流体力学-公式

随体倒数

()D u D t

t

ααα∂=

+⋅∇∂

()()

u u i v j w k i j k u v w x y z x y z ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⋅∇=++⋅++=++ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭

雷诺输运定理：对系统的随体倒数求法

[()][

)]V

V

k V V

k

D dv u dv D t t D

dv u dv

D t

t

x φφφφφφ∂=+∇⋅∂∂∂

=

+∂∂⎰⎰⎰⎰

（

ij

i j

e e δ=⋅ ()i j k i jkl l jkl il jki ijk

e e e e e εεδεε⋅⨯=⋅===

i j ijk k

e e e ε⨯= ()()()()

i j i j i j i j i i

e e e e x x x x x x φ

φφφ∂∂∂∂∂∂∇⋅∇=⋅=⋅=∂∂∂∂∂∂ ()i i

i i

e e x x φφφ∂∂∇==∂∂ ()i i j j i i

a a e a e x x ⎛⎫∂∂∇⋅=⋅=

⎪∂∂⎝⎭

()()j j k

i j j i j ijk k ijk i

i i i j

a a a a e a e e e e e x x x x εε∂∂∂∂∇⨯=⨯=⨯==∂∂∂∂

1、i

j u x ⎡⎤

∂⎢

⎥∂⎢⎥⎣⎦

：速度梯度张量 应变率张量：表示微团的变形运动

1122112211

22ij u u v u w x

y x z x v u v v w s x y y

z y w u w v w x z y z z ⎛⎫

⎛⎫

∂∂∂∂∂⎛⎫++ ⎪

⎪

⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ⎪

⎪

⎛⎫

⎛⎫

∂∂∂∂∂

⎪=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪

⎝⎭⎝⎭ ⎪

⎛⎫

∂∂∂∂∂⎛⎫

⎪

++ ⎪

⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭

⎝⎭

⎝

⎭

旋转张量：表示旋转

3231

210

0 0ij a ωωωωωω-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

－

质量守恒：

()0k k

u t x ρρ∂∂+=∂∂

0k k

u D D t

x ρρ

∂+=∂

第二那诺雷诺输运定律：

V

V

D D dv dv D t

D t

αραρ=

⎰

⎰

动量守恒定律：() u u u f

t

ρ

ρρ∂+⋅∇=∇⋅+∂σ

ij i i j

D u f D t

x σρ

ρ∂=

+∂

ij i i j

i j

j

u u u f t

x x σρ

ρρ∂∂∂+=

+∂∂∂ D u f D t

ρ

ρ=∇⋅+σ

能量守恒定律：()1 2i i i j ij i i i

i q D e u u u u f D t x x ρ

σρ∂∂⎛⎫

+=+- ⎪∂∂⎝⎭

231a ω=-312

a ω=-123a ω=-ij ijk k

a εω=-

内能守恒：j i k

ij

k

i

i

u q e e u t

x x x ρ

ρσ∂∂∂∂+=-

∂∂∂∂

N －S 方程：2

2

j j j j

i

Du u p f Dt

x x ρ

μ

ρ∂∂=-

++∂∂ （0μ=时为欧拉方程）

内能方程：k

k j j

u D e

T

p k

D t x x x ρφ⎛⎫

∂∂∂=-++ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭

φ为耗损函数，表示流体变形时粘性应力对单位体积流体的作功功率

内能方程其他形式：j j

D s

T

T k

D t x x ρφ⎛⎫∂∂=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭

j j D h D p T k D t D t x x

ρφ⎛⎫

∂

∂=++ ⎪ ⎪∂∂⎝

⎭

注意这里：11

Tds de pd dh dp ρρ⎛⎫=+=-

⎪

⎝⎭

基本方程组： ()2

0 k k

j j k i j j j k i j i k k k j j k u t x D u u u u p f D t x x x x x x u u D e T p k D t x x x x ρ

ρρλμρρλ∂∂+=∂∂⎡⎤⎛⎫∂⎛⎫∂∂∂∂∂=-++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=-++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭()(), ,j j i j i i u u u x x x p p T e e T μρρ⎛⎫∂∂∂++ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭== ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎨⎪⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪⎪⎩

液液分界面条件：(1)(2)12110nn nn R R σσσ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭

(1)(2

n n ττσσ= 自由面的运动学边界条件： (,,,)0F x y z t = 0D F D t

=

定律

()

()

i i C t C t D u D D u dr dx D t

D t

D t

Γ=

⋅=

⋅⎰

⎰

对任何流体都成立

正压流体即 密度仅仅是压力的函数：

p

dp

ρ

ρ

∇=∇⎰