垂直于弦的直径2
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析《24.1.2垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二个知识点。
本节课主要学习了圆中一条特殊的直径——垂直于弦的直径，并探究了它的性质。
教材通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质，并运用这一性质解决一些与圆有关的问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积计算、圆的性质等知识。
他们具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。
但对于垂直于弦的直径的性质及其应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生发现和总结垂直于弦的直径的性质，并通过实例让学生体会其在解决实际问题中的应用。
三. 教学目标1.理解垂直于弦的直径的性质。
2.学会运用垂直于弦的直径的性质解决与圆有关的问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。
2.运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
2.实践操作法：让学生动手画图，加深对垂直于弦的直径性质的理解。
3.问题驱动法：设置问题，引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决问题。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示相关实例和问题。
2.练习题：准备一些与垂直于弦的直径性质有关的练习题。
3.圆规、直尺等画图工具：为学生提供画图所需的工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：在一个圆形池塘中，怎样找到一个点，使得从该点到池塘边缘的距离最远？引导学生思考，并提出解决问题的方法。
2.呈现（10分钟）展示几个与垂直于弦的直径性质相关的实例，引导学生观察和分析这些实例，发现垂直于弦的直径的性质。
3.操练（10分钟）让学生动手画图，验证垂直于弦的直径的性质。
在这个过程中，引导学生运用圆规、直尺等画图工具，提高他们的动手能力。
垂直于弦的直径(二)数学教案
垂直于弦的直径（二）数学教案
标题：垂直于弦的直径（二）
一、教学目标
1. 理解并掌握垂直于弦的直径的性质。
2. 能够运用这些性质解决相关问题。
二、教学重点与难点
1. 重点：理解并掌握垂直于弦的直径的性质。
2. 难点：运用性质解决实际问题。
三、教学过程
1. 导入新课：
复习上节课内容，引入新的课题——垂直于弦的直径。
2. 新课讲解：
(1) 定义：如果一条直线过圆心且垂直于圆内的某条弦，那么这条直线就是直径。
(2) 性质：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。
3. 例题讲解：
给出几个实例，让学生理解和应用垂直于弦的直径的性质。
4. 练习与讨论：
设计一些练习题，让学生自己尝试解答，然后进行集体讨论，加深理解。
5. 小结：
总结本节课的主要内容，强调垂直于弦的直径的性质及其应用。
四、作业布置
布置相关的习题，让学生在课后进行自我检测和巩固。
五、教学反思
对于这节课的教学效果进行反思，思考如何改进教学方法和策略。
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E
A
B
D
知二推三
C
探究三
垂径定理的推论2:
弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦C所D过对圆的心两吗? 条弧.
CD⊥AB
条件
CD过圆心
结论 A⌒C=⌒BC
C
AE=BE
⌒AD=⌒BD
O
知二推三法
E
A
B
D
火眼金睛： 看下列图形，是否能使用垂径定理？ （2） 线段： AE=BE （4）平分弦所对的优弧 （1）圆是轴对称图形，请说出图中的一条对称轴。 答：赵州桥的主桥拱半径约为27. 在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得 平分弦 (不是直径) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 例 ：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37. （5）平分弦所对的劣弧 任何一条直径所在的直线都是对称轴。 将圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你能得到什么结论？ 2 掌握垂径定理及其推论（重点） 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧。
题设
结论
｝ （1）直径
（2）垂直于弦
知二
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 推三
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ） 任何一条直径所在的直线都是对称轴。 知二 推三 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。 火眼金睛： 看下列图形，是否能使用垂径定理？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ 将圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你能得到什么结论？ 你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造, 是世界现存最久远、跨度最大的石拱桥，雄伟的赵州桥举世闻名，它主桥拱的半径到 底有多大呢？ （2） 线段： AE=BE （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ （1）直径CD所在的直线是它的一条对称轴 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。 任何一条直径所在的直线都是对称轴。 例 ：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37. 2 掌握垂径定理及其推论（重点） 火眼金睛： 看下列图形，是否能使用垂径定理？ 垂直平分弦的直线过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
垂直于弦的直径-教案
教案：垂直于弦的直径第一章：引言教学目标：1. 了解垂直于弦的直径的概念。
2. 掌握垂直于弦的直径的性质。
教学内容：1. 引入垂直于弦的直径的定义。
2. 解释垂直于弦的直径的性质。
教学步骤：1. 引入垂直于弦的直径的概念，让学生初步了解。
2. 通过示例，解释垂直于弦的直径的性质，让学生理解并能够应用。
教学评估：1. 提问学生关于垂直于弦的直径的概念和性质的理解。
2. 让学生举例说明如何应用垂直于弦的直径的性质。
第二章：垂直于弦的直径的性质教学目标：1. 掌握垂直于弦的直径的性质。
2. 能够应用垂直于弦的直径的性质解决几何问题。
教学内容：1. 回顾垂直于弦的直径的定义。
2. 讲解垂直于弦的直径的性质。
教学步骤：1. 复习垂直于弦的直径的定义，让学生巩固记忆。
2. 讲解垂直于弦的直径的性质，并通过示例进行解释。
3. 让学生进行练习，巩固对垂直于弦的直径的性质的理解。
教学评估：1. 提问学生关于垂直于弦的直径的性质的理解。
2. 让学生解决一些应用题，检验其对垂直于弦的直径的性质的掌握程度。
第三章：垂直于弦的直径的证明教学目标：1. 能够理解和证明垂直于弦的直径的性质。
2. 能够运用证明来解决几何问题。
教学内容：1. 讲解垂直于弦的直径的证明方法。
2. 引导学生进行证明练习。
教学步骤：1. 讲解垂直于弦的直径的证明方法，让学生理解证明的过程。
2. 引导学生进行证明练习，让学生巩固证明方法。
教学评估：1. 提问学生关于垂直于弦的直径的证明方法的理解。
2. 让学生解决一些证明题，检验其对垂直于弦的直径的证明方法的掌握程度。
第四章：垂直于弦的直径的应用教学目标：1. 能够应用垂直于弦的直径的性质解决几何问题。
2. 能够运用证明来解决几何问题。
教学内容：1. 讲解垂直于弦的直径的应用方法。
2. 引导学生进行应用练习。
教学步骤：1. 讲解垂直于弦的直径的应用方法，让学生理解如何应用性质解决几何问题。
2. 引导学生进行应用练习，让学生巩固应用方法。
24.1.2垂直于弦的直径教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“垂直于弦的直径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，例如：“你们认为这个性质在建筑或工程中可能会有哪些应用？”
24.1.2垂直于弦的直径教案
一、教学内容
《24.1.2垂直于弦的直径》为本章节的教学内容，选自人教版数学九年级下册第二十四章《圆》。本节课主要内容包括：
1.探索圆的性质：垂直于弦的直径。
2.证明垂径定理及其推论。
3.应用垂径定理解决实际问题。
二、核心素养目标
《24.1.2垂直于弦的直径》教学的核心素养目标为：
2.教学难点
-难点内容：
a.理解并证明垂径定理。
b.掌握垂径定理推论的应用。
c.将垂径定理应用于解决复杂的几何问题。
-难点突破：
a.通过动态演示或模型操作，帮助学生直观理解垂径定理。
b.分步骤引导学生进行垂径定理的证明，强调证明过程中的关键步骤。
c.设计不同难度的练习题，从简单到复杂，帮助学生逐步掌握垂径定理的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂直于弦的直径的基本概念。垂直于弦的直径是圆内一条特殊的线段，它不仅垂直于弦，而且能够将弦平分成两段相等的部分。这个性质在几何图形的构造和解题中有着重要的作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们有一个圆，弦AB需要被平分，我们可以如何找到能够实现这一点的直径？通过分析，我们可以发现，只需找到垂直于AB的直径CD，就可以轻松完成这个任务。
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B
O·
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.
2m,求桥拱的半径(精确到0. 做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况. 2m,求桥拱的半径(精确到0.
A
C
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常连接半径； 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。
垂径定理经常和勾股定理结合使用。
课堂讨论
①
根据已知条件进行推导： ②
③ ④ ⑤
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦
① ③
② ④ ⑤
① ④
③ ② ⑤
④平分弦所对优弧 ① ⑤平分弦所对劣弧 ⑤
③② ④③ ②
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为B M, M
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
5．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且 相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证四边形ADOE是正方形．
8cm
小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧；
做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况.
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
O
E
AB
O
E
A
B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
垂直于弦的直径教案2
《垂直于弦的直径》教案2赣县江口中学康海芯1．教学设计说明：鉴于教材特点及我所教班级学生的知识基础，根据教学目标和学生的认知水平，我选用引导发现法和直观演示法．让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则．同时，在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则．另外，教学中我还注重用不同图片的颜色对比来启发学生．2．教学分析（1）教材分析本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础．它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性．同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力．所以它在教材中处于非常重要的位置．（2）学情分析九年级学生已了解圆的有关概念；但根据皮亚杰的认知发展理论：这个阶段的学生思维正处于具体思维向抽象思维发展、逻辑思维向形式思维发展、内部心理上逐步朝着自我反省的思维发展．虽然他们具有一定的数学活动经验、生活经验和操作技能，会进行简单的说理，但他们的逻辑思维能力和抽象思维能力还比较薄弱．对如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型的能力较差．教学目标：知识技能（1）经历圆的轴对称性和垂径定理及其推论的探索过程，理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论；（2）会运用垂径定理及其推论解决一些证明、计算和作图问题．数学思考在参与观察、实验、猜想、证明等数学活动过程中，渗透数学模型、化归、符号思想，发展合情推理和演绎推理能力，培养主动探究的习惯．问题解决在垂径定理及其推论的证明与应用中，学会发现问题、提出问题，尝试从不同角度解决问题，并在评价与反思中获得解决问题的方法，初步形成评价与反思的意识．情感态度（1）体会数学知识与现实生活的密切联系；（2）通过图片欣赏增强审美意识，感受数学文化，激发学习热情；（3）养成独立思考、合作交流、反思质疑、主动探究的习惯，形成严谨的科学态度．教学重点：垂径定理及其运用．教学难点：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．课时设计：两课时．教学方式：根据本节课的教学目标、教材内容及学生的认知特点，我选择问题教学法、探究教学法、实验教学法和引导发现法与情境教学法相结合．教学过程：一、引入新课．你知道赵洲桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？【设计意图】让学生从实际出发，充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出．二、定理探究实践探究1．用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？2．如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？归纳整理垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所的两条弧．依据垂径定理可以得到下列结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．【设计意图】这样设计培养了学生的观察能力和归纳、概括的思维能力，并使学生领略到圆的对称美，同时发展了学生的符号感，分化了难点．增加学生的兴趣，使学生通过探索发现、思维碰撞，获得对数学最深切的感受，体会成功的乐趣，发展思维能力，富有成就感．三、例题讲解例1．解决求赵州桥拱半径的问题？例2．已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．例3．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．例4．已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB．求证：AC=BD．【设计意图】如此设计可调动学生积极性，使其更深入地掌握定理的内涵，由易到难，逐步提升学生解决问题的能力四、巩固练习1．如图，AB是⊙O的中直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D． BC= BD2．已知⊙O的半径为13，一条弦的AB的弦心距为5，则这条弦的弦长等于．3．在半径为5㎝的圆O中，有长8㎝的弦AB，则点O与AB的距离是．4．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为m．5．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ABOE是正方形．6．已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC与BD相等吗？为什么？【设计意图】检查学生对基础知识的掌握情况．对旋转性质的理解应用．参考答案：1．C2．243．34．45．6．解：AC=BD，理由如下：过O作OP⊥AB，垂足为P，则AP＝BP，CP＝DP．∴AP－CP＝BP－DP即AC＝BD【设计意图】检查学生对基础知识的掌握情况．对垂径定理的理解应用．五、收获感知引导学生从以下几个方面进行小结： （1）你学到了哪些知识？（2）垂径定理有哪些作用？【设计意图】通过归纳总结，使学生优化定理，内化知识．六、作业布置 1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ ）．A ．CE =DEB ． BCBD = C ．∠BAC =∠BAD D ．AC >AD2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．83．如图3，已知⊙O 的半径为5mm ，弦AB =8mm ，则圆心O 到AB 的距离是（ ） A ．1mm B ．2mm C ．3mm D ．4mm4．P 为⊙O 内一点，OP =3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．5．如图，已知AB 、AC 为弦，OM ⊥AB 于点M ， ON ⊥AC 于点N ，BC =4，求MN 的长．6．如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D E 、，量出半径5cm OC =，弦8cm DE =，求直尺的宽．参考答案1．D 2．D 3．C 4．10，85．由垂径定理可得M 、N 分别是AB 、AC 的中点，所以MN =12BC =2． 6．过点O 作OM DE ⊥于点M ，连接OD ．12DM DE ∴=． 8DE = ， 4DM ∴=．在Rt ODM △中，5OD OC == ，3OM ∴=． ∴直尺的宽度为3cm ．板书设计教学反思为了给学生营造一个民主、平等而又富有诗意的课堂，我以新数学课程标准下的基本理念和总体目标为指导思想，在教学过程中始终面向全体学生，依据学生的实际水平，选择适当的教学起点和教学方法，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验．通过“实验--观察--猜想--证明”的思想，让每个学生都有所得，我注意前后知识的链接，进行各学科间的整合，为学生提供了广阔的思考空间，同时让学生利用所学知识解决实际问题，感受理论联系实际的思想方法．。
人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿
人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第24章《圆》的1.2节《垂直于弦的直径》是本章的重要内容。
这部分主要介绍了垂径定理及其推论，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。
本节内容通过探究垂直于弦的直径的性质，引导学生利用几何推理证明结论，培养学生的逻辑思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本几何知识，对圆的基本概念和性质有所了解。
但学生在解决几何问题时，往往缺乏推理证明的能力。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的思维过程，引导学生掌握几何推理的方法。
三. 说教学目标1.知识与技能：掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决简单几何问题。
2.过程与方法：通过观察、探究、推理，培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：垂径定理及其推论的证明和应用。
2.教学难点：垂径定理的证明，以及如何引导学生运用几何推理方法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生主动参与课堂讨论。
2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，直观展示几何图形的性质和推理过程。
六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾圆的基本性质，引出垂直于弦的直径的性质。
2.探究垂直于弦的直径的性质：让学生分组讨论，观察几何图形，引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
3.推理证明：引导学生运用几何推理方法，证明垂径定理及其推论。
4.应用拓展：举例说明垂径定理在解决实际问题中的应用。
5.总结归纳：对本节课的主要内容进行总结，强调垂径定理及其推论的重要性。
七. 说板书设计板书设计如下：垂直于弦的直径性质：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧。
八. 说教学评价本节课通过课堂提问、学生作业、小组讨论等方式进行教学评价。
主要评价学生在掌握垂径定理、运用几何推理方法以及解决实际问题方面的表现。
24.1.2 垂直于弦的直径(2)
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧。 （2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如 果不能，请举出反例。
C A O · B D
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AE=BE ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
C A E└
●
B
O
① ②
③ ④ ⑤
D
CD是直径 CD⊥AB
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AE=BE ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
C
A E
●
B
O
④ ⑤
① ② ③
D
AC=BC AD=BD
CD是直径 CD⊥AB AE=BE
C
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
A
└ M
●
点C是AB的中点，则OC的长为
。
A
C · O
B
2、 下列命题错误的是（
）
A、平分弧的直径平分这条弧所对的弦
B、平分弦的弦垂直于这条弦 C、垂直于弦的直径平分这条弦 D、弦的中垂线过圆心
3、如图，⊙O中CD是弦，AB是直径， AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求证：CE＝DF。
A O C F E M D
C
A E
●
B
O
① ④
② ③ E AD= BD
D
AC=BC
① ⑤
② ③ ④
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AE=BE ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
C
A E
●
B
O
② ③
① ④ ⑤
24.1.2_垂直于弦的直径(2)
D
A
O ┌ E
A
600
B
O ø 650
D
D
600
B
C
C
M
E A
.O
小结: 小结:
B
A C
. E
O
D B
C A
D B
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线， 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或 过圆心作弦的垂线 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线， 等辅助线 理创造条件。 理创造条件。
船能过拱桥吗
表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm, O,半径为 解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 如图, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足, AB的垂线OD,D为垂足 相交于点C. C.根 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D AB的中点,C是 ,D是 的中点,C 的中点,CD就是拱高. ,CD就是拱高 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米， 如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米 10 桥拱的跨度AB=16 AB=16米 桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4 米。
C
A
·
D
O
B
船能过拱桥吗? 船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水 3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米 如图 7.2 2.4米 现有一艘宽3 船舱顶部为长方形并高出水面2 面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？ 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
24.1.2垂直于弦的直径(2)
O
M
B
O
M
B C
N
D
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，求半 径OC的长。
O D A
C
B
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A 圆心到弦的距离d、弦长a中， D 任意知道两个量，可根据 垂径定理和勾股 定理求出第三个量.
B
E
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
D
E O
C
B
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD, AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,
驶向胜利 的彼岸
交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
B M
E A O
.
D
图中相等的劣弧有:
.
C
F
N
小 结
1、垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所 的两条弧.
2、垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直 径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 3、垂径定理及其推论： 如果一条直线，满足下列 五个条件：①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平 分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 中的任意两个，就能推出另外的三个结论. 4、重要结论：圆中两条平行弦所夹的弧相等.
∵ OE⊥AD =π(OA2－OB2) ∴由勾股定理得 =π(AE2－BE2 ) OA2=AE2+OE2,OB2=BE2+OE2 = π(32－22 )=5π ∴OA2－OB2=AE2－BE2 答:圆环面积为5πcm2.
已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中，大圆的 弦AD交小圆于B，C两点. ⑴求证：AB＝CD ⑵如果AD=6cm，BC=4cm，求圆 环的面积.
2021年人教版数学九年级上册24 垂直于弦的直径(第2课时)教案与反思
24.1.2 垂直于弦的直径(第2课时)前事不忘，后事之师。
《战国策·赵策》圣哲学校蔡雨欣一、基本目标【知识与技能】1．理解与掌握圆的对称性、垂径定理及其推论．2．运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题．【过程与方法】经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，获得几何学习的一些常用方法：合情推理、证明、抽象概括等．【情感态度与价值观】通过观察、操作、变换和研究的过程，进一步培养学生的思维能力、创新意识和良好的运用数学的习惯和意识．二、重难点目标【教学重点】垂径定理及其推论．【教学难点】垂径定理及其推论的运用．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P81～P83的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．圆是__轴对称__图形，任何一条直径所在直线都是圆的__对称轴__.2．垂径定理：垂直于弦的直径__平分__弦，并且__平分__弦所对的两条弧．即一条直线如果满足：①CD经过圆心O且与圆交于C、D两点；②AB⊥CD交CD于M；那么可以推出：③__AM_＝_BM__ ，④__AC＝BC__，⑤__AD＝BD.3．垂径定理的推论：__平分__弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且__平分__弦所对的两条弧．环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水(如图)，此时的水面宽AB为0.6米，求此时的水深(即阴影部分的弓形高)．【互动探索】(引发学生思考)要求此时的水深，即阴影部分的弓形高，结合垂径定理，考虑怎样作辅助线才能得到水深？【解答】如图，过点O 作OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连结OB .根据垂径定理，得C 是AB 的中点，D 是AB ︵ 的中点，CD 就是水深，则BC ＝AB ＝0.3米．由题意知，OD ＝OB ＝0.5米，在Rt △OBC 中，由勾股定理，得OC ＝OB 2－BC 2＝0.4米， 所以CD ＝OD －OC ＝0.1米，即此时的水深为0.1米．【互动总结】(学生总结，老师点评)在圆中求半径、弦等线段的长时，常常借助垂径定理构造直角三角形，再在直角三角形中运用勾股定理来解决．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝1，则弦AB 的长是多少？解：连结AO .由题意可知，OA ＝OC ＝5，则OD ＝OC －CD ＝5－1＝4.∵OC ⊥AB ，∴∠ODA ＝90°，∴AD ＝OA 2－OD 2＝3.又∵AB 为⊙O 的弦，∴AB ＝2AD ＝6.2．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB ＝10 cm ，水面宽AB ＝16 cm.求截面圆心O 到水面的距离．解：过点O 作OC ⊥AB 于点C .∵OC ⊥AB ，AB ＝16 cm ，∴∠OCB＝90°，BC＝错误!未定义书签。
24.1.2 垂直于弦的直径教案
24.1.2 垂直于弦的直径教案一、【教材分析】教学目标知识技能1.使学生理解圆的轴对称性 .2.掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理及其推论解决有关的证明、计算问题.过程方法1.经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.2.在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法，锻炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生活又用于生活.情感态度让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现.教学重点垂径定理、推论及它们的应用.教学难点对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明.二、【教学流程】教学环节问题设计师生活动二次备课情景创设请大家观察教材上的图片并思考问题：你知道赵州桥吗？你能给大家介绍一下有关它的历史及构造吗？创设问题情境，开展学习活动，引起学生学习的兴趣了解我国古代人民的勤劳与智慧.自主探究问题一用纸剪一个圆，将圆对折、打开，再重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？让学生动手操作，观察、思考、交流，归纳得出圆的特性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在（或过培养学生动手、动脑、动口探究问题的能力问题二1、观察、思考并回答：（1）在含有一条直径AB的圆上再增加一条直径CD，两条直径的位置关系怎样？（2）把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？(3)猜想：弦AB在怎样情况下会被直径CD平分？（4）思考：直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？2、你能给上题中这条特殊的直径命名吗？这条特殊的直径有哪些性质？请用一句话概括出来.垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧.例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.问题三圆心）的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条.教师提出问题，学生画图、思考，并回答提出的问题.教师参与小组活动，指导帮助学生，鼓励学生大胆试验、猜想，并共同给出验证过程.小组交流，根据直径的特征，容易给出直径的名字——垂直于弦的直径，师生共同归纳出特殊直径的性质，并给出教师出示图形，学生思考、解答，说出哪些图形能使用垂径定理?教师出示题目，学让学生积极参与探究知识的整个过程，更有利于对知识点的理解与掌握.给学生足够的发挥空间，利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理的本质了解.强化结论的命题“平分弦的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.”这个命题正确吗？画图说明.如果不正确，错在哪里？你认为应该怎样修改？生画图探究说明命题不正确，通过交流、修改，进一步得出垂径定理的推论.使用条件：平分非直径弦的直径.尝试应用1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径.2、已知：如图1，若以O为圆心作一个⊙O的同心圆，交大圆的弦AB于C，D两点.求证：AC＝BD.变式1：隐去（图1）中的大圆，连接OA，OB，设OA=OB，求证：AC＝BD.变式2：再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD（写出答案，不证明）3、请用所学知识解决求赵州桥拱半径的问教师出示题目，学生思考、解答学生解答完毕后，小组交流后以小组为单位展示小组的成果.教师巡视，帮助学习有困难的学生，并适时指导、点拨，不断提升、总结.学生交流，师生互动.对于第2题的解答，要求学生一题多解:法1：连接OA、OB、OC、OD，证△OAC≌△OBD法2：作OE⊥CD，垂足为E，利用垂径定理证明.要求：（1）正确画通过问题的训练，加深学生对垂径定理的理解及应用，同时强调辅助线的作法的重要性.经过一题多解、变式训练，锻炼学生发散思维及举一反三、触类旁通解决问题的能力.题.出图形，连接半径，构造直角三角形；（2）利用垂径定理的知识解决问题.补偿提高1、已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上任意一点，求OP的取值范围.2、见教材第90页习题24.1第9题教师出示题目，学生练习时，教师巡视、辅导，进一步了解学生的掌握情况.学有余力的学生选做，达到培优的目的.小结与作业小结：通过这节课的学习，你有什么收获？作业：1、必做题教材第83页练习1，2题2、选做题教材第90页习题24.1第10题教师提出问题，学生回答，教师在学生总结后进行补充，并根据学生的回答，结合结构图总结本节知识.教师布置作业，动员分层要求.学生按要求课外完成，通过课后作业巩固本节知识.供学生课后探讨、研究.使学生能够回顾、总结、梳理所学知识.三、【板书设计】24.1.2 垂直于弦的直径四、【教后反思】本节课从介绍赵州桥的历史及构造入手，引起学生的学习兴趣和本课主题.再结合折纸、观察圆的对称性、利用对称性质验证一系列的过程，形象直观地抓住了定理，降低了单纯介绍定理的难度，同时让学生经历观察、思考、探索、交流、归纳的全过程，感受成功的喜悦.然后让学生通过对命题“平分弦的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.”的判断与修改，进一步得出垂径定理的推论，并强化结论的使用条件，为推论的正确理解和应用打好基础，锻炼了学生的思维的严密性和逻辑思维能力.最后让学生就赵州桥的半径计算问题，建立数学模型，添加辅助线构造直角三角形，利用垂径定理进行计算，真正让学生体会到学会数学的重要性.。
垂直于弦的直径教学教案
垂直于弦的直径教学教案一、教学目标1. 让学生理解垂直于弦的直径的概念。
2. 引导学生掌握垂直于弦的直径的性质和定理。
3. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 垂直于弦的直径的定义。
2. 垂直于弦的直径的性质。
3. 垂直于弦的直径的定理。
三、教学重点与难点1. 教学重点：垂直于弦的直径的概念、性质和定理。
2. 教学难点：垂直于弦的直径的证明和运用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解垂直于弦的直径的概念、性质和定理。
2. 利用几何画板或实物模型，展示垂直于弦的直径的性质。
3. 引导学生通过小组讨论，发现垂直于弦的直径的定理。
五、教学过程1. 导入：通过回顾圆的基本概念，引导学生思考垂直于弦的直径的含义。
2. 新课：讲解垂直于弦的直径的概念，引导学生理解其性质。
3. 实践：让学生利用几何画板或实物模型，验证垂直于弦的直径的性质。
4. 探究：引导学生通过小组讨论，发现垂直于弦的直径的定理。
5. 总结：总结本节课的主要内容和知识点，强调垂直于弦的直径的性质和定理。
6. 作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
7. 课后反思：对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学评价1. 评价目标：检查学生对垂直于弦的直径概念、性质和定理的理解及运用能力。
2. 评价方法：课堂提问：检查学生对垂直于弦的直径的基本概念的理解。
练习题：评估学生运用垂直于弦的直径的性质和定理解决问题的能力。
小组讨论：观察学生在小组活动中参与度和合作程度。
七、教学资源1. 几何画板：用于展示垂直于弦的直径的性质和证明。
2. 实物模型：如圆规和直尺，用于直观展示垂直于弦的直径。
3. PPT课件：提供清晰的垂直于弦的直径的示意图和重要知识点。
4. 练习题库：包括不同难度的题目，用于课后练习和巩固知识。
八、教学进度安排1. 第一课时：介绍垂直于弦的直径的概念和性质。
2. 第二课时：讲解垂直于弦的直径的定理及应用。
3. 第三课时：进行实践活动，让学生运用定理解决实际问题。
教学设计5：24.1.2垂直于弦的直径
24.1.2 垂直于弦的直径教学目标知识技能1.通过观察实验，使学生理解圆的对称性.2.掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.过程方法1.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．2.经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.情感态度激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.教学重点垂径定理及其运用教学难点发现并证明垂径定理教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、导语：直径是圆中特殊的弦，研究直径是研究圆的重要突破口，这节课我们就从对直径的研究开始来研究圆的性质.二、探究新知(一)圆的对称性沿着圆的任意一条直径所在直线对折，重复做几次，看看你能发现什么结论？得到：把圆沿着它的任意一条直径所在直线对折，直径两旁的两个半圆就会重合在一起，因此，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.（二）、垂径定理教师从直径引出课题，引起学生思考学生用纸剪一个圆，按教师要求操作，观察，思考，交流，尝试发现结论.通过学生亲自动手操作发现圆的对称性，为后续探究打下基础径，作为辅助线，这样就可以把垂径定理和勾股定理结合起来，得到圆的半径r 、弦心距d 、弦长a 的一半之间的关系式:三、课堂训练 完成课本83页练习 补充：1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O 是圆心， 其中CD=600m ，E 为圆O 上一点，OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB= 60m ，水面到拱顶距离CD=18m ，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．（当水面距拱顶3米以内时需要采取紧急措施）四、小结归纳1. 垂径定理和推论及它们的应用2. 垂径定理和勾股定理相结合，将圆的问题转化为直角三角形问题.3.圆中常作辅助线：半径、过圆心的弦的垂线段五、作业设计作业：课本89页 1，90页 9，12补充：已知：在半径为5㎝的⊙O 中，两条平行弦AB,CD 分别长8㎝，6㎝.求两条平行弦间的距离.学生审题，尝试自己画图，理清题中的数量关系，并思考解决方法，由本节课知识想到作辅助线办法，教师组织学生进行练习，教师巡回检查，集体交流评价，教师指导学生写出解答过程，体会方法，总结规律.引导学生分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m 是否需要采取紧急措施， 只要求出DE 的长，因此只要求半径R ，然后运用几何代数解求R ．让学生尝试归纳，总结，发言，体会，反思，教师点评汇总识.体会转化思想，化未知为已知，从而解决本题，同时把握一类题型的解题方法，作辅助线方法.运用所学知识进行应用，巩固知识，形成做题技巧让学生通过练习进一步理解，培养学生的应用意识和能力 归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a d r CE DOF。
垂直于弦的直径的数学教案
垂直于弦的直径的数学教案教学目标：1. 理解垂直于弦的直径的概念。
2. 学会使用垂直于弦的直径性质定理。
3. 能够应用垂直于弦的直径解决问题。
教学重点：1. 垂直于弦的直径的概念。
2. 垂直于弦的直径性质定理的应用。
教学难点：1. 理解并证明垂直于弦的直径的性质定理。
第一章：垂直于弦的直径的概念1.1 引入垂直于弦的直径的概念使用几何画图软件或实物模型，展示一个圆和一条弦。
引导学生观察和讨论：在圆中，是否存在一条直径与给定弦垂直相交？1.2 定义垂直于弦的直径给出垂直于弦的直径的定义：在一个圆中，如果一条直径与某条弦垂直相交，这条直径被称为垂直于该弦的直径。
1.3 垂直于弦的直径的性质引导学生观察和讨论：垂直于弦的直径具有哪些特殊的性质？总结出垂直于弦的直径的两个性质：1) 垂直于弦的直径将弦平分。
2) 垂直于弦的直径将弦所对的圆周角平分。
第二章：垂直于弦的直径性质定理2.1 引入垂直于弦的直径性质定理使用几何画图软件或实物模型，展示一个圆和一条弦。
引导学生观察和讨论：在圆中，如何判断一条直径是否垂直于给定弦？2.2 证明垂直于弦的直径性质定理给出垂直于弦的直径性质定理的证明：定理：在一个圆中，如果一条直径垂直平分一条弦，这条直径垂直于该弦。
证明步骤：1) 画出圆和一条弦，以及垂直平分该弦的直径。
2) 标记出直径的两个端点和弦的两个端点。
3) 利用圆的性质，证明直径所对的圆周角是直角。
4) 利用直角的性质，得出直径垂直于弦的结论。
2.3 应用垂直于弦的直径性质定理给出几个应用例子，让学生练习使用垂直于弦的直径性质定理解决问题。
第三章：垂直于弦的直径的应用3.1 引入垂直于弦的直径的应用使用几何画图软件或实物模型，展示一个圆和一条弦。
引导学生观察和讨论：在圆中，如何找到一条垂直于给定弦的直径？3.2 找到垂直于弦的直径的方法给出找到垂直于弦的直径的方法：方法：在一个圆中，要找到一条垂直于某条弦的直径，可以先找到该弦的中点，通过该中点画出一条与弦垂直的线段，该线段即为所求的直径。
第2课时 垂直于弦的直径
1.实验发现
实验： 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径
对折，重复做几次，你发现了什么？由此你 能得到什么结论？
结论： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条
过圆心的直线.
2.探索
请按要求回答以下问题： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使
CD⊥AB，垂足为M.
(1)右图是轴对称图形吗？ 如果是，其对称轴是什么？
巩固练习
1.如图，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O
到AB的距离为3 cm，求⊙O的半径．
解： OE AB，
A
E
B
AE 1 AB 1 8 （ 4 cm）.
2
2
在Rt △ AOE 中，
O·
AO2 OE2 AE2，
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5（cm）.
推论
① CD是直径 ③ AM=BM
③AM=BM
④ AC BC ⑤ AD BD
② CD⊥AB ④ AC BC
⑤ AD=BD
例题评析
完成情境引入的问题. 如图，用 AB 表示主桥拱，设 AB 所在圆
的圆心为O，半பைடு நூலகம்为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D， 根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 AB 的中点，CD 就是拱高．
例题评析
解：如图，AB=37，CD=7.23,所以
C
AD 1 AB 1 37 18.5,
2
2
OD=OC－CD=R－7.23.
A
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
R O
OA2 = AD2+OD2.
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OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M, OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M, 垂足分别为 N,且OM=2,0N=3,则 N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 AC= 4 ,OA= 13 . ,
O
N C
练习：半径为５的圆中， 练习：半径为５的圆中，有两条平行弦 AB 和CD，并且 ，并且AB =６,CD=８，求AB ６ ８ 间的距离. 和CD间的距离 间的距离
O A B
试一试
挑战自我填一填 挑战自我填一填
1、判断： 、判断：
驶向胜利 的彼岸
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条 垂直于弦的直线平分这条弦 并且平分弦所对的两条 弧. （r） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧. 另一条弧 （√ ） ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ r ） 经过弦的中点的直径一定垂直于弦 （ ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ r ） 圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行 ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ √ ） 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧
CD是直径
CD ⊥ AB AE = BE ⇒ ( AB不是直径)
定理演绎: 定理演绎
C O E A D
推论二. 推论二
⇒
CD⊥AB AE=BE
CD是直径 (或CD过圆心)
推论三. 推论三 CD⊥AB B ⇒ AE=BE
CD是直径 (或CD过圆心)
一般地:在这五个结论中 如果有其中两个成 一般地 在这五个结论中,如果有其中两个成 在这五个结论中 就可以推出另外三个存在. 立,就可以推出另外三个存在 就可以推出另外三个存在 即:有2就有三 有 就有三
练习:如图， 为圆 的直径， 为圆O的直径 练习 如图，CD为圆 的直径，弦AB交 如图 交 CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝， 于 ， ° ㎝ CE=3㎝，求弦AB的长 ㎝ 求弦 的长. 的长
A D
F E O C B
提高练习: 提高练习 已知⊙ 的半径为10 10， AB∥CD，AB=12， 1．已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12， CD=16， AB和CD的距离为 CD=16，则AB和CD的距离为 ． 2或14 2．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， 如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M AB 为弦 于点 ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长． ON⊥AC于点N BC=4， MN的长． 于点 的长
A
M
．
O
N C
B
3.在⊙ O中，直径 ⊥AB于D，OD=4㎝， 在 中 直径CE⊥ 于 ， ㎝ 弦AC= 10 ㎝ ，求⊙ O的半径 的半径. 的半径
E
E
O
O
A
A
D
D
B
B
C
C
1.过 内一点M的最长的弦长为10 10㎝ 1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦 ㎝ 长为8 那么⊙ 长为8㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙ 的弦AB=6 AB=6㎝ 直径CD=10 CD=10㎝ AB⊥CD,那 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那 已知 ㎝ ㎝ AB的距离等于 么C到AB的距离等于 1㎝或9㎝ 3.已知⊙ 的弦AB=4 AB=4㎝ 圆心O AB的中点 的距离为1 的中点C 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝, 已知 那么⊙ 那么⊙O的半径为 5 Cm 4.如图, 中弦AB⊥AC, 4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC, 如图
圆的两条平行弦所夹的弧相等. 圆的两条平行弦所夹的弧相等 平行弦所夹的弧相等 如图，CD为⊙O的直径 为 的直径，AB⊥CD，EF⊥CD， 如图 的直径 你能得到什么结论？ 你能得到什么结论？
E A
AE＝BF AE＝
F
⌒ ⌒
C
O
D B
1、已知： ⊙O的半径为 厘米 弦 、已知： 的半径为6厘米 的半径为 厘米，弦 AB与半径 与半径OA的夹角为 °.求：弦AB的长 的夹角为30° 求 的长. 与半径 的夹角为 的长 2、在直径为650毫 、在直径为650 650毫 米的圆柱形油槽内装 入一些油后， 入一些油后，截面如 图所示.若油面宽AB 图所示.若油面宽 ＝600毫米 求油的 毫米，求油的 毫米 最大深度. 最大深度
C A D O B
4.一条排水管的截面如图所示 4.一条排水管的截面如图所示 已知排水管的半径 OB=10 ， 水面宽 AB=16 .求水深. .求水深 求水深.
E
D
5. 如图，AB是⊙O的任意一条弦，OC⊥AB，垂 如图， 是 的任意一条弦， ⊥ ， 的任意一条弦 足为P， 足为 ，若 CP=7cm，AB=28cm ，你能求出这面 ， 镜子的半径吗？ 镜子的半径吗？ C P
14 7
B
A
O
求作弧AB的四等分点. 求作弧AB的四等分点. AB的四等分点
C m F A B E G n
D
破镜重圆
A
m
n C
B
·
作图依据：
O
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
A
4 2
E
H
6
M 0
· N
G
D
B
F
C
2.如图，AB是 的直径，AB=10， AC=8， 2.如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦AC=8， 如图 ⌒的中点 D是AC的中点，连结CD，求CD的长. AC的中点，连结CD CD， CD的长 的长. B O
A
E D
C
3.如图为一圆弧形拱 3.如图为一圆弧形拱 半径OA 10m， 桥，半径OA = 10m，拱 高为4m 求拱桥跨度AB 4m， 高为4m，求拱桥跨度AB 的长. 的长.
C E D A C F B E D
.O
F B
.
O
A
(1)
(2)
做这类问题是， 做这类问题是，思考问题一定要 全面，考虑到多种情况. 全面，考虑到多种情况
挑战自我
1. 如图，⊙O 与矩形 ABCD 交于 E , F ,G ,H ， 如图， AH=4, HG=6,BE=2.求EF的长 的长. 求 的长
24.1.2垂直于弦的直径 垂直于弦的直径(2) 垂直于弦的直径
复习回顾: 复习回顾 垂径定理
C O E A D B
AE = BE CD是直径 CD过圆心 ⇒ CD ⊥ AB
垂直于弦的直径平分弦， 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧. 并且平分弦所对的两条弧 推论一：平分弦（不是直径） 推论一：平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦， 的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧. 所对的两条弧