几何模型(小学奥数必会6大模型)

模型一：等高模型
定义：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。

如果固定三角形的底（或高）不变，另一者变大（小）n 倍，三角形的面积也就变大（小）n 倍。

六种基本类型：
两个三角形高相等，面积比等于底之比；两个三角形底相等，面积比等于高之比公式：
DC
BD
S S ADC ABD =∆∆；FC
ED
S S ABC ABD =∆∆
其中，BC=EF 且两三角形的高相等公式：
1=∆∆DEF
ABC
S S
夹在一组平行线之间的等积变形公式：
1==∆∆∆ABD
ABC
BCD ACD S S
等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可看作特殊的平行四边形）公式：
1=CDEF
ABCD
S S
三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半
公式：ABCD
EDC S S 2
1
=∆
两个平行四边形高相等，面积比等于他们底的比公式：
EF
AB
S S DEFG ABCD =例题：长方形ABCD 的面积为36cm 2，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？
()5.135.418185
.4368
1
2118362
121
362
1
2121=-=-=∴=⨯=⨯⨯=+=++=⨯=++=
++∴=++====
∴===∴=∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆BEF BEF BEF DGH BFH BEH CDH BCH ABH DGH BFH BEH CDH BCH ABH ABCD CDH DGH BCH BFH ABH BEH CGH
DGH CFH BFH BEH
AEH S S BF BE S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S EB AE HC BH 阴影阴影，，，，同理，、如图，连接
模型二：相似模型
定义：形状相同，大小不相同的两个三角形，一切对应线段的长度成比例的模型。

两种基本类型：（一）金字塔模型（二）沙漏模型
①相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比；公式：
AG
AF
BC DE AC AE AB AD ===②相似三角形的面积比等于他们相似比的平方；公式：2
2::AG AF S S ABC ADE =∆∆③连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。

）
公式：当DE 为中点时，BC
DE 2
1
=例题：如图，DE 平行BC ，且AD=2，AB=5，AE=4，求AC 的长.
由金字塔模型得5:2:::===BC DE AC AE AB AD ，所以10
524=⨯÷=AC
模型三：鸟头模型（共角模型）
定义：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

四种基本类型：
公式：
AE
AD ADE S ⨯⨯=
∆∆例题：如图，三角形ABC 的面积是1，延长BA 到D,使DB=AB;延长CA 到E,使EA=2AC;延长CB 至F，使FB=3BC，求三角形DEF 的面积？
解：
7
161226
3218014212 12
43 2213CA
CE 3BC CF 2AC AE =--+=--+==⨯=⨯⨯=︒=∠+∠⇒=+=+==⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯=====∠=∠⇒∠=∠⇒∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ABC S DBF S CEF S ADE S DEF S BF
BD BC
BA ABC S DBF S DBF ABC DBF S ABC S ADE S CEF S S CB CA CF
CE ABC S CEF S AC AB AE AD ABC S ADE S AD AB FCE
BCA CEF S ABC S EAD BAC ADE S ABC S 与与与总
模型四：风筝模型
定义：两个共底的三角形，其面积之比等于其顶点到顶点连线与底边所在直线交点的线段长度之比。

两种基本类型：（同侧风筝模型、异侧风筝模型）
公式：同侧风筝模型：
ADC
S ODC
S AB OB ∆∆=
异侧风筝模型：
BCD
S ABC
S OD AO ∆∆=
例题：如图，正方形ABCD 的面积为1，E、F 分别是BC 和DC 的中点，DE 与BF 相交于M 点，DE 与AF 相交于N 点，那么阴影三角形MFN 的面积是多少？
图1图2
30
1
21 151FAD 151 MFN 151
3511FD FA FN FM FAD MFN 1
2
8141
BEF BED MF DM 148121BEF BEA NF AN 1
11 1ED BC 1BED 11BEA 81
2121 2121BEF 81 2121 2121BEF 2 11
1=⨯===
⨯⨯=⨯⨯========
⨯⨯=⨯====⨯⨯=⨯==⨯⨯=⨯=
====⇒=∆∆∆∆∆∆∆∆∆◊∆∆∆◊S S S S S S S S S ABCD S S BF EC S BF EC S EF BD EF AE AD CD BC AB ABCD S 通过鸟头模型得到：）
（如图、连接）（如图、连接
模型五：蝴蝶模型
定义：1、任意四边形蝴蝶模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，可以了解四边形的内部的四个三角形的面积关系。

2、梯形的蝴蝶模型研究的是被梯形对角线分成的四块三角形面积之
间的关系以及三角形面积比和线段比之间的相互转化。

公式：任意四边形：24313241::S S S S S S S S ⨯=⨯⇒=梯形：
()。

长度之比的位置的转移线段两个模型的主要作用是模型，金字塔模型。

这其他平行线模型：沙漏思想。

例模型面积问题的重要面积问题，以及其他比这是解决梯形蝴蝶模型分的面积份数，数，进而表示出所有部出合适三角形的面积份设份数：按比例条件设小：中：大：总小：大中：大小：中的结论：梯形蝴蝶模型关于面积找到上底与下底之比为找平行线点是：梯形蝴蝶模型题目中重右”。

左下，或“上翅磅，面积乘积相等”型结论可记为：“两对任意四边形中的蝴蝶模总结：
）之比为如下结论（上底与下底反复运用等高模型，有.5.4::::b :a 3.b :a 2 1.2.1::.3::::::::.2.1:2
222
22231343241214
2b a b ab a b a b a S S b a BC AD OD OB OC OA S S S S S S S S S S b a +====⨯=⨯=========例题：如图ABCD 和CEGF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H，已知CH 等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积。

49.54.536AGEF 5.4)36(32
1
213cm
BC 21HF :CH FG :AC 6cm 36CGEF 18CGEF 2
1
186121261
2
12 36212162
1:3
1
,2222
222
=++==-⨯⨯=⨯=
===⇒=====+==⨯===⨯==
===⇒=◊∆◊◊∆∆∆∆∆∆∆∆∆S DF AD ADF S cm S cm S CFG S EFG S CFG S cm GFH S GHF S cm CHG S AHC S cm CHG S AHF S HF CH CF CH ACEG FG AC FG AC ：由到如下结论由梯形蝴蝶模型可以得：由已知得：是梯形，四边形平行于则、如图，连接如图，梯形ABCD 中，AD 与BC 平行，AD=BE=EC,O 是AC 与BD 的交点，P 点是AE 与BD 的交点。

若已知三角形AOD 的面积为10，那么阴影部分（即四边形OPEC）
的面积是多少？
255305
41:21:21:
//2
1:,2
1:60
23020
21:2
1 //=-=-==⇒=⇒=⇒=∴====⇒==⇒==
∴==∆∆◊∆∆∆∆◊∆∆∆∆APO AEC POEC AOP OCD AOP ADC ADEC ADC OCD OCD AOD S S S S S S AE P CD AP OD AO CD AE OD AO ADEC CP
OD AO S S S S S S BC AD BC AD EC
BE AD ADEC ：中点
为：：由蝴蝶模型可得
：为平行四边形四边形连接：：由蝴蝶模型可得
为平行四边形，四边形
模型六：燕尾模型
定义：燕尾定理：在三角形ABC 中，AD，BE，CF 相交于同一点O，有
S△AOB∶S△AOC=BD∶CD S△AOB∶S△COB=AE∶CE S△BOC∶S△AOC=BF∶AF 因
此图类似燕尾而得名。

公式：
DB
DA DGB S DGA S CGB S CGA S FC
FA FGC S FGA S BGC S BGA S EC
EB EGC S EGB S AGC S AGB S :::::::::======∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆例题：如图，在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AC 的三等分点，AE=2EC.三角形ABC 的面积是60平方厘米，那么三角形ABF
的面积是多少平方厘米？
22424
6041414121211:2:1:1:cm a ABF S a a a a a ABC S a BFC S BFD S a BFC S a ABF S a
AFC S a ABF S EC AE FEC
S EFA S BFC S ABF S DC BD BFD S ABF S AC E BC D ====+++====
⇒==⇒=======∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆设：由燕尾模型可得：
的三等分点
是中点，是。