2014高中数学 一题多变一题多解特训(一)

高中数学一题多解和一题多变
根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。

下面举例说明：
一题多解和一题多变（一）
类型一：一题多解
例题： 已知tanα=43
,求sinα,cosα的值
分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：
法一 根据同角三角函数关系式tanα= 43= αα
cos sin ，且sina2α + cos2α =1。

两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 54
或者cosα= -54 ；而s inα=53或者sinα=-53 。

分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：
法二 tanα=43
：α在第一、三象限
在第一象限时：
cos2α = ααcos sin cos 2
2
2
5+=αtan 2
11+=25
16
cosα=54 sinα=αcos 2
1-=53
而在第三象限时：
cosa=- 54
sina=- 53
分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：
法三 tanα= 43= αα
cos sin ↔4cos α= 3sin α
↔4cos α= 3sin α
= ±
3
4cos sin
2
2
2
2
++α
α
∴sinα=53，cosα= 54
或sinα=-53，cosα=-54
分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。

初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之：
法四 当α为锐角时，由于tana=43
,在直角△ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x，则勾股定理，得，
c=5x
sinA=AB BC = 53
,cosA=AB AC =54 ∴sinα= 53
，cosα=54 或sinα= -53
，cosα= -54
分析 ：用初中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广：
法五 当α为锐角时，如下图所示，在单位圆中，设α=∠AOT ， 因为tanα= 43
，则T 点坐
标是T(1, 43
),由勾股定理得：OT=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+432
1= 45
∵△OMP ∽△0AT ∴AT MP =OA OM =OT OP ，OM=54, MP =53
, p(54, 53),
∴sinα= 53
，cosα= 54 或sinα=-53，cosα= -54
分析： 圆和直线已经放入直角坐标系中，肯定可以尝试用解析几何法来解此题： 解法六，如上图，易求出直线OT 的方程和单位圆的方程
y=43
x ；x2+y2=1 两式联立，得出：
⎩⎨⎧==545
3x y ， 或
⎩⎨⎧-=-=545
3x y .
T 点坐标是P(-54, -53
) P(54, 53 ) ∴sinα= 53
，cosα=54 或sinα= -53
，cosα= -54
分析： 先考虑sinα、cosα两者之间的关系，容易想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题：
解法七，tanα= 43= αα
cos sin
4sina-3cosa=0
由三角函数辅助角公式得，
5sin （a+φ）= 0,其中，sinφ=53
, cosφ=54
∴a+φ=kπ ，k ∈Z sina=sin （k π -φ）=sinφ α在第一、三象限
∴容易求出sinα=53 ，cosα= 54
或sinα=-53，c osα= -54
分析： 仅仅从角度变换考虑，看一看，用二倍角公式是否能解决此问题：
解法八，由二倍角公式，得，tanα=
2
2tan
2
12tan
α
α
-= 43
3tan22α +8tan 2α
-3=0 ∴tan 2α= -3,或tan 2α=31
sinα=2sin 2αcos 2α=
22cos sin 2
cos
2sin 22
2
α
αα
α+=2
212
tan
2tan
2
α
α
+
∴sinα= 53，cosα=54
或sin α= -53，cosα= -54
判别式
此外，我们还可以尝试从向量的角度思考这个问题，这里就不再赘述。

下面展示本题的变式与推广：
类型二：一题多变 已知5
4
=
αsin 且α是第二象限角，求αtan 解：α是第二象限角，54=αsin 3
4
5312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒
变1：54
=αsin ，求αtan
解：05
4
>=αsin ，所以α是第一或第二象限角
若是第一象限角，则34
53==ααtan ,cos
若是第二象限角，则3
4
54一一==ααtan ,cos
变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤<m ，所以
当 10<<m 时，α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2
2
11m
m αm α一一=
=tan ,cos
若是第二象限角2
2
11m
m αm α一一
一一tan ,cos ==
当1=m 时αtan 不存在
变3：已知)(sin 1≤=m m α，求αtan 解：当11一,=m 时，αtan 不存在 当0=m 时， 0=αtan 当α时第一、第四象限角时，2
1m
m α一=
tan
当α是第二、第三象限角时，2
1m
m α一一=tan
练一小手：
变式1： 已知tanα=-3，求sin αcos α的值
变式2：已知tanα=m，求sinα，cosα的值
变式3 ：已知sinα=m，求cosα，tanα的值
由上例可以看出，一题多解和一题多变可以使学生更积极参与到课堂中来,从而激发学生对数学学习的兴趣和信心。

一道数学题因思考的角度不同可得到多种不同的解法,这有助于拓宽解题思路,提高学生分析问题的能力；一道数学题通过联想、类比、推广，可以得到一系列新的题目,甚至得到更一般的结论,这有助于学生应变能力的提高和发散思维的形成,增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。

一题多解和一题多变犹如一座金桥，,能把学生从已知的此岸渡到未知的彼岸。