功率谱密度
1的功率谱密度
1的功率谱密度
功率谱密度是一种衡量随机信号能量的方式，它描述了信号的能量分布情况。
对于离散信号x[n]，其功率谱密度可以定义为信号x[n]的自相关函数的傅里叶变换在频域内的模平方，即：|X(e^(jω))|^2。
对于离散信号1，其功率谱密度可以简化为计算1的自相关函数的傅里叶变换在频域内的模平方。
由于1是一个常数序列，其自相关函数是一个单位脉冲函数，即δ(n)。
将δ(n)进行傅里叶变换可以得到1的频域表示，即：X(e^(j ω))=1。
根据功率谱密度的定义，离散信号1的功率谱密度可以计算为：|X(e^(j ω))|^2=1^2=1。
因此，离散信号1的功率谱密度为1。
对于连续信号1，其功率谱密度可以简化为计算1的能量谱密度。
由于1是一个常数函数，其能量谱密度可以表示为1的平方乘以频率的函数，即：E(ω)=1^2×ω^2。
根据能量谱密度的定义，连续信号1的能量谱密度可以计算为：E(ω)=1^2×ω^2=1。
因此，连续信号1的能量谱密度也为1。
总之，无论是离散信号还是连续信号，常数序列1的功率谱密度或能量谱密度都为1。
这是因为1是一个常数函数，其能量或功率是恒定的，不随时间或频率变化而变化。
功率谱密度计算
功率谱密度计算功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是信号处理中常用的一种频域分析方法，用于描述一个信号在不同频率下的能量分布情况。
在很多领域中，如通信、音频处理、图像处理等，功率谱密度的计算是非常重要的。
在信号处理中，功率谱密度可以用于分析信号的频谱特性，包括信号的频带宽度、主要频率成分、噪声等。
通过计算信号的功率谱密度，可以了解信号在不同频率下的能量分布情况，从而对信号进行进一步的处理和分析。
计算功率谱密度的一种常见方法是使用傅里叶变换。
傅里叶变换可以将一个信号从时域转换到频域，得到信号在不同频率下的幅度和相位信息。
通过对信号进行傅里叶变换，可以得到信号的频谱信息，进而计算出功率谱密度。
具体来说，计算功率谱密度的步骤如下：1. 首先，将待分析的信号进行采样。
采样是将连续时间下的信号转换为离散时间下的信号，通常使用模拟-数字转换器（ADC）来完成。
2. 然后，对采样后的信号进行窗函数处理。
窗函数是一种用于抑制频谱泄漏（spectral leakage）现象的方法。
常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗、汉明窗等。
3. 接下来，对窗函数处理后的信号进行傅里叶变换。
傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，得到信号在不同频率下的幅度和相位信息。
4. 最后，根据傅里叶变换得到的频谱信息计算功率谱密度。
功率谱密度可以通过对频谱信息进行平方处理得到。
在实际计算中，通常会对功率谱密度进行归一化处理，以便更好地比较不同信号之间的能量分布情况。
计算得到的功率谱密度可以用于分析信号的频谱特性。
例如，在通信领域中，可以通过计算功率谱密度来评估信道的带宽和噪声水平；在音频处理中，可以通过计算功率谱密度来分析音频信号的频带宽度和主要频率成分；在图像处理中，可以通过计算功率谱密度来评估图像的纹理特征和噪声水平等。
总之，功率谱密度的计算是信号处理中一种常用的频域分析方法。
通过计算信号在不同频率下的能量分布情况，可以对信号进行进一步的处理和分析。
3.3功率谱密度与自相关函数的关系
随机信号分析目录CONTENTS CONTENTS 目录CONTENTS功率谱密度与自相关函数之间的关系维纳－辛钦定理计算举例小结功率谱密度的表达式为：2(,)()lim 2X X T E X T S T ωω→∞⎡⎤⎣⎦=(,)() j t X T X T x t e dt ωω∞−−∞=⎰2*(,)(,)(,)X X X X T X T X T ωωω=其中：功率谱密度可表示为：1211221lim ()()2TT j t j t T T T E x t e dt x t e dt T ωω−−−→∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰[]1212121lim ()()2T T j t j t T T T E x t x t e e dt dt T ωω−−−→∞=⎰⎰21()12121lim (,)2T T j t t X T T T R t t e dt dt Tω−−−−→∞=⎰⎰1lim (,)2Tj X T T R t t dt e d T ωτττ∞−−∞−→∞⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭⎰⎰对于任意随机过程，其自相关函数的时间均值与过程的功率谱密度互为傅里叶变换。
⎰=+−∞−∞ωττωτS A R t t e d X X j ()(,)⎰+=−∞∞πτωωωτA R t t S e d X X j 2(,)()1+←⎯→τωA R t t S X X FT(,)()维纳-辛钦定理⚫对于广义平稳随机过程⚫对于平稳（或广义平稳）随机过程，其自相关函数与过程的功率谱密度互为傅里叶变换，称为维纳-辛钦定理。
(,)()()X X X A R t t A R R τττ+==()()1()()2j X X j X X S R e d R S e d ωτωτωτττωωπ∞−−∞∞−∞==⎰⎰维纳-辛钦定理⚫双边带功率谱密度：功率谱密度分布在整个频率轴上。
⚫单边带功率谱密度：功率谱密度只定义在零和正的频率轴上。
⚫二者之间的关系：⎩⎨⎧<≥=0 00 )(2S )(G X X ωωωω)(G X ωX S ()ωω⚫广义平稳随机过程的均方值：X 01G ()d 2ωωπ∞=⎰注：在以后，如不加说明，都指双边带功率谱密度。
功率谱密度
∑x x
n n+m
=
N−m ˆ φ xx (m) N m N
N ˆ′ (m)] = ( N − m ) 2Var[φ ˆ ( m)] < Var[φ ˆ ( m)] Var[φ xx xx xx N
ˆ′ (m)] = φ ( m) − E[φ ˆ′ (m)] = φ xx (m), 有偏估计，偏倚Bias[φ xx xx xx
1 1 2 ∗ X N ( e jω ) X N X (ω ) ( e jω ) = N N
( X N (ω ) = ∑ x(n)e − jωn )
ˆ 1 2 X N (ω )是周期性的，直接将X N (ω )的模的平方除以N求得的功率谱的估计为周期图Pxx (ω ) = I N (ω ) = X (ω ) N ˆ 1 E[φ xx (m)] = N w(m) = 1 N
Dr. JI ZHEN
11
4.1周期图法的改进-窗口处理法
适当设计窗口谱函数W1 (e jω )与周期图卷积， ˆ 1 π Pxx (ω ) = I N (θ )W1 (e j (ω −θ ) )dθ ∫ 2π −π ˆ 1 π E[ Pxx (ω )] = E[ I N (θ )]W1 (e j (ω −θ ) )dθ ∫ 2π −π 1 π 而E[ I N (θ )] = Pxx (φ )W (e j (θ −φ ) )dφ ∫ π − 2π ˆ E[ Pxx (ω )] = Pxx (ω ) *W (e jω ) *W1 (e jω ) 如果W1 (e jω )的主瓣宽度大于W (e jω )的主瓣宽度，可以进一步平滑谱估计，减少方差。
ˆ ˆ Pxx (ω ) = Pxx (−ω ) = =
功率谱密度和频谱
功率谱密度和频谱
电功率谱密度（Power Spectral Density，简称PSD）是一种用于表征信号强度分布的数量指标，可以用来对信号进行分类、检测、测量和识别处理，从而实现信号参数提取。
该技术使用功率谱密度（PSD）分解信号，
使用频谱作为信号描述符。
PSD是通过对周期性时间序列的强度进行功率频谱的计算，可以实现多波段信号的统计分析。
它是以次/赫兹（Hz）为单位向量X与其频谱之间的一种称为自相关函数/自相关函数（ACF）的函数X（f）相乘结果变换而来。
因此，当X（f）和X（t）知道时，可以根据它们
的定义来计算其功率谱密度：
PSD(f)=|X(f)·x(t)|^2/T
PSD的最大优点是可以生成更容易解释的信号类型以及
更多的特定频率信号表示。
它可以区分信号的有效频率，从而更加有效的筛选信号，追踪变化的情况，抑制杂波以及滤波处理。
从信号分析的角度来看，PSD和频谱都是用于可视化信
号特性的重要手段。
PSD是将信号直接投射到功率谱上，它着重于信号传输和功率衰减属性，更多地应用于对温度变化和噪声的频率分析。
而频谱的重点是在信号的时域周期出现，更多地用于信号的时间和特征提取，将信号从时间域转换为频域，从而使信号变得更容易处理。
这两种技术都可以用于滤波、信号增强、波形识别和信号跟踪。
两者都是基于对信号强度分布的分析，有助于提取更强、有用的幅度和频率信号信息，从而实现恢复信号等。
因此，PSD和频谱均可用于信号分析，比较它们多个优点，想要更好的分析信号，可以使用它们的融合技术，以及其他技术确定有用的信号特性。
功率谱与功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别：1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列）2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
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频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。
功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲。
功率谱密度转化
功率谱密度转化
功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是一个频域概念，表示信号的功率在频率上的分布。
功率谱密度通常用数学形式或图表来表示。
对于一维信号，功率谱密度可以通过傅里叶变换的方法从时域信号转换到频域。
假设有一个信号函数f(t)，它是一个在时域上的函数。
其功率谱密度P(f) 可以通过对f(t) 进行傅里叶变换（或者傅里叶积分变换）来计算。
数学上，这可以表示为：
P(f)=lim
T→∞1
T
|∫T(T)T−T2TTT TT T/2
−T/2
|2
其中，j 是虚数单位，f 是频率。
这个公式描述了信号f(t) 在频率f 上的功率。
如果你手头有一个时域信号的采样数据，你可以使用离散傅里叶变换（DFT）来估计功率谱密度。
DFT 是傅里叶变换的离散形式，可以用离散的频率来表示信号的功率谱密度。
在实际情况中，常常使用计算工具（比如MATLAB、Python中的NumPy和SciPy库等）来进行功率谱密度的计算和可视化，因为这些工具提供了方便而高效的函数和方法。
例如，在Python中，你可以使用numpy.fft.fft 函数进行快速傅里叶变换，并通过其结果计算功率谱密度。
第三章随机过程的功率谱密度
3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度
确定信号 是在
的非周期实函数，
的傅立叶变换存在的充要条件是：
(1). 满足狄利赫利条件
(2). 总能量有限，即
则信号 的傅立叶变换为 傅立叶反变换为
根据巴塞伐(Parseval)定理(总能量的谱表达式) 称为信号的能量谱密度。
3.1.2 随机过程的功率谱密度 • 随机过程的样本函数 不满足傅立叶存在的
自相关时间从数量上直 观描述随机过程的在时
间上关联范围。
• 功率谱密度函数描述随机过程的平均功率 沿频率轴的分布。
等效功率带宽从数量上 直观描述随机过程在频
率上分布范围。
3.3.1 自相关时间
相同的数学期望
相同的方差
(a)
图Hale Waihona Puke -12(b)和 的样本函数曲线
(a)
图 3-13
(b)
和 的自相关函数
(a)
(b)
图 3-14 自相关时间
因为
，有
由于 扩展比 要大一些， 因此
k1 能描述相关 程度
自相关时间定义：
通常，当 时，可认为 与 的相关性 已经很弱，实际上已经不相关了。
3.3.2 等效功率谱带宽
相同的数学期望
相同的方差
0
t
0
t
(a)
图3-15
(b)
和 的样本函数曲线
(a)
(b)
图3-15 功率谱
式中A为常数。求其功率谱密度。 解：由维纳－辛钦定理
• 样本函数在时间区间 的平均功率。 • 由于样本函数是随机过程的任何一个样本函数，
取决于随机试验，平均功率具有随机性。 • 可采用集合平均消除样本函数的随机性，即
功率谱密度 db
功率谱密度 db功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是描述信号随频率变化的能量分布的概念。
一般情况下，功率谱密度以对数形式表示，单位为分贝（dB）。
本文将对功率谱密度进行详细介绍，并介绍功率谱密度的计算方法以及应用。
一、功率谱密度的定义和性质功率谱密度是信号理论中一个基本的概念，用于描述信号在频域上的特征。
对于一个离散信号x(n)，它的功率谱密度定义为其自相关函数Rxx(k)的傅里叶变换。
功率谱密度用符号Sxx(f)表示，即：Sxx(f) = |X(f)|^2其中X(f)为x(n)的傅里叶变换。
功率谱密度描述了信号在各个频率上的能量分布。
在实际应用中，我们通常将功率谱密度取对数并以分贝（dB）为单位进行表示，即：PSD(dB) = 10 * log10(Sxx(f))根据功率谱密度的定义，我们可以得到其中三个重要性质：1.非负性：功率谱密度是一个非负函数，即Sxx(f)>=0。
2.时间平移：如果信号在时间域上平移t0，则功率谱密度在频域上也相应平移f0，即Sxx(f-f0)。
3.频率平移：如果信号在频域上平移f0，则功率谱密度在时间域上也相应平移t0，即Sxx(f)-Sxx(f0)。
二、功率谱密度的计算方法计算功率谱密度的方法有多种，其中最常用的是基于傅里叶变换的方法。
下面介绍两种常见的计算功率谱密度的方法。
1.时域平均法：信号x(n)通过窗函数w(n)进行分段，每段长度为N。
对每段信号进行傅里叶变换，得到每段信号的频谱，然后将所有段的频谱进行平均，得到信号的平均功率谱密度。
2.数字滤波法：将信号进行滤波，并测量滤波后信号的功率。
通过改变滤波器的通带宽度，可以得到不同频率下的功率谱密度。
三、功率谱密度的应用功率谱密度在工程和科学的多个领域中都得到了广泛的应用。
以下是几个典型的应用案例：1.无线通信：功率谱密度可以用于描述无线通信中不同信号的频谱占用情况，从而帮助设计和规划无线网络。
功率谱密度函数简介
功率谱密度函数简介光电2008级 俞宝清若()f t 是功率有限信号，从()f t 中截取2Tt ≤的一段，得到一个截尾函数()T f t ，如图6.1:该截尾函数可以表示为：()2()02T Tf t t f t T t ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩如果T 是有限值，则()T f t 的能量也是有限的。
令()T f t 的傅里叶变换为：[]()()T T F f t F ω=此时()T f t 的能量T E 可表示为：221()()2T TT E f t dt F d ωωπ∞∞−∞−∞==∫∫因为2222()()T T Tf t dt f t dt ∞−∞−=∫∫,所以()f t 的平均功率为：2222()11lim()lim 2T T T T T F P f t dt d TT ωωπ∞−∞→∞→∞−==∫∫当T 增加时，()T f t 的能量增加，2()T F ω也增加。
当T →∞时，()()T f t f t →，此时2()T F Tω可能趋近于一极限。
假若此极限存在，定义它是()f t 的功率谱密度图6.1 功率信号的截尾函数（a ） 原函数（b ） 截尾函数函数，或简称功率谱，记作()S ω。
这样便得到()f t 的功率谱为：2()()lim T T F S Tωω→∞=可得：()12P S d ωωπ∞−∞=∫由上式可见，功率谱表示单位频带内信号功率随频率的变化情况，也就是说它反映了信号功率在频域的分布状况。
显然，功率谱曲线()S ω所覆盖的面积在数值上等于信号的总功率。
()S ω是频率ω的偶函数，它保留了频谱()T F ω的幅度信息而丢掉了相位信息，因此，凡是具有同样幅度谱而相位谱不同的信号都有相同的功率谱。
功率谱密度： power spectral density
式中T为离散随机信号的抽样间隔时间。
当利用随机信号的N个抽样值来计算其自相关估值时，即可得到功率谱估计为
(3)
可见，随机信号的功率谱与自相关函数互为傅里叶变换的关系，这两个函数分别从频率域和时间域来表征随机信号的基本特征。按上式计算功率谱估值，其运算量往往很大，通常采用快速傅里叶变换算法，以减少运算次数。
尽管并非一定要为信号或者它的变量赋予一定的物理量纲，下面的讨论中假设信号在时域内变化。
上面能量谱密度的定义要求信号的傅里叶变换必须存在，也就是说信号平方可积或者平方可加。一个经常更加有用的替换表示是功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。此瞬时功率（平均功率的中间值）可表示为：
f(t) 的谱密度和 f(t) 的自相关组成一个傅里叶变换对（对于功率谱密度和能量谱密度来说，使用着不同的自相关函数定义）。通常使用傅里叶变换技术估计谱密度，但是也可以使用如Welch法（Welch's method）和最大熵这样的技术。傅里叶分析的结果之一就是Parseval定理（Parseval's theorem），这个定理表明能量谱密度曲线下的面积等于信号幅度平方下的面积。 另外的一个结论是功率谱密度下总的功率与对应的总的平均信号功率相等，它是逐渐趋近于零的自相关函数。
定义：对于具有连续频谱和有限平均功率的信号或噪声，表示其频谱分量的单位带宽功率的频率函数。 应用学科：通信科技（一级学科）；通信原理与基本技术（二级学科）
在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribution, SPD）。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。
功率谱密度 psd
功率谱密度 psd功率谱密度（PSD）是一种频谱分析工具，用于描述信号的频率内容和功率分布。
在信号处理、通信工程、系统控制等领域中广泛应用。
本文将介绍功率谱密度的概念、计算方法、应用场景和相关的数学理论。
功率谱密度是一种统计工具，用于研究信号在频率域上的特性。
它表示了信号在不同频率下的功率分布。
通常，我们将信号表示为时域上的函数，比如声音信号或震动信号。
为了将信号转化为频率域上的表示，我们需要对信号进行傅里叶变换。
傅里叶变换可以将时域上的信号转化为频域上的信号，得到信号的频谱。
频谱表明了信号中包含的各个频率成分的大小。
然而，频谱只能告诉我们不同频率的信号成分的存在性，而不能提供关于每个频率成分的功率信息。
为了得到信号在不同频率上的功率信息，我们需要计算功率谱密度。
功率谱密度表示了在单位频率范围内，每个频率成分的平均功率。
通常，功率谱密度是通过对信号的傅里叶变换进行平方运算得到的。
在计算的过程中，我们通常会对信号进行分段计算，以获得更准确的结果。
计算功率谱密度的方法有多种，其中最常用的方法是Welch方法和Bartlett方法。
这些方法可以有效地解决信号在频域上的窗函数泄漏问题，并得到较准确的功率谱密度估计。
功率谱密度在许多领域都有广泛的应用。
在通信工程中，功率谱密度可以用于分析噪声等干扰对信号质量的影响。
在系统控制中，功率谱密度可以用于分析系统的频率响应，并设计合适的控制策略。
在信号处理中，功率谱密度可以用于信号的滤波和降噪。
此外，功率谱密度还可以用于分析地震波、电力信号、声音信号等。
除了功率谱密度，频谱带宽也是一个重要的参数。
频谱带宽表示了信号在频率上的分布范围。
在功率谱密度图上，频谱带宽可以用于衡量信号的宽度和集中程度。
功率谱密度的数学理论涉及到概率密度函数和功率谱的关系。
根据Wiener-Khinchin定理，一个信号的功率谱密度可以通过其自相关函数得到。
自相关函数是信号与自身的延迟版本的乘积的积分。
功率谱密度测量方法
功率谱密度测量方法一、功率谱密度的基本概念。
1.1 功率谱密度啊，简单来说，它就像是描述信号功率在频率上分布的一种方式。
你可以把信号想象成一群调皮的小粒子，在频率这个大操场上跑来跑去，功率谱密度呢，就是告诉我们每个小角落（频率点）上有多少小粒子（功率）在玩耍。
这对于理解信号的特性可是非常重要的，就好比你要了解一个班级的学生分布情况，你得知道每个小组有多少人一样。
1.2 它在很多领域都有应用。
比如说通信领域，这就像在一个嘈杂的集市里（通信环境），我们要知道不同频率上的信号强度（功率谱密度），这样才能让我们的信息准确无误地传达，就像在集市里找到自己的伙伴（接收正确的信号），要是搞混了，那可就乱套了，就成了“丈二和尚摸不着头脑”了。
二、直接法测量功率谱密度。
2.1 直接法可是一种很直接了当的办法。
就像你要数一个盒子里的糖果有多少种颜色，每种颜色有多少颗一样。
我们直接对信号进行离散傅里叶变换（DFT），这就好比给信号拍个X光片，把它在频率上的情况都展现出来。
然后再根据一些数学公式算出功率谱密度。
这个过程虽然听起来有点复杂，但就像做一道家常菜，只要按照步骤来，也没那么难。
2.2 不过直接法也有它的小缺点。
就像再好的马也有失蹄的时候，直接法在处理长序列信号的时候，计算量会变得非常大，就像要搬一座大山一样困难。
这时候计算机可能就会累得“气喘吁吁”，处理速度变得很慢。
三、间接法测量功率谱密度。
3.1 间接法就像是走了一条迂回的道路。
我们先估计信号的自相关函数，这就好比先了解信号在时间上的相关性，就像观察一群人之间的关系一样。
然后再对这个自相关函数进行傅里叶变换得到功率谱密度。
这种方法在某些情况下就比较巧妙了，就像“曲线救国”一样。
3.2 但是间接法也不是完美无缺的。
它的估计结果可能会受到一些因素的影响，就像一个漂亮的花瓶，稍微有点风吹草动就可能有瑕疵。
比如说噪声的干扰，就可能让我们的估计结果有点偏差，就像在一幅画上不小心滴了一滴墨水。
功率谱密度的性质
性质 1 : 宽平稳高斯过程一定是 严平稳高斯过程
11
性质2 : 若平稳高斯过程在任意 两个不同时刻 是不相关的 , 那么也一定是互相独立 的
两个高斯变量 X 1和X 2的联合概率密度 f X ( x1 , x2 ) 1 21 2 1 r 2
2
2
e
( x1 m1 ) 2 2 r ( x1 m1 )( x2 m2 ) ( x2 m2 ) 2 1 [ ] 2 2 2 2 (1 r ) 1 2 1 2
( )
2
[ ( 0 ) ( 0 )]
6
单边功率谱GX(w)与双边功率谱SX(w)的关系
只用正频率部分来表示功率谱密度
G X ( ) 2S X ( ) 0 0 0
S ( ) 2 R ( ) cos d 0 X X 1 RX ( ) S X ( ) cos d 0
RX () 0, 且呈振荡形式, 也可引入 函数解决
1 S X ( ) FT [ RX ( )] FT [ (1 cos 0 )] 2 1 1 FT [ ] FT [ cos 0 ] 2 2 1 1 2 ( ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2 2
2.3.2 功率谱密度的性质
1 、S X ()为非负实函数, 即 : S X () 0
1 2 S X ( ) lim E[ X T ( ) ] T 2T
X T ( ) 0, 故S X ( ) 0
2
2、 若X (t )实平稳, 则S X ()是偶函数,即: S X () X (t ), Y (t )互相正交, 互谱密度为零.
RXY ( ) 0 S XY () FT[ RXY ( )] 0
功率谱密度和功率
功率谱密度和功率是信号处理中常用的概念，用于描述信号的频率特性和能量分布。
功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是描述信号功率随频率变化的函数。
它表示了信号在不同频率上的功率分布情况。
通常用单位频带上的功率来表示，单位可以是瓦特/赫兹（W/Hz）或分贝/赫兹（dB/Hz）。
功率谱密度可以通过对信号进行傅里叶变换和取模的方式得到。
功率（Power）是信号在给定时间内的能量转移速率。
对于连续时间信号，功率可以通过信号的平方值的时间平均得到。
对于离散时间信号，功率可以通过信号样本值的平方的期望值得到。
功率通常用瓦特（W）表示。
在频域上，功率可以通过将功率谱密度与频率范围进行积分来计算。
积分得到的结果即为信号的总功率。
需要注意的是，功率谱密度和功率是相关但不同的概念。
功率谱密度描述了信号在频域上的功率分布情况，而功率是信号在整个时间或频率范围上的总能量。
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功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别：1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列）2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
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频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的
结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变
量的频谱函数F(ω)。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密
度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。
功率谱是个什么概念？它有单位吗?
随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲。
所以标准叫法是功率谱密度。
通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。
像白噪声就是平行于w轴，在w轴上方的一条直线。
功率谱密度，从名字分解来看就是说，观察对象是功率，观察域是谱域，通常指频域，密度，就是指观察对象在观察域上的分布情况。
一般我们讲的功率谱密度都是针对平稳随机过程的，由于平稳随机过程的样本函数一般不是绝对可积的，因此不能直接对它进行傅立叶分析。
可以有三种办法来重新定义谱密度，来克服上述困难。
一是用相关函数的傅立叶变换来定义谱密度；二是用随机过程的有限时间傅立叶变换来定义谱密度；三是用平稳随机过程的谱分解来定义谱密度。
三种定义方式对应于不同的用处，首先第一种方式前提是平稳随机过程不包含周期分量并且均值为零，这样才能保证相关函数在时差趋向于无穷时衰减，所以lonelystar说的不全对，光靠相关函数解决不了许多问题，要求太严格了；对于第二种方式，虽然一个平稳随机过程在无限时间上不能进行傅立叶变换，但是对于有限区间，傅立叶变换总是存在的，可以先架构有限时间区间上的变换，在对时间区间取极限，这个定义方式就是当前快速傅立叶变换（FFT）估计谱密度的依据；第三种方式是根据维纳的广义谐和分析理论：Generalized harmonic analysis, Acta Math, 55(1930),117-258,利用傅立叶-斯蒂吉斯积分，对均方连续的零均值平稳随机过程进行重构，在依靠正交性来建立的。
另外，对于非平稳随机过程，也有三种谱密度建立方法，由于字数限制，功率谱密度的单位
是G的平方/频率。
就是就是函数幅值的均方根值与频率之比。
是对随机振动进行分析的重要参数。
功率谱密度的国际单位是什么?
如果是加速度功率谱密度，加速度的单位是m/s^2,
那么，加速度功率谱密度的单位就是(m/s^2)^2/Hz,
而Hz的单位是1/s,经过换算得到加速度功率谱密度的单位是m^2/s^3.
同理，如果是位移功率谱密度，它的单位就是m^2*s,
如果是弯矩功率谱密度，单位就是(N*m)^2*s
位移功率谱——m^2*s
速度功率谱——m^2/s
加速度功率谱——m^2/s^3
信号傅立叶变换的幅度图和频谱图matlab示例
fs=100;
x=-2:1/fs:2;
y=sin(3*pi*x);
z=rectpuls(x);
figure;plot(x,y,x,z,':r');
my=abs(fft(y));
mz=abs(fft(z));
my=my/max(my); %归一化
mz=mz/max(mz); %归一化
f=(0:1/length(x):1)*fs;
figure;plot(f(1:fs/2),my(1:fs/2),f(1:fs/2),mz(1:fs/2),':r');
my=20*log10(my+eps);mz=20*log10(mz+eps);
figure;plot(f(1:fs/2),my(1:fs/2),f(1:fs/2),mz(1:fs/2),':r'
时域信号--->相关函数--(FFT变换)-->功率谱--(除以频率分辨率)-->功率谱密度，这叫做间接求法，可以抑制白噪声，或者通俗的说不规律信号，分析的点数越多，规律信号的信噪比越好。
时域信号--(FFT变换)-->幅度谱--(平方)-->功率谱，这叫直接求法，最好不要用，除非你就想分析噪声有多
功率谱密度
在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。
当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribution, SPD）。
功率谱密度的单
位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。
尽管并非一定要为信号或者它的变量赋予一定的物理量纲，下面的讨论中假设信号在时域内变化。
上面能量谱密度的定义要求信号的傅里叶变换必须存在，也就是说信号平方可积或者平方可加。
一个经常更加有用的替换表示是功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。
这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。
此瞬时功率（平均功率的中间值）可表示为：
由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。
幸运的是维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchin theorem）提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。
信号的功率谱密度当且仅当信号是广义的平稳过程的时候才存在。
如果信号不是平稳过程，那么自相关函数一定是两个变量的函数，这样就不存在功率谱密度，但是可以使用类似的技术估计时变谱密度。
f(t) 的谱密度和f(t) 的自相关组成一个傅里叶变换对（对于功率谱密度和能量谱密度来说，使用着不同的自相关函数定义）。
通常使用傅里叶变换技术估计谱密度，但是也可以使用如Welch法（Welch's method）和最大熵这样的技术。
傅里叶分析的结果之一就是Parseval定理（Parseval's theorem），这个定理表明能量谱密度曲线下的面积等于信号幅度平方下的面积，总的能量是：
：上面的定理在离散情况下也是成立的。
另外的一个结论是功率谱密度下总的功率与对应的总的平均信号功率相等，它是逐渐趋近于零的自相关函数。
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度的定义是单位频带内的“功率”（均方值）
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。