数据库关系代数表达式学习
关系代数
第二章关系代数教学目的：本章实际上研究的是关系的运算。
学习目的：关系运算是设计关系数据库操作语言的基础，因为其中的每一个询问往往表示成一个关系运算表达式，在我们的课程中，数据及联系都是用关系表示的，所以实现数据间的联系也可以用关系运算来完成。
通过本章学习，应重点掌握：(1)关系数据库的基本概念；(2)如何用关系代数表达式来表达实际查询问题；(3)如何用元组演算表达式来表达实际查询问题；(4)如何用域演算表达式来表达实际查询问题；(5)如何将关系代数表达式转换为元组演算表达式或转换为域演算表达式。
了解和掌握关系数据结构中涉及到的域、笛卡儿积、关系模式等有关内容的含义；掌握关系的实体完整性和参照完整性的定义；掌握关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学重点：关系的实体完整性和参照完整性的定义；关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学难点：关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学方法：实例法教学内容：如下：关系模型关系模型是一种简单的二维表格结构，每个二维表称做一个关系，一个二维表的表头，即所有列的标题称为一个元组，每一列数据称为一个属性，列标题称估属性名。
同一个关系中不允许出现重复元组和相同属性名的属性。
1．关系模型组成关系模型由关系数据结构、关系操作集合和关系完整性约束三部分组成。
关系操作分为两大部分如图所示。
2．关系操作的特点关系操作的特点是操作对象和操作结果都是集合。
而非关系数据模型的数据操作方式则为一次一个记录的方式。
关系数据语言分为三类： (1)关系代数语言：如ISBL ；(2)关系演算语言：分为元组关系演算语言(如Alpha ，Quel)、域关系演算语言(如QBE)； (3)具有关系代数和关系演算双重特点的语言：如SQL 。
3．关系数据结构及其形式化定义 （1）域定义 域是一组具有相同数据类型的值的集合。
SQL与关系代数对应
数据库关系代数表达式学习关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础。
很有必要学习一下，有些是用代数表达式很方便的东西，用SQL写出来还是挺麻烦的，并不是想象当中那么直接。
一、关系代数的9种操作：关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。
五个基本操作：并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)四个组合操作：交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(÷)注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列)注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列二、关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。
这种表达式的运算结果仍然是一个关系。
可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。
三、举例说明：设教学数据库中有3个关系：学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX)学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩------------------------------------SELECT SNO,GRADEFROM SCWHERE CNO='C2'------------------------------------πSNO,GRADE(σCNO='C2'(SC))************************************(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名------------------------------------SELECT SC.SNO,S.SNAMEFROM SC,SWHERE SC.SNO=S.SNOAND O='C2'------------------------------------πSNO,SNAME(σCNO='C2'(S SC))此查询涉及S和SC，先进行自然连接，然后再执行选择投影操作。
关系数据库关系代数运算
• 是一种抽象的查询语言
SQL
• 介于关系代数和关系演算之间 • 集DDL、DML和DCL一身的关系数据语言
2.2 关系数据结构的形式化定义
关系模型建立在集合代数基础上，从集合论角度讨论 关系的形式化定义
定义1：域(Domain)－形式化表示为D
• 一组具有相同数据类型的值的集合，如整数、实数等。定义
张三 女
802
李四 男
803
王五 男
804
赵六 女
805
钱七 男
01
19
01
20
01
20
02
20
02
19
专业号 01 02 03
专业名 信息 数学 计算机
关系间的引用
例2 学生、课程、学生与课程之间的多对多联系
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄） 课程（课程号，课程名，学分） 选修（学号，课程号，成绩）
外码说明
关系R和S不一定是不同的关系 目标关系S的主码Ks 和参照关系的外码F必
须定义在同一个（或一组）域上 关于取名
外码并不一定要与相应的主码同名 当外码与相应的主码属于不同关系时，往往取
相同的名字，以便于识别
参照完整性举例
例１：学生实体与专业实体间的关系： 外码 学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄） 专业（专业号，专业名）
04
90
04
88
关系间的引用
例3 学生实体及其内部的领导联系(一对多)
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）
学号
801 802 803 804 805
姓名
张三 李四 王五 赵六 钱七
性别
女 男 男 女 男
《数据库原理及应用》-关系代数操作复习
关系代数操作复习实例：职工（职工编号，职工姓名，年龄，性别）；E(ENO ,ENAME,AGE,SEX)；社团（社团编号，社团名称）；C(CNO ,CNAME)；参加（职工编号，社团编号，参加时间）；EC(ENO ,CNO,TIME)；说明：（1）加粗的为主键；（2）参加表中的职工编号参照职工表中的职工编号，参加表中的社团编号参照社团表中的社团编号写出如下检索关系代数表达式：(1)检索年龄在30到50岁之间的职工编号和职工姓名AGE '30'AGE '50',((E))ENO ENAME σ>=∧<=∏(2)检索年龄在30到50岁之间的职工参加的社团名称AGE '30'AGE '50'((E C EC))CNAME σ>=∧<=∞∞∏(3)检索参加‘妇女之家’的职工编号''(())CNAME ENO C EC σ=∞∏妇女之家(4)检索参加‘书法社’或‘篮球队’的职工姓名''''AME ((E C EC))CNAME CNAME EN σσ=∨=∞∞∏书法社篮球队(5)检索既参加‘书法社’又参加‘篮球队’的职工姓名''''AME AME ((E C EC))((E C EC))CNAME CNAME EN EN σσ==∞∞∞∞∏∏ 书法社篮球队注意：不能将结果写成：''''AME ((E C EC))CNAME CNAME EN σσ=∧=∞∞∏书法社篮球队不能使指定的社团名称既是‘书法社’又是‘篮球队’。
假设社团表的信息如下：‘篮球队’，从表格中可以看出一个名称对应一个编号！(6)检索‘2014’年参加社团的职工信息'2014'NO,ENAME,AGE,SEX ((C EC))TIME E σ=∞∏(7)检索‘王小毛’参加的社团名称ENAME ''CNAME ((E C EC))σ=∞∞∏王小毛(8)检索没有参加任何社团的职工编号ENO ENO (E)-(EC)∏∏(9)检索没有参加‘篮球队’的职工姓名CNAME=''ENAME ENAME (E)-(E C EC )σ∞∞∏∏篮球队（）。
第4章 关系运算
自学考试《数据库原理》
连接（Join） 1）连接也称为θ连接 2）连接运算的含义 从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的 元组 R S = { | tr R∧ts S∧tr[A]θts[B] } A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组 θ：比较运算符 连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取（R关 系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组上值满足比 较关系的元组。
自学考试《数据库原理》
3）两类常用连接运算 等值连接（equijoin） 什么是等值连接 θ为“＝”的连接运算称为等值连接 等值连接的含义 从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等 的那些元组，即等值连接为： R S = { | tr R∧ts S∧tr[A] = ts[B] } 自然连接（Natural join）
自学考试《数据库原理》
自学考试《数据库原理》
外连接 为避免自然连接时因失配而发生的信息丢失，可以假 定往参与连接的一方表中附加一个取值全为空值的行，它 和参与连接的另一方表中的任何一个未匹配上的元组都能 匹配，称之为外连接 外连接 = 自然连接 + 失配的元组 外连接的形式：左外连接、右外连接、全外连接
自学考试《数据库原理》
专门的关系运算符 不仅涉及行而且涉及列 算术比较符 辅助专门的关系运算符进行操作 逻辑运算符 辅助专门的关系运算符进行操作 广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product） R n目关系，k1个元组 S m目关系，k2个元组 R×S 列：（n+m）列的元组的集合
自学考试《数据库原理》
自学考试《数据库原理》
示例： 找出工资在800元以上的老师 {t | tPROF t[SAL] > 800} 找出工资在800元以上的老师的姓名 {t | sPROF ( t[PNAME] s[PNAME] s[SAL] > 800 )} 给出计算机系老师的姓名 {t | uDEPT ( u[DNAME] = “计算机系” sPROF ( s[DNO] = u[DNO] t[PNAME] s[PNAME] ))} 求选修了全部课程的学生号 {t | uC ( sSC ( s[CNO] = u[CNO] t[SNO] s[SNO] ))} 求选修了张军同学所选修的全部课程的学生姓名 课程，张军选之 所求同学选之 {t | uC ( sSC wS ( s[CNO] = u[CNO] w[SNO] s[SNO] w[SNAME] = “张军” )) 元组关系演算与关系代数的等价性
关系运算----关系代数
R − S = {t | t ∈ R ∧ t ∉ S} 式中“－”为差运算符，t 为元组变量，结果 R-S 为一个新的与 R、S 同类的关系，该 关系是由属于 R 而且不属于 S 的元组构成的集合，即在 R 中减去与 S 中相同的那些元组。
c1
d1
a1
b1
c2
d2
a3
b3
c1
d1
a3
b3
c2
d2
图 2.12 关系 P1×R、P2×R 和 P3×R
3. 关系的联结——广义笛卡尔乘积运算
查询常常需要由多个关系生成一个新的关系。为了有效处理这种情况，引入广义笛卡尔 乘积运算。
设有关系 R、S，其中关系 R 有 r 个属性分量、m 个元组，关系 S 有 s 个属性分量、n 个元组，则二者的广义笛卡尔乘积(Cartesian Product)运算定义为：
2. 关系元组选定——选择运算
为了完成关系元组的选择，引入选择运算。 选择(Selection)也是一元关系运算，用于选取某个关系上我们感兴趣的某些行(满足一定 的条件的行)，并且将它们组成一个新的关系。
Sn
Sa
刘刚
21
Class 2003A
王建
22
张华
21
李倩
20
2003A 2003A 2003A
A
B
C
a1
b1
c1
a1
b2
c2
a1
b2
c2
a2
b2
c1
a2
b2
c1
a2
b2
数据库原理关系运算习题答案
数据库系统原理第四章关系运算课后习题答案4.1 名词解释(1)关系模型：用二维表格结构表示实体集，外键表示实体间联系的数据模型称为关系模型。
(2)关系模式：关系模式实际上就是记录类型。
它的定义包括：模式名，属性名，值域名以及模式的主键。
关系模式不涉及到物理存储方面的描述，仅仅是对数据特性的描述。
(3)关系实例：元组的集合称为关系和实例，一个关系即一张二维表格。
(4)属性：实体的一个特征。
在关系模型中，字段称为属性。
(5)域：在关系中，每一个属性都有一个取值范围，称为属性的值域，简称域。
(6)元组：在关系中，记录称为元组。
元组对应表中的一行；表示一个实体。
(7)超键：在关系中能唯一标识元组的属性集称为关系模式的超键。
(8)候选键：不含有多余属性的超键称为候选键。
(9)主键：用户选作元组标识的一个候选键为主键。
（单独出现，要先解释“候选键”）(10)外键：某个关系的主键相应的属性在另一关系中出现，此时该主键在就是另一关系的外键，如有两个关系S和SC,其中S#是关系S的主键，相应的属性S#在关系SC中也出现，此时S#就是关系SC的外键。
(11)实体完整性规则：这条规则要求关系中元组在组成主键的属性上不能有空值。
如果出现空值，那么主键值就起不了唯一标识元组的作用。
(12)参照完整性规则：这条规则要求“不引用不存在的实体”。
其形式定义如下：如果属性集K是关系模式R1的主键，K也是关系模式R2的外键，那么R2的关系中， K的取值只允许有两种可能，或者为空值，或者等于R1关系中某个主键值。
这条规则在使用时有三点应注意： 1)外键和相应的主键可以不同名，只要定义在相同值域上即可。
2)R1和R2也可以是同一个关系模式，表示了属性之间的联系。
3)外键值是否允许空应视具体问题而定。
(13)过程性语言：在编程时必须给出获得结果的操作步骤，即“干什么”和“怎么干”。
如Pascal和C语言等。
(14)非过程性语言：编程时只须指出需要什么信息，不必给出具体的操作步骤。
关系代数表达式总结-数据库
关系代数表达式总结一、并例1 求选修了课程号为1或2的课程的学生学号。
分析：可以先求出选修了课程号为1的课程的学生学号，再求出选修了课程号为2的课程的学生学号，最后使用并运算的方法求出选修课程号为1或2的课程的学生学号.本例也可以使用或条件来表示。
πSno（σCno=’1’（SC))∪πSno(σCno='2’（SC））或πSno(σCno=’1'∨ Cno='2’(SC))二、交例2 检索至少选修课程号为2和3的课程的学生学号。
分析：方法一:只涉及到一个表,但不能直接用∧（为什么？)特别注意，本例不能写为：πSno（σCno=’2’∧ Cno=’3’（SC)）因为选择运算为行运算，在同一行中Cno不可能既为2,又为3。
第一步：转换（SC×SC）笛卡尔积将垂直的条件展开为水平的条件。
SC1 SC2选修课程号为2和3的学生：σ1=4∧2=’2’∧ 5=’3’（SC×SC)最后取出学生的学号:π1（σ1=4∧2=’2'∧ 5=’3'（SC×SC）)方法二：πSno(σCno=’2’(SC））∩πSno(σCno=’3’（SC））三、差例3 将学生信息(‘95001’，’李勇’,‘男’，20，‘CS’)从Student表删除。
分析：可以将这行数据看成由一个元组构成的表，将Student表与该表进行差运算。
因此,该删除操作可表示为：Student-{‘95001’,’李勇'，‘男’,20，‘CS’}注意:但是当查询涉及到否定或全部值时，上述形式就不能表达了,就要用到差操作或除操作。
例4 求没有选修课程号为2的课程的学生学号。
分析：可以认为是在全部学号中去掉选修课程号为2的课程的学生学号，就得出没有选修课程号为2的学生学号。
由于在并、交、差运算中，参加运算的关系要求是兼容的,故应当先投影，再进行差运算。
πSno(Student）—πSno(σCno=’2’(SC）)特别注意，本题不能写为：πSno(σCno≠’2’(SC)）。
关系代数表达式
关系代数表达式
关系代数表达式Rσp(A×B)是一种常用的数据库模型，它用于表示关系的表示形式。
这种表示法的核心是关系符号R，其中R表示关系，σ表示选择操作，p表示投影操作，A×B表示连接操作。
首先，关系R是一种数据表达形式，它可以用来表示一组属性之间的关系。
通常情况下，这些属性由一组元组（每个元组代表一个实体）组成，每个元组都有一组属性，用于表示关系的特征。
其次，σ是一种选择操作，它可以从给定的关系中选择出符合特定条件的元组，进行下一步的运算。
选择操作的核心是关系的属性，可以选择属性的特定值，以便进行计算。
投影操作p是一种常见的操作，它可以从给定的关系中抽取元组中的特定属性，以便进行下一步的计算。
这些属性可以是单个属性，也可以是一组属性，投影操作可以用来抽取出这些属性，以便进行更细粒度的计算。
最后，A×B是一种连接操作，它可以将多个关系连接起来，以便进行计算。
它的核心是关系的属性，连接操作可以根据属性的特性将多个关系连接在一起。
总的来说，关系代数表达式Rσp(A×B)是一种常用的数据库模型，它是通过组合关系符号、选择操作、投影操作和连接操作来表示关
系的。
它可以用来表示关系之间的一些特征，也可以用来进行一些计算操作，比如抽取特定属性进行计算，将多个关系连接起来，等等。
因此，关系代数表达式Rσp(A×B)是一种重要的数据库模型，它被广泛应用于数据库管理系统的设计、实施和维护中。
关系数据库关系代数
关系数据库关系代数之前在学习数据库时接触过关系代数，只是在经过很长⼀段时间不应⽤之后，不能很快从⼤脑中将知识调出来，今天就来了个再次学习总结加深⾃⼰的印象。
关系代数：是⼀种抽象的查询语⾔，⽤对关系的运算来表达查询。
关系代数运算的是关系，运算结果亦是关系。
关系代数的基本关系包括：并、交、差、笛卡尔积、选择、投影、连接、除法运算。
由于并、交、差运算很简单，这⾥不再赘述，只说明了⼏个容易遗忘和混淆的运算。
1、笛卡尔积计算两个关系R和S的笛卡尔积，R的元数为r，S的元数为s，则R×S是⼀个（r+s）元的元组集合，如下例所⽰：结果：由结果分析：笛卡尔积得到的结果元数为r+s即：3+3=6；记录数为：R中的记录数与S中的记录数相乘，即：3×2=6。
2、选择选择是根据某些条件对关系做⽔平切割，例如δ2 > '4'（R），表⽰从R中挑选第⼆个分量值（也就是R中B列的值）⼤于4的元组所构成关系。
结果：3、投影π投影与选择正好相反，是对关系的⼀种垂直切割，消去某列，并重新安排列的顺序。
投影⽤（π）表⽰。
例如：π3,1（R）表⽰的结果如下：由结果可以看出：查询表达式中的下标可以⽤数字表⽰，也可以⽤列的名字表⽰，返回列的名字，⽽其他的列在结果关系中被去掉，也可以通过投影来重新布局关系的排列。
4、连接连接运算：从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满⾜⼀定条件的元组，⽤(R ⋈ S）表⽰，连接分为两种，⼀种是等值连接（有的书上写的是连接），另⼀种是⾃然连接。
等值连接：条件AθB中的θ为‘=’的连接；⾃然连接：关系R与S选取A、B属性值相等的那些元组。
看个例⼦就很容易明⽩了：等值连接：如下有关系R和S，则是什么呢？结果：⾃然连接：⼀般⾃然连接使⽤在R和S有公共属性时，如果没有公共属性，⾃然连接就转为笛卡尔积操作。
例如：关系R和S，则⾃然连接的结果呢？结果：5、除法例⼦：R÷SR： S：结果：计算过程：（1）T=π1,2（R），从R中选取除去与S中相同的属性，即选择S#，SName（2）W=(T ×S)-R，将上⾯得到的T与S进⾏笛卡尔积，再减去R，即计算T×S中不在R的元组（3）V=π1,2（W），从W中选取1,2对应的属性列，即：S#，SName（4）R ÷ S = T-V总结：经过总结之后，发现其实关系之间的运算并不难，关键在于要认真分析，将符号与我们的实际找到联系，只有对各种符号印象深刻之后，这些关系之间的运算也就变得很简单。
数据库系统及应用-关系代数
关系代数
系代数
概述 传统的集合运算 专门的关系运算
数据库原理
1-2
关系模型与其他模型相比，最有特色的是它的数据库 语言。
这种语言灵活方便、表达能力和功能都很强。 目前关系数据库所使用的语言一般都具有定义、查询、
更新和控制一体化的特点，而查询是最主要的部分。 所以说，关系数据库的核心部分是查询，故又称为查
A
B
C
S a1
b2
c2
a1 b3 c2
a2 b2 c1
1-8
并
A
B
C
a1 b1 c1
R∪S a1 b2 c2
a1 b3 c2
a2 b2 c1
数据库原理
A
B
C
a1 b1 c1
R
a1 b2 c2
a2 b2 c1
A
B
C
S a1
b2
c2
a1 b3 c2
a2 b2 c1
1-9
差
A
B
C
R-S a1
b1
c1
数据库原理
交（Intersection）
– 关系R与关系S的交由既属于R又属于S的元 组组成，即R与S中相同的元组，组成一个新 关系，其结果仍为n目关系。记作：
–
R∩S={t|t∈Rt∈S}
– 如果两个关系没有相同的元组，那么它们的 交为空。
– 两个关系的并和差运算为基本运算（即不能 用其他运算表达的运算），而交运算为非基 本运算，交运算可以用差运算来表示：
Zx={t[Z]|t R，t[X]=x}
它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集
合。
x1在R中的象集 Zx1={Z1,Z2,Z3} x2在R中的象集 Zx2={Z2,Z3}
自考数据库系统原理 第四章 关系运算 课后习题答案
自考数据库系统原理第四章关系运算课后习题答案2009-09-15 10:454.1 名词解释(1)关系模型：用二维表格结构表示实体集，外键表示实体间联系的数据模型称为关系模型。
(2)关系模式：关系模式实际上就是记录类型。
它的定义包括：模式名，属性名，值域名以及模式的主键。
关系模式不涉及到物理存储方面拿枋觯 鼋鍪嵌允 萏匦缘拿枋觥?(3)关系实例：元组的集合称为关系和实例，一个关系即一张二维表格。
(4)属性：实体的一个特征。
在关系模型中，字段称为属性。
(5)域：在关系中，每一个属性都有一个取值范围，称为属性的值域，简称域。
(6)元组：在关系中，记录称为元组。
元组对应表中的一行；表示一个实体。
(7)超键：在关系中能唯一标识元组的属性集称为关系模式的超键。
(8)候选键：不含有多余属性的超键称为候选键。
(9)主键：用户选作元组标识的一个候选键为主键。
（单独出现，要先解释“候选键”）(10)外键：某个关系的主键相应的属性在另一关系中出现，此时该主键在就是另一关系的外键，如有两个关系S和SC,其中S#是关系S的主键，相应的属性S#在关系SC中也出现，此时S#就是关系SC的外键。
(11)实体完整性规则：这条规则要求关系中元组在组成主键的属性上不能有空值。
如果出现空值，那么主键值就起不了唯一标识元组的作用。
(12)参照完整性规则：这条规则要求“不引用不存在的实体”。
其形式定义如下：如果属性集K是关系模式R1的主键，K也是关系模式R2的外键，那么R2的关系中， K的取值只允许有两种可能，或者为空值，或者等于R1关系中某个主键值。
这条规则在使用时有三点应注意： 1)外键和相应的主键可以不同名，只要定义在相同值域上即可。
2)R1和R2也可以是同一个关系模式，表示了属性之间的联系。
3)外键值是否允许空应视具体问题而定。
(13)过程性语言：在编程时必须给出获得结果的操作步骤，即“干什么”和“怎么干”。
如Pascal和C语言等。
数据库关系代数
并、差、笛卡儿积、投影、选择是关系代数的5种基本的运算,其他运算，即交、连接、除都可以通过基本的运算推导运算出。
1、并，设有两个关系R和S，它们具有相同的结构，R和S的并是由属于R或属于S的元组组成的集合；2、差，R和S的差是由属于R但不属于S的元组组成的集合；3、笛卡尔积，两个集合X和Y的笛卡尓积，又称直积，表示为X 与Y相乘，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员；4、选择，从关系中找出满足给定条件的那些元组称为选择；其中的条件是以逻辑表达式给出的，值为真的元组将被选取；5、投影，从关系模式中挑选若干属性组成新的关系称为投影。
数据库系统（二）--关系型数据库之关系代数关系型数据库-关系操作集合1、基本的关系操作关系模型中常用的关系操作包括查询(Query)操作和插入(Insert)、删除(Delete)、修改(Update)操作两大部分。
查询操作分为：选择、投影、连接、除、并、差、交、笛卡尔积等；五种基本操作：选择、投影、并、差、笛卡尔积；关系操作的特点是集合操作方式，即操作的对象和结果都是集合、这种操作方式也称为一次一集合的方式。
2、关系数据语言的分类关系操作是通过关系语言来实现的。
关系语言的特点是高度非过程化，即：（1）用户不必请求数据库管理员为其建立特殊的存取路径，存取路径的选择由 DBMS 的优化机制来完成；（2）用户也不必求助于循环和递归来完成数据的重复操作。
关系操作的能力可以用两种方式来表示：代数方式和逻辑方式。
关系代数、元组关系演算和域关系演算均是抽象的查询语言。
结构化查询语言SQL充分体现了关系数据语言的特点和优点，是关于数据库的标准语言。
关系数据语言可以分为三类：关系代数语言、关系演算语言以及兼具两者双重特点的语言。
三类语言的共同特点是语言具有完备的表达能力，是非过程化的集合操作语言，功能强，能够独立使用也可以嵌入高级语言中使用。
3、关系代数操作包含三大要素：操作对象、操作符、操作结果。
数据库关系代数表达式
数据库关系代数表达式数据库关系代数表达式：1. 什么是数据库关系代数表达式？Solid State Drives（SSDs）是一种快速读写和存储用的计算机存储介质，它使用关系代数表达式（RELATION ALGEBRA）来表达多个表之间的关系。
它使用关系运算符来反映数据间的逻辑关系，有助于在数据库中的查询操作的效率和可靠性。
2. 关系代数表达式的基础上概念数据库关系代数表达式的基本概念，主要包括关系（relation）、运算符（operators）、连接（joins）、窗口函数（window functions）和子查询等。
（1）关系（relation）：关系代数的核心概念是关系，关系也就是数据表，比如学生表、课程表等，每一行数据都可以看作是表的一个实例。
（2）运算符（operators）：运算符用于对关系中的行数据作选择、连接、聚合等操作，常见的运算符有并集 union 、交集 intersect 、差集difference 、选择 selection 、投影 projection 、笛卡尔积 cartesian product 、条件 join 。
（3）连接（joins）：连接是两个或多个关系之间的链接方式，包括内连接 inner join、左外连接 left outer join、右外连接 right outer join和全外连接full outer join等。
（4）窗口函数（window functions）：窗口函数是一种特殊的运算符，它能够把一行数据拆分成多行，并对每一行的数据进行计算，窗口函数可用于实现排序、聚合、求平均值等操作。
（5）子查询（subqueries）：子查询是SQL语句中的一种特殊查询，它可以将一个查询语句的结果作为另一个查询语句的输入，它也可以把表中一行数据或列数据嵌入另一个查询语句中。
3. 数据库关系代数表达式的应用（1）查询和更新操作：数据库关系代数可以实现快速查询和更新操作，可大大提高查询效率和可靠性。
数据库原理关系运算习题答案
数据库系统原理第四章关系运算课后习题答案4.1 名词解释(1) 关系模型：用二维表格结构表示实体集，外键表示实体间联系的数据模型称为关系模型。
(2) 关系模式：关系模式实际上就是记录类型。
它的定义包括：模式名，属性名，值域名以及模式的主键。
关系模式不涉及到物理存储方面的描述，仅仅是对数据特性的描述。
(3) 关系实例：元组的集合称为关系和实例，一个关系即一张二维表格。
(4) 属性：实体的一个特征。
在关系模型中，字段称为属性。
(5) 域：在关系中，每一个属性都有一个取值范围，称为属性的值域，简称域。
(6) 元组：在关系中，记录称为元组。
元组对应表中的一行；表示一个实体。
(7) 超键：在关系中能唯一标识元组的属性集称为关系模式的超键。
(8) 候选键：不含有多余属性的超键称为候选键。
(9) 主键：用户选作元组标识的一个候选键为主键。
( 单独出现，要先解释“候选键”)(10) 外键：某个关系的主键相应的属性在另一关系中出现，此时该主键在就是另一关系的外键，如有两个关系S和SC,其中S#是关系S的主键，相应的属性S#在关系SC中也出现，此时S#就是关系SC的外键。
(11) 实体完整性规则：这条规则要求关系中元组在组成主键的属性上不能有空值。
如果出现空值，那么主键值就起不了唯一标识元组的作用。
(12) 参照完整性规则：这条规则要求“不引用不存在的实体”。
其形式定义如下：如果属性集K是关系模式R1的主键，K也是关系模式R2的外键，那么R2 的关系中，K的取值只允许有两种可能，或者为空值，或者等于R1关系中某个主键值。
这条规则在使用时有三点应注意：1)外键和相应的主键可以不同名，只要定义在相同值域上即可。
2)R1和R2也可以是同一个关系模式，表示了属性之间的联系。
3)外键值是否允许空应视具体问题而定。
(13) 过程性语言：在编程时必须给出获得结果的操作步骤，即“干什么”和“怎么干”。
如Pascal和C语言等。
(14) 非过程性语言：编程时只须指出需要什么信息，不必给出具体的操作步骤。
关系代数表达式_范文模板及概述说明
关系代数表达式范文模板及概述说明1. 引言1.1 概述关系代数是计算机科学中用于描述、查询和操作关系型数据的一种形式化语言。
它以代数运算为基础，通过使用一组定义良好的运算符，能够对关系进行各种操作并生成新的关系。
在数据库领域，关系代数广泛应用于数据库查询优化、数据集成和数据处理等方面。
本篇文章旨在探讨关系代数表达式的概念、结构和应用。
我们将介绍关系代数基础知识和常用运算符，以及关系代数表达式在实际应用中的作用和意义。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、关系代数表达式概述、关系代数表达式范文模板介绍、编写关系代数表达式的要点和技巧，以及结论与展望。
除引言外，第二部分将详细介绍关系代数的基础知识和运算符，并探讨其在实际场景中的应用。
第三部分将向读者展示一个范文模板，并对其结构进行说明。
第四部分则重点讲解如何编写有效的关系代数表达式，涵盖确定查询需求、选择合适运算符和方法，以及优化简化表达式的要点和技巧。
最后，第五部分将总结全文，并对关系代数表达式的未来发展进行展望和思考。
1.3 目的本文的目的是帮助读者深入了解关系代数表达式，并提供范文模板和编写技巧，以便读者能够熟练应用关系代数进行数据查询和操作。
此外，通过对关系代数表达式的探讨，我们也希望能够加深对关系型数据模型和数据库理论的理解，并推动相关领域在未来的研究和应用发展。
2. 关系代数表达式概述：2.1 关系代数基础知识关系代数是一种用于查询和操作关系型数据库的形式化语言。
它基于关系模型，通过使用运算符对关系进行操作，从而实现数据的查询和变换。
关系代数包括一组运算符，如选择（σ）、投影（π）、并（∪）、差（-）等。
在关系代数中，数据存储在二维表格中的记录形式。
每个表格都有一个列头定义列名称，并且每条记录由相同数量的字段组成。
通过使用运算符对这些表格进行操作，我们可以得到新的结果表格。
2.2 关系代数运算符关系代数提供了各种运算符来处理和操作关系。
数据库 第二章 关系代数
名称 奶粉 火腿 白糖
厂家 地北 西山 北山
不合格商品表Ｓ
表 本店商品表Ｒ
2013-5-22 18
① 本店中的合格商品表
品牌 106001 205008 302034
名称 奶粉 白糖 食盐
表 新关系Ｒ－Ｓ
厂家 天南 南山 西山
2013-5-22
19
② 本店内不合格的商品表
品牌 103026
名称 奶粉
2013-5-22
37
一般的连接操作是从行的角度进行运算。
R
S
AθB
自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和 列的角度进行运算。
2013-5-22 38
例：
A a1 a1 a2 a2
B b1 b2 b3 b4
C 5 6 8 12
B b1 b2 b3
b3 b5 S
E 3 7 10
2 2
R
2013-5-22
2013-5-22
7
例：
通过并运算，可以实现关系数据库中记录的插入
2013-5-22 8
参加并操作的两个关系必须满足如下条件： 两个关系具有相同数目的属性，即属性集相同 两个关系的各个属性的类型（即域）必须匹配 两个关系的属性次序完全相同。如果它们的次 序不同，那么在进行并操作之前，必须对两个 关系的列进行排序。
2.7.4
投影（Projection）
关系R上的投影运算：从R中选择若干属性列形成 新的关系，即对关系R进行垂直分割，获取一个 可能包含有重复行的表，然后删去重复的元组， 形成新的关系，其结果关系是列的子集。 A(R) = {t[A]|t∈R} 其中A为R关系属性集的子集
SQL教程——关系代数
关系代数关系代数是一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方。
式，它是用对关系的运算来表达查询的。
任何一种运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果。
所以运算对象、运算符、运算结果是运算的三大要素。
关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。
关系代数用到的运算符包括四类：集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符，如表1所示。
表1 关系代数运算符关系代数的运算按运算符的不同可分为传统的集合运算和专门的关系运算两类。
其中传统的集合运算将关系看成元组的集合，其运算是从关系的“水平”方向即行的角度来进行。
而专门的关系运算不仅涉及行而且涉及列。
比较运算符和逻辑运算符是用来辅助专门的关系运算符进行操作的。
一传统的集合运算传统的集合运算是二目运算，包括并、差、交、广义笛卡尔积四种运算。
设关系R和关系S具有相同的目n（即两个关系都有n个属性），且相应的属性取自同一个城，则可以定义并、差、交运算如下：1. 并（Union）关系R与关系S的并记作：R∪S = { t | t∈R∨t∈S }其结果仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成。
2. 差（Difference）关系R与关系S的差记作：R-S = { t | t∈R∧t\∈S }其结果关系仍为n目关系，由属于R而不属于S的所有元组组成。
3. 交（ Intersection）关系R与关系S的交记作：R∩S = { t | t∈R∧t∈S }其结果关系仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成。
关系的交可以用差来表示，即R ∩S=R-（R-S）。
4. 广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（n+m）列的元组的集合。
元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。
若R有k1个元组，S有k2个元组，则关系R和关系S的广义笛卡尔积有k1×k2个元组。
第2章 关系代数与关系数据库理论
01 传统的集合运算（举例）
R和S ➢ 具有相同的目n（即两个关系都有n个属性） ➢ 相应的属性取自同一个域
23
01 传统的集合运算（举例）
24
关系代数及其运算
关系的数学定义 关系代数概述 传统的集合运算 专门的关系运算
01
PART ONE
01 专门的关系运算
专门的关系运算包括选择、投影、连接、除等。 为了叙述上的方便，先引入几个记号： (1)设关系模式为R(A1，A2，…，An)，它的一个关系设为R， t∈R 表示t是R的一个元组，t[Ai]表示元组t中相应于属性Ai 上的一个分量。 (2)若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1， A2，…，An中的一部分，则A称为字段名或域列。 t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组 t 在字段名 A 上诸 分量的集合。 Aഥ 表示{A1，A2，…，An)中去掉{Ai1，Ai2，…， Aik}后剩余的属性组。
10
01 关系的数学定义
➢ 基数（Cardinal number） • 若Di（i＝1，2，…，n）为有限集，其基数为 mi（i＝1，2，…，n} • 则D1×D2×…×Dn的基数M为：
➢ 笛卡尔积的表示方法 • 笛卡尔积可表示为一个二维表。 • 表中的每行对应一个元组，表中的每列对应一 个域。
11
例1：查询学生的学号和姓名。 ➢πSno，Sname(Student)或π1，2(Student) ➢ 查询结果：
37
01 专门的关系运算
连接（Join） ➢ 连接也称为θ连接 ➢ 连接运算的含义： • 从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条 件的元组 • A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组 • θ：比较运算符 ➢ 从R和S的笛卡尔积R×S中选取R关系在A属性组上的值 与S关系在B属性组上的值满足比较关系θ的元组。
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数据库关系代数表达式学习
关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础
一、关系代数的9种操作：
关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。
五个基本操作：
并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)
四个组合操作：
交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(÷)
注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列) 注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列
二、关系代数表达式：
由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。
这种表达式的运算结果仍然是一个关系。
可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。
三、举例说明：
设教学数据库中有3个关系：
学生关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX)
学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)
课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)
(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩
------------------------------------
SELECT SNO,GRADE
FROM SC
WHERE CNO='C2'
------------------------------------
π SNO, GRADE (σ CNO='C2' (SC))
************************************
(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名
------------------------------------
SELECT SC.SNO,S.SNAME
FROM SC,S
WHERE SC.SNO=S.SNO
AND O='C2'
------------------------------------
π SNO,SNAME (σ CNO='C2' (S SC))
此查询涉及S和SC，先进行自然连接，然后再执行选择投影操作。
----
π SNO,SNAME （S）（π SNO (σ CNO='C2' (SC))）
自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。
此表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间、省空间。
************************************
(3) 检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名
------------------------------------
SELECT SC.SNO,S.SNAME
FROM SC,S,C
WHERE SC.SNO=S.SNO
AND O=O
AND AME='MATHS'
------------------------------------
π SNO, SANME (σ CNAME='MATHS' (S SC C))
************************************
(4) 检索选修课程号为C2或C4的学生学号
------------------------------------
SELECT SNO
FROM SC
WHERE CNO='C2'
OR CNO='C4'
------------------------------------
π SNO (σ CNO='C2'∨CNO='C4' (SC))
************************************
(5) 检索至少选修课程号为C2或C4的学生学号
------------------------------------
SELECT SA.SNO
FROM SC AS SA,SC AS SB
WHERE SA.SNO=SB.SNO
AND O='C2'
AND O='C4'
------------------------------------
π 1 (σ 1=4∧2='C2'∧5='C4' （SC×SC）)
************************************
(6) 检索不学C2课的学生姓名与年龄
------------------------------------
SELECT SNAME,AGE
FROM S
MINUS
SELECT S.SNAME,S.AGE
FROM SC,S
WHERE SC.SNO=S.SNO
AND O='C2'
(Oracle)
------------------------------------
π SNAME, AGE （S）－π SNAME, AGE (σ CNO='C2' （S SC）)
************************************
(7) 检索学习全部课程的学生姓名
------------------------------------
这个定义用SQL表示比较麻烦，略过
------------------------------------
π SNO, CNO (SC)÷π CNO (C)
先用除法取出选取所有课程的SNO集(除法可以理解为一个Filter) π SNAME (S(π SNO,CNO (SC)÷π CNO (C)))
再关联S表取出SNAME
************************************
(8) 检索所学课程包含S3所学课程的学生学号
------------------------------------
这个定义用SQL表示比较麻烦，略过
------------------------------------
π SNO,CNO (SC)÷π CNO (σ SNO='S3' (SC)）
同样运用了除法的特性
************************************
(9) 将新课程元组( 'C10','PHYSICS','YU') 插入到关系C中
------------------------------------
INSERT INTO C VALUES('C10','PHYSICS','YU')
------------------------------------
(C∪ ('C10','PHYSICS','YU'))
记住该符号的用法
************************************
(10) 将学号S4选修课程号为C4的成绩改为85分
------------------------------------
UPDATE SC SET GRADE=85
WHERE SNO='S4'
AND CNO='C4'
------------------------------------
（SC－（'S4','C4',? )∪ ('S4','C4',85)）
先用'－ '实现DELETE功能，再用'∪'实现INSERT功能
注意使用?来表示检索时忽略该字段值
************************************
四、关系代数表达式的优化：
目的：为了系统在执行时既省时间又能提高效率。
基本策略：先做选择，运用投影去除多余属性等等。
优化算法：语法树( 尽量提前做选择操作；在每个操作后，应做个投影操作，去掉不用的属性值) 例如：
π SNO ,SNAME (σ GRADE>60 (S SC)) 进行优化后转换为：
π SNO ,SNAME (π SNO ,SNAME (S) π SNO (σ GRADE>60 (SC)))
--即提前做选择操作；在每个操作后，应做个投影操作，去掉不用的属性值
又如：
S(S#,SNAME,AGE,SEX)
SC(S#,C#,GRADE)
C(C#,CNAME,TEACHER)
π CNAME,TEACHER (σ SEX='女' (S SC C)) 进行优化后转换为：
π CNAME, TEACHER (C π C# (π S#,C# (SC) π S# (σ SEX='女' (S))))
优化前和优化后的语法树如下所示：
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