高一等比数列及其性质

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等比数列概念知识点归纳总结

等比数列概念知识点归纳总结等比数列是数学中常见的一个概念，也是数列中的一种特殊类型。

在等比数列中，每一项与前一项的比值都是相等的。

本文将对等比数列的概念、性质和应用进行归纳总结。

一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项相除的商都相等。

通常用字母a表示首项，q表示等比数列的公比。

根据这个概念，我们可以得到等比数列的通项公式：an = a * q^(n-1)其中，an为等比数列的第n项。

二、等比数列的性质1. 公比的取值：公比q可以是任意实数，也可以是0，但不能是1。

当q为正数时，等比数列的项随着n的增大而增大；当q为负数时，等比数列的项随着n的增大而交替增大和减小。

2. 比值关系：等比数列中任意两项的比值都是相等的，即相邻项的比值等于公比q。

3. 对数关系：等比数列的对数数列也是等差数列。

如果取对数后的数列为Ar，则有Ar = loga + (n-1)logq，其中，loga为log以a为底的对数。

三、等比数列的应用等比数列在实际中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 财务领域：等比数列常用于计算复利的问题，例如存款利息计算、债券利息计算等。

2. 自然科学：许多物理、化学等自然科学问题中都可以用等比数列来描述，如放射性元素衰变问题、细胞分裂问题等。

3. 经济学：等比数列常用于描述经济增长、人口增长等问题。

4. 数学应用：等比数列常用于解决等比方程、等比不等式等数学问题。

总结：通过对等比数列的概念、性质和应用的归纳总结，我们了解到等比数列在数学以及实际生活中的重要性。

等比数列是数学中的一种基本概念，在解决实际问题时具有广泛的应用。

熟练掌握等比数列的概念和性质，能够更好地解决与等比数列相关的各种数学问题。

等比数列的性质-高中数学知识点讲解

等比数列的性质1．等比数列的性质【等比数列】（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这2个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．注：时，为常数列．q （q 0）q＝1 an等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第项的通项公式，＝，这里a 为首项，q 为公比，n a a q n﹣1n 1 1푎1(1―푞푛)我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，S =n，表示的是前面项的n1―푞和．③若m n＝q p ，且都为正整数，那么有a •a ＝a •a ．m n p q例：成等比数列，则＝．2，x，y，z，18 y解：由成等比数列，设其公比为，2，x，y，z，18 q4则，解得，18＝2q q2＝32∴．y＝2q ＝23＝6故答案为：．6本题的解法主要是运用了等比数列第项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，n继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：＝，（，）．a a q ﹣n m N*•n mn m*（2）若{a n}为等比数列，且，则k l＝m n，（k，l，m，n N ） a •a＝a •ak l m n（3）若{ }{ }（项数相同）是等比数列，则 a a a b ，仍是等比数列．a ，b {（} 0），，{•}n n n n n푎1＞0푎1＜0푎1＞0푎1＜0 （4）单调性：{푞＞1或{0＜푞＜1是递增数列；{0＜푞＜1或{{a } {a } q＝1 {a }푞＞1是递减数列；是 n n n 常数列；是摆动数列．q＜0 {a }n1/ 1。

等比数列的基本性质与求和公式

等比数列的基本性质与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列，它的前后两项的比值始终保持不变。

等比数列具有许多重要的性质和求和公式，本文将对这些性质和公式进行详细介绍与解析。

一、等比数列的基本性质等比数列的基本性质包括公比、通项公式以及前n项和的公式。

1. 公比公比是等比数列中相邻两项的比值，通常用字母q表示。

对于等比数列{a1, a2, a3, ...}，公比q = a2/a1 = a3/a2 = ...。

公比q可以是正数、负数或零。

2. 通项公式等比数列的通项公式是指根据数列的首项和公比，可以得到任意项的数值表达式。

对于等比数列{a1, a2, a3, ...}，通项公式为an = a1 *q^(n-1)，其中n表示项数，an表示第n项。

通项公式可以帮助我们方便地计算等比数列中任意一项的数值。

3. 前n项和公式等比数列的前n项和公式是指根据数列的首项、公比和项数，可以得到前n项之和的表达式。

前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和。

这个公式的推导涉及到对等比数列求和的方法，下文我们将介绍这个求和方法的详细步骤。

二、等比数列的求和公式的推导为了推导等比数列的求和公式，我们可以从以下几个步骤入手：Step 1: 假设等比数列的首项为a1，公比为q。

Step 2: 将等比数列的前n项和用Sn表示。

Step 3: 将等比数列的首项a1与公比q对齐。

Step 4: 将等比数列展开为a1, a1*q, a1*q^2, ..., a1*q^(n-1)。

Step 5: 将等比数列反向展开为a1*q^(n-1), a1*q^(n-2), ..., a1*q^2,a1*q, a1。

Step 6: 将两个等比数列按位相减，并观察相减结果的特点。

Step 7: 将相减结果与等比数列前n项和Sn相加，并观察相加结果的特点。

Step 8: 确定等比数列的前n项和公式Sn。

等比数列的性质和求和公式

等比数列的性质和求和公式等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。

在数学中，等比数列有自己独特的性质和求和公式，本文将详细介绍这些内容。

一、等比数列的性质1. 公比：等比数列中，任意两项之间的比值称为公比，通常用字母q表示。

公比q不为零，且常数项不为零时才能构成等比数列。

当q>1时，数列为递增的；当0<q<1时，数列为递减的。

2. 通项公式：等比数列中，第n项an与第一项a1之间存在以下关系：an = a1 * q^(n-1)3. 任意两项之比：等比数列中，第n项与第m项之间的比值可表示为：an / am = q^(n-m)4. 前n项和：等比数列的前n项和Sn可通过以下公式计算：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)二、等比数列的求解及应用1. 求解等比数列的常见问题：a) 已知首项a1和公比q，求第n项an：根据等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，代入已知的a1和q即可求得an；b) 已知首项a1和第n项an，求公比q：将已知的an代入等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，解方程即可求得q；c) 已知首项a1、公比q和项数n，求前n项和Sn：利用等比数列的求和公式Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，代入已知的a1、q和n即可求得Sn。

2. 等比数列的实际应用：a) 财务分析：等比数列的求和公式可以应用于财务分析中的复利计算，用于计算投资收益等问题；b) 科学研究：等比数列可以用于描述一些自然界和社会现象中的增长和衰减规律，如生物种群的繁殖、细菌的增长等；c) 工程问题：等比数列可以应用于工程问题中的增长和递减模型，如工程材料的强度、电路中的电压等。

三、案例分析假设有一个等比数列的首项a1为2，公比q为3，项数n为4，我们可以通过等比数列的性质和求和公式来计算该等比数列的一些重要性质。

首先，根据等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，可以求得该数列的各项：a2 = 2 * 3^1 = 6a3 = 2 * 3^2 = 18a4 = 2 * 3^3 = 54其次，利用等比数列的求和公式Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，可以求得前4项和：S4 = 2 * (3^4 - 1) / (3 - 1) = 2 * (81 - 1) / 2 = 40所以，该等比数列的第4项为54，前4项和为40。

高一数学《等比数列公式性质》知识点

高一数学《等比数列公式性质》知识点
高一数学《等比数列公式性质》知识点
数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，下面是小编整理的高一数学《等比数列公式性质》知识点，希望对大家有帮助!
1.等比数列的有关概念
(1)定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1/an=q(n∈N*，q 为非零常数).
(2)等比中项：
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的`等比中项.即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2=ab.
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式：an=a1qn-1.
3.等比数列{an}的常用性质
(1)在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am·an=ap·aq=a.
特别地，a1an=a2an-1=a3an-2=….
(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列，公比为qk;数列Sm，S2m-Sm，S3m-
S2m，…仍是等比数列(此时q≠-1);an=amqn-m.
4.等比数列的特征
(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数.
(2)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
5.等比数列的前n项和Sn
(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用.
(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.。

高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质

高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质等比数列是数学中常见的一种数列，又被称为等比数列或几何数列。

在高中数学中，等比数列的概念及其性质是学习数列的重要一环。

本文将对等比数列以及等比数列的性质进行总结和讨论。

1. 等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。

假设数列的首项为a，公比为r，那么等比数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)其中，an为数列的第n项。

2. 等比数列的性质等比数列有许多特殊的性质，下面将逐一介绍。

2.1 等比数列的公比公比r是等比数列中非常重要的一个概念，它决定了数列的增长或衰减趋势。

当|r|>1时，等比数列呈现增长趋势，此时数列的绝对值逐项增大；当|r|<1时，等比数列呈现衰减趋势，此时数列的绝对值逐项减小；当|r|=1时，等比数列的绝对值保持不变。

2.2 等比数列的通项公式的推导等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)可以通过递推关系式得出。

首先可以得到数列的第二项：a2 = a * r。

推导出来的通项公示能够方便我们计算等比数列中各项的大小。

同时，通过改变公比，我们可以观察等比数列的特点。

2.3 等比数列前n项和的计算等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式进行计算：Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)这个公式也可以通过递推关系式的推导得出。

等比数列前n项和的计算在实际问题中具有重要的应用，可以帮助我们求解等比数列求和问题。

3. 等比数列的应用举例3.1 高度问题假设一个球从一定的高度往下落，每次反弹高度都是之前一次的一半。

如果求第n次反弹的高度，我们可以建立等比数列来描述这个过程。

首项为球的初始高度，公比为1/2，利用等比数列的通项公式即可求解。

3.2 利息问题在金融领域中，利息的计算经常涉及到等比数列。

例如，一笔钱每年按照固定的利率计算利息，那么每年的本金和利息的总额就构成了一个等比数列。

高一数学必修5等比数列知识点自己总结

高一数学必修5等比数列知识点自己总结等比数列是数学中常见的数列，其特点是每个数与前一个数的比例保持不变。

等比数列在高中数学中常用于解题和推导。

下面是关于高一数学必修5中等比数列的知识点总结。

一、等比数列的定义等比数列是一种数列，它的每一项与前一项之比都相等。

记作a1、a2、a3、...、an、...的等比数列，它的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。

二、等比数列的性质1. 公比为0时，等比数列为常数列。

2. 公比大于1时，等比数列呈递增趋势。

3. 公比小于1但大于0时，等比数列呈递减趋势。

4. 公比小于-1但大于-1时，等比数列呈交替增减趋势。

5. 等比数列的首项与公比的正负关系决定了数列的增减趋势。

三、等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以通过下述推导得出：设等比数列的首项是a1，公比是r，第n项是an，第n-1项是an-1。

an=a1*r^(n-1) （等比数列的通项公式）an-1=a1*r^(n-2) （等比数列的通项公式）将第一个式子除以第二个式子得：an/an-1=(a1*r^(n-1))/(a1*r^(n-2))=r即等比数列的两项之比恒等于公比r。

四、等比数列的和等比数列的前n项和可以通过以下公式计算得出：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r) （等比数列的前n项和公式）其中Sn是前n项的和。

特殊情况下，当公比r=1时，等比数列的前n项和可以简化为Sn=n*a1。

五、等比中项等比数列中，若数列中的某个数是它前后两个数的几何平均数，则称该数为等比数列的等比中项。

设该数为x，前一项是a，后一项是b，根据等比数列的性质可得：a/x=x/b即x^2=ab，解得x=√(ab)。

六、等比数列的应用1. 判断一组数是否构成等比数列，可通过两项之比是否恒等于公比来判断。

2. 求等比数列的前n项和，可使用等比数列的前n项和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。

等比数列的性质与公式

等比数列的性质与公式数列是数学中常见的一种序列，根据元素之间的规律可以分为等差数列和等比数列等。

在本文中，我们将重点讨论等比数列的性质与公式。

一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。

设等比数列的首项为a₁，公比为r，则数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中aₙ表示第n项的值。

二、等比数列的性质1. 公比的性质公比为r的等比数列中，如果r>1，则数列是递增的；如果0<r<1，则数列是递减的；如果r=1，则数列是恒定的。

2. 通项公式等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * r^(n-1)，通过该公式可以求出任意项的值。

3. 首项、公比与项数的关系根据等比数列的通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)，我们可以得到首项、公比和项数之间的关系：aₙ = a₁ * r^(n-1)a₂ = a₁ * rr = a₂ / a₁a₃ = a₁ * r^2...即等比数列的第n项等于首项乘以公比的n-1次方。

4. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和记为Sₙ，可以通过以下公式计算：Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)其中n表示项数。

三、等比数列的常见问题1. 求等比数列中某一项的值如果已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，我们可以通过通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)计算出该项的值。

2. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，可以通过前n项和的公式Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)求得。

3. 求等比数列的项数已知等比数列的首项a₁、公比r和某一项的值aₙ，可以通过项数的对数形式求得：n = logₐ( aₙ / a₁ ) + 1其中logₐ表示以a为底的对数运算。

四、等比数列的应用等比数列在实际问题中有着广泛的应用。

例如在金融领域，利率、汇率等都可以用等比数列的形式来描述；在自然科学研究中，细胞分裂、物种繁殖等也常常涉及等比数列的计算。

等比数列的概念与性质

等比数列的概念与性质等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项与同一常数的乘积。

等比数列的概念与性质在数学中占有重要地位，对于理解数列的变化规律以及解决实际问题都有着重要的意义。

一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项与同一常数的乘积。

设等比数列的首项为a，公比为r（r≠0），则等比数列的前n项可以用以下公式表示：an = a * r^(n-1)，其中n为项数。

二、等比数列的性质1. 公比的意义：公比决定了等比数列中相邻两项之间的比值关系。

当公比r大于1时，等比数列呈现递增趋势；当公比r小于1但大于0时，等比数列呈现递减趋势；当公比r等于1时，等比数列的各项相等。

2. 通项公式：等比数列的第n项可以使用通项公式an = a * r^(n-1)来表示，其中a 为首项，r为公比。

3. 前n项和的计算：等比数列的前n项和Sn可以使用等比数列求和公式来计算，公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中n为项数，a为首项，r为公比。

4. 无穷项和的计算：当公比的绝对值小于1时，等比数列的无穷项和可以通过求和公式求得：S∞ = a / (1 - r)，其中a为首项，r为公比。

5. 等比数列的性质：等比数列中的任意三项可以构成一个等比比例。

根据这个性质，可以使用等比数列来解决各种实际问题，如利润增长、贷款还款等。

三、等比数列的应用举例1. 财务管理：等比数列的概念和性质在财务管理中有广泛的应用。

例如，某公司的年度利润按等比数列增长，首年利润为10万元，公比为1.2。

我们可以利用等比数列的性质计算出第5年的利润为10万 * 1.2^(5-1) = 18.14万元。

2. 投资与滚动利息：等比数列的应用还可用于计算投资的滚动利息。

假设某人将1000元以5%的年利率存入银行，每年滚动利息再投入银行，求10年后的本息和。

我们可以利用等比数列的性质计算出10年后的本息和为1000 * (1.05^10) = 1628.89元。

等比数列知识点归纳总结

等比数列知识点归纳总结等比数列是指一个数列中每一项与它的前一项的比值都相等的数列。

在等比数列中，我们可以通过一些重要的知识点来解决与数列相关的问题。

本文将对等比数列的概念、性质以及求和公式进行归纳总结。

一、等比数列的概念与性质1. 等比数列的概念：等比数列是指一个数列中，从第2项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数的结果。

2. 公比的概念：在等比数列中，这个常数被称为公比，通常用字母q表示。

3. 公比的计算：公比q可以通过相邻两项的比值来计算，即等于后一项除以前一项。

公比q = 第(n+1) 项 / 第n 项4. 等比数列的性质：（1）任意项与它前一项的比值都等于公比q；（2）等比数列中，任意两项的比值都相等。

二、等比数列的求和公式在解决与等比数列相关的问题时，求和是一个重要的方面。

通过求和公式，我们能够快速计算等比数列的前n项的总和。

以下是等比数列的求和公式：Sn = a1*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示前n项的和，a1表示第一项，q表示公比。

三、等比数列的常见问题解答1. 已知等比数列的首项a1和公比q，求出该数列的通项公式：通项公式可以通过逐项相除来得到。

假设通项公式为an，那么有：a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ... = q根据这个比值相等的关系，可以得到通项公式：an = a1*(q^(n-1))2. 已知等比数列的部分项求和：有时候我们需要计算等比数列中从第m项到第n项的和，可以利用通项公式将问题转化为前n项和减去前m-1项和的差值。

S(m,n) = Sn - S(m-1)其中，S(m,n)表示从第m项到第n项的和。

3. 已知等比数列的前n项和Sn，求出该数列的通项公式：在这种情况下，可以通过求和公式逆推得到通项公式。

首先将求和公式改写为关于q的方程，然后解方程求得q的值，最后代入通项公式中即可得到结果。

以上是关于等比数列的概念、性质、求和公式以及常见问题的解答。

等比数列的概念与性质

等比数列的概念与性质等比数列是数学中常见且重要的数列之一。

在等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。

本文将介绍等比数列的概念和性质，以及如何应用等比数列解决实际问题。

一、等比数列的概念等比数列是指数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。

简而言之，等比数列满足以下条件：1. 第一项 a_12. 公比 r根据上述条件，等比数列的通项公式可以表示为 a_n = a_1 * r^(n-1)，其中 n 为项数。

二、等比数列的性质等比数列具有以下性质：1. 公比的符号决定数列的性质- 当公比 r 大于 1 时，数列是递增的。

- 当公比 r 介于 0 和 1 之间时，数列是递减的。

2. 等比数列的前 n 项和- 当公比 r 不等于 1 时，等比数列的前 n 项和可以表示为 S_n =a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)。

- 当公比 r 等于 1 时，等比数列的前 n 项和为 n * a_1。

3. 等比数列的无穷项和- 当公比 r 的绝对值小于 1 时，等比数列的无穷项和可以表示为 S = a_1 / (1 - r)。

- 当公比 r 的绝对值大于等于 1 时，等比数列的无穷项和不存在。

4. 等比数列的前 n 项平方和- 当公比 r 不等于 1 时，等比数列的前 n 项平方和可以表示为 S_n' = (a_1^2 * (1 - r^2n)) / (1 - r^2)。

- 当公比 r 等于 1 时，等比数列的前 n 项平方和为 n * a_1^2。

三、等比数列的应用举例等比数列广泛应用于实际问题的求解中。

以下是几个应用等比数列的例子：1. 存款问题假设某人每年将存款的一定比例保留，其余部分用于消费。

如果从第一年开始，每年的存款比上一年减少 20%，那么第 n 年的存款是多少？解：假设第一年的存款为 a_1，公比为 r = 1 - 20% = 0.8。

根据等比数列的通项公式 a_n = a_1 * r^(n-1)，可以得到第 n 年的存款为 a_n = a_1 * 0.8^(n-1)。

等比数列的性质与应用

等比数列的性质与应用等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数，这个常数被称为公比。

等比数列的性质与应用在数学中具有重要的地位和应用价值。

一、等比数列的性质1. 公比的性质：在等比数列中，公比不为0。

当公比大于1时，数列呈现递增趋势；当公比介于0和1之间时，数列呈现递减趋势。

2. 通项公式：对于等比数列 a₁, a₂, a₃, ... ，若 a₁是首项，r 是公比，n 是项数，则第 n 项 aₙ = a₁ * r^(n-1)。

3. 特殊性质：若等比数列的首项不等于0，则任意一项都不为0。

若等比数列的首项为a，公比为r，则数列中除了首项以外的其他项的和为 S = a * (r^n - 1) / (r - 1)。

二、等比数列的应用1. 高利贷问题：高利贷问题中的本金和利息往往呈现等比数列的关系。

通过计算等比数列的和，可以帮助我们理解高利贷背后的利息计算原则，并避免陷入高利贷的陷阱。

2. 折半查找算法：在计算机科学中，折半查找算法常常运用等比数列的性质。

该算法通过将查找范围不断折半，缩小查找范围，直到找到目标元素为止。

这种算法的时间复杂度为 O(log n)，具有高效的特点。

3. 复利计算：在金融领域中，复利计算常常与等比数列紧密相关。

当存款、贷款或投资的利率按照一定的期限计算时，利息会按照等比数列的方式不断增长。

通过对等比数列的计算，可以帮助我们了解复利计算的规律，指导我们做出科学的理财决策。

总结：等比数列作为一种数学工具，具有重要的性质和广泛的应用。

通过了解等比数列的性质，我们可以在数学问题中灵活运用，提高解题能力；同时，等比数列的应用也渗透到各个领域，为我们解决实际问题提供了理论和方法支持。

因此，熟练掌握等比数列的性质和应用，对于我们的数学学习和实际生活都具有积极的意义和影响。

等比数列的性质和计算

等比数列的性质和计算等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以一个常数的结果。

这个常数被称为公比，通常用字母q表示。

等比数列的性质和计算方法在数学中有着重要的应用。

一、等比数列的性质1. 公比与首项的关系：在等比数列中，公比q不等于0时，若首项为a，则第n项为an-1乘以公比q的n-1次方。

即，第n项为a * q^(n-1)。

2. 公比的绝对值小于1时：当公比q的绝对值小于1时（|q| < 1），等比数列的通项公式可以简化为：第n项为a * q^(n-1)，且随着项数的增加，数列逐渐趋近于0。

3. 公比的绝对值等于1时：当公比q的绝对值等于1时（|q| = 1），等比数列的通项公式可以简化为：若q = 1，则数列每一项都相等。

若q = -1，则数列的奇数项为相同的正数，偶数项为相同的负数。

4. 公比的绝对值大于1时：当公比q的绝对值大于1时（|q| > 1），等比数列的通项公式为：第n项为a * q^(n-1)，且随着项数的增加，数列的绝对值逐渐增大或减小。

二、等比数列的计算方法1. 求和公式：若公比q不等于1，则等比数列的前n项和为：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)，其中a为首项，q为公比。

2. 求数列中某一项：若已知等比数列的首项a和公比q，可以通过通项公式直接计算第n项。

3. 求等比数列的项数：若已知等比数列的首项a和公比q，以及数列中的某一项An，可以通过求对数的方法计算项数n。

4. 求等比数列的前n项和：若已知等比数列的首项a和公比q，以及数列的项数n，可以通过求和公式计算前n项和Sn。

例题一：已知等比数列的首项是3，公比是2，求该等比数列的第5项和前5项的和。

解：第5项：a * q^(n-1) = 3 * 2^(5-1) = 3 * 2^4 = 48。

前5项的和：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1) = 3 * (2^5 - 1) / (2 - 1) = 3 * (32 - 1) = 3 * 31 = 93。

等比数列性质归纳总结

等比数列性质归纳总结
等比数列是一类特殊的数列，其中任意项和它的前一项满足等比关系。

等比数列有诸多性质，下面将对这几个性质进行归纳总结。

一、公比性质
等比数列中任意项和它的前一项之间的比值称为公比，一般我们用 q 表示，如
a1,a2,a3,a4…an 为等比数列，那么有a2/a1=a3/a2=a4/a3……=q，即
a2=q·a1,a3=q·a2…an=q^(n-1)·a1 。

二、通项公式
如果等比数列的前 n 项的和构成等比数列的第 n+1 项，即 Sn+1=Sn，那么称此等比数列为等差数列的通项等比数列，称该通项等比数列的公比为 q，则有：an=a1·q^(n-1) 。

三、和性质
等比数列的和Sn=a1+a2+a3+…+an，当r≠1 时，有Sn=a1·(1-q^n)/(1-q) 。

五、比率性质
等比数列的任意相邻两项之比都相等，称为比率性质，即a2/a1=a3/a2=a4/a3…=q，其中 q 为等比数列的公比。

六、极限性质
当 q 大于 1 时，等比数列的和收敛于无穷，也就是说 an 趋向于无穷，即 Sn 趋向于无穷大，这就是等比数列的极限性质。

总结起来，等比数列的性质包括：公比性质、通项公式、和性质、首项与比率性质、比率性质以及极限性质。

它们都在运用等比关系思维方式，发现等比数列的特殊性质，为理解和解决含有等比性的问题提供了基础。

等比数列知识点总结

等比数列知识点总结等比数列是数学中常见的一种数列形式，它在数学和实际生活中都有着重要的应用。

了解等比数列的知识点，对于学生来说是非常重要的。

本文将对等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和以及应用进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握等比数列的相关知识。

1. 定义。

等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数的数列。

这个非零常数被称为等比数列的公比，通常用字母q表示。

2. 性质。

（1）等比数列中任意两项的比相等。

（2）等比数列中任意一项与它的前一项的比都等于公比q。

（3）等比数列中，若首项为a，公比为q，任意一项为an，则第n项可以表示为an=aq^(n-1)。

（4）等比数列中，若首项为a，公比为q，通项公式为an=aq^(n-1)。

3. 通项公式。

对于等比数列，通项公式是非常重要的，它可以用来表示等比数列中的任意一项。

通项公式的一般形式为an=aq^(n-1)，其中an表示第n项，a表示首项，q表示公比，n表示项数。

4. 前n项和。

对于等比数列的前n项和也是一个重要的概念。

等比数列的前n项和可以通过通项公式进行推导，最终的结果为Sn=a(q^n-1)/(q-1)，其中Sn表示前n项和，a表示首项，q表示公比，n表示项数。

5. 应用。

等比数列在实际生活中有着广泛的应用，比如金融领域中的利息计算、人口增长模型、生物种群的增长等。

在数学中，等比数列也常常出现在数列求和、数列推导等问题中，掌握等比数列的知识对于解决这些问题是非常有帮助的。

总结。

通过本文的介绍，我们对等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和以及应用有了更深入的了解。

等比数列作为数学中的重要概念，对于学生来说是必须要掌握的知识点。

希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握等比数列的相关知识，为日后的学习和工作打下坚实的基础。

等比数列的性质总结

等比数列的性质总结等比数列是指数列中的一种特殊形式，其每一项都是前一项乘以一个常数。

以下是对等比数列性质的总结：1. 公比的定义：等比数列的每一项与它的前一项的比值叫做公比。

公比用符号q表示，对于等比数列an，公比可以表示为q = an / an-1。

2. 通项公式：等比数列的第n项可以表示为an = a1 * q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比。

这个公式可以用来计算数列中的任意一项。

3. 首项和公比的关系：在等比数列中，如果知道前两项，可以通过计算它们的比值来得到公比。

即q = a2 / a1。

反过来，如果知道公比和首项，可以通过公式an = a1 * q^(n-1)来计算数列中任意一项。

4. 等比数列的性质：等比数列有一些独特的性质，使得它们在数学中具有重要的应用价值。

这些性质包括：- 等比数列中的任意两项的比值是常数，即an / an-1 = q，对于任意的n>1。

这意味着等比数列中的相邻两项之间的比值始终保持不变。

- 等比数列中的每一项都可以通过前一项乘以公比得到。

即an = an-1 * q，对于任意的n>1。

- 等比数列中，如果q大于1，那么数列会递增；如果q介于0和1之间，那么数列会递减。

如果q等于1，那么数列的每一项都相等。

- 等比数列可以分为两类：当公比q大于0时，数列中的每一项都大于0；当公比q小于0时，数列中的奇数项为负数，偶数项为正数。

5. 等比中项公式：对于等比数列的一项与它的后一项的比值等于q的k次方时，这两项的几何中项可以通过公式ak =sqrt(a(k-1) * a(k+1))来计算。

这个公式可以用来计算等比数列中的中间项。

6. 等比数列的和：等比数列的前n项和可以通过公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)来计算。

这个公式可以用来计算等比数列中所有项的和。

这些性质和公式在解决各种实际问题中非常有用。

等比数列的应用包括金融领域的复利计算、物理学中的指数增长和衰减问题、计算机科学中的分析算法复杂性等。

高中数学等比数列的性质总结

等比数列性质（一）、等比数列的公式1. 等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2. 通项公式：()1110n n a a q a q -=⋅≠，首项：1a ；公比：q n m n m a a q -=，3. 等比中项（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列⇔211n n n a a a -+=⋅4. 等比数列的前n 项和n S 公式： (1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==--11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n na a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列（2）等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列（3）通项公式：()0nn a A BA B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列（4）前n 项和公式：()'',,','nnn n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为等比数列 6. 等比数列的证明方法依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列 7. 注意（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。

高三第一轮复习等比数列的性质及应用

等比数列的性质及应用主干知识归纳等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *，q 为公比)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ．(3)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n． (4)若等比数列{a n }共有2n 项，则S 偶：S 奇=q ；若有2n+1项，则S 奇——S 偶=（a 1+a 2n+1q ）/(1+q)（q ≠1且q ≠－1）．方法规律总结1.在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n 项和公式建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质，可减少运算量．2.等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如等比数列中S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，公比为q k (q ≠－1)．【指点迷津】【类型一】等比数列的性质【例1】：(1) 设等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________．(2) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 5＋S 10＋S 15S 10－S 5＝( )A.72 B ．－92 C.92 D ．－72[解析]： [解析] (1)由题意可得a 5a 6＋a 4a 7＝2a 5a 6＝18，解得a 5a 6＝9，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝log 395＝log 3310＝10. 答案：10(2) 因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 10＝12S 5，所以S 10－S 5＝－12S 5.由等比数列的性质得，S 5，－12S 5，S 15－12S 5成等比数列，所以14S 52＝S 5S 15－12S 5，得S 15＝34S 5，所以S 5＋S 10＋S 15S 10－S 5＝S 5＋12S 5＋34S 5－12S 5＝－92.答案：B【例2】：)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝72，S 6＝352，则S 9＝________．【解析】： (1)因为等比数列{a n }的各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝a 1a 2a 3·a 7a 8a 9＝5×10＝5 2.答案：A(2)由S 3＝72，S 6＝352得，公比q ≠1，且⎩⎨⎧a 1（1－q 3）1－q ＝72，a 1（1－q 6）1－q ＝352，两式相除，得1＋q 3＝5，即q 3＝4，则a 11－q ＝－76，故S 9＝a 1（1－q 9）1－q ＝a 11－q [1－(q 3)3]＝－76×(1－43)＝1472.答案：1472【类型二】等比数列性质的应用【例1】：若等比数列{a n }的前n 项、前2n 项、前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n )．【解析】：方法一：设此数列的公比为q ，首项为a 1.当q ＝1时，则S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1， ∴S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n )；当q ≠1时，则S n ＝a 11－q(1－q n)，S 2n ＝a 11－q(1－q 2n)，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n)，∴S n 2＋S 2n 2＝a 11－q2[(1－q n )2＋(1－q 2n )2]＝a 11－q2(1－q n )2(2＋2q n＋q 2n)，又S n (S 2n ＋S 3n )＝a 11－q2(1－q n )2(2＋2q n ＋q 2n)，∴S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n )．方法二：根据等比数列的性质，有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2nS n ， ∴S n 2＋S 2n 2＝S n 2＋[S n (1＋q n )]2＝S n 2(2＋2q n ＋q 2n)，S n (S 2n ＋S 3n )＝S n 2(2＋2q n ＋q 2n )，∴S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n ).【例2】：已知数列{a n }的首项为a (a ≠0)，前n 项和为S n ，且有S n ＋1＝tS n ＋a (t ≠0)，b n ＝S n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当t ＝1时，若对任意n ∈N *，都有|b n |≥|b 5|，求a 的取值范围；(3)当t ≠1时，若c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n ，求能够使数列{c n }为等比数列的所有数对(a ，t )．【解析】：(1)当n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a ，得a 2＝at .当n ≥2时，有S n ＝tS n －1＋a ，∴(S n ＋1－S n )＝t (S n －S n －1)，即a n ＋1＝ta n .又a 1＝a ≠0，∴a n ＋1a n＝t (n ∈N *)，即数列{a n }是首项为a ，公比为t 的等比数列，∴a n ＝at n －1. (2)当t ＝1时，S n ＝an ，b n ＝an ＋1.当a >0时，数列{b n }递增，且b n >0，不合题意；当a <0时，数列{b n }递减，由题意知b 4>0，b 6<0，且⎩⎨⎧b 4≥|b 5|，－b 6≥|b 5|，解得－29≤a ≤－211.综上，a 的取值范围为【－29，－211】.(3)∵t ≠1，∴b n ＝1＋a －atn1－t，∴c n ＝2＋1＋a1－t n －a1－t (t ＋t 2＋…＋t n)＝2＋1＋a1－t n －at （1－t n ）（1－t ）2＝2－at （1－t ）2＋1＋a1－tn ＋at n ＋1（1－t ）2.由题设知，{c n }为等比数列，所以有⎩⎨⎧2－at （1－t ）2＝0，1－t ＋a 1－t＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，t ＝2，即满足条件的数对是(1，2)．【同步训练】【一级目标】基础巩固组一、选择题1．已知等比数列{a n }中，a 1>0，则“a 1<a 4”是“a 3<a 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】：设等比数列的公比为q .由a 1<a 4得a 1<a 1q 3，因为a 1>0，所以q 3>1，即q >1，故a 3<a 5成立；由a 3<a 5得a 1q 2<a 1q 4，因为a 1>0，所以q 2>1，即q <－1或q >1.所以“a 1<a 4”是“a 3<a 5”的充分不必要条件．答案：A2．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1 ＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A.n (2n －1)B.(n ＋1)2C.n 2D.(n －1)2【解析】：由题知a n ＝2n ，log 2a 2n －1＝2n －1， log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2. 答案：C.3．已知{a n }为等比数列，且a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．5 B ．－5 C ．7 D ．－7【解析】：设等比数列的公比为q .∵a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8， ∴a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，∴a 1＝－8，a 10＝1，∴a 1＋a 10＝－7；当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，∴a 10＝－8，a 1＝1，∴a 1＋a 10＝－7.综上可得，a 1＋a 10＝－7. 答案：D4．等比数列{a n }中，a 1＝317，q ＝－12.记f (n )＝a 1·a 2·…·a n ，则当f (n )最大时，n 的值为( )A.7B.8C.9D.10【解析】：由于a n ＝317×(－12)n －1，易知a 9＝317×1256＞1，a 10＜0,0＜a 11＜1，又a 1a 2…a 9＞0，故f (9)＝a 1a 2…a 9值最大，此时n ＝9.答案：C5．已知数列{a n }共有m 项，定义{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n ).若S (n )是首项为2，公比为12的等比数列的前n 项和，则当n ＜m 时，a n 等于( )A.－12n －2B.12n －2C.－12n －1D.12n －1【解析】：∵n ＜m ，∴m ≥n ＋1.又S (n )＝2(1－12n )1－12＝4－12n －2，∴S (n ＋1)＝4－12n －1，故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝12n －1－12n －2＝－12n －1. 答案：C 二、填空题6．等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则数列{a n }的通项公式为．【解析】：由a 4＝a 1q 3，a 6＝a 3q 3得a 4＋a 6a 1＋a 3＝q 3＝54×110＝18，∴q ＝12，又a 1(1＋q 2)＝10， ∴a 1＝8.∴a n ＝a 1q n －1＝8×(12)n －1＝24－n.答案：a n ＝24－n7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝12，则a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝________．【解析】：由S 8≠2S 4可知，公比q ≠1，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等比数列，公比为S 8－S 4S 4＝12，故a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝S 16－S 12＝S 4123＝1.答案：18．设数列{a n }的前n 项和为S n (n∈N *)，关于数列{a n }有下列四个结论：①若a n ＋1＝a n (n ∈N *)，则{a n }既是等差数列又是等比数列；②若S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )，则{a n }是等差数列；③若S n ＝1－(－1)n，则{a n }是等比数列；④若{a n }是等比数列，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m (m ∈N *)也成等比数列．其中正确的结论是________．(填上所有正确结论的序号)【解析】：若a n ＋1＝a n ＝0，则{a n }不是等比数列，①错误；②正确；③中{a n }是公比为－1的摆动数列，如2，－2，2，－2，2，－2，…，③正确；如对于等比数列2，－2，2，－2，2，－2，…，有S 2＝0，S 4＝0，S 6＝0，显然S 2，S 4－S 2，S 6－S 4不成等比数列，④错误．答案：②③ 三、解答题9．已知等比数列{a n }的首项为a 1＝13，公比q 满足q ＞0且q ≠1.又已知a 1,5a 3,9a 5成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝log 31a n，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1的值．【解析】： (1)∵2×5a 3＝a 1＋9a 5，∴10a 1q 2＝a 1＋9a 1q 4，∴9q 4－10q 2＋1＝0， ∵q ＞0且q ≠1，∴q ＝13，∴a n ＝a 1q n －1＝3－n.(2)∵b n ＝log 31a n＝log 33n＝n ，1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.10.等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n nS ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上．（1）求r 的值；（2）当b=2时，记1()4nnn b n N a ++=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】：(1)因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n nS b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n nn n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222nn n T ++=++++ 3451212341222222n n n n n T +++=+++++ 相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++-31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-【二级目标】能力提升题组一、选择题1．设x ，y ，z 均是实数，若3x ，4y ，5z 成等比数列，且1x ，1y ，1z 成等差数列，则x z ＋zx的值是( )A.327B.358C.3312D.3415【解析】：因为3x ，4y ，5z 成等比数列，所以16y 2＝15xz ，又因为1x ，1y ，1z 成等差数列，所以y ＝2xz x ＋z .联立可得16×4x 2z 2＝15xz (x ＋z )2，因为xz ≠0，所以（x ＋z ）2xz＝6415，所以x z ＋z x ＝3415. 答案：D2．函数y ＝9－（x －5）2的图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则下列不可能是该等比数列的公比的是( ) A.34B. 2C. 3D. 5 【解析】：函数y ＝9－（x －5）2等价于⎩⎨⎧（x －5）2＋y 2＝9，y ≥0，其图像为圆心在(5，0)，半径为3的上半圆．半圆上的点到原点的最小距离为2(点(2，0)处)，最大距离为8(点(8，0)处)，则最大的公比q 应满足8＝2q 2，即q 2＝4，解得q ＝2，最小的公比q 应满足2＝8q 2，即q 2＝14，解得q ＝12.又不同的三点到原点的距离不相等，故q ≠1，故公比q 的取值范围为12≤q ≤2，且q ≠1，故选D.答案：D二、填空题3．在数列{a n }中，a 1≠0，a n ＋1＝3a n ，S n 为数列{a n }的前n 项和．记R n ＝82S n －S 2na n ＋1，则数列{R n }的最大项为第________项．【解析】：∵a 1≠0，a n ＋1＝3a n ，∴数列{a n }是等比数列，∴R n ＝82a 11－3n2－a 1（1－3n）（1－3）a 1·3n2＝3n 22－823n2＋813n2（1－3）＝11－3×3n 2＋813n 2－82≤11－3×(2 81－82)＝643－1，当且仅当3n 2＝813n 2，即3n＝81，即n ＝4时等号成立，∴数列{R n }的最大项为第4项．答案：4 三、解答题4.已知数列{a n }中，a 1＝2，对任意n ∈N *，恒有a n ·a n ＋1＝2×4n成立． (1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设b n ＝a 6n －5＋a 6n －3＋a 6n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .【解析】：(1)证明：由a 1＝2，a 1·a 2＝2×4＝8，得a 2＝4.由a n ·a n ＋1＝2×4n，得a n ＋1·a n ＋2＝2×4n ＋1，两式相除，得a n ＋2a n＝4，则数列{a n }的奇数项成等比数列，首项a 1＝2，公比q ＝4，故当n 为奇数时，a n ＝a 1×4n －12＝2n.当n 为奇数时，则n ＋1为偶数，由a n ·a n ＋1＝2×4n ，得2n ·a n ＋1＝2×4n ，则a n ＋1＝2n ＋1.故对任意n ∈N *，恒有a n ＝2n，a n ＋1a n ＝2n ＋12n ＝2，故数列{a n }是等比数列．(2)易知S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(a 1＋a 3＋a 5)＋(a 7＋a 9＋a 11)＋…＋(a 6n －5＋a 6n －3＋a 6n －1)，则数列{b n }的前n 项和S n 即数列{a n }的奇数项和(共3n 项)，则S n ＝2（1－43n）1－4＝23(26n－1)．【高考链接】1.（2015年新课标全国卷Ⅱ）已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84[解析]：由a 1＝3，得a 1＋a 3＋a 5＝3(1＋q 2＋q 4)＝21，所以1＋q 2＋q 4＝7，即(q 2＋3)(q 2－2)＝0，解得q2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42. [答案]：B2．（2015年高考安徽卷）已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．[解析]：设数列{a n }的公比为q ，由a 2a 3＝a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9知a 1，a 4是一元二次方程x 2－9x ＋8＝0的两根，解此方程得x ＝1或x ＝8.又数列{a n }递增，因此a 1＝1，a 4＝a 1q 3＝8，解得q ＝2，故数列{a n }的前n 项和S n ＝1×（1－2n）1－2＝2n－1.[答案]：2n－13．（2015年高考四川卷）设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11000成立的n 的最小值．[解析]： (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12×1－12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|<11000，得⎪⎪⎪⎪1－12n －1<11000，即2n>1000.因为29＝512<1000<1024＝210，所以n ≥10，所以使|T n －1|<11000成立的n 的最小值为10.。

高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计【8篇】

高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计【8篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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