流体力学 难点分析

粘性切应力的计算

粘性切应力的计算常常很复杂。如果流体作一元运动，速度不太大，粘性系数比较大，边界条件简单，则其速度分布可视为线性变化，这样由式就容易算出。例如，图（a）表示间隙为δ的两个同心圆柱体，外筒固定，内筒以角速度ω旋转。内柱表面的粘性切应力为。图（b）表示两个同轴圆柱体，间隙为δ，内筒以速度U沿轴线方向运动，内筒表面的粘性切应力为。

表面张力的计算

在一般工程实际问题中通常不考虑表面张力。但如果涉及到流体计量、物理化学变化等问题，则表面张力通常要加以考虑。

（1）空气中的液滴

如果不考虑重力影响，液体内部压强为常数，由式

可知

又根据对称性知，两个曲率半径相等，这时液滴必为球体，内外压强差为

如果考虑重力影响，则液滴不再是球体，越靠近下方，液滴的曲率半径越小。

（2）液体气泡

液体气泡有内表面和外表面，其半径分别为R1和R2，如图1所示。气泡内气体压强为p，外部空气压强为p0，液体的压强为p1，对于内表面和外表面分别应用式

有：

，

液膜很薄，内外半径可视为相等，即R1＝R2＝R，上面两式相加，得

上式也可以这样推证：过球心作一切面将液体球膜分成两部分。对于其中一个半球面，压强差p－p0产生的压力应等于张力，而张力在内外表面均存在，于是：

化简后就得到上式。

（3）毛细液柱

将一根细管插入液体中，由于表面张力的影响，管内液柱将上升h，如图2所示。设液柱表面最低处的液体压强为p，外部大气压强为p0，则

由流体静力学知

因此，毛细液体上升的高度为

（4）铅直固壁上的液面

如图所示，表面张力将使液面弯曲，其爬升的最大高度为h。在弯曲液面上的任一点应用式

有：

式中，R是该点的曲率半径，

设该点得高度为y，则

因此，

令

，它具有长度的量纲。上式化为

两边同乘，则有

，

因此

（*），

因此C＝1

，

所以爬升高度为

如果要求液面形状，则可将式（*）变成为积分上式，作变量代换：

其积分结果为

因此，积分常数x0是

连通器内不同液体的压强传递

公式：

，

只适用于同一种液体，如果连通器里有若干种液体，则要注意不同液体之间的压强传递关系。

例如，计算如图所示的容器里面液体表面的压强：

平面的压力中心

如图（a）所示，挡水平板伸至水面，如果被淹部分的板长为L，则压力中心距板底L/3。但如果平板淹没在水下，如图（b）所示，则压力中心到板底距离并不是L/3。压力中心的坐标可按下式计算：

面积惯性矩可查表，计算一般较为复杂。求压力中心的目的是求合力矩，如果用积分

法，计算往往还简便些。例如，求图（b）中的提升平板闸门所需的力T时，可按下面方法计算：

复杂曲面的压力体

压力体是物面与液面的延伸面所围的空间体积，压力体内不一定有液体。正确的识别压力体，可以使铅直方向的总压力的计算得到简化。

对于复杂物面，压力体应分段计算。总压力在铅直方向的投影值，以朝上为正，朝下为负。例如，对于如图所示的复杂曲面，有：

旋转容器内液体的相对静止

液体随容器作等角速度旋转时，压强分布及自由面的方程式为

恰当地选取坐标原点，可以使上述表达式简化。

解题时，常常用到高等数学的这样一个定理：抛物线所围的体积等于同高圆柱体体积的一半。证明如下：

设抛物线方程为：

当r＝R时，z＝H，即，如图所示。

式中，正是同高圆柱体的体积。

牛顿迭代法

在实际问题中，常常要求方程式f(x)=0的根。如果是一元二次方程，则可直接利用求根公式。如果是超越方程，则它的解析解很难，甚至不可能求得，这时可使用迭代法，迭代法有很多种，这里介绍一种收敛较快的牛顿迭代法。

如下图表示一条曲线y=f(x)，现求该曲线与x轴的交点，即f(x)=0的解。设(x0,y0)是曲线上的一个点，y0＝f(x0)，如果∣y0∣比较小，则x0可视为方程f(x)=0的一个近似解。为了求出精度较高的解，可以过点(x0,y0)作曲线的切线，显然，该切线的斜率是f′(x0)，设这条切线与x轴交于点(x,0)，则

或

显然，x是方程f(x)的一个比x0更精确的根，重复以上计算就得到精度很高的根。这种求根的方法称为牛顿迭代法。

伯努利方程

①伯努利方程的两种形式

伯努利方程有两种形式：沿流线的伯努利方程，用于求某点的速度；过流断面的所谓总流的伯努利方程，用于求断面的平均速度。

②伯努利方程中的压强

伯努利方程中的压强可以是绝对压强，也可以是相对压强。

③缓变流

在管流中，如果某处的流线平直，流线的曲率半径很大，则该处的流动称为缓变流。缓变流有一个特点：沿流线法向，位置水头与压强水头之和是一个常数。

在总流的两个截面上应用伯努利方程时，这两个截面必须处在缓变流中。此时，

可以在截面上任意一点取值，对于管流，常在管轴线上取值。

如图（a）表示孔口出流，应用总流的伯努利方程时，应选择水面0－0和射流最小截面1－1进行有关计算。对于图（b）所示的闸下出流，截面0－0应在闸门上游足够远处，因为闸门上游近处属急变流。

动量方程

①动量方程的投影式

动量方程式是矢量式，使用时应选择一个适宜的坐标系，并写出动量方程的分量式。

②动量方程与其它方程的联立

用动量方程求解实际问题时，未知数比较多，要联立连续性方程和伯努利方程，问题才能得以求解。

③控制面上的压力计算

应用动量方程的一个重要目的，就是求解为固定某一物体所需的外力，为此，控制面上的压强必须使用相对压强。