圆锥曲线中的垂径定理 专题学案(解析版)
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圆锥曲线中的垂径定理 专题学案
一、能力提升
二、概念及相关典型例题
(一) 圆中的垂径定理
（问题背景：直线斜率存在）
图1 图2 图3 （1）如图1，在圆O 中，E 为弦AB 中点，则OE ⊥AB ，即1-=⋅AB OE k k （2）如图2，在圆O 中，l 与圆O 相切于E 点，则OE ⊥l ，即1-=⋅AB OE k k .
（若切点坐标为),(00y x E ，可得切线l 方程：200r y y x x =+）
（3）如图3，AB 为圆O 直径，E 圆上异于A 、B 两点的动点，则BE ⊥AE ，即1-=⋅BE AE k k .
（二）圆锥曲线中的垂径定理
（问题情景假设：假设下列问题讨论所涉及的直线斜率都存在情况下）
1.椭圆中的垂径定理（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(122
22>>=+b a b y a x 为例）
图1 图2 图3 （1）如图1，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22a
b k k AB
OE -=⋅; （证明：用点差法）
（2）如图2，在椭圆C 中，l 与椭圆相切于E 点，则22
a
b k k l OE -=⋅;
（证明：法一：极限思想，当A 无穷接近B 点；法二：换元法变换为122='+'y x 证明即可；法三：导数）
（3）如图3,l 过中心O,交椭圆于A,B 两点,E 是椭圆上异于A 、B 点的动点则
22
a
b k k AE
BE -=⋅. （证明：取AE 重点M ，连接OM ，即可用（1）证明）
2.双曲线中的垂径定理
（以焦点在x 轴的双曲线方程)00(122
22>>=-b a b
y a x ，为例）
图1 图2 图3 图4 图5
（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22
a
b k k AB
OE =⋅; （2）如图3，l 与双曲线相切于E 点，则22
a
b k k l OE =⋅;
（3）如图4，过O 点的l 交双曲线于A,B 两点，E 是双曲线上异于A 、B 点的动点,则22a
b k k AE
BE =⋅. （4）如图5，l 交上双曲线两渐近线于A,B 两点，
E 为线段AB 的中点，则22a
b k k AB OE =⋅. 【注意：若焦点在y 轴上的双曲线方程)00(122
22>>=-b a b x a y ，，则上面斜率乘积结
论变为：22
b
a ，
即=⋅AB OE k k =⋅l OE k k 22
b
a k k AE
BE =⋅】
（三）例题点评
1.例题初探
【例1】过点M(1,1)作斜率为
2
1
-的直线与椭圆)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
C：相交于A,B两点，若M是线段AB的中点，则该椭圆的离心率为.
【解析】方法一：点差法
方法二：由垂径定理，
2
2
)
2
1
(
1
1
a
b
k
k
AB
OM
-
=
-
⨯
=
⋅，
2
1
2
2
2
2
2
=
-
=
a
c
a
a
b，即
2
1
12=
-e，因为
0 2 2 = e 【例2】已知A、B为椭圆)0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x的左右顶点，P为椭圆上异于A、B 的点，PA、PB的斜率分别为 2 1 ,k k，且 4 3 2 1 - = k k，则该椭圆的离心率为 【解析】答案为 2 1 = e 圆、椭圆与双曲线中的垂径定理可以归结为（统称为有心圆锥曲线）： （1）若方程， 且0 (1 2 2 > > = +n m n y m x 或0 < mn）存在以上关系，则上述结论可表述为： m n -， 即= ⋅ AB OE k k= ⋅ l OE k k m n k k AE BE - = ⋅，其中n m，分别是2 2,y x系数的倒数. （2）若方程)0 ,0 (1 2 2< > > = +AB B A By Ax或 且存在以上关系，则上述结论可表述为： B A -， 即= ⋅ AB OE k k= ⋅ l OE k k B A k k AE BE - = ⋅，其中B A，分别是2 2,y x系数.