全面完整的学习拉氏变换要点
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第二章 拉氏变换
n A A A A A k n 1 2 F(s) = + +L+ +L+ =∑ k s − p1 s − p2 s − pk s − pn k=1 s − pk
式中p 为方程F 个不同的根， 式中 1、 p2 、… pn为方程 2(s)=0的n个不同的根，它们可以是 的 个不同的根 实数也可以是复数。由于s→ →∞， 实数也可以是复数 。 由于 → pk时 |F(s)|→∞， 故这些根称为 →∞ 故这些根称为F(s) 的极点(pole)。 A1、A2、An…为待定系数。为了求出其中任何一 为待定系数。 的极点 。 为待定系数 个常数A 个常数 k，用(s−pk)乘上式的两边各项得 ： − 乘上式的两边各项得
本节的基本要求是掌握常用函数(直流或阶跃函 数、指数函数、冲激函数)的拉普拉斯逆变换。掌握 用部分分式展开法求有理分式的原函数。
定义： 定义：由F(s)求 f(t) 的运算称为拉普拉斯逆变换 求 (inverse Laplace transform)。 。 计算逆变换的一般公式是: 计算逆变换的一般公式是
− f (t) = L 1[F(s)]
它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来， 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来，不同 的象函数对应着不同的原函数。它们之间有一一对应 的象函数对应着不同的原函数。 的关系。 的关系。 以后我们用小写字母表示原函数， 以后我们用小写字母表示原函数，用大写的相同字 母表示象函数。 母表示象函数。如：
ε (t)
A Ae- α t Ate- α t
δ (t)
sin ωt cos ωt
在线性集中参数电路中， 在线性集中参数电路中，电压和电流的象函数都是 s 的有理分式，可以展开成部分分式之和的形式，对每 的有理分式，可以展开成部分分式之和的形式， 个部分分式求原函数。再根据逆变换的线性性质， 个部分分式求原函数。再根据逆变换的线性性质，将 所有部分分式的原函数代数相加， 所有部分分式的原函数代数相加，就得所求象函数的 原函数。 原函数。 集中参数电路的象函数可以表示成下列有理分式
式中p 为方程F 个不同的根， 式中 1、 p2 、… pn为方程 2(s)=0的n个不同的根，它们可以是 的 个不同的根 实数也可以是复数。由于s→ →∞， 实数也可以是复数 。 由于 → pk时 |F(s)|→∞， 故这些根称为 →∞ 故这些根称为F(s) 的极点(pole)。 A1、A2、An…为待定系数。为了求出其中任何一 为待定系数。 的极点 。 为待定系数 个常数A 个常数 k，用(s−pk)乘上式的两边各项得 ： − 乘上式的两边各项得
本节的基本要求是掌握常用函数(直流或阶跃函 数、指数函数、冲激函数)的拉普拉斯逆变换。掌握 用部分分式展开法求有理分式的原函数。
定义： 定义：由F(s)求 f(t) 的运算称为拉普拉斯逆变换 求 (inverse Laplace transform)。 。 计算逆变换的一般公式是: 计算逆变换的一般公式是
− f (t) = L 1[F(s)]
它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来， 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来，不同 的象函数对应着不同的原函数。它们之间有一一对应 的象函数对应着不同的原函数。 的关系。 的关系。 以后我们用小写字母表示原函数， 以后我们用小写字母表示原函数，用大写的相同字 母表示象函数。 母表示象函数。如：
ε (t)
A Ae- α t Ate- α t
δ (t)
sin ωt cos ωt
在线性集中参数电路中， 在线性集中参数电路中，电压和电流的象函数都是 s 的有理分式，可以展开成部分分式之和的形式，对每 的有理分式，可以展开成部分分式之和的形式， 个部分分式求原函数。再根据逆变换的线性性质， 个部分分式求原函数。再根据逆变换的线性性质，将 所有部分分式的原函数代数相加， 所有部分分式的原函数代数相加，就得所求象函数的 原函数。 原函数。 集中参数电路的象函数可以表示成下列有理分式
自动控制理论基础知识拉氏变换
∫ 1 定义：如果以时间 t 为自变量的函数 f(t)当 t≥0 时有定义，且积分 ∞ f (t)e−stdt 在 s 的某 0
∫ 一域内收敛，则由此积分所确定的函数 F (s) = ∞ f (t)e−stdt ，称为函数 f(t)的拉氏变换，记 0
作 F (s) = L[ f (t)] 。
拉氏变换是一种单值变换。f(t)和 F(s)之间具有一一对应关系。
=
b3 (s +1)3
+
b2 (s +1)2
+
b1 + s +1
c4 s
b3
=
1 [ s(s +1)3
(s
+1)3 ]s=−1
=
−1
b2
=
⎧d
⎨ ⎩
ds
[1 s(s +1)3
(s
+
1)3
⎫ ]⎬
⎭s=−1
=
[d ds
(
1 s
)]s
=−1
=
(−s−2 )
s = −1
=
−1
b1
=
1 (2s−3 ) 2!
lim f (t) = lim sF (s)
t→∞
s→0
上式表明：原函数 f(t)在 t →∞ 时的数值（稳态值），可以通过将象函数 F(s)乘以 s 后，再
求 s→ 0 的极限求得。
（6）延迟定理： L[ f (t −τ )] = e−sτ F (s)
（7）位移定理： L[e−α t f (t)] = F (s + α )
=
(l
1 {d l−1 −1)! ds
[M (s) D(s)
(s
∫ 一域内收敛，则由此积分所确定的函数 F (s) = ∞ f (t)e−stdt ，称为函数 f(t)的拉氏变换，记 0
作 F (s) = L[ f (t)] 。
拉氏变换是一种单值变换。f(t)和 F(s)之间具有一一对应关系。
=
b3 (s +1)3
+
b2 (s +1)2
+
b1 + s +1
c4 s
b3
=
1 [ s(s +1)3
(s
+1)3 ]s=−1
=
−1
b2
=
⎧d
⎨ ⎩
ds
[1 s(s +1)3
(s
+
1)3
⎫ ]⎬
⎭s=−1
=
[d ds
(
1 s
)]s
=−1
=
(−s−2 )
s = −1
=
−1
b1
=
1 (2s−3 ) 2!
lim f (t) = lim sF (s)
t→∞
s→0
上式表明：原函数 f(t)在 t →∞ 时的数值（稳态值），可以通过将象函数 F(s)乘以 s 后，再
求 s→ 0 的极限求得。
（6）延迟定理： L[ f (t −τ )] = e−sτ F (s)
（7）位移定理： L[e−α t f (t)] = F (s + α )
=
(l
1 {d l−1 −1)! ds
[M (s) D(s)
(s
拉氏变换详细解读
2
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
拉氏变换详解
称为拉氏反变换。记为 L1[ F (s)] 。
由F(s)可按下式求出
f
(t)
L1[F (s)]
1
2
j
C j
C j
F (s)est ds(t
0)
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的 实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必 须是一种能直接查到的原函数的形式。 12
2.常用函数的拉氏变换
数学知识回顾
(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
F (s) Ae st dt
A e st
A
0
s
0
s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
F (s) (t)est dt
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[
f
(t)]
0
f
(t)est dt
s
0
f
(t)est dt
f
(t )e st
0
sF(s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t)] sL[ f (t)] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0)
则象函数及其自变量都增加（或减小）同
样倍数。即：L[ f ( t )] aF (as)
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
74-学习手册-单元二知识点二拉氏变换和知识点三传递函数
例题分析：用复阻抗法求 RLC 串联电路的传递函数
解：将 RLC 串联电路中的电压和电流各量用对应的象函数表示，根据电工基础所学 知识，有：
课堂讨论
已知某系统在0初条件下的阶跃响应为：
c(t)
=
1-
2 3
e-t
-
1 3
e-4t
试求：系统的传递函数。
解：
C(s)
=
1 s
-
2 3
�s 1+1
-
1 3
�s +1
t
s0
知识点三 传递函数
学习重点：
1、理解传递函数的定义
2、控制系统传递函数的求取方法
3、直接求取法和复阻抗法能够传递函数
学习内容：
一、传递函数的定义
当初始条件为零时，输出量 c(t)的拉氏变换式 C(s)与输入量 r(t)的拉氏变换式 R(s)的 之比。
零初始条件有两方面含义：
一是指输入量在 t≥0 时才作用于系统，因此，在 t≤0 时，输入量及其各阶导数均为
s( s 2
+
1 a1s +
a2 )
（3）L-1变换
y t = L-1 Y (s)
（四）小结
1 拉氏变换的定义
ﾥ F (s) = ﾥ f (t) ﾥe-tsdt 0
2 常见函数L变换
f (t)
（1）单位脉冲
(t)
（2）单位阶跃
1(t )
（3）单位斜坡
t
（4）单位加速度
t2 2
e -at
（5）指数函数
L f t = s F s - f 0
L
f tdt
=
1 s
F
积分变换第6讲----拉氏变换的性质
(2.3)
证 根据分部积分公式和拉氏变换公式
b
u
a
d
v
uv
|ba
-
b
vdu
a
L [ f (t)] f (t) e-std t e-std f (t)
0
0
e-st
f (t) -
f (t) de-st
0
0
- f (0) s f (t) e-std t sL [ f (t)] - f (0) 0
1
-
1 e
-
st
(Re(s) c)
23
例9 求如图所示的单个半正弦波f(t)的拉氏变换
f1(t)
f(t)
E
E
OT
T
t
2
O
Tt 2
f2(t) E
O TT
t
2
24
由前图可知, f(t)=f1(t)+f2(t), 所以
L [ f (t)] L [ f1(t)] L [ f2 (t)]
EL
sin
0
f (t) d t
1 sL
f (t) 1 F (s)
s
11
重复应用(2.8)式, 就可得到:
{ } L
t
dt
t dt
t
f (t) d t
0 0 0
1 sn F(s)
(2.9)
n次
12
由拉氏变换存在定理, 还可得象函数积分性质:
若L [f(t)]=F(s), 则
F(s)d s
33
例11 若 L [ f (t)] 1 ,求f (0), f (). sa
根据初值定理和终值定理,
f (0) lim sF (s) lim s 1
全面完整的学习拉氏变换计算
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53
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54
◇实例1 设系统微分方程为： 若xi(t)=1(t),初始条件分为x’o(0)，xo(0),试求 xo(t) 解：对微分方程左边进行拉氏变换：
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56
对方程右边进行拉氏变换：
从而
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◇叠加定理 □齐次性：L[αf(t)]=αL[f(t)],α为常数 □叠加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+b[f2(t)] a,b为常数； 显然，拉氏变换为线性变换。
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11
◇实微分定理
证明：由于
2010-10-7
12
所以： 同样有：
式中，f’(0),f”(0),……为f(t)的各阶导数在 t=0时的值
五、拉氏变换和拉氏反变换 ●拉氏变换 设函数f(t)(t≥0)在任一有限区间上分段连续， 且存在一正常数σ，使得 则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
式中：s=σ+jω(σ, ω均为实数)
2010-10-7 1
称为拉普拉氏积分； F(s)称为函数f(t)拉普拉氏变换或象函数，它 是一个复变函数；f (t)称为F(s) 的原函数； L为拉氏变换的变换符号。 ●拉氏反变换
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31
◇F(s)含有共轭复数极点 假设F(s)含有一对共轭复数极点-p1、－p2， 其余极点均为各不相同的实数极点，则：
式中，A1和A2的值由下式求解
上式为复数方程，令方程两端实部、虚部 分别相等即可确定A1和A2的值
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(完整版)拉氏变换常用公式
附录A拉普拉斯变换及反变换
表A-1拉氏变换的基本性质
1
线性定理
齐次性
叠加性
2
微分定理
一般形式
初始条件为0时
3
积分定理
一般形式
初始条件为0时
4
延迟定理（或称 域平移定理）
5
衰减定理（或称 域平移定理）
6
终值定理
7
初值定理
8
卷积定理
表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表
序号
拉氏变换E(s)
时间函数e(t)
Z变换E(z)
1
1
δ(t)
1
2
3
4
t
5
6
7
8
9
10
11
12
ห้องสมุดไป่ตู้13
14
15
用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 是 的有理真分式
（ ）
式中系数 ， 都是实常数； 是正整数。按代数定理可将 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。
① 无重根
=
式中， 为F(s)的r重根， ，…, 为F(s)的n-r个单根；
其中， ，…, 仍按式(F-2)或(F-3)计算， ， ，…, 则按下式计算：
(F-5)
原函数 为
（F-6）
这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。
（F-1）
式中， 是特征方程A(s)＝0的根。 为待定常数，称为F(s)在 处的留数，可按下式计算：
（F-2）
或
（F-3）
式中， 为 对 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
表A-1拉氏变换的基本性质
1
线性定理
齐次性
叠加性
2
微分定理
一般形式
初始条件为0时
3
积分定理
一般形式
初始条件为0时
4
延迟定理（或称 域平移定理）
5
衰减定理（或称 域平移定理）
6
终值定理
7
初值定理
8
卷积定理
表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表
序号
拉氏变换E(s)
时间函数e(t)
Z变换E(z)
1
1
δ(t)
1
2
3
4
t
5
6
7
8
9
10
11
12
ห้องสมุดไป่ตู้13
14
15
用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 是 的有理真分式
（ ）
式中系数 ， 都是实常数； 是正整数。按代数定理可将 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。
① 无重根
=
式中， 为F(s)的r重根， ，…, 为F(s)的n-r个单根；
其中， ，…, 仍按式(F-2)或(F-3)计算， ， ，…, 则按下式计算：
(F-5)
原函数 为
（F-6）
这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。
（F-1）
式中， 是特征方程A(s)＝0的根。 为待定常数，称为F(s)在 处的留数，可按下式计算：
（F-2）
或
（F-3）
式中， 为 对 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
(完整版)最全拉氏变换计算公式
最全拉氏变换计算公式1233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；4其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
第二节 拉氏变换公式
L[ (t)] L[d (t) / dt]
=s 1 - 0 s
=1
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 积分定理
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 多重积分
（2－22）
原函数的n重积分像函数中除以sn
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-6：利用积分性质求函数f(t)=t的象函数
抛物线函数
（2－16）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 单位脉冲函数拉氏变换
洛必达法则
（2－17）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 指数函数的拉氏变换
（2－18）
机械工程控制基础
例2-1：求解函数
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 三角函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-10：求如下函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 复数域微分定理
证：
Ltf (t) dF (s)
ds
（2－30）
dF (s) d f (t)estdt d[ f (t)est ] dt
F (s)
s s2 1
求 et f (3t 2) 的象函数
解：由于
f
(t)
s s2 1
利用实位移定理
f (t 2) s e2s s2 1
由尺度变换定理
s
f
(3t
2)
1
3
2s
e3
3 (s)2 1
s
=s 1 - 0 s
=1
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 积分定理
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 多重积分
（2－22）
原函数的n重积分像函数中除以sn
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-6：利用积分性质求函数f(t)=t的象函数
抛物线函数
（2－16）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 单位脉冲函数拉氏变换
洛必达法则
（2－17）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 指数函数的拉氏变换
（2－18）
机械工程控制基础
例2-1：求解函数
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 三角函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-10：求如下函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 复数域微分定理
证：
Ltf (t) dF (s)
ds
（2－30）
dF (s) d f (t)estdt d[ f (t)est ] dt
F (s)
s s2 1
求 et f (3t 2) 的象函数
解：由于
f
(t)
s s2 1
利用实位移定理
f (t 2) s e2s s2 1
由尺度变换定理
s
f
(3t
2)
1
3
2s
e3
3 (s)2 1
s
复习拉氏变换知识
s+3 2+ j = s → −1 + j (s + 1 − j)(s + 1 + j) 2j s+3 2− i C 2 = lim (s + 1 + j) = s → −1− j (s + 1 − j)(s + 1 + j) − 2 j
2 + j ( −1+ j ) t 2 − j ( −1− j ) t = 1 e − t ( 2 + j )e jt − ( 2 − j )e − jt f(t) = e e − 2j 2j 2j 1 −t e ⋅ j[2 cos t + 4 sin t ] = e − t ⋅ [cos t + 2 sin t ] = 2j s+1 1 s +1+ 2 s+3 = +2 = F(s) = 解二： 解二： 2 2 (s + 1 )2 + 12 (s + 1 )2 + 12 (s + 1 )2 + 12 (s + 1 ) + 1
11） 复习拉普拉斯变换有关内容（11）
用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y′′( t ) + a1 ⋅ y′( t ) + a2 ⋅ y( t ) = 1( t )
y(0) = y′(0) = 0
L变换 变换
1 Y ( s) = s( s 2 + a1 s + a 2 )
L-1变换
1 ( s + a1 s + a 2 ) ⋅ Y ( s ) = s
2 常见函数的拉氏变换
1 t ≥ 0 （1）阶跃函数 f ( t ) = 0 t < 0 ∞ − 1 − st ∞ − 1 (0 − 1) = 1 L[1(t )] = ∫ 1 ⋅ e − st dt = e 0 = s s s 0
拉氏变换教程
t s0
第二章 系统数学模型
df (t ) limsF ( s ) f (0) 证明： lim L s 0 dt s 0 lim sF ( s ) f (0) 又由于：
df (t ) df (t ) st lim L lim 0 e dt s 0 dt s 0 dt df (t ) 0 dt f () f (0) dt 即： f () f (0) lim sF ( s ) f (0)
1
L－1为拉氏反变换的符号。
第二章 系统数学模型
3、几种典型函数的拉氏变换 单位阶跃函数1(t)
f(t)
1
0 1(t ) 1
0
t0 t0
st
L 1(t ) 1(t )e
dt
0
单位阶跃函数
t
1 st 1 e s 0 s
(Re(s) 0)
第二章 系统数学模型
位移定理
Le
at
f (t ) F (s a)
例：Lsin t 2 s 2
Le
( s a) 2 2 ( s a) at L e cost ( s a) 2 2 初值定理
at
sin t
1 1 f (t )dt t 0 0 f (t )e st dt s s
同样：
f ( 1) (0) F ( s) s s
1 1 ( 1) 1 ( n1) L f (t )dt n F ( s ) n1 f (0) f (0) s s s n
第二章 系统数学模型
第二章 系统数学模型
df (t ) limsF ( s ) f (0) 证明： lim L s 0 dt s 0 lim sF ( s ) f (0) 又由于：
df (t ) df (t ) st lim L lim 0 e dt s 0 dt s 0 dt df (t ) 0 dt f () f (0) dt 即： f () f (0) lim sF ( s ) f (0)
1
L－1为拉氏反变换的符号。
第二章 系统数学模型
3、几种典型函数的拉氏变换 单位阶跃函数1(t)
f(t)
1
0 1(t ) 1
0
t0 t0
st
L 1(t ) 1(t )e
dt
0
单位阶跃函数
t
1 st 1 e s 0 s
(Re(s) 0)
第二章 系统数学模型
位移定理
Le
at
f (t ) F (s a)
例：Lsin t 2 s 2
Le
( s a) 2 2 ( s a) at L e cost ( s a) 2 2 初值定理
at
sin t
1 1 f (t )dt t 0 0 f (t )e st dt s s
同样：
f ( 1) (0) F ( s) s s
1 1 ( 1) 1 ( n1) L f (t )dt n F ( s ) n1 f (0) f (0) s s s n
第二章 系统数学模型
全面完整的学习拉氏变换计算
2010-10-7
75
●脉冲响应函数 初始条件为0时，系统在单位脉冲输入作用 下的输出响应的拉氏变换为：
g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）。 系统的脉冲响应函数与传递函数包含关于 系统动态特征的相同信息。
2010-10-7
76
注意到复数域相乘等同于时域内卷积，因此， 由：Y(s)=G(s)X(s) 知线性系统在任意输入作用下，其时域输出：
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65
◇传递函数的求解实例： □质量－弹簧－阻尼系统的传递函数
所有初始条件均为零时，其拉氏变换为： 按照定义，系统的传递函数为：
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□R-L-C无源电网络的传递函数
所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：
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几点结论： √传递函数是复数s域中的系统数学模型，其 参数仅取决于系统本身的结构及其参数， 与系统的输入形式无关。 √若输入给定，则系统输出特性完全由传递函 数G(s)决定，即传递函数表征了系统内在的 国有动态特性。 √传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性。即以系统外部 输入－输出特性来描述系统的内部特性。
五、拉氏变换和拉氏反变换 ●拉氏变换 设函数f(t)(t≥0)在任一有限区间上分段连续， 且存在一正常数σ，使得 则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
式中：s=σ+jω(σ, ω均为实数)
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称为拉普拉氏积分； F(s)称为函数f(t)拉普拉氏变换或象函数，它 是一个复变函数；f (t)称为F(s) 的原函数； L为拉氏变换的变换符号。 ●拉氏反变换
2010-10-7 13
当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时 （零初始条件）：
(完整版)最全拉氏变换计算公式
最全拉氏变换计算公式1233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；4其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
第三章拉氏变化
L ∫ f ( t − λ )g ( λ )d λ = F (s)G (s) 0
控 制 工 程 基 础
式中， 式中，
∫
t 0
f ( t − λ )g ( λ )d λ = f ( t ) ∗ g ( t )
称为f(t)与g(t)的卷积。 称为f(t)与g(t)的卷积。 f(t) 的卷积
式中，p1,p2 ,pn称为F(s)的极点， ,pn称为F(s)的极点 式中，p1,p2…,pn称为F(s)的极点， p1,p2…,pn称为F(s)的零点。 ,pn称为F(s)的零点 p1,p2 ,pn称为F(s)的零点。
第三章
拉氏变换
1)F(s)无重极点的情况 1)F(s)无重极点的情况
控 制 工 程 基 础
第三章
拉氏变换
拉氏变换存在的条件
控 制 工 程 基 础
1.f(t)分段连续； f(t)分段连续； 分段连续 满足： 2.时间t充分大时，f(t)满足： 时间t充分大时，f(t)满足
f (t ) ≤ Me
at
第三章
拉氏变换
二、典型时间函数的拉氏变换
控 制 工 程 基 础
1、单位阶跃函数
0 1(t ) = 1
s = p1
k11 = F(s)(s − p1 )r
d k12 = [F(s)(s − p1 ) r ] ds
1 d2 k13 = [F(s)(s − p1 )r ] 2 2! ds ⋮
s = p1
s = p1
1 d r −1 k1r = [F(s)(s − p1 ) r ] (r − 1)! ds r −1
L[e f ( t )] = F(s + a )
− at
第三章 实 微 分 定 理
控 制 工 程 基 础
式中， 式中，
∫
t 0
f ( t − λ )g ( λ )d λ = f ( t ) ∗ g ( t )
称为f(t)与g(t)的卷积。 称为f(t)与g(t)的卷积。 f(t) 的卷积
式中，p1,p2 ,pn称为F(s)的极点， ,pn称为F(s)的极点 式中，p1,p2…,pn称为F(s)的极点， p1,p2…,pn称为F(s)的零点。 ,pn称为F(s)的零点 p1,p2 ,pn称为F(s)的零点。
第三章
拉氏变换
1)F(s)无重极点的情况 1)F(s)无重极点的情况
控 制 工 程 基 础
第三章
拉氏变换
拉氏变换存在的条件
控 制 工 程 基 础
1.f(t)分段连续； f(t)分段连续； 分段连续 满足： 2.时间t充分大时，f(t)满足： 时间t充分大时，f(t)满足
f (t ) ≤ Me
at
第三章
拉氏变换
二、典型时间函数的拉氏变换
控 制 工 程 基 础
1、单位阶跃函数
0 1(t ) = 1
s = p1
k11 = F(s)(s − p1 )r
d k12 = [F(s)(s − p1 ) r ] ds
1 d2 k13 = [F(s)(s − p1 )r ] 2 2! ds ⋮
s = p1
s = p1
1 d r −1 k1r = [F(s)(s − p1 ) r ] (r − 1)! ds r −1
L[e f ( t )] = F(s + a )
− at
第三章 实 微 分 定 理
全面完整的学习拉氏变换要点PPT80页
全面完整的学习拉氏变 换要点
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
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2010-10-7 72
◇零、极点分布图 将传递函数的零、极点 表示在复平面上的图形 称为传递函数的零、极 点分布图。图中，零点 用“O”表示，极点用“×” 表示。
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●传递函数的几点说明 ◇传递函数是一种以系统参数表示的线性定常 系统输入量于输出量之间的关系式；传递函 数的概念通常只适用于定常线性系统 ◇传递函数是s的复变函数。传递函数中的各项 系数和相应微分方程中各项系数对应相等， 完全取决于系统的结构参数；
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64
四、传递函数 ●传递函数的概念和定义 ◇传递函数 在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变 换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。 零初始条件： □在t<0时，输入量及其各阶导数均为零； □输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作 状态，即t<0时，输出量及其各阶导数也为零。
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当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时 （零初始条件）：
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◇复微分定理 若L[f(t)]=F(s),则除了F(s)的极点之外，有：
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积分定理
当初始条件为零时：
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证明：
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同样
当初始条件为零时
由于p1、p2为共轭复数，因此，A1和A2也 为共轭复数。
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由上式两边实部和虚部分别相等，得：
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查拉氏变换表得
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查拉氏变换表得：
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●脉冲响应函数 初始条件为0时，系统在单位脉冲输入作用 下的输出响应的拉氏变换为：
g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）。 系统的脉冲响应函数与传递函数包含关于 系统动态特征的相同信息。
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注意到复数域相乘等同于时域内卷积，因此， 由：Y(s)=G(s)X(s) 知线性系统在任意输入作用下，其时域输出：
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◇传递函数的求解实例： □质量－弹簧－阻尼系统的传递函数
所有初始条件均为零时，其拉氏变换为： 按照定义，系统的传递函数为：
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□R-L-C无源电网络的传递函数
所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：
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几点结论： √传递函数是复数s域中的系统数学模型，其 参数仅取决于系统本身的结构及其参数， 与系统的输入形式无关。 √若输入给定，则系统输出特性完全由传递函 数G(s)决定，即传递函数表征了系统内在的 国有动态特性。 √传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性。即以系统外部 输入－输出特性来描述系统的内部特性。
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◇F(s)含有共轭复数极点 假设F(s)含有一对共轭复数极点-p1、－p2， 其余极点均为各不相同的实数极点，则：
式中，A1和A2的值由下式求解
上式为复数方程，令方程两端实部、虚部 分别相等即可确定A1和A2的值
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注意，此时F(s)仍可分解为下列形式：
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所以：
查拉氏反变换表得：
当初始条件为零时：
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◇实例2
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P27 例2－14
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由上述实例可见： □应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始 条件已自动包含在微分方程得拉氏变换式中， 因此，不需要根据初始条件求积分常数的值 就可以得到微分方程的全解。 □如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏 变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。 □系统响应可以分为两部分：零状态响应和零 输入响应
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当s=0时： G(0)=bm/an=K 式中，K称为系统的放大系数或增益。 从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数 项都为零。因此K反应了系统处于静态时，输 出与输入的比值。
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◇零点和极点 将G(s)写成下面的形式：
式中，分子M(s)=0的根s=zi(i=1、2、… 、 m)， 称为传递函数的零点； 分母N(s)=0的根s=pj(i=1、2、3、…、n)，称 为传递函数的极点。 系统传递函数的极点就是系统的特征根。 零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。
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◇传递函数的一般形式 考虑线性定常系统
当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换 可得系统传递函数的一般形式：
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●特征方程、零点和极点
N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统 的特征根。特征方程决定着系统的动态特 性。 N(s)中s的最高次等于系统的阶次。
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又由于
终值定理说明f(t)稳定值与sF(s)在s=0时 的初值相同
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◇卷积定理
其中，f(t)*g(t)表示f(t)和g(t)的卷积。 若t<0时，f(t)=g(t)=0,则f(t)和g(t)的卷积可以 表示为：
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证明：
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五、拉氏变换和拉氏反变换 ●拉氏变换 设函数f(t)(t≥0)在任一有限区间上分段连续， 且存在一正常数σ，使得 则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
式中：s=σ+jω(σ, ω均为实数)
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称为拉普拉氏积分； F(s)称为函数f(t)拉普拉氏变换或象函数，它 是一个复变函数；f (t)称为F(s) 的原函数； L为拉氏变换的变换符号。 ●拉氏反变换
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◇时间比例尺定理
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●求解拉氏变换的部分分式法 ◇部分分式法 如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解为下列分量： F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s) 假定F1(s)，F2(s)，…，Fn(s)的拉氏反变换 可以容易地求出，则
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在控制理论中，通常：
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◇实例1 设系统微分方程为： 若xi(t)=1(t),初始条件分为x’o(0)，xo(0),试求 xo(t) 解：对微分方程左边进行拉氏变换：
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对方程右边进行拉氏变换：
从而
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◇传递函数是零初始条件下定义的，即在零 时刻之前，系统对所给定的平衡点处于相 对静止状态。因此，传递函数原则上不能 反映系统在非零初始条件下的全部运动规 律； ◇传递函数只能表示系统输入与输出的关系， 无法描述系统内部中间变量的变化情况； ◇一个传递函数只能表示一个输入对一个输 出的关系，只适合于单输入单输出系统。
如果要输入多项式：x4-12x3+25x+126 >>p=[1 -12 0 25 126] p=1 -12 0 25 126
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用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式, 即：num=[bo b1…bm] den=[a0 a1… an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展 开，其句法为： [r,p,k]=residue(num,den) 其中，r，p分别为展开后的留数及极点构成的列 向量、k为余项多项式行向量。
L-1为拉氏反变换的符号。
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●几种典型函数的拉氏变换 □单位阶跃函数1（t）
□指数函数 f(t)=e-at (a为常数)
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□正弦函数和余弦函数
由欧拉公式，有：
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从而
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□单位脉冲函数δ（t）
由洛必达法则：
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◇叠加定理 □齐次性：L[αf(t)]=αL[f(t)],α为常数 □叠加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+b[f2(t)] a,b为常数； 显然，拉氏变换为线性变换。
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11
◇实微分定理
证明：由于
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12
所以： 同样有：
式中，f’(0),f”(0),……为f(t)的各阶导数在 t=0时的值
□单位速度函数
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8
□单位加速度函数
函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变 换表直接或通过一定的转换得到。
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●拉氏变换的主要定理 在某些情况下，函数f(t)在t=0处有一个 脉冲函数。这时必须确定拉氏变换的积分 下限是0－还是0＋，并记为：
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10
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延迟定理
设当t<0时，f(t)=0，则对任意τ≥0，有：
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◇位移定理
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◇初值定理
初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值 与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关 系。
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◇零、极点分布图 将传递函数的零、极点 表示在复平面上的图形 称为传递函数的零、极 点分布图。图中，零点 用“O”表示，极点用“×” 表示。
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●传递函数的几点说明 ◇传递函数是一种以系统参数表示的线性定常 系统输入量于输出量之间的关系式；传递函 数的概念通常只适用于定常线性系统 ◇传递函数是s的复变函数。传递函数中的各项 系数和相应微分方程中各项系数对应相等， 完全取决于系统的结构参数；
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四、传递函数 ●传递函数的概念和定义 ◇传递函数 在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变 换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。 零初始条件： □在t<0时，输入量及其各阶导数均为零； □输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作 状态，即t<0时，输出量及其各阶导数也为零。
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当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时 （零初始条件）：
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◇复微分定理 若L[f(t)]=F(s),则除了F(s)的极点之外，有：
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积分定理
当初始条件为零时：
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证明：
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同样
当初始条件为零时
由于p1、p2为共轭复数，因此，A1和A2也 为共轭复数。
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由上式两边实部和虚部分别相等，得：
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查拉氏变换表得
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查拉氏变换表得：
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●脉冲响应函数 初始条件为0时，系统在单位脉冲输入作用 下的输出响应的拉氏变换为：
g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）。 系统的脉冲响应函数与传递函数包含关于 系统动态特征的相同信息。
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注意到复数域相乘等同于时域内卷积，因此， 由：Y(s)=G(s)X(s) 知线性系统在任意输入作用下，其时域输出：
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◇传递函数的求解实例： □质量－弹簧－阻尼系统的传递函数
所有初始条件均为零时，其拉氏变换为： 按照定义，系统的传递函数为：
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□R-L-C无源电网络的传递函数
所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：
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几点结论： √传递函数是复数s域中的系统数学模型，其 参数仅取决于系统本身的结构及其参数， 与系统的输入形式无关。 √若输入给定，则系统输出特性完全由传递函 数G(s)决定，即传递函数表征了系统内在的 国有动态特性。 √传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性。即以系统外部 输入－输出特性来描述系统的内部特性。
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◇F(s)含有共轭复数极点 假设F(s)含有一对共轭复数极点-p1、－p2， 其余极点均为各不相同的实数极点，则：
式中，A1和A2的值由下式求解
上式为复数方程，令方程两端实部、虚部 分别相等即可确定A1和A2的值
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注意，此时F(s)仍可分解为下列形式：
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所以：
查拉氏反变换表得：
当初始条件为零时：
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◇实例2
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由上述实例可见： □应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始 条件已自动包含在微分方程得拉氏变换式中， 因此，不需要根据初始条件求积分常数的值 就可以得到微分方程的全解。 □如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏 变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。 □系统响应可以分为两部分：零状态响应和零 输入响应
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当s=0时： G(0)=bm/an=K 式中，K称为系统的放大系数或增益。 从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数 项都为零。因此K反应了系统处于静态时，输 出与输入的比值。
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◇零点和极点 将G(s)写成下面的形式：
式中，分子M(s)=0的根s=zi(i=1、2、… 、 m)， 称为传递函数的零点； 分母N(s)=0的根s=pj(i=1、2、3、…、n)，称 为传递函数的极点。 系统传递函数的极点就是系统的特征根。 零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。
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◇传递函数的一般形式 考虑线性定常系统
当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换 可得系统传递函数的一般形式：
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●特征方程、零点和极点
N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统 的特征根。特征方程决定着系统的动态特 性。 N(s)中s的最高次等于系统的阶次。
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又由于
终值定理说明f(t)稳定值与sF(s)在s=0时 的初值相同
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◇卷积定理
其中，f(t)*g(t)表示f(t)和g(t)的卷积。 若t<0时，f(t)=g(t)=0,则f(t)和g(t)的卷积可以 表示为：
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证明：
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五、拉氏变换和拉氏反变换 ●拉氏变换 设函数f(t)(t≥0)在任一有限区间上分段连续， 且存在一正常数σ，使得 则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
式中：s=σ+jω(σ, ω均为实数)
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称为拉普拉氏积分； F(s)称为函数f(t)拉普拉氏变换或象函数，它 是一个复变函数；f (t)称为F(s) 的原函数； L为拉氏变换的变换符号。 ●拉氏反变换
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◇时间比例尺定理
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●求解拉氏变换的部分分式法 ◇部分分式法 如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解为下列分量： F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s) 假定F1(s)，F2(s)，…，Fn(s)的拉氏反变换 可以容易地求出，则
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在控制理论中，通常：
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◇实例1 设系统微分方程为： 若xi(t)=1(t),初始条件分为x’o(0)，xo(0),试求 xo(t) 解：对微分方程左边进行拉氏变换：
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对方程右边进行拉氏变换：
从而
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◇传递函数是零初始条件下定义的，即在零 时刻之前，系统对所给定的平衡点处于相 对静止状态。因此，传递函数原则上不能 反映系统在非零初始条件下的全部运动规 律； ◇传递函数只能表示系统输入与输出的关系， 无法描述系统内部中间变量的变化情况； ◇一个传递函数只能表示一个输入对一个输 出的关系，只适合于单输入单输出系统。
如果要输入多项式：x4-12x3+25x+126 >>p=[1 -12 0 25 126] p=1 -12 0 25 126
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用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式, 即：num=[bo b1…bm] den=[a0 a1… an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展 开，其句法为： [r,p,k]=residue(num,den) 其中，r，p分别为展开后的留数及极点构成的列 向量、k为余项多项式行向量。
L-1为拉氏反变换的符号。
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●几种典型函数的拉氏变换 □单位阶跃函数1（t）
□指数函数 f(t)=e-at (a为常数)
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□正弦函数和余弦函数
由欧拉公式，有：
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从而
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□单位脉冲函数δ（t）
由洛必达法则：
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◇叠加定理 □齐次性：L[αf(t)]=αL[f(t)],α为常数 □叠加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+b[f2(t)] a,b为常数； 显然，拉氏变换为线性变换。
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◇实微分定理
证明：由于
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所以： 同样有：
式中，f’(0),f”(0),……为f(t)的各阶导数在 t=0时的值
□单位速度函数
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□单位加速度函数
函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变 换表直接或通过一定的转换得到。
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●拉氏变换的主要定理 在某些情况下，函数f(t)在t=0处有一个 脉冲函数。这时必须确定拉氏变换的积分 下限是0－还是0＋，并记为：
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延迟定理
设当t<0时，f(t)=0，则对任意τ≥0，有：
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◇位移定理
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◇初值定理
初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值 与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关 系。
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