三角形外角的性质

证明（一）
提高作业
1、将一副三角板按如图方式放置，则两条
斜边所形成的钝角∠1＝______
1
小试身手
２ .你还能用“﹥”表示∠ 1 A 、 ∠2 、 你能用“﹥”表示∠ 1 、∠ 的关系么？ ∠ A A 试试看。 的关系么？再试试看。
P D 1 C
∠1 ﹥ ∠A
B
2
∠2 ﹥ ∠1 ﹥ ∠A
一题多变
∠CBD﹥ ∠A
证明（二）： 三角形的一个外角等于与它不相邻 过B点作 BE∥AC ∵ ∠ABC + ∠CBD= 180 ° 的两个内角的和 ∴ ∠EBD = ∠A ( ? ) 又∵ ∠ABC+ ∠C+ ∠A= 180 ° ∠CBE = ∠C ( ? ) 三角形的一个外角大于任何一个与 ∴ ∠CBD = ∠CBE+ ∠EBD ∴ ∠CBD= ∠C+ ∠A 它不相邻的内角 = ∠C+ ∠A
Ｃ
Ｄ
练一练：
.等腰三角形的一个外角是1000，则它的顶角 的度数为（ C ） • A.800 B.200 C.800或200 D. 500或800
下列说法中，正确的是（ C ）. A.三角形的一个外角等于两个内角之 和 B.三角形的一个外角大于任何一个内 角 C.有一个外角是锐角的三角形是钝角 三角形 D.有一个外角是钝角的三角形是锐角 三角形。
B
D 2 ° 30 C
求∠1的度数？
证一证
擅长画平行线的小明用另一种方 法解释了这个性质，看动画，你 知道他是怎么解释的吗？ A
（CE//BA）
E
B
1
C D
探究
F
C
将∠A、∠C剪下拼在∠CBD的位置， 动 同学之间相互交流，发现什么结论？动
E
①∠CBD=∠C+∠A
D 证明（二）： 过B点作 BE∥AC
C 320 1480 D 900 A
E
∵∠CEB=∠C+∠A,
∴∠CDB=∠CEB+∠B=
∠C+∠A+∠B=1430,
∵1480≠1430,∴不合理.
210
B
手
A
B
∴ ∠EBD = ∠A ( ? ) ∠CBE = ∠C ( ? ) ∴ ∠CBD = ∠CBE+ ∠EBD = ∠C+ ∠A
A
E
解：过C作CE平行于AB
2 B C 1 D
∠1= ∠B ∠2= ∠A
∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B 即∠ACD= ∠A+ ∠B
议一议
A
2 5
∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ?
小结
1、什么是三角形的内角？其和等于多少？ 2、什么是三角形的外角？ 3、三角形外角与内角的关系 （1）位置关系 （2）数量关系
相邻的内角 外角
不相邻的内角
外角+相邻的内角=180 ˚（互补）
思 考
三角形的外角与它不相邻的内角 之间有什么关系呢？
C
①∠CBD=∠C+∠A
② ∠CBD﹥∠C；
A B D
课程内容
三角形定义及分类
三角形外角 三角形三边关系
三角形重要线段
多边形 三角形 圆
平面图形的认识 平面图形的认识
德行天下智慧人生
1、指出△ABC所有的内角。 2、延长线段在BC 的延长线上取点D，给 ∠ACD取名。
A
B
C
D
三角形的外角：
A 三角形一个角的一 边与另一边的反向延长 线所组成的角，叫做三 角形的外角．
75° C
C
D 1
25° A
95° B
D 1 A
E
55°
D 145° C 1 A
B
Байду номын сангаас
30° C
20° B
3、把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大 到小的顺序排列
A
D
E
C
B
1、三角形三个内角的和等于多少度？
2、在ABC中，
（1）∠C=90°，∠A=30 ° ，则∠B= 60° ；
（2）∠A=50 ° ，∠B=∠C，则∠B= 65° . 3、在△ＡＢＣ中，
80°
大展身手
120° 如右图所示，则∠1=____
解:∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD=∠A+∠ABC 即140°=80°+∠ABC 1 ∴∠ABC=60° B ∴∠1=180°－∠ABC =180°－60° =120°
A 80° 140° C D
再试身手
３ .填空：已知∠ＢＯＤ＝１２０ ° 你能用“＜”表示∠ 1 、∠A的关系么？试试 看。 则∠A＋ ∠Ｂ＋ ∠Ｃ＋ ∠Ｄ＝ ２４０° Ａ Ｏ Ｂ
你选谁?
A
B
C
D
∠ACD
∠ACD
> ∠A
> ∠B
(<、>)；
(<、>)
A
①∠ACD=∠A +∠B
② ∠ACD﹥∠A；
∠ACD﹥ ∠B
B C
D
三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个与 它不相邻的内角
巩固新知
判断题：
１、三角形的一个外角等于两个内角的和。 （ ） ２、三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和。 （ ） ３、三角形的一个外角大于任何一个内角。 （ ） ４、三角形的一个内角小于任何一个与它不 相邻的外角。 （ ）
思维提升
1、如图所示：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数？ A 解：∵∠1＝ ∠A+ ∠D
B 12 C D E （三角形的外角等于与它 不相邻的两内角的和）
又∵∠2＝ ∠B+ ∠E
（三角形的外角等于与它不 相邻的两内角的和）
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=(∠A+ ∠D)+(∠B+ ∠E)+∠C
小试身手
1.求下列各图中∠1的度数。
1
1
60°
30°
35° 1
120°
45°
50°
∠1= 90° ∠1= 85°
∠1= 95°
再试身手
1、如图所示，AB//CD，∠A＝37°, ∠F＝26°， 那么∠C等于（ ）B A、 26° B、 63° C、 37° A C E F B D
D、 60°
再试身手
2.如图，在△ABC中， ∠B=∠C, 外角∠DAC=100°，则∠C=___ 50°
D
A 100°
B C
例题解析
例1：如图D是△ABC的BC边上一点， ∠B＝∠BAD，∠ADC＝80° 求：∠B的度数；
解： (1)∵∠ADC是△ABD的外角（已知） ∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝80° （三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和 ） ？ 又∵∠B＝∠BAD（已知） 1 ∴∠B＝80°× ＝40°（等量代换） 2
∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４则∠Ａ＝ 40° ，
∠Ｂ＝ 60°，∠Ｃ＝ 80° ,
例1.已知，如图，AE∥CD， ∠C=80°，∠A=45°， B 求∠B的度数。
A
C
F
D
E
例2.如图，已知 ∠ACD=1500， ∠A=2∠B， 求∠ B 的度数.
学以致用：
A
D
C
B
解：因为∠ACD是△ABC的一个外角， 所以∠ACD=∠A+∠B, 又因为∠A=2∠B于是∠ACD=2∠B+∠B=3∠B 由∠ACD=1500，3∠B=1500 所以∠B=500
你能用“＜”表示∠1 、∠ A的关系么？试试 如果让我们直接比较∠ 2 、 ∠A的关系呢？
看。
A P 2 B ∠A ＜ ∠２ 1 D C
判断下列∠1是哪个三角形的外角：
A 1 D B A A
1
C
C
B
（ 1）
D
（ 2）
A
D
1
E
1
F
G
C B
（ 3）
B
（ 4）
C
练习1：求下列各图中∠1的度数。
A
l
1
30° B
=∠1+∠2+∠C =180°
一题多变
1、如图：P是△ABC内的一点，延长BP 交AC于点D,用“＜”表示∠1、∠2、 ∠A＜ ∠2＜ ∠1 ∠A的大小关系： ______________________. A 求证： ∠A＜∠1
51°
若∠ABP=20°, ∠ACP=30°, ∠A=51°,
P 20° 1
从哪些途径探究这个结果?
B
3
6
4
1
三角形的外角和 等于360°
C
一个零件的形状如图所示 动动笔头 ,实际应用: ,按规定∠A应等 于900 , ∠B 和∠C应分别是210和320,检验工人量得 ∠BDC=1480,就断定这个零件不合格.运用你学过 的三角形的有关知识说明零件不合格的理由. 解：延长CD交AB于点E，
B
C
D
思考：
△ABC的外角共有几个？
归纳：
每一个三角形都有６个外角．
每一个顶点相对应的外角都有２个．
每个外角与相应的内角是邻补角．
相邻的内 角
外角
不相邻的内 角
探究 将∠ACB、∠BAC剪下拼在∠CBD的位
置，你发现什么结论？
C
A
B
D
∠CBD=∠C+∠A
动 动 手
∵ ∠ABC + ∠CBD= 180 ° 又∵ ∠ABC+ ∠C+ ∠A= 180 ° ∴ ∠CBD= ∠C+ ∠A