中考专题方程思想

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“方程思想和函数思想”在中考中的运用

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“方程思想和函数思想”在中考中的运用
作者：王晨
来源：《中学生数理化·中考版》2013年第06期
方程思想是指运用适当的数学语言，从数学问题的数量关系出发，将此问题中的条件转化为各种数学模型，然后运用方程或不等式的性质来求解，而函数思想是指构造函数继而利用函数的性质去处理问题，整理出函数解析式和灵活运用函数的性质是把握函数思想的关键，函数和方程思想在处理生活中实际问题时有着广泛的运用，因此各类综合应用、情景问题、几何计算、探究问题都要用到本专题涵盖的内容。

函数与方程思想在初中数学解题中的应用

函数与方程思想在初中数学解题中的应用张猛【内容提要】：函数与方程思想是初中数学中的基本思想。

它们密切相关，有时需要互相转化来解决问题。

本文对初中数学中的函数与方程思想的内涵作了探讨，并结合一些具体案例说明了函数与方程思想在初中数学解题中的应用。

关键词：函数；方程；函数与方程思想应用案例数学知识可以记忆一时，但数学思想和方法却随时随地发挥作用，使人受益终身。

近年来中考考纲已明确提出不仅要考察学生的数学知识和思维能力，还要考察学生思想方法的运用能力。

其中，函数与方程思想是众多考试考查的最基本的数学思想方法之一。

学生仅仅学习了函数与方程的知识是不够的，应通过解题和对解题过程的反思来领悟函数与方程思想。

一：函数与方程思想的地位与作用函数与方程思想，简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。

在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数性质做工具进行分析，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题。

用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程，研究方程的根有什么要求。

函数与方程思想在解题过程中有着密切的联系。

目前初中阶段主要数学思想有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，化归与转化思想、图形运动思想、数学模型思想。

函数与方程思想，既是函数与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数，相等与不等过程中的基本数学思想。

本文例析函数与方程思想在解题中的应用:二：函数与方程思想的应用案例通过整理与归纳，可以发现，在数学解题中，函数与方程思想常用于以下几类问题的解决。

1 求代数式的值例1 已知22a b ==+求22(3124)(2813)a a b b -+-+的值。

解：因为24,1,,410a b ab a b x x +==-+=所以为方程的两个根。

当x a =时，2410.a a -+=可得2231243(41)11a a a a -+=-++=；当x b =时，222410.28132(41)1111b b b b b b -+=-+=-++=可得∴ 原式=1⨯11=11。

2021年中考数学复习精讲课件专题3 方程、函数思想 - 副本

精讲释疑
重重点点题题型型
题组训练
题型一用方程思想解决实际问题
例1.欣欣服装店某天用相同的价格a(a＞0)卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是( B )
A．盈利
B．亏损
C．不盈不亏
D．与售价a有关
重重点点题题型型
题组训练
【解析】列一元一次方程求出两件衣服的进价，进而求出总盈亏．设第一件衣服的进价为x元，依题意得：x(1＋20%)＝a，设第二件衣服的进价为y元，依题意得：y(1－20%)＝a，得出x(1 ＋20%)＝y(1－20%)，整理得：3x＝2y，该服装店卖出这两件服装的盈利情况为：0.2x－0.2y＝0.2x－0.3x＝－0.1x，即赔了 0.1x元．
DF，EF.若∠EFD＝90°，则 AE 长为( B )
A．2 B． 5
C．3 2 2
D．3
3 2
重点题型
题题组组训训练练
4．(2020·咸宁)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F. (1)求证：BF＝DF； (2)若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
14×40)×20%，解得：a≤95 .答：a 的最大值为95 .
重点题型
题题组组训训练练
1．(2020·牡丹江)某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打__8__折．
重点题型
题题组组训训练练
2．(2020·湘西州)某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为 20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个． (1)求口罩日产量的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？

2022年全国中考试卷解析版分类汇编-等式的性质,方程的有关概念,方程的解

2022年全国中考试卷解析版分类汇编-等式的性质，方程的有关概念，方程的解一、选择题1. （2011重庆江津区，3，4分）已知3是关于x 的方程2x ﹣a ＝1的解，则a 的值是（） A 、﹣5 B 、5 C 、7 D 、2考点：一元一次方程的解。

专题：方程思想。

分析：第一依照一元一次方程的解的定义，将x ＝3代入关于x 的方程2x ﹣a ＝1，然后解关于a 的一元一次方程即可．解答：解：∵3是关于x 的方程2x ﹣a ＝1的解，∴3满足关于x 的方程2x ﹣a ＝1，∴6﹣a ＝1，解得，a ＝5．故选B ．点评：本题要紧考查了一元一次方程的解．明白得方程的解的定义，确实是能够使方程左右两边相等的未知数的值．二、填空题1. （2011贵州遵义，12，4分）方程x x =-13的解为 ▲ 。

【考点】解一元一次方程．【分析】移想，合并同类项，系数化1，求出x 的值．【解答】解：3x-1=x ，2x=1，x= 12．故答案为：x= ．2. （2011广东湛江,15,4分）若x=2是关于x 的方程2x+3m-1=0的解，则m 的值等于_________. 考点：方程的解．专题：运算题．分析：使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．将方程的解代入方程可得关于m 的一元一次方程，从而可求出m 的值．解答：解：依照题意得：4+3m-1=0解得：m=-1，故填-1．点评：已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于m 字母系数的方程进行求解，注意细心．3.（2011甘肃兰州，19，4分）关于x的方程2++=的解是x1=－2，x2=1（a，a x m b()0m，b均为常数，a≠0），则方程2+++=的解是.a x m b(2)0考点：一元二次方程的解.分析：直截了当由向左平移加，向右平移减可得出x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．解答：解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．故答案为：x1=﹣4，x2=﹣1．点评：此题要紧考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便运算．。

第7讲-方程与函数思想在初中数学中的应用

第7讲：函数与方程思想【写在前面】方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中实际问题时，根据已知与未知量之间的联系及相等关系建立方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．而函数的思想是用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，再用函数的形式把变量之间的关系表示出来．函数与方程思想在中学数学中有着广泛的应用，也是中考必考的内容．【典型例题】【例1】如图：在△ABC 中，BA=BC=20 cm ，AC=30 cm ，点P 从点A 出发，沿AB 以每秒4 cm 的速度向点B 运动；同时Q 点从C 点出发，沿CA 以每秒3 cm 的速度向点A 运动．设运动的时间为x 秒．(1)当x 为何值时，PQ ∥BC? (2)△APQ 能否与△CQB 相似?(3)若能．求出AP 的长；若不能．请说明理由．【解】(1)根据题意AP=4xcm ，AQ=A C －QC=(30－30x)cm ，若PQ ∥BC ，则AP AQAB AC=．则43032030x x -=，解得103x =．所以当103x =s 时，PQ ∥BC ． (2)因为∠A=∠C ，所以当AP AQ CQ CB =或AP AQCB CQ=时，△APQ 能与△CQB 棚以． ①当AP AQCQ CB=时，4303320x x x -=，解得109x =． ②当AP AQCB CQ=时，4303203x x x -=，解得x 1=5，x 2=－10(舍去)．所以AP=4x=20．所以当409AP =cm 或20 cm 时，△APQ 与△CQB 相似．【解题反思】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏．【例2】某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，该生产线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=a x 2+bx ，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的维修、保养费为4万元． (1)求y 的解析式； (2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资? 【解】 (1)由题意，把x=1时，y=2和x=2时，y=2+4=6，代入y=a x 2+bx ，得2426a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以y=x 2+x (2)设y ′=33x －100－x 2－x ，则y ′=－x 2+32x －100=－(x －16) 2+156．由于当1≤x ≤16时，y ′随x 的增大而增大，且当x=1、2、3时，y ′的值均小于0，当x=4时，y ′=－12 2+156>0，已知投产后该企业在第4年就能收回成本．【解题反思】用函数思想解决实际问题，要关注自变量与函数之间的关系，注意：本题中的y 是从第1年到第x 年的维修、保养费用总和．【例3】某村响应党中央“减轻农民负担，提高农民生活水平”的号召，该村实行合作医疗制度，村委会规定：(一)每位村民年初交纳合作医疗基金a 元；(二)村民个人当年治疗花费的医疗费(以医院的收据为准)，年底按下列办法处理．设一位村民当年治疗花费的医疗费用为x 元，他个人实际承担的医疗费用(包括医疗费中个人承担的部分和缴纳的合作医疗基金)为y 元．(1)当0≤x ≤b 时，y=________；当b<x ≤5000时，y=_______(用含a 、b 、c 、x 的代数式表示) (2)下表是该村3位村民2008年治疗花费的医疗费和个人实际承担的费用，根据表格中的数据，求a 、b 、c 的值；写出y 与x 之间的函数关系式；并计算村民个人一年最多承担医疗费为多少元．(3)下表是小强同学一家2006年治疗花费的医疗费用：请你帮助小强计算参加合作医疗保险后村集体为他们家所承担的费用．【解】(1)a a+(x－b)c％(2)假设b≤40，则()()()4030(1)9050(2)15080(3) a b ca b ca b c+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩②－①得，c=40，③－②得，c=50，结果矛盾，∴b>40，这样①不成立，应为a=30，代入②和③中，解得c=50，b=50．∴当0≤x≤50时，y=30；当50<x≤5000时，y=30+(x－50)50％=0．5x+5；当x>5000时，y=2505，∴村民个人一年最多承担医疗费为2505元；(3)全家医药费合计200+100+10+30+20=360，个人应该承担的药费之和(0．5×200+5)+(0．5×100+5)+30+30+30=250，集体为他们家承担的药费360－250=110(元)．【解题反思】本题的关键是确定a的范围，这里采用了反证法来说明b>40．【综合训练】1．如果关于x的方程3211axx x=-+-无解，则a的值为__________．2．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．3．如图，△ABC中，AC=4，AB=5，D是线段AC上一点(点D不与点A重合，可与点C重合)，E是线段AB上一点，且∠ADE=∠B．设AD=x，BE=y．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)写出y的取值范围．4．如图，某农场要用总长24 m的木栏建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长12m)，且中间隔有一道木栏，设鸡场的宽AB为xm，面积为S m2；(1)求S关于x的函数关系式；(2)若鸡场的面积为45 m2，试求出鸡场的宽AB的长；(3)鸡场的面积能否达到50 m2?若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由．5．某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数关系如图所示，结合图象回答下列问题：(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?(2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q1(吨)与时间t(分钟)的函数关系式；(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由．6．近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力的促进了我省的经济建设，正在修建中的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成，需费用120万元；若甲队单独做20天后，剩下的工程由乙队做，还需40天才能完成，这样需要费用110万元．问：(1)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天?(2)甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元?7．已知，关于x的一元二次方程mx2－(3m+2)x+2m+2=0(m>0)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1、x2(其中x1<x2)，若y是关于m的函数，且y=x2－2x1，求这个函数的解析式；(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当m满足什么条件时，y≤－m+3?8．已知：△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若关于x 的方程x 2－2(b+c)x+2bc+a 2=0有两个相等的实数根，且△ABC 的面积为8，a = (1)试判断△ABC 的形状并求b 、c 的长；(2)若点P 为线段AB 边上的一个动点，PQ ∥AC 交BC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，使得点B 与线段MN 不在线段PQ 的同侧，设正方形PQMN 与△ABC 的公共部分的面积为S ，BP 的长为x ．①试写出S 与x 之间的函数关系式； ②当P 点运动到何处时，S 的值为3．9．(02镇江)已知抛物线y=a x 2+bx+c 经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点． (1)求此抛物线的解析式和顶点M 的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线． (2)若点(x 0，y 0)在抛物线上，且0≤x 0≤4，试写出y 0的取值范围．(3)设平行于y 轴的直线x=t 交线段BM 于点P(点P 能与点M 重合，不能与点B 重合)，交x 轴于点Q ，四边形AQPC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数关系式以及自变量t 的取值范围．②求S 取得最大值时，点P 的坐标．③设四边形OBMC 的面积为S ′，判断是否存在点P ，使得S=S ′．若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．10．已知动点P(2m －1，－2m+3)和反比例函数ky x=(k<0)． (1)若对一切实数m ，动点P 始终在一条直线l 上，试求l 的解析式．(2)设O 为坐标原点，直线l 与x 轴相交于点M ，与y 轴相交于点N ，与反比例函数的图象相交于A ，B 两点(点A 在第四象限)．①证明：△OAM ≌△OBN ；②如果△AOB 的面积为6，求反比例函数解析式．【参考答案】1．2和3 2．6cm 3．(1)455y x =-+ (2)955y ≤< 4．(1)S=x(24－3x)=－3x 2+24x(x ≥4)；（2）－3x 2+24x=45，解得：x 1=3(舍去)，x 2=5，∴鸡场的宽AB 的长为5米．(3)－3x 2+24x=50，3x 2－24x+50=0，△=242－4×3×50<0∴此方程无实数解，∴鸡场的面积不能达到50米2．5．(1)由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨的油，全部加给运输飞机需10分钟． (2)设Q 1=kt+b ，则406910b k b =⎧⎨=+⎩， 2.940k b =⎧∴⎨=⎩，∴Q=2．9t+40(0≤t ≤10)．(3)根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟0．1吨，∴10小时的耗油量为10×60×0．1=60(吨)<69(吨)，∴油料够用．6．(1)30 120 (2)135 607．(1)△=(3m+2) 2－4×m ×(2m+2)=m 2+4m+4=(m+2) 2m>0，∴ (m+2) 2>0，即A>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)x 1=1，222x m =+，∴ 2122y x x m=-=． (3)在直角坐标系中的第一象限内分别画出2y m=和y=－m+3的图象，观察图象得：当1≤m ≤2时，y ≤－m+3．8．(1)△ABC 是等腰直角三角形，b=c=4；(2)①当0<x ≤2时，S=x 2；当2<x ≤4时，S=－x 2+4x 3． 9．(1)y=－x 2+2x+3，M(1，4)，图略． (2)－5≤y 0≤4 (3)①29322t S t =-++(1≤t<3) ②9342⎛⎫ ⎪⎝⎭， ③不存在．15'2S =，若S=S ′，则29315222t t -++=，整理得29602t t -+=．812404∆=-<，∴此方程没有实数根，∴不存在点P ，使得S=S ′．10．(1)设l ：y=k ′x+b ，当m=0时，P 1 (－1，3)，当m=1时，P 2(1，1)，带入l ：y=k ′x+b 得，3'1'k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得'12k b =-⎧⎨=⎩，∴l ：y=－x+2，经检验满足条件．(2)①解方程组2k y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，得x 2－2x+k=0，解得1A x =1B x =1A y =1B y =OA =OB =．∴OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA ；M(2，0)，N(0，2)，∴OM=ON ，∴∠OMN=∠ONM=45°，∴∠ONB=∠OMA=135°，∴△OA M ≌△OBN ． ②26AOBMONAPMSSS=+=，又12222MO NS=⨯⨯=，2AOMS∴=，代入得：(1122⨯-⨯3=，∴k=－8，∴反比例函数的解析式为8y x=-．。

中考数学专题训练第3讲一次方程与一元一次不等式(知识点梳理)

整式知识点梳理考点01 方程的有关概念一、等式1.等式：用“=”来表示相等关系的式子叫作等式。

2.等式的性质：（1）性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（如果b a =，那么c b c a ±=±（c 为一个数或式子））。

（2）性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等（如果b a =，那么bc ac =.如果）（0≠=c b a ，那么cb c a =） 3.等式性质的延伸：（1）对称性：等式左右两边互换，所得结果仍相等，即如果b a =，那么a b =。

（2）传递性：如果b a =，c b =，那么c a =。

二、方程的概念和方程的解1.方程的概念：含有未知数的等式叫作方程。

2.方程与等式的区别：方程是等式，但等式中不一定含有未知数，即等式不一定是方程。

3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。

4.判断一个数（或一组数）是不是某方程的解，只需看两点：（1）它是方程中的未知数的值.（2）将它分别代入方程的左右两边，若左边等于右边，则它是方程的解，否则不是。

5.解方程：求方程解的过程叫作解方程。

6.方程的解和解方程的区别：方程的解是一个结果，解方程则是得到这个结果的一个过程。

7.一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，这样的整式方程叫作一元一次方程。

8.一元一次方程知识拓展：（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数.（2）一元一次方程满足3个条件：①是整式方程.②只含有一个未知数.③未知数的次数是1.（3）一元一次方程的标准形式：),0(0是已知数、b a a b ax ≠=+。

考点02 解一元一次方程与一元一次方程的应用一、解一元一次方程1.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项，注意移项要变号。

2.解一元一次方程的步骤：（1）去分母：把方程两边都乘以各分母的最小公倍数（去分母时，若分子是多项式，要添括号）.（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（不要漏乘括号里的项，不要弄错符号）.（3）移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边（注意移项要变号）.（4）合并同类项：把等号两边的同类项分别合并，化成“b ax =”的形式（0≠a ）.（5）系数化为1：方程两边同除以未知数的系数a 得方程的解为ab x =。

方程思想在数学中的应用(中考导刊)

方程思想在数学中的应用（中考导刊）（四川）陈孝方数学思想方法是数学的本质之所在，是数学的精髓。

日本著名数学教育家米山国藏，作为一个教育家他深深感到，许多在学校学的数学知识，如果毕业后进入社会没有什么机会去用的话，不到一年就忘掉了，“然而，不管他们从事什么业务工作，惟有深深铭刻在头脑中的数学精神、数学思想方法、研究方法、推理方法，却随时随地的发生作用，使他们终身受益”。

如果把数学思想和方法学好了，在数学思想方法的指导下解决数学问题，数学学起来就较容易。

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解的思维方式。

有时，还实现函数与方程的互相转化。

笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。

宇宙世界，充斥着等式和不等式。

我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的；不等式问题也与方程是近亲，密切相关用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。

这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用，教材中大量出现这种思想方法，如列方程解应用题，求函数解析式，利用根的判别式、根于系数关系求字母系数的值等一方程思想与函数的结合方程与函数本身就有必然的联系，函数本身就可以看成一个方程，因此方程与函数有着相同的思路和解题方法，都是通过建立相等关系，求出未知数的值，因此函数问题的关键就是找出相等关系，建立变量之间的等量关系求解，要求对变量所涉及的相关知识要比较熟练，这是轻松求解函数问题的必要基础。

此类问题常见的形式和解题方法是：①用待定系数法列出关于函数解析中待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出特定系数的值；②将函数图象与坐标轴交点坐标与方程的根对应起来；③利用函数研究方程的根与系数之间的关系；④利用函数图象交点的坐标与方程组的解之间的关系及根与系数关系解题。

中考专题--方程思想

方程应用试题姓名___________应用方程思想解题时应注意：①要具备用方程思想解题的意识；②要具有正确列出方程的能力；(正确的找到等量关系)③要掌握运用方程思想解决问题的要点一．方程思想在代数问题中的应用（1）整式与方程思想1．已知25A x mx n =-+，2321B y x =-+-，若A B +中不含有一次项和常数项，则222m mn n -+的值为 2．单项式2343m n m n x y ++与422y x -是同类项，则m n 的值为（2）函数与方程思想3．若函数215mm y mx --=+是一次函数，且y 随x 的增大而减小，则m =4．已知反比例函数ky x=与一次函数2y x k =+的图像的一个交点的纵坐标是4-，则k 的值为 5．已知点(1,)P m 在正比例函数2y x =的图像上，那么点P 的坐标为二．方程思想在几何问题中的应用在解答几何问题中经常会①运用勾股定理建立方程；②运用相似三角形对应边成比例建立方程；③运用锐角三角函数的意义建立方程（1）三角形和四边形与方程思想通常解决等腰三角形相关问题时要列出方程6．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（）A ．1B ．34 C ．23D ．27．如图，如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连接CE ，则CE 的长________.8．如图，已知等腰△ABC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则ADAC的值为( ) ． A ．12 B．12 C ．1 D．129．如图，在△ABC 中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ 的一边QP 在边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H 。

设EF=x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求其最大值（3）圆与方程思想通常以半径相等或者切线长相等为突破口以“勾股定理”为等量关系列出方程10．如图，ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，4=AC ，3=BC ，以BC 上一点O 为圆心作⊙O，与AC 、AB 分别相切于C 点、E 点，则⊙O 的半径为11．如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB ＝10cm ，PB ＝4cm ，OP ＝5cm ，则⊙O 的半径等于______________cm 。

2024年中考数学总复习第一部分考点培优专题3方程、函数思想

底边长为( D )
A．24.24 千米
B．72.72 千米
C．242.4 千米
D．727.2 千米
3．(2023·金华模拟)清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度 y(米)与登山时间 x(分)之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙
的速度是甲的 3 倍．则下列说法错误的是( D )
46 件，此时生产成本最小．
(3)设从甲城运往 A 地区的产品数量为 m 件，
甲、乙两城总运费为 p，则从甲城运往 B 地的
产品数量为(4－m)件，从乙城运往 A 地的产品
数量为(40－m)件，从乙城运往 B 地的产品数
量为 (10 － 4 ＋ m) 件．由题意可得
4－m≥0，
40－m≥0， 10－4＋m≥0，
(2)若甲、乙两城一共生产 50 件产品，请设计一种方案，使得总生产成本最小． (3)从甲城把产品运往 A，B 两地的运费(万元)与件数(件)的关系式为 y 甲 A＝nx，y 甲 B＝3x；从乙城把产品运往 A，B 两地的运费(万元)与件数(件)的关系为 y 乙 A＝x，y 乙 B＝2x.现在 A 地需要 40 件，B 地需要 10 件，在(2)的条件下，求总运费的最小值．(用含 n 的式子表示)
边上的点 E 处，连结 EC，过点 B 作 BF⊥EC，
垂足为 F，若 CD＝1，CF＝2，则线段 AE 的
长为( A )
A． 5 －2 B． 3 －1
C．1 3
D．1 2
5．(2023·大连)如图，在菱形 ABCD 中，∠A＝60°， AB＝4.动点 M，N 同时从 A 点出发，点 M 以每秒 2 个单位长度沿折线 A－B－C 向终点 C 运动；点 N 以每秒 1 个单位长度沿线段 AD 向终点 D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为 x 秒，△AMN 的面积为 y 个平方单位，则下列正确表示 y 与 x 函数关系的图象是

中考总复习：《一次方程及方程组》知识网络及经典例题解析

中考总复习：《一次方程及方程组》知识网络及经典例题解析【考纲要求】1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程；2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想.【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程 1.等式性质（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式. 2.方程的概念（1）含有未知数的等式叫做方程.（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). （3）求方程的解的过程，叫做解方程. 3.一元一次方程（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的一般形式:0(0)ax b a +=≠.（3）解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来). 要点诠释：解一元一次方程的一般步骤步骤名称方法依据注意事项1去分母在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）等式性质21、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来.2 去括号去括号法则（可先分配再去括号）乘法分配律注意正确的去掉括号前带负数的括号3移项把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边等式性质1移项一定要改变符号说明：（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤；（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；（3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解.考点二、二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 要点诠释：判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组． 2.二元一次方程组的一般形式111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 要点诠释：a 1、a 2不同时为0，b 1、b 2不同时为0，a 1、b 1不同时为0，a 2、b 2不同时为0. 3. 二元一次方程组的解法(1) 代入消元法； (2) 加减消元法. 要点诠释：（1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．（2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系：当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y ＝0时，求x 的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.考点三、一次方程（组）的应用列方程(组)解应用题的一般步骤：1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系；2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整；3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)；4.解:解所列的方程(组)；5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)；6.答:注意单位和语言完整.要点诠释：列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等.【典型例题】类型一、一元一次方程及其应用1．如果方程2n 731x 157--=是关于x 的一元一次方程，则n 的值为( ). A.2 B.4 C.3 D.1 【思路点拨】未知数x 的指数是1即可. 【答案】B ；【解析】由题意可知2n-7=1，∴n=4.【总结升华】根据一元一次方程的定义求解. 举一反三：【变式1】已知关于x 的方程4x-3m=2的解是x=5，则m 的值为 . 【答案】由题意可知4×5-3m ＝2，∴m=6.【变式2】若a ，b 为定值，关于x 的一元一次方程2632=--+bxx x ka 无论k 为何值时，它的解总是1，求a ，b 的值．【答案】a=0,b=11.2．一收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的25%，下午收割了剩下麦田的20%，结果还剩下6公顷麦田未收割．这块麦田一共有多少公顷？【思路点拨】设这块麦田一共有x 公顷，根据上午收割了麦田的25%，则剩余x （1﹣25%）公顷，再利用下午收割了剩下麦田的20%，则剩余x （1﹣25%）（1﹣20%）公顷，进而求出即可．【答案与解析】解：设这块麦田一共有x 公顷，根据题意得出：x （1﹣25%）（1﹣20%）=6，解得：x=10，答：这块麦田一共有10公顷．【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出两次剩余小麦的亩数是解题关键．举一反三：【变式】“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（） A ．()130%80%2080x +⨯= B ． 30%80%2080x ⋅⋅= C ． 208030%80%x ⨯⨯= D ． 30%208080%x ⋅=⨯【答案】成本价提高30%后标价为()130%x +，打8折后的售价为()130%80%x +⨯．根据题意，列方程得()130%80%2080x +⨯=，故选A ．类型二、二元一次方程组及其应用3．解下列方程组．（1）（2）．【思路点拨】代入消元法或加减消元法均可. 【答案与解析】解：（1），将②代入①得：2（﹣2y+3）+3y=7，去括号得：﹣4y+6+3y=7，解得：y=﹣1，将y=﹣1代入②得：x=2+3=5，则方程组的解；（2），①×4+②×3得：17m=34，解得：m=2，将m=2代入①得：4+3n=13，解得：n=3，则方程组的解为．【总结升华】解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度.举一反三：① ②【变式1解方程组【答案】方程②化为，再用加减法解，答案：【变式2】解方程组⎩⎨⎧=++=.36,5:4:3::c b a c b a【答案】a=9,b=12,c=15.4．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m ），解答下列问题：（1）写出用含x 、y 的代数式表示的地面总面积；（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m 2，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺1m 2地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？【思路点拨】根据题意找出等量关系式，列出方程或方程组解题. 【答案与解析】（1）地面总面积为：（6x ＋2y ＋18）m 2；（2）由题意，得6221,6218152.x y x y y -=⎧⎨++=⨯⎩解之，得4,3.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴地面总面积为：6x ＋2y ＋18＝6×4＋2×32＋18＝45（m 2）． ∵铺1m 2地砖的平均费用为80元，∴铺地砖的总费用为：45×80＝3600（元）．【总结升华】注意不要丢掉题中的单位. 举一反三：【变式】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（）A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm【答案】设桌子高度为acm，木块竖放为bcm，木块横放为ccm.则80,a=7570a b ca c b+-=⎧⎨+-=⎩解得.故选C.类型三、一次方程（组）的综合运用5．某县为鼓励失地农民自主创业，在2012年对60位自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励：自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励列方程求解．【答案与解析】方法一：设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x人，则根据题意列出方程 1000x+(60–x)(1000+2000)=100000，解得：x=40，∴60-x =60-40=20答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40人，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.方法二：设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有分别有x，y人，根据题意列出方程组：601000(10002000)100000 x yx y+=⎧⎨++=⎩解得：2040 yx=⎧⎨=⎩答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.【总结升华】本题考查理解题意的能力，关键是找到人数和钱数作为等量关系.举一反三：【变式】某公园的门票价格如下表所示：购票人数1～50人51～100人100人以上票价10元／人8元／人5元／人某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？【答案】设甲班有x 人，乙班有y 人，由题意得：8109205()515x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：5548x y =⎧⎨=⎩．答：甲班有55人，乙班有48人.6．在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”；请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？【思路点拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解. 【答案与解析】设高峰时段三环路的车流量为每小时辆，四环路的车流量为每小时辆，根据题意得：解得答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆. 【总结升华】通过甲、乙、丙三位同学调查结果找到车流量的等量关系式是解题的关键.。

函数与方程的思想详解

专题函数与方程思想一、考点回顾函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。

函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。

1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。

(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。

二、经典例题剖析(根据近几年高考命题知识点及热点做相应的试题剖析，要求例题不得少于8个)1. (湖北卷)关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( ).A. 0B. １C. ２D. ４解析：本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.思路分析：1. 根据题意可令｜x 2－1｜＝t(t≥0)，则方程化为t 2－t ＋k ＝0，(*)作出函数t ＝｜x 2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t ＝0或t ＞1时，原方程有两上不等的根，②当0＜t ＜1时，原方程有4个根，③当t ＝1时，原方程有3个根.(1)当k ＝－2时，方程(*)有一个正根t ＝2，相应的原方程的解有2个；(2)当k ＝14时，方程(*)有两个相等正根t ＝12，相应的原方程的解有4个； (3)当k ＝0时，此时方程(*)有两个不等根t ＝0或t ＝1，故此时原方程有5个根；(4)当0＜k ＜14时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x 2－1|＝t 的解有8个，故选A.2. 由函数f(x)＝(x 2－1)2－|x 2－1|的图象(如下图)及动直线g(x)＝k 可得出答案为A.3. 设t ＝|x 2－1|(t≥0)，t 2－t ＋k ＝0，方程的判别式为Δ＝1－4k ，由k 的取值依据Δ＞0、△＝0、△＜0从而得出解的个数.4. 设函数f(x)＝，利用数轴标根法得出函数与x 轴的交点个数为5个，以及函数的单调性大体上画出函数的图象，从而得出答案A. 答案：A点评：思路1、思路2、思路4都是利用函数图象求解，但研究的目标函数有别，思路2利用函数的奇偶性以及交轨法直观求解，很好地体现了数形结合的数学思想，是数形结合法中值得肯定的一种方法；思路3利用方程的根的个数问题去求解，但讨论较为复杂，又是我们的弱点，有利于培养我们思维的科学性、严谨性、抽象性、逻辑推理能力等基本素质.2. (广东卷)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ). Ａ. 5 Ｂ. 4 Ｃ. 3 Ｄ. 2解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d 据题意得：答案：C点评：运用等差、等比数列的基本量(a 1，d ，q)列方程，方程组是求解数列基本问题的通法.3. (安徽卷)已知＜α＜π，tanα＋cotα＝－.(１)求tanα的值；(２)求的值.解析：(１)由tanα＋cotα＝－103得3tan2α＋10tanα＋3＝0，即tanα＝－3或tanα＝－13，又3π4＜α＜π，所以tanα＝－13=为所求.答案：点评：第(１)问是对方程思想方法灵活考查，能否把条件tanα＋cotα＝－103变形为关于tanα的一元二次方程，取决于解题的目标意识和是否对方程思想方法的深刻把握和理解.4. (江西卷)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(０，12］成立，则a 的最小值是( ).Ａ. ０Ｂ. －２Ｃ. －52Ｄ. －３解析：与x 2＋ax ＋1≥0在Ｒ上恒成立相比，本题的难度有所增加.思路分析：１. 分离变量，有a≥－(x ＋1x )，x ∈(０，12］恒成立.右端的最大值为－52，故选Ｃ.2. 看成关于a 的不等式，由f(0)≥0，且f(12)≥0可求得a 的范围. 3. 设f(x)＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f(x)＝x 2＋1，g(x)＝－ax ，则结合图形(象)知原问题等价于f(12)≥g(12)，即a≥－52.5. 利用选项，代入检验，Ｄ不成立，而Ｃ成立.故选Ｃ.答案：Ｃ点评：思路１～４具有函数观点，可谓高屋建瓴.思路５又充分利用了题型特点.5. (全国卷Ⅱ)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为Ｆ，Ａ、Ｂ是抛物线上的两动点，且(λ＞0).过A 、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明为定值； (2)设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f(λ)的表达式，并求S 的最小值.解：(1)证明：由已知条件，得F(0，1)，λ＞0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).由，得(－x 1，1－y 1)＝λ(x 2，y 2－1)，即将①式两边平方并把代入得 ③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y′＝12x.所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2，即. 解出两条切线的交点M 的坐标为，所以＝ .所以为定值，其值为0. (2)由(1)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB| |FM|. |FM|＝＝＝＝＝.因为|AF|、|BF|分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝()2.于是S ＝12|AB| |FM|＝12()3由≥2知S≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4.点评：在解析几何中考查三角形面积最值问题是高考的重点和热点，求解的关键是建立面积的目标函数，再求函数最值，至于如何求最值应视函数式的特点而定，本题是用均值定理求最值的.6. 设f(x)，g(x)分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞０，且g(－３)＝０，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( ).Ａ. (－3，0)∪(3，＋∞) Ｂ. (－3，0)∪(0，3)Ｃ. (－∞，－３)∪(3，＋∞) Ｄ. (－∞，－３)∪(０，３)解析：以函数为中心，考查通性通法，设Ｆ(x)＝f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数.又当x ＜0时，F′(x)＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以x ＜0时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x ＞0时，F(x)也为增函数.因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)＜0的解集是(－∞，－３)∪(０，３)，所以选D.答案：D点评：善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键.题中就是构建函数F(x)＝f(x)g(x)，再根据题意明确该函数的性质，然后由不等式解集与函数图象间的关系使问题获得解决的.7. 函数f(x)是定义在［０，１］上的增函数，满足f(x)＝２f(x 2)且f(１)＝１，在每一个区间(］(i ＝１，２……)上，y ＝f(x)的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分.(1) 求f(０)及f(12)，f(14)的值，并归纳出f()(i ＝１，２，……)的表达式； (２)设直线x ＝，x ＝，x 轴及y ＝f(x)的图象围成的梯形的面积为a i (i ＝１，２，……)，记Ｓ(k)＝lim n→∞(a 1＋a 2＋…a n )，求Ｓ(k)的表达式，并写出其定义域和最小值. 解析：以函数为细节，注重命题结构网络化，(１)由f(0)＝２f(０)，得f(０)＝０.由f(１)＝２f(12)及f(１)＝１，得 f(12)＝12f(１)＝12.同理，f(14)＝12f(12)＝14. 归纳得f()＝(i ＝１，２，……).(２)当＜x≤=时，所以｛a n ｝是首项为12(１－k 4)，公比为14的等比数列，所以.Ｓ(k)的定义域为｛k|0＜k≤1｝，当k ＝1时取得最小值12. 点评：高考命题寻求知识网络化已是大势所趋，而函数是把各章知识组合在一起的最好的“粘合剂”.高考试题注重知识的联系，新而不偏，活而不怪.这样的导向，就要求在学习中必须以数学思想指导知识、方法的运用，注意培养我们用联系的观点去思考问题的习惯.8. 对任意实数k ，直线：y ＝kx ＋b 与椭圆：(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b 取值范围是 .解析：方法１，椭圆方程为，将直线方程y ＝kx ＋b 代入椭圆方程并整理得. 由直线与椭圆恒有公共点得化简得由题意知对任意实数k，该式恒成立，则Δ′＝12(b－1)2－4［１６－(b－1)2］≤0，即－１≤b≤３方法２，已知椭圆与y轴交于两点(０，－１)，(０，３).对任意实数k，直线：y＝kx＋b与椭圆恒有公共点，则(０，b)在椭圆内(包括椭圆圆周)即有≤1，得－1≤b≤3.点评：方法１是运用方程的思想解题，这是解析几何变几何问题为代数问题的方法.方法２运用数形结合的思想解题，是相应的变代数问题为几何问题的方法.高考试题中设置一题多解的试题就是为了考查学生思维的深度和灵活运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力.评判出能力与素养上的差异.三、方法总结与2008年高考预测(一)方法总结1．函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。

新课标九年级数学中考复习强效提升分数精华版专题三：方程思想

例3图例4图专题三：方程思想专题诠释方程思想是指利用题目中的已知量，未知量的数量关系，设出未知数，建立方程或方程组来解决问题，很多未知量数值的代数或几何问题都可以通过建立方程轻松解决.考点分类·解读考点在函数中确定关系式和求值问题中的应用用待定系数法确定一次函数、二次函数关系式，就是根据题意建立方程或方程组求解函数的系数，当已确定函数值时，代入函数关系式转化为方程，可求出自变量的值从而解决点的坐标问题．【例1】一次函数y ＝kx ＋b 经过点 (2，5) 和(－1，－1)，则它的表达式是____________．考点在求角度数、线段长度中的应用在已知角的数量关系，线段长度间的数量关系时，可设未知数根据已知量与未知量间的相等关系建立方程求解．【例2】已知一个角的余角比这个角补角的13| 多10°，求这个角的度数．思路分析：可列方程求解，设这个角的度数为x °，代入相等关系计算即可．考点在三角形中的应用在解决三角形中的边长、面积、高等问题时，可构造直角三角形，利用勾股定理为相等关系建立方程求解．【例3】(2010·青岛)把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF.若AB ＝3cm ，BC ＝5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是________cm 2.考点④ 在判断事件的可能性中的应用有些实际性问题，可由题意建立方程模型，根据所得方程解的情况判断事情有无可能．【例4】如图给出的是2010年某月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是 ( ) A ．69 B ．54 C ．27 D ．40第7题图第4题图第3题图第8题图考点随堂·渗透1．已知代数式12|x a －1y 3与－2x b ＋1y 2a －3b 是同类项，那么a 、b 的值分别是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－1| B.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝1| C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝1|D.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－1| 2．一个多边形的内角和为1440°，则边数为( )A ．6B ．8C ．10D ．123．如图，矩形ABCD 中，E 、F 、M 为AB 、BC 、CD 边上的点，且AB ＝6，BC ＝7，AE ＝3，DM ＝2，EF ⊥FM ，则EM 的长为( )A ．5B ．52|C ．6D ．62|4．如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B ′处，点A 对应点为A ′，且B ′C ＝3，则AM 的长是( ) A ．1.5 B ．2 C ．2.25 D ．2.55．张老师花92元钱购买了《挑战智力》和《数学趣题》两种书．其中《挑战智力》买了2本，已知《挑战智力》每本18元，《数学趣题》每本8元，则《数学趣题》买了___本． 6．已知一次函数的图象过点(3,5)与(－4，－9)，则该图象与y 轴交点的坐标为________． 7．如图，Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3cm ，AC ＝5cm ，将△ABC 折叠，使点C 与A 重合，得折痕DE ，求△ABE 的周长．8．如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA ，且OB ＝2OA ，点A 的坐标是(－1,2)． (1) 求点B 的坐标； (2) 求点A 、O 、B 的抛物线的表达式； (3) 连接AB ，在(2)中的抛物线上求出点P ，使得S △ABP ＝S △ABO .第6题图2011年中考真题☆方程思想·专项训练1.（深圳）一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（） A 、100元 B 、105元 C 、108元 D 、118元2.（恩施）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：时刻 12：0013：0014：30碑上的数是一个两位数，数字之和为6十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了比12：00时看到的两位数中间多了个0则12：00时看到的两位数是（）A 、24B 、42C 、51D 、153. （滨州）某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( ) A. B.C.289(1-2x)=256D.256(1-2x)=2894. （绵阳）灾后重建，四川从悲壮走向豪迈．灾民发扬伟大的抗震救灾精神，桂花村派男女村民共15人到山外采购建房所需的水泥，已知男村民一人挑两包，女村民两人抬一包，共购回15包．请问这次采购派男女村民各多少人？（）A 、男村民3人，女村民12人B 、男村民5人，女村民10人C 、男村民6人，女村民9人D 、男村民7人，女村民8人5. （滨州）如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上,以AB为弦的⊙M 与x 轴相切.若点A 的坐标为(0,8),则圆心M 的坐标为( ) A.(-4,5) B.(-5,4) C.(5,-4) D.(4,-5)第5题图第7题图第9题图第10题图第11题图6.（泰安）如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ，若AB ＝，则⊙O 的半径为______．7. （潍坊）已知线段AB 的长为．以AB 为边在AB 的下方作正方形ACDB ．取AB 边上一点E ．以AE 为边在AB 的上方作正方形AENM ．过E 作EF ⊥CD ．垂足为F 点．若正方形AENM 与四边形EFDB 的面积相等．则AE 的长为________________．8．（达州）已知关于x 的方程x 2﹣mx+n=0的两个根是0和﹣3，则m= ，n= ． 9.（包头）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA ，OC 分别落在x 轴、y 轴上，连接AC ，将矩形纸片OABC 沿AC 折叠，使点B 落在点D 的位置，若B （1，2），则点D 的横坐标是__________．10.（日照）如图，在以AB 为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF ，则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是．11.（包头）如图，已知∠ABC=90°，AB=BC ．直线l 与以BC 为直径的圆O 相切于点C ．点F 是圆O 上异于B 、C 的动点，直线BF 与l 相交于点E ，过点F 作AF 的垂线交直线BC 与点D ．（1）如果BE=15，CE=9，求EF 的长；（2）证明：①△CDF ∽△BAF ；②CD=CE ；（3）探求动点F 在什么位置时，相应的点D 位于线段BC 的延长线上，且使BC=CD ，请说明你的理由．12. （义乌）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元．据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x 的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？A B C EFO · l D A BCDOx y13.（咸宁）（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN 的长．第13题图14.（清远）如图，抛物线y＝（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－3）（1）求抛物线的对称轴及k的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标．第14题图第14题备用图。

中考数学专题复习专题三大数学思想方法第四节方程思想与函数思想训练

专题三5大数学思想方法第四节方程思想与函数思想类型十五方程思想在实际生活中的应用例15Q （ 2018-台湾中考）某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同.阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒，他身上的钱会剩下240元.若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？（）A. 360B. 480C. 600D. 720【分析】设每盒方形礼盒x元，每盒圆形礼盒y元，根据阿郁身上的钱数不变列出方程，再根据阿郁最后购买10盒方形礼盒求解即可.【自主解答】17.（2018 •新疆中考）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但5这次每支的进价是第一次进价的4倍，购进数量比第一次少了30支.则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是元.类型十六方程思想在几何中的应用例150 （ 2018 ・湖南湘1M中考）如图，AB是以。

为圆心的半圆的直径，半径COLAQ点M是AB上的动点, 且不与点A C, B重合，直线AM交直线OC于点D,连结0M h l CM.（1）若半圆的半径为10.①当/AOM= 60°时，求DM勺长；②当AM= 12时，求DM的长.(2)探究：在点M运动的过程中，/ DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【分析】(1)①当/AOM= 60°时，^AMO是等边三角形，从而可知/ MOD 30° , Z D= 30° ,所以DM OM = 10;②过点M乍M口OA于点F,设AF= x,。

已10 —x,利用勾股定理即可求出x的值.易证明△ AMQ/XADQ从而可知AD的长度，进而可求出MD勺长度.(2)根据点M的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案.【自主解答】心命题研究专家点拨数与形的组合历来都是公认的求解数学问题的理想方法，它会使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化，几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可以用方程来解决.要根据两边相等、勾股定理、相似三角形中的比例线段、题目中本身具有的等量关系等建立方程，从而达到解决问题的目的.18.(2018 •山东潍坊中考)如图，点M是正方形ABCDi CD上一点，连结AM彳DH AM于点E, BF AM 于点F,连结BE.(1)求证：AE= BF;已知AF= 2,四边形ABED勺面积为24,求/ EBF的正弦值.(2)类型十七方程思想在函数中的应用例17。

中考物理专题热平衡方程含解析

专题15 热平衡方程一、热平衡方程1.对于一个与外界没有热交换的系统，一个物体放热，另一个物体吸热，且Q吸= Q放当物体温度相同时，热交换停止。

据此我们可以列出热平衡方程。

（1）高温物体放热公式：Q放=c1m1(t01-t)（2）低温物体吸热公式：Q吸=c2m2(t-t02)2.热平衡方程思想拓展高温物体和低温物体混合达到热平衡时，高温物体温度降低放出的热量等于低温物体温度升高吸收的热量。

这时Q放=c1m1(t01-t)，Q吸=c2m2(t-t02)。

燃料完全燃烧放出的热量等于另外物体吸收的热量。

这时Q放=qm1，或者Q放=qV，Q吸=cm2(t-t0)。

电热器通电流放出的热量等于另外物体吸收的热量，这时Q放=I2Rt（焦耳定律公式），Q吸=cm(t-t0)。

利用热平衡方程可以求解很多问题，有时结合比例式，解题更简单。

3.比热容（1）定义：我们把单位质量的某种物质温度升高（或者降低）1℃所吸收（或者放出）的热量叫做这种物质的比热容，简称比热。

符号：c。

（2）公式：Q cm t =⋅∆（3）常用单位：焦耳/(千克· ℃)（4）符号：J/(kg · ℃)（5）读作焦耳每千克摄氏度（6）同种物质来讲,比热容是一个确定的数值（相等的）,跟物体质量的大小,温度改变的多少，物体的形状、体积、位置等无关，它仅与物质的种类和状态有关。

对不同物质来讲，比热容一般是不相同的。

（7）记住水的比热容：c水＝4．2×103J/(kg·℃)，物理意义为：1kg的水温度升高（或降低）1℃，吸收（或放出）的热量为4．2×103J。

因为水的比热容较大，所以水常用来调节气温、取暖、作冷却剂、散热等。

4.燃料完全燃烧放出热量（1）燃料完全燃烧释放出的热量公式为：Q放=mq。

专题学啥（2）气体燃料完全燃烧释放出的热量公式也可为：Q放=qV。

推导过程如下：说明：①中的公式对固体、液体、气体、均适用。

中考数学点对点-构建方程的思想(原卷版)

构建方程的思想专题知识点概述方程思想就是从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,运用定义、公式、性质、定理及条件,把所研究的问题中已知量和未知量之间的数量关系转化为方程,从而使问题得到解决．方程思想在数学解题中所占比重较大，综合知识强、题型广、应用技巧灵活．1.利用勾股定理建立一元二次方程。

2.利用三角形三边关系可建立不等式。

3.利用圆的内接四边形内角和等于360°建立一元一次方程。

4.利用绝对值、根式建立方程组。

5.其它许多情况建立的方程、函数关系式等。

例题解析与对点练习【例题1】（2020•内江）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A 落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB＝3，BC＝4，则EF的长为（）D．√13A．3 B．5 C．5√136【对点练习】若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．12 C．16 D．18【例题2】（2020•天水）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为．【对点练习】如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是°．）．【例题3】（2020•常德）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，94（1）求抛物线的解析式；，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（2）已知直线l过点A，M（32（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【对点练习】（2019江苏徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？专题点对点强化训练一、选择题1．（2020•绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm2．（2019湖北黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（）A．25m B．24m C．30m D．60m3．（2019贵州贵阳）数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值是（）A．3 B．4.5 C．6 D．184. （2020桂林模拟）若|3x﹣2y﹣1|+=0，则x，y的值为（）A．B．C．D．二、填空题5．（2020•常德）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．6．（2020•长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．（1）PFPQ +PEPM=．（2）若PN2＝PM•MN，则MQNQ=．7．（2020•湘潭）若yx =37，则x−yx=．8．（2019宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为．9．（2020毕节市模拟）一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是L．10.（2020•衢州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=kx（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝8√3，则k＝．11．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为海里/小时．12.（2019•湖北天门）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是．三、解答题13．（2020•天津）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC．测得BC＝221m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°．根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．14．（2020•武威）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°．把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．（1）求证：△AEM≌△ANM．（2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．15．（2020•长沙）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝2√3，AD＝4，求EC的长；（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．16．（2020•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F．①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tan B的值．17．某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系．（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为元；（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？18.为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）。