第1章地震偏移成像基础

第一章地震偏移成像基础地震偏移技术是现代地震勘探数据处理的三大基本技术之一。

它是在过去的古典技术上发展起来的，其它两大技术都是从其它相关学科引进到地震中来的。

所以，偏移技术具有地震勘探本身的特征。

但是，地震偏移方法本身由于使用计算机而引起了许多革命性的变化。

这就是把它从研究简单的探测目标的几何图形进而发展成研究反射界面空间的波场特征、振幅变化和反射率等。

本章主要介绍地震偏移成像技术的基础知识。

首先给出偏移成像的概念；第二节介绍有限差分法的基础知识；第三节叙述基于波动方程的波场外推与地震成像原理；第四节讨论波场外推的Kirchhoff积分法；第五节简单分析Born近似和Rytov近似；最后阐述基于De Wolf近似、薄板近似、屏近似和相屏传播算子计算反向散射波场的方法。

§1.1 偏移成像的概念反射地震方法是根据在地面上以一定方式进行弹性波激发，并在地面的一定范围（孔径）内记录来自地下弹性分界面的反射波来研究地下地质岩层结构及其物性特征的一种方法。

因此，也可以把它看做是一种反散射问题。

就反射地震观测方式的特点，它的成像问题要分做两步，第一步是按照一定的方式记录到达地面的反射波，第二步用计算机按一定的计算方法对观测数据进行处理，使之成为反映地下地质分层面位置及反射系数值的反射界面的像。

而地震偏移技术就是在第二步过程使反射界面最佳地成像的一种技术。

地震偏移可在叠前做也可在叠后做。

叠前偏移是把共炮点道集记录或共偏移距道集记录中的反射波归位到产生它们的反射界面上并使绕射波收敛到产生它的绕射点上。

在把反射波回投到反射界面上和绕射波收敛到绕射点上时要去掉传播过程的效应，如扩散与衰减等。

最后得到能够反映界面反射系数特点的并正确归位了的地震波形剖面，即偏移剖面。

叠后偏移是在水平叠加剖面的基础上进行的，针对水平叠加剖面上存在的倾斜反射层不能正确地归位和绕射波不能完全收敛的问题，采用了爆炸反射面的概念来实现倾斜反射层的正确归位和绕射波的完全收敛。

地震偏移的效果见图1-1和图1-2。

地震偏移的类型见表1-1。

地震偏移技术在二十世纪六十年代以前是用手工操作的一种制图技术，只是用来求得反射点的空间位置，而不考虑反射波的特点。

它是一种古典的偏移方法。

早期的计算机偏移方法是在古典的偏移方法的基础上提出来的。

其中有的成功了，有的失败了。

成功的是那些符合波的传播特征的方法。

尽管这些方法使用了波前、绕射等地震波传播的惠更斯原理，但只是定性的、概念性的。

偏移剖面的质量虽然能够满足最基本的要求，但归位的精度和成像时的波形特征都不是很准确的。

因此，研究更有效的地震偏移方法是很迫切的。

二十世纪七十年代初J.Claerbout教授首先提出了用有限差分法解单程波动方程的近似式，用地面观测的地震数据重建地震波在地下传播过程中的波场，从这些传播过程的波场中提取使地震界面成像的那些数据，组成地震偏移剖面。

由于这种偏移方法在计算过程中要解波动方程或其近似式，所以被称为波动方程法偏移技术。

以后，French和Schneider等在绕射偏移法的基础上使用了波动方程解的Kirchhoff积分公式，发展为地震偏移的波动方程积分法。

使绕射偏移建立在可靠的波的基本原理上。

因而改善了偏移剖面，取得了良好的效果。

图1-1 (a)共中心点叠加剖面，(b)偏移剖面，(c)明显的绕射波D、偏移前的倾斜同相轴B和偏移后的倾斜同相轴A。

偏移使倾斜同相轴B归位到它的真实地下界面A，并使绕射波D收敛到其顶点P。

点画线指出了盐丘的边界。

图1-2 偏移前(a)及偏移后(b)弯曲反射界面(向斜和背斜)的形状。

详细情况见正文(模型据Union Oil Company)在二十世纪七十年代后期，Stolt和Gazdag等又先后提出了在频率-波数域解波动方程，外推地震波场的方法。

这种方法被称为F-K域偏移方法。

由于该方法计算简单，效率高，因而很快得到了推广。

上述三种波动方程偏移方法是同时并存的，因为它们各有自己的特点，因而不能用一个方法来取代其它方法。

使用时视具体条件和要求决定采用何种方法。

波动方程偏移方法在最近20年间迅速发展并不断完善，许多人对此做出了有益的贡献。

其中，Loewenthal等人的爆炸反射面的概念对于理解叠加剖面的偏移成像具有很大价值，Hubral，Larner等人提出的深度偏移的概念具有很大意义，Berkhout提出的偏移过程是一个空间褶积的概念对于偏移的横向分辨力的理解很有益处，马在田院士提出的高阶方程的分裂算法对提高有限差分法偏移的精度有很大贡献，Yilmaz等提出的双平方根法为解决叠前偏移奠定了基础。

现在仍有许多学者还在探索波动方程偏移技术，以期更加完善该方法。

表1-1 偏移方法分类§1.2 有限差分法的基础知识在计算机上进行数值运算，使用的是离散的和有限的数值，而不是连续的和无限的函数，为此要为离散数值的计算建立基本方法。

最基本和广泛使用的方法就是有限差分法，借助这一方法可以研究连续物理系统的性质，近似地、但相当精确地解出各种数理方程问题。

本节将概要地介绍有限差分法的基础知识，供以后各章解偏移方程使用。

一．差分方程的建立与求解1．有限差分的概念我们感兴趣的是用有限差分法解各类微分方程，因此，要把导数用有限差分来近似，所以我们这里只研究用有限差分近似导数的方法。

（1）一元函数差分法当一个函数u 和它的各阶导数是变量x 的单值的、有限的和连续的函数时，可以用泰勒原理展开为：⋅⋅⋅+∆+∆+∆+=∆+3332226121)()(dx u d x dx u d x dx du x x u x x u （1-1） 和⋅⋅⋅+∆-∆+∆-=∆-3332226121)()(dxu d x dx u d x dx du x x u x x u （1-2） 以上二式相加，得：)()(2)()(4222x dx u d x x u x x u x x u ∆O +∆+=∆-+∆+（1-3） 式中O(Δx 4)表示包含有Δx 的四阶和高于四阶以上的项。

从（1-1）~（1-3）式我们可以导出（图1-3）下列表示式：一阶向前差分：)]()([1x u x x u xu x -∆+∆=+δ )(x dxdu ∆O +=（1-4） 一阶向后差分： )]()([1x x u x u xu x ∆--∆=-δ )(x dx du ∆O +=（1-5） 一阶中心差分：)]()([21x x u x x u xu x ∆--∆+∆=δ)(2x dx du ∆O += （1-6）二阶差分：)]()(2)([122x x u x u x x u x u u x xx ∆-+-∆+∆==δδ)(222x dx ud ∆O +=（1-7） （2）多元函数差分法图1-3 一元函数差分法 图1-4 二元函数差分网格设有一个二元函数u(x, t)，我们用网格把它们离散（图1-4），令x=i Δx ，t=j Δti 和j 为整数。

用u i, j =u(i Δx, j Δt)表示各网格点上的函数值。

现在我们用泰勒级数展开下面各点之值为：),(],)1[(,1j i j i t x x u t j x i u u ∆+=∆∆+=+⋅⋅⋅+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆+=j i j i j i j i x ux x u x x ux u ,333,222,,)(61)(21)(（1-8）),(],)1[(,1j i j i t x x u t j x i u u ∆-=∆∆-=-⋅⋅⋅+∂∂∆-∂∂∆+∂∂∆-=j i j i j i j i x ux x u x x u x u ,333,222,,)(61)(21)(（1-9）由此可以求出对x 的一阶和二阶差分为：)(1,,1j i j i x u u xu -∆=++δ )(x x u ∆O +∂∂=（1-10） )(1,1,j i j i x u u xu ---∆=δ )(x x u ∆O +∂∂=（1-11） )(21,1,1j i j i x u u xu -+-∆=δ )(2x xu ∆O +∂∂=（1-12） )2(21.1,,12j i j i j i x xx u u u xu u -++-∆==δδ )(222x xu ∆O +∂∂= （1-13） 同理可求出对t 的一阶和二阶差分：)(1,1,j i j i t u u tu -∆=++δ )(t tu ∆O +∂∂=（1-14） )(11,,---∆=j i j i t u u tu δ )(t tu ∆O +∂∂=（1-15） )(211,1,-+-∆=j i j i t u u tu δ )(2t tu ∆O +∂∂=（1-16） )2(11,,1,22-++-∆==j i j i j i t tt u u u tu u δδ )(222t tu ∆O +∂∂=（1-17） 2．建立差分方程建立差分方程的方法很多，有积分法，物理量守恒法，变分法和最小平方法等。

对于常系数的微分方程来说，积分法是最简便的。

用积分法构造差分方程的过程见参考文献[1]。

3．差分方程的格式差分方程的格式基本可分为两大类：即显式格式和隐式格式。

在实际工作中又可以衍生出许多格式，甚至可以用显式与隐式联合形式的差分格式。

在这里我们仅以抛物型偏微分方程为例说明常用的显式格式和Crank-Nicolson 格式。

（1）显式格式设有抛物型偏微分方程：022=∂∂-∂∂x u t u σ （1-18） 经推导可具体写出差分方程为：)2(,1,,12,1,j i j i j i j i j i u u u x tu u -+++-∆∆+=σ （1-19）所用的差分网格如图1-5所示。

令γσ=∆∆2x t，则（1-19）式可写为：)2(,1,,1,1,j i j i j i j i j i u u u u u -+++-+=γ （1-20）其中j i u ,，j i u ,1-和j i u ,1+为已知值。

从第j 时间层上的已知值，可用（1-20）式直接计算出第1+j 时间层的值。

以此类推，可解出全时间上的物理量值。

图1-5 显式差分格式 图1-6 隐式差分格式（2）Crank-Nicolson 隐式格式虽然显式法计算上很简单，但它有一个严重的缺点，即时间步长t ∆一定要很小，必须满足2102≤∆∆<x tσ，才能保持计算上稳定并达到必要的精度。

Crank-Nicolson 在1947年提出了一个使所有的有限r 值都满足计算要求（收敛性和稳定性）的方法。

他们把22/xu ∂∂项用第j 和第j+1时间行上的平均差分来逼近。

求出下列的差分方程（图1-6）： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∆+-+∆+-=∆--++-++++2,1,,121,11,1,1,1,222x u u u x u u u t u u j i j i j i j i j i j i ji j i σ （1-21） 由此得出下列等式：j i j i j i j i j i j i u u u u u u ,1,,11,11,1,1)1(2)1(2+-++++-+-+=-++-γγγγγγ （1-22） 其中，2x t∆∆=σγ。