必修四平面向量知识点与题型归纳总结

必修四平面向量知识点与题型归纳梳理平面向量的基本概念与线性运算

知识点1平面向量的线性运算

运算定义法则(或几何意义)运算律

加法求两个向量和的运算

(1)交换律：

a＋b＝b＋a；

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法

求a与b的相反向量－b的

和的运算叫作a与b的差

a－b＝a＋(－b) 数乘

求实数λ与向量a的积的运

算

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ>0时，λa与a

的方向相同；

当λ<0时，λa与a的

方向相反；

当λ＝0时，λa＝0

(1)结合律：λ(μ a)＝λμ

a＝μ(λa)；

(2)第一分配律：

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

(3)第二分配律：

λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点2共线向量定理、平面向量基本定理及应用

1．向量共线的判定定理和性质定理

(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b＝λa，则向量b与a共线．

(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

(3)A，B，C是平面上三点并且在同一条直线上，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得________(如图所示)．

三、题型分析

(一) 关于平面向量的概念及其特殊向量的概念（零向量与单位向量）

例1．给出下列四个命题：①若a b

→→

=，则a b

=；

②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB DC = ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a b =，b c =，则a c =； ④a b =的充要条件是a b →

→

=且//a b . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③

B ．①②

C ．③④

D ．②④

【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.

②正确.∵AB DC =，∴AB DC =且//AB DC ，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB DC =且//AB DC 方向相同，因此AB DC =. ③正确.∵a b =，∴a b ，的长度相等且方向相同，又b c =，∴,b c 的长度相等且方向相同，∴,a c 的长度相等且方向相同，故a c =.

④不正确.当//a b 且方向相反时，即使a b →

→

=，也不能得到a b =，故a b →

→

=且//a b 不是a b =的充要条件，而是必要不充分条件.

【变式训练1】下列说法正确的是（ ）

A ．A

B CD ∥就是AB 所在的直线平行于CD 所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量

C ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段

D ．共线向量是在一条直线上的向量

【解析】对于A ，若AB ∥CD ，则AB ，CD 的方向相同或相反，AB 所在的直线与CD 所在的直线平行或在同一直线上，故A 错误；

对于B ，长度相等且方向相同的向量为相等向量，故B 错误；

对于D ，方向相同或相反的向量叫共线向量，故共线向量不一定在同一条直线上，故D 错误．故选：C ． 【变式训练2】下列说法正确的个数是（ ） ①两个有公共终点的向量是平行向量；

②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；

④若a b =，b c =，则a c =. A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【解析】有公共终点的向量的方向不一定相同或相反，所以①不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，不妨设a 为零向量，则a 与b 共线，这与

a 与

b 不共线矛盾，故③正确；a b =，则,a b 的长度相等且方向相同；b

c =，则,b c 的长度相等且方向相

同，所以,a c 的长度相等且方向相同，故a c =，④正确.故选：B 【变式训练3】下列说法正确的是（ ） A ．与向量(0)AB AB ≠共线的单位向量只有

||

AB

AB B ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反 C ．向量AB 与向量BA 是两平行向量 D ．单位向量都相等 【解析】与向量()

0AB AB ≠共线的单位向量有||

AB

AB ±

，故A 项错误.因为零向量与任一向量平行，因此，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故B 项错误.因为向量AB 与BA 方向相反，所以二者是平行向量，故C 项正确;单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同，故D 项错误.故选：C (二) 平行向量与共线向量

例2．梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB CD =，M 、N 分别是BC 和AB 的中点，设AB a =，NM b =，则AD =______.

【解析】因为M 、N 分别是BC 和AB 的中点，所以1

2

NM AC =

，NM AC ， 所以22AC NM b ==，因为AB CD ∥，2AB CD =，所以11

22DC AB a ==，

所以AD AC CD AC DC =+=-1

22a b =-+.故答案为：122

a b -+.

【变式训练1】．已知不共线的非零向量,a b ，若2a b -与2a b λ+平行，则实数λ的值为__________．

【解析】因为2 a b -与2a b λ+平行，所以()

22 a b k a b λ-=+所以21

2k k λ=⎧⎨=-⎩

，解得：4λ=-

【变式训练2】．已知OA a =，OB b =，若13OC a =

，3

4

OD b =，且AD 与BC 交于E 点，则