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r 则,yM(x,y)A(-a,0)o B(a,0) x|PA |+|PO |=(1+r)+(15－r)=2 5∴点 P 在以 A 、O 为焦点，长轴长 25 的椭圆上，其方程为16( x + 1 )2 2 4 + 2 y =1①25 3同理 P 也在以 O 、B 为焦点，长轴长为 2 的椭圆上，其方程为(x － 1 2 )2+ 4y 2=1②3由①、②可解得 P ( 9 , 12),Q ( 9 ,- 12) ， ∴r = 3 - 214 14=3 7 14 14故所求圆柱的直径为 6cm7例 4 已知 A 、B 为两定点，动点M 到 A 与到 B 的距离比为常数λ,求点 M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线解 建立坐标系如图所示， 设|A B |=2a ,则 A (－a ,0）,B (a ,0) 设 M (x ,y ）是轨迹上任意一点则由题设，得 | MA | | MB |(x + a )2 + y 2 =λ,坐标代入，得=λ,化简得(x - a )2+ y 2(1－λ2)x 2+(1－λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1－λ2)a 2=0(1) 当λ=1 时，即|M A|=|M B|时，点 M 的轨迹方程是 x =0，点 M 的轨迹是直线(y 轴)222a (1 + λ2 ) 2a (1 + λ2 )(2) 当λ≠1 时，点 M 的轨迹方程是 x +y +为圆心，2a λ为半径的圆|1 - λ2 |1 - λ2x +a =0 点 M 的轨迹是以(－1 - λ2，0）23,题目 高中数学复习专题讲座 关于求圆锥曲线方程的方法高考要求( 9)2 + (12)2 1414yC'CA'oAxB'B求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法 重难点归纳一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为m x 2+n y 2=1(m ＞0,n ＞0)定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小典型题例示范讲解例 1 某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中 A 、A ′是双曲线的顶点，C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点，B 、B ′ 是下底直径的两个端点，已知 AA ′=14 m ，CC ′=18 m,BB ′=22 m,塔高 20 m 建立坐标系并写出该 双曲线方程命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键技巧与方法 本题是待定系数法求曲线方程解 如图，建立直角坐标系x O y ,使A A ′在x 轴上A A ′的中点为坐标原点 O ，C C ′与 BB ′平行于 x 轴x 2 y 2 1设双曲线方程为 a 2 b2 =1(a ＞0,b ＞0),则 a = 2 AA ′=7C'18mC A'20m14m A22my1A y= 2 xo 1x By ' ⎩ 又设 B (11,y 1),C (9,x 2)因为点 B、C 在双曲线上，所以有112 72y 2 92- 1 = 1, b 2 72 y 2 - 2= 1 b 2由题意，知 y 2－y 1=20,由以上三式得 y 1=－12,y 2=8,b=7 x 2y 2故双曲线方程为49 - =198例 2 过点(1，0)的直线 l 与中心在原点，焦点在1x 轴上且离心率为2 的椭圆 C2相交于 A 、B 两点，直线 y =x 过线段 A B 的中点， 同时椭圆 C 上存在一点与右焦2点关于直线 l 对称，试求直线 l 与椭圆 C 的方程命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强知识依托 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将 A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线 A B 斜率的等式解法二，用韦达定理c2 a 2 - b 2122解法一 由 e == ,得a2a 2= ,从而 a =2b ,c =b2设椭圆方程为 x 2+2y 2=2b 2,A (x ,y ),B (x ,y )在椭圆上1 12 2则 x 2+2y 2=2b 2,x 2+2y 2=2b 2,两式相减得，(x 2－x 2)+2(y 2－y 2)=0,y 1 - y 2= - x 1 + x 2 .11221212x 1 - x 22( y 1 + y 2 )设 AB 中点为(x ,y ),则 k =－x 011x 0=－1,k =－1,0 0A B2 y 0 ,又(x 0,y 0)在直线 y = 2 x 上，y 0= 2 x 0,于是－ 2 yA B设 l 的方程为 y =－x +1右焦点(b ,0)关于 l 的对称点设为(x ′,y ′),⎧ y '= 1⎪ x ' - b⎨⎪ = - ⎩ 2x ' + b + 12 ⎧x ' = 1 解得⎨ y ' = 1 - b 2则 ⎪ 0PyP 1PoxP 2由点(1,1－b )在椭圆上，得 1+2(1－b )2=2b 2,b 2= 9 , a 2 = 98x 216 216 8∴所求椭圆 C 的方程为 + y 9 9=1,l 的方程为 y =－x +1c2a 2 -b 2 1 2 2解法二 由 e = = ,得 a 2 a 2= ,从而 a =2b ,c =b 2 设椭圆 C 的方程为 x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为 y =k (x －1),2 2 2 2 24k 2将 l 的方程代入 C 的方程，得(1+2k )x －4kx +2k －2b =0,则 x 1+x 2= 1+ 2k 2,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x +x )－2k =－2k121 + 2k 21x 1 + x 2y 1+ y2- k12k 2直线 l y =x 过 A B 的中点(,222),则1 + 2k2 =2 ⋅ 1 + 2k 2,解得 k =0，或 k =－1若 k =0,则 l 的方程为 y =0,焦点 F (c ,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身，不能在椭圆 C 上，所以 k =0 舍去，从而 k =－1，直线 l 的方程为 y =－(x －1),即 y =－x +1,以下同解法一例 3 如图，已知△POP 的面积为27，PP 1为线段 PP 的一个三等分点，求以直线1241 213oO P 1、O P 2 为渐近线且过点P 的离心率为2的 P 2双曲线方程命题意图 本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力知识依托 定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出△POP 的面积是学生感到困难的12技巧与方法 利用点 P 在曲线上和△POP 的面积建立关于参数 a 、b 的两个方12程，从而求出 a 、b 的值解 以 O 为原点，∠P 1O P 2 的角平分线为x 轴建立如图的直角坐标系x 2 y 2设双曲线方程为a 2 -b 2=1(a ＞0,b ＞0)2c 2 b 2 13 2 b 3由 e = a2 = 1 + ( a ) = ( ) 2 ，得 =a 2x + x 2 9 2 1 4 1 x + x 2 9 2 2 421 3 3∴两渐近线 O P 1、O P 2 方程分别为 y= 2 x 和 y =－ 2x设点 P (x ,3 3P P 所成的比λ= P 1P=2,得 P 点坐标为1 12x 1),P 2(x 2,－ 2x 2)(x 1 ＞0,x 2 ＞0),则由点 P 分 1 2PP 2x 1 + 2x 2 x 1 - 2x 2x 2 4 y 2( x 1 + 2x 2 )2( x 1 - 2x 2 )2(3,2),又点 P 在双曲线a 2- 9a2 =1 上，所以 9a 2-9a 2=1,即(x +2x )2－(x －2x )2=9a 2,整理得 8xx =9a2①12121 2又| OP |= = 13x ,| OP |= = 13 x 1 2 1 2 2sin POP = 2 t an P 1Ox 2 ⨯ 3= 2 = 12 1 2 1 + tan 2 POx 1 +9 13 4∴ S = 1 | OP | ⋅ | OP | ⋅sin POP = 1 ⋅ 13x x ⋅ 12 = 27 ,∆P 1OP 2 2 1 2 1 2 2 4 1 2 13 4即 xx = 9②1 2 2由①、②得 a 2=4,b 2=9x 2 y 2 故双曲线方程为 4x 2 y 2 -=19例 4 双曲线4-b2=1(b ∈N )的两个焦点 F 1、F 2，P 为双曲线上一点，|O P |＜5,|P F 1|,|F 1F 2|,|P F 2|成等比数列，则 b 2=解析 设 F 1(－c ,0）、F 2(c,0)、P (x ,y ),则|P F |2+|P F |2=2(|P O |2+|FO |2)＜2(52+c 2), 121即|P F |2+|P F |2＜50+2c 2,12又∵|P F |2+|P F |2=(|P F |－|P F |)2+2|P F |·|P F |,121212依双曲线定义，有|P F 1|－|P F 2|=4,依已知条件有|P F |·|P F |=|FF |2=4c 2121 2∴16+8c 2＜50+2c 2,∴c 2＜17 ,3又∵c 2=4+b 2＜ 173 ,∴b 2＜ 53,∴b 2=1答案 1NoB A M24,题目 高中数学复习专题讲座 直线与圆锥曲线问题的处理方法(1) 高考要求直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能 重难点归纳1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍典型题例示范讲解y2例 1 如图所示，抛物线 y =4x 的顶点为 O ，点 Ax的坐标为(5，0)，倾斜角为 4的直线l 与线段 O A 相交(不经过点 O 或点 A )且交抛物线于M 、N 两点，求△A M N 面积最大时直线 l 的方程，并求△A M N 的最大面积命题意图 直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题 本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”知识依托 弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想错解分析 将直线方程代入抛物线方程后，没有确定 m 的取值范围 不等式法求最值忽略了适用的条件。