全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案)

2012各省数学竞赛汇集

2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

一、填空题（70分）

1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.

2、在ABC ∆中，已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r

则AC =___4____.

3、从集合

{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为

_____

3

10

_______. 4、已知a 是实数，方程2

(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位）

，则

||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22

1124

x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且

倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆的面积为，则直线的斜

率为___1

2

____.

6、已知a 是正实数，lg a k

a =的取值范围是___[1,)+∞_____.

7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的

体积为____________.

8

、

已

知

等

差

数

列

{}

n a 和等比数列

{}

n b 满足：

11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___.

（*

n N ∈）

9、将27,37,47,48,557175，

，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.

10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组

(,,)a b c 的个数为__24___.

二、解答题（本题80分，每题20分）

11、在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明： （1）cos cos b C c B a +=

（2）

2

2sin cos cos 2

C A B

a b

c

+=

+

12、已知

,a b

为实数，

2

a >，函数

()|ln |(0)

a

f x x b x x

=-+>.若

(1)1,(2)ln 212

e

f e f =+=

-+. （1）求实数,a b ； （2）求函数

()f x 的单调区间；

（3）若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <

13、如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线

OM

上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点

C ，

D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.

14、设是,,,a b c d 正整数，,a b 是方程2

()0x d c x cd --+=的两个根.证明：存在边

长是整数且面积为ab 的直角三角形.

2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

（高一年级）

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．已知集合∈>=≤=b a b x x B a x x A ,},|{},|{N ，且I I B A N }1{=，则=+b a 1 ． 2．已知正项等比数列}{n a 的公比1≠q ，且542,,a a a 成等差数列，则=

++++963741a a a a a a 35

2

-． 3．函数741

)(2+++=

x x x x f 的值域为

6[0,6

． 4．已知1sin 2sin 322=+βα，1)cos (sin 2)cos (sin 322=+-+ββαα，则=+)(2cos βα1

3

-

． 5．已知数列}{n a 满足：1a 为正整数，

⎪⎩⎪⎨⎧+=+,

,13,,21

为奇数为偶数n n n n n a a a a a 如果29321=++a a a ，则=1a 5 ．

6．在△ABC 中，角C B A ,,的对边长c b a ,,满足b c a 2=+，且A C 2=，则=

A sin 7

7．在△ABC 中，2==BC AB ，3=AC ．设O 是△ABC 的内心，若AC q AB p AO +=，则

q p

的值为32

． 8．设321,,x x x 是方程013=+-x x 的三个根，则5

35251x x x ++的值为 －5 ．

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9．已知正项数列}{n a

=11a =，

28a =，求}{n a 的通项公式．

解 在已知等式两边同时除以1+n n a a ，得3141112++=+

+++n

n n n a a

a a ， 所以

11)=． ------------------------------------------4分

令111

++=+n

n n a a b ,则n n b b b 4,411==+，即数列}{n b 是以1b ＝4为首项,4为公比的等比数

列

，所以

n

n n b b 4411=⋅=-.

------------------------------------------8分

所

以

n n

n a a 4111

=++

+,即

n

n n a a ]1)14[(21--=+.

------------------------------------------12分

于是，当1>n 时,

22221121]1)14[(]1)14[(]1)14[(-------⋅--=--=n n n n n n a a a

∏∏-=--=---=

--==1

1

21

1

1

12

1

]1)14

[(]1)14

[(n k k n k k a Λ ，

因此,

⎪⎩⎪⎨

⎧≥--==∏

-=-.2,]1)14[(,1,

11

1

21n n a n k k n ------------------------------------------16分

10．已知正实数b a ,满足122=+b a ，且333)1(1++=++b a m b a ，求m 的最小值． 解 令cos ,sin a b θθ==，02

π

θ<<

，则

3

2233

3

)1sin (cos 1)sin sin cos )(cos sin (cos )1sin (cos 1sin cos ++++-+=++++=θθθθθθθθθθθθm ．-------------------------