最小二乘类辨识算法
各类最小二乘算法
β N −1 H* = N 0
β N −2
β 2( N −1) WN = 0
β 2( N −2)
0 ⋱ 1
三、递推算法 ∵
k θ(k ) = ∑ β i =1
∧
2(k −i) h (i )h T (i )
2随着采样次数的增多数据量不断增加ls估计有可能出现所谓的数据饱和现象导致递推算法不能接近参数真二关于数据饱和现象的分析所谓数据饱和现象就是随着时间的推移采集到的数据越来越多新数据所提供的信息被淹没在老数据的海洋之中
Ⅴ 各种最小二乘类参数辨识算法 §1 概 述
最小二乘类参数辨识算法（一次完成算法、递推算法） 最小二乘类参数辨识算法 （一次完成算法 、 递推算法 ） 是一种 最基本和常用的参数估计方法。但研究和应用表明， 最基本和常用的参数估计方法。 但研究和应用表明， 这一算 法仍存在明显的不足。 法仍存在明显的不足。 一、LS 算法的主要不足之处 1、当模型噪声为有色噪声时，LS 估计不再是无偏估计、一致 、当模型噪声为有色噪声时， 估计不再是无偏估计、 估计。 估计。 2、随着采样次数的增多，数据量不断增加，LS估计有可能出 、随着采样次数的增多，数据量不断增加， 估计有可能出 现所谓的“数据饱和”现象， 现所谓的“数据饱和”现象，导致递推算法不能接近参数真 值。
于是有： 于是有：
α P ( k ) P − 1 ( k − 1) = I − P ( k ) h ( k ) h T ( k )
则：
ˆ θ ( k ) = P ( k ) H * T Z * = P ( k ) α H * −1T Z * −1 + h ( k ) z ( k ) k k k k
第五章 最小二乘法辨识
服从正态分
❖ 4）有效性
❖ 定理4：假设 (k) 是均值为零，方差为 2I 的正态
白噪声，则最小二乘参数估计量
^
是有效估计
量，即参数估计误差的协方差达到Cramer-Rao不
等式的下界
E (^
^
)(
)T
2E
(
T N
N
) 1
M 1
❖ 其中M为Fisher信息矩阵。
4、适应算法
❖ 随着更多观测数据的处理，递推最小二乘法对线性 定常系统的参数估计并非越来越精确，有时会发现
❖ 现举例说明最小二乘法的估计精度 ❖ 例5.1：设单输入－单输出系统的差分方程为
y(k) a1y(k 1) a2 y(k 2) b1u(k 1) b2u(k 2) (k)
❖ 设 u(k)是幅值为1的伪随机二位式序列，噪声 (k)是 一个方差 2可调的正态分布 N(0, 2 )随机序列。
❖ 为了克服数据饱和现象，可以用降低旧数据影响的 办法来修正算法。而对于时变系统，估计k时刻的 参数最好用k时刻附近的数据估计较准确。否则新 数据所带来的信息将被就数据所淹没。
❖ 几种算法：渐消记忆法，限定记忆法与振荡记忆法
❖ 矩阵求逆引理：设A为 n n 矩阵，B和C为 n m 矩阵，
并且A， A和 BCT I CT都A是1B 非奇异矩阵，则有矩
阵恒等式
A BCT 1 A1 A1B(I CT A1B)1CT A1
❖
令
A
PN1
，B
N 1
，C
T N 1
，根据引理有
PN1
T N 1 N 1
1
❖ 算法中，^ N 为2n+1个存贮单元（ai ,bi ,i 1,2, , n）， 而 PN 是 (2n 1) (2n 1)维矩阵，显然，将 N 换成 PN 后，存贮量大为减少（因为n为模型的阶数，一般 远远小于N）
(完整word版)多种最小二乘算法分析+算法特点总结
第一部分：程序设计思路、辨识结果分析和算法特点总结 (3)一：RLS遗忘因子法 (3)RLS遗忘因子法仿真思路和辨识结果 (3)遗忘因子法的特点: (4)二：RFF遗忘因子递推算法 (4)仿真思路和辨识结果 (4)遗忘因子递推算法的特点： (6)三:RFM限定记忆法 (6)仿真思路和辨识结果 (6)RFM限定记忆法的特点： (7)四:RCLS偏差补偿最小二乘法 (7)仿真思路和辨识结果 (7)RCLS偏差补偿最小二乘递推算法的特点： (9)五：增广最小二乘法 (9)仿真思路和辨识结果 (9)RELS增广最小二乘递推算法的特点: (11)六：RGLS广义最小二乘法 (11)仿真思路和辨识结果 (11)RGLS广义最小二乘法的特点： (13)七：RIV辅助变量法 (14)仿真思路和辨识结果 (14)RIV辅助变量法的特点： (15)八：Cor-ls相关最小二乘法（二步法） (15)仿真思路和辨识结果 (15)Cor—ls相关最小二乘法（二步法)特点： (17)九：MLS多级最小二乘法 (17)仿真思路和辨识结果 (17)MLS多级最小二乘法的特点: (21)十:yule_walker辨识算法 (21)仿真思路和辨识结果 (21)yule_walker辨识算法的特点: (22)第二部分：matlab程序 (23)一：RLS遗忘因子算法程序 (23)二：RFF遗忘因子递推算法 (24)三:RFM限定记忆法 (26)四:RCLS偏差补偿最小二乘递推算法 (29)五:RELS增广最小二乘的递推算法 (31)六；RGLS 广义最小二乘的递推算法 (33)七:Tally辅助变量最小二乘的递推算法 (37)八：Cor-ls相关最小二乘法（二步法) (39)九:MLS多级最小二乘法 (42)十yule_walker辨识算法 (46)第一部分:程序设计思路、辨识结果分析和算法特点总结一：RLS遗忘因子法RLS遗忘因子法仿真思路和辨识结果仿真对象如下：其中, v(k ）为服从N（0,1)分布的白噪声。
系统辨识—最小二乘法
最小二乘法参数辨识1 引言系统辨识是根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型。
现代控制理论中的一个分支。
通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。
对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。
对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。
而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。
通常，预先给定一个模型类μ={M}（即给定一类已知结构的模型），一类输入信号u和等价准则J=L(y，yM)(一般情况下，J是误差函数，是过程输出y和模型输出yM的一个泛函)；然后选择使误差函数J达到最小的模型，作为辨识所要求的结果。
系统辨识包括两个方面：结构辨识和参数估计。
在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的。
2 系统辨识的目的在提出和解决一个辨识问题时，明确最终使用模型的目的是至关重要的。
它对模型类（模型结构）、输入信号和等价准则的选择都有很大的影响。
通过辨识建立数学模型通常有四个目的。
①估计具有特定物理意义的参数有些表征系统行为的重要参数是难以直接测量的，例如在生理、生态、环境、经济等系统中就常有这种情况。
这就需要通过能观测到的输入输出数据，用辨识的方法去估计那些参数。
②仿真仿真的核心是要建立一个能模仿真实系统行为的模型。
用于系统分析的仿真模型要求能真实反映系统的特性。
用于系统设计的仿真，则强调设计参数能正确地符合它本身的物理意义。
③预测这是辨识的一个重要应用方面，其目的是用迄今为止系统的可测量的输入和输出去预测系统输出的未来的演变。
例如最常见的气象预报，洪水预报，其他如太阳黑子预报，市场价格的预测，河流污染物含量的预测等。
预测模型辨识的等价准则主要是使预测误差平方和最小。
递归最小二乘法辨识参数
递归最小二乘法辨识参数递归最小二乘法（Recursive Least Squares, RLS）是一种参数辨识方法，它使用递归算法来求解最小二乘法中的参数。
在许多领域中，例如系统辨识、自适应控制、信号处理等，递归最小二乘法都是一个广泛使用的方法。
递归最小二乘法的基本思想是：通过递归迭代来更新参数估计值，使其逼近最优解。
在递归过程中，每一次迭代时，都会通过当前的测量值来更新参数的估计值，同时保留历史测量值的影响，从而获得更精确的估计值。
具体地说，在递归过程中，首先需要定义一个初始参数向量，然后通过观测数据序列来递归更新参数向量。
假设有一个如下所示的线性关系：y(k) = Φ(k) * θ + v(k)其中，y(k)是被观测到的输出值，Φ(k)是与该输出值相关的输入向量，θ是待辨识的参数向量，v(k)是误差项。
递归最小二乘法的目标就是通过观测数据来估计θ的值。
在递归最小二乘法中，首先需要定义一个初始的参数向量θ0，然后通过数据序列递归地更新θ的值。
每一次迭代时，都会用最新的观测数据来更新参数向量，使得估计值更接近真实值。
具体来说，每次观测到新的数据之后，都会根据当前参数估计值和新的观测值来计算估计误差，并更新参数向量。
具体的迭代步骤如下：1.从数据序列中读取观测值y(k)和输入向量Φ(k)；2.计算估计值y(k)hat和估计误差e(k)：y(k)hat = Φ(k) * θ(k-1)e(k) = y(k) - y(k)hat3.计算卡尔曼增益K(k)和参数估计值θ(k)：K(k) = P(k-1) * Φ(k) / (λ + Φ(k)' * P(k-1) * Φ(k))θ(k) = θ(k-1) + K(k) * e(k)其中，P(k-1)是先前迭代步骤中的误差协方差矩阵，λ是一个小的正数，用于确保逆矩阵的存在性。
需要注意的是，递归最小二乘法的计算量相对较大，因此通常需要对算法进行优化，以提高计算效率和精度。
最小二乘参数辨识方法
《系统辨识基础》第17讲要点第5章 最小二乘参数辨识方法5.9 最小二乘递推算法的逆问题辨识是在状态可测的情况下讨论模型的参数估计问题，滤波是在模型参数已知的情况下讨论状态估计问题，两者互为逆问题。
5.10 最小二乘递推算法的几种变形最小二乘递推算法有多种不同的变形，常用的有七种情况：① 基于数据所含的信息内容不同，对数据进行有选择性的加权； ② 在认为新近的数据更有价值的假设下，逐步丢弃过去的数据； ③ 只用有限长度的数据；④ 加权方式既考虑平均特性又考虑跟综能力； ⑤ 在不同的时刻，重调协方差阵P (k )； ⑥ 设法防止协方差阵P (k )趋于零； 5.10.1 选择性加权最小二乘法 把加权最小二乘递推算法改写成[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+--=--+-=-)1()]()([)(1)()1()()()()1()()()]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ1k k k k k k k k k k k k k k k z k k k P h K P h P h h P K h K τττθθθI ΛΛ算法中引进加权因子，其目的是便于考虑观测数据的可信度．选择不同的加权方式对算法的性质会有影响，下面是几种特殊的选择：① 一种有趣的情况是Λ()k 取得很大，在极限情况下，算法就退化成正交投影算法。
也就是说，当选择⎩⎨⎧=-≠-∞=0)()1()(,00)()1()(,)(k k k k k k k h P h h P h ττΛ 构成了正交投影算法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=--+-=)1()]()([)()()1()()()1()()]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆk k k k k k k k k k k k k z k k k P h K P h P h h P K h K τττθθθI 算法初始值取P ()0=I 及 ()θε0=(任定值)，且当0)()1()(=-k k k h P h τ时，令K ()k =0。
最小二乘参数辨识方法及原理
' ' ' f cy ( x, y) , f cy ( x, y) x , f cy ( x, y) y ] T ；
Y ( x, y ) ＝ f r ( x, y) f c ( x, y) ；
i 1 i 1 n n
如果定义
h(k ) [ y(k 1), y(k 2),, y(k n),u(k 1),u(k 2),, u(k n)]
[a1 , a2 ,, an , b1 , b2 ,, bn ]
T
z (k ) h(k ) v(k )
z ( k ) y ( k ) v( k )
z
1、问题的提出
v(k )
t (k )
G (k )
y (k )
z (k )
m次独立试验的数据
f (t )
(t1 , y1 ) (t2 , y2 )
t
(tm , ym )
z(k ) a0 a1h1 (k ) a2h2 (k ) an hn (k ) v(k )
2.1 利用最小二乘法求模型参数
例：表 1 中是在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值，根 据测量值确定该电阻的数学模型， 并求出当温度在 70 C 时
的电阻值。
表 1 热敏电阻的测量值
t (C ) R ()
20.5 765
26 790
32.7 826
40 850
51 873
61 910
73 942
零偏 标度因数 输出轴灵敏 度误差系数 二阶非线性 误差系数 摆轴灵敏度 误差系数
系统辨识各类最小二乘法汇总
yk(k)=1.5*yk(k-1)-0.7*yk(k-2)+uk(k-1)+0.5*uk(k-2)+y1(k); end figure(3); plot(yk); title('对应输出曲线');
theta=[0;0;0;0]; p=10^6*eye(4);
9
for t=3:N h=([-yk(t-1);-yk(t-2);uk(t-1);uk(t-2)]); x=1+h'*p*h; p=(p-p*h*1/x*h'*p); theta=theta+p*h*(yk(t)-h'*theta);
12
p=(p-p*h*1/x*h'*p); theta=theta+p*h*(yk(t)-h'*theta);
a1t(t)=theta(1); a2t(t)=theta(2); b1t(t)=theta(3); b2t(t)=theta(4); d1t(t)=theta(5); d2t(t)=theta(6);
end 5、RGLS 试验程序（部分） for t=3:N
he=([-e(t-1);-e(t-2)]); xe=1+he'*pe*he; pe=(pe-pe*he*1/xe*he'*pe); thete=thete+pe*he*(e(t)-he'*thete);
c1t(t)=thete(1); c2t(t)=thete(2);
7
RELS： 当噪声模型： e k = D Z −1 ∗ v k ( v(k) 为白噪声 )时，我们采用增广最 小二乘方法。能辨识出参数（包括噪声参数）的无偏估计。 RGLS： 当噪声模型： e k =
各种最小二乘算法总结
各种最小二乘算法总结1. 一般最小二乘法例 1 考虑如下仿真对象z k 2 1.5 z k 1 0.7 z k u k1 0.5u k v k 其中，v k 为服从N 01 分布的白噪声。
输入信号u k采用M 序列，幅度为1。
M 序列由9 级移位寄存器产生，xi xi 4⊕xi 9 。
选择如下的辨识模型z k 2 a1 z k 1 a2 z k b1u k 1 b2u k vk 观测数据长度取L 400 。
加权阵取∧I 。
1.1. 一次计算最小二乘算法a1 -1.4916 θ LS a 2 H T H 1 H T Z 0.7005 1.1 L L L L 1.0364 b10.4268 b2 Z 3 hT 3 Z 2 Z 1 u 2 u 1 T其中，Z L Z 4 ，H h 4 Z 3 Z 2 u3 u 2 ... L ... ... ... ... ... Z 402 hT 402 Z 401 Z 400 u 401 u 400Matlab程序见附录1。
1.2. 递推最小二乘算法递推最小二乘算法公式：θ k θ kK k P k 1hk h k P k 1hk 1.2 ∧k Pk I K k h k Pk 11 K k z k h k θ k 1 1 13 盛晓婷最小二乘算法总结报告a1 3 初始条件θ 0 a 2 3 P0 100I 。
3 4×4 b1 3 b2经过编程计算，各个参数的估计值为a1 -1.4976 a2程序见附录2。
待估参数0.6802θ LS 1.0284 1.3 b1 0.3341 b2Matlab过渡过程 3 2.5 2 1.5 b1 1 a2 0.5 0 b2 -0.5 -1 a1 -1.5 -2 0 50 100 150200 250 300 350 400 450 图 1 一般最小二乘参数过渡过程 4 盛晓婷最小二乘算法总结报告估计方差变化过程100908070605040302010 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 图2 一般最小二乘方差变化过程 5 盛晓婷最小二乘算法总结报告 2.遗忘因子最小二乘算法采用的辨识模型与例1相同。
几种最小二乘法递推算法的小结
递推最小二乘法的一般步骤：1. 根据输入输出序列列出最小二乘法估计的观测矩阵ϕ：] )(u ... )1( )( ... )1([)(T b q n k k u n k y k y k ------=ϕ没有给出输出序列的还要先算出输出序列。
本例中， 2)]-u(k 1),-u(k 2),-1),-y(k -[-y(k )(T =k ϕ。
2. 给辨识参数θ和协方差阵P 赋初值。
一般取0θ=0或者极小的数，取σσ,20I P =特别大，本例中取σ=100。
3. 按照下式计算增益矩阵G ：)()1()(1)()1()(k k P k k k P k G T ϕϕϕ-+-= 4. 按照下式计算要辨识的参数θ：)]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ--+-=k k k y k G k k T θϕθθ5. 按照下式计算新的协方差阵P ：)1()()()1()(---=k P k k G k P k P T ϕ6. 计算辨识参数的相对变化量，看是否满足停机准则。
如满足，则不再递推；如不满足，则从第三步开始进行下一次地推，直至满足要求为止。
停机准则：εϑϑϑ<--)(ˆ)1(ˆ)(ˆmax k k k i i i i 本例中由于递推次数只有三十次，故不需要停机准则。
7. 分离参数：将a 1….a na b 1….b nb 从辨识参数θ中分离出来。
8. 画出被辨识参数θ的各次递推估计值图形。
为了说明噪声对递推最小二乘法结果的影响，程序5-7-2在计算模拟观测值时不加噪声， 辨识结果为a1 =1.6417，a2 = 0.7148，b1 = 0.3900，b2 =0.3499，与真实值a1 =1.642， a2 = 0.715， b1 = 0.3900，b2 =0.35相差无几。
程序5-7-2-1在计算模拟观测值时加入了均值为0，方差为0.1的白噪声序列，由于噪声的影响，此时的结果为变值，但变化范围较小，现任取一组结果作为辨识结果。
最小二乘参数辨识标准算法——第三讲
Harbin Institute of Technology– HIT系统辨识与自适应控制黄显林、班晓军 控制理论与制导技术研究中心 哈尔滨工业大学 banxiaojun@2010-3-15控制理论与制导技术研究中心第1页Harbin Institute of Technology– HIT第四讲 最小二乘参数辨识标准算法内容提要： 1. 最小二乘数学方法引例； 2. 最小二乘辨识方法的基本计算公式； 3. 算法演示与仿真分析； 4. 加权最小二乘法介绍。
2010-3-15控制理论与制导技术研究中心第2页Harbin Institute of Technology– HIT最小二乘方法的典故：1801年左右,德国数学家Gauss，在“星体轨道估计中”就发明了最小二 乘方法。
Gauss, K. F. (1809), Theoria Motus Corporum Celestium, English Translation: Theory of the Motion of Heavenly bodies. Dover(1963), New York.当时的天文界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已，认为火星和 木星间应该还有行星未被发现。
在1801年，意大利的天文学家 Piazzi， 发现在火星和木星间有一颗新星。
它被命名为「谷神星」(Cere)。
现在 我们知道它是火星和木星的小行星带中的一个，但当时天文学界争论 不休，有人说这是行星，有人说这是彗星。
必须继续观察才能判决， 但是 Piazzi只能观察到它 9 度的轨道，再来，它便隐身到太阳後面去 了。
因此无法知道它的轨道，也无法判定它是行星或彗星。
2010-3-15控制理论与制导技术研究中心第3页Harbin Institute of Technology– HIT高斯这时对这个问是产生兴趣，他决定解决这个捉摸不到的星体轨 迹的问题。
高斯自己独创了只要三次观察，就可以来计算星球轨道 的方法。
小二乘参数辨识方法及原理
目录
• 引言 • 小二乘参数辨识方法 • 小二乘参数辨识原理 • 小二乘参数辨识的应用 • 小二乘参数辨识的优缺点 • 小二乘参数辨识的未来发展
01
引言
目的和背景
目的
小二乘参数辨识方法是一种数学优化技术，旨在通过最小化预测值与实际观测值之间的平方误差和，来估计模 型参数。这种方法广泛应用于各种领域，如系统辨识、回归分析、机器学习等。
易于理解和实现
最小二乘法的原理直观易懂，且易于通过编程实现。
缺点
对异常值敏感
最小二乘法对数据中的异常值非常敏感，异常值可能会对参数估计 产生显著影响。
假设限制
最小二乘法要求误差项是随机的且服从正态分布，这在某些情况下 可能无法满足。
无法处理非线性问题
最小二乘法主要用于线性回归问题，对于非线性问题，可能需要其他 方法。
将小二乘参数辨识方法应用于机器学习中，提高模型 的训练效率和精度。
控制系统
将小二乘参数辨识方法应用于控制系统中，实现系统 的优化和自适应控制。
生物医学工程
将小二乘参数辨识方法应用于生物医学工程中，实现 对生理信号的准确分析和处理。
感谢您的观看
THANKS
背景
随着现代科技和工程领域的快速发展，越来越多的复杂系统需要建立数学模型进行描述和预测。小二乘参数辨 识方法作为一种有效的参数估计方法，能够为这些复杂系统的建模提供重要的技术支持。
小二乘参数辨识的定义
定义
小二乘参数辨识，也称为最小二乘法，是一种通过最小化观测数据与模型预测数据之间的平方误差和来估计模型 参数的方法。这种方法的基本思想是通过最小化误差的平方和来找到最佳的参数值，使得模型的预测结果与实际 观测结果之间的差异最小。
分数阶系统的迭代最小二乘辨识算法
算法， 并将 运算 数据 的 实部 和虚部 分 离计算 引入辨 识过 程 ， 简化 了计 算的 复杂 度 。 算 法是 整数 阶 此 系统辨识 频域 最 小二 乘算 法的推 广 。 通过 无 噪 声和 有 噪 声 两种 情 况 下 的仿 真 实验 ， 明 了该 算 法 证
ｐ ｏ ｏｅ ｔ ｏ ． ｒ ｐ ｓ ｄ ｍｅ ｈ ｄ
Ｋｅ ｗｏ ｄｓ： ｆａｃｉ ｎ ｌ ｏ ｄ ｒ ｓ ｓｅ ， ｉ ｎｔｆｃ ｔｏ ｉ ｆｅ ｕ ｎｃ — ｏ ｉ ｙ ｒ ｒ ｔｏ ａ ｒ ｅ ｙ ｔ ｍ ｄｅ ｉ ａ ｉ ｎ ｎ ｒ ｑ ｅ ｙ ｄ ｍａ ｎ， ｉｅ ａ ｉ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｔｒ ｔｖ ｅ ｓ ｓ ａ ｅ ａ ｇ ｒｔ ｍ ｑｕ ｒ ｌ ｏ ｉｈ
Ａｕ ２０ｌ ｇ． Ｏ
分 数阶 系统 的迭 代 最 小 二乘 辨 识 算 法
李 大 字 范伟 光 ， ， 高彦 臣 ， 靳 其 兵
（． １北京化工大学 信息科学与技术学院， 北京 １￣ ９２青 岛市Ｓ业信息化技术重点实验室 ， ｆ Ｙ ；． ２ － 山东 青岛 ２６４） ６０５
ｓ ｓｅ ｎ ｔ ｅ ｆｅ ｕ ｎ ｙ ｄ ｍａ ｎ Ａｎ ｉ ｒ ｔｖ ｅ ｓ ｑ ａ ｅ ｉ ｅ ｔ ｉ ａ ｉ ｎ ａｇ ｒｔ ｍ ｓ ｐ ｏ ｏ ｅ ｙ ｔｍ ｉ ｈ ｑ ｅ ｃ ｏ ｉ ． ｒ ｔ ａ ｉｅ ｌ ａ ｔ ｓ ｕ ｒ ｄ ｎ ｉ ｃ ｔ ｌ ｏ ｉ ｅ ｆ ｏ ｈ ｗａ ｒ ｐ ｓ ｄ
ａ ｍｅ ｔ ｔ ｅ ｃ ａ ａ ｔ ｒｓｉ ｏ ｏ ｉ ｄ ａ ｈ ｈ ｒ ｃ ｅ ｉｔｃ ｆ ｃ ｍｍｅ ｓ ｒ ｔ ｒ ｃｉ ｎａ ｒ ｅ ｙ ｔ ｍ ．ｗｈｉ ｈ Ｓ ａ ｒ ｍｏ ｉ ｎ ｏБайду номын сангаас ｈｅ ｎ ｕ ａｅ ｆａ ｔｏ ｌ ｏ ｄ ｒ ｓ ｓ ｅ ｃ ｉ ｐ ｏ ｔｏ ｆ ｔ ｉ ｔ ｇ ｒ ｏ ｄ ｒｓ ｓ ｅ ｌ ａ ｔｓ ｕａ ｅ ｄ ｎ ｉｉ ａ ｉｎ ａ ｇ ｒｔ ｎ ｅ ｅ — ｒ ｅ ｙ ｔ ｍ ｅ ｓ —ｑ ｒ ｓ ｉ ｅ ｔｆｃ ｔｏ ｌ ｏ ｉｈｍ ｎ ｆｅ ｕ ｎｃ — ｏ ｉ ｉ ｑ ｅ ｙ ｄ ｍａｎ．Ｉ ｒ ｅ ｏ ｓｍｐｌｆ ｒ ｎ ｏ ｄ ｒｔ ｉ ｉｙ
电网电容电流的最小二乘法辨识算法
第38卷第8期电力系统保护与控制Vol.38 No.8 2010年4月16日Power System Protection and Control Apr.16, 2010 电网电容电流的最小二乘法辨识算法刘毅敏，高广峰（山西省阳泉市供电分公司，山西 阳泉 045000）摘要：介绍一种测量计算电网电容电流的新方法。
该方法不同于传统测量方法，是在信号注入法的基础上，结合系统辨识理论，从PT二次侧进行采样，通过输入和输出间的数学模型，采用递推式最小二乘法进行辨识计算，最终计算出电网电容电流。
辨识算法的程序开发选用DSP芯片，采用C语言编程，能够达到较高的辨识速度和精度要求。
最后，运用Matlab对电压互感器PT回路的建模，在CCS2.20中仿真运行递推式最小二乘法算法程序，通过试验证实了这种方法的精确性和实时性。
关键词：电容电流；信号注入法；系统辨识；最小二乘法；DSPLeast square identification algorithm of capacitive current in power gridLIU Yi-min，GAO Guang-feng（Yangquan Power Supply Branch，Yangquan 045000，China）Abstract：This paper introduces a new method of measuring capacitive current in power grid. This method is different from the other traditional methods. It is based on the signal injection method and combined with the theory of system identification, sampling data from the secondary side of PT, through the mathematical model between the input and the output, at last, using recursive least square method to identify and calculate the capacitive current. DSP chip is selected to finish the identification algorithm′s program development and C language is adopted for programming, so as to achieve a higher speed and accuracy of identification requirements. Finally, this paper uses the model of PT circuit which is established by Matlab and runs recursive least square algorithm program in CCS2.20 to simulate, to experimentally confirm the accuracy and real-time of this method.Key words：capacitive current；signal injection method；system identification；least square method；DSP中图分类号：TM76 文献标识码：A 文章编号： 1674-3415(2010)08-0049-040 引言目前，我国10～35 kV系统以中性点不接地或经消弧线圈接地（称为小接地电流系统）的方式为主。
系统辨识—最小二乘法
最小二乘法参数辨识1 引言系统辨识是根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型。
现代控制理论中的一个分支。
通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。
对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。
对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。
而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。
通常，预先给定一个模型类μ={M}（即给定一类已知结构的模型），一类输入信号u和等价准则J=L(y，yM)(一般情况下，J是误差函数，是过程输出y和模型输出yM的一个泛函)；然后选择使误差函数J达到最小的模型，作为辨识所要求的结果。
系统辨识包括两个方面：结构辨识和参数估计。
在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的。
2 系统辨识的目的在提出和解决一个辨识问题时，明确最终使用模型的目的是至关重要的。
它对模型类（模型结构）、输入信号和等价准则的选择都有很大的影响。
通过辨识建立数学模型通常有四个目的。
①估计具有特定物理意义的参数有些表征系统行为的重要参数是难以直接测量的，例如在生理、生态、环境、经济等系统中就常有这种情况。
这就需要通过能观测到的输入输出数据，用辨识的方法去估计那些参数。
②仿真仿真的核心是要建立一个能模仿真实系统行为的模型。
用于系统分析的仿真模型要求能真实反映系统的特性。
用于系统设计的仿真，则强调设计参数能正确地符合它本身的物理意义。
③预测这是辨识的一个重要应用方面，其目的是用迄今为止系统的可测量的输入和输出去预测系统输出的未来的演变。
例如最常见的气象预报，洪水预报，其他如太阳黑子预报，市场价格的预测，河流污染物含量的预测等。
预测模型辨识的等价准则主要是使预测误差平方和最小。
递推阻尼最小二乘法辨识算法公式的详细推导与说明
控制理论与控制工程学位课程《系统辨识》考试报告递推阻尼最小二乘法公式详细推导专业：控制理论与控制工程班级：2011双控（研）学生姓名：江南学号：20110201016任课教师：蔡启仲老师2012年06月29 日摘要在参数辨识中，递推最小二乘法是用得最多的一种算法。
但是，最小二乘法存在一些缺点，如随着协方差矩阵的减小，易产生参数爆发现象；参数向量和协方差矩阵的处置选择不当会使得辨识过程在参数收敛之前结束；在存在随机噪声的情况下，参数易产生漂移，出现不稳定等。
为了防止参数爆发现象，Levenberg 提出在参数优化算法中增加一个阻尼项，以增加算法的稳定性。
本文在一般的最小二乘法中增加了阻尼因子，构成了阻尼最小二乘法。
又根据实时控制的要求，详细推到了递推阻尼最小二乘公式，实现在线辨识。
关键字：系统辨识，最小二乘法，递推算法正文1.题目的基本要求已知单入单出系统的差分方程以及噪声，在应用最小二乘法进行辨识的时候，在性能指标中加入阻尼因子，详细推导阻尼最小二乘法的递推公式。
2.输入辨识信号和系统噪声的产生方法和理论依据 2.1系统辩识信号输入选择准则（1）输入信号的功率或副度不宜过大，以免使系统工作在非线性区，但也不应过小，以致信噪比太小，直接影响辩识精度；（2）输入信号对系统的“净扰动”要小，即应使正负向扰动机会几乎均等； （3）工程上要便于实现，成本低。
2.2白噪声及其产生方法 （1） 白噪声过程（2）白噪声是一种均值为0、谱密度为非0常数的平稳随机过程。
（3）白噪声过程定义：如果随机过程()t ω的均值为0，自相关函数为()()2R t t ωσδ= （2.2.1）式中()t δ 为狄拉克（Dirac) 分布函数，即(){(),00,01t t t dt δδ∞∞=≠∞==⎰-且t （2.2.2）则称该随机过程为白燥声过程。
2.3白噪声序列 (1) 定义 如果随机序列{()}w t 均值为0，并且是两两不相关的，对应的自相关函数为()2,0,1,2w l R l l σδ==±± 式中{1,00,0l l l δ=≠=则称这种随机序列{()}w t 为白噪声序列。
系统辨识第5章 线性动态模型参数辨识 最小二乘法
度函数
，则称uS(uk()为) “持续激励”信号。
● 定义4 一个具有谱密度 Fn (为z 1的) 平f1z稳1 信f2号z 2u(k)称fn为z nn 阶
“持续激励”Fn信(e号j )，2 S若u (对) 一0 切形如 Fn (e j ) 0
的滤波器，关系式
，意味着
。
● 定理2 设输入信号u(kR)u是(0)平稳R随u (1机) 信号，Ru (如n 果1)相关函数矩阵
式中
zL H L nL
nzHLLL[[zn(h(hh11TT)T),((,(zL12n())()22)),,,,znz(((LzLzL)(()]10]))1)
z(1 na ) z(2 na )
z(L na )
u(0) u(1)
u(L 1)
u(1 nb )
u(2
nb
)
u(L nb )
5.2 最小二乘法的基本概念
● 两种算法形式
① 批处理算法：利用一批观测数据，一次计算或经反复迭代，
以获得模型参数的估计值。
②
递推算法：在上次模型参数估计值
ˆ
(k
1)的基础上，根据当
前获得的数据提出修正，进而获得本次模型参数估计值ˆ (k )，
广泛采用的递推算法形式为
(k ) (k 1) K (k )h(k d )~z (k )
z(k ) h (k ) n(k )
式中z(k)为模型输出变量，h(k)为输入数据向量， 为模型参
数向量，n(k)为零均值随机噪声。为了求此模型的参数估计值， 可以利用上述最小二乘原理。根据观测到的已知数据序列
和{z(k)} ，{h极(k小)} 化下列准则函数
L
J ( ) [z(k ) h (k ) ]2
递推最小二乘辨识
1.2递推算法的思想 * 递推辨识算法的思想可以概括成
新的参数估计值=旧的参数估计值+修正项 即新的递推参数估计值是在旧的递推估计值的基础上而成，
这就是递推的概念. 递推算法不仅可减少计算量和存储量,而且能实现在线
实时辨识. * 递推算法是依时间顺序,每获得一次新的观测数据就修
正一次参数估计值,随着时间的推移,便能获得满意的辨 识结果. RLS法即为成批型LS算法的递推化，即将成批型LS算法
Yk=[y(1), y(2), ..., y(k)]T=[Yk1 y(k)]T
仔细考察上述LS法,可以知道,该算法进行递推化的关键是算法中的矩 阵求逆的递推计算问题.
因此,下面先讨论该逆矩阵的递推计算.
P(k ) (Φk Φk )-1
(2)
将Φk展开,故有
P (k )
([
Φ
k -1
(k
-
1)][
化成依时间顺序递推计算即可。 该工作是1950年由Plackett完成的。
*下面讨论无加权因素时的一般LS法的递推算法的推导.
即将成批型算法化等效变换成如下所示的随时间演变递推 算法.
时不变SISO系统数学模型：A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+e(k)
na
A(z1) 1 ai zi i 1
2.递推最小二乘法实例与仿真
例:采用递推最小二乘估计辨识模型参数
z(k) 1.5z(k 1) 0.7z(k 2) u(k 1) 0.5u(k 2) V (k)
式中，V (k) 是服从正态分布的白噪声 N(0,1) 。输入信号采 用 4 阶 M 序列，其幅值为 1。
选择如下的辨识模型进行递推最小二乘参数辨识。
4. 用式(7)~(8)或(9)~(11)所示的RLS法计算当前参数递推估
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利用数据序列{z(k)}和{h(k)}
极小化下列准则函数
L
J ( ) [z(k) hT (k) ]2 k 1
使 J 最小的 的估计值
估计
ˆ，称为的最小二乘
12
４.3 最小二乘问题的提法
设时不变 SISO 动态过程的数学模型为
A(z 1)z(k) B(z 1)u(k) n(k)
所要解决的最小二乘问题
则有
J ( )
0
ˆWLS
)
ˆWLS
H
T L
LZL
21
当
H
T L
L
Z
L
可逆时（称为正则）时
ˆWLS
(
H
T L
L
H
L
)1
H
T L
LZL
充分条件
2 J ( ) 2
ˆWLs
2H
T L
L
H
L
0
因 L 0
所以 J ( ) WLS min , ˆWLS 是唯一的 22
通过极小化（16）式
，计算的逆矩阵
H
T L
ΛL H L
（要求必须是正则矩阵），按照式(16)即可计
算出过程参数 θ 的估计值 θˆWLS 。这种方法
称为“一次完成算法”，它为理论分析提供了
便利，但在计算时需要对矩阵求逆，如果矩阵
维数过大，矩阵求逆的计算量将急剧增加，对
计算机造成一定的负担。较为实用的方法是
“递推算法”，即把式(16)化成递推计算的形
[a1, a2 ,L , ana , b1, b2 ,L , bnb ]T 14
对 k 1,2, , L
(4)式构成一个线性方程组
可以写成
zL H L nL
其中
zL
nL
[z(1), z(2), [n(1),n(2),
z(L)]T n(L)]T
15
hT (1) z(0)
计算 ˆWLS 称为加权最小二乘法
取 L I
则（16）式变化成
ˆLS
(
H
T L
H
L
)1
H
T L
ZL
L k 1
h(k
)hT
(k
)
1
L k 1
h(k
)
z
(k
)
ˆLS - 最小二乘估计值
23
上述最小二乘法的计算步骤为：首先获取一批
足够数量的过程输入输出数据 zL 和 HL ，
并确定加权矩阵 ΛL
如何利用过程的输入、输出数据
确定多项式 A(z 1 ) 和 B(z 1 ) 的系数
13
在最小二乘问题中，一般对模型作以下假设
首先，模型的阶次 na ， nb 已定
且一般 na nb
其次，将（3）模型写成最小二乘格式
z(k) hT (k) n(k)
式中
h(k) [z(k 1),L , z(k na ),u(k 1),L ,u(k nb )]T
K = 1 时 (1) L1 1
K = L 时 (L) 1
19
准则函数 J ( ) 可写成二次型形式
J ( ) (z L H L )T L (z L H L )
L - 加权矩，一般为正定的对角矩阵
(1) 0
0
L 0 (2)
0
0
0
(L)
20
设 WLS
使
J ( ) WLS min
u(k) 和 z(k) 分别是过程的输入和输出 G(z 1 ) - 描述输入输出关系的模型，称为过程模型
4
G(z 1 ) 通常可以表示成
G(z 1 ) B(z 1 ) A(z 1 )
其中
A(z 1 B(z
) 1 )
1 a1z 1 b1z 1
a2 z 2 b2 z 2
a bnb
c
E{nL} 0
ov{nL
}
2 n
I
2 n
-
n(k)的方差
E{n(k)u(k l)} 0 k,l
最后，假设数据长度 L (na nb )
18
４.4 最小二乘问题的解
取准则函数
L
J ( ) (k)[z(k) hT (k) ]2 k 1
(k) - 加权因子，对 k, (k) 0 如 (k) Lk 0 1
E{n(L)}
E{n2 (1)} E{n(1)n(2)}
cov{nL}
E{nL nLT
}
E{n(2)n(1)}
E{n2 (2)}
E{n(L)n(1)} E{n(L)n(2)}
E{n(1)n(L)}
E{n(2)n(L)}
n
E{n2 (L)}
17
在最小二乘法中
假定 {n(k)} 是白噪声序列
A(z 1 )z(k) B(z 1 )u(k) 1 v(k) C(z 1 )
7
经比较
各种方法所用过程模型一样 只是噪声模型有所不同
8
４．２最小二乘辨识算法
内容
基本概念 最小二乘问题的提法 最小二乘问题的解 最小二乘参数估计值的统计性质 噪声方差估计 最小二乘参数估计的递推算法
z na
na
z nb
5
{n(k)}为噪声
可以表示成均值为零的平稳随机系列
n(k) N (z 1 )v(k)
N (z 1 ) D(z 1 ) C(z 1 )
式中
C(z 1) 1 c1z 1 c2 z 2 D(z 1) 1 d1z 1 d2 z 2
cnc z nc d nd z nd
第４ 章 最小二乘类参数辨识方法
1
主要内容
引言 最小二乘辨识算法 自适应辨识算法 偏差补偿最小二乘法 增广最小二乘算法 广义最小二乘法 辅助变量法 系统的结构辨识
2
４.1 引言
如果
仅仅关心所要辨识的过程输入输出特性 可以将所过程视为“黑箱” 而不考虑过程的内部机理
3
过程的“黑箱”结构
HL
hT
(2)
z(1)
hT
(
L)
z(L 1)
z(1 na ) z(1 na )
z(L na )
u(0) u(1 nb )
u(1)
u(2 nb )
u(L 1) u(L nb )
16
另外
设模型的噪声 n(k) 特征为
E{n(1)}
E{nL }
E{n(2)}
0
6
各种方法所用的辨识模型结构略有不同
最小二乘法（受控自回归 CAR模型）
A(z 1 )z(k) B(z 1 )u(k) v(k)
增广最小二乘法(受控自回归滑动平均 CARMA模型)
A(z 1 )z(k) B(z 1 )u(k) D(z 1 )v(k)
广义最小二乘法(动态调节 DA模型)
9
11.2 最小二乘法的基本概念
最小二乘法
1795年高斯在其著名的星体运动轨迹预报研究 工作中提出的,后来成了估计理论的奠基石。
10
假设
过程的输入输出关系可以描述成以下最小二乘格式
z(k) hT (k) n(k)
z(k) ― 输出
― 参数
h(k) ― 观测数据向量 n(k) ― 均值为零的随机噪声