特别解析线性规划求最值

特别解析线性规划求最

值

Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022

特别解析：线性规划求最值一、目标函数线的平移法：利用直线的截距解决最值问题

例1 已知点()

P x y

，在不等式组

20

10

220

x

y

x y

-

⎧

⎪

-

⎨

⎪+-

⎩

，

，

≤

≤

≥

表示的平面区域上运动，则

z x y

=-的取值范围是（）．

（A）［－2，－1］（B）［－2，1］

（C）［－1，2］（D）［1，2］

解析：由线性约束条件画出可行域，考虑z x y

=-，

变形为y x z

=-，这是斜率为1且随z变化的一族平行

直线．z-是直线在y轴上的截距．当直线满足约束条件且经过点（2，0）时，目标函数z x y

=-取得最大值为2；直线经过点（0，1）时，目标函数z x y

=-取得最小值为－1．故选（C）．

注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y的取值范围为

［-1，2］更为简单．

例2 已知实数x、y满足约束条件

50

3

x y

x y

x

+≥

⎧

⎪

-+≥

⎨

⎪≤

⎩

，则24

z x y

=+的最小值为

（）

分析：将目标函数变形可得

1

24

z

y x

=-+，所求的目标函数的最小值

即一组平行直

1

2

y x b

=-+在经过可行域时在y轴上的截距的最小值的4

倍。

解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图所示：

当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为

min 234(3)6z =⨯+⨯-=-。

二、数行结合，构造斜率法：利用直线的斜率解决最值问题

例3 设实数x y ，满足20240230x y xc y y --⎧⎪

+-⎨⎪-⎩

，

，，

≤≥≤，则y z x =的最大值是__________．

解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC （如图2），

y y z x x -=

=

-表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的斜率，要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与230y -=的交点，即A

点． ∴31

2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，．故答案为32

． 注：解决本题的关键是理解目标函数0

y y z x x -==

-的 几何意义，当然本题也可设

y

t x

=，则y tx =，即为求 y tx =的斜率的最大值．由图2可知，y tx =过点A 时，

t 最大．代入y tx =，求出32

t =，

即得到的最大值是32

．

-5 3 O

x

y C

A B

L

例3.已知实数x 、y 满足不等式组2240

x y x ⎧+≤⎨≥⎩,求函数3

1y z x +=+的值域.

解析：所给的不等式组表示圆224x y +=的右半圆(含边界)，

3

1

y z x +=

+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．问题的几何意义：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大，max 2(3)

50(1)

z --=

=--．过点P 所作半圆的切线的斜率最小．设

切点为(,)B a b ，则过B 点的切线方程为4ax by +=．又B 在半圆周上，P 在

切线上，则有22434a b a b ⎧+=⎨--=⎩

解得65a b ⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩

因此min z =。

三、平面内两点间的距离型（或距离的平方型），构造两点间的距离公式法解决最值问题

例5 已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪

-+≥⎨⎪≥-⎩

，则22448w x y x y =+--+的最值

为________.

解析：目标函数2222448(2)(2)w x y x y x y =+--+=-+-，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数x 、y 所满足的不等式组作可行域如图所示：

可行域为图中ABC 内部（包括边

界），易求B （-2，-1），结合图形知，点(2,2)到点B 的距离为其到可行域内点的最大值，22max (22)(12)25w =--+--=；点(2,2)到直线x+y-1=0

的距离为其到可行域内点的最小值，min 2w =

=。 例6 已知2040250x y x y x y -+⎧⎪

+-⎨⎪--⎩

，

，，≥≥≤，求221025z x y y =+-+的最小值．

解析：作出可行域，并求出顶点的坐标A （1，3）、B （3，1）、C （7，9）．而22(5)z x y =+-表示可行域内任一点（x ，y ）到定点M （0，5）的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足Ｎ在线段AC 上，故

z 的最小值是2

92

MN =．

注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离等．

四、点到直线的距离型

例7 已知实数x 、y 满足2221,42x y u x y x y +≥=++-求的最小值。