几何模型(小学奥数必会6大模型)

模型一：等高模型

定义：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。如果固定三角形的底（或高）不变，另一者变大（小）n 倍，三角形的面积也就变大（小）n 倍。

六种基本类型：

两个三角形高相等，面积比等于底之比；两个三角形底相等，面积比等于高之比公式：

DC

BD

S S ADC ABD =∆∆；FC

ED

S S ABC ABD =∆∆

其中，BC=EF 且两三角形的高相等公式：

1=∆∆DEF

ABC

S S

夹在一组平行线之间的等积变形公式：

1==∆∆∆ABD

ABC

BCD ACD S S

等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可看作特殊的平行四边形）公式：

1=CDEF

ABCD

S S

三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半

公式：ABCD

EDC S S 2

1

=∆

两个平行四边形高相等，面积比等于他们底的比公式：

EF

AB

S S DEFG ABCD =例题：长方形ABCD 的面积为36cm 2，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？

()5.135.418185

.4368

1

2118362

121

362

1

2121=-=-=∴=⨯=⨯⨯=+=++=⨯=++=

++∴=++====

∴===∴=∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆BEF BEF BEF DGH BFH BEH CDH BCH ABH DGH BFH BEH CDH BCH ABH ABCD CDH DGH BCH BFH ABH BEH CGH

DGH CFH BFH BEH

AEH S S BF BE S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S EB AE HC BH 阴影阴影，，，，同理，、如图，连接

模型二：相似模型

定义：形状相同，大小不相同的两个三角形，一切对应线段的长度成比例的模型。

两种基本类型：（一）金字塔模型（二）沙漏模型

①相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比；公式：

AG

AF

BC DE AC AE AB AD ===②相似三角形的面积比等于他们相似比的平方；公式：2

2::AG AF S S ABC ADE =∆∆③连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。）

公式：当DE 为中点时，BC

DE 2

1

=例题：如图，DE 平行BC ，且AD=2，AB=5，AE=4，求AC 的长.

由金字塔模型得5:2:::===BC DE AC AE AB AD ，所以10

524=⨯÷=AC

模型三：鸟头模型（共角模型）

定义：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

四种基本类型：

公式：

AE

AD ADE S ⨯⨯=

∆∆例题：如图，三角形ABC 的面积是1，延长BA 到D,使DB=AB;延长CA 到E,使EA=2AC;延长CB 至F，使FB=3BC，求三角形DEF 的面积？

解：

7

161226

3218014212 12

43 2213CA

CE 3BC CF 2AC AE =--+=--+==⨯=⨯⨯=︒=∠+∠⇒=+=+==⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯=====∠=∠⇒∠=∠⇒∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ABC S DBF S CEF S ADE S DEF S BF

BD BC

BA ABC S DBF S DBF ABC DBF S ABC S ADE S CEF S S CB CA CF

CE ABC S CEF S AC AB AE AD ABC S ADE S AD AB FCE

BCA CEF S ABC S EAD BAC ADE S ABC S 与与与总

模型四：风筝模型

定义：两个共底的三角形，其面积之比等于其顶点到顶点连线与底边所在直线交点的线段长度之比。

两种基本类型：（同侧风筝模型、异侧风筝模型）

公式：同侧风筝模型：

ADC

S ODC

S AB OB ∆∆=

异侧风筝模型：

BCD

S ABC

S OD AO ∆∆=

例题：如图，正方形ABCD 的面积为1，E、F 分别是BC 和DC 的中点，DE 与BF 相交于M 点，DE 与AF 相交于N 点，那么阴影三角形MFN 的面积是多少？

图1图2

30

1

21 151FAD 151 MFN 151

3511FD FA FN FM FAD MFN 1

2

8141

BEF BED MF DM 148121BEF BEA NF AN 1

11 1ED BC 1BED 11BEA 81

2121 2121BEF 81 2121 2121BEF 2 11

1=⨯===

⨯⨯=⨯⨯========

⨯⨯=⨯====⨯⨯=⨯==⨯⨯=⨯=

====⇒=∆∆∆∆∆∆∆∆∆◊∆∆∆◊S S S S S S S S S ABCD S S BF EC S BF EC S EF BD EF AE AD CD BC AB ABCD S 通过鸟头模型得到：）

（如图、连接）（如图、连接