函数的类型、特性、极限、连续
极限与连续的定义与性质
极限与连续的定义与性质极限与连续是微积分中非常重要的概念，它们在数学中具有广泛的应用。
本文将介绍极限及其定义和性质，以及连续函数的定义和性质。
一、极限的定义与性质1. 极限的定义在数学中，极限是数列或函数逐渐接近某个确定值的过程。
对于数列，极限可以通过数学符号来表示，即lim(an)=a，表示数列an当n趋近于无穷时，逐渐趋向于a。
而对于函数，极限可以用lim(f(x))=L来表示，表示当x趋近于某个值时，函数f(x)的值趋近于L。
2. 极限的性质（1）唯一性：若极限存在，那么它是唯一的。
（2）局部有界性：存在极限的数列一定是有界的，即存在一个范围包含该数列的所有项。
（3）保序性：如果数列an逐渐趋近于a，而bn逐渐趋近于b，且an小于等于bn（对于所有的n），则有a小于等于b。
二、连续函数的定义与性质1. 连续函数的定义在数学中，连续函数是指在定义域的每个点上都有定义，并且在该点上的极限等于该点的函数。
形式化地，对于函数f(x)，如果对于任意x0∈定义域D，lim(x→x0)(f(x))=f(x0)，则称函数f(x)在x0上连续。
2. 连续函数的性质（1）极限与连续的关系：若函数f(x)在x=a处连续，那么lim(x→a)(f(x))=f(a)。
（2）连续函数的四则运算：如果函数f(x)和g(x)在x=a处连续，那么它们的和、差、积和商（当g(a)≠0时）也在x=a处连续。
（3）复合函数的连续性：若函数f(x)在x=a处连续，函数g(x)在x=b处连续，并且b=f(a)，那么复合函数g(f(x))在x=a处连续。
三、总结极限是数学中的重要概念，它在数列和函数中都有丰富的应用。
极限的定义和性质使我们能够更加准确地描述数列和函数的收敛性和趋势。
同时，连续函数是一类特殊的函数，其在定义域内不存在断点，平滑地连接着各个点。
连续函数的性质使我们能够进行更加灵活和精确的运算和推导。
通过对极限和连续的定义和性质的学习，我们可以更好地理解数学中的变化和趋势，应用于实际问题的建模和求解中。
函数的极限与连续性函数的局部与整体性质的判断
函数的极限与连续性函数的局部与整体性质的判断函数的极限与连续性：局部与整体性质的判断函数是数学中重要的概念之一，它描述了一种输入和输出之间的关系。
在讨论函数的性质时，常常需要考虑函数的极限和连续性。
函数的极限可以理解为函数在某一点附近的表现，而连续性则描述了函数在整个定义域上的表现。
本文将探讨函数的极限与连续性，讨论如何判断函数的局部与整体性质。
一、函数的极限函数的极限是指函数在某一点无论如何接近时，函数值的变化趋势。
数学上通过对函数的自变量趋近于某一点，分析函数在该点处的表现来确定函数的极限。
常用的表示方式为：lim[f(x)] = Lx→a其中，f(x)为函数表达式，a为自变量趋近的点，L为极限值。
函数极限的判断准则有很多，包括夹逼定理、单调有界准则、等比缩放法等。
通过这些准则，可以判断一个函数在某点是否存在极限，并求得极限值。
值得注意的是，在一些情况下，函数的极限可能不存在或者为无穷大，这时需要特殊处理。
二、连续性函数的局部与整体性质判断连续性是指函数在整个定义域上的表现，即函数在任意一点的函数值都与该点的极限值相等。
如果函数在某一点处连续，我们称该函数在该点处连续。
函数连续的充要条件是：f(a) = lim[f(x)]x→a其中，f(x)为函数表达式，a为自变量所在的点。
函数的局部连续性可以通过分段函数的方式来判断。
如果函数在某一点的左右极限存在且相等，即lim[f(x)] = lim[f(x)] = L，那么函数在该点处连续。
然而，有时候局部连续性并不能推断整体连续性。
一些函数在有限个点处连续，但在其他点处不连续，这种情况下，可以通过判断间断点的类型来进一步确定函数的连续性。
三、判断函数的整体连续性要判断函数在整个定义域上的连续性，需要考虑函数的每个间断点。
在一些情况下，函数在某一点存在间断，但仍可以是连续函数。
根据间断点的类型，我们可以判断函数的整体连续性。
常见的间断点类型包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
函数的极限与连续性的概念与性质
函数的极限与连续性的概念与性质函数的极限与连续性是数学分析中重要的概念，它涉及到数列的趋势和函数的连续性。
下面针对这两个概念进行详细的论述。
1. 函数的极限概念函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值的趋势。
具体来说，设函数为f(x)，若对于任意小的正数ε，存在正数δ，使得只要0 < |x - a| < δ，就有|f(x) - L| < ε成立，那么就说当x趋近于a时，f(x)的极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。
函数的极限有以下性质：- 若lim(x→a) f(x) = L，那么函数f(x)在x=a处存在极限为L。
- 若lim(x→a) f(x) = L，且lim(x→a) g(x) = M，那么lim(x→a) [f(x)+ g(x)] = L + M。
- 若lim(x→a) f(x) = L，且c是常数，那么lim(x→a) cf(x) = cL。
2. 函数的连续性概念函数的连续性是指函数在某个点上的极限等于函数在该点处的取值。
具体来说，设函数为f(x)，若对于任意的a，lim(x→a) f(x) = f(a)，那么函数f(x)在点x=a处连续。
函数的连续性有以下性质：- 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么在该区间上f(x)有界，即存在正数M，使得|f(x)| ≤ M。
- 若函数f(x)和g(x)在点x=a处连续，那么函数f(x) ±g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)（其中g(a) ≠ 0）也在点x=a处连续。
- 若函数f(x)在[a, b]上连续且在(c, d)上可导，那么在[a, b]上f'(x)也连续。
函数的极限与连续性的关系：- 若函数f(x)在点x=a处存在有限的极限lim(x→a) f(x) = L，那么函数f(x)在点x=a处连续。
- 若函数f(x)在点x=a处连续，但极限lim(x→a) f(x)不存在或为无穷大，那么函数f(x)在点x=a处不可导。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性在数学中，函数的极限与连续性是两个重要的概念。
极限用于描述函数在某一点附近的趋近行为，而连续性则刻画了函数在整个定义域内的无间断性。
本文将深入探讨函数的极限与连续性的概念、性质以及应用。
1. 函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数对应的因变量的趋近行为。
数学上，我们用极限运算符来表示函数的极限，通常表示为lim f(x) = L，其中lim表示趋近的极限运算符，f(x)为给定函数，L为函数在点x趋近的极限值。
函数的极限具有以下性质：- 唯一性：如果函数存在极限，那么极限值是唯一的。
- 有界性：如果函数存在有限极限，那么函数在该点附近是有界的。
- 保号性：如果函数在某一点的极限存在且大于（或小于）零，那么该点附近的函数值都大于（或小于）零。
2. 函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内没有断裂或跳跃的特性。
具体而言，若函数f在某一点x=a处的极限存在且等于函数在该点的函数值f(a)，则称函数在点x=a处连续。
若函数在定义域上的每一点都连续，则称函数在该定义域上连续。
函数的连续性具有以下性质：- 初等函数的连续性：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数在其定义域上都是连续的。
- 代数运算的连续性：两个连续函数的和、差、积仍为连续函数；若除数函数在某点不为零，那么商函数在该点连续。
- 复合函数连续性：若f(x)在点x=a处连续，g(x)在点y=f(a)处连续，那么复合函数g(f(x))在x=a处连续。
函数的极限与连续性在数学分析、微积分等领域有广泛的应用。
例如，极限理论为无穷小和无穷大的引入提供了基础，连续性可以帮助我们判断函数的可导性以及求解方程和不等式等问题。
总结起来，函数的极限与连续性是数学中重要的概念。
函数的极限描述了函数在某一点附近的趋近行为，而连续性则刻画了函数整个定义域内的无间断性。
这些概念具有各自的性质和应用，在数学的许多领域中都发挥着重要的作用。
函数的连续性连续函数的定义与性质
函数的连续性连续函数的定义与性质函数在数学中起着重要的作用，而函数的连续性是函数理论中的一个基本概念。
本文将探讨函数的连续性以及连续函数的定义和性质。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在某个区间上的“连续程度”，也就是函数在区间上是否存在间断点。
如果函数在某个点上连续，则说明函数在该点上没有间断，可以通过一个流畅的曲线来表示。
而如果函数在某个点上不连续，则说明函数在该点上存在间断，无法用一个曲线来表示。
在数学中，有三种类型的间断点：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
可去间断点指的是当函数在某个点上无定义时，如果通过修改函数在该点的定义，可以使函数在该点上连续，则该点是可去间断点。
跳跃间断点指的是当函数在某个点上左右两侧的极限存在，但两个极限不相等时，该点是跳跃间断点。
无穷间断点指的是当函数在某个点上的极限为无穷大或无穷小时，该点是无穷间断点。
二、连续函数的定义与性质连续函数是指在定义域上的每个点上都连续的函数。
如果一个函数在其定义域内处处连续，则称为全局连续函数；如果一个函数只在某个区间内连续，则称为局部连续函数。
连续函数具有以下重要性质：1. 若函数f(x)和g(x)都是连续函数，则它们的和f(x)+g(x)、差f(x)-g(x)以及积f(x)g(x)也是连续函数。
2. 若函数f(x)和g(x)都是连续函数，且g(x)不为0，则它们的商f(x)/g(x)也是连续函数。
3. 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
换言之，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且函数g(t)在区间[c,d]上连续，且f(b)位于g(t)的定义域内，则复合函数f(g(t))在区间[c,d]上连续。
4. 连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值。
形式化地表达就是，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在该区间上存在最大值和最小值。
5. 连续函数的中间值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且f(a)≠f(b)，那么对于任意介于f(a)和f(b)之间的值c（f(a)<c<f(b)或者f(b)<c<f(a)），在开区间(a,b)内至少存在一个点x0，使得f(x0)=c。
第一章 函数的极限与连续 小结
∆x →0
lim ∆y = 0 或 lim[ f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )] = 0 ,
∆x → 0
则称函数 f ( x) 在点 x 0 连续， x 0 称为 f ( x) 的连续点。 或 设函数 f ( x) 在点 x 0 的某个邻域内有定义，若
x → x0
lim f ( x) = f ( x0 ) ，
六个常见的有界函数：
sin x ≤ 1, arcsin x ≤ arctan x <
cos x ≤ 1, (−∞, +∞); 0 ≤ arccos x ≤ π ,
函数极限与连续知识点总结大一
函数极限与连续知识点总结大一函数极限与连续知识点总结函数极限和连续是微积分中非常重要的概念，对于大一学生来说，掌握这些知识点是非常关键的。
在本文中，我将对函数极限和连续的相关知识进行总结，并强调一些必要的注意事项。
一、函数极限1. 定义：函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的因变量的值也趋近于一个确定的值。
数学上可以表示为lim(f(x))=L，其中lim表示极限，f(x)表示函数，L表示极限值。
2. 基本性质：- 极限存在唯一性：当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的极限值唯一。
- 有界性：如果函数在某个区间内有极限，那么函数在该区间内是有界的。
- 保号性：如果函数在某个点的左侧极限和右侧极限大于（或小于）某个特定值，那么函数在该点处的极限也大于（或小于）该特定值。
3. 常用的函数极限：- 常数函数的极限：对于常数函数f(x)=C，其极限值为C。
- 多项式函数的极限：多项式函数的极限与最高次项的系数有关。
- 幂函数的极限：幂函数的极限与指数之间的关系有关。
- 三角函数的极限：三角函数的极限可以通过泰勒展开或利用三角函数的性质推导得出。
二、连续函数1. 定义：连续函数是指在定义域内，函数的图像可以画成一条连续的曲线，即没有间断点。
数学上可以表示为f(x)在[a, b]上连续。
2. 基本性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
- 连续函数与常数的乘积仍然是连续函数。
- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
- 定义域上的有界函数与连续函数的乘积仍然是连续函数。
3. 常见连续函数：- 多项式函数与有理函数在其定义域上都是连续函数。
- 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数在其定义域上都是连续函数。
三、注意事项1. 极限的计算要点：- 直接代入法：当极限形式符合直接代入法的条件时，可以直接将自变量的值代入函数中计算极限值。
- 四则运算法则：对于在极限运算过程中出现的加、减、乘、除操作，可以利用四则运算法则进行简化。
函数的极限及连续性
函数的极限及连续性函数的极限与连续性是微积分学中重要的概念，它们在求解导数、积分以及研究函数性质等方面具有重要的应用。
本文将针对函数的极限与连续性展开讨论，并介绍相关的定义、性质和计算方法。
一、函数的极限1.1 定义对于给定函数f(x)，当自变量x无限接近某一特定值a时，函数值f(x)的极限被定义为函数f(x)在x趋近于a时的极限值，记作：lim(x→a)f(x) = L其中，L可以是一个实数或无穷大。
当不同方向的极限存在且相等时，函数的极限存在。
若函数在该点的左、右极限均存在且相等，则称函数在该点处连续。
1.2 性质（1）极限值唯一性：函数的极限值是唯一的，即对于给定函数f(x)和特定值a，极限lim(x→a)f(x)存在时，其极限值L是唯一确定的。
（2）局部性质：函数的极限是局部性质，即仅仅与函数在某一点附近的取值有关。
（3）极限与函数值的关系：函数在某一点处连续，意味着函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值。
1.3 计算方法计算函数的极限可以通过直接代入、无穷小量无穷大代换法、夹逼定理等方法进行。
（1）直接代入法：对于一些简单的函数，可以直接将自变量代入函数，求解得到极限值。
（2）无穷小量无穷大代换法：对于一些复杂的极限问题，可利用一些常用极限的性质和等价无穷小量、等价无穷大量的代换方法，简化极限的计算。
（3）夹逼定理：对于一些无法直接求解的函数极限问题，可通过夹逼定理来间接求解，即通过构造两个函数，使得它们的极限分别等于给定函数的极限。
二、函数的连续性2.1 定义对于给定函数f(x)，若函数在某一区间上的每一点都满足极限lim(x→a)f(x)存在且等于函数在该点的函数值f(a)，则称函数在该区间上连续。
2.2 性质（1）连续函数与极限：连续函数的极限与函数值相等，即lim(x→a)f(x) = f(a)。
（2）连续函数的运算：连续函数的加减、乘法运算结果仍为连续函数，但除法运算需要排除除数为零的情况。
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。
它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。
下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。
一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。
极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。
函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。
常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。
2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。
常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。
3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。
常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。
函数的极限与连续
函数的极限与连续函数是数学中的重要概念，研究函数的极限与连续是微积分的基础。
本文将介绍函数的极限与连续的定义及其性质，并探讨它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。
设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在一个实数A，使得对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0＜|x-a|＜δ时，有|f(x)-A|＜ε成立，那么称函数f(x)在x=a处有极限，记为：lim┬(x→a)〖f(x)=A〗函数极限的性质：1.唯一性：函数的极限唯一，即如果lim┬(x→a)〖f(x)=A〗，且lim┬(x→a)〖f(x)=B〗，那么A=B。
2.有界性：若lim┬(x→a)〖f(x)=A〗存在，那么存在常数M＞0，使得在a的某个邻域内，有|f(x)|≤M。
3.保号性：若lim┬(x→a)〖f(x)=A〗>0，那么存在a的某个邻域，对于那些x值，有f(x)>0；同理，若lim┬(x→a)〖f(x)=A〗<0，那么存在a的某个邻域，对于那些x值，有f(x)<0。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某点的取值与该点的极限值相等。
设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果lim┬(x→a)〖f(x)=f(a)〗成立，那么称函数f(x)在x=a处连续，否则称为不连续。
函数的连续性的性质：1.函数的和、差、积、商（除以非零函数）仍然是连续函数。
2.复合函数的连续性：如果g(x)在x=a处连续，f(x)在g(a)处连续，并且lim┬(x→a)〖g(x)=g(a)〗成立，那么复合函数f(g(x))在x=a处连续。
3.函数的初等函数运算仍然是连续函数。
函数的极限与连续在数学中有着广泛的应用。
例如，在微积分中，函数极限的概念被用来求解导数；在数学分析中，极限的性质是证明数列收敛的重要工具；在实际问题中，函数的极限与连续性可以用来描述物理现象的变化趋势，例如速度的变化、物体的位移等。
函数的极限与连续性的概念与性质
函数的极限与连续性的概念与性质函数的极限与连续性是微积分中非常重要的概念，它们用来描述函数的趋势以及函数在某一点的行为。
本文将介绍函数极限和连续性的概念，并探讨它们的性质。
一、函数的极限的概念与性质函数的极限是研究函数趋势的基本工具。
我们先来介绍一下极限的概念。
1.1 极限的定义设函数 f(x) 在点 a 的某个去心领域内有定义，如果存在一个常数 L，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L| < ε 成立，那么我们称函数 f(x) 当 x 趋近于 a 时以 L 为极限，记为lim┬(x→a)〖f(x) = L〗。
1.2 函数极限的性质函数极限具有一些重要的性质，包括极限的唯一性、四则运算法则等。
这里只介绍其中的一些性质。
（1）极限的唯一性：如果函数 f(x) 当 x 趋近于 a 时以 L 为极限，同时又以 M 为极限，那么 L = M。
（2）四则运算法则：设函数 f(x) 和 g(x) 当 x 趋近于 a 时分别以 L和 M 为极限，则有以下运算法则：- f(x) ± g(x) 当 x 趋近于 a 时以 L ± M 为极限；- f(x)g(x) 当 x 趋近于 a 时以 L × M 为极限；- f(x)/g(x) 当 x 趋近于 a 时以 L/M 为极限（假设M ≠ 0）。
这些性质为我们进行函数极限的计算提供了便利。
二、函数的连续性的概念与性质函数的连续性是指函数在其定义域内没有间断点，即函数的图像是连续的。
接下来我们会详细讨论连续性的概念与性质。
2.1 连续性的定义设函数 f(x) 在某个区间 (a, b) 内有定义，如果对于任意选取的点x0∈(a, b)，当 x 趋近于 x0 时，函数 f(x) 的极限都存在且等于 f(x0)，那么我们称函数 f(x) 在点 x0 处连续。
2.2 连续函数的性质连续函数具有一些重要的性质，包括若干个连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数，以及连续函数的复合仍然是连续函数等。
函数的极限和连续性
函数的极限和连续性函数是数学中的重要概念，而函数的极限和连续性则是函数理论研究中的核心内容。
本文将围绕函数的极限和连续性展开讨论，以帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋向于某个特定值时，函数值的变化趋势。
数学上可以用符号“lim”来表示。
一个函数f(x)在x趋近于a时的极限可记作lim(x→a)f(x)，即当x无限接近于a时，函数f(x)的极限是多少。
1. 一元函数极限对于一元函数f(x)，当x趋近于a时的极限可以有以下几种情况：（1）左极限：当x从左侧逼近a时，函数值逐渐趋近于一个特定值L，记作lim(x→a-)f(x)=L。
（2）右极限：当x从右侧逼近a时，函数值逐渐趋近于一个特定值M，记作lim(x→a+)f(x)=M。
（3）函数的极限：如果左、右极限都存在且相等，即lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)，那么函数在x趋近于a时的极限为lim(x→a)f(x)。
2. 多元函数极限对于多元函数f(x, y)，当(x, y)趋近于点(a, b)时的极限可以有以下几种情况：（1）xy平面上的极限：当点(x, y)从xy平面上任意方向逼近点(a, b)时，函数值逐渐趋近于一个特定值L，记作lim(x, y)→(a, b)f(x, y)=L。
（2）z轴上的极限：如果对于任意按z方向逼近(a, b)的路径，当点(x, y, z)趋近于(a, b, c)时，函数值逐渐趋近于一个特定值L，记作lim(x, y, z)→(a, b, c)f(x, y, z)=L。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点上的极限和函数在该点的函数值相等。
简单来说，当自变量在某一点的极限等于该点的函数值时，函数在该点上是连续的。
1. 一元函数的连续性对于一元函数f(x)，如果函数在点a处的极限lim(x→a)f(x)存在且等于f(a)，那么函数在点a上是连续的。
这意味着函数图像中不存在跳跃、断裂或奇点。
函数、极限、连续重要概念公式定理
一、函数、极限、连续重要概念公式定理（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞=,则极限是唯一的．(2)有界性：若lim n n x A →∞=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤.(3)局部保号性：设lim n n x A →∞=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .（二）函数极限的定义（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)1．海涅定理：()0lim x x f x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=,都有()l i m n n fx A →∞=．2.充要条件：(1)()()0lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==.3.柯西准则：()0lim x x f x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且0lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则lim ()x x f x A →=.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞存在.（四）无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)()lim 1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim(0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭()211c o s ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握)定理1 000lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==.定理2 0lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中.定理3 (保号定理)：0lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=．定理6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量． 定理8 极限的运算法则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim(0)()f x AB g x B= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限． 定理10 初等函数在其定义域的区间内连续． 定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续．（六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)0sin lim1x xx→=(2)11lim(1)e,lim(1)e n xx n x n→→∞+=+=.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim,,n n n n m m x m m n ma x a x a x a a n mb b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩．(4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==. (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度()ln ,0,(1),a x xx x a a a x >>→+∞速度由慢到快()ln ,0,(1),!,a n nn n a a a n n >>→+∞速度由慢到快(6)几个常用极限)01,n a >=1,n = lim arctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞= lim arccot x x π→-∞=lim e 0,x x →-∞= lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1x x x +→=. （七）连续函数的概念1. ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件：①()f x 在点0x 的某个领域内有定义②()f x 当0x x →时的极限存在③()()00lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦. 2. ()f x 在0x 左连续：()f x 在(]00,x x δ-内有定义,且()()00lim x x f x f x -→=. 3. ()f x 在0x 右连续：()f x 在[)00,x x δ+内有定义,且()()00lim x x f x f x +→=. 4. ()f x 在(),a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内点点连续．5. ()f x 在[],a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续．（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1．有界性定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤．2．最大最小值定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得：()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]m i n ,,a x bf f xa b ηη≤≤=∈. 3．介值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,μ是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤．4．零点定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<（九）连续函数有关定理1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数． 2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．3．复合函数的连续性：()u x ϕ=在点0x 连续,()00x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 连续．4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数．（十）间断点的定义及分类1．定义：若在0x x =处,()0lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()00lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点．2．间断点的分类一、函数、极限、连续（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞=,则极限是唯一的．(2)有界性：若lim n n x A →∞=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤.(3)局部保号性：设lim n n x A →∞=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .(了解记忆)1．海涅定理：()0lim x x f x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=,都有()l i m n n fx A →∞=．2.充要条件：(1)()()0lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==.3.柯西准则：()0lim x x f x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且0lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则lim ()x x f x A →=.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞存在.（四）无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)()lim 1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim(0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭()211c o s ~2(1)1~x xx x ααα-+-是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握)定理1 000lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==.定理2 0lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中.定理3 (保号定理)：0lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=．定理6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量． 定理8 极限的运算法则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim(0)()f x AB g x B= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限． 定理10 初等函数在其定义域的区间内连续． 定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续．（六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)0sin lim1x xx→=(2)11lim(1)e,lim(1)e n xx n x n→→∞+=+=.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim,,n n n n m m x m m n ma x a x a x a a n mb b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩．(4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==. (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度()ln ,0,(1),a x xx x a a a x >>→+∞速度由慢到快()ln ,0,(1),!,a n nn n a a a n n >>→+∞速度由慢到快(6)几个常用极限)01,n a >=1,n = lim arctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞= lim arccot x x π→-∞=lim e 0,x x →-∞= lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1x x x +→=. （七）连续函数的概念1. ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件：①()f x 在点0x 的某个领域内有定义②()f x 当0x x →时的极限存在③()()00lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦. 2. ()f x 在0x 左连续：()f x 在(]00,x x δ-内有定义,且()()00lim x x f x f x -→=. 3. ()f x 在0x 右连续：()f x 在[)00,x x δ+内有定义,且()()00lim x x f x f x +→=. 4. ()f x 在(),a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内点点连续．5. ()f x 在[],a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续．（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1．有界性定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤．2．最大最小值定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得：()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]m i n ,,a x bf f xa b ηη≤≤=∈. 3．介值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,μ是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤．4．零点定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<（九）连续函数有关定理1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数． 2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．3．复合函数的连续性：()u x ϕ=在点0x 连续,()00x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 连续．4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数．（十）间断点的定义及分类1．定义：若在0x x =处,()0lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()00lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点．2．间断点的分类。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限和连续性是微积分中的重要概念，它们在数学和科学领域中具有广泛的应用。
本文将深入探讨函数的极限和连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是函数在某一点或无穷远处的趋势。
首先，我们来定义函数在某一点的极限。
定义1：设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，其中L是一个实数，则称L是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
根据上述定义，我们可以推导出一些性质：性质1：函数极限的唯一性。
如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在，那么它是唯一的。
性质2：函数极限的局部性。
如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在，那么它是局部的。
性质3：函数极限与函数值的关系。
如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在且与f(a)相等，那么函数f(x)在点x=a处连续。
二、函数的连续性连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域上的连续程度。
定义2：设函数f(x)在点x=a的某一邻域内有定义，如果lim(x→a)f(x)=f(a)成立，则称函数f(x)在点x=a处连续。
根据连续性的定义，我们可以得到以下结论：结论1：如果函数f(x)在点x=a处连续，则函数f(x)在点x=a的任意去心邻域内都连续。
结论2：如果函数f(x)在点x=a处连续且lim(x→a)g(x)=A，其中g(x)是另一个函数，那么lim(x→a)f(g(x))=f(A)。
结论3：在区间[a,b]上连续的函数必在该区间上有界。
三、函数极限与连续性的应用函数的极限和连续性在实际问题中有着广泛的应用，下面以两个典型例子来说明：例子1：求函数f(x)=sin(x)/x当x趋于0时的极限。
解：根据函数的极限定义，在x趋于0时，我们需要求lim(x→0)(sin(x)/x)。
数学函数、极限、连续考点
第1章 函数、极限、连续1.1函数及其性质考点点睛1.有界性(1)()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界.(2)()f x 在(),a b 上连续,且()lim x af x A +→=,()lim x bf x B -→=,则()f x 在(),a b 上有界. (3)()'f x 在有限区间I 上有界,则()f x 在I 上有界. 2.奇偶性(1)()f x 是可导的奇(偶)函数,则()'f x 是偶(奇)函数. (2)()f x 是连续的奇函数,则其所有原函数都是偶函数;()f x 是连续的偶函数,则其所有原函数中只有一个是奇函数.(3)设()f x 在(),a a -上有定义,则()()f x f x +-是偶函数,()()f x f x --是奇函数. 3.周期性(1)()f x 是可导的以T 为周期的周期函数,则()'f x 也以T 为周期. (2)()f x 是以T 为周期的连续函数,则对于定义域内任意点a .()()x aF x f t dt =⎰以T 为周期()00Tf t dt ⇔=⎰.(3)()f x 是以T 为周期的连续函数，则()()()0Txf t dt F x f t dt x T=-⎰⎰以T 为周期.4.单调性设函数()f x 在区间I 上可导，(1)任意x I ∈,()()'0f x f x >⇒在I 上单调增加; 任意x I ∈,()()'0f x f x <⇒在I 上单调减少. (2)任意x I ∈,()()'0f x f x ≥⇔在I 上单调不减; 任意x I ∈,()()'0f x f x ≤⇔在I 上单调不增.在用单调性说明方程的根的问题时只能使用(1)中的单调增加(减少),而不能使用(2)中的单调不减(不增).1.[1988-I]已知()2x f x e =,()1f x x ϕ⎡⎤=⎦-⎣,且()0x ϕ≥,求()x ϕ并写出它的定义域.解由()21x ex ϕ⎡⎤⎣⎦=-,得()x ϕ=由()ln 10x -≥得1-1,x ≥即0x ≤,所以()0x x ϕ=≤.2[1990-I]设函数()1,10,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则()f f x =⎡⎤⎣⎦________. 答应填1. 解由()1,10,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩知,对一切的x 有()1f x ≤,则()1f f x =⎡⎤⎣⎦. 注函数的复合是一种重要的运算,求两个分段函数()y f u =和()u g x =的复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦,实际上就是将()u g x =代入()y f u =中,关键是搞清楚()u g x =的函数值落在()y f u =定义域的哪部分.3[1999]设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则 (A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数. (B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数. (C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数. (D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数.答应选(A).解直接法.据“1.1考点点睛”中的“2.奇偶性”可知(A)正确. 排除法.(B)的反例:()cos f x x =,()sin 1F x x =+不是奇函数. (C)的反例:()2cos f x x =,()11224F x x sin x C =++ ,不论C 取什么常数,()F x 都不是周期函数. (D)的反例()1f x x=-在(0,)+∞内是单调增加的,但()ln F x x =-在(0,)+∞内是单调减少的. 注连续函数()f x 的原函数()F x 可以表示为()0xf t dt C +⎰,考查()()()()0xx F x f t dt C f u d u C --=+=--+⎰⎰()0x f u du C =--+⎰.若()f x 是奇函数,则()()f u f u =--,进而对任意的常数C 都有()()F x F x =-; 若()f x 是偶函数,则()()f u f u =-,进而当且仅当0C =时有()()F x F x =--.4[2005]设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,“M N ⇔”表示“M 的充分必要条件是N ”,必有(A)()F x 是偶函数台()f x ⇔是奇函数. (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数 (C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数答应选(A)解 本题同上一题都是在考查原函数的奇偶性与周期性等性质,根据对上一题的分析,便可直接选(A).1.2极限的定义及性质5[2003]设{}{}{},,n n n a b c 均为非负数列,且lim 0,lim 1,lim n n n n n n a b c →∞→∞→∞===∞,则必有(A)n n a b <对任意n 成立. (B)n n b c <对任意n 成立. (C)极限lim n n n a c →∞不存在.(D)极限lim n n n b c →∞不存在.答应选(D).解假设lim n n n b c A →∞=(存在),则lim lim limlim n nn n n n n n n nn b c b c c A b b →∞→∞→∞→∞===(存在),这与lim n n c →∞=∞矛盾,故lim n n n b c →∞不存在.注由极限的局部保号性容易得到极限的局部保序性：若lim ,lim n n n n a A b B →∞→∞==,且A B >,则存在0N >,当n N >时,有n n a b >.对于本题,选项(A),(B)说对任意的n 成立,显然错了；对于选项(C),lim n n n a c →∞是典型的“0⋅∞”型未定式,其极限可能存在也可能不存在.1.3求函数的极限求函数极限首先是化简,其次是判别类型选择方法.常用的化简方法有:①非零常数因子先求出;②有理化;③通分;④倒代换.常用的方法有:①四则运算法则及基本极限;②等价代换;③洛必达法则;④泰勒公式. 1.常用的等价代换(0x →)()sin ~arcsin ~tan ~arctan ~ln 1~1~x x x x x x e x +-； ()211cos ~,1~ln ,11~2ax x x a x a x ax --+-； 3311tan ~,arctan ~33x x x x x x ---；()31ln 1~2x x x -+. 2.几个重要函数的泰勒展开式()233126xx x e x o x =++++；()33sin 6x x x o x =-+；()23cos 16x x o x =-+；()()233ln 123x x x x o x +=-++；()()()221112!x x x o x αααα-+=+++，其中()k o x 为0x →时x 的k 阶无穷小量. 3.极限值与无穷小的关系()()lim f x A f x A α=⇔=+,其中lim 0α-.1.3.1需要分别求左右极限的情形求分段函数在分段点处的极限,含绝对值函数、取整函数在相应点的极限,“e ∞”及“arctan ∞”型（()(),0,arctan arctan 22ee ππ+∞-∞=+∞=+∞=-∞=-,）的极限往往需要分别考查左右极限.6[1992-I]当1x →时,函数11211x e x x ---的极限 (A)等于2. (B)等于0.(C)为∞.(D)不存在但不为∞.答应选(D)解由于()11121111limlim 101x x eex x x x x ----→→-=+=-，而 ()11211111lim lim 11x x e x x x e x x -++-→→-=+=+∞-，则1x →时,函数11211x ex x ---的极限不存在,但不是∞.7[2000]求1102sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭. 解因14344002sin 2sin lim lim 111x x xx x x x e x e e x x x e e ++--→→-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 1144002sin 2sin lim lim 21111x xx x x x e x e x x x e e --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 故原式=1.1.3.2七种未定式的极限 未定式的基本类型是“00”和“∞∞”型,其余的五种未定式“0⋅∞”,“∞-∞”,“0∞”,“00”,“1∞”都可以转化为“00”和“∞∞”型,对“0∞”,“00”,“1∞”型未定式的极限lim u υ往往都是先改写为lim ln ueυ的形式再去计算，特别地对“1∞”型极限作如下处理:()lim 1lim ln lim u uu ee υυυ-==.8[1990—1]设a 是非零常数,则lim xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭__________. 答应填2ae ,解这是“1∞”型,直接有lim 1lim x xx ax x a x x a e x a →∞+⎛⎫- ⎪-⎝⎭→∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭,而2lim 1lim 2x x x a ax x a x a x a →∞→∞+⎛⎫-== ⎪--⎝⎭，故2lim xa x x a e x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 9[1991-I]求()0lim xx π+→.解这是“1∞”型,直接有()()0lim1lim x xxx eππ+→+→=，而()11lim 1lim 22x x x xx πππ++→→⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故(20lim xx e ππ+-→=.10[1992-I]0x x →.解 原式()0002sin 1cos limlim lim sin 112x x x x x x e x e xe x x x→→→---===+=. 11 [1993-I] 求21lim sin cos xx x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解 这是“1∞”型，直接有21lim sin cos 121lim sin cos x xx x x e x x →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而10021sin 2cos 1sin 2cos 1lim sin cos 1limlim lim 202t xx t t t t t t t x x t t t=→∞→→→+--⎛⎫+-=+=+= ⎪⎝⎭ 故 221lim sin cos xx e x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.注 在x →∞（或,+∞-∞）且极限式中含有“1x ”时，考虑作倒代换10t x=→（或0,0+-）往往很方便.12[1994-I] 011lim cot sin x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭___________.答应填16. 解原式()32330001cos sin sin 16lim lim lim sin 6x x x x x x x x x x x x x →→→--====. 13[1995-I]()2sin 0lim 13xx x →+=____________.答应填6e .解这是“1∞”型,直接有()022lim36sin sin 0lim 13x xx xx x ee →⋅→+==.14[1997]()()2013sin coslim1cos ln 1x x x x x x →+=++__________. 答应填32.解法1 ()()()2220001113sin cos3sin cos 3sin cos11limlim lim 1cos ln 12ln 12x x x x x x x x x x x x x x x x→→→+++==+++ 0013sin 113lim lim cos 222x x x x x x →→=+=. 解法2由于2001cos1limlim cos 0sin x x x x x x x→→==，故0x →时，21cos x x 是比sin x 高阶的无穷小,故加减中可直接略去,于是便有()()()()200013sin cos3sin 13sin 3lim lim lim 1cos ln 11cos ln 122x x x x x x x x x x x x x →→→+===++++.注本题解法1第一步利用“非零常数因子先求出”这一化简方法,对处理后续极限带来很大的方便,另外本题不能使用洛必达法则,因为求导后的极限不存在,且非无穷大,洛必达法则失效但这里充分利用极限的四则运算法则,将其拆分成两个单独的极限就很方便.15[1998]22limx x →=___________.答应填14-.解()()222222001111112212828lim 4x x x x o x x x o x x x →→+-++--+-==- 16[1999] 2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭__________. 答应填13解322330000111tan tan 13lim lim lim lim tan tan 3x x x x xx x x x x x x x x x x →→→→--⎛⎫-==== ⎪⎝⎭. 17[2003]()()21ln 10lim cos x x x +→=__________.12e -.解这是“1∞~”型,直接有()()()22112ln 1220001cos 12lim cos exp lim exp lim ln 1x x x x x x x e x x -+→→→⎧⎫-⎧⎫⎪⎪-⎪⎪===⎨⎬⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭.18[2006] ()ln 1lim1cos x x x x→+=-___________.答应填2.解 ()2002ln 1limlim 211cos 2x x x x x x x →→+==-. 19[2008]求极限()40sin sin sin sin limx x x x x →-⎡⎤⎣⎦. 解法1()()()432000sin sin sin sin sin sin sin cos cos sin cos lim lim lim 3x x x x x x x x x x x x x x →→→-⎡⎤--⋅⎣⎦==()()22220001sin cos 1cos sin 1cos sin 12lim lim lim 3336x x x x x x x x x x →→→-⎡⎤-⎣⎦==== 解法2()()()433000sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin lim lim lim sin x x x x x x x x x x x x x→→→-⎡⎤--⎣⎦==3200sin 1cos 1limlim 36t t t t t t t →→--===.解法3由当0x →时()331sin 6x x x o x =-+,知()()331sin sin sin sin sin 6x x x o x =-+，于是 ()()()334330001sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 6lim lim lim x x x x x x o x x x x x x x x x →→→⎡⎤--+⎢⎥-⎡⎤-⎣⎦⎣⎦== ()33301sin sin 16lim 6x x o x x →+== 解法4 由于()31sin ~06x x x x -→，则()()31sin sin sin ~sin 06x x x x -→，于是 ()444001sin sin sin sin sin 16lim lim 6x x x x x x x x →→-⎡⎤⎣⎦==. 20 [2010] 极限()()2lim xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦（A ）1. （B ）e.(C)a be-.(D)b ae-.答应选(C)解这是“1∞”型,直接有()()()()22limx 1lim x xx x a x b x xe x a x b →∞⎡⎤-⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦→∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦而()()()()()22lim 1lim x x a b x abx x x a b x a x b x a x b →∞→∞⎡⎤-+-==-⎢⎥-+-+⎣⎦，于是()()2lim xa b x x e x a x b -→∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦，选（C ）. 21 [2001] 求极限()110ln 1lim xex x x -→+⎡⎤⎢⎥⎣⎦.解 这是“1∞”型，()()01ln 111lim ln10ln 1lim xx x x e xe x x ex →+-⋅-→+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，而()()()000ln 1ln 1ln 111ln 11lim ln lim lim 1x x x x x x x x x e x x x→→→+⎡⎤++-⎢⎥-+⎣⎦⋅==- ()()()200011ln 1111limlim lim 2212x x x x x x x x x x →→→-+--+==-+.故()11120ln 1lim xex x e x --→+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.注 （*）也可利用泰勒公式处理()()2222001ln 112lim lim 2x x x x o x x x x x x →→-+-+-==-. 22 [2015] ()20ln cos limx x x→=________. 答 应填12-. 解法1 ()()2001sin ln cos 1cos limlim 22x x x x x x x →→-=-洛必达法则. 解法2 用等价无穷小替换()()()21ln cos ln 1cos 1~cos 1~02x x x x x =+---→⎡⎤⎣⎦， 故 ()222001ln cos 12lim lim 2x x x x x x →→-===-. 23 [2018] 若1sin 01tan lim 31tan kxx x x →-⎛⎫= ⎪+⎝⎭，k =__________.答 应填-2.解 这是“1∞”型，由题干可知1sin 001tan 11tan lim exp lim 11tan sin 1tan kxx x x x e x kx x →→-⎧-⎫⎛⎫⎛⎫=-=⎨⎬⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎩⎭，则 ()0011tan 2tan 2lim1lim 1sin 1tan sin 1tan x x x x kx x kx x k →→--⎛⎫-==-= ⎪+⋅+⎝⎭， 故2k =-.1.3.3含有变限积分函数的极限含有变限积分函数的极限往往可以通过洛必达法则去掉积分符号(变限积分函数求导),转化为一般类型的未定式,再去求解。
函数的极限与连续性分析
函数的极限与连续性分析函数的极限和连续性是微积分的重要概念，对于理解函数行为和求解各种问题都有着重要的作用。
本文将对函数的极限和连续性进行深入分析，以帮助读者更好地理解这些概念和应用。
1. 函数的极限函数的极限可以理解为自变量无限接近某个特定值时，函数取值的趋势。
对于函数 f(x)，当 x 趋近于 a 时，如果 f(x) 的值趋近于一个确定的数 L，即lim(f(x)) = L (x→a)，那么我们说函数 f(x) 在 x=a 处有极限，记作lim(f(x)) = L (x→a)。
1.1 一侧极限一侧极限是指自变量在某一方向上趋近于极限值的情况。
左极限表示 x 趋近于 a 时，从左侧趋近的情况，记作lim(f(x)) = L (x→a-)。
右极限表示 x 趋近于 a 时，从右侧趋近的情况，记作lim(f(x)) = L (x→a+)。
1.2 无穷大与无穷小当 x 趋近于无穷大或无穷小时，函数的极限也有对应的概念。
例如lim(f(x)) = ∞ (x→∞) 表示函数 f(x) 在 x 趋近于无穷大时趋于正无穷。
同样地，lim(f(x)) = -∞ (x→∞) 表示函数 f(x) 在 x 趋近于无穷大时趋于负无穷。
2. 连续性连续性是指函数在某个区间内没有断点的特性。
具体来说，如果一个函数 f(x) 在某个点 a 处极限存在，并且 f(a) 的函数值等于该极限，那么我们称函数 f(x) 在 x=a 处连续。
2.1 第一类间断点函数在某点a 处存在第一类间断点的情况是指该点的左右极限存在，但两个极限不相等。
在这种情况下，函数 f(x) 在 x=a 处不连续。
2.2 第二类间断点函数在某点 a 处存在第二类间断点的情况是指该点的左右极限至少有一个不存在。
在这种情况下，函数 f(x) 在 x=a 处不连续。
2.3 连续函数如果一个函数在定义域内的每个点都连续，那么我们称该函数为连续函数。
连续函数在整个定义域内没有任何间断点。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限和连续性是微积分中非常重要的概念。
极限描述了函数在某一点或在无穷远处的趋势，而连续性则描述了函数在定义域内没有断裂或间断的性质。
本文将深入探讨函数的极限和连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量无限靠近某一点时，函数的取值是否趋近于某个特定的值。
用数学语言来描述，则函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。
从定义可以看出，函数的极限与函数在该点的实际取值可能不同。
例如，函数f(x) = 1/x，在x趋近于0时，其极限是正无穷或负无穷，但在0点本身的取值却是无定义的。
函数的极限具有一些基本性质：1. 唯一性性质：若极限存在，那么它是唯一的。
2. 局部性质：如果函数在某一点存在极限，那么它在该点的任意一个足够小的领域内也存在极限。
3. 保号性质：如果极限存在且为正数，那么函数在该点附近的取值均为正数。
同理，如果极限存在且为负数，那么函数在该点附近的取值均为负数。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内没有断裂或间断的性质。
具体来说，函数f(x)在某一点x=a处连续，需满足以下三个条件：1. 函数在a点存在定义。
2. 函数在a点的极限存在。
3. 函数在a点的极限等于a点的函数值，即lim(x→a) f(x) = f(a)。
函数的连续性可以分为三种类型：1. 间断点：函数在某一点处不连续。
常见的间断点包括可去间断、跳跃间断和无穷间断。
2. 第一类间断点：在该点两边的极限存在，但不相等。
3. 第二类间断点：在该点的至少一边的极限不存在。
三、函数极限与连续性的应用函数的极限和连续性在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 函数的极限可以用来描述物体运动的速度和加速度。
例如，函数f(t)表示某物体在时刻t的位置，通过求解f(t)的导数可以得到物体在该时刻的速度和加速度。
2. 函数的连续性可以用来求解函数的最值。
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第一章函数极限连续
一．求函数的定义域
具体函数求定义域的例子就不举了.
例1.设求
（1）的定义域；
（2）的定义域；
（3）的定义域。
解：（1）（2）（3）
练习．设的定义域为，求的定义域.
要牢记函数的两个要素：定义域和对应法则.
例2．判断下列两组函数是否是同一函数：
二．求函数的表达式
例3．设求.
解：此种题型的常规解法是设元法，即令反解得到再代入原
式，得，再将的记号全换为但此法只适用于简单函数，要学会直接凑成的方法.
因为,所以，
例4．设求
解：要做此题，要求大家熟记几个三角恒等式。
至少要记住两个倍角公式和三个“1”公式。
因为
所以，
例5．设求.
解：首先把作整体看待
三．关于函数的几种特性（重点是奇偶性的判别）
例6．设在上有定义，证明：
为偶；而为奇.
要记清两个知识点：（1）函数为奇或偶的必要条件是其定义域关于原点对称；如没有指明定义域，则默认为比如：就是非奇非偶函数；
（2）奇偶函数的图形特征.
结论：，即一个定义在对称区间上的函数必表为奇+偶的形式.
例7．设时，且在内为奇函数，求.解：由于在内为奇函数，
所以，，
又当时，
所以，
关于周期函数，请大家记住一个结论。
下面以例题的形式给出：
例8．设是定义在内的以为最小正周期的周期函数，证明：函数是以为最小正周期的周期函数.
证明：（一）首先证明是函数的周期.
事实上，设.(1)
因为
所以，是函数的周期.
（二）证明是函数的最小正周期.（反证法）
假设存在使得对于定义域中的任意有
（2）
则对于任意的实数有
这说明也是的周期，但，这与是的最小正周期相矛盾.
例9．的最小正周期为
由周期函数的定义，容易知道有下面的结论：
设分别是以为周期的函数，且为有理数，则
是以的最小公倍数为周期的函数.
例9．证明非周期函数.
证明：（反证）设是以为周期的函数.
则
即
上式中，分别令，得
，得到矛盾.
四．反函数
反函数也是个常常考察的知识点，一般是以填空题或单项选择题的形式命题.没必要举例，只提醒大家注意两点：反函数的定义域是原函数的值域；反函数的图形与原函数的图形关于直线对称.
五．复合函数
两种常见题型：一是将简单函数复合成一个复杂函数，这时要注意复合的条件是后面函数的值域与前面函数的定义域的交集非空；二是将复杂函数分解简单函数（大部分是基本初等函数).要求大家下去把书中第4—6页表中简单初等函数及其特性搞熟.
例10．下列函数是否可以复合？
（1）（可以）
（2）（不可以）
例11．将函数分解.
六．函数的极限（包括数列的极限）
数列的极限部分只要求：1.给出，能观察出是否存在？（精确的数学定义不作要求）；2.数列极限的三个性质（经常出判断题）；3.数列的四则运算法则.4.夹逼准则；5.单调有界原理.
记住几个常用的公式：
例11．求.
解：从表面上看，是两数列差的极限，但不能直接用四则运算法则.为什么？请一块说说使用数列求极限的四则运算时应注意的三个事项.
原式=
例12．求
例13．求
例14．
例15．求
解：此题宜用夹逼准则.
因为，且
故.
注意：夹逼准则的两大功能“夹”与“逼”,要通过放大或缩小不等式来实现.要拿捏适当很不容易.比如上题，如用
来夹逼就达不到目的了.
例16．求
解：因为，且
故.
注意：一般地，
下面举几个利用单调有界原理求极限的例子.
例17．证明数列有极限.
证明：记
（一）由均值不等式
对于任意的有
即，
故单增.
（二）不妨设此时，有
故，故有上界，因此数列有极限.
注意：今后记
例18．证明：数列收敛，其中
证明：（一）.，即有下界.
（二）.由
即单减.
所以，由原理知，收敛.
（三）.设，则因为
所以，两边取极限，有：
.
又由收敛数列的保号性知：.
下面讲函数的极限.第一个经常考的考点是函数极限存在的条件，即定理
例19．设求.
解：因为所以，不存在..
如把此题稍加变形，则结论变为.
注意：函数在点处有无极限，与其在点处有无定义无关.
例20．求（不存在，左极限-2，右极限2）.
例21．求（不存在，左极限0，右极限）.
请大家记住一个结论，以例题形式给出：
例22．设为常数，也可以为0），且则
证明：
例23．设求的值.
解：由于所以，（1）
故
所以，
例24．求.
例25．求.
书上有一个重要的结论要大家记住，也是一个考点，经常会以填空或选择的
形式出现.
例26．设，满足
（1）求的值.
下面举几个例子说明常见的函数求极限技巧.
例27．求；（比喻：以毒攻毒法）
例28．求；
例29．求；
例30．求
函数极限也有个夹逼准则.
例31．求
例32．
证明：因为为偶函数，故只须证明：.
事实上，不妨设，则.
两边同除以得：.
又因为.
所以，由由夹逼准则知，，
所以.
下面讲无穷小与无穷大（定义自己去看），注意：离开了具体的极限过程，就无法定义无穷小（大）.如，当时是无穷小；当时是无穷大.经常考的知识点是两个无穷小的比较（三种结果），这个知识点每年必考，下去自己看参考书.另一个需要掌握的知识点是无穷小与无穷大的关系定理.
例27．证明：
还有一个重要的结论：有界变量乘以无穷小量还是无穷小.如
这四个结论肯定都不能直接用商的极限法则来运算.
在所有极限结果中，有两种极限特别重要，称它们为两种重要极限，需要单独拿来讲.
第一种：
特点：（1）属于型；（2）
例：下列结论中哪些成立？
（1）（2）（3）
（4）
例28．；
例29．；
例30．；
例31．；
例32．；
例33．.
第二种：
或.
特点：（1）属于型；（2）
例33．；
例34．；
例35．设求常数（）
例36．；
例37．；
例38．.
大家注意到，刚才我们讨论两个重要极限时，大部分极限形式都是型，即求两个无穷小商的极限.事实上，微积分中值得关注的极限形式只有两种：型或型，其他类型都可一眼看出答案。
而型可以转化为型.因此，大家要高度
重视这种型的求极限技巧，其中最重要的有两个：一个利用是等价无穷小的替换；另一个是利用著名的洛必达法则.我们先讲等价无穷小的替换法.为此，先回顾以下结论.
定理：设是同一极限过程中（设为）的
四个无穷小，，且有存在（或为），则也存在（或为），并且=
.
今后作题时请大家记住下面八对常用的等价小)
（1）s i n x~x;(s i n m x~m x);（2）t a n x~x;(t a n m x~m x);
（3）a r c s i n x~x;（4）a r c t a n x~x;
（5）;（6）;
（7）1-c o s x~;（8）.
例39．求；
例40．求
例41．求
解法一：
解法二：
解法二是对的而解法一是错误的，为何？请大家自己思考：
.
练习：1.求2.求；3.求.
4.求
七．函数的连续性
首先要记住两个重要结论：
1．一切基本初等函数在其定义域内都是连续的；
2．一切初等函数在其定义区间（即包含在定义域内的区间）内都是连
续的.
一个最常见的考点是考察分段函数在其分段点处的连续性，这时要用到一个命题：在点处连续在点处既左连续又，右连续.
例42．设函数在内连续，求常数
解：分析：当时，为初等函数，则当时，
为连续函数；当时，为初等函数，则当时，为连续函数；当时，为初等函数，则当时，
为连续函数。
故要使得在内连续，只须保证在
及处也连续.
因为
故只有当，即时，在处也
连续.
又因为
故只有当，即时，在处也连
续.
关于复合函数的连续性，有下述命题：
定理：为复合函数，其中存在，且
也存在，则
上述定理为求函数极限时做变量替换提供了理论依据.
例如：
推论：为复合函数，其中且在处连续，则
，即
例43．求.
解：令。
因存在。
且函数在
处连续，故
当点非连续点时，往往是间断点。
关于间断点的分类是必考的考点.先一块回顾一下间断点及其分类标准。
例44．求函数的间断点，并指出其类型。
解：函数的定义域是.而在上是初等函数，所以连续.故函数的间断点是（第二类的无穷型间断点）；（第一类的可去型间断点）；（第二类的无穷型间断点）.
例45．函数的连续性.
在所有连续函数类中，闭区间上的连续函数是最重要的，因为它有几个良好的性质，如：最值定理；有界性；介值定理（其推论是零点定理或根值定理）.考得最多是零点定理.
例46．证明方程至少有一个小于1的正根。
证明：设，在上连续，又
由闭区间上连续函数的零点定理知，至少存在一点，使从而方程至少有一个小于1的正根.
思考题：1.证明方程在1与2之间至少有一个实根. 2．证明方程恰好有三个实根。
（提示：令.先证明在各区间内各有一个实根，说明方程至少有三个实根。
；再证明方程最多有三个实根，理由是为三次代数方程，至多只能有三个实根.。