菱形性质和判定复习(教案)

教学过程

一、复习预习

回顾: 平行四边形的性质和判断

学习过程：

教师活动：教师教具演示，移动平行四边形的一边，使之一组邻边相等，引出菱形与平行四边形的关系，由此得到菱形的概念。

学生活动：

一．剪一剪：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可

1、观察所剪的菱形纸片，思考下列问题：

（1）哪些线段是相等的？哪些角是相等的？

（2）有哪些是等腰三角形？哪些是直角三角形？

（3）它是轴称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？

2、归纳菱形的特殊性质：

（1）边

（2）对角线

（3）对称性

一．探究一、1、自主自习：

菱形的对边__________________ 。

菱形的性质菱形的四边_________________ 。

菱形的对角线___________ 。

菱形是_____________ 对称图形。

菱形的面积=_________________ 或菱形的面积= ________________

四边______________ 的平行四边形是菱形。

一组___________________ 的四边形是菱形。

菱形的判定：对角线_________________ 的平行四边形是菱形。

对角线__________________ 的四边形是菱形。

2、合作探究：如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm，求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积

由此（2）推出：S菱形= 对角线乘积的一半

二、知识讲解

考点1

．菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：

① 边的性质：对边平行且四边相等．

② 角的性质：邻角互补，对角相等．

③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．

④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．

．菱形的判定

判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

判定③：四边相等的四边形是菱形．

易错点1

重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。

难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。

三、例题精析

【例题1】

【题干】菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC=45°，OC=，则点B 的坐标为（）

A、（，1）

B、（1，）

C、（+1，1）

D、（1，+1）

【答案】故选C．

【解析】：根据菱形的性质，作CD⊥x轴，先求C点坐标，然后求得点B的坐标．

解答：解：作CD⊥x轴于点D，

∵四边形OABC是菱形，OC=，

∴OA=OC=，

又∵∠AOC=45°

∴△OCD为等腰直角三角形，

∵OC=，

∴OD=CD=OCsin45°=1，

则点C的坐标为（1，1），

又∵BC=OA=，

∴B的横坐标为OD+BC=1+，B的纵坐标为CD=1，

则点B的坐标为（+1，1）．

【例题2】

【题干】如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一

点E，连接BE，CE．

（1）求证：△ABE≌△ACE；

（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．

【答案】（1）证明：∵AB=AC，点D为BC的中点，

∴∠BAE=∠CAE，

∵AE=AE

∴△ABE≌△ACE（SAS）．

（2）解：当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形

理由如下：

∵AE=2AD，∴AD=DE，

又∵点D为BC中点，

∴BD=CD，∴四边形ABEC为平行四边形，

∵AB=AC，∴四边形ABEC为菱形．

【解析】由题意可知三角形三线合一，结合SAS可得△ABE≌△ACE．四边形ABEC相邻两边AB=AC，只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件，当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形．

【例题3】如图，在由12个边长都为1且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P 是其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长．

【答案】：解：如图所示，

∵PD=1，每个菱形有一个角是60°，

∴PC=

∵∠APB=90°

∴斜边CD=2，CB==，DA==，AB=4．

【解析】根据已知求得PD，PC的长，再根据勾股定理即可求得斜边的长．