菱形性质和判定复习(教案)

教学过程一、复习预习回顾: 平行四边形的性质和判断学习过程：教师活动：教师教具演示，移动平行四边形的一边，使之一组邻边相等，引出菱形与平行四边形的关系，由此得到菱形的概念。

学生活动：一．剪一剪：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可1、观察所剪的菱形纸片，思考下列问题：（1）哪些线段是相等的？哪些角是相等的？（2）有哪些是等腰三角形？哪些是直角三角形？（3）它是轴称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？2、归纳菱形的特殊性质：（1）边（2）对角线（3）对称性一．探究一、1、自主自习：菱形的对边__________________ 。

菱形的性质菱形的四边_________________ 。

菱形的对角线___________ 。

菱形是_____________ 对称图形。

菱形的面积=_________________ 或菱形的面积= ________________四边______________ 的平行四边形是菱形。

一组___________________ 的四边形是菱形。

菱形的判定：对角线_________________ 的平行四边形是菱形。

对角线__________________ 的四边形是菱形。

2、合作探究：如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm，求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积由此（2）推出：S菱形= 对角线乘积的一半二、知识讲解考点1．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：① 边的性质：对边平行且四边相等．② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．易错点1重点是菱形的性质和判定定理。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。

菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。

难点是菱形性质的灵活应用。

由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。

如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。

三、例题精析【例题1】【题干】菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC=45°，OC=，则点B 的坐标为（）A、（，1）B、（1，）C、（+1，1）D、（1，+1）【答案】故选C．【解析】：根据菱形的性质，作CD⊥x轴，先求C点坐标，然后求得点B的坐标．解答：解：作CD⊥x轴于点D，∵四边形OABC是菱形，OC=，∴OA=OC=，又∵∠AOC=45°∴△OCD为等腰直角三角形，∵OC=，∴OD=CD=OCsin45°=1，则点C的坐标为（1，1），又∵BC=OA=，∴B的横坐标为OD+BC=1+，B的纵坐标为CD=1，则点B的坐标为（+1，1）．【例题2】【题干】如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．（1）求证：△ABE≌△ACE；（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．【答案】（1）证明：∵AB=AC，点D为BC的中点，∴∠BAE=∠CAE，∵AE=AE∴△ABE≌△ACE（SAS）．（2）解：当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形理由如下：∵AE=2AD，∴AD=DE，又∵点D为BC中点，∴BD=CD，∴四边形ABEC为平行四边形，∵AB=AC，∴四边形ABEC为菱形．【解析】由题意可知三角形三线合一，结合SAS可得△ABE≌△ACE．四边形ABEC相邻两边AB=AC，只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件，当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形．【例题3】如图，在由12个边长都为1且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P 是其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长．【答案】：解：如图所示，∵PD=1，每个菱形有一个角是60°，∴PC=∵∠APB=90°∴斜边CD=2，CB==，DA==，AB=4．【解析】根据已知求得PD，PC的长，再根据勾股定理即可求得斜边的长．四、课堂运用【基础】1、如图：在菱形ABCD中，AC=6，BD=8，则菱形的边长为（）A、5B、10C、6D、8【答案】解：设AC与BD相交于点O，由菱形的性质知：AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4在Rt△OAB中，AB===5所以菱形的边长为5．故选A．【解析】：根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，可知每个直角三角形的直角边，根据勾股定理可将菱形的边长求出．2、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．【答案】∵AD⊥BD，∴△ABD是Rt△∵E是AB的中点，∴BE=12AB，DE=12AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD，∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB，∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD（S A S ），∴BE=BC，∴CB=CD=BE=DE，∴菱形BCDE ．（四边相等的四边形是菱形）3、如图，四边形ABCD 为菱形，已知A （0，4），B （﹣3，0）．（1）求点D 的坐标；（2）求经过点C 的反比例函数解析式．【答案】（1）∵A （0，4），B （﹣3，0），∴OB =3，OA =4，∴AB =5．在菱形ABCD 中，AD =AB =5，∴OD =1，∴D （0，﹣1）．（2）∵BC ∥AD ，BC =AB =5，∴C （﹣3，﹣5）． 设经过点C 的反比例函数解析式为y =x k ．把（﹣3，﹣5）代入解析式得：k =15，∴y =x15． 【解析】根据菱形的性质及反比例函数图像得【巩固】：1、如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．（1）求证：△ADE≌△CBF．（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，∵E、F分别为AB、CD的中点，∴AE=CF．在△AED和△CFB中，∴△AED≌△CFB（SAS）；（2）解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．∵E是AB的中点，∴DE=AB=BE．由题意可知EB∥DF且EB=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∴四边形BFDE是菱形．【解析】1）根据题中已知条件不难得出，AD=BC，∠A=∠C，E、F分别为边AB、CD的中点，那么AE=CF，这样就具备了全等三角形判定中的SAS，由此可得出△AED≌△CFB．（2）直角三角形ADB中，DE是斜边上的中线，因此DE=BE，又由DE=BF，FD∥BE那么可得出四边形BFDE是个菱形．2. 、如图所示，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE=15°，那么∠AOB=．【答案】：解：∵∠CAE=15°和AE平分∠BAD∴∠BAO=45°+15°=60°，又∵AO=BO，∴△ABO为等边三角形，∴∠AOB=60°，故答案为60°．【解析】根据∠CAE=15°和AE平分∠BAD，即可求得∠BAO=60°，再根据OA=OB即可判定△ABO为等边三角形，即可求∠AOB，即可解题．3、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．【答案】（1）证明：如图，∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB=AD，AE=AE，∴△BAE≌△DAE，∴BE=DE，∵AD∥BC，∴∠2=∠3=∠1，∴AB=BE，∴AB=BE=DE=AD，∴四边形ABED是菱形．（2）解：△CDE是直角三角形．如图，过点D作DF∥AE交BC于点F，则四边形AEFD是平行四边形，∴DF=AE，AD=EF=BE，∵CE=2BE，∴BE=EF=FC，∴DE=EF，又∵∠ABC=60°，AB∥DE，∴∠DEF=60°，∴△DEF是等边三角形，∴DF=EF=FC，∴△CDE是直角三角形．【拔高】1、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）解答：解：如图，连接BF，在△BCF和△DCF中，∵CD=CB，∠DCF=∠BCF，CF=CF∴△BCF≌△DCF∴∠CBF=∠CDF∵FE垂直平分AB，∠BAF=×80°=40°∴∠ABF=∠BAF=40°∵∠ABC=180°﹣80°=100°，∠CBF=100°﹣40°=60°∴∠CDF=60°．【解析】：连接BF，利用SAS判定△BCF≌△DCF，从而得到∠CBF=∠CDF，根据已知可注得∠CBF的度数，则∠CDF也就求得了．3、以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC＝α（0°＜α＜90°）， ①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE ＝HG ；③四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由．【答案】（1）答：四边形EFGH 的形状是正方形．（2）解：①∠HAE＝90°＋a ，在平行四边形ABCD 中AB∥CD，∴∠BAD＝180°－∠ADC＝180°－a ，∵△HAD 和△EAB 是等腰直角三角形，∴∠HAD＝∠EAB＝45°，∴∠HAE＝360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a ）＝90°＋a ， 答：用含α的代数式表示∠HAE 是90°＋a ．②证明：∵△AEB 和△DGC 是等腰直角三角形， ∴AE＝22AB ，DG ＝22CD ， 在平行四边形ABCD 中，AB ＝CD ，∴AE＝DG，∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，∴∠HDA＝∠CDG＝45°，∴∠HDG＝∠HDA＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE，∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA＝HD，∴△HAE≌△HDC，∴HE＝HG．③答：四边形EFGH是正方形，理由是：由②同理可得：GH＝GF，FG＝FE，∵HE＝HG，∴GH＝GF＝EF＝HE，∴四边形EFGH是菱形，∵△HAE≌△HDG，∴∠DHG＝∠AHE，∵∠AHD＝∠AHG＋∠DHG＝90°，∴∠EHG＝∠AHG＋∠AHE＝90°，∴四边形EFGH是正方形．【解析】（1）根据等腰直角三角形得到角都是直角，且边都相等即可判断答案；（2）①∠HAE＝90°＋a ，根据平行四边形的性质得出，∠BAD＝180°－a ，根据△HAD 和△EAB 是等腰直角三角形，得到∠HAD＝∠EAB＝45°，求出∠HAE 即可；②根据△AEB 和△DGC 是等腰直角三角形，得出AE ＝22AB ，DG ＝22CD ，平行四边形的性质得出AB ＝CD ，求出∠HDG＝90°＋a ＝∠HAE，证△HAE≌△HDC，即可得出HE ＝HG ； ③由②同理可得：GH ＝GF ，FG ＝FE ，推出GH ＝GF ＝EF ＝HE ，得出菱形EFGH ，证△HAE≌△HDG，求出∠AH D ＝90°，∠EHG＝90°，即可推出结论．课程小结1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半【基础】1、如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）A、20B、15C、10D、5【答案】解：∵AB=BC，∠B+∠BCD=180°，∠BCD=120°∴∠B=60°∴△ABC为等边三角形∴AC=AB=5故选D．【解析】根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB．2. 能判定一个四边形是菱形的条件是（）A、对角线相等且互相垂直B、对角线相等且互相平分C、对角线互相垂直D、对角线互相垂直平分【答案】根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可．解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有D能判定为是菱形，故选D．【解析】根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可．3、如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？【答案】解：是菱形．理由如下：∵PE⊥AB，PF⊥AD，且PE=PF，∴AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC=∠CAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∴平行四边形ABCD是菱形．【巩固】1、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（）A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形【答案】故选C．【解析】本题可通过整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad得到（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，从而得出a=b=c=d，∴四边形一定是菱形．解：整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，2（a2+b2+c2+d2）=2（ab+bc+cd+ad），）∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，由非负数的性质可知：（a﹣b）=0，（b﹣c）=0，（c﹣d）=0，（a﹣d）=0，∴a=b=c=d，∴四边形一定是菱形，【拔高】1、如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．【答案】证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，同理∠DAE=∠FDA，∵AD=DA，∴△ADE≌△DAF，∴AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴∠DAF=∠FDA．∴AF=DF．∴平行四边形AEDF为菱形【解析】1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AF=DF，从而可证▱AEDF实菱形．2、如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．（1）求△ABC所扫过的图形的面积；（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的长．【答案】解：（1）连接BF，由题意知△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF∴四边形ABFE为平行四边形，∴S平行四边形ABFE=2S△EAF∴△ABC扫过图形的面积为S△ABC+S平行四边形ABFE=3+6=9；（2）由（1）知四边形ABFE为平行四边形，且AB=AE，∴四边形ABFE为菱形，∴AF与BE互相垂直且平分．（3）过点B作BD⊥CA于点D，∵AB=AE，∴∠AEB=∠ABE=15°．∴∠BAD=30°BD=AB=AC．∴BD•AC=3，AC•AC=3．∴AC2=12．∴AC=2．（1）根据题意：易得△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF，进而得出S平行四边形ABFE=2S△EAF，故可求出△ABC扫过图形的面积为S△ABC+S平行四边形ABFE；（2）根据平移的性质，可得四边形ABFE为菱形，故AF与BE互相垂直且平分；（3）根据题意易得：所以∠AEB=∠ABE=15°，BD•AC=3，AC•AC=3，进而可得AC的长度．3、已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝2AD，E是BC的中点，连接AE．AC．（1）点F 是DC 上一点，连接EF ，交AC 于点O （如图1），求证：△AOE ∽△COF ；（2）若点F 是DC 的中点，连接BD ，交AE 与点G （如图2），求证：四边形EFDG 是菱形．【答案】（1）证明：∵点E 是BC 的中点，BC ＝2AD ，∴EC＝BE ＝21BC ＝AD ， 又∵AD∥DC，∴四边形AECD 为平行四边形，∴AE∥DC，∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，∴△AOE∽△COF；（2）证明：连接DE ，∵DE 平行且等于BE ，∴四边形ABED 是平行四边形，又∠ABE＝90°，∴□ABED 是矩形，∴GE＝GA ＝GB ＝GD ＝21BD ＝21AE ， ∴E．F 分别是BC ．CD 的中点，∴EF．GE 是△CBD 的两条中线， ∴EF＝21BD ＝GD ，GE ＝21CD ＝DF ， 又GE ＝GD ，∴EF＝GD ＝GE ＝DF ，∴四边形EFDG 是菱形．【解析】（1）由点E 是BC 的中点，BC ＝2AD ，可证得四边形AECD 为平行四边形，即可得△AOE∽△COF；（2）连接DE ，易得四边形ABED 是平行四边形，又由∠ABE＝90°，可证得四边形ABED 是矩形，根据矩形的性质，易证得EF ＝GD ＝GE ＝DF ，则可得四边形EFDG 是菱形．。