复合梯形积分和复合Simpson积分计算数值积分

实验五

一、实验名称

复合梯形积分和复合Simpson 积分计算数值积分

二、实验目的与要求：

实验目的: 掌握复合梯形积分和复合Simpson 积分算法。

实验要求：1.给出复合梯形积分和复合Simpson 积分算法思路，

2.用C 语言实现算法，运行环境为Microsoft Visual

C++。

三、算法思路：

我们把整个积分区间[a,b]分成n 个子区间[xi,xi+1]，i=0，1,2,…,n，其中x0=a ，xn+1=b 。这样求定积分问题就分解为求和问题：

⎰∑⎰=-==b a n i x x i i dx x f dx x f S 11)()(

当这n+1个结点为等距结点时，即n a b h ih a x i /)(-=+=，其中，i=0,1,2,…,n ，复化梯形公式的形式是

∑=-+=n

i i i n x f x f h S 1

1)]()([2 算法：

input n

0.0←S

for i=1 to n do ))()((2

1i i x f x f h S S ++

←- end do

output S

如果n 还是一个偶数，则复合Simpson 积分的形式是

∑=--++=2

/1

21222)]()(4)([3n i i i i n x f x f x f h S 算法：

input n

0.0←S

for i=1 to n/2 do ))()(4)((3

21222i i i x f x f x f h S S +++

←-- end do

output S

四、实验题目：

五、问题的解：

编写程序（程序见后面附录），输出结果如下：

为了便于看清数值积分结果与原函数积分实际结果的差异。我在运行程序时故意计算了一下原函数积分的实际结果。

分析并比较得到的数据可以看出，当k 越来越大时，数值积分的结果越来越靠近原函数积分实际结果，并且复合Simpson 积分的结果更迅速地靠近原函数积分实际结果，这是有原因的，从两种方法的误差项即可看出。 复合梯形积分的误差项是)()(121''2ξf h a b --

，Simpson 积分的误差项是)()(1801)4(4ξf h a b --，),(b a ∈ξ，当h 趋于零时，显然Simpson 积分的误差项更快地趋于零，实验结果复符合这一结论。

六、附录：

实验编程，运行环境为Microsoft Visual C++

#include

#include

#include

double f(double x) //定义函数f(x)//

{

double y;

y=sin(x);

return(y);

}

double S1(int N,double a,double b) //建立复合梯形积分// {

double s,h;

int i;

h=(b-a)/N; s=0.0;

for(i=1;i<=N;i++)

{

s=s+h*(f(a+(i-1)*h)+f(a+i*h))/2.0;

}

return(s);

}

double S2(int N,double a,double b) //建立符合Simpson积分//

{

double s,h;

int i;

h=(b-a)/N; s=0.0;

for(i=1;i<=N/2;i++)

{

s=s+h*(f(a+(2*i-2)*h)+4*f(a+(2*i-1)*h)+f(a+2*i*h))/3.0;

}

return(s);

}

void main() //main函数进行最终运算并输出结果//

{

int k;

printf("s1代表复合梯形积分结果，s2代表Simpson积分结果\n");

for(k=0;k<=12;k++)

{

printf("k=%d时，s1=%.12f , s2=%.12f \n",

k,S1(pow(2,k),0.0,4.0),S2(pow(2,k),0.0,4.0));

}

printf("积分精确结果是：%.12f\n",1-cos(4.0)); }