“隐圆”最值问题说课材料
隐圆最值问题教案
隐圆最值问题教学目标：灵活运用圆的一些重要定理、圆中的基本图形解决隐圆中的最值问题． 教学重点难点：隐圆问题，三角形底边、顶角不变和外接圆相关问题（正弦定理模型） 【例1】在△ABC 中，∠ABC=60°，AC=6，求△ABC 面积的最大值．分析：求面积最大值，AC 底边确定，只需找高的最大值，即B 到AC 的距离的最大值。
B 点在三角形ABC 的外接圆上运动。
当三角形ABC 为等边三角形时高最大11622ABC S AC BD =⋅=⨯⨯=【例2】如图，Rt △ACB 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E 、F 分别在CB 、AB 上，且AE ⊥CF 于G ，连BG ．则GB 的最小值是_______．A分析：求GB 的最小值，B 点是定点，关键找出G 点的运动轨迹。
G 点怎么来的呢？ AE ⊥CF 于G 点，即90AGC ∠=︒。
可得G 在以AC 为直径的圆上运动。
取AC 的中点 O连接OB 与圆O 的交点即为最小值时的G 点。
22GB OB OG ∴=-=【例3】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值 是 ．第16题图HGF E DC BA分析： 推出 90AHB ∠=︒ 是关键。
再回到上一题思路 总结：定弦定角的隐圆问题【反馈练习】1.如图，∠XOY = 45°，一把直角三角尺ABC 的两个顶点A 、B 分别在OX 、OY 上移动，其中AB = 10，那么点O 到AB 的距离的最大值为__________．2．如图正方形ABCD ，AB=10，E 、F 分别为CD 、AD 上动点，且始终有CE=DF ，连接CF 、BE 交于O 点，连接AO ，求△AOB 面积的最小值FO EDCBA。
初中数学隐圆的教案
初中数学隐圆的教案教学目标：1. 理解隐圆问题的概念，掌握解决隐圆问题的基本方法；2. 培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力；3. 引导学生运用数学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
教学内容：1. 隐圆问题的定义和特点；2. 解决隐圆问题的基本方法；3. 隐圆问题在实际中的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过向学生展示一些生活中的圆形物体，如硬币、篮球等，引导学生关注圆形的特征和性质；2. 教师提出隐圆问题的定义，让学生初步了解隐圆问题。
二、探究隐圆问题的基本方法（15分钟）1. 教师引导学生观察一些隐圆问题，如在三角形中构造一个圆，使得该圆与三角形的三个顶点相切；2. 教师引导学生思考如何解决这个问题，学生可以通过画图、讨论等方式尝试解决这个问题；3. 教师引导学生总结解决隐圆问题的基本方法，如构造辅助线、利用圆的性质等。
三、解决实际问题（15分钟）1. 教师提出一个实际问题，如在一条固定直线上，如何构造一个圆，使得该圆与直线上的两个点相切；2. 教师引导学生应用隐圆问题的解决方法，尝试解决这个问题；3. 教师引导学生总结解决实际问题的方法和步骤。
四、巩固练习（10分钟）1. 教师给出一些隐圆问题的练习题，让学生独立解决；2. 教师引导学生互相交流解题思路和解题方法，共同提高解题能力。
五、总结和反思（5分钟）1. 教师引导学生总结本节课所学的内容，让学生明确隐圆问题的定义和解决方法；2. 教师引导学生反思自己在解决隐圆问题时的思考过程和解决问题的能力，鼓励学生积极思考和探索。
教学评价：1. 教师通过课堂讲解、练习和实际问题解决等方式，评价学生对隐圆问题的理解和掌握程度；2. 教师通过学生的课堂表现、练习和总结反思等方式，评价学生的思考能力和解决问题的能力。
教学资源：1. 教师准备一些隐圆问题的图片和实例，用于引导学生观察和思考；2. 教师准备一些隐圆问题的练习题，用于巩固学生所学知识。
微专题22“隐形圆”问题(教学案)
微专题22“隐形圆”问题1．能用探究轨迹的思想挖掘题目中的隐形圆问题．2．能通过圆的几何意义等思想方法解决与圆有关的范围(最值)问题．3．深刻体会“等价转化”、“数形结合”等数学思想方法，能用代数方法处理几何问题．考题导航题组一利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆1．如果圆(x－2a)．2．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则a的取值范围为__________．→＋OB→的1．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝23，则||OA 最大值是________．1．已知圆C：(x－3)，则正数m的取值范围是________．2．已知点A (2，3)，B (6，－3)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足等式AP →·BP →＋2λ＝0的点P 有两个，则实数λ的取值范围是________．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (－1，0)，Q (2，1)，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，其中实数a ，b ，c 成等差数列，若点P 在直线l 上的射影为H ，则线段QH 的取值范围是________．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是________．1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1，0)，B (1，2)． (1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得P A 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．1．已知点M (x ，y )与两个定点O (0，0)，A (3，0)的距离之比为12，那么点M 的坐标满足的关系为_____．2．已知点A (0，1)，B (1，0)，C (t ，0)，D 是直线AC 上的动点，若AD ≤2BD 恒成立，则最小正整数t 的值为________．1．如图，已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5，0)，在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBP A为一常数，则满足条件的点B 的坐标为________．冲刺强化训练(22)1．已知点A (－1，0)，B (1，0)，动点M (x ，y )满足MA ＝2MB ，则动点M 的轨迹方程是_________． 2．若圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2＝4，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，过动点P 分别作圆O 1与圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得PM ＝2PN ，则动点P 的轨迹方程是______________．3．已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|P A →＋PB →|的取值范围为____________．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，0)，B (1，0)均在圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝r 2外，且圆C 上存在唯一一点P 满足AP ⊥BP ，则半径r 的值为________．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________．6．已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ<0)，若点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是________．7．已知点A (－1，0)，B (1，0)，过定点M (0，2)的直线l 上存在点P ，使得P A →·PB →<0，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点A (0，2)，若圆C 上的点M 均满足MA 2＋MO 2>10，则实数a 的取值范围是________．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上的两个动点，且AB ＝211．若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得P A →＋PB →＝OC →，则实数a 的值为 ________．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1，1)，且AB ⊥AC ，则线段BC的长的取值范围是________．11．已知定点O (0，0)，M 是圆(x ＋1)2＋y 2＝4上的任意一点，问：是否存在不同于点O 的定点A ，使得MOMA为常数？若存在，试求出所有满足条件的点A 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图所示，A ，B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16千米处，AB 的南面为居民生活区． 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P ． 垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求(A ，B ，P 可看成三个点)：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大)． 现估测得A ，B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？。
微专题《隐含圆的解三角形最值问题》教学设计
微专题《隐含圆的解三角形最值问题》教学设计教学内容：《隐含圆的解三角形最值问题》课型：复习课设计理念：以学生发展为本，体现学生主体地位；以学科素养为根，培养数学运算能力。
一、教学内容分析本节课是在系统复习《解三角形》之后进行的微专题教学，主要针对解三角形中的最值问题，是对《解三角形》的进一步深化、提升。
爱因斯坦曾说:提出一个问题往往比解决一个问题更为重要。
本节课将以两类隐藏圆的三角形为背景设置最值问题，从试题编拟的视角进行演绎并呈现于课堂，从中总结、归纳解三角形中求最值的常见思路、方法．通过本节课的学习可以从命题的角度居高临下地认识解三角形最值问题，从而让学生学会在制高点处思考、解题．同时，本节课也将渗透逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等数学素养．因此，学好本节课将有利于学生形成规律性的知识网络和提高数学思维能力．二、学习者特征分析学生已经系统复习并掌握了三角函数的性质、三角恒等变换及解三角形等知识，为微专题《解三角形的最值问题》的复习奠定了基础。
同时，学生的思维普遍活跃，对进一步探索解三角形中的最值问题有了比较浓厚的兴趣，有了较强的求知欲望．但学生的学习仅仅停留于解题，往往只能就题论题，且从未曾以命题者的角度研究过试题，未能迅速洞察问题的本质。
三、教学目标设计本着教学内容的特点和高三学生的认知能力与数学思维特征，设定的教学目标为：能较熟练地应用正余弦定理解三角形；能较熟练应用三角函数的性质、基本不等式、导数等求解最值问题。
在经历解题视角的变换中，突破成规，感受数学的系统特征、辩证特征、开放特征；在经历编制试题的过程中，培养勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，从而树立科学的治学态度。
并通过例题与变式题的解题训练，使数学解题意志、习惯和个性素养得以发展。
四、教学重难点设计基于教材内容的地位、课程标准的要求、根据学生的认知水平和学习经验，确定本节课的学习重难点：正余弦定理的应用，求最值的几种常见方法。
隐圆类最值问题
隐圆类最值问题一、隐圆类最值问题概述咱来唠唠隐圆类最值问题哈。
这隐圆啊，就像是一个躲猫猫的小调皮，它不会直接告诉你圆在哪，得咱们自己去找它的踪迹。
比如说，有些题目里会给出一些几何关系，像定线段、定角这些，这时候就可能藏着个圆哦。
为啥这么说呢？你看啊，当一个三角形的一条边是定长，它所对的角也是定值的时候，根据圆周角定理的推论，这个三角形的顶点就在一个圆上，这个圆就是所谓的隐圆啦。
二、常见的隐圆类型及最值情况1. 定弦定角型这种类型是比较常见的。
就像刚刚说的那个例子，有一条定长的弦，还有一个定大小的角对着这条弦。
那这个角的顶点的轨迹就是一个圆。
在这种情况下找最值呢，比如说求这个顶点到圆外一点距离的最值。
那最小值就是这个点到圆心的距离减去圆的半径，最大值就是这个点到圆心的距离加上圆的半径。
这就好比你站在一个圆形操场外面，要找你到操场上一个在特定轨迹上运动的人的最近和最远的距离，是不是有点感觉啦？2. 动点到定点距离为定值型这个其实就是直接告诉咱们有个动点到一个定点的距离是不变的，那这个动点的轨迹就是一个圆，圆心就是那个定点，半径就是这个定值。
在求最值的时候，就看这个圆和其他图形或者点的关系啦。
比如求这个动点到一条直线的距离的最值，最小值就是圆心到直线的距离减去半径，最大值就是圆心到直线的距离加上半径。
就好像你手里拿着一根绳子，绳子另一头绑着一个小球，小球能绕着你的手做圆周运动，你要找小球到旁边一堵墙的最近和最远的距离一样。
三、解决隐圆类最值问题的小技巧1. 先找隐圆要练就一双火眼金睛，从题目给出的各种条件里找出隐藏的圆。
这就需要对那些能确定圆的几何关系特别敏感，像刚刚说的定弦定角啦，动点到定点距离为定值啦这些。
一旦发现了隐圆，就像找到了宝藏的入口一样，后面的问题就好解决多了。
2. 确定圆心和半径找到隐圆之后，得把圆心和半径确定下来。
这就像是知道了宝藏在哪个岛上，还得知道这个岛的具体位置和大小一样。
圆心和半径确定了，就可以根据圆和其他元素的关系来求最值啦。
专题4.2圆---利用“隐圆”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
D
Q
Q
C
N N
H
O O
A
MM
P P
B
∵MN=2NH= ON2-OH2 = 262-OH2
∴当OH最短时，MN最长.
与“圆”有关的最值问题
强化训练
提升能力
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,BC=6,AC=8,D,E分别是BC,AC上的一点,且
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DE=6.若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M,N两点,则MN的最大值为_____.
A
M
D
E
B
N
C
针对训练
点圆最值---点心线
考点4-1
1.如图,⊙O、⊙C,OC=5,点A、B分别是平面内的动点,且OA=4,BC=3,则OB长
2 ,AC长的最大值为_____
8 ,OB长的最小值为______
9 ,AC长的最小值
的最大值为______
12 ,AB长的最小值为____．
0
为______
1 ,AB长的最大值为______
2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E是AB边上的中点,点F是线段BC边上
的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB´F,连接B´C,则B´C最小值是
A
2 10-2
________.
A
B
O
C
D
B´
E
B´
B
F
C
模型分析
线圆最值---心垂线
考点4-2
BC、CD上两个动点,且∠EAF=60º,则△AEF的面积是否存在最小值?若存在,
求出其最小值；若不存在,请说明理由. 定角夹定高
【简答】将△ADF绕点A顺时针旋转120º,得△ABF´,则∠EAF´=60º,易证
巧用隐圆 妙解最值(解析版)--初中数学
巧用隐圆妙解最值模型背诵隐圆一:定弦定角，隐圆正好。
AB的长度固定不变(定弦)，∠ABC=α不变(定角)。
这样的图形就是我们所谓的“定弦定角模型”。
隐圆一特殊:若∠ACB=90°，则AB为三点所在圆的直径。
(可以解决动点轨迹。
)隐圆二:等弦对等角，隐圆可以找。
(可以利用四点共圆证相似,角相等)若∠ADC=∠ABC，则A,B,C,D四点共圆。
在半角模型中,证四点共圆,主要利用了这类隐圆.隐圆二特殊.若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。
隐圆三:对角互补，四点共圆.若∠ADC+∠ABC=180°，则A,B,C,D四点共圆。
隐圆三特殊:若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。
隐圆四：定点定长，隐圆必现。
CA=CB=CP隐圆五、瓜豆原理之种圆得圆。
若Q为AP的中点，当P沿⊙O运动一周，则Q的运动轨迹为以AO中点M为圆心的圆。
(P为“主动点”，点Q为“从动点。
)典例分析如图1-1，点P(3,4)，圆P半径为2，A(2.8,0)，B(5.6,0)，点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．【点睛】图1-2，M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．图1-3：当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．实战训练一．选择题(共8小题)1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°且AB=10，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为()A.55-52B.52C.35-32 D.52-52试题分析：在AB的下方作等腰直角三角形AKB，使得∠AKB=90°，AK=BK．连接DK，PK，过点K作KT⊥DB交DB的延长线于点T．判断出点P的运动轨迹，求出DK，PK，可得结论．答案详解：解：在AB的下方作等腰直角三角形AKB，使得∠AKB=90°，AK=BK．连接DK，PK，过点K作KT⊥DB交DB的延长线于点T．∵点P是△ACB的内心，∠C=90°，∴∠PAB=12∠CAB，∠PBA=12∠ABC，∴∠PAB +∠PBA =12(∠CAB +∠CBA )=45°，∴∠APB =180°-45°=135°，∴点P 在以K 为圆心，KA 为半径的圆上运动，∵AB =10，AK =BK ，∠AKB =90°，∴AK =BK =KP =52，∠ABK =45°，∵∠ABT =90°，∴∠KBT =45°，∴KT =BT =5，∵OA =OB =BD =5，∴DT =10，∴DK =DT 2+KT 2=55，∴DP ≥DK -PK =55-52，∴DP 的最小值为55-52．所以选：A ．2.已知抛物线y =-316(x -1)(x -9)与x 轴交于A ，B 两点，对称轴与x 轴交于点D ，点C 为抛物线的顶点，以C 点为圆心的⊙C 半径为2，点G 为⊙C 上一动点，点P 为AG 的中点，则DP 的最大值与最小值和为()A.72B.23C.412D.5试题分析：P 为AG 中点，D 为AB 中点，所以PD 是△ABG 的中位线，则DP =12BG ，当BG 最大时，则DP 最大．由圆的性质可知，当G 、C 、B 三点共线时，BG 最大或最小．答案详解：解：如图，连接BG ．因为P 为AG 中点，D 为AB 中点，所以PD 是△ABG 的中位线，则DP =12BG ，当BG 最大时，则DP 最大．由圆的性质可知，当G 、C 、B 三点共线时，BG 最大．∵C (5，3)，B (9，0)，∴BC =32+42=5，∴BG 的最大值为2+5=7，BG 的最小值=5-2=3，∴DP 的最大值为72．DP 的最小值为32，∴DP 的最大值与最小值的和为5．所以选：D ．3.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点P是矩形ABCD内一点，连接PA，PC，PD，若PA⊥PD，则PC的最小值为()A.213-4B.210-3C.2D.4试题分析：由PA⊥PD可得点P在以AD中点O为圆心AD为直径的圆上，连接CO交圆于一点即为最短距离点，即可得到答案．答案详解：解：∵PA⊥PD，∴点P在以AD中点O为圆心AD为直径的圆上，如图所示，∴连接CO交圆于一点即为最短距离点P，如图所示，∵AB=4，BC=6，∴OD=3，DC=4，根据勾股定理可得，OC=32+42=5，∴CP=5-3=2，所以选：C．4.如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，点P是BC边上一动点(点P不与B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为()A.2B.5C.3D.102试题分析：当A，M，C三点共线时，线段CM的长度最小，求出此时CM的长度即可．答案详解：解：连接AM，∵点B和M关于AP对称，∴AB=AM=3，∴M在以A为圆心，3为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，CM最短，∵AC=32+42=5，AM=AB=3，∴CM=5-3=2，所以选：A．5.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为()A.3B.1+6C.1+32D.1+7试题分析：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题；答案详解：解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ=QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO=90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大(也可以通过CQ≤QK+CK求解)在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2，OC=1，CH=3，∴OH=12在Rt△CKH中，CK=(3)2+22=7，∴CQ的最大值为1+7，所以选：D．6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为()A.2B.πC.2πD.22π试题分析：由△ADE ≌△CDF ，推出∠DAE =∠DCF ，因为∠AED =∠CEG ，推出∠ADE =∠CGE =90°，推出A 、C 、G 、D 四点共圆，推出点G 的运动轨迹为弧CD ，利用弧长公式计算即可．答案详解：解：如图，∵CA =CB ，∠ACB =90°，AD =DB ，∴CD ⊥AB ，∴∠ADE =∠CDF =90°，CD =AD =DB ，在△ADE 和△CDF 中，AD =CD ∠ADE =∠CDF DE =DF，∴△ADE ≌△CDF (SAS )，∴∠DAE =∠DCF ，∵∠AED =∠CEG ，∴∠ADE =∠CGE =90°，∴A 、C 、G 、D 四点共圆，∴点G 的运动轨迹为弧CD ，∵AB =4，AB =2AC ，∴AC =22，∴OA =OC =2，∵DA =DC ，OA =OC ，∴DO ⊥AC ，∴∠DOC =90°，∴点G 的运动轨迹的长为90π×2180=22π．所以选：D ．7.如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =8，BC =12，D 为AC 边上的一个动点，连接BD ，E 为BD 上的一个动点，连接AE ，CE ，当∠ABD =∠BCE 时，线段AE 的最小值是()A.3B.4C.5D.6试题分析：如图，取BC 的中点T ，连接AT ，ET ．首先证明∠CEB =90°，求出AT ，ET ，根据AE ≥AT -ET ，可得结论．答案详解：解：如图，取BC 的中点T ，连接AT ，ET ．∵∠ABC =90°，∴∠ABD +∠CBD =90°，∵∠ABD =∠BCE ，∴∠CBD +∠BCE =90°，∴∠CEB =90°，∵CT =TB =6，∴ET =12BC =6，AT =AB 2+BT 2=82+62=10，∵AE ≥AT -ET ，∴AE ≥4，∴AE 的最小值为4，所以选：B ．8.如图，已知在矩形ABCD 中，AB =1，BC =3，点P 是AD 边上的一个动点，连接BP ，点C 关于直线BP 的对称点为C 1，当点P 运动时，点C 1也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段CC 1扫过的区域的面积是()A.πB.π+334C.332D.2π试题分析：由临界状态确定出C 1的运动路径，明确点P 从点A 运动到点D ，则线段CC 1扫过的区域为：扇形BC 'C ''和△BCC ''，再分别计算两部分面积即可．答案详解：解：如图，当P 与A 重合时，点C 关于BP 的对称点为C ′，当P 与D 重合时，点C 关于BP 的对称点为C ″，∴点P 从点A 运动到点D ，则线段CC 1扫过的区域为：扇形BC 'C ''和△BCC ''，在△BCD 中，∵∠BCD =90°，BC =3，CD =1，∴tan ∠DBC =13=33，∴∠DBC =30°，∴∠CBC ″=60°，∵BC =BC ''，∴△BCC ''为等边三角形，∴S 扇形BC ′C ″=120×π×(3)2360=π，作C ''F ⊥BC 于F ，∵△BCC ''为等边三角形，∴BF=12BC=32，∴C''F=tan60°×32=32，∴S△BCC''=12×3×32=334，∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+334．所以选：B．二．填空题(共12小题)9.如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB=6，AD=4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 53 ．试题分析：分析题意可知，点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动，连接AN，AM，以AM 为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M′，以此得到M、A、N三点共线时，MN的值最大，再根据勾股定理分别算出AM、AN的值，则MN的最大值M′N=AN+AM′=AN+AM．答案详解：解：连接AN，AM，以AM为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M′，如图，∵△ADE绕点A旋转，∴点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动，∵AM+AN≥MN，∴当点M旋转到M′，即M、A、N三点共线时，MN的值最大，最大为M′N，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB=6，AD=4，∴AN⊥BC，AM⊥DE，BN=3，DM=2，在Rt△ABN中，由勾股定理得AN=AB2-BN2=33，在Rt△ADM中，由勾股定理得AM=AD2-DM2=23，根据旋转的性质得，AM′=AM=23，∴M′N=AN+AM′=53，即MN的最大值为53．所以答案是：53．10.如图，正方形ABCD中，AB=4，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为 210 ．试题分析：如图，作点D关于直线BC的对称点K，连接MK，以AB为直径作⊙J，取CD的中点H，连接JH交⊙J于点T．由题意，点P的运动轨迹是AT，当点P运动到点T时，且点M在KT上时，DM+MP=KM+MP的值最小，最小值为KT的长．答案详解：解：如图，作点D关于直线BC的对称点K，连接MK，以AB为直径作⊙J，取CD的中点H，连接JH交⊙J于点T．∵点E与点F的速度相同．∴AE=DF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE=∠ADF，AB=AD，∴△ABE≌△DAF(SAS)，∴∠ABE=∠DAF，∵∠DAF+∠PAB=90°，∴∠ABE+∠PAB=90°，∴点P在以AB为直径的圆上，圆心为点J，由题意，点P的运动轨迹是AT，当点P运动到点T时，且点M在KT上时，DM+MP=KM+MP 的值最小，最小值为KT的长．在Rt△THK中，TH=2，HK=6，∴TK=TH2+KH2=22+62=210，∴DM+MP的最小值为210，所以答案是：210．11.如图，在锐角三角形ABC中，BC=8，sin A=45，BN⊥AC于点N，CM⊥AB于点M，连接MN，则△AMN面积的最大值是 28825 ．试题分析：画出△ABC的外接圆⊙O，连接OB，利用定角对定边可知点A在优弧BC上运动，当A'O⊥BC时，△A'BC的面积最大，求出△ABC的最大面积，再利用三角函数求出AM的长度，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可得答案．答案详解：解：画出△ABC的外接圆⊙O，连接OB，∵BC=8，sin A=45，∴点A 在优弧BC 上运动，当A 'O ⊥BC 时，△A 'BC 的面积最大，∴BH =4，∵∠BOH =∠BAC ，∴BO =5，OH =3，∴AH =8，cos ∠BOH =35，∴S △ABC 最大为12×8×8=32，∵CM ⊥AB ，∴cos ∠MAC =AMAC=35，∵AB =AC ，AM =AN ，∠MAN =∠BAC ，∴△AMN ∽△ABC ，∴S △AMN S △ABC =AM AB2，∴S △AMN 32=925，∴S △AMN =28825，所以答案是：28825．12.在△ABC 中，AB =4，∠C =45°，则2AC +BC 的最大值为410 ．试题分析：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，则△BCD 为等腰直角三角形，设BD =CD =a ，延长AC 至点F ，使得CF =a ，则可求出tan ∠AFB ，作△ABF 的外接圆⊙O ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则AE =12AB =2，∠AOE =∠AFB ，则可利用tan ∠AOE 求出OE 、OA ，最后利用三角形三边关系即可求出2AC +BC 的最大值为2(OA +OF )，计算即可．答案详解：解：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，∵∠C =45°，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴BD =CD ，设BD =CD =a ，延长AC 至点F ，使得CF =a ，∵tan ∠AFB =a 2a =12，作△ABF 的外接圆⊙O ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则AE =12AB =2，∠AOE =∠AFB ，∴tan ∠AOE =12，∴OE =4，OA =22+42=25，∴2AC+BC=2AC+22BC=2(AC+CF)=2AF≤2(OA+OF)，∴2AC+BC的最大值为2×45=410．所以答案是：410．13.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠CBD=15°，BD=3AB，则∠BDC=45°．试题分析：过点A作AM⊥BD于M．分别求出∠ADC，∠ADB，可得结论．答案详解：解：过点A作AM⊥BD于M．∵AB=AC=AD，∴∠CAD=2∠CBD=30°，∴∠ADC=∠ACD=75°，∵AB=AD，AM⊥BD，∴BM=DM，∵BD=3AB，∴BMAB =32，∴cos∠ABM=32，∴∠ABM=∠ADB=30°，∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=45°．所以答案是：45°．14.如图，等边△ABC中，AB=6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD=CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为23 ．试题分析：首先证明∠AFB=120°，推出点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动(∠AOB=120°，OA=23)，连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小．答案详解：解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠BCE=60°，∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)∴∠BAD=∠CBE，又∵∠AFE=∠BAD+∠ABE，∴∠AFE=∠CBE+∠ABE=∠ABC，∴∠AFE=60°，∴∠AFB =120°，∴点F 的运动轨迹是O 为圆心，OA 为半径的弧上运动(∠AOB =120°，OA =23)，连接OC 交⊙O 于N ，当点F 与N 重合时，CF 的值最小，最小值=OC -ON =43-23=23．所以答案是23．15.如图，正方形ABCD 中，AB =2，动点E 从点A 出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向点C 运动，点E 、F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF 、BE 相交于点P ，M 是线段BC 上任意一点，则MD +MP 的最小值为 10 ．试题分析：首先作出点D 关于BC 的对称点D ′从而可知当点P 、M 、D ′在一条直线上时，路径最短，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时，PG 和GD ′均最短，即PD ′最短，然后由正方形的性质和轴对称图形的性质可知：PG =1，GD ′=3，最后由勾股定理即可求得PD ′的长，从而可求得MD +MP 的最小值．答案详解：解：如图作点D 关于BC 的对称点D ′，连接PD ′，由轴对称的性质可知：MD =D ′M ，CD =CD ′=2∴PM +DM =PM +MD ′=PD ′过点P 作PE 垂直DC ，垂足为G ，易证AF ⊥BE ，故可知P 的轨迹为以AB 为直径的四分之一圆弧上，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时，PG 和GD ′均最短，∴此时，PD ′最短．∵四边形ABCD 为正方形，∴PG =12AD =1，GC =12DC =1．∴GD ′=3．在Rt △PGD ′中，由勾股定理得：PD ′=PG 2+GD '2=12+32=10．所以答案是：10．16.如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠CAB =60°，AB =4，点P 是BC 边上的动点，过点C 作直线AP 的垂线，垂足为Q ，当点P 从点C 运动到点B 时，点Q 的运动路径长为 23π ．试题分析：由AQ⊥CQ，推出∠AQC=90°，可知当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，延长即可解决问题．答案详解：解：∵AQ⊥CQ，∴∠AQC=90°，∴当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120度的弧长，在Rt△ABC中，∵AB=4，∠B=30°，∴AC=12AB=2，∴点Q的运动路径长为120⋅π⋅1180=23π17.如图，在平面直角坐标系中，有一条长为10的线段AB，其端点A、点B分别在y轴、x轴上滑动，点C为以AB为直径的⊙D上一点(C始终在第一象限)，且tan∠BAC=12．则当点A从A0(0，10)滑动到O(0，0)，B从O(0，0)滑动到B0(10，0)的过程中，点C运动的路径长为20-65 ．试题分析：如图1中，作射线OC．首先证明点C在射线OC上运动，∠COB=∠CAB=定值，求出三种特殊位置OC的值即可解决问题；答案详解：解：如图1中，作射线OC．∵tan∠BAC=12，∴∠CAB是定值，∵∠COB=∠CAB，∴∠COB是定值，∴点C在射线OC上运动．如图2中，当线段AB在y轴上时，设OC1=k，A1C1=2k，则有：k2+4k2=102，∴k=25∴OC1=25，如图2中，四边形A2OB2C2是矩形时，OC2=AB=10，此时OC2的值最大，当线段AB在x轴上时，同法可得OC3=45，观察图形可知，点C的运动轨迹是C1→C2→C3，∴点C的运动路径为：(10-25)+(10-45)=20-65，所以答案是20-65．18.如图，等边△ABC的边长为6，D为BC边上的中点，P为直线BC上方的一个动点，且满足∠PAD=∠PDB，则线段CP长的最大值为 37+332．试题分析：首先证明点P在以AD为直径的⊙O上，连接OC，延长CO交⊙O于点P，此时PC最大，利用勾股定理求出OC即可解决问题．答案详解：解：∵等边△ABC的边长为6，D为BC边上的中点，∴∠ADB=90°，∴∠ADP+∠PDB=90°，∵∠PAD=∠PDB∴∠DAP+∠ADP=90°，∴∠APD=90°，∴点P在以AD为直径的⊙O上，连接OC，延长CO交⊙O于点P，此时PC最大，在Rt△CDO中，∵∠ODC=90°，DC=12BC=3，OD=12AD=332，∴OC=OD2+CD2=372，∴PC=OC+OP=372+332=37+332．∴CP长的最大值为37+332．所以答案是37+332．19.在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3．点D为平面上一个动点，∠ADB=45°，则线段CD长度的最小值为 5-2 ．试题分析：根据∠ADB=45°，AB=2，作△ABD的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小．将问题转化为点圆最值．可证得△AOB为等腰直角三角形，OB=OA=2，同样可证△OBE也为等腰直角三角形，OE=BE=1，由勾股定理可求得OC的长为5，最后CD最小值为OC-OD=5-2．答案详解：解：如图所示．∵∠ADB=45°，AB=2，作△ABD的外接圆O(因求CD最小值，故圆心O在AB的右侧)，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小．∵∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AO=BO=sin45°×AB=2．∵∠OBA=45°，∠ABC=90°，∴∠OBE=45°，作OE⊥BC于点E，∴△OBE为等腰直角三角形．∴OE=BE=sin45°•OB=1，∴CE=BC-BE=3-1=2，在Rt△OEC中，OC=OE2+CE2=1+4=5．当O、D、C三点共线时，CD最小为CD=OC-OD=5-2．所以答案是：5-2．20.如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为 3-π3 ．试题分析：由矩形的性质求出∠ABQ=120°，由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC，根据S阴影部分=S四边形ABQD-S扇形ABQ=2S△ABD-S扇形ABQ可求出答案．答案详解：解：∵当点P从点A运动到点D时，PQ=PA，∴点Q运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段PQ在平面内扫过的面积，∵矩形ABCD中，AB=1，AD=3，∴∠ABC=∠BAC=∠C=∠Q=90°．∴∠ADB=∠DBC=∠ODB=∠OBQ=30°，∴∠ABQ=120°，由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC，S△ABD=S△BQD，∴S阴影部分=S四边形ABQD-S扇形ABQ=2S△ABD-S扇形ABQ，=S矩形ABCD -S扇形ABQ=1×3-120π×12360=3-π3．所以答案是：3-π3．三．解答题(共3小题)21.圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．(1)已知：如图1，OA=OB=OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB=70°，则∠ACB=35°．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，AB=2．(2)已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小．(3)如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA=45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．试题分析：(1)利用圆的定义知A，B，C三点共圆，再利用圆周角定理求解．(2)根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解．(3)因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出D点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积．答案详解：(1)以O为圆心，OA为半径作辅助圆，如图，∵∠AOB=70°，∴∠ACB=35°，所以答案是35°．(2)连接PB，PE，如图，，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，AB=2．∴AC=4，∠BAC=60°，BC=23．∵P为Rt△ABC斜边AC中点，∴BP=12AC=2，线段AC平移到DF之后，AB=AD=PE=2，BP=AE=2，∴四边形ABPE为菱形，∵∠BAC=60°，∴∠BEA=30°，∵CF∥BD，且∠ABC=90°，∴四边形BDFC为直角梯形，∴S=12(BD+CF)×BC=12×6×23=63，(3)如图所示，当AC边沿BC方向平移2个单位至DF时，满足∠BQA=45°且此时四边形BADF的面积最大，此时直角梯形ABFD的最大面积为，S=12×(BF+AQ)×AB=12×(23+2+2)×2=4+23．22.阅读下列材料，回答问题．材料：求圆外一定点到圆上距离最小值是安徽省中考数学较为常见的一种题型，此类题型试题有时出题者将圆隐藏，故又称为“隐圆问题”．解决这类问题，关键是要找到动点的运动轨迹，即该动点是绕哪一个定点旋转，且能保持旋转半径不变．从而找到动点所在的隐藏圆，进而转换成圆外一点到圆心的距离减半径，求得最小值．解决问题：(1)如图①，圆O的半径为1，圆外一点A到圆心的距离为3，圆上一动点B，当A、O、B满足条件点B在线段AO上时，AB有最小值为2．(2)如图②，等腰△ABC两腰长为5，底边长为6，以A为圆心，2为半径作圆，圆上动点P到BC的距离最小值为2．(3)如图③，OA⊥OB，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，C是线段PQ的中点，且PQ=4，则在线段PQ滑动的过程中，求点C运动形成的路径长，并说明理由．(4)如图④，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E是AB中点，点F是BC上一点，把△BEF沿着EF翻折，点B落在点B'处，求DB'的最小值，并说明理由．(5)如图⑤，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，求PQ长的最小值，并说明理由．试题分析：(1)如图①，连接OA，OB，OA，由三角形的三边关系可得AB≤AO-BO，则当点B在线段AO上时，AB有最小值=3-1=2；(2)如图②中，过点A作AH⊥BC于H，交⊙A于P，此时点P到BC的距离最小．(3)利用直角三角形斜边中线的性质，的长OC=2，再利用弧长公式求解即可．(4)如图④中，连接DE，DB′．利用勾股定理求出DE，根据DB′≥DE-EB′，可得DB′≥217-2，由此可得结论．(5)当O、Q、P三点共线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD，分别利用三角形中位线定理可求得OD和OP的长，则可求得PQ的最小值．答案详解：解：(1)如图①，连接OA，OB，OA，在△ABO中，AB≤AO-BO，当点B在线段AO上时，AB有最小值=3-1=2，所以答案是：点B在线段AO上，2．(2)如图②中，过点A作AH⊥BC于H，交⊙A于P，此时点P到BC的距离最小．∵AB=AC=5，AH⊥BC，BC=3，∴BH=CH=12∴AH=AB2-BH2=52-32=4，∵PA=2，∴PH=AH-AP=2，∴圆上动点P到BC的距离最小值为2，所以答案是：2．(3)如图③中，连接OC．∵∠POQ=90°，PQ=4，PC=CQ，PQ=2，∴OC=12∴点C的运动轨迹是圆弧，运动路径的长=90⋅π⋅2=π．180(4)如图④中，连接DE，DB′．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AE=EB=2，AD=8，∴DE=AE2+AD2=22+82=217，∵BE=EB′=2，∴DB′≥DE-EB′，∴DB′≥217-2，∴DB′的最小值为217-2．(5)当O、Q、P三点共线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD，如图⑤中，∵AC为圆的切线，∴OD⊥AC，∵AC=8，BC=6，AB=10，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴OD ∥BC ，且O 为AB 中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD =12BC =3，同理可得PO =12AC =4，∴PQ =OP -OQ =4-3=1，∴PQ 的最小值为1．23.在矩形ABCD 中，BC =3CD ，点E 、F 分别是边AD 、BC 上的动点，且AE =CF ，连接EF ，将矩形ABCD 沿EF 折叠，点C 落在点G 处，点D 落在点H 处．(1)如图1，当EH 与线段BC 交于点P 时，求证：PE =PF ；(2)如图2，当点P 在线段CB 的延长线上时，GH 交AB 于点M ，求证：点M 在线段EF 的垂直平分线上；(3)当AB =5时，在点E 由点A 移动到AD 中点的过程中，计算出点G 运动的路线长．试题分析：(1)欲证明PE =PF ，只要证明∠PEF =∠PFE ．(2)连接AC 交EF 于O ，连接PM ，PO ．首先证明P ，M ，O 共线，再利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．(3)如图3中，由题意，点E 由点A 移动到AD 中点的过程中，点G 运动的路径是图中弧BC ．利用弧长公式，解决问题即可．答案详解：(1)证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DEF =∠EFB ，由翻折变换可知，∠DEF =∠PEF ，∴∠PEF =∠PFE ，∴PE =PF ．(2)证明：如图2中，连接AC 交EF 于O ，连接PM ，PO ．∵AE ∥CF ，∴∠EAO =∠FCO ，∵AE =CF ，∠AOE =∠COF ，∴△AEO ≌△CFO (AAS )，∴OE =OF ，∵PE =PF ，∴PO 平分∠EPF ，∵AD =BC ，AE =FC ，∴ED =BF ，由折叠的性质可知ED =EH ，所以BF =EH ，∴PE -EH =PF -BF ，∴PB =PH ，∵∠PHM =∠PBM =90°，PM =PM ，∴Rt △PMH ≌Rt △PMB (HL )，∴PM 平分∠EPF ，∴P ．M ，O 共线，∵PO ⊥EF ，OE =OF ，∴点M 在线段EF 的垂直平分线上．(3)如图3中，由题意，点E 由点A 移动到AD 中点的过程中，点G 运动的路径是图中弧BC ．在Rt △BCD 中，tan ∠CBD =CD BC=33，∴∠CBD =30°，∴∠ABO =∠OAB =60°，∴△AOB 是等边三角形，∴OA =OD =OB =OC =AB =5，∠BOC =120°，∴点G 运动的路径的长=120⋅π⋅5180=103π．所以答案是：103π．。
模型23 隐圆系列之点圆最值模型(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
模型介绍平面内一定的D和⓪O上动点M的连线中，当连线过圆心O时，线段DM有最大值和最小值。
分以下情况讨论：（设OD=d，⓪O的半径为r）点D在⓪O外时，d＞r，如图：①当D、M、O三点共线时，线段DM出现最值，DM的最大值为d+r，DM的最小值为d-r;②当点D在⓪O上时，d=r，如图：当D、O、M三点共线时，线段DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为d-r=0(即点D与点M重合）③当点D在⓪O内时，d＜r，如图当点D、O、M三点共线时，DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为|d-r|=r-d;点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题.方法：求出该定点到圆心的距离d，则最大值为d+r,最小值为|d-r|例题精讲【例1】．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点．将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△GEF．则GC长的最小值是（）A．B．C．2D．2解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点G在线段CE上时，GC的长取最小值，如图所示根据折叠可知：GE＝AE＝AB＝2．在Rt△BCE中，BE＝AB＝2，BC＝6，∠B＝90°，∴CE＝＝2，∴GC的最小值＝CE﹣GE＝2﹣2．故选：A．变式训练【变式1-1】.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝2，∠A＝45°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．解：如图，连接MC；过点M作ME⊥CD，交CD的延长线于点E．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，CD＝AB＝6，∵点M为AD的中点，∠A＝45°，∴DM＝MA＝，∠MDE＝∠A＝45°，∴ME＝DE＝DM＝1，∴CE＝CD+DE＝6+1＝7，由勾股定理得：CM2＝ME2+CE2，∴CM＝＝5；由翻折变换的性质得：MA′＝MA＝，点A′在以M为圆心，为半径的圆上显然，当折线MA′C与线段MC重合时，线段A′C的长度最短，此时A′C＝MC﹣MA′＝5﹣＝4，故答案为4．【变式1-2】．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，则点F与点C的最小距离为．解：如图取AB的中点G，连接FG．FC．GC．∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，∴＝，∵AB＝6，AG＝GB，∴AG＝GB＝3，∵AD＝9，∴＝＝，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，∴∠FAG＝∠EAD，∴△FAG∽△EAD，∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，∵DE＝3，∴FG＝1，∴点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，∵GC＝＝3，∴FC≥GC﹣FG，∴FC≥3﹣1，∴CF的最小值为3﹣1．故答案为3﹣1．【例2】.如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝24，AD⊥BC于点D，AD＝5，P是半径为3的⊙A上一动点，连结PC，若E PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为_______解：如图，连接PB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝DB＝BC＝12，∵点E为AC的中点，∴DE是△PBC的中位线，∴DE＝PB，∴当PB取最大值时，DE的长最∵P是半径为3的⊙A上一动点，∴当PB过圆心A时，PB最大，∵BD＝12，AD＝5，∴AB＝，∵⊙A的半径为3，∴PB的最大值为13+3＝16，∴DE长的最大值为8，故选：A．变式训练【变式2-1】.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，F是BD边上的一个动点，连接AF，过点B作BE⊥AF于E，在点F变化的过程中，线段DE的最小值是．解：如图，∵BE⊥AF于E，∴E在以AB为直径圆心为O的圆上，∴当O、E、D三点共线的时候线段DE最小，∵AB＝2，四边形ABCD为正方形，∴AO＝1＝OE，AD＝2，∴OD＝＝，∴段DE最小值为OD﹣OF＝﹣1．故答案为：﹣1．【变式2-2】．如图，AB是⊙O的直径，点C在半圆的中点，且BC＝4cm，点D是上的一个动点，连接BD，过C点作CH⊥BD于H，连接AH，在点D的运动过程中，AH 长度的最小值是．解：连接AC，取BC的中点T，连接AT，TH．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵点C在半圆的中点，∴＝，∴AC＝CB＝4，∵CT＝TB＝2，∴AT＝＝＝2，∵CH⊥BD，∴∠CHB＝90°，∴点H在以BC为直径的圆上运动，∵CT＝TB，∴HT＝BC＝2，∵AH≥AT﹣HT＝2﹣2，∴AH的最小值为2﹣2，故答案为：2﹣2．1．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（）A．B．C．﹣D．﹣2解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，∴∠BAP+∠DAM＝90°，∵∠ADM＝∠BAP，∴∠ADM+∠DAM＝90°，∴∠AMD＝90°，∵AO＝OD＝2，∴OM＝AD＝2，∴点M在以O为圆心，2为半径的⊙O上，∵OB＝＝＝，∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，∴BM的最小值为﹣2．故选：D．2．如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（）A．1.5B．C．D．2解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是，设所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时PA＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD＝AC＝，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴PD＝，BD＝，∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．故选：B．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为线段AB的中点，将线段BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，连接DE，则DE最大值是．解：如图，将线段BD绕点B顺时针旋转90°，得到线段BP，连接PE，PD，则DB＝PB，∠DBP＝90°，∵将线段BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，∴BC＝BE，∠CBE＝90°，∴∠CBD＝∠EBP，∴△CBD≌△EBP（SAS），∴PE＝DC，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为线段AB的中点，∴DB＝CD＝AB＝1，∴PE＝1，PB＝1，∴DP＝，∵PD+PE≥DE，∴DE≤+1，∴DE最大值为+1，故答案为：+1．4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为90°；连接CP，线段CP的最小值为﹣1．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案为：90°，﹣1．5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，BC＝10，AD是BC边上的高，E、F分别为边DC，DA上的动点，且DE：DF＝4：3，射线AE与BF相交于点M，若连接CM，则线段CM的最小值为．解：如图1，连接EF，并延长EF交边AB于点G，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，BC＝10，∴，∴AC：AB＝4：3，∴AC：AB＝DE：DF＝4：3，∴，∵∠BAC＝∠FDE＝90°，∴△BAC∽△FDE，∴∠GBE＝∠DFE，∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，∴∠DFE+∠DEF＝90°，∴∠GBE+∠DEF＝90°，∴∠BGE＝90°，∴EG是△ABE的高，∵AD是△ABE的BE边上的高，∴BM是△ABE的AE边上的高，∴BM⊥AM，∴∠AMB＝90°，∴点M在线段AB为直径的上，如图2，作以线段AB为直径的，取圆心O，连接OC交于点N，则当点O、M、C 三点共线时，线段CM的最小值，如图3，∵AB＝6，点O是圆心，∴OA＝ON＝3，∵∠BAC＝90°，AC＝8，∴，∴线段CM的最小值即，故答案为：．6．如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝3，以B为圆心，半径为1的弧交BC于M，E是线段CD上一动点，EG⊥AD，垂足为G，F是弧AM 上一动点，则EG+EF的最小值为．解：作AH⊥CD于点H是矩形．DH＝CD﹣AB＝3﹣1＝2，AH＝BC＝2．则AH＝DH，△ADH是等腰直角三角形．则∠ADC＝45°．延长BC到M使CM＝BC＝2，作MN⊥AD于点N，交CD于点K．则当E到K时，EG+EF 取得最小值．∵∠ADC＝90°，MN⊥AD，∴△DNK是等腰直角三角形，∠NKD＝∠CKM＝45°，同理△CMK是等腰直角三角形．则CK＝CM＝2，KM＝CM＝2，∴DK＝CD﹣CK＝3﹣2＝1，∴NK＝DK＝．则MN＝MK+NK＝2+＝，则EG+EF的最小值是﹣1＝．故答案是：．7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点O是AB的中点，以BC为直角边向外作等腰Rt△BCD，连接OD，当OD取最大值时，则∠ODB的度数是．解：如图，将△ODB绕点B逆时针旋转90°，得到△ECB，连接CO，EO，∵将△ODB绕点B逆时针旋转90°，得到△ECB，∴OB＝BE，OD＝CE，∠BCE＝∠BDO，∠OBE＝90°∵CE≤OC+OE∴当点O在CE上时，CE有最大值，即OD取最大值，∵BE＝OB，∠ABE＝90°∴∠BOE＝45°∵点O是AB中点，∠ACB＝90°∴CO＝BO∴∠ECB＝∠CBO，∵∠EOB＝∠ECB+∠OBC＝45°∴∠ECB＝22.5°＝∠BDO故答案为：22.5°8．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为正方形外一个动点，∠AED＝45°，P为AB中点，线段PE的最大值是．解：如图，若点E在正方形右侧，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，∵∠AED＝45°，∠ACD＝45°，∴A，C，E，D四点共圆，∵正方形ABCD的边长为2，∴OE＝OD＝BD＝，∵P为AB的中点，O是BD的中点，∴OP＝AD＝，∵PE≤OP+OE＝+，∴当点O在线段PE上时，PE＝OP+OE＝+，即线段PE的最大值为+，如图，点E在正方形ABCD上方，作斜边为AD的等腰直角△AOD，∠AOD＝90°，则点E在以O为圆心，OA为半径的圆上，∴当点P，点O，点E共线时，PE的值最大，过点O作ON⊥AB，交BA延长线于点N，∵AD＝2，AO＝DO，∠AOD＝90°∴AO＝，∠OAD＝45°，∵ON⊥AB，AD⊥AB∴∠NAO＝∠NOA＝45°∴AN＝NO＝∴PO＝＝＝∴PE最大值为+＞+，故答案为：+9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．（1）如图①，点E是AB的中点，点F是BC边上一点，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点P，求CP的最小值；（2）如图②，若点P是矩形ABCD内部一点，且∠BPC＝90°，求PD取得最小值时，BP的长；（3）如图③，若点P是矩形ABCD内部一点，且∠PAD+∠PBC＝60°，求AP+BP的最大值.解：（1）如图1，∵点E是AB的中点，∴BE＝AB＝2，由折叠知，PE＝BE＝2，∴点P是在以E为圆心，2为半径的半圆上运动，当点E，P，C共线时，CP最小，∵四边形ABCD时矩形，∴∠ABC＝90°，∴CE＝＝＝2，＝CP′＝CE﹣EP′＝2﹣2；∴CP最小（2）如图2，∵∠BPC＝90°，∴点P在以BC为直径的半圆O上运动，当点D，P，O共线时，PD最小，在Rt△COD中，CD＝4，OC＝BC＝3，∴OD＝5，∴P′D＝OD﹣OP′＝5﹣3＝2，作P′Q⊥BC于Q，∵∠OQP′＝∠BCD＝90°，∠COD为公共角，∴△OQP′∽△OCD，∴，∴，∴OQ＝，QP′＝，在Rt△BQP′中，QP′＝，BQ＝OB+OQ＝3+＝，∴BP′＝＝，∴当PD取得最小值时，BP的长为：；（3）如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CAB＝∠BAD＝90°，∴∠CAB+∠BAD＝180°，∵∠PAD+∠PBC＝60°，∴（∠CAB+∠BAD）﹣（∠PAD+∠PBC）＝120°，∴∠PAB+∠PBA＝120°，在△ABP中，∠APB＝180°﹣120°＝60°，延长BP至E，使PE＝PA，∴∠E＝∠PAE，∵∠E+∠PAE＝∠APB＝60°，∴∠E＝30°，在AB的右侧作等边三角形ABO，以O为圆心，AB为半径作圆O，则点E优弧AEC上运动，当BE为直径时，即点P在点O处时，AP+BP最大，最大为直径BE′＝2AB＝8．10．如图，已知四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．（1）如图①，当点E在AB边上时，请直接写出DE，DG的数量关系；（2）如图②，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其他条件不变．①探究（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②若AD＝4，AE＝1，求DG的最大值和最小值．解：（1）DE＝DG，理由如下：如图①，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，∵∠AEF＝∠B＝90°，∴EF∥CM，∴∠CMG＝∠FEG，∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，∴△CMG≌△FEG（AAS），∴EF＝CM，GM＝GE，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DCM≌△DAE（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，∴△EGD是等腰直角三角形，∴DE＝DG．（2）①结论成立，理由如下：如图②，连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM，∴△CGM≌△FGE（SAS），∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF，∴CM∥ER，∴∠DCM＝∠ERC，∵∠AER+∠ADR＝180°，∴∠EAD+∠ERD＝180°，∵∠ERD+∠ERC＝180°，∴∠DCM＝∠EAD，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DAE≌△DCM（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∵EG＝GM，∴DG＝EG＝GM，∴△EDG是等腰直角三角形，∴DE＝DG；②∵AE＝1，△AEF绕点A旋转，∴点E在以点A为圆心，1为半径的圆A上运动，如图③，当点A、E、D三点共线，且点E在点A的左侧时，DE最大，此时DE＝AD+AE＝4+1＝5，由①可知，DE＝DG，∴DG＝DE＝，即DG的最大值为；如图④，当点A、E、D三点共线，且点E在点A的右侧时，DE最小，此时DE＝AD﹣AE＝4﹣1＝3，由①可知，DE＝DG，∴DG＝DE＝，即DG的最小值为；综上所述，DG的最大值为，最小值为．11．（1）如图1，A、B是⨀O上的两个点，点P在⨀O上，且△APB是直角三角形，⨀O 的半径为1①请在图1中画出点P的位置；②当AB＝1时，∠APB＝30°；（2）如图2，⨀O的半径为5，A、B为⨀O外固定两点（O、A、B三点不在同一直线上），且OA＝9，P为⊙O上的一个动点（点P不在直线AB上），以PA和AB为作平行四边形PABC，求BC的最小值并确定此时点P的位置；（3）如图3，A、B是⊙O上的两个点，过A点作射线AM⊥AB，AM交⨀O于点C，若AB＝3，AC＝4，点D是平面内的一个动点，且CD＝2，E为BD的中点，在D的运动过程中，求线段AE长度的最大值与最小值．解：（1）①如图1，△APB、△AP′B是直角三角形；②在Rt△APB中，AB＝AP，∴∠APB＝30°，故答案为：30；（2）四边形PABC是平行四边形，∴BC＝AP，∴BC的最小值即AP的最小值，∵当P为OA与⊙O的交点时，AP最小，∴AP的最小值为9﹣5＝4，即BC的最小值为4；（3）连接BC，∵AM⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴BC是⊙O的直径，∵点D是平面内的一个动点，且CD＝2，∴点D的运动路径为以C为圆心，以2为半径的圆，在直角△ABC中，BC＝＝＝5，∵O是直角△ABC斜边BC上的中点，∴AO＝BC＝，∵E是BD的中点，O是BC的中点∴OE＝CD＝1，∴AE的最小值是AO﹣OE＝，最大值是AO+OE＝．12．【问题提出】（1）如图①，四边形ABCD为正方形，以BC边为直径在BC上方作半圆O，P是上一点，若AB＝6，则DP的最小值为3﹣3；【问题探究】（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，CD是中线，将△ACD 沿CD折叠，得到△ECD，点A的对应点为E，连接AE，求AE的长；【问题解决】（3）如图③是一块矩形ABCD的场地，AB＝300m，AD＝600m，D为场地的出人口，点E在AD边上，且AE＝400m．按照规划，要在矩形内修建一个小型观光台P，且满足∠APE＝90°，在BC上修建休息亭M，并要在观光台P、休息台M以及出入口D之间规划道路PM，DM，为了节约成本，要使得线段PM，DM之和最短，试求PM+DM的最小值，并说明理由．（道路的宽度忽略不计）解：（1）如图1，连接OD，交⊙O于点P，则DP最小，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，CD＝BC＝AB＝3，在Rt△COD中，OC＝＝3，CD＝6，∴OD＝＝3，∴DP＝OD﹣OP＝3﹣3，故答案为：3﹣3；（2）设CD，AE交于点F，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，由折叠得：AE＝2AF，CD⊥AE，∵∠ACB＝90°，CD是中线，∴AD＝CD，∴∠ACD＝∠CAD，∵∠AFC＝∠ACB＝90°，∴△ACF∽△BAC，∴，∴＝，∴AF＝，∴AE＝2AF＝；（3）如图2，∵∠APE＝90°，∴点P在以AE为直径的⊙O上运动，作点D关于BC的对称点G，连接OG，交BC于M，交⊙O于P，则PM+DM最小，最小值为PG的长，∵四边形ABCD是矩形，∴CG＝CD＝AB＝300，∠ADC＝90°，在Rt△ODG中，DG＝CD+CG＝600，OD＝AD﹣OA＝600﹣200＝400，∴OG＝＝＝200，∴PG＝OG﹣OP＝200﹣200，∴PM+DM的最小值为：200﹣200．。
“隐形圆”说课讲解
隐形圆圆有关问题第一讲“形”现“圆”形问题如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AB= BC = 2,点P为等腰直角三角形ABC所在平面内一点，且满足PA丄PB,则PC的取值范围是圆是高中数学中一种简单但又非常重要的曲线，近几年高考题和高考模拟题中，经常会出现一类有关圆的题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆方面的信息，而是以隐性的形式出现，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解.这类题目构思巧妙，综合性强，，充分考查了学生的数形结合、转化和化归等数学思想方法，处理这类题目关键在于能否把"隐形圆"找出来.圆作为几何图形，找“隐形圆”的一个角度可以从“形”的角度来发现.策略一由圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆例1 (1)如果圆(x —2a)2+ (y— a —3)2= 4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是________ .(2)( 2016 年南京二模)已知圆 O : x 2 + 寸=1,圆 M : (x — a)2 + (y — a + 4)2 = 1 •若圆M 上存在点P ,过点P 作圆O 的两条切线，切点为 A , B ,使得/ APB=60°则a 的取值范围为 ____________ .(3)( 2017年苏北四市一模)已知 A 、B 是圆C i : x 2 y 2 1上的动点,R ，直线 I : xcos + ysin = 2sin( + ) + 4 与圆 C : (x — m)2+6(y —掐m)2= 1均无公共点，则实数m 的取值范围是 ____________ .(5)( 2016年南通三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆G ：x12 y 2 2 , 圆AB= .3 , P 是圆 C 2：(x 3)2 (y 4)21上的动点，贝U P A PB 的取值范围是(4)若对任意C2: x m 2 y m彳m2，若圆C2上存在点P满足：过点P向圆C1作两条切线PA、PB,切点为A、B, ABP的面积为1,则正数m的取值范围是策略二由动点P对两定点A、B张角是90°( k pA k pB 1，或PA PB 0)确定隐形圆例 2 ( 1)已知圆C：(x 3)2 (y 4)2 1 和两点A( m,0)，B(m,0) (m 0),若圆上存在点P,使得/ APB=90°,贝m的取值范围是________________•(2)(海安2016届高三上期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(-1 , 0), Q(2, 1),直线I: ax by c 0其中实数a, b, c成等差数列，若点P在直线I上的射影为H,则线段QH的取值范围是______________ .(3)设m R，直线l i : x my 0与直线12 : mx y 2m 4 0 交于点P(X o,y°)，贝U x。
“隐形圆”说课讲解
“隐形圆”与圆有关问题第一讲“形”现“圆”形问题如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，点P为等腰直角三角形ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围是__________．APB C圆是高中数学中一种简单但又非常重要的曲线，近几年高考题和高考模拟题中，经常会出现一类有关圆的题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆方面的信息，而是以隐性的形式出现，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解．这类题目构思巧妙，综合性强,，充分考查了学生的数形结合、转化和化归等数学思想方法，处理这类题目关键在于能否把"隐形圆"找出来．圆作为几何图形，找“隐形圆”的一个角度可以从“形”的角度来发现．策略一由圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1（1）如果圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是________．（2）（2016年南京二模）已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则a 的取值范围为_________．（3）（2017年苏北四市一模）已知A B 、是圆221:1C x y +=上的动点，AB P 是圆222:(3(4)1C x y -+-=）上的动点，则PA PB +的取值范围是_________．（4）若对任意α∈R ，直线l ：x cos α＋y sin α＝2sin(α＋6π)＋4与圆C ：(x －m )2＋(y －)2＝1均无公共点，则实数m 的取值范围是_________．（5）（2016年南通三模）在平面直角坐标系xOy 中，圆()221:12C x y -+=，圆()()2222:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是_________．策略二 由动点P 对两定点A 、B 张角是090（1PA PB k k ⋅=-，或PA PB ⋅=0）确定隐形圆例2 （1）已知圆C ：22(3)(4)1x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)B m (0)m >， 若圆上存在点P ，使得∠APB =90°，则m 的取值范围是_________．（2）（海安2016届高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (−1，0)， Q (2，1)，直线l ：0ax by c ++=其中实数a ，b ，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上的射影为 H ，则线段 QH 的取值范围是_________．（3）设m ∈R ，直线1l ：0x my +=与直线2l ：240mx y m ---=交于点00(,)P x y ，则220002x y x ++的取值范围是_________．策略三 由圆周角的性质确定隐形圆例3 （1）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，(a +b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C 则ABC ∆面积的最大值为_________．（2）（2017年常州一模）在△ABC 中，∠C ＝45o ，O 是△ABC 的外心，若OC mOA nOB =+(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值范围是_________．策略四 由四点共圆的定理来确定隐形圆（如一个四边形的对角互补，则该四边形四点共圆）例4 设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，若a －c 与b －c 的夹角为60°，则|c |的最大值等于 ．【同步练习】1.点A ，B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且AB ＝2，若点A 从(3，0)移动到(2，0)，则AB 中点D 经过的路程为 ．2．已知O 为坐标原点，向量20(,)OB =，22(,)OC =,2(cos )CA αα=，则OA 与OB 夹角的范围为 ．3．已知直线20:l x y m -+=上存在点M 满足与两点(2,0)A -,(2,0)B 连线的斜率之积为1-，则实数m 的取值范围是 ．4．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点P (x 0，y 0)在直线x －y －2＝0上，O 为坐标原点，若圆C 上存在一点Q ，使得∠OPQ ＝30°，则x 0的取值范围是________．5．如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点(与点A ,B 不重合)，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，则线段PD 的取值范围 ．题第二讲 “数”现“圆”形解析几何中，找“隐形圆”的另一个角度可以从“数”的角度（求出其方程）来发现．策略五 直接由圆（半圆）的方程确定隐形圆例1 （1）(2016年泰州一模)已知实数a ，b ，c 满足222a b c +=，0c ≠，则2b a c-的取值范围为__________．（2）若方程3x ＋b 有解，则b 的取值范围是 ．（3）已知实数x 、y 满足x y -=，则x +y 的最大值是__________．策略六 直接由圆（半圆）的参数方程确定隐形圆例2（1） 已知,t R θ∈，则22(cos 2)(sin 2)t t θθ--+-+的取值范围是__________．（2）函数f (x02x π≤≤) 的值域是________．策略七 由两定点A 、B ，动点P 满足PA PB λ⋅=（λ是常数）,求出动点P 的轨迹方程确定隐形圆例3 已知圆22341:()()C x y -+-=和两点00(,),(,)A m B m -0()m >．若圆C 上存在点P ，使得1PA PB ⋅=，则m 的取值范围是__________．策略八 由两定点A 、B ，动点P 满足22PA PB +是定值确定隐形圆例4（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点A (0，2)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是__________．（2） （2017届盐城三模）已知A B C D ，，，四点共面，2BC =，2220AB AC +=，3CD CA =，则||BD 的最大值为 ．策略九 由两定点A 、B ，动点P 满足01PAPBλλλ=>≠(,)确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）例5（1）（2016年南通一模）在平面直角坐标xOy 中，已知点(1,0),(4,0)A B ，若直线0x y m -+=上存在点P 使得12PA PB =,则实数m 的取值范围是________．（2）（2016届常州一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线0x b +-=上，过点P 作圆O ，O 1的两条切线，切点分别为A ，B ，若满足2PB PA =的点P 有且仅有两个，则b 的取值范围_________．（3）已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为_________．例6（2017年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°5.7446） （2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．(例6)【同步练习】1．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)．P是圆C上的动点，当|P A|2＋|PB|2取最大值时，点P的坐标是．2．（2016年盐城三模）已知线段AB的长为2，动点C满足CA CBλ⋅=（λ为常数），且点C总不在以点B为圆心，1为半径的圆内，则负数λ的最大值2是__________．3．（2016年苏北四市一模）已知)1,0(A，)0,1(B，)0,(tC，点D是直线AC上的动点，若2≤恒成立，则最小正整数t的值为．AD BD4．在平面直角坐标系xOy中，M为直线x＝3上一动点，以M为圆心的圆记为圆M，若圆M截x轴所得的弦长恒为4．过点O作圆M的一条切线，切点为P，则点P到直线2x＋y－10＝0距离的最大值为．5．已知x y ∈R 、且满足22246x xy y ++=，则224z x y =+的取值范围是 ．第三讲 “隐圆”综合隐藏圆问题可以和很多知识点结合，在三角形、向量、圆锥曲线等背景的一些问题中看上去和圆无关，但却隐藏着圆． 一、三角形中的隐形圆例1（1）（2017年南京、盐城一模）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为__________．（2）（2008年高考江苏卷）若=2AB AC ，，则ABC S ∆的最大值是__________．例2 （1）在ABC ∆中，BC ＝2，AC ＝1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD (B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧)．当∠C 变化时，线段CD 长的最大值为 ．（2）在ABC ∆中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ．二、向量中的隐形圆例3 （1）已知向量a 、b 、c 满足=a ，3==⋅b a b ，若()()0--=c a c b ，则-b c 的最大值是__________．（2）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ，DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA = -2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是__________．例4 已知OA ，OB 为非零的不共线的向量，设111r OC OA OB r r=+++．定义点集{|}||||KA KC KB KCM K KA KB ⋅⋅==．当1K 、2K M ∈时，若对任意的2r ≥，不等式12||||K K c AB ≤恒成立，则实数c 的最小值为__________．例5 （2014年常州高三期末卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2216:O x y +=，点P 12(,)，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且0PM PN ⋅=，若PQ PM PN =+，则PQ 的最小值为__________．三、圆锥曲线中的隐形圆例6 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1O ，圆2O 均与x 轴相切且圆心1O ，2O 与原点O 共线，1O ，2O 两点的横坐标之积为6，设圆1O 与圆2O 相交于P ，Q 两点，直线l ：280x y --=，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为__________．例7 设椭圆E ：x 28＋y 24＝1，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A ，B ，且OA ⊥OB ？【同步练习】1． 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为_________．2．已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m ，0)，存在C 上的点P 和l 上 的点Q 使得AP ＋AQ ＝0，则m 的取值范围为 ．3．已知圆()22:11C x y -+=，点(3,0)D ，过动点P 作圆C 的切线PQ ，切点为Q ，若PD =，则△PCD 面积的最大值为__________．4．设点,A B 是圆224x y +=上的两点，点(1,0)C ，如果90ACB ∠=，则线段AB 长度的取值范围为__________．精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢215．已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足2133AQ AP AC =+，则BQ 的最小值是__________．。
巧抓“隐圆” 妙解“最值”
巧抓 隐圆 ㊀妙解 最值李国林(江苏省溧水高级中学㊀２１１２００)摘㊀要: 数形结合 是高中阶段解决问题重要思想之一ꎬ是探究问题的 影像师 ꎬ在高中数学体系中有着举足轻重的作用ꎬ本文从 形 的角度认知各种代数问题ꎬ呈现动点的运动状态ꎬ抓住关键位置ꎬ求出最值ꎬ减少计算量ꎬ让学生体会数形结合思想及其内涵.关键词:隐圆ꎻ最值ꎻ数形结合中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００１８－０２收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:李国林(１９８１－)ꎬ男ꎬ安徽人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁三角形中的隐圆例１㊀(０８年ꎬ江苏１３题)满足条件ＡＢ＝２ꎬＡＣ＝２ＢＣ的әＡＢＣ的面积的最大值是.分析㊀本题从看 数 的角度观察ꎬ这是一道三角题ꎬ涉及边长关系㊁余弦定理㊁面积公式等ꎬ计算时计算量偏大.若从 形 的角度观察ꎬＡＢ＝２可以定ＡꎬＢ点坐标ꎬＡＣ＝２ＢＣ可得到Ｃ点轨迹ꎬ进而可发现三角形的高.图１解㊀建立如图的直角坐标系ꎬＡ(－１ꎬ０)Ｂ(１ꎬ０)ꎬＣ(ｘꎬｙ).由ＡＣ＝２ＢＣꎬ得点Ｃ的轨迹方程(ｘ－３)２＋ｙ２＝８ꎬ所以Ｓｍａｘ＝１２ＡＢ ２２＝２２.点评㊀我们抓住题目中的条件ＡＣ＝２ＢＣꎬ把 数 的问题转化为 形 的问题ꎬ从代数式中发现点Ｃ的轨迹是一个阿波罗尼斯圆ꎬ以形助数ꎬ回避了三角形中的正弦定理㊁余弦定理等方法ꎬ得到了便捷的解法.实际上ꎬ本题的条件ＡＣ＝２ＢＣꎬ改成ＡＢң ＡＣң＝１或者ＡＢ２－ＡＣ２＝６ꎬ都可以得到Ｃ点的轨迹是一个圆ꎬ学生如果能在解题中及时发现 圆 ꎬ将会大大提高解题速度.无独有偶ꎬ利用这一结论ꎬ很容易求解２０１７年高考数学江苏卷１３题.例２㊀在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ已知点Ａ(－１２ꎬ０)ꎬＢ(０ꎬ６)ꎬ点Ｐ在圆ｘ２＋ｙ２＝５０上ꎬ且ＰＡң ＰＢңɤ２０ꎬ则点Ｐ的横坐标的取值范围是.解㊀根据条件ＰＡң ＰＢңɤ２０可知ꎬ点Ｐ的轨迹是一个圆及其内部ꎬ这样原问题就转化为求圆Ｏ与这个圆及其内部的公共部分的横坐标的范围问题ꎬ根据图象可得到答案为[－５２ꎬ１].例３㊀在әＡＢＣ中ꎬＡꎬＢꎬＣ所对的边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ若ａ２＋ｂ２＋２ｃ２＝８ꎬ则әＡＢＣ面积的最大值为.图２分析㊀类比上题的想法ꎬ也可以ＡＢ所在直线为ｘ轴ꎬＡＢ中垂线为ｙ轴解㊀建立平面直角坐标系ꎬ设Ｃ(ｘꎬｙ)ꎬ又Ａ(－ｃ２ꎬ０)ꎬＢ(ｃ２ꎬ０)ꎬ则化简整理得到ｘ２＋ｙ２＝４－５４ｃ２ꎬ即点Ｃ在以Ｏ为圆心ꎬ４－５４ｃ２为半径的圆上运动(去除与直线ＡＢ的两个交点)ꎬ所以әＡＢＣ面积的最大值为１２２ｃ ４－５４ｃ２＝ｃ２ (４－５４ｃ２)ɤ４５５.㊀点评㊀本题抓住所给条件是一个二次形式ꎬ以这样对称形式建系可得到较简单的 圆 的形式ꎬ回避了大量解三角形的运算ꎬ优化了解题过程ꎬ进而降低了本题难度.实际上ꎬ对于两个不同的定点ＡꎬＢꎬ若动点Ｐ满足ＰＡ２＋ＰＢ２＝ＡＢ２ꎬ对则点Ｐ的轨迹是以ＡＢ为直径的一个圆ꎬ类比这个结论ꎬ我们自然会想到:若ＰＡ２＋ＰＢ２＝ｍ２(ｍ>０)ꎬ则点Ｐ的轨迹是什么?点Ｐ的轨迹是一个圆ꎬ证明如下:以ＡＢ所在直线为ｘ轴ꎬ中垂线为ｙ轴ꎬ建立平面直角坐标系ｘＯｙꎬ不８１妨设ＡＢ＝２ａ(ａ>０)ꎬＰ(ｘꎬｙ)则Ａ(－ａꎬ０)ꎬＢ(ａꎬ０).ȵＰＡ２＋ＰＢ２＝ｍ２(ｍ>０)ꎬʑｘ２＋ｙ２＝１２ｍ２－ａ２＝１２ｍ２－ＡＢ２４.㊀我们得到ꎬ若ｍ>２２ＡＢ时ꎬ点Ｐ的轨迹以中点为圆心ꎬ半径为１２ｍ２－１４ＡＢ２的一个圆.㊀㊀二㊁已经建立坐标系中的特殊条件１.平面内有一定点ꎬ若一个动点到该定点的距离为常数ꎬ那么该动点的轨迹是 圆例４㊀如图ꎬ已知ＡꎬＢ是圆Ｏ:ｘ２＋ｙ２＝１上的动点ꎬ且ＡＢ＝２ꎬ点Ｐ是直线ｌ:ｘ＋ｙ－２＝０上的动点ꎬ则ＰＡң＋ＰＢң的最小值为.图３分析㊀由向量的中线定理ꎬ知ＰＡң＋ＰＢң＝２ＰＭң(ＡＢ的中点为Ｍ)ꎬ目标可变为求ＰＭң的最小值.由于点ＰꎬＭ是动点ꎬ导致代数计算ＰＭң的量很大.解㊀弦ＡＢ＝２为定长ꎬ当ＡＢ在圆Ｏ上运动时ꎬＯＭ为定值(ＯＭ＝ｒ２－(ＡＢ２)２＝２２).因此ꎬ点Ｍ的轨迹是以Ｏ为圆心ꎬＯＭ为半径的隐形圆.这样ꎬ就控制了点Ｍꎬ原问题就转化为圆上一点到直线上点距离的最小值问题ꎬ求得最小值为２.点评㊀可以看到ꎬ从 形 入手ꎬ会使解题过程非常顺畅ꎬ该问题解决的关键点是挖掘动点Ｍ的轨迹是一个隐形圆.本题的关键是分析蕴含的几何条件ꎬ发掘其中的隐形圆ꎬ使问题的解决有了实质性的突破.２.平面内有两个定点ꎬ若一动点到这两个两定点的连线彼此垂直ꎬ那么该动点的轨迹是 圆例５㊀在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ直线ｌ１:ｋｘ－ｙ＋２＝０与直线ｌ２:ｘ＋ｋｙ－２＝０相交于点Ｐꎬ则当实数ｋ变化时ꎬ点Ｐ到直线ｌ３:ｘ－ｙ－４＝０的距离的最大值为.分析㊀这是一道解析几何题ꎬ其常规思路是先联立直线ｌ１ꎬｌ２ꎬ进而求得交点Ｐ的坐标ꎬ再求Ｐ到直线ｌ３最大值ꎬ运算繁冗.由于参量ｋ不定ꎬ进而点Ｐ为动点ꎬ若能依据条件求得点Ｐ的轨迹ꎬ则问题转化为曲线上动点Ｐ到定直线的距离的最大值.解㊀直线ｌ１过定点Ａ(０ꎬ２)ꎬ直线ｌ２过定点Ｂ(２ꎬ０)ꎬ且ｌ１ʅｌ２ꎬ所以ＰＡʅＰＢꎬ进而得到点Ｐ的轨迹是以ＡＢ为直径的圆ꎬ这个圆的方程是(ｘ－１)２＋(ｙ－１)２＝２ꎬ故Ｐ到直线ｌ３的最大距离为３２.点评㊀由于直线ｌ１ꎬｌ２处于运动状态ꎬ我们从动态中发掘出不动点ＡꎬＢꎬ这一策略的关键点是根据ＰＡ与ＰＢ的垂直关系挖掘出点Ｐ的轨迹是以ＡＢ为直径的隐形圆.３.求动点的轨迹方程为隐含圆例６㊀在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝１－ｔ２１＋ｔ２ꎬｙ＝２ｔ１＋ｔ２ìîíïïïï(ｔ为参数)ꎬ以坐标原点Ｏ为极点ꎬｘ轴的非负半轴为极轴建立极坐标系ꎬ直线ｌ的极坐标方程为ρｃｏｓθ－ρｓｉｎθ－２＝０ꎬ求Ｃ上的动点Ｐ到直线ｌ距离的最小值.分析㊀本题为参数方程与极坐标的结合ꎬ直线ｌ化为普通方程后为定直线ꎬ点Ｐ的横纵坐标是有联系的ꎬ若能利用这个联系ꎬ就能简化运算了.解㊀因为ｘ２＋ｙ２＝１－２ｔ２＋ｔ４(１＋ｔ２)２＋４ｔ２(１＋ｔ２)２＝１又ｘʂ－１ꎬ所以动点Ｐ在圆上(去除一个点)运动ꎬ又直线ｌ化为普通方程为ｘ－ｙ－２＝０.所以动点Ｐ到直线ｌ距离的最小值０＋０－２２－１＝２－１.点评㊀若从函数角度先表示距离ꎬ整个计算量较大ꎬ抓住点Ｐ横纵坐标的内在规律ꎬ考虑曲线Ｃ的轨迹ꎬ从 形 的角度来处理ꎬ让我们解题事半功倍.总之ꎬ本文主要阐述隐含圆的发掘及其在解题中的作用.所述例题的特点都是题设条件涉及一个或多个动点ꎬ结论则需要求一条线段长度的范围或最值ꎬ从数的角度看ꎬ最终都要依靠函数㊁方程或不等式的知识来解决ꎬ且都有较大的运算量.这促使我们转换解题的视角和入口ꎬ将 数 的问题转化为 形 的问题ꎬ运用轨迹思想寻求动点的规律ꎬ从而发掘隐含圆ꎬ进而获得问题的最优解决方案.这需要我们学生能经常做一些积累ꎬ形成良好的知识网络.㊀㊀参考文献:[１]李忠良.寻找一些隐含着的圆[Ｊ].中学数学教学参考(上旬)ꎬ２０１７(１０):３６－３８.[２]徐颖.巧找隐圆ꎬ解决线段范围问题[Ｊ].中学数学月刊ꎬ２０１８(２):５０－５１.[责任编辑:李㊀璟]９１。
“隐圆”最值问题说课材料
隐圆”最值问题隐圆”最值问题分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x轴、y轴交于点A、B两点，点C在A y轴的左边，且/ ACB = 90 ,则点C的横坐标x c的取值范围是c 【练】（201$ 2014六中周练16）如图，已知Rt△ ABC中，/ ACB =90° AC = 3，BC = 4,点D是AB的中点，E、F分别是直线AC、Bf上的动点，/ EDF = 90 °贝U EF长度的最小值是 _________ .【例2】如图，在Rt△ ABC中，/ ACB = 90 ；D是AC的中点,M是BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M是BD的中点），若AC = 4，BC = 3,那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是________________ :【练】已知△ ABC和△ ADE都是等腰直角三角形，/ ACB =ZADE=90 ° AC = 2血，AD = 1，F是BE的中点，若将△ ADE绕点A旋转一周，则线段AF长度的取值范围是 ________ .AE【例3】如图，已知边长为2的等边△ ABC，两顶点A、B分别在平面直角 C 坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点长的最大值是（）B. 1C. 1 + 3【练1】如图，在矩形ABCD中，AB = 2直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC【练2】（2013武汉中考16）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE = DF，连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H，若正方形的长为2,则线段DH长度的最小值是____________ .【例4】如图，/ XOY = 45 : 一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，其中AB = 10,那么点O到AB的距离的最大值为 ____________ :【练】（20102014二中、七一九上期中16）已知线段AB = 4,在线段AB上取一点P,在AB的同侧作等边△ APC和等边△ BPD,则线段CD的最小值为__________ .【例5】已知A （2, 0）, B （4, 0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当/ ACB最大时，则点C的坐标为__________ .【练】当你站在博物馆的展厅中时，你知道站在何处观赏最理想吗? 如图，设墙壁上的展品最高点P距底面2.5米，最低点Q距底面2米，观察者的眼睛E距底面1.6米，当视角/ PEQ最大时，站在此处观赏最理想，则此时E到墙壁的距离为（）A . 1 米B. 0.6米C. 0.5米D. 0.4米【课外提升】1. （2010 河南）如图，Rt △ ABC 中，/ C = 90,° / ABC = 30 , AB = 6,点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点 B 、C 重合），且DA =DE ,则AD 的取值范围是（）4.已知点A 、B 的坐标分别是（0, 1）、（ 0，3）,点C 是x 轴正半轴上一动点，当 / ACB 最大时，点C 的坐标为 ___________ . 2.2 < AD < 3D 1 WAD < 2（2012济南）如图，矩形 ABCD 中，AB = 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动时，矩形OD 的最大值为（）A . 2+ 1B . 5C .书3. （2013-2014 黄陂区九上期中 10）在厶ABC 中，/ ACB = 90，/ ABC p=30°,将厶ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为 （0° < X 180 ），得C 到厶MNC , P 、Q 分别是AC 、MN 的中点，AC = 2t ，连接PQ ,则旋转时PQ 长度的最大值是（）A . 2 6t B. 2 3tC . 6tD . 3t MQN。
第2讲隐性圆问题课时讲义
第2讲 隐性圆问题 课时讲义1. 在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足PA ＝λPB ，当λ>0且λ≠1时，点P 的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆．2. 在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足PA →·PB →＝l(或PA 2＋PB 2是定值)，则点P 的轨迹是个圆．1. 已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________．答案：52. 若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0关于直线3x ＋y ＋m ＝0对称，则实数m 的值为________． 答案：1解析：若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0关于直线3x ＋y ＋m ＝0对称，则圆心在直线3x ＋y ＋m ＝0上．又圆心坐标为(－1，2)，故3×(－1)＋2＋m ＝0，解得m ＝1.3. (2018·启东调研测试)在平面直角坐标系xOy 中，与两定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为12的点的轨迹是曲线C ，若以直线y ＝k(x －3)上任意一点P 为圆心，半径为1的圆与曲线C 始终没有公共点，则实数k 的取值范围是________.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－377∪⎝⎛⎭⎫377，＋∞ 解析：设曲线C 上一点Q(x ，y)，满足QO QA ＝12，化简得曲线C ：(x ＋1)2＋y 2＝4.因为没有公共点，所以 PQ>r 1＋r 2，即PQ>3恒成立，所以PQ min >3, 所以|－k －3k |k 2＋1>3，得k ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－377∪⎝⎛⎭⎫377，＋∞. 4. (2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为________．答案：－43解析：设N(a ，－ka －3)是直线kx ＋y ＋3＝0上一点，其关于x 轴的对称点M(a ，ka ＋3)在圆上，则(a －2)2＋(ka ＋1)2＝1，化简可得(k 2＋1)a 2＋(2k －4)a ＋4＝0有解，则Δ≥0，得－43≤k ≤0，所以k 的最小值为－43., 一) 阿波罗尼斯圆, 1) (2018·溧水高级中学)已知P 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝5上任意一点，异于点A(2，3)的定点B 满足PB PA为常数，则点B 的坐标为________． 答案：⎝⎛⎭⎫32，32解析：设P(x ，y)，B(x 0，y 0)，PB PA＝λ，由(x －1)2＋y 2＝5，可得x 2＋y 2＝4＋2x ①，(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝λ2[(x －2)2＋(y －3)2] ②，由①②得(2－2x 0)x －2y 0y ＋x 20＋y 20＋4＝－2λ2x －6λ2y ＋17λ2，可得⎩⎪⎨⎪⎧2－2x 0＝－2λ2，－2y 0＝－6λ2，x 20＋y 20＋4＝17λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，y 0＝32，λ2＝12，所以B 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，32.(2017·启东中学检测)在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1，0)，B(1，0)．若动点C 满足AC ＝2BC ，则△ABC 的面积的最大值是________．答案：22解析：设满足条件AC ＝2BC 的C 点坐标为(x ，y)，则(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋2y 2，化简得(x －3)2＋y 2＝8.其中y ≠0，从而S ＝12×2×|y|≤22， 所以△ABC 的面积的最大值是2 2., 二) 距离平方和为定值的隐性圆, 2) (2017·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A(－1，0)，B(1，2)．(1) 若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2) 在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．解：(1) 圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C(2，0)，半径为2.因为l ∥AB ，A(－1，0)，B(1，2)，所以直线l 的斜率为2－01－（－1）＝1. 设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－0＋m|2＝|2＋m|2. 因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋(MN 2)2，所以4＝（2＋m ）22＋2， 解得m ＝0或m ＝－4， 故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2) 假设圆C 上存在点P ，设P(x ，y)，则(x －2)2＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4.因为|2－2|<（2－0）2＋（0－1）2<2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以圆C 上存在点P ，且满足条件的点P 的个数为2.(2018·苏锡常镇调研二)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2，点A(2，0)．若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2≤10，则点M 的纵坐标的取值范围是________．答案： ⎣⎡⎦⎤－72，72 解析：设M(x ，y)，因为MA 2＋MO 2≤10，所以(x －2)2＋y 2＋x 2＋y 2≤10，化简得x 2＋y 2－2x －3≤0，则圆C ：x 2＋y 2＋2x －1＝0与圆C′：x 2＋y 2－2x －3＝0有公共点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为x ＝－12，代入x 2＋y 2－2x －3≤0可得－72≤y ≤72，所以点M 的纵坐标的取值范围是⎣⎡⎦⎤－72，72., 三) 向量积为定值的隐性圆, 3) 已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ<0)，且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是________． 答案：－34思路分析：建立直角坐标系，以线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y轴．动点C 的轨迹为圆C(或为一点，可视为点圆)，欲使点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，也就是两圆外切或外离，或者圆B 内切或内含于圆C ，再根据圆心距与半径的关系求解即可．解析：以线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设点C(x ，y)，则x 2＋y 2＝λ＋1，且－1≤λ<0.当两圆外切或外离时，OB ＝1≥λ＋1＋12，解得λ≤－34；圆B 内切或内含于圆C 时，OB ＝1≤λ＋1－12，解得λ≥54(舍去)，故负数λ的最大值是－34.(2018·淮安期中)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1，0)，B(1，0)均在圆C ：(x－3)2＋(y －4)2＝r 2外，且圆C 上存在唯一一点P 满足AP ⊥BP ，则半径r 的值为________． 答案：4解析：因为点P 满足AP ⊥BP ，所以点P 在以AB 为直径的圆O ：x 2＋y 2＝1上．因为圆C 上存在唯一一点P ，所以圆O ：x 2＋y 2＝1与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝r 2内切或外切，所以OC ＝|r －1|或OC ＝r ＋1，解得r ＝6或4.因为点A(－1，0)，B(1，0)均在圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝r 2外，所以0＜r 2＜20，所以半径r 的值为4.1. (2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d 为点P(cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为________．答案：3解析：∵ cos 2θ＋sin 2θ＝1，∴ P 为以原点为圆心的单位圆上一点，而直线x －my －2＝0过点A (2，0)，∴ d 的最大值为OA ＋1＝2＋1＝3.2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1) 若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2) 若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1) 由题设知，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过点A(0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2) 因为圆心在直线y ＝2x －4上，设C(a ，2a －4)，所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x ，y)在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1， 即1≤a 2＋（2a －3）2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围是[0，125]．(本题模拟高考评分标准，满分16分)(2017·南通二调)一缉私艇巡航至距领海边界线l (一条南北方向的直线)3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．(1) 若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；(参考数据：sin 17°≈36，33≈5.744 6) (2) 问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．解：(1) 如图，设缉私艇在点C 处拦截到走私船．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝4，设BC ＝a ，AC ＝3a .(2分)由正弦定理，得sin ∠BAC a ＝sin 120°3a， 所以sin ∠BAC ＝36. 因为B ＝120°，所以∠BAC 为锐角，从而∠BAC ≈17°.从而缉私艇应向北偏东47°方向追击．(5分)由余弦定理，得(3a )2＝42＋a 2－2×4a cos 120°，即2a 2－a －4＝0，解得a ＝1＋334≈1.7(负值舍去)．点B 到l 的距离为3.8－4×sin 30°＝1.8，而a ＜1.8，所以点C 在领海内．答：缉私艇的追击方向应为北偏东47°.(8分)(2) 如图，以点A 为原点，正北方向为y 轴正方向，1海里为1个单位长度，建立平面直角坐标系xAy ，则A (0，0)，B (2，23)，直线l 的方程为x ＝3.8.设缉私艇在点P (x ，y )处拦截到走私船．由AP ＝3BP ，得x 2＋y 2＝9[(x －2)2＋(y －23)2]．整理，得(x －94)2＋(y －934)2＝94.(12分) 点P 的轨迹是以M (94，934)为圆心，半径r ＝32的圆． 圆心M 到直线l 的距离d ＝3.8－94＝1.55＞r ， 所以直线l 与圆M 相离，即点P 总在领海内．(15分)答：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．(16分)1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B.若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－203，4 解析：设P(x ，y)，因为PB ＝2PA ，所以PB 2＝4PA 2，即PO 21－4＝4PO 2－4，故PO 21＝4PO 2，所以(x －4)2＋y 2＝4x 2＋4y 2，即3x 2＋3y 2＋8x ＝16，故点P 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫－43，0为圆心，半径为83的圆．又点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，且符合要求的点P 有且只有两个，故直线与圆相交，即d ＝⎪⎪⎪⎪－43－b 2<83，得b ∈⎝⎛⎭⎫－203，4. 2. 已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l ：x －y ＋10＝0上．(1) 若动圆C 过点(－5，0)，求圆C 的方程．(2) 是否存在正实数r ，使得动圆C 中满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且只有一个？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．解：(1) 依题意，设圆心C(a ，b)．则动圆C 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝25，其中圆心C(a ，b)满足a －b ＋10＝0.因为动圆过点(－5，0)，故(－5－a)2＋(0－b)2＝25.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋10＝0，（－5－a ）2＋（0－b ）2＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－10，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝5， 故所求的圆C 方程为(x ＋10)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25.(2) 圆O 的圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|10|1＋1＝5 2. 当r 满足r ＋5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相切的圆；当r 满足r ＋5＝d 时，即r ＝52－5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切；当r 满足r ＋5＞d 时，与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有两个．综上，当r ＝52－5时，动圆C 中满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且只有一个．3. 已知圆C 过点P(1，1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1) 求圆C 的方程；(2) 设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值．解：(1) 设圆心C(a ，b)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0. 则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 21，将点P 的坐标代入，得r 21＝2.故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2) 设Q(x ，y)，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.设x ＋y －2＝t ，则直线x ＋y －2－t ＝0与圆x 2＋y 2＝2有公共点，∴ |－2－t|2≤2，解得－4≤t ≤0， ∴ PQ →·MQ →的最小值为－4.请使用“课后训练·第21讲”活页练习，及时查漏补缺！。
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“隐圆”最值问题
B
M
C
D
A
E
F
D
C
B
A
B
D
C
F
A
“隐圆”最值问题
分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题。
【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在
y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________．
【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC
上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________．
【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始
终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________．
【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC = 22，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A
旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是 ．
【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角 坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 长的最大值是（ ）
A ．2
B ．1
C ．3
D ．3
【练1】如图，在矩形ABCD 中，AB = 2，BC 3，两顶点A 、B 分别在平面 直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC
长的最大值为_________．
【练2】（2013·武汉中考·16）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，
满足AE = DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形的边
长为2，则线段DH长度的最小值是__________．
【例4】如图，∠XOY = 45°，一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在
OX、OY上移动，其中AB = 10，那么点O到AB的距离的最大值为__________．
【练】（2013-2014·二中、七一九上期中·16）已知线段AB = 4，在线段AB上取一点P，在AB的同侧作等边△APC和等边△BPD，则线段CD的最小值为_________．
【例5】已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，则点C的坐标为__________．
【练】当你站在博物馆的展厅中时，你知道站在何处观赏最理想吗？
如图，设墙壁上的展品最高点P距底面2.5米，最低点Q距底面
2米，观察者的眼睛E距底面1.6米，当视角∠PEQ最大时，站
在此处观赏最理想，则此时E到墙壁的距离为（）
A．1米 B．0.6米 C．0.5米 D．0.4米
N
M
B
Q
C
P
A
【课外提升】
1．（2010·河南）如图，Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠ABC = 30°，AB = 6， 点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA = DE ，则AD 的取值范围是（ ）
A ．2 < AD < 3
B ．2 ≤ AD < 3
C ．2 ≤ A
D ≤ 3 D ．1 ≤ AD < 2
2．（2012·济南）如图，矩形ABCD 中，AB = 2，AD = 1，当A 、B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动时，矩形ABCD OD 的最大值为（ ）
A
．
C
．5
2
3．（2013-2014·黄陂区九上期中·10）在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠ABC
= 30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0° < θ < 180° ），得
到△MNC ，P 、Q 分别是AC 、MN 的中点，AC = 2t ，连接PQ ，则旋转时 PQ 长度的最大值是（ ）
A ．
B ．
2 C
D ．3t
4．已知点A 、B 的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C 是x 轴正半轴上一动点，当∠ACB 最大时，点C 的坐标为__________．。