苏教版数学高二- 选修2-1教案 椭圆的几何性质

2．2.2椭圆的几何性质●三维目标1．知识与技能掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握椭圆基本量的几何意义以及其相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法．2．过程与方法利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次应用，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力．3．情感、态度与价值观通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质．●重点难点重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法．难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质．通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程．●教学建议本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案，通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气．根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度．使用实物投影及多媒体辅助教学．借助实物投影展示学生的解题思维及解题过程，突出学生的思维角度与思维认识，遵循学生的认知规律，提高学生的思维层次，●教学流程通过复习和预习，知道由对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？⇒由范围、对称性、顶点及离心率等研究椭圆的几何性质．既要数形结合直观感知，又要根据标准方程严格推证．⇒采用类比教学的方法，由焦点在x轴上的情形得出焦点在y轴上的情形．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握由椭圆方程求其几何性质的方法，首先将方程化为标准方程，由方程得出基本量a，b，c，再写出相应的几何性质．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握由椭圆的几何性质求其方程的方法，由几何性质得出基本量a，b，c，从而求出其标准方程．注意焦点位置的两种情形．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握椭圆离心率或其范围的求解方法，求椭圆的离心率，即找基本量a，b，c的等式关系；求椭圆的离心率的取值范围，即找基本量a，b，c的不等式关系．⇒通过例4及变式训练，使学生掌握直线与椭圆位置关系的研究方法，会讨论公共点个数，会求弦长，弦中点等问题．体会方程思想的应用．⇒通过易错易误辨析，体会椭圆范围的应用，注意椭圆上点的坐标不是在整个实数范围内，解题时应作为一个隐含条件考虑，否则将会导致错误．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力．课标解读1.掌握椭圆的简单几何性质．(重点)2．掌握椭圆离心率及其范围的求法，领会离心率是刻画椭圆“扁圆程度”的量．(难点)3．会用椭圆及其性质处理一些实际问题．(重点、难点)椭圆的简单几何性质图中椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．1．椭圆具有对称性吗？【提示】有，椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形．2．可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？【提示】可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a，0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b)．3．椭圆方程中x，y的取值范围是什么？【提示】x∈[－a，a]，y∈[－b，b]．4．当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？【提示】b越小，椭圆越扁．1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上顶点(±a,0)，(0，±b) (±b,0)，(0，±a)轴长 长轴长＝2a ，短轴长＝2b 焦点 (±c,0) (0，±c)焦距 F 1F 2＝2c对称性 对称轴x 轴、y 轴，对称中心(0,0) 离心率e ＝ca(0＜e ＜1) 2.当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁； 当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆.由椭圆方程求其几何性质求椭圆x 2＋9y 2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．【思路探究】化为标准方程→求a ，b→求几何性质【自主解答】 把已知方程化成标准方程x 281＋y 29＝1，于是a ＝9，b ＝3，c ＝81－9＝62，所以椭圆的长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，离心率e ＝c a ＝223，焦点为F 1(－62，0)，F 2(62，0)，顶点为A 1(－9，0)，A 2(9,0)，B 1(0，－3)，B 2(0,3)．将方程变形为y ＝±1381－x 2，根据y ＝1381－x 2算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标(如下表所示)：x 0 3 6 9 y32.832.241．由椭圆方程求其几何性质，首先应将方程化为标准形式．2．画椭圆时，应充分利用椭圆的对称性，可简化作图过程，增强准确度．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．【解】 把椭圆的方程化为标准方程x 29＋y 24＝1.可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3，短半轴长b ＝2，故半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.因此，椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；离心率e ＝c a ＝53，两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．为画此椭圆的图形，将椭圆方程变形为 y ＝±239－x 2(－3≤x≤3)．由y ＝239－x 2(0≤x≤3)，可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(x ，y)，列表如下： x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y21.971.891.731.491.11描点，再用光滑曲线顺次连结这些点，得到椭圆在第一象限的图形，然后利用椭圆的对称性画出整个椭圆，如图所示．由椭圆的几何性质求方程求符合下列条件的椭圆标准方程：(1)焦距为8，离心率为0.8；(2)焦点与长轴较接近的端点的距离为10－5，焦点与短轴两端点的连线互相垂直； (3)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)． 【思路探究】由几何性质→寻求a ，b ，c 关系→求a ，b→得方程 【自主解答】 (1)由题意：∵2c ＝8，∴c ＝4.又∵ca＝0.8，∴a ＝5，∴b 2＝9，焦点在x 轴上时椭圆标准方程为：x 225＋y 29＝1；焦点在y 轴上时椭圆标准方程为：y 225＋x 29＝1.(2)由题意：a －c ＝10－5，b ＝c ，a 2＝b 2＋c 2， ∴解得a 2＝10，b 2＝5，焦点在x 轴上时椭圆标准方程为：x 210＋y 25＝1；焦点在y 轴上时椭圆标准方程为：y 210＋x 25＝1.(3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1.又过点(2，－6)，因此有 22a 2＋－62b 2＝1或－62a 2＋22b2＝1. 由已知a ＝2b ，得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13. 故所求的方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.1．利用椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法．其步骤是：首先确定焦点的位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．2．当椭圆焦点位置不完全确定时，其标准方程有两种形式，不要漏掉焦点在y 轴上的情形．求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 【解】 (1)若椭圆的焦点在x 轴上， 设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，∵椭圆过点A(2,0)，∴4a 2＝1，a ＝2，∵2a ＝2·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 24＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)，∵椭圆过点A(2,0)，∴02a 2＋4b2＝1，∴b ＝2,2a ＝2·2b ，∴a ＝4，∴方程y 216＋x 24＝1.综上所述，椭圆方程为x 24＋y 2＝1或y 216＋x 24＝1.(2)由已知⎩⎨⎧ a ＝2ca －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23c ＝3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.求椭圆的离心率(1)(2012·江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若AF 1，F 1F 2，F 1B 成等比数列，则此椭圆的离心率为________．(2)已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点，∠F 1PF 2＝90°，求椭圆离心率的最小值．【思路探究】 (1)用a ，c 表示出AF 1，F 1B ，依据AF 1，F 1F 2，F 1B 成等比数列，建立a ，c 间的关系式．(2)法一，利用勾股定理及基本不等式寻求基本量a ，c 间的不等关系；法二，利用短轴端点对两焦点张角为椭圆上任一点对两焦点张角最大值；法三，利用圆半径c≥b 求解．【自主解答】 (1)椭圆的顶点为A(－a,0)，B(a,0)，焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，所以AF 1＝a －c ，F 1B ＝a ＋c ，F 1F 2＝2c.因为AF 1，F 1F 2，F 1B 成等比数列，所以有4c 2＝(a －c)(a ＋c)＝a 2－c 2，即5c 2＝a 2，所以a ＝5c ，所以离心率为e ＝c a ＝55.【答案】55(2)法一 设PF 1＝m ，PF 2＝n ，∴m 2＋n 2＝4c 2， 又2a ＝m ＋n ，∴4a 2＝m 2＋n 2＋2mn ≤2(m 2＋n 2)＝8c 2. 即：a 2≤2c 2，∴e ＝c a ≥22.∴e min ＝22.法二 设椭圆与y 轴上方交点为B.∵∠F 1BF 2≥90°，∴cos ∠F 1BF 2＝a 2＋a 2－4c 22a 2≤0，即：a 2≤2c 2.∴e ＝c a ≥22，∴e min ＝22. 法三 以F 1F 2为直径的圆的方程为：x 2＋y 2＝c 2， 由题意c≥b ，∴c 2≥a 2－c 2，∴2c 2≥a 2，∴c a ≥22，∴e ＝c a ≥22，∴e min ＝22.1．求椭圆的离心率，就是由题意求基本量a ，b ，c 的等式关系．2．求椭圆离心率的取值范围，就是求基本量a ，b ，c 间的不等关系，然后利用定义或列出关于e 的不等式进行求解，应注意e 还应受到0<e<1的限制．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．【解析】 在△ABF 中，|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|·|BF|·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则|AF|＝6.由|AB|2＝|AF|2＋|BF|2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝|OF|＝|AB|2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以|BF|＝|AF 1|＝8.由椭圆的性质可知|AF|＋|AF 1|＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝ca＝57. 【答案】 57直线与椭圆的位置关系已知椭圆x 24＋y 2＝1，(1)当m 为何值时，直线y ＝x ＋m 与椭圆有两个不同的交点？(2)当m ＝2时，求直线被椭圆截得的线段长． 【思路探究】联立，消y 得一元二次方程→Δ判别式→m 的范围→根与系数的关系→由弦长公式求弦长【自主解答】 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝x ＋m 消去y 得，5x 2＋8mx ＋4(m 2－1)＝0(Ⅰ)．∵Δ＝64m 2－80(m 2－1)>0， ∴－5<m<5，∴当－5<m<5时直线与椭圆有两个不同交点． (2)当m ＝2时，方程(Ⅰ)化为：5x 2＋16x ＋12＝0， 设线段端点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由韦达定理得 x 1＋x 2＝－165，x 1x 2＝125，又k ＝1，∴AB ＝1＋k 2 x 1＋x 22－4x 1x 2＝452.1．直线与椭圆公共点个数问题，一般转化为方程根的问题，由Δ判别式进行判别． 2．求直线被圆锥曲线截得的弦长，一般用弦长公式AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2 x 1＋x 22－4x1x 2进行求解，也可利用AB ＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2· y 1＋y 22－4y 1y 2进行求解．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程． 【解】 设x 2b 2＋y 2a 2＝1(a>b>0)，且a 2－b 2＝(52)2＝50. ①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2b 2＋y 2a 2＝1y ＝3x －2， ∴(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0， ∵x 1＋x 22＝12， ∴6b 2a 2＋9b 2＝12， ∴a 2＝3b 2，② 此时Δ>0，由①②得：a 2＝75，b 2＝25， ∴x 225＋y 275＝1.忽略椭圆的范围导致错误设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P(0，32)到椭圆的最远距离是7，求椭圆的标准方程． 【错解】 依题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，则e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝34，所以b 2a 2＝14，即a ＝2b. 设椭圆上的点(x ，y)到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2(1－y 2b 2)＋y 2－3y ＋94＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3.所以当y ＝－12时，d 2有最大值，从而d 也有最大值，所以4b 2＋3＝(7)2，由此解得b 2＝1，a 2＝4.于是所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.【错因分析】 错解中“当y ＝－12时，d 2有最大值”这一步的推理是错误的，没有考虑椭圆方程中y 的取值范围．事实上，由于点(x ，y)在椭圆上，所以有－b≤y≤b ，因此在求d 2的最大值时，应分类讨论．【防范措施】 涉及到椭圆上点的坐标时，应注意坐标的范围，对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，x ∈[－a ，a]，y ∈[－b ，b]；对于椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)，x ∈[－b ，b]，y ∈[－a ，a]．【正解】 同错解得到d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2(1－y 2b 2)＋y 2－3y ＋94＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3. 若b<12，则当y ＝－b 时，d 2有最大值，从而d 有最大值，于是(7)2＝(b ＋32)2，从而解得b ＝7－32>12，与b<12矛盾．所以必有b≥12，此时当y ＝－12时，d 2有最大值，从而d 有最大值，所以4b 2＋3＝(7)2，解得b 2＝1，a 2＝4.于是所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.1．椭圆的性质可分为两类，一类是与坐标无关的本身固有的性质，如长轴长，短轴长，焦距，离心率；另一类是与坐标有关的性质，如顶点坐标，焦点坐标．2．椭圆的标准方程和椭圆的几何性质密不可分，由椭圆的方程可以得出椭圆的几何性质，由其几何性质可以得出椭圆的方程．3．求椭圆的离心率或其取值范围，是高考的重点内容，其实质就是找出基本量a ，b ，c 的相等或不等关系，从而得出关于e 的方程或不等式．4．直线与椭圆的位置关系，公共点个数利用Δ判别式，弦长问题利用弦长公式和韦达定理，解题主要是利用了转化思想和方程思想.1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是________． 【解析】∵x 2＋y 26＝1，∴焦点在y 轴上，∴长轴端点坐标为(0，±6)． 【答案】 (0，±6)2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e ＝________. 【解析】 如图，△F 1B 2F 2为等边三角形， ∴∠B 2F 2O ＝60°， ∴e ＝c a ＝OF 2B 2F 2＝cos 60°＝12.【答案】 123．若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于________．【解析】 ∵1－m 2＝14或1－2m ＝14，∴m ＝32或83.【答案】 32或834．椭圆经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1、F 2在x 轴上，离心率e ＝12，求椭圆的标准方程．【解】 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2.∴椭圆方程可化为x 24c 2＋y 23c2＝1.将A(2,3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c ＝2，∴椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.一、填空题1．椭圆x 24＋y 29＝1的离心率是________．【解析】 e ＝1－b 2a2＝1－49＝53. 【答案】532．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则下列说法正确的是________．①C 1与C 2顶点相同； ②C 1与C 2长轴长相同； ③C 1与C 2短轴长相同； ④C 1与C 2焦距相等．【解析】 由两个椭圆的标准方程可知：C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.只有④正确．【答案】 ④3．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则椭圆的方程为________．【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2a 32a ＝18a 2＝b 2＋c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝81b 2＝72，因为焦点在x 轴上，所以所求椭圆的方程为x 281＋y 272＝1.【答案】 x 281＋y 272＝14．若椭圆的焦点在y 轴上，长轴长为4，离心率为e ＝32，则其标准方程为________． 【解析】 依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1. 【答案】 y 24＋x 2＝15．若椭圆x 29＋y 2m ＝1(0<m<9)的焦距为23，则m ＝________.【解析】 ∵0<m<9，∴9－m ＝(3)2，∴m ＝6. 【答案】 66．设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．【解析】 ∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形， ∴∠PF 2A ＝60°，PF 2＝F 1F 2＝2c ，∴AF 2＝c ， ∴2c ＝32a ，∴e ＝34.【答案】 347．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________．【解析】 ∵|PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ， ∴|PF 1→|·|PF 2→|≤(|PF 1→|＋|PF 2→|2)2＝a 2，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴13≤e 2≤12， ∴33≤e≤22. 【答案】 [33，22]图2－2－38．“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2＞a 1c 2； ④c 1a 1＜c 2a 2. 其中正确式子的序号是________．【解析】 由题图知a 1＋c 1>a 2＋c 2，故①错误．又a 1－c 1＝PF ，a 2－c 2＝PF ，故a 1－c 1＝a 2－c 2，即②正确． 由题图知椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ扁，则e 1>e 2，即c 1a 1>c 2a 2.又a 1，a 2均大于0，故c 1a 2>a 1c 2，故③正确． 显然④错误，故②③正确． 【答案】 ②③二、解答题9．已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OFA ＝23，求椭圆的方程．【解】 椭圆的长轴长为6，cos ∠OFA ＝23，∴点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点， ∴OF ＝c ，OA ＝b.AF ＝OA 2＋OF 2＝b 2＋c 2＝a ＝3，c 3＝23，∴c ＝2，b 2＝32－22＝5.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.10．已知椭圆C 的中心O 在原点，长轴在x 轴上，焦距为6，短轴长为8.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(－5,0)作倾斜角为π4的直线交椭圆C 于A 、B 两点，求△ABO 的面积．【解】 (1)设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，由题意得c ＝3，b ＝4，a ＝5，所以椭圆C 方程为x 225＋y 216＝1.(2)不妨设A(－5,0)，直线AB 方程为： y ＝x ＋5，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋5x 225＋y 216＝1得⎩⎨⎧x ＝－4541y ＝16041.所以S △OAB ＝12OA·|y B |＝12×5×16041＝40041.11．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．【解】 (1)设F(－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c.过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有－c 2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3， 于是26b 3＝433，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，由F(－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k(x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 23＋y 22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A(－3，0)，B(3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.已知椭圆4x 2＋5y 2＝20的一个焦点为F ，过点F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，求弦长AB.【思路探究】 求出焦点F 的坐标→求出直线l 的斜率→设直线l 的方程→联立方程→利用根与系数的关系设而不解→由弦长公式求解【自主解答】 椭圆方程为x 25＋y 24＝1，a ＝5，b ＝2，c ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1(不失一般性，设l 过左焦点)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，4x 2＋5y 2＝20，消去y ，得9x 2＋10x －15＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－109，x 1·x 2＝－53，AB ＝2|x 1－x 2|＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·－1092－4·－53＝2·8109＝1659.1．解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不解的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)； (2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解． 2．利用弦长公式求弦长时，没必要验证方程的Δ>0.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果AB ＝154，求椭圆C 的方程．【解】 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(y 1<0，y 2>0)， (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c)，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －c x 2a 2＋y 2b 2＝1消去x 得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0. 解得y 1＝－3b 2c ＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2c －2a 3a 2＋b 2，因为AF →＝2FB →， 所以－y 1＝2y 2，即3b 2c ＋2a 3a 2＋b 2＝2·－3b 2c －2a 3a 2＋b 2，得离心率e ＝c a ＝23.(2)因为AB ＝1＋13|y 2－y 1|， 所以23·43ab 23a 2＋b2＝154.由c a ＝23得b ＝53a.所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝ 5. 所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.。