三角形外角的性质
初中数学知识归纳三角形的内角和与外角性质
初中数学知识归纳三角形的内角和与外角性质三角形是初中数学中重要的概念之一，在三角形的学习中，了解三角形的内角和与外角性质十分重要。
本文将对初中数学中与三角形的内角和与外角性质相关的知识进行归纳总结。
一、内角和的性质1. 三角形内角和定理三角形的内角和为180°。
这是三角形的基本性质，对于任意一个三角形而言，它的三个内角之和恒定为180°。
2. 等腰三角形的内角性质等腰三角形的两个底角（底边上的两个角）相等，而顶角等于两个底角之和的一半。
3. 直角三角形的内角性质直角三角形的两个锐角之和为90°。
4. 锐角三角形的内角性质锐角三角形的三个内角都是锐角。
5. 钝角三角形的内角性质钝角三角形的其中一个内角是钝角。
二、外角的性质1. 外角和内角的关系三角形的外角等于其对应的两个内角的和。
即一个三角形的外角与其非相邻的两个内角形成一条直线。
2. 三角形外角和的性质一个三角形的所有外角和等于360°。
三、实例应用1. 设某三角形的一个内角为60°，则其余两个内角的度数分别为多少度？根据三角形的内角和定理，三角形的内角和为180°。
已知一个内角为60°，设其余两个内角分别为x和y，则x + y + 60 = 180，整理得到x + y = 120。
因此，另外两个内角的度数分别为120°。
2. 若三角形的两个内角分别为30°和60°，求第三个内角的度数。
根据三角形的内角和定理，三角形的内角和为180°。
已知两个内角分别为30°和60°，设第三个内角的度数为x，则30 + 60 + x = 180，整理得到x = 90。
因此，第三个内角的度数为90°。
3. 在一个三角形中，一个内角为120°，另外两个内角是什么？根据三角形的内角和定理，三角形的内角和为180°。
几何形三角形的内角和与外角性质
几何形三角形的内角和与外角性质三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条边和三个内角组成。
在三角形中，内角和与外角性质是我们研究三角形的重要内容之一。
本文将深入探讨三角形的内角和与外角的性质，并进行详细解析。
一、三角形的内角和性质三角形的内角和是指三个内角的度数之和。
下面将分别讨论不同类型三角形的内角和性质。
1. 直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角是直角（90度）。
根据直角三角形的性质，其两个其他内角之和必须为90度的补角。
因此，直角三角形的内角和为180度。
2. 锐角三角形锐角三角形是指三个内角都是锐角的三角形。
根据三角形内角和的性质，锐角三角形的三个内角之和必须小于180度。
具体来说，对于一个锐角三角形，三个内角的和一定是小于180度的。
3. 钝角三角形钝角三角形是指三个内角中有一个内角是钝角的三角形。
根据三角形内角和的性质，钝角三角形的三个内角之和必须大于180度。
具体来说，对于一个钝角三角形，三个内角的和一定是大于180度的。
二、三角形的外角性质三角形的外角是指一个三角形的某个内角的补角。
根据外角性质，一个三角形的三个外角之和为360度。
下面将分别讨论不同类型三角形的外角性质。
1. 直角三角形直角三角形的一个内角为直角，对应的外角为90度。
根据三角形外角和性质，直角三角形的两个其他外角之和必须为270度。
2. 锐角三角形锐角三角形的三个内角都是锐角，对应的三个外角都是钝角。
根据外角和性质，锐角三角形的三个外角之和必定为360度。
3. 钝角三角形钝角三角形的一个内角为钝角，对应的外角为钝角的补角。
根据外角和性质，钝角三角形的两个其他外角之和必须为小于90度。
三、内角和与外角的关系三角形内角和与外角之间存在一定的关系。
以一个一般的三角形为例，设三个内角分别为A、B、C，对应的三个外角为α、β、γ。
根据内角和性质，A + B + C = 180度。
而根据外角和性质，α + β + γ = 360度。
三角形性质和判定定理
三角形性质和判定定理三角形是平面几何中最基本的图形之一，具有丰富的性质和判定定理。
本文将对三角形的性质和判定定理进行论述，探究其数学本质和应用。
1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中每条线段都是连接两个非共线点的直线段。
三角形可分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等各种类型。
2. 三角形的性质2.1 三角形的内角和定理三角形的内角和等于180度。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，可以得出以下等式：A + B + C = 180度。
2.2 三角形的外角性质三角形的外角等于其余两个内角的和。
如果外角为θ，则有：θ = A + B 或θ = B + C 或θ = A + C。
2.3 三角形的边长关系三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
设三角形的三个边分别为a、b、c，则有以下不等式成立：a + b > c，a + c > b，b+ c > a；a - b < c，a - c < b，b - c < a。
三角形的内角与其对边之间存在一定的关系。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，对边分别为a、b、c，则有以下关系成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
3. 三角形的判定定理3.1 三边长度判定定理如果三角形的三边长度分别为a、b、c，满足a + b > c，a + c > b，b +c > a，则可以构成一个三角形。
3.2 两边夹角与第三边关系判定定理如果已知三角形的两边长度分别为a、b，夹角为θ，则可以根据余弦定理判断第三边的长度。
余弦定理表达式为：c^2 = a^2 + b^2 -2abcosθ。
3.3 两边夹角与第三边夹角关系判定定理如果已知三角形的两边长度分别为a、b，夹角分别为A、B，则可以根据正弦定理判断第三边夹角的大小。
正弦定理表达式为：sinC/a = sinA/b = sinB/c。
如何判断三角形的内外角的大小关系
如何判断三角形的内外角的大小关系三角形是几何学中最基础的图形之一，它包括三条边和三个角。
当我们研究三角形时，了解和判断三角形的内外角的大小关系是非常重要的。
本文将介绍如何判断三角形的内外角的大小关系。
在开始之前，让我们先回顾一下三角形内外角的定义。
一个三角形有三个内角和三个外角。
内角是指位于三角形内部的角，而外角则是指位于三角形外部的角。
一、内角和外角的关系1. 外角的性质外角等于与它不相邻的两个内角之和。
换句话说，如果将三角形的一条边延长，外角就是形成的延长线与另外两条边的夹角。
例如，设三角形的三个内角分别为A、B、C，其中角A与角B不相邻，那么角A的外角等于角B加上角C。
2. 内角和外角的关系内角和外角是补角关系。
也就是说，三角形的一个内角加上其对应的外角，等于180度。
这是因为三角形的所有内角相加等于180度，外角和内角组成一对补角。
二、判断内外角的大小关系在了解内角和外角的基本性质后，我们可以通过观察角的大小关系来判断三角形的内外角的大小关系。
以下是一些判断方法：1. 内角大于外角在任何三角形中，每个内角都大于其对应的外角。
这是因为内角和外角是补角，而补角中总有一个角大于另一个角。
2. 直角三角形的内外角在直角三角形中，一个直角的内角为90度，其对应的外角为90度。
因此，直角三角形的内外角相等。
3. 锐角三角形的内外角在锐角三角形中，每个内角都小于其对应的外角。
由于锐角三角形的内角都小于90度，而外角可以大于90度，所以内角和外角的大小关系是成立的。
4. 钝角三角形的内外角在钝角三角形中，每个内角都大于其对应的外角。
由于钝角三角形的内角都大于90度，而外角必然小于90度，所以内角和外角的大小关系也是成立的。
综上所述，判断三角形的内外角的大小关系主要是根据内角和外角的定义以及性质来进行推断。
通过观察三角形的内角和外角之间的关系，我们可以准确地判断它们的大小。
需要注意的是，在实际测量中，我们可以使用量角器等工具来准确测量内角和外角的大小。
《三角形外角的性质》导学案
2、如图 2，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，则∠B= ，∠C= 。
3、如图 3，把∠1，∠2，∠3 按有小到大的顺序排列是 。
4、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为 180º，那么与这个外角相邻的内角
的度数为( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
附加：智力挑战题：
1、如果一个三角形的各内角与一个外角的和是 225º，则与这个外角相邻的内角是____度．
2、已知三角形的三个外角的度数比为 2：3：4，则它的最大内角的度数为( )
A．90°
B．110°
C．100°
D．120°
Hale Waihona Puke 图1图2图31、(2004·吉林)如图 1·所示，∠CAB 的外角等于 120º，∠B 等于 40º，则∠C 的度数是_______．
学习好资料
欢迎下载
3.6.2《三角形外角的性质》导学案 1
【学习目标】 1、在操作活动中，能利用学过的定理证明三角形的外角的两条性质。 2、理解并熟练背过三角形的外角的两条性质。 3、能运用三角形的外角性质解决实际问题。 【学习重点】三角形的外角的性质。 【学习难点】三角形外角的性质的证明过程。 【学法指导】自己复习有关知识点，如三角形内角和定理和外角的定义； 自己预习并探索三角形的外角的两条性质及其证明，做好课堂展示准备，争取有出色表现；在 实际运用中体会转化的思想。 【提前复习】填写并记住以下内容： 1、三角形内角和定理：三角形内角和是 。 2、什么叫三角形的外角？ 。 关键词是 、、 。 3、你能在右图中画出△ABC 的外角吗？准备好上台展示。
1、 你能证明以上两条结论吗？ （看谁的方法多，看谁的方法好。） 已知： 求证： 证明：
三角形的内角和与外角性质
三角形的内角和与外角性质三角形是平面几何中最基本的形状之一，它由三条边和三个角组成。
在研究三角形时，我们常常涉及到三角形的内角和外角的性质。
本文将深入探讨这些性质，并通过具体的例子加以说明。
一、三角形的内角和三角形的内角和是指三个内角的和。
根据欧拉公式，在二维平面上的任何一个多边形，无论是几边形还是多边形，其内角和都等于180°。
因此，对于三角形而言，其三个内角的和也必然等于180°。
这一性质被称为三角形内角和定理。
可以用以下方式表示三角形的内角和定理：设三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C，则有：∠A + ∠B + ∠C = 180°除了可以通过欧拉公式来证明三角形的内角和定理，我们还可以通过数学推理来理解它的原理。
举例说明，假设我们有一个三角形ABC，我们可以通过将其顶点A 点移动到线段BC的延长线上，形成一个四边形ABCD。
由于四边形的内角和是360°，根据四边形的性质，我们可以得出∠A + ∠B + ∠C +∠D = 360°。
然而，由于顶点A在移动过程中始终保持在线段BC的延长线上，因此∠D等于180°。
再根据三角形ABC是四边形ABCD的一部分，我们可以得出∠A + ∠B + ∠C = 180°。
这就证明了三角形的内角和定理。
二、三角形的外角和三角形的外角是指与三角形的一条边相邻且不共线的角。
对于每个三角形而言，它的三个外角的和等于360°。
这一性质被称为三角形外角和定理。
我们可以通过以下方式来表示三角形的外角和定理：设三角形ABC的三个外角分别为∠DAB、∠EBC和∠FCA，则有：∠DAB + ∠EBC + ∠FCA = 360°三角形的外角和定理可以通过数学推理来证明。
举例说明，我们仍然假设有一个三角形ABC，并在其边AB的延长线上选取一个点D。
考虑∠DAB、∠EBC和∠FCA这三个外角。
《三角形的外角的定义及性质》 学历案
《三角形的外角的定义及性质》学历案一、学习目标1、理解三角形外角的定义。
2、掌握三角形外角的性质，并能运用其解决相关问题。
二、学习重难点1、重点（1）三角形外角的定义。
（2）三角形外角的性质及其应用。
2、难点三角形外角性质的推导及灵活应用。
三、知识回顾1、三角形内角和定理：三角形的内角和等于 180°。
2、邻补角的定义：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角。
四、新课导入在日常生活中，我们经常会看到三角形的形状。
比如，自行车的车架、三角形的屋顶等。
当我们观察这些三角形时，会发现除了三角形的内角，还有一些与内角相关的角。
那么，这些角有什么特点和性质呢？今天，我们就来学习三角形的外角。
五、三角形外角的定义1、观察下面的三角形 ABC，延长 BC 到点 D，∠ACD 就是三角形的一个外角。
2、定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
3、思考：一个三角形有几个外角？在三角形中，每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，所以一个三角形共有 6 个外角。
但在通常情况下，我们研究的是每个顶点处的一个外角。
六、三角形外角的性质1、探究一（1）如图，在△ABC 中，∠A ＝ 70°，∠B ＝ 60°，求∠ACD 的度数。
因为∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝ 180°，所以∠ACB ＝ 180° 70° 60°＝ 50°。
又因为∠ACD ＋∠ACB ＝ 180°，所以∠ACD ＝ 180° 50°＝ 130°。
（2）通过计算发现，∠ACD ＝∠A ＋∠B。
2、探究二（1）在△ABC 中，∠ACD 是外角，∠A ＝ x°，∠B ＝ y°，用含 x 和 y 的式子表示∠ACD。
因为∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝ 180°，所以∠ACB ＝ 180° x° y°。
三角形的外角性质知识点
三角形的外角性质知识点
三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
∠1是三角形的外角。
三角形的外角特征：
①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC 边的延长线。
性质：
①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
④. 三角形的外角和等于360°。
设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。
定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
定理：三角形的三个内角和为180度。
初中数学三角形的外角性质知识点（二）三角形的外角性质经典例题
点P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于D，连接PC，则图中∠1，∠2，∠A的大小关系是（）。
三角形的外角性质
三角形的外角性质三角形是几何学中最基本的图形之一，由三个不共线的点和它们之间的边构成。
在三角形中，有一些特殊的角称为外角。
本文将详细介绍三角形外角的性质。
一、外角的定义外角是指一个三角形的其中一个内角的补角，也就是与该内角相邻且不在同一条直线上的角。
在任何三角形中，每个内角都对应着一个唯一的外角。
二、三角形外角的性质1. 外角和内角关系在任何三角形中，一个外角等于另外两个不相邻的内角的和。
换句话说，三角形的一个外角等于其余两个内角的和。
例如，在三角形ABC中，∠A是一个外角，它等于∠B和∠C的和（∠A = ∠B + ∠C）；同样地，∠B是一个外角，它等于∠A和∠C的和（∠B = ∠A + ∠C）；∠C也是一个外角，它等于∠A和∠B的和（∠C = ∠A + ∠B）。
2. 外角和直角在三角形中，三个外角的和恒等于直角（90度）。
也就是说，三个外角的度数之和总是等于90度。
证明：设三角形ABC的三个外角分别为∠A、∠B、∠C，根据三角形的内角和定理可知∠A + ∠B + ∠C = 180度。
根据外角的定义可知∠A = ∠B + ∠C。
将∠A代入前一个等式中得到∠B + ∠C + ∠B +∠C = 180度，整理得到2∠B + 2∠C = 180度，化简得到∠B + ∠C =90度。
3. 外角与内角的关系在同一个三角形中，一个内角的外角与其他两个内角之和相等。
也就是说，一个内角的外角等于其他两个内角的和。
例如，在三角形ABC中，∠A对应的外角是∠D，∠B对应的外角是∠E，∠C对应的外角是∠F。
根据外角的定义可知∠D = ∠B + ∠C，∠E = ∠A + ∠C，∠F = ∠A + ∠B。
4. 外角的性质总结根据上述讨论，我们可以总结出三角形外角的性质：- 一个三角形的外角等于其余两个内角的和。
- 三个外角的和等于90度（直角）。
- 同一个三角形中，一个内角的外角等于其他两个内角的和。
结论：本文详细介绍了三角形外角的性质，包括外角的定义、外角和内角的关系、外角和直角的关系以及外角与内角的关系。
三角形的外角与内角性质
三角形的外角与内角性质三角形是一种非常基础的几何形状，它具有许多独特的性质和特点。
其中，内角和外角是我们研究三角形的重要性质之一。
在本文中，我们将探讨三角形的内角与外角之间的关系，并分析它们的性质。
1. 三角形的内角性质三角形内角的性质是我们研究三角形的基础，它涉及到三角形内部的角度关系。
根据三角形的定义，它具有三个内角，我们用α、β、γ表示。
（1）内角和等于180度任意一个三角形的三个内角之和等于180度，即α + β + γ = 180°。
这一性质被称为三角形内角和定理，它是三角形的基本性质之一。
（2）直角三角形的内角直角三角形是一种具有一个90度内角的特殊三角形。
在直角三角形中，另外两个内角的和为90度，即α + β = 90°。
（3）等腰三角形的内角等腰三角形是一种具有两个边长相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角（底边上的内角）相等，即α = β。
以上是三角形内角的一些基本性质，这些性质可以帮助我们计算和研究三角形的各种问题。
2. 三角形的外角性质除了内角，三角形还拥有外角这一特殊性质。
我们定义三角形的外角为：组成三角形的一条边的延长线与其他两条边之间的角度。
（1）外角和等于360度任意一个三角形的三个外角之和等于360度。
这一性质是外角和定理，与内角和定理类似，它也是三角形的基本性质之一。
（2）外角与内角的关系三角形的外角与其对应的内角之间存在着关系。
具体来说，三角形的一个外角等于它对应的两个内角之和。
即，一个外角等于两个对立内角的和。
这一性质被称为外角等于内角和定理。
例如，在三角形ABC中，依次标记它的三个内角为α、β、γ，对应的外角为α'、β'、γ'。
根据外角等于内角和定理，我们有α' = β + γ，β' = α + γ，γ' = α + β。
这一性质在解决三角形问题时非常有用。
通过研究三角形的内角和外角性质，我们可以更全面地了解三角形的特点与性质。
外角的性质
外角的性质角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。
本文谈谈三角形外角的性质及应用。
一. 三角形外角的概念及特征如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。
图1外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；（2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；（3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
二. 性质1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4. 三角形的外角和等于360°。
三. 应用1. 求角的度数例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（）A. 115°B. 120°C. 125°D. 130°-55=125°。
解析：如图2，∠A的外角为：180°︒∠B的外角为：180°－65°=115°∠ACB的外角为：55°+65°=120°所以选D 。
图2例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD ，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（ ） A. 23°B. 42°C. 65°D. 19°图3解析：延长BE 交CD 于F 因为AB//CD 所以∠1=∠B=23° ∠BED 是△EDF 的外角则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C 。
例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC ，∠BAD=α，且AE=AD ，则∠EDC=（ ） A.α21B. α31C.α41D.α32图4解析：设∠EDC=x ° 因为∠ADC 是△ABD 的外角 所以∠ADC=∠ABC+∠BAD 即∠ADE+x=∠ABC+α（1）因为AB=AC ，AD=AE 所以∠B=∠C ，∠ADE=∠AED 而∠AED 是△DEC 的外角 所以∠AED=∠EDC+∠C 即∠AED=x+∠C（2）将（2）代入（1）得：α+∠=+∠+ABC x C x所以α=21x 所以选A 。
《三角形的外角的定义及性质》 学历案
《三角形的外角的定义及性质》学历案一、学习目标1、理解三角形外角的定义。
2、掌握三角形外角的性质，并能运用其解决相关问题。
二、学习重难点1、重点（1）三角形外角的定义。
（2）三角形外角的性质及应用。
2、难点三角形外角性质的证明及灵活运用。
三、知识回顾1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 180°。
2、平角的定义：等于 180°的角叫平角。
四、新课导入同学们，我们已经知道了三角形的内角和是180°，那么在三角形中，除了内角，还有一些与角相关的概念，今天我们就来学习三角形的外角。
五、三角形外角的定义在三角形中，一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。
例如，在三角形 ABC 中，∠ACD 就是∠ACB 的外角，同样，∠BAE 是∠ABC 的外角，∠CBF 是∠BAC 的外角。
我们可以发现，一个三角形有 6 个外角，每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角，它们相等。
六、三角形外角的性质1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
我们来证明一下这个性质。
已知：在三角形 ABC 中，∠ACD 是∠ACB 的外角。
求证：∠ACD ＝∠A ＋∠B证明：因为∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝ 180°（三角形内角和定理），又因为∠ACD ＋∠ACB ＝ 180°（平角的定义），所以∠ACD ＝ 180°∠ACB，∠A ＋∠B ＝ 180°∠ACB，所以∠ACD ＝∠A ＋∠B。
这个性质非常重要，它可以帮助我们在计算角度时，将外角转化为内角的和，从而简化问题。
2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
还是以刚才的三角形 ABC 为例，因为∠ACD ＝∠A ＋∠B，所以∠ACD ＞∠A，∠ACD ＞∠B。
这一性质可以帮助我们比较角的大小，判断角之间的关系。
七、例题讲解例 1：如图，在三角形 ABC 中，∠A ＝ 50°，∠B ＝ 70°，求∠ACD 的度数。
三角形的内角与外角性质
三角形的内角与外角性质三角形是初中数学中常见的几何图形，它拥有独特的性质与特点。
其中，三角形的内角与外角性质是我们研究三角形的重要方面之一。
本文将详细介绍三角形的内角与外角的定义、性质和相关定理，以帮助读者更好地理解和掌握三角形的特性。
一、内角与外角的定义在讨论三角形的内角与外角之前，我们首先需要明确它们的定义。
对于一个三角形ABC，我们可以在其三个顶点A、B、C上，分别找到三条不共线的直线段，分别与三角形的两条边相交，这三个交点分别称为三角形的内角和外角。
1. 内角：以三角形的一个顶点为顶点，将相邻的两条边伸长，形成的两个连续的半平面的夹角，称为该顶点的内角。
2. 外角：以三角形的一个顶点为顶点，将边延长，使其不在三角形内，与与其它边所在直线延长线交于一点，形成的夹角称为该顶点的外角。
二、内角与外角性质三角形的内角与外角具有一系列重要的性质，下面我们将逐一进行介绍。
1. 内角性质（1）三角形的内角和等于180度。
即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
（2）三角形的两个内角和大于第三个内角。
即∠A + ∠B > ∠C，∠A + ∠C > ∠B，∠B + ∠C > ∠A。
2. 外角性质（1）三角形的一个外角等于其它两个内角的和。
即∠D = ∠B +∠C，∠E = ∠A + ∠C，∠F = ∠A + ∠B。
（2）三角形的三个外角之和等于360度。
即∠D + ∠E + ∠F = 360°。
三、相关定理在研究三角形的内角与外角性质时，我们还可以得到一些重要的定理，下面是两个典型的定理。
1. 内角定理内角定理也称为三角形内角和定理。
对于任意一个三角形ABC，其三个内角和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
内角定理的重要性在于，通过已知两个角度求第三个角度，或者通过已知两条边求第三条边的长度，我们可以通过内角和的性质进行推理和计算。
2. 外角定理外角定理也称为三角形外角和定理。
初中三角形的定理
初中三角形的定理、公理和定义一. 三角形中的有关公理、定理：（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；③三角形的外角和等于360°.（2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.（3）三角形三条边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．二．多边形中的有关公理、定理：（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180°.（2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°.三.（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分.（2）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
四. 等腰三角形中的有关公理、定理：（1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）（3）等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．（4）等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°．（5）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（6）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
五. 直角三角形的有关公理、定理：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；（3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.六．相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.（4）平行于三角形的一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。
三角形的外角和定理
三角形的外角和定理三角形是几何学中的基本形状之一，它由三条边和三个角组成。
在研究三角形性质时，我们经常会遇到外角和。
本文将介绍三角形的外角和定理，并探讨其性质和应用。
一、外角和定理的定义在三角形中，外角是指一个角的顶点在三角形外部，角的两条边之一是三角形的一条边延长线。
外角和是指三角形的三个外角之和。
二、外角和定理的性质1. 任意一个三角形的外角和等于360度。
证明：假设三角形ABC的三个外角分别为α、β和γ，根据角度的定义可知α+β+γ=360度。
2. 外角和定理的逆命题也成立，即如果一个凸多边形的外角和等于360度，那么该多边形是一个三角形。
证明：假设凸多边形的外角和等于360度，我们可以通过逆向推导将该多边形转化为三角形，具体推导过程就不在此详述。
三、外角和定理的应用外角和定理可以应用于解决与三角形外角和相关的各种问题。
1. 判断一个图形是否能构成三角形根据外角和定理，如果一个图形的外角和等于360度，那么该图形可以构成一个三角形。
若外角和小于360度，则无法构成三角形。
2. 计算已知三角形的外角和已知三角形的三个内角之一，利用补角的概念可以计算出该内角对应的外角，然后将三个外角相加即可得到外角和。
3. 解决外角和相关的几何问题在解决几何问题中，我们常常需要利用三角形的外角和性质来求解。
例如，已知一个凸四边形的三个外角分别为60度、100度和120度，我们可以利用外角和定理求解出第四个外角的度数。
四、总结三角形的外角和定理是几何学中的重要定理之一。
它指出任意一个三角形的外角和等于360度，并应用于解决与外角和相关的各种几何问题。
通过熟练掌握外角和定理及其应用，我们可以更好地理解三角形的性质，并在解决几何问题时提供有效的方法和思路。
通过本文的介绍，我们对三角形的外角和定理有了更深入的理解，希望对读者们能够有所启发。
在实际的学习和应用中，我们应该注重理论与实践的结合，不断提升自己的数学能力和解决问题的能力。
三角形的内外角性质与计算
三角形的内外角性质与计算三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它涉及到许多有趣的性质和计算方法。
在本文中，我将介绍三角形的内外角性质与计算，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些知识。
一、三角形的内角和性质三角形的内角和指的是三个内角的和。
对于任意一个三角形，其内角和都等于180度。
这个性质可以用以下公式来表示：内角和 = 第一个内角 + 第二个内角 + 第三个内角 = 180度例如，对于一个直角三角形，其中一个内角为90度，另外两个内角加起来也必须为90度，以保证内角和为180度。
在解决三角形问题时，我们可以利用内角和性质来求解未知角度。
例如，如果已知一个三角形的两个内角，我们可以通过内角和性质求解第三个内角。
二、三角形的外角性质三角形的外角指的是一个三角形的一个内角与其相邻的两个外角的和。
对于任意一个三角形，其外角和等于360度。
这个性质可以用以下公式来表示：外角和 = 第一个外角 + 第二个外角 + 第三个外角 = 360度例如，对于一个等边三角形，其中每个内角都是60度，其相应的外角也都是120度，三个外角加起来正好等于360度。
在解决三角形问题时，我们可以利用外角性质来求解未知角度。
例如，如果已知一个三角形的一个内角和一个外角，我们可以通过外角性质求解另外一个内角。
三、三角形的角度计算在解决三角形问题时，我们常常需要计算三角形的角度。
根据三角形的性质，我们可以利用已知的角度来计算未知的角度。
1. 已知两个内角，求解第三个内角根据三角形的内角和性质，我们可以通过已知的两个内角来计算第三个内角。
例如，如果已知一个三角形的两个内角分别为60度和80度，我们可以用如下步骤求解第三个内角：第三个内角 = 180度 - 第一个内角 - 第二个内角= 180度 - 60度 - 80度= 40度2. 已知一个内角和一个外角，求解另外一个内角根据三角形的外角性质，我们可以通过已知的一个内角和一个外角来计算另外一个内角。
三角形的外角和公式
三角形的外角和公式在三角形中，每一个内角都对应着一个相应的外角。
外角是指位于三角形外部，与对应内角相邻的角。
本文将讨论三角形的外角和公式，并探讨其性质和应用。
1. 外角和公式的定义在三角形ABC中，三个外角分别是∠A、∠B和∠C（如下图所示）。
三角形的外角和公式表示为：∠A + ∠B + ∠C = 360°（或2π）。
2. 外角的性质- 外角和公式的本质：三角形的内角和等于180°（或π），而外角和等于360°（或2π）。
这是因为三角形的外部角度总和等于360°，与每个内角对应。
- 外角和对应内角的关系：每个外角都与其对应内角构成一对同位角。
例如，∠A是∠BAC的外角，它与∠BAC形成一对同位角。
- 外角和的性质：∠A + ∠B + ∠C = 360°，这意味着三个外角的和等于一个圆的周角。
3. 外角和公式的证明证明外角和公式的一种方法是利用补角和同位角的概念。
以下是证明的步骤：- 假设我们在三角形ABC的每个顶点上都作一条辅助线，使得每个内角都补为直角。
这样，我们得到了三个新的外角，即∠A'、∠B'和∠C'。
- 通过三角形的内角和等于180°（或π），我们可以得出∠A' + ∠B' + ∠C' = 180°。
- 注意到∠A'、∠B'和∠C'与∠A、∠B和∠C分别是同位角。
根据同位角的性质，我们可以得出∠A' = ∠A、∠B' = ∠B、∠C' = ∠C。
- 由此可知，∠A + ∠B + ∠C = ∠A' + ∠B' + ∠C' = 180°。
进一步推导，我们可以得出∠A + ∠B + ∠C = 360°。
4. 外角和公式的应用- 三角形分类：利用外角和公式，我们可以判断三角形的类型。
若三个内角之和为180°，则为平面三角形；若为180°以外的角度，则为非平面三角形。
三角形外角定理
三角形外角定理在学习几何学的过程中，我们经常会遇到各种各样的三角形问题。
其中，三角形外角定理是我们探究三角形性质时一个重要的定理。
本文将介绍三角形外角定理的概念、证明及应用。
一、三角形外角定理的概念三角形外角定理是关于三角形外角与三角形内角之间关系的一个重要定理。
它的表述是：“三角形的一个外角等于它对应的两个内角的和”。
具体来说，对于任意三角形ABC，若D是BC延长线上一点，那么∠ACD = ∠ABC + ∠ACB。
这里BC是三角形ABC的一条边，∠ACD 称为三角形ABC的外角，∠ABC和∠ACB称为三角形ABC的内角。
二、三角形外角定理的证明下面我们来证明三角形外角定理。
证明：三角形ABC中，延长边BC至一点D。
我们假设延长线BD相交于点E。
根据直线平行定理，可以得出∠BCD = ∠BEC。
根据内角和定理，可以得出∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°。
由此可以得出∠ACB = 180° - (∠ABC + ∠BAC)。
进一步，根据∠BCD = ∠BEC和∠BAC = ∠ACB，可以得出∠ACD = ∠ABC + ∠ACB。
因此，根据∠ACD = ∠ABC + ∠ACB和∠ACB = 180° - (∠ABC + ∠BAC)，我们可以得出∠ACD = 180° - ∠BAC。
三、三角形外角定理的应用三角形外角定理在解决三角形问题时有广泛应用。
1. 利用三角形外角定理推导其他定理通过三角形外角定理，我们可以推导出其他的三角形定理。
例如，利用三角形外角定理可以证明三角形内角和为180度的定理。
2. 计算三角形内角已知三角形的一个外角和另外两个内角，可以利用三角形外角定理求解第三个内角。
这对于解决相关的几何问题非常有用。
3. 解决三角形的旁心定理问题三角形的旁心是指三角形外接圆的圆心，与三角形的顶点分别相连的线段被称为角平分线。
利用三角形外角定理可以推导出三角形的旁心定理，即三角形的三条角平分线交于一点，这个点就是三角形的旁心。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４则∠Ａ＝ 40° ，
∠Ｂ＝ 60°，∠Ｃ＝ 80° ,
例1.已知，如图，AE∥CD， ∠C=80°，∠A=45°， B 求∠B的度数。
A
C
F
D
E
例2.如图，已知 ∠ACD=1500， ∠A=2∠B， 求∠ B 的度数.
学以致用：
A
D
C
B
解：因为∠ACD是△ABC的一个外角， 所以∠ACD=∠A+∠B, 又因为∠A=2∠B于是∠ACD=2∠B+∠B=3∠B 由∠ACD=1500，3∠B=1500 所以∠B=500
2.如图，在△ABC中， ∠B=∠C, 外角∠DAC=100°，则∠C=___ 50°
D
A 100°
B C
例题解析
例1：如图D是△ABC的BC边上一点， ∠B＝∠BAD，∠ADC＝80° 求：∠B的度数；
解： (1)∵∠ADC是△ABD的外角（已知） ∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝80° （三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和 ） ？ 又∵∠B＝∠BAD（已知） 1 ∴∠B＝80°× ＝40°（等量代换） 2
从哪些途径探究这个结果?
B
3
6
4
1
三角形的外角和 等于360°
C
一个零件的形状如图所示 动动笔头 ,实际应用: ,按规定∠A应等 于900 , ∠B 和∠C应分别是210和320,检验工人量得 ∠BDC=1480,就断定这个零件不合格.运用你学过 的三角形的有关知识说明零件不合格的理由. 解：延长CD交AB于点E，
手
A
B
∴ ∠EBD = ∠A ( ? ) ∠CBE = ∠C ( ? ) ∴ ∠CBD = ∠CBE+ ∠EBD = ∠C+ ∠A
A
E
解：过C作CE平行于AB
2 B C 1 D
∠1= ∠B ∠2= ∠A
∠1ჷ ∠B
议一议
A
2 5
∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ?
∠CBD﹥ ∠A
证明（二）： 三角形的一个外角等于与它不相邻 过B点作 BE∥AC ∵ ∠ABC + ∠CBD= 180 ° 的两个内角的和 ∴ ∠EBD = ∠A ( ? ) 又∵ ∠ABC+ ∠C+ ∠A= 180 ° ∠CBE = ∠C ( ? ) 三角形的一个外角大于任何一个与 ∴ ∠CBD = ∠CBE+ ∠EBD ∴ ∠CBD= ∠C+ ∠A 它不相邻的内角 = ∠C+ ∠A
小结
1、什么是三角形的内角？其和等于多少？ 2、什么是三角形的外角？ 3、三角形外角与内角的关系 （1）位置关系 （2）数量关系
相邻的内角 外角
不相邻的内角
外角+相邻的内角=180 ˚（互补）
思 考
三角形的外角与它不相邻的内角 之间有什么关系呢？
C
①∠CBD=∠C+∠A
② ∠CBD﹥∠C；
A B D
C 320 1480 D 900 A
E
∵∠CEB=∠C+∠A,
∴∠CDB=∠CEB+∠B=
∠C+∠A+∠B=1430,
∵1480≠1430,∴不合理.
210
B
小试身手
1.求下列各图中∠1的度数。
1
1
60°
30°
35° 1
120°
45°
50°
∠1= 90° ∠1= 85°
∠1= 95°
再试身手
1、如图所示，AB//CD，∠A＝37°, ∠F＝26°， 那么∠C等于（ ）B A、 26° B、 63° C、 37° A C E F B D
D、 60°
再试身手
你选谁?
A
B
C
D
∠ACD
∠ACD
> ∠A
> ∠B
(<、>)；
(<、>)
A
①∠ACD=∠A +∠B
② ∠ACD﹥∠A；
∠ACD﹥ ∠B
B C
D
三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个与 它不相邻的内角
巩固新知
判断题：
１、三角形的一个外角等于两个内角的和。 （ ） ２、三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和。 （ ） ３、三角形的一个外角大于任何一个内角。 （ ） ４、三角形的一个内角小于任何一个与它不 相邻的外角。 （ ）
80°
大展身手
120° 如右图所示，则∠1=____
解:∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD=∠A+∠ABC 即140°=80°+∠ABC 1 ∴∠ABC=60° B ∴∠1=180°－∠ABC =180°－60° =120°
A 80° 140° C D
再试身手
３ .填空：已知∠ＢＯＤ＝１２０ ° 你能用“＜”表示∠ 1 、∠A的关系么？试试 看。 则∠A＋ ∠Ｂ＋ ∠Ｃ＋ ∠Ｄ＝ ２４０° Ａ Ｏ Ｂ
课程内容
三角形定义及分类
三角形外角 三角形三边关系
三角形重要线段
多边形 三角形 圆
平面图形的认识 平面图形的认识
德行天下智慧人生
1、指出△ABC所有的内角。 2、延长线段在BC 的延长线上取点D，给 ∠ACD取名。
A
B
C
D
三角形的外角：
A 三角形一个角的一 边与另一边的反向延长 线所组成的角，叫做三 角形的外角．
你能用“＜”表示∠1 、∠ A的关系么？试试 如果让我们直接比较∠ 2 、 ∠A的关系呢？
看。
A P 2 B ∠A ＜ ∠２ 1 D C
判断下列∠1是哪个三角形的外角：
A 1 D B A A
1
C
C
B
（ 1）
D
（ 2）
A
D
1
E
1
F
G
C B
（ 3）
B
（ 4）
C
练习1：求下列各图中∠1的度数。
A
l
1
30° B
Ｃ
Ｄ
练一练：
.等腰三角形的一个外角是1000，则它的顶角 的度数为（ C ） • A.800 B.200 C.800或200 D. 500或800
下列说法中，正确的是（ C ）. A.三角形的一个外角等于两个内角之 和 B.三角形的一个外角大于任何一个内 角 C.有一个外角是锐角的三角形是钝角 三角形 D.有一个外角是钝角的三角形是锐角 三角形。
=∠1+∠2+∠C =180°
一题多变
1、如图：P是△ABC内的一点，延长BP 交AC于点D,用“＜”表示∠1、∠2、 ∠A＜ ∠2＜ ∠1 ∠A的大小关系： ______________________. A 求证： ∠A＜∠1
51°
若∠ABP=20°, ∠ACP=30°, ∠A=51°,
P 20° 1
思维提升
1、如图所示：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数？ A 解：∵∠1＝ ∠A+ ∠D
B 12 C D E （三角形的外角等于与它 不相邻的两内角的和）
又∵∠2＝ ∠B+ ∠E
（三角形的外角等于与它不 相邻的两内角的和）
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=(∠A+ ∠D)+(∠B+ ∠E)+∠C
证明（一）
提高作业
1、将一副三角板按如图方式放置，则两条
斜边所形成的钝角∠1＝______
1
小试身手
２ .你还能用“﹥”表示∠ 1 A 、 ∠2 、 你能用“﹥”表示∠ 1 、∠ 的关系么？ ∠ A A 试试看。 的关系么？再试试看。
P D 1 C
∠1 ﹥ ∠A
B
2
∠2 ﹥ ∠1 ﹥ ∠A
一题多变
75° C
C
D 1
25° A
95° B
D 1 A
E
55°
D 145° C 1 A
B
30° C
20° B
3、把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大 到小的顺序排列
A
D
E
C
B
1、三角形三个内角的和等于多少度？
2、在ABC中，
（1）∠C=90°，∠A=30 ° ，则∠B= 60° ；
（2）∠A=50 ° ，∠B=∠C，则∠B= 65° . 3、在△ＡＢＣ中，
B
D 2 ° 30 C
求∠1的度数？
证一证
擅长画平行线的小明用另一种方 法解释了这个性质，看动画，你 知道他是怎么解释的吗？ A
（CE//BA）
E
B
1
C D
探究
F
C
将∠A、∠C剪下拼在∠CBD的位置， 动 同学之间相互交流，发现什么结论？动
E
①∠CBD=∠C+∠A
D 证明（二）： 过B点作 BE∥AC
B
C
D
思考：
△ABC的外角共有几个？
归纳：
每一个三角形都有６个外角．
每一个顶点相对应的外角都有２个．
每个外角与相应的内角是邻补角．
相邻的内 角
外角
不相邻的内 角
探究 将∠ACB、∠BAC剪下拼在∠CBD的位
置，你发现什么结论？
C
A
B
D
∠CBD=∠C+∠A
动 动 手
∵ ∠ABC + ∠CBD= 180 ° 又∵ ∠ABC+ ∠C+ ∠A= 180 ° ∴ ∠CBD= ∠C+ ∠A