二次函数综合专题训练

二次函数综合专题训练

1.1因动点产生的线段和差问题

1.在坐标平面xoy 内，Rt △BOC 如图放置在坐标平面内，已知如图，tan ∠CBO=2，将Rt △BOC

绕直角顶点O 顺时针旋转90°得到△EOA ．抛物线y=ax 2

+bx+2经过A,B,C 三点。 （1） 求抛物线的解析式；

（2） 设点P 在坐标轴上，△PAE 为等腰三角形，写出点P 的坐标。 （3） 在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使｜MB-MC ｜最大？

（4） 在抛物线上是否存在点Q ，使△BCQ 为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标，若不

存在，请说明理由.

2．（2012•恩施州）如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ． （1）抛物线及直线AC 的函数关系式； （2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．

x y O B C

E A

1.2 因动点产生的特殊三角形问题

3. 如图,在平面直角坐标xOy 中，正方形OABC 的边长为4，边OA 在x 轴的正半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，点D 是OC 的中点，BE ⊥DB 交x 轴于点E ． （1）求经过点D 、B 、E 的抛物线的解析式；（4分）

（2）将∠DBE 绕点B 旋转一定的角度后，边BE 交线段OA 于点F ，边BD 交y 轴于点G ，交（1）中的抛物线于M （不与点B 重合），如果点M 的横坐标为

512，那么结论OF= 2

1

DG 能成立吗？请说明理由；（4分）

（3）过（2）中的点F 的直线交射线CB 于点P ，交（1）中的抛物线在第一象限的部分于点Q ，且使△PFE 为等腰三角形，求Q 点的坐标．（4分）

4.如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣3，0），B （1.0），C （0， 3）。 （1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 为抛物线在第二象限上的一点，设△PAC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；

（3）设抛物线的顶点为D ，DE ⊥x 轴于点E ，在y 轴上是否存在点M ，使得△ADM 是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

5．如图，已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C （0，－

3），对称轴是直线x =1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D 。 （1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式； （3）点E 为y 轴上的一动点，CE 的垂直平分线交CE 于

点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限。 ①当线段AB PQ 4

3

=

时，求ta n ∠CED 的值； ②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标.

1.3 因动点产生的特殊四边形问题

6． (2014恩施)已知一个矩形纸片OABC ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，如图14，

点()0,5A ，⎪⎭

⎫ ⎝⎛25,0C ．把矩形纸片沿对角线AC 折叠，使点O 落在点D ，AD 、BC 相交于点E ．（1）求CE 的长； （2）求直线AC 的函数解析式及点D 的坐标；

（3）求经过点C 、D 、B 抛物线的解析式；

（4）过点D 作x 轴的垂线，交直线AC 于点F ，点P 是抛物线上的任意一点，过点P 作x 备用图

7.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的

负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =

，OB =，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2

y ax bx c =++过点A E D ，，．

（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；

（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

8.

9．如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．

（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；（4分）

（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；（4分）

（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由。（4分）

备用图

1.4 因动点产生的相似三角形问题

10.如图，抛物线2y x bx c =-++的顶点为D （﹣1，4），与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）。 （1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC ，CD ，AD ，试证明△ACD 为直角三角形；

（3）若点E 在抛物线上，EF ⊥x 轴于点F ，以A 、E 、F 为顶点的三角形与△ACD 相似，试求出所有满足条件的点E 的坐标。

11．（2013恩施）如图所示，直线l ：y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，抛物线过点B 、C 和D （3，0）． （1）求直线BD 和抛物线的解析式．

（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 在坐标轴上，以点N 、B 、D 为顶点的三角形与△MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标．

（3）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．

12.如图，抛物线y=ax 2

+bx+c （a ≠0）的图象过点C （0，1），顶点为Q （2，3），点D 在x 轴正半轴上，且OD=OC ．

（1）求直线CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；