动点到两定点的距离最值上课讲义

动点问题中的最值、最短路径问题解析版

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中.其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.一、基础知识点综述1. 两点之间，线段最短；2. 垂线段最短；3. 若A 、B 是平面直角坐标系两定点，P 是某直线上一动点，当P 、A 、B 在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB 的长（如下图所示）；（1）单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P 是x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值的作图.（2）双动点模型P是∠AOB一点，M、N分别是边OA、OB上动点，求作△PMN周长最小值.作图方法：作已知点P关于动点所在直线OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’与动点所在直线的交点M、N即为所求.OBPP'P''MN5. 二次函数的最大（小）值()2y a x h k=-+，当a>0时，y有最小值k；当a<0时，y有最大值k.二、主要思想方法利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析）三、精品例题解析例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为例2.（2019·凉山州）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C、F分别是直线x=－5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取最小值时，tan∠BAD=（）x y A B C F D EO x=-5A .817B . 717C . 49D . 59例3.（2019·）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB =24,BC =5,给出结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②△OAB 的面积的最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为)2626125,262625(，其中正确的结论是（填写序号）.例4.（2019·XX ）已知抛物线2y x bx c =-+（b 、c 为常数，b >0）经过点A (－1,0)，点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点，若点Q （1,2Q b y +22AM QM +332时，求b 的值.例5. （2019·）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，12AC cm ．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为cm ；连接BD ，则△ABD 的面积最大值为2cm ．例6. （2019·）如图，在菱形ABCD 中，连接BD 、AC 交于点O ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，以O 为圆心，OH 为半径的半圆交AC 于点M .（1）求证：DC 是圆O 的切线；（2）若AC =4MC ，且AC =8，求图中阴影部分面积；（3）在（2）的前提下，P 是线段BD 上的一动点，当PD 为何值时，PH +PM 的值最小，并求出最小值. ABC DH O M N专题01 动点问题中的最值、最短路径问题（解析）例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为【答案】4.【解析】解：∵PQ⊥EP，∴∠EPQ=90°，即∠EPB+∠QPC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∠EPB+∠BEP=90°，∴∠BEP=∠QPC，∴△BEP∽△CPQ，∴BE BP CP CQ=，∵AB=12，AE=3，∴BE=9，设CQ=y，BP=x，CP=12－x，（0<x<12）∴912xx y=-，即()()21216499x xy x-==--+，∴当x=6时，y有最大值为4，即CQ的最大值为4.【点睛】此题为“一线三直角模型”，解题方法为相似三角形性质求解，综合利用二次函数的性质求解最值问题.例2.（2019·）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C、F分别是直线x=－5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取最小值时，tan∠BAD=（）A . 817B . 717C . 49D . 59【答案】B .【解析】解：S △ABE =142BE OA BE ⨯⨯=,当BE 取最小值时，△ABE 面积为最小值.设x =－5与x 轴交于点G ，连接DG ，因为D 为CF 中点，△CFG 为直角三角形，所以DG =152CD =,∴D 点的运动轨迹为以G 为圆心，以5半径的圆上，如图所示 xyABD E O x=-5G由图可知：当AD 与圆G 相切时，BE 的长度最小，如下图，xyABD E O x=-5G H过点E 作EH ⊥AB 于H ，∵OG =5，OA =8，DG =5，在Rt △ADG 中，由勾股定理得：AD =12，△AOE ∽△ADG ， ∴AO AD OE DG =, 求得：OE =103，由OB =OA=8，得：BE =143，∠B =45°，AB =82 ∴EH =BH =27223BE =,AH =AB -BH =1723， ∴tan ∠BAD =727317172EH AH ==, 故答案为B .【点睛】此题解题的关键是找到△ABE 面积最小时即是AD 与D 的远动轨迹圆相切的时刻. 进而构造以∠BAD 为角的直角三角形，利用勾股定理求出边长，代入三角函数定义求解.例3.（2019·）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB =24,BC =5,给出结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②△OAB 的面积的最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为)2626125,262625(，其中正确的结论是（填写序号）.【答案】②③.【解析】解：根据题意可知：OE =12AB =12,即E 的轨迹为以O 为圆心以12为半径的四分之一圆（第一象限的部分），根据弧长公式，得点E 的路径长为：9012180π⨯⨯=6π，故①错误；因为AB =24,当斜边AB 上的高取最大值时，△OAB 的面积取最大值，点O 在以AB 为直径的圆上（圆心为E ），当OE ⊥AB 时，斜边AB 上的高最大，所以△OAB 的面积取最大值为：124122⨯⨯=144，故②正确；连接OE 、DE ，得：OD ≤OE +DE ，当O 、E 、D 三点共线时取等号，即OD 的最大值为25，如图，过点D 作DF ⊥y 轴于F ，过点E 作EG ⊥y 轴于G ,25DF OD 即：1225EG DF =，512AF AD EG AE ==, 即：51125AF EG DF ==,设DF =x ，在Rt △ADF 中，由勾股定理得：221255x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：x =26，在Rt △ODF 中，由勾股定理得：OF =26，即点D 的坐标为)2626125,262625(，故③正确.综上所述，答案为：②③. 例4.（2019·XX ）已知抛物线2y x bx c =-+（b 、c 为常数，b >0）经过点A (－1,0)，点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点.若点Q （1,2Q b y +）在抛物线上，当22AM QM +的最小值为3324时，求b 的值. 【答案】见解析. 【解析】解：∵2y x bx c =-+经过点A (－1,0)，∴1+b +c =0，即21y x bx b =--- ∵点Q （1,2Q b y +）在抛物线2y x bx c =-+上， ∴324Q b y =--，即13,224b Q b ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭， ∵b >0，∴Q 点在第四象限，2222AM QM AM QM ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以只要构造出22AM QM ⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可得到22AM QM +的最小值取N （1,0），连接AN ，过M 作MG ⊥AN 于G ，连接QM ，如图所示，△AGM 为等腰直角三角形，GM =22AM ，即当G 、M 、Q 三点共线时，GM +MQ 22QM +取最小值，此时△MQH 为等腰直角三角形，∴QM=2QH=3224b⎛⎫+⎪⎝⎭，GM=22AM=()212m+∴()223332222=21222244bAM QM AM QM m⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=++++=⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦①∵QH=MH，∴324b+=12b m+-，解得：m=124b-②联立①②得：m=74，b=4.即当22AM QM+的最小值为3324时，b=4.【点睛】此题需要利用等腰直角三角形将22AM QM+转化为222AM QM⎛⎫+⎪⎝⎭，进而根据两点之间线段最短及等腰三角形性质求解.例5. （2019·）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，12AC cm=．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为2cm．【答案】24-1223623126；【解析】解：如图1所示，当E运动至E’，F滑动到F’时，DD'E'G图1过D ’作D ’G ⊥AC 于G ，D ’H ⊥BC 交BC 延长线于点H ，可得∠E ’D ’G =∠F ’D ’H ，D ’E ’=D ’F ’，∴Rt △E ’D ’G ≌Rt △F ’D ’H ，∴D ’G =G ’H ,∴D ’在∠ACH 的角平分线上，即C ，D ，D ’三点共线.通过分析可知，当D ’E ’⊥AC 时，DD ’的长度最大，随后返回初始D 点，如图2所示，D 点的运动路径为D →D ’→D ，行走路线长度为2DD ’；BD'图2∵∠BAC =30°，AC =12，DE =CD∴BC =CD =DE=由图知：四边形E ’CF ’D ’为正方形，CD ’=EF =12，∴DD ’=CD ’-CD =12-D 点运动路程为2DD ’=24-D'图3如图3所示，当点D 运动至D ’时，△ABD ’的面积最大，最大面积为：'''''''ABC AE D BD F E CF D S S S S ++-△△△正方形=(((211112222⨯+⨯--⨯+⨯=【点睛】准确利用全等、角平分线判定得到D 点的运动轨迹是关键，利用三角函数及勾股定理求解，计算较为繁琐，尤其是利用割补法求解三角形的面积时对学生计算能力要求较高，此题难度较大，新颖不失难度.例6. （2019·）如图，在菱形ABCD 中，连接BD 、AC 交于点O ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，以O 为圆心，OH 为半径的半圆交AC 于点M .（1）求证：DC 是圆O 的切线；（2）若AC =4MC ，且AC =8，求图中阴影部分面积；（3）在（2）的前提下，P 是线段BD 上的一动点，当PD 为何值时，PH +PM 的值最小，并求出最小值.BD【答案】见解析.【解析】（1）证明：过点O 作ON ⊥CD 于N ， AC 是菱形ABCD 的对角线，∴AC 平分∠BCD ，∵OH ⊥BC ，ON ⊥CD ，∴OH =ON ，又OH 为圆O 的半径，∴ON 为圆O 的半径，即CD 是圆O 的切线.（2）由题意知：OC =2MC =4，MC =OM =2，即OH =2，在Rt △OHC 中，OC =2OH ，可得：∠OCH =30°，∠COH =60°，由勾股定理得：CH==23OCH OMHS S S π-=-△阴影扇形（3）作点M 关于直线BD 的对称点M ’，连接M ’H 交BD 于点P ，可知：PM =PM ’即PH +PM =PH +PM ’=HM ’，由两点之间线段最短，知此时PH +PM 最小， ∵OM ’=OM =OH ，∠MOH =60°，∴∠MM ’H =30°=∠HCM ，∴HM ’=HC=即PH +PM的最小值为在Rt △M ’PO 及Rt △COD 中，OP =OM ’ tan 30°=3，OD =OCtan 30°=3，即PD =OP +OD=B D。

圆周一动点到两定点的最短距离

圆周一动点到两定点的最短距离圆周一动点到两定点的最短距离是一个经典的几何问题，涉及到圆的性质与直线的关系。

在本文中，我们将从不同的角度探讨这个问题，展示出它的深度和魅力。

首先，我们来了解一下这个问题的背景。

假设有一个圆，圆心为O，半径为r；另外有两个定点A和B，我们需要找到一个动点P，使得P到A和B的距离之和最小。

为了解决这个问题，我们可以运用几何分析的方法。

首先，我们将P点与A、B两点分别连线，得到线段PA和PB。

我们可以观察到，P 到A和B的距离之和等于线段PA和线段PB的长度之和。

接下来，我们观察到一个重要的性质：当线段PA和线段PB的长度相等时，P到A和B的距离之和达到最小值。

这是因为，当PA和PB 的长度相等时，P点正好位于线段AB的中垂线上，此时P到A和B 的距离之和等于2倍的线段PA（或PB）的长度。

根据这个性质，我们可以得出结论：圆周上与线段AB的中垂线相交的点P，即为P到A和B的距离之和最小的点。

这个点P的位置并不唯一，因为圆周上有无数个与线段AB的中垂线相交的点，它们的P到A和B的距离之和都是最小的。

这个结论可以通过几何推导得到，但也可以用数学方法进行证明。

我们可以设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，定点A的坐标为(x₁,y₁)，定点B的坐标为(x₂,y₂)。

根据求解最短距离的条件，可以列出以下方程组：√((x-x₁)²+(y-y₁)²)+√((x-x₂)²+(y-y₂)²)=k其中，k为常数。

通过求解这个方程组，我们可以得到圆周与线段AB的中垂线相交的点P的坐标。

除了几何和数学的方法，还有其他方法可以求解这个问题。

例如，我们可以利用优化算法来找到P到A和B的距离之和最小的点。

通过将问题转化为一个优化问题，我们可以建立一个目标函数，使得这个函数的取值在P点附近达到最小值。

通过迭代求解，我们可以找到使得目标函数取值最小的P点。

动点到两定点的距离最值

一动点到两定点得距离最值熊明军在学习三角形时，我们知道了三角形得三边之间有一个不等关系：“三角形得两边之与大于第三边”；“三角形得两边之差小于第三边”。

借助这个三角不等式，再结合典型例题，我们可以得到一个动点到两个定点距离最值问题得研究方法与相关结论。

一、典型例题得回顾E、两个村庄，如【例题】已知有一段河岸AB相互平行得一条河，在河岸得一侧有F下图。

现在政府为了让两个村庄用上自来水，决定出资在河岸边建一个自来水厂，并在村庄与水厂之间铺设输水管道输水，为了降低成本，就必须使铺设得管道总长度最短，那么自来水厂应该建在河岸得什么位置，用尺规作图在图中标出。

E、就是两个固定得点，此题得意思【解析】假设靠近村庄得河岸为线段AB，村庄F就就是问：在线段AB上有一个动点P，求P在线段AB上移动到什么位置才能使PE+最短。

PF结论：①直线上一动点P到两个定点距离之与最小问题，要根据点对称将两个定点转化到直线得两侧；②直线上一动点P到两个定点距离之差最大问题，要根据点对称将两个定点转化到直线得同侧。

二、研究问题得理论A、得距离之与有最小值，当且仅当P在线段法则一：平面上一动点P到两个定点BAB之间时取最小值。

A、得距离之差有最大值，当且仅当P在线段法则二：平面上一动点P到两个定点BAB得延长线上时取最大值。

*注意①：一动点P到两定点BA、距离最值得取得都就是使动点与定点转化到一条直线上；如若不在一条直线上，就必须借助题中得条件与相关结论转化之。

*注意②：平面上一动点P到两个定点BA、得距离之与有最小值；距离之差有最大值。

A、得距离之与有最大值；距离之差有最小值，就必须使之如若出现动点P到两个定点B转化为法则中得情况，即：距离之与⇔最小值；距离之差⇔最大值。

【证明】（法则一）已知平面上两个动点B A 、，P 就是平面上任意一个动点，如下图：①当动点P 与定点B A 、不共线时，根据三角形三边关系“两边之与大于第三边”可知AB PB PA >+； ②当动点P 与定点B A 、共线，且在线段AB 得延长线上时，显然有AB PB PA >+； ③当动点P 与定点B A 、共线，且在线段AB 之间时，显然有AB PB PA =+；综上所述，AB PB PA ≥+，当且仅当动点P 在线段AB 之间时取最小值AB 。

第十一周第一课时关于定直线上的动点到两定点间距离和(差)的极值问题一历城三中尹健

关于定直线上的动点到两定点间距离和（差）的极值问题专题学习目标：1、领会和最小与差的绝对值最大问题的内涵，能正确求解二次函数综合问题中的相关问题；2、能够正确的分析问题、转化问题，合理利用条件解决问题。

学情分析：关于在一条直线上的动点到两定点间距离的和（或差）的极值问题，学生的得分率不高，大约为50﹪左右。

本着数学归类、归纳的理念，在这里把同一类问题作一整理、归纳、延展。

重点：能够正确的分析和最小与差的绝对值最大问题、转化问题难点：理解和最小与差的绝对值最大问题的内涵一、问题引入：问题1：大家记得这样一个常识吗？“牵牛从点A 出发，到河边l 喝水，再到点B 处吃草，走哪条路径最短？”即在l 上找一点P ，使得PA+PB 和最小。

（1）A ，B 两点在直线异侧时（2）A ，B 两点在直线同侧时方法是：小结1：在直线l 上找一点P 使PA+PB 和最小，常把两点转化到直线的，即作B 点关于（也可以作Ａ点关于l 的对称点Ａ′），连接ＡＢ′交l 于点Ｐ，即为所要找的Ｐ点。

（３）变式讨论：在l 上找一P 点，使得△PAB 周长最小问题2：在l 上找一点P ，使得∣PA －P B ∣最大（1）A ，B 两点在直线同侧时l A · B · l A · B · l A · B ·l B · A ·（2）A ，B 两点在直线异侧时小结2：在直线l 上找一点P 使∣PA －P B ∣最大，常把两点转化到直线的，即作A 点关于（也可以作B 点关于l 的对称点B ′），连接A ′B 交l 于点Ｐ，即为所要找的Ｐ点。

基础知识梳理：分清题目类型，若是和最小，则把两点转化到直线的异侧；若是差的绝对值最大，则把两点转化到直线的同侧；可以简记为“ ”。

二、例题讲解和的最小值问题例1、在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（－4，－1）和（－2，－5）；点P 是y 轴上的一个动点，求点P 在何处时，PA ＋PB 的和为最小？并求最小值。

动点最值问题归纳及解法

将军饮马模型
在直线两侧找一点，使得到两定点的距离之和最短
作对称点，连接对称点与另一定点，与直线的交点即为所求
构造平行四边形
利用平移构造平行四边形，求最小或最大值
过一点作平行线，构造平行四边形，利用平行四边形的性质求解
相似三角形
利用相似三角形求解最值问题
根据题目条件，构造相似三角形，利用相似比求解
三角函数
利用三角函数求解最值问题
根据题目条件，构造直角三角形，利用三角函数求解
定圆到定圆
圆圆之间连心线截距最短（长）
连接两圆心，求两圆的位置关系（相交、相切、相离），再计算截距
动点路径待确定
动点路径不明确，需先确定路径
根据题目条件，利用几何性质或代数方法确定动点路径
动线（定点）位置需变换
动线或定点位置需通过变换求解
利用翻折、平移、相似、三角等变换方法，将问题转化为基本图形求解
最值问题归纳及解法
问题类型
归纳描述
解法
定点到定点
两点之间线段最短
直接连接两点求线段长度
定点到定线
点线之间垂线段最短
过点作线的垂线，求垂线段长度
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定点到定圆
点圆之间点心线截距最短（长）
连接圆心与点，利用勾股定理或相似三角形求解
定线到定圆
线圆之间心垂线截距最短
过圆心作线的垂线，求垂线段与圆的交点，再计算截距

中考数学例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题

“将军饮马”老歌新唱——例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题王柏校古希腊有位将军要从A地出发到河边去饮马，然后再到B地军营视察，问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？图1A地B地这是著名的“将军饮马”问题，在河边饮马的地点有很多处，怎样找出使两条线段之和最短的那个点来，我们只要设L为河（如图1），作AO⊥L交L于O点，延长AO至A'，使A'O=AO；连结A'B，交L于C，则C点就是所要求的饮马地点。

再连结AC，则路程（AC+CB）为最短的路程。

为什么饮马地点选在C点能使路程最短？因为A＇是A点关于L的对称点，AC与A'C 是相等的。

而A'B是一条线段，所以A'B是连结A＇、B这两点间的所有线中，最短的一条，所以AC+CB=A'C+CB=A'B也是最短的一条路了。

这就是运用轴对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。

这一流传近2000年的名题至今还被命题者所喜爱，近年来许多省市中考中出现了以此故事为背景的试题，它们所考查的深度和广度也在不断演变、拓展，而且又常与其他的数学知识相联系，数形结合，突出了数学的思维价值和应用能力，能够有效地体现学生的数学学习能力，现从2009年中考试题中撷取与此相关的试题来分类说明，供广大读者参考。

一、演变成与正方形有关的试题例1（2009年抚顺）如图2所示，正方形ABCD的面积为12，ABE△是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD PE+的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．3 D分析与解：正方形ABCD是轴对称图形，对角线AC所在直线是它的一条对称轴，相对的两个顶点B、D关于对角线AC对称,在这个问题中D和E是定点，P是动点。

我们可以找到一个定点D的轴对称点B，连结BE，与对角线AC交点处P就是使距离和最小的点（如图3），而使PD+PE的和的最小值恰好等于BE,因为正方形ABCD的面积为12，所以它的边长为23，即PD+PE的最小值为23。

中考数学几何动点运动轨迹及最值专题讲义

2020春中考数学几何动点运动轨迹及最值专题讲义一、动点运动轨迹——直线型（动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”）Ⅰ．当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的轨迹是直线；1．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），点M的坐标为39(1,)44m m−−−(其中m为实数)，当PM 的长最小时，m的值为__________．2．如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(3，2)，C(m，－4m＋20)，若OC恰好平分四边形．．．OACB．．．．的面积，求点C的坐标．Ⅱ．当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；3．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为_________.【变式1】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交边BC或CD于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为___________.ABDCEFPMABDCEFPMyxBAO【变式2】如图，在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB ＝2，AP ＝1，E 是AB 上的一个动点，连接PE ，过点P 作PE 的垂线，交BC 于点F ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点E 从点B 运动到点A 时，点G 移动的路径的长是_________.【变式3】在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，P 是AD 边的中点，点E 在AB 边上，EP 的延长线交射线CD于F 点，过点P 作PQ ⊥EF ，与射线BC 相交于点Q ．（1）如图1，当点Q 在点C 时，试求AE 的长；（2）如图2，点G 为FQ 的中点，连结PG ． ①当AE ＝1时，求PG 的长；②当点E 从点A 运动到点B 时，试直接写出线段PG 扫过的面积．变式3图14．如图，C 、D 是线段AB 上两点，且AC ＝BD ＝16AB ＝1，点P 是线段CD 上一个动点，在AB 同侧分别作等边△P AE 和等边△PBF ，M 为线段EF 的中点。

动点到两定点的距离最值

浅析动点到两个定点的距离之和（差）的最值一、直线上的动点到直线外两个定点的距离之和（差）的最值．例1（1）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；（2）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（1）如图1，当点P在x轴上运动时，PA+PB AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)(PA+PB)min =AB=此时，点P的坐标为（2）如图2，当点P在x轴上运动时，PB- PA AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)(PB-PA)max =AB=此时，点P的坐标为变题：（1）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；解析：（1）如图3，作点B关于x轴的对称点Bˊ（3，-2），则有PB=PBˊ当点P在x轴上运动时，PA+PB=PA+PBˊ=ABˊ(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)(PA+PB)min =AB=此时，点P的坐标为（2）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（2）如图4，作点B关于x轴的对称点Bˊ，则有PB=PBˊ当点P在x轴上运动时，PB- PA= PBˊ-PA ﹦ABˊ(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)(PB-PA)max =ABˊ=此时，点P的坐标为归纳：①当两定点位于直线的异侧时可求得动点到两定点的距离之和的最小值；②当两定点位于直线的同侧时可求得动点到两定点的距离之和的绝对值的最大值．若不满足①②时，可利用对称性将两定点变换到直线的同（异）侧，再进行求解．如变题的方法．例2函数的值域为．解析：将函数进行化简得：即为动点P（x，0）到两定点A(1，1)、B（3，-2）的距离之和．由例1可知：该值域为二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和（差）的最值．（一）直接求解或利用椭圆（或双曲线）的定义进行适当转化后求解．例3（1）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA-MB的范围是；解析：(1)如图5，在MAB中有MA-MB<AB，当M，A，B三点共线且MB>MA即点M位于M2处时，有MA-MB=AB，所以MA-MB AB；同理在MAB中有MB-MA AB，即MB-MA-AB(当点M位于M1处时等号成立)综上所述：-AB≦MA-MB≦AB。

(完整版)中考数学例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题

“将军饮马”老歌新唱——例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题王柏校古希腊有位将军要从A地出发到河边去饮马，然后再到B地军营视察，问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？图1A地B地这是著名的“将军饮马”问题，在河边饮马的地点有很多处，怎样找出使两条线段之和最短的那个点来，我们只要设L为河（如图1），作AO⊥L交L于O点，延长AO至A'，使A'O=AO；连结A'B，交L于C，则C点就是所要求的饮马地点。

再连结AC，则路程（AC+CB）为最短的路程。

为什么饮马地点选在C点能使路程最短？因为A＇是A点关于L的对称点，AC与A'C 是相等的。

而A'B是一条线段，所以A'B是连结A＇、B这两点间的所有线中，最短的一条，所以AC+CB=A'C+CB=A'B也是最短的一条路了。

这就是运用轴对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。

这一流传近2000年的名题至今还被命题者所喜爱，近年来许多省市中考中出现了以此故事为背景的试题，它们所考查的深度和广度也在不断演变、拓展，而且又常与其他的数学知识相联系，数形结合，突出了数学的思维价值和应用能力，能够有效地体现学生的数学学习能力，现从2009年中考试题中撷取与此相关的试题来分类说明，供广大读者参考。

一、演变成与正方形有关的试题例1（2009年抚顺）如图2所示，正方形ABCD的面积为12，ABE△是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD PE+的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．3 D分析与解：正方形ABCD 是轴对称图形，对角线AC 所在直线是它的一条对称轴，相对的两个顶点B 、D 关于对角线AC 对称,在这个问题中D 和E 是定点，P 是动点。

我们可以找到一个定点D 的轴对称点B ，连结BE ，与对角线AC 交点处P 就是使距离和最小的点（如图3），而使PD+PE 的和的最小值恰好等于BE ,因为正方形ABCD 的面积为12，所以它的边长为23，即PD +PE 的最小值为23。

直线上一动点到两固定点之间距离的最值精编版

……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………直线上一动点到两固定点之间距离的最值【题型】P点为直线L上一动点，A点、B点不在直线上，且固定。

当P点移动到什么位置时，P点到A点的距离与P点到B点的距离之差的绝对值最大。

【引申】当P点移动到什么位置时，P点到A点的距离与P点到B 点的距离之和最小。

【思路】下面3条原理是解决此类问题的基础：1、所有此类问题都应纳入“三角形”中求解；（定理1）2、运用“在同一平面之中，两点之间，线段最短。

”（定理2）3、运用“在同一平面中，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

”（定理3）【几种不同情况的详细解答及相应证明】1、求直线上动点到直线外两固定点距离之差的绝对值的最大值（1）当两固定点在直线同侧时，如图1BALMP' ' P MP” 1图点，形成△点与A点，点与BP'假设直线上任意一点P'点，连接P' ；''A-PB|<ABBAP'，根据“定理3”，得知|P“定，根据形成△两点，P”BAAP当P'点移动到”点时，分别连接、B B|<AB；”””，得知|PA –P3理的交点时，连线的延长线与直线BAL点，即只有移动到P 。

|PA-PB|=AB1……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………结论：当直线上一动点，与直线一侧的两固定点之间距离之差的绝对值最大时，P点位于两点连线的延长线与直线的交点处。

计算：P点的位置（或坐标）以及最大值。

如图1，过A点做直线垂直与直线L，垂足为M，过B点做直线垂直于直线L，垂足为M'这样，AM∥BM'因此，在直角△PBM'中，AM/BM'=PM/PM'所以，PM'=PM+MM'最终得出：PM=（AM×MM'）÷|BM'-AM|，以此确定P点的位置（或坐标）。

动点到两定点的距离最值之欧阳家百创编

浅析动点到两个定点的距离之和（差）的最值欧阳家百（2021.03.07）一、直线上的动点到直线外两个定点的距离之和（差）的最值．例1（1）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；（2）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PBPA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（1）如图1，当点P在x轴上运动时，PA+PB AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)(PA+PB)min =AB=此时，点P的坐标为（2）如图2，当点P在x轴上运动时，PB PA AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)(PBPA)max =AB=此时，点P的坐标为变题：（1）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；解析：（1）如图3，作点B关于x轴的对称点Bˊ（3，2），则有PB=PBˊ当点P在x轴上运动时，PA+PB=PA+PBˊ=ABˊ(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)(PA+PB)min =AB=此时，点P的坐标为（2）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PBPA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（2）如图4，作点B关于x轴的对称点Bˊ，则有PB=PBˊ当点P在x轴上运动时，PB PA= PBˊPA﹦ABˊ(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)(PBPA)max =ABˊ=此时，点P的坐标为归纳：①当两定点位于直线的异侧时可求得动点到两定点的距离之和的最小值；②当两定点位于直线的同侧时可求得动点到两定点的距离之和的绝对值的最大值．若不满足①②时，可利用对称性将两定点变换到直线的同（异）侧，再进行求解．如变题的方法．例2函数的值域为．解析：将函数进行化简得：即为动点P（x，0）到两定点A(1，1)、B（3，2）的距离之和．由例1可知：该值域为二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和（差）的最值．（一）直接求解或利用椭圆（或双曲线）的定义进行适当转化后求解．例3（1）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MAMB的范围是；解析：(1)如图5，在MAB中有MAMB<AB，当M，A，B 三点共线且MB>MA即点M位于M2处时，有MAMB=AB，所以MAMB AB；同理在MAB中有MBMA AB，即MBMA AB(当点M位于M1处时等号成立)综上所述：AB≦MAMB≦AB（2）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA+MB的最大值是．解析：(2) 如图6，因为点A恰为椭圆的右焦点，所以由椭圆的定义可得MA+MB=10MF+MB（F为椭圆的左焦点），同（1）可得MBMF﹦BF(当且仅当点M位于点M4处时，等号成立)所以(MA+MB)max =(10MF+MB)max=10+BF=10+点评：因为点A，B都在椭圆的内部（即两定点都在曲线的同侧），故可直接求出动点M到两定点A，B的距离之差的最值；若要求动点M到两定点A，B的距离之和的最值（其中A恰为焦点），需要利用椭圆的定义转化为动点M到两定点F，B的距离之差的最值（点F为另一焦点）．例4(1)已知F是双曲线的左焦点，A(4，1)，P是双曲线右支上的动点，则PA+PF的最小值为；解析：(1)如图7，在PAB中有PA+PF>AB，当P，A，F三点共线即点P位于P1处时，有PA+PF=AF，所以(PA+PF)min=AF=．(2)已知F是双曲线的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则PA+PF的最小值为．解析：(2)如图8，设F2是双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得PA+PF=PA+2a+PF2=8+ PA+PF2=8+AF2(当P，A，F2三点共线即点P位于P2处时等号成立)，所以(PA+PF)min=8+AF2=13．点评：本题需要特别关注点与双曲线的位置关系，两定点一定要在动点的轨迹（曲线）的异侧．（二）利用圆锥曲线的统一定义将圆锥曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离进行互化后进行求解．例5（1）已知点A(2，2)，F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，则，即，??（）已知点A??，??，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上的动点，则PF PA的最小值是，此时点的坐标为．解析：如图，设点P到右准线的距离为PP，由圆锥曲线的统一定义可知，即当且仅当A，P，Pˊ三点共线，即点P位于点P 处时取等号??此时点P的坐标为P(，2)点评：此类最显著的特征是动点与焦点距离前有系数，可以利用圆锥曲线的统一定义将动点到焦点的距离转化为到相应准线的距离．例6（1）抛物线的焦点为F，A(4，2)为一定点，在抛物线上找一点M，当MA+MF为最小值时，点M的坐标为；解析：如图11，为抛物线的准线，MMˊ为点M到准线的距离．利用抛物线的定义：MF=MMˊ，可得MA+MF= MA+MMˊ﹦AMˊ（当且仅当A，M，Mˊ三点共线时等号成立，即当点M在Mˊ处时等号成立）此时点M的坐标为M(，2)（2）P为抛物线上任一点，A(3，4)为一定点，过P作PPˊ垂直y轴于点Pˊ，则AP+ PPˊ的最小值为．解析：如图12，延长PPˊ交抛物线的准线于点P´´，由抛物线的定义：PP´=PF，所以AP+ PP´= AP+ PP´´1= AP+PF1AF1(当且仅当A，P，F三点共线时等号成立，即当点P 位于P1处时等号成立)点评：本题需要注意两点：①定点所在位置是抛物线的内部还是外部；②利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化．。

关于平面内动点到两定点距离之和、差的最值问题

关于平面内动点到两定点距离之和、差的最值问题摘要：本文通过几道例题，探求了直线或圆锥曲线上一动点到平面内两定点(或一定点一定线)的距离和、差的最值问题，揭示了这一难点问题的本质及其共同解法。

关键词：动点；距离；最值在高三复习过程中经常碰到有关求某曲线上的一个动点到两定点的距离之和(差)的最值。

许多学生在面对此类问题时常常感到束手无策。

本文就此类最值问题及其常见题型作一初步探索。

一、动点在直线上时：即为动点P(x，0)到两定点A(1，1)、B(3，-2)的距离之和。

可知：该值域为总结反思：一般地，求距离之和的最小值应让两点处于直线的异侧，如在同侧则作其中一点关于直线的对称点，异侧两点的距离即为所求的最小值，两点连线与直线的交点即为取最小值时的动点，其依据是：三角形两边之和大于第三边；求距离之差的最大值应让两点处于直线的同侧，如在异侧则作其中一点关于直线的对称点，同侧两点的距离即为所求的最大值，两点连线的延长线与直线的交点即为取最大值时的动点，其依据是：三角形两边之差小于第三边二、动点在圆锥曲线上时1.动点在抛物线上时2.动点在双曲线上时反思感悟：一般地，动点在圆锥曲线上求这两种距离时，定点给的要相对特殊一些。

求距离之和的最小值仍然应让两点处于圆锥曲线的异侧，如在同侧则利用圆锥曲线的定义转化为异侧，异侧两点的距离即为所求的最小值，两点连线与圆锥曲线的交点即为取最小值时的动点，其依据是：三角形两边之和大于第三边；求距离之差的最大值应让两点处于圆锥曲线的同侧，如在异侧则利用圆锥曲线的定义转化为同侧，同侧两点的距离即为所求的最大值，两点连线的延长线与圆锥曲线的交点即为取最大值时的动点，其依据是：三角形两边之差小于第三边。

由此进一步体会圆锥曲线的定义在解题中的重要应用。

参考文献：[1]王朝银.创新设计[Ｍ].西安:陕西人民出版社,2009.作者单位：陕西省延安中学邮政编码：716000。

七年级数学数轴动点问题讲义

数轴动点问题知识点一（有理数动点问题）【知识梳理】一、动点位置表示⎩⎨⎧⨯+⨯运动时间动点速度点动点向右边运动：起始运动时间动点速度点动点向左边运动：起始- 二、两动点之间的距离表示⎪⎩⎪⎨⎧==两数之差距离若未知大小关系：两点小数大数距离若已知大小关系：两点- 三、与相遇相结合相遇问题：相遇路程=速度之和×相遇时间追及问题：追及路程=速度之差×追及时间四、中点问题2,b a b a +，则两点的中点为为已知数轴上两个点分别五、定值问题求是否式子的结果不发生改变：表示出其中的每一个量，代入式子中，进行化简计算，最终得到常数即为定值【例题精讲】例1．已知数轴上有A 、B 、C 三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

⑴问多少秒后，甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位？⑵若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位时，甲调头返回。

问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。

例2．如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为—20，B点对应的数为100。

⑴求AB中点M对应的数；⑵现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；⑶若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数。

例3．已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。

动点到两定点的距离最值

浅析动点到两个定点得距离之与(差）得最值一、直线上得动点到直线外两个定点得距离之与(差)得最值。

例1(1)已知点A（1，1）,点B(3，—2)，P就是x轴上任意一点，则PA+ＰB得最小值为,此时点Ｐ得坐标为；（2）已知点A（１，1），点B(３，2）,P就是ｘ轴上任意一点，则PB-PA得最大值为，此时点P得坐标为。

解析:（1)如图1,当点Ｐ在x轴上运动时，ＰA＋PB?ＡB（当且仅当A，P，B三点共线时等号成立）∴(PA+ＰB)miｎ =ＡB＝此时，点P得坐标为(2）如图2，当点P在ｘ轴上运动时，PB— PA =AB(当且仅当Ａ,P，B三点共线时等号成立)∴(PB－PA）max =AB=此时，点Ｐ得坐标为变题：(１）已知点A（1，1),点B（３,2)，P就是x轴上任意一点，则PA＋PＢ得最小值为，此时点P得坐标为；解析:(1)如图3，作点B关于ｘ轴得对称点Ｂˊ（3，—2),则有PＢ=PBˊ当点P在ｘ轴上运动时,PA+PB＝ＰA+PＢˊ=ABˊ（当且仅当A，Ｐ,Bˊ三点共线时等号成立）∴(PA＋ＰＢ）ｍin =AB?= 此时，点P得坐标为（2）已知点A（1,1），点B(3,-２），P就是ｘ轴上任意一点,则PB—ＰA得最大值为，此时点P得坐标为.解析：（2）如图4，作点Ｂ关于x轴得对称点Bˊ,则有PB=PBˊ当点P在x轴上运动时，PＢ— PＡ= PＢˊ-PA ﹦ＡBˊ(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)∴（ＰB—PA）mａx =ＡBˊ=此时，点P得坐标为归纳:①当两定点位于直线得异侧时可求得动点到两定点得距离之与得最小值；②当两定点位于直线得同侧时可求得动点到两定点得距离之与得绝对值得最大值．若不满足①②时，可利用对称性将两定点变换到直线得同(异）侧，再进行求解。

如变题得方法．例２函数得值域为.解析:将函数进行化简得：即为动点Ｐ(x,0)到两定点A（1，1）、B（3,—２）得距离之与．由例1可知：该值域为二、圆锥曲线上得动点到两个定点得距离之与（差)得最值．（一)直接求解或利用椭圆(或双曲线)得定义进行适当转化后求解。

关于定直线上的动点到两定点间距离和(差)的极值问题

关于定直线上的动点到两定点间距离和（差）的极值问题09年1月（08学年第一学期）的鄞州区初三数学期末试卷中最后一道题的第2小题：关于在一条直线上的动点到两定点间距离的和（或差）的极值问题，学生的得分率不高，大约为50﹪左右。

本着数学归类、归纳的理念，在这里把同一类问题作一整理、归纳、延展。

一、和的最小值问题例1、在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（－4，－1）和（－2，－5）；点P 是y 轴上的一个动点，求点P 在何处时，PA ＋PB 的和为最小？并求最小值。

解：（1）∵点P 在y 轴上，∴以y 轴为对称轴，作点B 的对称点B 1，连接AB 1与y 轴交于点P ，P 点就是所求的点。

此时，PA ＋PB ＝PA ＋PB 1 ＝AB 1；理由如下：取点P 以外的点P 1，可知，P 1A ＋P 1B ＝P 1A ＋P 1B 1＞AB 1＝ PA ＋PB ，所以P 1A ＋P 1B ＞PA ＋PB ，即P 为符合要求的点。

求点P 的坐标，可用三角形相似或可以通过经过A 、B 1两点的直线解析式与y 轴的交点坐标的方法。

点P 为（0，311）（2）求PA ＋PB （AB 1）的值，可用勾股定理来求。

即PA ＋PB ＝AB 1＝132。

例2、已知菱形ABCD 中，∠DAB ＝600；AB ＝6，M 为AB 的中点，点P 在对角线AC 上，求点P 在何处时，PM ＋PB 的和为最小？并求最小值。

解：（1）由上例可知，AC 为对称轴，点B 的对称点为点D ，连接DM 与AC 的交点为点P ，P 点就是所求的点。

此时，PB ＋PM ＝PD ＋PM ＝DM 。

（2）根据题意得，△ABD 为等边三角形，边长为12，DM为边上的高线。

所以DM＝36，即PB ＋PM ＝36。

例3、在正方形ABCD 中，AB ＝12，点M 在BC 上，且BM ＝5，点P 在对角线BD 上，求点P 在何处时，PM ＋PC 的和为最小？并求最小值。

圆上一动点到两定点的最短距离

圆上一动点到两定点的最短距离1.引言文章1.1 概述部分的内容可以写作如下：引言部分旨在介绍本篇文章的主题和背景，即圆上一动点到两定点的最短距离的问题。

这个问题在几何学中是一个经典问题，其重要性和实际应用广泛存在于不同领域，例如计算机图形学、物理学、机器人学以及地理信息系统等。

本文通过对圆上一动点到两定点的最短距离问题进行研究和分析，旨在探索解决这一问题的不同方法和策略。

通过这个问题的研究，我们可以深入理解几何学的基本概念，了解不同的解决方法，并从中获得一些有益的经验和启示。

本篇文章主要分为引言、正文和结论三个部分，每个部分都有其具体的内容和目标。

其中，正文部分将详细介绍圆上一动点到两定点的最短距离的定义，并提供了一种解决方法，即利用几何性质求解。

结论部分将对全文进行总结，并对结果进行分析和讨论。

通过本文的阅读，读者将对圆上一动点到两定点的最短距离问题有一个全面的认识，并获得对这个问题解决方法的启发和理解。

同时，本篇文章也将在几何学领域做出一定的贡献，为解决类似问题的研究提供新的思路和方法。

下面将进入正文部分，首先介绍圆上一动点到两定点的最短距离的定义，为后续的解决方法的介绍做好铺垫。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将从以下几个方面进行讨论圆上一动点到两定点的最短距离问题：1.2.1 定义和背景首先，我们将介绍圆上一动点到两定点的最短距离的定义和相关背景知识。

我们将解释什么是“圆上一动点到两定点的最短距离”，以及为什么研究这个问题具有重要意义。

通过理解问题的定义和背景，读者可以更好地理解本文的研究内容。

1.2.2 解决方法的概述在本节中，我们将概述本文将要介绍的解决方法。

我们将简要介绍解决这个问题的一般思路和方法，并提供一个总体的框架。

通过这个概述，读者可以对本文的主要内容有一个清晰的认识，同时也可以预估解决这个问题的复杂度和可能遇到的挑战。

1.2.3 方法一: 利用几何性质求解本节将详细介绍一种解决圆上一动点到两定点的最短距离问题的方法。

动点到两定点的距离最值

浅析动点到两个定点的距离之和（差）的最值一、直线上的动点到直线外两个定点的距离之和（差）的最值．例1（1）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；（2）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（1）如图1，当点P在x轴上运动时，PA+PB?AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)∴(PA+PB)min =AB=此时，点P的坐标为（2）如图2，当点P在x轴上运动时，PB- PA =AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)∴(PB-PA)max =AB=此时，点P的坐标为变题：（1）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；解析：（1）如图3，作点B关于x轴的对称点Bˊ（3，-2），则有PB=PBˊ当点P在x轴上运动时，PA+PB=PA+PBˊ=ABˊ(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)∴(PA+PB)min =AB?=此时，点P的坐标为（2）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（2）如图4，作点B关于x轴的对称点Bˊ，则有PB=PBˊ当点P在x轴上运动时，PB- PA= PBˊ-PA ﹦ABˊ(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)∴(PB-PA)max =ABˊ=此时，点P的坐标为归纳：①当两定点位于直线的异侧时可求得动点到两定点的距离之和的最小值；②当两定点位于直线的同侧时可求得动点到两定点的距离之和的绝对值的最大值．若不满足①②时，可利用对称性将两定点变换到直线的同（异）侧，再进行求解．如变题的方法．例2函数的值域为．解析：将函数进行化简得：即为动点P（x，0）到两定点A(1，1)、B（3，-2）的距离之和．由例1可知：该值域为二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和（差）的最值．（一）直接求解或利用椭圆（或双曲线）的定义进行适当转化后求解．例3（1）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA-MB的范围是；解析：(1)如图5，在∆MAB中有MA-MB<AB，当M，A，B三点共线且MB>MA即点M位于M2处时，有MA-MB=AB，所以MA-MB=AB；同理在∆MAB中有MB-MA=AB，即MB-MA=-AB(当点M位于M1处时等号成立)综上所述：-AB≦MA-MB≦AB（2）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA+MB的最大值是．解析：(2) 如图6，因为点A恰为椭圆的右焦点，所以由椭圆的定义可得MA+MB=10-MF+MB（F为椭圆的左焦点），同（1）可得MB-MF﹦BF(当且仅当点M位于点M4处时，等号成立)所以(MA+MB)max =(10-MF+MB)max=10+BF=10+点评：因为点A，B都在椭圆的内部（即两定点都在曲线的同侧），故可直接求出动点M到两定点A，B的距离之差的最值；若要求动点M到两定点A，B的距离之和的最值（其中A恰为焦点），需要利用椭圆的定义转化为动点M到两定点F，B的距离之差的最值（点F为另一焦点）．例4(1)已知F是双曲线的左焦点，A(4，1)，P是双曲线右支上的动点，则PA+PF的最小值为；解析：(1)如图7，在 PAB中有PA+PF>AB，当P，A，F三点共线即点P位于P1处时，有PA+PF=AF，所以(PA+PF)min=AF=．(2)已知F是双曲线的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则PA+PF 的最小值为．解析：(2)如图8，设F2是双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得PA+PF=PA+2a+PF2=8+ PA+PF2=8+AF2(当P，A，F2三点共线即点P位于P2处时等号成立)，所以(PA+PF)min=8+AF2=13．点评：本题需要特别关注点与双曲线的位置关系，两定点一定要在动点的轨迹（曲线）的异侧．（二）利用圆锥曲线的统一定义将圆锥曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离进行互化后进行求解．例5（1）已知点A(2，2)，F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，则PF+PA的最小值是，此时，点的坐标为；解析：如图9，设点P到右准线的距离为PP ，由圆锥曲线的统一定义可知，即(当且仅当A，P，Pˊ三点共线，即点P位于点P1处时取等号)此时点P的坐标为P(，2).（2）已知点A(5，2)，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上的动点，则PF+PA 的最小值是，此时点的坐标为．解析：如图10，设点P到右准线的距离为PP ，由圆锥曲线的统一定义可知，即(当且仅当A，P，P ˊ三点共线，即点P位于点P1处时取等号)此时点P的坐标为P(，2)点评：此类最显著的特征是动点与焦点距离前有系数，可以利用圆锥曲线的统一定义将动点到焦点的距离转化为到相应准线的距离．例6（1）抛物线的焦点为F，A(4，-2)为一定点，在抛物线上找一点M，当MA+MF为最小值时，点M的坐标为；解析：如图11，为抛物线的准线，MMˊ为点M到准线的距离．利用抛物线的定义：MF=MMˊ，可得MA+MF= MA+MMˊ﹦AMˊ（当且仅当A，M，Mˊ三点共线时等号成立，即当点M在Mˊ处时等号成立）此时点M的坐标为M(，-2)（2）P为抛物线上任一点，A(3，4)为一定点，过P作PPˊ垂直y轴于点P ˊ，则AP+ PPˊ的最小值为．解析：如图12，延长PPˊ交抛物线的准线于点P´´，由抛物线的定义：PP´=PF，所以AP+ PP´= AP+ PP´´-1= AP+PF-1 AF-1(当且仅当A，P，F三点共线时等号成立，即当点P位于P1处时等号成立)点评：本题需要注意两点：①定点所在位置是抛物线的内部还是外部；②利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化．。

圆周上一动点到两定点的最短距离

圆周上一动点到两定点的最短距离在数学和几何学中，圆周上的一动点到两个定点的最短距离是一个重要的概念。

不仅仅具有理论意义，它在实际生活中也有许多应用。

本文将围绕这个概念展开详细阐述，从数学原理到实际应用，探讨圆周上一动点到两定点的最短距离的重要性和应用价值。

从数学的角度来看，圆周上一动点到两个定点的最短距离可以通过几何学中的一些基本原理来解决。

首先，我们可以通过连接动点和两个定点的线段来构成一个三角形。

然后，利用三角形的性质，我们可以使用勾股定理或余弦定理来计算出动点到两个定点的距离。

这样，我们就可以得到一动点到两定点的最短距离。

除了数学原理之外，圆周上一动点到两个定点的最短距离在实际生活中也有许多应用。

其中一个重要的应用是在导航系统中。

现代导航系统使用卫星定位技术来确定用户的位置，然后根据用户的目的地计算最短路径。

在计算最短路径时，导航系统需要考虑到圆周上一动点到两个定点的最短距离。

只有通过计算最短距离，导航系统才能为用户提供准确的导航指引，让用户最快、最方便地到达目的地。

另一个应用是在物流和运输领域。

在物流和运输中，如何合理地安排货物的运输路线是一个重要的问题。

通过计算圆周上一动点到两个定点的最短距离，我们可以确定货物运输的最佳路线。

这样，不仅可以减少运输时间和成本，还可以提高物流效率，为客户提供更好的服务。

此外，在现代城市规划和交通管理中，圆周上一动点到两个定点的最短距离也有重要的应用价值。

城市道路的设计和规划需要考虑到交通状况和交通流量，以确保交通畅通和安全。

通过计算最短距离，城市规划师和交通管理者可以确定最佳的道路布局和交通流动方案，以实现城市交通的高效运行。

此外，在航空和航天领域，圆周上一动点到两个定点的最短距离也有广泛的应用。

在导航和飞行控制系统中，计算最短距离可以帮助飞行员和控制员确定最佳航线和飞行路径，以确保飞行安全和效率。

在航天任务中，计算最短距离可以帮助确定卫星的轨道和飞行路径，以实现卫星的准确定位和目标追踪。

动点到两定点的距离最值

浅析动点到两个定点的距离之和（差）的最值一、直线上的动点到直线外两个定点的距离之和（差）的最值．例1（1）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；（2）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（1）如图1，当点P在x轴上运动时，PA+PB?AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)∴(PA+PB)min =AB=此时，点P的坐标为（2）如图2，当点P在x轴上运动时，PB- PA =AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)∴(PB-PA)max =AB=此时，点P的坐标为变题：（1）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；解析：（1）如图3，作点B关于x轴的对称点Bˊ（3，-2），则有PB=PBˊ当点P在x轴上运动时，PA+PB=PA+PBˊ=ABˊ(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)∴(PA+PB)min =AB?=此时，点P的坐标为（2）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（2）如图4，作点B关于x轴的对称点Bˊ，则有PB=PBˊ当点P在x轴上运动时，PB- PA= PBˊ-PA ﹦ABˊ(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)∴(PB-PA)max =ABˊ=此时，点P的坐标为归纳：①当两定点位于直线的异侧时可求得动点到两定点的距离之和的最小值；②当两定点位于直线的同侧时可求得动点到两定点的距离之和的绝对值的最大值．若不满足①②时，可利用对称性将两定点变换到直线的同（异）侧，再进行求解．如变题的方法．例2函数的值域为．解析：将函数进行化简得：即为动点P（x，0）到两定点A(1，1)、B（3，-2）的距离之和．由例1可知：该值域为二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和（差）的最值．（一）直接求解或利用椭圆（或双曲线）的定义进行适当转化后求解．例3（1）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA-MB的范围是；解析：(1)如图5，在∆MAB中有MA-MB<AB，当M，A，B三点共线且MB>MA即点M位于M2处时，有MA-MB=AB，所以MA-MB=AB；同理在∆MAB中有MB-MA=AB，即MB-MA=-AB(当点M位于M1处时等号成立)综上所述：-AB≦MA-MB≦AB（2）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA+MB的最大值是．解析：(2) 如图6，因为点A恰为椭圆的右焦点，所以由椭圆的定义可得MA+MB=10-MF+MB（F为椭圆的左焦点），同（1）可得MB-MF﹦BF(当且仅当点M位于点M4处时，等号成立)所以(MA+MB)max =(10-MF+MB)max=10+BF=10+点评：因为点A，B都在椭圆的内部（即两定点都在曲线的同侧），故可直接求出动点M到两定点A，B的距离之差的最值；若要求动点M到两定点A，B的距离之和的最值（其中A恰为焦点），需要利用椭圆的定义转化为动点M到两定点F，B的距离之差的最值（点F为另一焦点）．例4(1)已知F是双曲线的左焦点，A(4，1)，P是双曲线右支上的动点，则PA+PF的最小值为；解析：(1)如图7，在 PAB中有PA+PF>AB，当P，A，F三点共线即点P位于P1处时，有PA+PF=AF，所以(PA+PF)min=AF=．(2)已知F是双曲线的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则PA+PF 的最小值为．解析：(2)如图8，设F2是双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得PA+PF=PA+2a+PF2=8+ PA+PF2=8+AF2(当P，A，F2三点共线即点P位于P2处时等号成立)，所以(PA+PF)min=8+AF2=13．点评：本题需要特别关注点与双曲线的位置关系，两定点一定要在动点的轨迹（曲线）的异侧．（二）利用圆锥曲线的统一定义将圆锥曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离进行互化后进行求解．例5（1）已知点A(2，2)，F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，则PF+PA的最小值是，此时，点的坐标为；解析：如图9，设点P到右准线的距离为PP ，由圆锥曲线的统一定义可知，即(当且仅当A，P，Pˊ三点共线，即点P位于点P1处时取等号)此时点P的坐标为P(，2).（2）已知点A(5，2)，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上的动点，则PF+PA 的最小值是，此时点的坐标为．解析：如图10，设点P到右准线的距离为PP ，由圆锥曲线的统一定义可知，即(当且仅当A，P，P ˊ三点共线，即点P位于点P1处时取等号)此时点P的坐标为P(，2)点评：此类最显著的特征是动点与焦点距离前有系数，可以利用圆锥曲线的统一定义将动点到焦点的距离转化为到相应准线的距离．例6（1）抛物线的焦点为F，A(4，-2)为一定点，在抛物线上找一点M，当MA+MF为最小值时，点M的坐标为；解析：如图11，为抛物线的准线，MMˊ为点M到准线的距离．利用抛物线的定义：MF=MMˊ，可得MA+MF= MA+MMˊ﹦AMˊ（当且仅当A，M，Mˊ三点共线时等号成立，即当点M在Mˊ处时等号成立）此时点M的坐标为M(，-2)（2）P为抛物线上任一点，A(3，4)为一定点，过P作PPˊ垂直y轴于点P ˊ，则AP+ PPˊ的最小值为．解析：如图12，延长PPˊ交抛物线的准线于点P´´，由抛物线的定义：PP´=PF，所以AP+ PP´= AP+ PP´´-1= AP+PF-1 AF-1(当且仅当A，P，F三点共线时等号成立，即当点P位于P1处时等号成立)点评：本题需要注意两点：①定点所在位置是抛物线的内部还是外部；②利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化．。