数字、数位及数谜问题

数字、数位及数谜问题

一、知识要点

1、整数的十进位数码表示

一般地，任何一个n 位的自然数都可以表示成：

其中，a i (i=1，2，…，n)表示数码，且0≤a i≤9，a n≠0.

对于确定的自然数N，它的表示是唯一的，常将这个数记为

2、正整数指数幂的末两位数字

(1) 设m、n都是正整数，a是m的末位数字，则m n的末位数字就是a n的末位数字。

(2) 设p、q 都是正整数，m 是任意正整数，则m 4p+q的末位数字与m q的末位数字相同。

例1：一个三位数，并计算++++得到和为N，若N=3194，求？

解：依题意，得++++=3194.

两边同时加上,得:222(a+b+c)=3194+, ∴222(a+b+c)=222×14+86+.

由此可推知: +86是222的倍数,且a+b+c>14.

设+86=222n，考虑到是三位数，依次取n=1，2，3，4，分别得出=136，358，580，802，再结合a+b+c>14，可知原三位数=358.

练习1.有一个四位数，已知其十位数字减去2 等于个位数字，其个位数字加上2 等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。

分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序数的关系列式来解决

问题。

解：设所求的四位数为，依题意得：比较等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是b+c18，又∵c-2=d，d+2=b，∴b-c=0，从而解得：a=1，b=9，c=9，d=7

故所求的四位数为1997

练习2有一个四位数，计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差为1998，十位数字等于千位数字，问这个四位数是多少？

解：这个四位数可以写成：1000a3+100a2+10a1+a0，

它的各位数字之和的10倍是10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0，

这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是990a3+90a2-9a0=1998，

110a3+10a2-a0=222.

比较上式等号两边个位、十位和百位，可得a0=8，a1=2，a2=1，a3=2.于是这个四位数为2128。

例2．（日本）：问题1 两个整数相加时，得到的数是一个两位数，且两个数字相同；相乘时，得到的数是一个三位数，且三个数字相同，请写出所有满足上述条件的两个整数。

分析与解两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如

33=1+32=2+31=3+30=……=16+17，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了。可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111=37×3，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍（想想为什么？）

把九个三位数分解：111=37×3 222=37×6=74×3333=37×9 444=37×12=74×6 555=37×15 666=37×18=74×9777=37×21 888=37×24=74×12999=37×27

把两个因数相加，只有（74+3=）77和（37+18=）55的两位数字相同。所以满足见意的答案是74和3，37和18。

例3、若a,b,c,d是互不相等的整数，且整数x满足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9求证：4∣(a+b+c+d)

解：∵a,b,c,d是互不相等的整数，则x-a,x-b,x-c,x-d也是互不相等的整数。

∵(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9，所以x-a,x-b,x-c,x-d均为9的约数，

而9=(-1)(+1)(-3)(+3)，则(x-a)+(x-b)+(x-c)+(x-d)= (-1)+(+1)+(-3)+ (+3)=0即a+b+c+d=4x，所以4∣(a+b+c+d)

例4、求12+22+32+42+…+1234567892的末位数

因为123456789=12345678⨯10+9 而连续10个自然数的平方和的末位数都是5。

所以12+22+32+42+…+1234567892=02+12+22+32+42+…+1234567892的末位数是12345679⨯5的末位数。所以12+22+32+42+…+1234567892的末位数5