柱锥台球的表面积与体积精例

角形的三边为旋转轴
旋转一周所成的旋转
B
体的表面积与体积。
54
A 3C
A 3 C
B 4
12 5 C5
3 A
•球的体积及表面积
•1.球的体积
V球
=
4 3
πR3
•2.球的表面积
S 4πR2
类型一、基本计算问题
• 1.若球的半径为2，则球的表面积为_1_6___,体积为__33_2___.
• 2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
解：因为圆锥的侧面展开图是半圆,
A
2πr
所以,
1 2
l2
1 2
2
r
l , l
2r.
s
由 r2 1 (2r)2 a得
2
直径：2r 2 3 a 3
l
O B'
•课堂小结
•求表面积的方法： • 将空间图形问转化为平面图形问题，利用平面
图形求面积的方法求立体图形的表面积。
• 体现了一种化归思想
•作业： P32习题1.3 A组1、2、5
S 2 r2 2 rl 2 r(r l)
圆锥的侧面展开图是扇形
l rO
2r
S侧 rl
S r2 rl r(r l)
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆 台的侧面展开图是什么 ．
S侧 (r'l rl)
r 'Ol’
2r' 2r
l
rO
S (r'2 r 2 r'l rl )
探究一
柱体（棱柱、圆柱）的体积：
结论１： V柱体 Sh
•h
探究二
锥体（棱锥、圆锥）的体积：
问题:等底同高的锥体的体积有何关系?
结论２：
V锥体
1
Sh
3
动画演示
探究三
台体（棱台、圆台）的体积
结论３：
1 V台体 3 h(S
SS S)
柱、锥、台体积的关系：
V柱体=Sh 高
这里S是底面积,h是
= VC-ABB1
D A
C B
变式3
已知正三棱锥S-ABC的侧棱
两两垂直，侧棱长为 2cm ，求：
(1) 此棱锥的体积V；
S
(2) 点S到底面ABC的距离。
VS-ABC= VB-SAC
C
= VA-SBC = VC-SAB
A
O
B
例4：
5
在Rt△ABC中，
AC=3，BC=4， B
4
AB=5，求分别以三
O`
O`
O`
O
O
O
•结论：•S全=S侧+S底
例1．已知棱长为a ，各面均为等边三角形
的四面体S-ABC，求它的表面积 ．
S△SBC
1 2
BC SD
1 SB SC sin 60
S
2
因此，四面体S-ABC的表面积
B
A D
C
为
S 4S△SBC 4
3 a2 4
3a 2
r O
l
2 r
O
圆柱的侧面展开图是矩形 S侧 2 rl
a
•D •A
•C •B
•D
•A1
1
•D •A
•O •C
•B1
1
•C •B
a
r3
3a 2
2a
•O
•D
•C
•A1
•B1
1 •画出1 正确的截面：(1)中截面；(2)对角面
•找准数量关系
类型三、截面问题
• 用一个平面α去截一个球O，截面是圆面
(3)球的体积等于圆柱体积的三分之二.
•阿基米德的墓志铭
•探究 若正方体的棱长为a，则
•⑴正方体的内切球直径＝ a
•⑵正方体的外接球直径＝ •⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
例3：有两个球,一球切于棱长为a的正方体的各 面, 一球过棱长为a的正方体的各顶点,求这两个 球的体积之比.
a 2
a
r1
a 2
这个几何体是
由正四棱锥和长
_方__体_ 组合__而_成，
它的表面积是 _1_2__4__3_c_m_2，
它的体积是
4___34___2__c_m. 3
例2
已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别
为3，2，1，求沿其表面从点A到点C1的最短距离。
D1
C1
A1
B1
D
1C E
2
A
3
2
B1
例2
问题一：正方体的展开图与其表面积有何关系？
几何体表面积
展开图
平面图形面积
空间问题
平面问题
动画演示
•提出问题
• 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
•几何体表面积
•展开图
•空间问题
•平面图形面积 •平面问题
• 棱柱、棱锥、棱台也是多个平面图形围成 的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它 们的表面积？
经正方体的侧面走一周到达点A1，求蚂蚁走的最短 距离。
D1
C1
A1
B1
C1
D1
Fra Baidu bibliotek
A1
D
C
A
B
C
D
A
例3 在底面边长为a，侧棱长为2a的
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，求： D1
(1) 此棱柱的体积V；
(2) 三棱锥B-AB1C的体积
A1
C1 B1
V = V B-AB1C
B1-ABC
= VA-BB1C
S′= S
V台体＝13 h(S SS' S ' ) 这里S、S′分别是上,下底面积,h是高
S′=0
1 V锥体= 3 Sh
这里S是底面积,h是高
例3 如图1.3-7
10mm
10mm
12mm
12mm 12mm 12mm
•练习：
•1.已知圆锥的表面积为am2,且它的侧 面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底 面直径。
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式 之间有什么关系？
r O
S (r'2 r 2 r'l rl )
r r
r 'O’
r 0
l
l rO
l
O S 2 r2 2 rl 2 r(r l)
rO
S r2 rl r(r l)
典例精析：
例2 如图1.3-6
15cm
20cm 15cm
• 3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_1_:_2__2_. •4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是_1__: _3 _4_.
类型二、“接”与“切”：
例2.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的
直径（球内切于圆柱）.
•O
求证:
(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.
(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.
已知长方体ABCD-A1B1D1的长、宽、高分别为3，
2，1，求沿其表面从点A到点C1的最短距离。
D1
C1
A1
B1
F
D
1C
1
2
A
3 B2
a
例2
已知长方体ABCD-
A1B1C1D1的长、宽、高分
D1
别为3，2，1，求沿其表面 从点A到点C1的最短距离。
A1
D
2
A
3
G
C1 B1
1C B
变式2
已知正方体的棱长为a，有一只蚂蚁从点A出发
例1： 一个几何体的三视图及相关尺寸如图所示:
正视图
2cm
侧视图
2 cm
2cm
俯视图
这个几何体是 _正_四__棱_锥__，
它的表面积是
_4__4___3_c_m_2，
它的体积是
_34___2__c_m__3 .
变式1：一几何体的三视图及相关尺寸如图所示:
2cm
正视图
1 cm
侧视图
2 cm
2cm
俯视图