全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案)
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2023年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

暨2023年全国高中数学联合竞赛加试试题(模拟4)一.(本题满分40分)如图,ABC D 的外接圆为ω,P 为BC 边上一点,满足APB BAC Ð=Ð.过点A 作ω的切线交ABP D 的外接圆于点Q ,Q 关于AB 中点的对称点为T ,AT 交QP 于点D .证明:111AB AC CD+>.(答题时请将图画在答卷纸上)二.(本题满分40分)设c 是非负整数.求所有的无穷正整数数列{}n a ,满足:对任意正整数n ,恰存在n a 个正整数i 使得1i n a a c +≤+.三.(本题满分50分)设正整数6n ≥,图G 中有n 个顶点,每个顶点的度数均至少为3.设12,,,k C C C 是G 中所有的圈,求12gcd(,,,)k C C C 的所有可能值,其中C 表示圈C 中顶点的个数.四.(本题满分50分)对非负整数,a b ,定义位异或运算a b ⊕,是唯一的非负整数,使得对每个非负整数k ,222k k k a b a b ⊕⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦都是偶数.例如:2229101001101000113⊕=⊕==.求所有正整数a ,使得对任意整数0x y >≥,都有x ax y ay ⊕≠⊕.暨2023年全国高中数学联合竞赛加试(模拟4)参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不得增加其他中间档次.一.(本题满分40分)如图,ABCD的外接圆为ω,P为BC边上一点,满足APB BACÐ=Ð.过点A作ω的切线交ABPD的外接圆于点Q,Q关于AB 中点的对称点为T,AT交QP于点D.证明:111AB AC CD+>.(答题时请将图画在答卷纸上)二.(本题满分40分)设c 是非负整数.求所有的无穷正整数数列{}n a ,满足:对任意正整数n ,恰存在n a 个正整数i 使得1i n a a c +≤+.三.(本题满分50分)设正整数6n ≥,图G 中有n 个顶点,每个顶点的度数均至少为3.设12,,,k C C C 是G 中所有的圈,求12gcd(,,,)k C C C 的所有可能值,其中C 表示圈C 中顶点的个数.四.(本题满分50分)对非负整数,a b ,定义位异或运算a b ⊕,是唯一的非负整数,使得对每个非负整数k ,222k k k a b a b ⊕⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦都是偶数.例如:2229101001101000113⊕=⊕==.求所有正整数a ,使得对任意整数0x y >≥,都有x ax y ay ⊕≠⊕.。
(整理)全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编含答案
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2012各省数学竞赛汇集2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题(70分) 1、当[3,3]x ∈-时,函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.2、在ABC ∆中,已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-则AC =___4____.3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率为_____310_______. 4、已知a 是实数,方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b (i 是虚部单位),则||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中,双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ,一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆的面积为,则直线的斜率为___12____.6、已知a 是正实数,lg a ka =的取值范围是___[1,)+∞_____.7、在四面体ABCD 中,5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为____________.8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足:11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___.(*n N ∈)9、将27,37,47,48,557175,,这7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数,则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为31,三边,,a b c 均为整数,且a b c ≤≤,则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.二、解答题(本题80分,每题20分)11、在ABC ∆中,角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ,证明: (1)cos cos b C c B a +=(2)22sin cos cos 2C A Ba bc+=+12、已知,a b为实数,2a >,函数()|ln |(0)af x x b x x=-+>.若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+. (1)求实数,a b ; (2)求函数()f x 的单调区间;(3)若实数,c d 满足,1c d cd >=,求证:()()f c f d <13、如图,半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点C ,D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.14、设是,,,a b c d 正整数,,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根.证明:存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形.2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案(高一年级)说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。
解析版-2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷

2024 年全国高中数学联赛福建赛区预赛 暨 2024 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案(考试时间: 2024 年 6 月 22 日上午 9:00-11:30, 满分 160 分)一、填空题 (共 10 小题, 每小题 6 分, 满分 60 分. 请直接将答案写在题中的横线上) 1. 在 △ABC 中,已知 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,若动点 P 满足 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 . 【答案】 5【解答】取 AB 中点 O ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14[(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2]=14[(2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−BA⃗⃗⃗⃗⃗ 2]=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14×42=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−4由 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,知 AB 2=CA 2+CB 2 ,于是 CA ⊥CB . 所以 CO =12AB =2 .又 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,所以 |PO ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最大值为 CO +1=3 . 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 32−4=5 . 2. 已知 z 1,z 2,z 3 为方程 z 3=−i 的三个不同的复数根,则 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1= . 【答案】 0【解答】设 z =x +yi (x,y ∈R ) 为方程 z 3=−i 的复数根, 则 z 3=(x +yi )3=x 3+3x 2(yi )+3x (yi )2+(yi )3=−i . 即 x 3+3x 2yi −3xy 2−y 3i =−i,x 3−3xy 2+(3x 2y −y 3)i =−i . 由 x,y ∈R ,得 {x 3−3xy 2=03x 2y −y 3=−1,解得 {x 1=0y 1=1 , {x 2=√32y 2=−12,{x 3=−√32y 3=−12.于是 z 1=i, z 2=√32−12i, z 3=−√32−12i . 所以 z 2+z 3=(√32−12i)+(−√32−12i)=−i ,z 2z 3=(√32−12i)(−√32−12i)=(−12i)2−(√32)2=−14−34=−1.因此 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=z 1(z 2+z 3)+z 2z 3=i ×(−i )−1=0 .3. 设a=66⋯6⏟10个6,b=33⋯3⏟6个3,则a,b的最大公约数为 .【答案】 33【解答】用(x,y)表示正整数x,y的最大公约数.则(a,b)=(66⋯6⏟10个6,33⋯3⏟6个3)=(33⋯3⏟10个3,33⋯3⏟6个3)=3(11⋯1⏟10个1,11⋯1⏟6个1) .设m=11⋯1⏟10个1, n=11⋯1⏟6个1,则由m=11⋯1⏟10个1=104×11⋯1⏟6个1+1111 ,可知(m,n)=(1111,11⋯1⏟6个1) .同理可得, (m,n)=(1111,11⋯1⏟6↑1)=(11,1111)=(11,11)=11 .所以(a,b)=3(m,n)=33 .4. 某校三个年级举办乒乓球比赛, 每个年级选派 4 名选手参加比赛. 组委会随机将这 12 名选手分成 6 组, 每组 2 人, 则在上述分组方式中每组的 2 人均来自不同年级的概率为 .【答案】64385【解答】设三个年级为甲、乙、丙.12名选手随机分成6组,每组2人的分组方式有: C122C102C82C62C42C22A66=11×9×7×5×3×1种.下面考虑每组的2人均来自不同年级的分组情形.先考虑甲年级4名选手的配对方式: 由于每组2人均来自不同年级, 因此需从乙, 丙两个年级中每个年级各取 2 名选手与甲年级的 4 名选手配对. 故有C42×C42×A44=36×24种方式.再考虑余下 4 人的配对方式,此时乙、丙年级各有 2 人,其分组方式有2×1种.所以每组的 2 人均来自不同年级的分组方式有36×24×2种.所以每组的 2 人均来自不同年级的概率为36×24×211×9×7×5×3×1=64385.5. 如图,在棱长为 6 的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E,F分别为 AB,BC 的中点,点 G 在棱 CC 1 上. 若平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 3√1717,则平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得截面多边形的周长为 . 【答案】 6√13+3√2【解答】如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DD 1 分别为 x 轴, y 轴,(第 5 题图) z 轴非负半轴建立空间直角坐标系.(第 5 题答题图)则 E (6,3,0),F (3,6,0) . 设 G (0,6,t ) ,则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3,0) , EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3,t ) . 设 m ⃗⃗ =(x,y,z ) 为平面 EFG 的一个法向量,则{m ⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +3y +0=0m ⃗⃗ ⋅EG⃗⃗⃗⃗⃗ =−6x +3y +tz =0 ,于是 m ⃗⃗ =(t,t,3) 为平面 EFG 的一个法向量.又 n ⃗ =(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量,且平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值 为 3√1717, 所以 |cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ ||=√2t 2+9⋅1=3√1717. 结合 t >0 ,解得 t =2 . 所以 G (0,6,2),CG =2 .延长 EF 交直线 DC 于点 M ,由 E,F 分别为 AB,BC 的中点,知点 M 在 DC 延长线上, 且 CM =3 . 由 CG DD 1=26=39=MCMD 知, M,G,D 1 三点共线.于是 GD 1 是截面多边形的一条边.延长 FE 交直线 DA 于点 N ,连接 D 1N 交 AA 1 于点 P ,则 D 1P 也是截面多边形的一条边. 另由AN =3=12A 1D 1 可知, AP =12A 1P ,所以 AP =2,A 1P =4 .连接 PE ,则五边形 EFGD 1P 为平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得的截面多边形. 易知 EF =√32+32=3√2,FG =√32+22=√13,GD 1=√42+62=2√13 ,D 1P =√62+42=2√13, PE =√22+32=√13.所以截面五边形的周长为 6√13+3√2 .注: 作 CH ⊥EF 与 H ,则 GH ⊥EF,∠GHC 为二面角 G −EF −D 的平面角,于是 tan∠GHC =CGCH =3√22=2√23,因此 CG =2 。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
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2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)参考答案及评分标准说明:1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分为一个档次,不得增加其他中间档次.一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ,则32log (log )m 的值为 . 答案:4049.解:323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m .2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q .若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和,则2a 的取值范围是 .答案:1,0(0,2)4. 解:因为数列{}n a 的各项和为11a q,注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列,于是2{}n a 的各项和为2121a q. 由条件知211211a a q q,化简得11a q . 当(1,0)(0,1)q 时,22111(1),0(0,2)244a q q q . 3. 设实数,ab 满足:集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9],则a b 的值为 .答案:7.解:由于2210(5)25x x a x a ,故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间,而B 是至多有一个端点的区间,所以必有[1,9]A ,故9a .进一步可知B 只能为[4,) ,故0b 且34b b ,得2b .于是7a b .4. 在三棱锥P ABC 中,若PA 底面ABC ,且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4,则该三棱锥的体积为 .答案:34. 解:由条件知PA AB ,PA AC .因此PA AC .在ABC 中,22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ,故sin B .所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ,故其体积为1334ABC V S PA . 5. 一个不均匀的骰子,掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次,所得的点数分别记为,a b .若事件“7a b ”发生的概率为17,则事件“a b ”发生的概率为 . 答案:421. 解:设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p .由于126,,,p p p 成等差数列,且1261p p p ,故16253413p p p p p p . 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p . 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p . 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p . 由于117P ,所以21143721P . 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数.若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25,则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 .答案:11.解:记2x t ,则当[0,5)x 时,[1,32)t ,且t 随x 增大而严格增大.因此,()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数.注意到()f t 有最小正周期5,设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点,则()f t 在[2,32)上有6m 个零点,又设()f t 在[1,2)上有n 个零点,则625m n ,且0n m ,因此4,1m n .从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数,即311m n .7. 设12,F F 为椭圆 的焦点,在 上取一点P (异于长轴端点),记O 为12PF F 的外心,若12122PO F F PF PF ,则 的离心率的最小值为 .答案 解:取12F F 的中点M ,有12MO F F ,故120MO F F . 记1212,,PF u PF v F F d ,则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u , 222121222cos PF PF uv F PF u v d ,故由条件知222222v u u v d ,即22232u v d . 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v (当3v u 时等号成立).所以 的离心率d e u v .当::u v d 时, 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8,且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8,则称(,,)a b c 为“幸运数组”,例如(9,8,202400)是一个幸运数组.满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 .答案:591.解:对于幸运数组(,,)a b c ,当10a b c 时,分两类情形讨论. 情形1:a 是两位数,,b c 是三位数.暂不考虑,b c 的大小关系,先在,,a b c 的非最高位(五个位置)中选三个位置填0,剩下五个位置还未填,任选其中两个填2,最后三个位置填写4,8,9,这样的填法数为3255C C 3!600 .再考虑其中,b c 的大小关系,由于不可能有b c ,因此b c 与b c 的填法各占一半,故有300个满足要求的幸运数组.情形2:,a b 是两位数,c 是四位数.暂不考虑,a b 的大小关系,类似于情形1,先在,,a b c 的非最高位(五个位置)中选三个位置填0,剩下五个位置填2,2,4,8,9,这样的填法数为600.再考虑其中,a b 的大小关系.若a b ,则必有20a b ,c 的四个数字是0,4,8,9的排列,且0不在首位,有33!18 种填法,除这些填法外,a b 与a b 的填法各占一半,故有600182912个满足要求的幸运数组. 综上,所求幸运数组的个数为300291591 .二、解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9. (本题满分16分) 在ABC 中,已知sin cos sin cos cos 22A AB B C,求cos C 的值.解:由条件知cos 44C A B. …………4分 假如44A B,则2C ,cos 0C ,但sin 04A ,矛盾. 所以只可能44A B .此时0,2A B ,2C A . …………8分注意到cos 04C A ,故2C ,所以,42A B ,结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ,又cos 0C ,化简得28(12cos )1C ,解得cos C…………16分 10.(本题满分20分)在平面直角坐标系中,双曲线22:1x y 的右顶点为A .将圆心在y 轴上,且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P ,圆心距为d ,求d PA 的所有可能的值. 解:考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r .由0 与 的方程消去x ,得关于y 的二次方程2220002210y y y y r .根据条件,该方程的判别式22200048(1)0y y r ,因此220022y r .…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ,显然P 在y 轴上.设(0,)P h ,12, 的半径分别为12,r r ,不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ,则有2211()22h r r ,2222()22h r r .两式相减得2212122()h r r r r ,而120r r ,故化简得122r r h. …………10分 进而221211222r r r r ,整理得 221122680r r r r .① 由于12d r r ,(1,0)A ,22212()114r r PA h ,而①可等价地写为2212122()8()r r r r ,即228PA d ,所以d PA…………20分 11.(本题满分20分)设复数,z w 满足2z w ,求2222S z w w z 的最小可能值.解法1:设i (,)z a b a b R ,则2i w a b ,故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ,22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b . ①…………5分记1t a .对固定的b ,记255B b ,求22()(4)f t t B t B 的最小值.由()(4)f t f t ,不妨设2t .我们证明0()()f t f t ,其中0t . 当0[2,]t t 时,04[2,4]t t ,22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 (用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增). …………10分当0[,)t t 时,22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 (用到04t t ). …………15分所以200()(4)1616S f t B t .当0b (①取到等号),011a t 时,S 取到最小值16.…………20分解法2:设1i,1i (,)R z x y w x y x y ,不妨设其中0x . 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ,2222(41)(24)i w z x x y x y .所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y . …………5分利用a b a b ,可得8S x ,① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x . ②…………10分注意到方程282(1)x x 2.当2x 时,由①得816S x .当02x 时,由②得222(1)2(12))16S x .因此当2,0x y 时,S 取到最小值16. …………20分 解法3:因为2w z =−,所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−,33+的距离,所以把i z x y =+换成其实部x 时,都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<,因此我们有以下几种情况:1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+;2.若(13x∈−−,则()88f x x=−+,在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−,则2()24f x x x=−+,在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+;4.若13x∈− ,则()88f x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−+=−+;5.若3x≥+,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述,所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
高中数学竞赛赛题精选(带答案)
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高中数学竞赛赛题精选一、选择题(共12题)1.定义在R 上的函数()y f x =的值域为[m,n ],则)1(-=x f y 的值域为( ) A .[m,n ]B .[m-1,n-1]C .[)1(),1(--n f m f ]D .无法确定解:当函数的图像左右平移时,不改变函数的值域.故应选A.2.设等差数列{n a }满足13853a a =,且n S a ,01>为其前n 项之和,则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解:设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大,只须n a ≥0,即n ≤20.故应选C.3.方程log 2x=3cosx 共有( )组解.A .1B .2C .3D .4解:画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像,研究其交点情况可知共有3组解.应选C .4.已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大,另一个根比1小,则()A.11<<-a B.1-<a 或1>aC.12<<-aD.2-<a 或1>a解:令f(x)= ()2122-+-+a x a x ,其图像开口向上,由题意知f(1)<0,即 ()211122-+⨯-+a a <0,整理得022<-+a a ,解之得12<<-a ,应选C .5.已知βα,为锐角,,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α,则y 与x 的函数关系为( ) A .1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B .1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C .)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D .1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解: 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x , 得)1,53(∈x .故应选A. 6.函数sin y x =的定义域为[],a b ,值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则b a-的最大值是( )A. πB. π2C.34πD. 35π解:如右图,要使函数sin y x =在定义域[],a b 上,值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7.设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根,则的弧度数为 ( )A .6B .12或512C .6或512D .12解:由方程有重根,故14=4cos 2-cot =0,∵ 0<<2,2sin2=1,=12或512.选B . 8.已知M={(x ,y )|x 2+2y 2=3},N={(x ,y )|y=mx+b }.若对于所有的m ∈R ,均有M ∩N ,则b 的取值范围是 ( )A .[-62,62] B .(-62,62) C .(-233,233] D .[-233,233] 解:点(0,b )在椭圆内或椭圆上,2b 2≤3,b ∈[-62,62].选A .9.不等式log 2x -1+12log 12x 3+2>0的解集为A .[2,3)B .(2,3]C .[2,4)D .(2,4] 解:令log 2x=t ≥1时,t -1>32t -2.t ∈[1,2),x ∈[2,4),选C .10.设点O 在ABC 的内部,且有+2+3=,则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A .2B .32C .3D .53解:如图,设AOC=S ,则OC 1D=3S ,OB 1D=OB 1C 1=3S ,AOB=OBD=1.5S .OBC=0.5S ,ABC=3S .选C .11.设三位数n=,若以a ,b ,c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有( )A .45个B .81个C .165个D .216个 解:⑴等边三角形共9个;⑵ 等腰但不等边三角形:取两个不同数码(设为a ,b ),有36种取法,以小数为底时总能构成等腰三角形,而以大数为底时,b <a <2b .a=9或8时,b=4,3,2,1,(8种);a=7,6时,b=3,2,1(6种);a=5,4时,b=2,1(4种);a=3,2时,b=1(2种),共有20种不能取的值.共有236-20=52种方法,而每取一组数,可有3种方法构成三位数,故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数.选C .12.顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的点,O 为底面圆圆心,AB ⊥OB ,垂足为B ,OH ⊥PB ,垂足为H ,且PA=4,C 为PA 的中点,则当三棱锥O -HPC 的体积最大时,OB 的长为 ( )A .53 B .253 C .63 D .263解:AB ⊥OB ,PB ⊥AB ,AB ⊥面POB ,面PAB ⊥面POB .OH ⊥PB ,OH ⊥面PAB ,OH ⊥HC ,OH ⊥PC ,又,PC ⊥OC ,PC ⊥面OCH .PC 是三棱锥P -OCH 的高.PC=OC=2.而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形).当OH=2时,由PO=22,知∠OPB=30,OB=PO tan30=263.又解:连线如图,由C 为PA 中点,故V O -PBC =12V B -AOP ,S B 11OABCABPO H C而V O -PHC ∶V O -PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB ).记PO=OA=22=R ,∠AOB=,则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2,V B -PCO =124R 3sin2. PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2.V O -PHC =sin23+cos2112R 3. ∴ 令y=sin23+cos2,y=2cos2(3+cos2)-(-2sin2)sin2(3+cos2)2=0,得cos2=-13,cos =33, ∴ OB=263,选D .二、填空题(共10题)13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若510S =,105S =-,则公差为 解:设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+,,545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+,,1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21),,它的反函数的图象经过点(28),,则b a +等于 4 .解:由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩,, 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩,解之得 1131a b =⎧⎨=⎩,; 2224.a b =-⎧⎨=-⎩,(舍去). 故a b +等于4.15.已知函数()y f x =的图象如图,则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-, .解: 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>,所以()2lg 6200x x -+<. 于是,由图象可知,2111x x +≤-,即 201x x +≤-,解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-,.16.圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 .解:原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ,即=2|3|2+-y x .所以动点),(y x 到定点(31)-,的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2.故此动点轨迹为双曲线,离心率为2.17.在ABC ∆中,已知3tan =B ,322sin =C ,63=AC ,则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解:在ABC ∆中,由3tan =B 得︒=60B .由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==.因为︒>60322arcsin,所以角C 可取锐角或钝角,从而31cos ±=C .sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <,命题Q : 对任何x ∈R ,都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立,则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解:由a a <2得10<<a .由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立,得04162<-=∆a ,即2121<<-a .因为命题P 、Q 有且仅有一个成立,故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a .19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 . 解:22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =,且对任意的x R ∈,都有1()2f x '<,则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 . 解:令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚-x ,由f '(x ) <1/2得,2f '(x ) -1<0,即'g ﹙x ﹚<0,g(x)在R 上为减函数,且g(1)=2f(1)-1=3,不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3,即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得:log2X<1,解得,0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=,(1,0)A ,在圆O 上取一个动点B ,设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=.则P 点的轨迹方程为 .解:设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1),ky),(λ=k1)。
2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)
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2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目,12道填空题,3道解答题,所有答案填写在答题纸上,满分150分一、填空题(每小题8分,共计96分)1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。
若A B ⊆,则实数m 的取值范围为 。
2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=,则这样的函数有_______个。
3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。
4.已知数列{}n x满足:11,12n x x x n +==≥,则通项n x =__________。
5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1,1,60BC BDC =∠=,则球心到平面BDC 的距离为______________。
6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=,则z =__________________。
7.已知平面上单位向量,a b 垂直,c 为任意单位向量,且存在(0,1)t ∈,使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直,则a b c +−的最小值为__________________________。
8. 若对所有大于2024的正整数n ,成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑,则12024a a +=_________。
9.设实数,,(0,2]a b c ∈,且3b a ≥或43a b +≤,则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。
10.在平面直角坐标系xOy 上,椭圆E 的方程为221124x y +=,1F 为E 的左焦点;圆C 的方程为222())x a y b r −+−=( ,A 为C 的圆心。
直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。
则当1OAF ∠最大时,实数r =_____________________。
全国高中数学联赛预赛试题及答案
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全国高中数学联赛湖南赛区初赛试题一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题目要求的.)1.定义集合运算: {}B y A x xy z z B A ∈∈==⊗,,|.设{}0,2=A ,{}8,0=B ,则集合B A ⊗的所有元素之和为( )A.16B.18C. 20D.22 2.已知{}n a 是等比数列,41,252==a a ,则()*+∈+⋅⋅⋅++N n a a a a a a n n 13221的取值范围是( ) A.[)16,12 B.[)16,8 C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,8 D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,316 3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作,则每个场馆至少有一名志愿者的概率为( )A.53 B.151 C.85 D.81504.已知a 、b 为非零的不共线的向量,设条件:M ()b a b -⊥;条件:N 对一切R x ∈,不等式-≥-M 是N 的( )A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分而且必要条件 D.既不充分又不必要条件 5.设函数)(x f 定义在R 上,给出下述三个命题:①满足条件4)2()2(=-++x f x f 的函数图象关于点()2,2对称;②满足条件)2()2(x f x f -=+的函数图象关于直线2=x 对称;③函数)2(-x f 与)2(+-x f 在同一坐标系中,其图象关于直线2=x 对称.其中,真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.36.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于72和34,M 、N 分别为AB 、CD 的中点,每两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题:①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1其中真命题为( )A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④7.设)2008sin(sin 0=a ,)2008sin(cos 0=b ,)2008cos(sin 0=c ,)2008cos(cos 0=d ,则d c b a ,,,的大小关系是( )A.d c b a <<< B.c d a b <<< C.a b d c <<< D.b a c d <<<8. 设函数1463)(23+++=x x x x f ,且1)(=a f ,19)(=b f ,则=+b a ( )A.2B.1C.0D.2-二、填空题(本大题共6个小题,每小题8分,共48分. 请将正确的答案填在横线上.)9.在平面直角坐标系中,定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为.),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等,其中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ,则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为 . 10.已知集合(){}2008|,22≤+=Ωy x y x ,若点),(y x P 、点),(y x P '''满足x x '≤且y y '≥,则称点P 优于P '. 如果集合Ω中的点Q 满足:不存在Ω中的其它点优于Q ,则所有这样的点Q 构成的集合为 . 11.多项式()310021x x x +⋅⋅⋅+++的展开式在合并同类项后,150x的系数为 .(用数字作答)12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上,且该六棱柱的体积为89,底面周长为3,则这个球的体积为 . 13.将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色,使得每行、每列都恰有两个黑色方格,则有 不同的染法.(用数字作答)14.某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第k 棵树种植在点()k k k y x P ,处,其中1,111==y x ,当2≥k 时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=--.5251;525515111k k y y k k x x k k k k 其中,[]a 表示实数a 的整数部分,例如[]26.2=,[].06.0= 按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 .三、解答题(本大题共4小题,共62分. 要求有必要的解答过程.)15.(本小题满分14分)设实数[]βα,,∈b a ,求证:βααβ+≤+b a a b 其中等号当且仅当βα==b a ,或αβ==b a ,成立,βα,为正实数.16.(本小题满分14分)甲、乙两人进行乒乓球单打比赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军).对于每局比赛,甲获胜的概率为32,乙获胜的概率为31.如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”.试求此项赛事爆出冷门的概率.17. (本小题满分16分)已知函数()x x x f -+=1ln )(在区间[]()*∈Nn n ,0上的最小值为nb,令()n n b n a -+=1ln ,()*-∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k a a a a a a p kk k 2421231,求证:.11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p18. (本小题满分18分)过直线07075:=--y x l 上的点P 作椭圆192522=+y x 的切线PM 、PN ,切点分别为M 、N ,联结.MN(1)当点P 在直线l 上运动时,证明:直线MN 恒过定点Q ; (2)当MN ∥l 时,定点Q 平分线段.MN参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题和填空题严格按标准给分,不设中间档次分.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时参照本评分标准适当档次给分.一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题目要求的.)1.解:集合B A ⊗的元素:0021=⨯=z ,16822=⨯=z ,0003=⨯=z ,0804=⨯=z ,故集合B A ⊗的所有元素之和为16. 选A .2. 解: 设{}n a 的公比为q ,则81241253===a a q ,进而21=q .所以,数列{}1+n n a a 是以821=a a 为首项,以412=q 为公比的等比数列. ()n n n n a a a a a a -+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅⋅⋅++41332411411813221.显然,33281322121<+⋅⋅⋅++≤=+n n a a a a a a a a . 选C . 3. 解:5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为24335=种. 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑:第1类 ,一个场馆去3人,剩下两场馆各去1人,此类的方法数为60223513=⋅⋅A C C 种;第2类,一场馆去1人,剩下两场馆各2人,此类的方法数为90241513=⋅⋅C C C 种. 故每个场馆至少有一名志愿者的概率为81502439060=+=P .选D . 4. 解:设a OA =,b OB =,则b x 表示与OB-表示点A 到直线OB 上任一点C 的距离AC-表示点A 到B 的距离. 当(b a b -⊥时,.OB AB ⊥由点与直线之间垂直距离最短知,AB AC ≥,即对一切R x ∈,不等式-≥-恒成立.反之,如果AB AC ≥恒成立,则()AB AC ≥min ,故AB 必为点A 到OB 的垂直距离,AC OB ⊥,即()b a b -⊥. 选C .5.解:用2-x 代替4)2()2(=-++x f x f 中的x ,得4)4()(=-+x f x f .如果点()y x ,在)(x f y =的图象上,则)4(4x f y -=-,即点()y x ,关于点()2,2的对称点()y x --4,4也在)(x f y =的图象上.反之亦然,故①是真命题.用2-x 代替)2()2(x f x f -=+中的x ,得)4()(x f x f -=.如果点()y x ,在)(x f y =的图象上,则)4(x f y -=,即点()y x ,关于点2=x 的对称点()y x ,4-也在)(x f y =的图象上,故②是真命题.由②是真命题,不难推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.6. 解:假设AB 、CD 相交于点N ,则AB 、CD 共面,所以A 、B 、C 、D 四点共圆,而过圆的弦CD 的中点N 的弦AB 的长度显然有CD AB ≥,所以②是错的.容易证明,当以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心两侧时,MN 最大为5,故③对.当以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心同侧时,MN 最小为1,故④对.显然是对的.①显然是对的.故选A.7. 解:因为02818036052008++⨯=,所以,0)28sin(sin )28sin sin(00<-=-=a ;0)28sin(cos )28cos sin(00<-=-=b ; 0)28cos(sin )28sin cos(00>=-=c ;0)28cos(cos )28cos cos(00>=-=d .又0028cos 28sin <,故.c d a b <<<故选B.8. 解:由()()101311463)(323++++=+++=x x x x x x f ,令y y y g 3)(3+=,则)(y g 为奇函数且单调递增.而()()110131)(3=++++=a a a f ,()()1910131)(3=++++=b b b f ,所以9)1(-=+a g ,9)1(=+b g ,9)1(-=--b g ,从而)1()1(--=+b g a g , 即11--=+b a ,故2-=+b a .选D.二、填空题(本大题共6个小题,每小题8分,共48分. 请将正确的答案填在横线上.)9. 解:由条件得 9631-+-=-+-y x y x ①当9≥y 时,①化为661-=+-x x ,无解; 当3≤y 时,①化为661-+=-x x ,无解;当93≤≤y 时,①化为 16122---=-x x y ②若1≤x ,则5.8=y ,线段长度为1;若61≤≤x ,则5.9=+y x ,线段长度为25;若6≥x ,则5.3=y ,线段长度为4.综上可知,点C 的轨迹的构成的线段长度之和为()1254251+=++.填()125+.10. 解:P 优于P ',即P 位于P '的左上方,“不存在Ω中的其它点优于Q ”,即“点Q 的左上方不存在Ω中的点”.故满足条件的点的集合为(){}00,2008|,22≥≤=+y x y xy x 且.填(){}00,2008|,22≥≤=+y x y x y x 且.11.解:由多项式乘法法则可知,可将问题转化为求方程150=++r t s ① 的不超过去100的自然数解的组数.显然,方程①的自然数解的组数为.2152C下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150,故只能有一个数超过100,不妨设100>s .将方程①化为49)101(=++-r t s记101-='s s ,则方程49=++'r t s 的自然数解的组数为.251C 因此,150x的系数为7651251132152=-C C C .填7651.12.解:因为底面周长为3,所以底面边长为21,底面面积为833=S .又因为体积为89,所以高为3.该球的直径为()23122=+,球的体积ππ34343==R V .填π34. 13.解:第一行染2个黑格有24C 种染法.第一行染好后,有如下三种情况:(1)第二行染的黑格均与第一行的黑格同列,这时其余行都只有一种染法;(2)第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列,这时第三行有24C 种染法,第四行的染法随之确定;(3)第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列,这样的染法有4种,而在第一、第二这两行染好后,第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列,这时第三行的染法有2种,第四行的染法随之确定.因此,共有染法为()9024616=⨯++⨯种.填90.14.解:令⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=5251)(k k k f ,则 )(5251521511525515)5(k f k k k k k k k f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+故)(k f 是周期为5的函数.计算可知:0)2(=f ;0)3(=f ;0)4(=f ;0)5(=f ;1)6(=f . 所以,)2008(5120072008f x x -+=;)2007(5120062007f x x -+=;…;)2(5112f x x -+=.以上各式叠加,得[])2008()3()2(5200712008f f f x x +⋅⋅⋅++-+=[]{})3()2()6()3()2(401520071f f f f f x +++⋅⋅⋅++-+= 3401520071=⨯-+=x ;同理可得4022008=y .所以,第2008棵树的种植点为()402,3.填()402,3.三、解答题(本大题共4小题,共62分. 要求有必要的解答过程.)15.证明:由对称性,不妨设b a ≤,令t ba=,则因βα≤≤≤b a ,可得 .αββα≤=≤b a t …………………………(3分) 设tt t f 1)(+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤≤αββαt ,则对t 求导,得211)(t t f -='.…………(6分) 易知,当⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,βαt 时,0)(<'t f ,)(t f 单调递减;当⎥⎦⎤⎝⎛∈αβ,1t 时,0)(>'t f ,)(t f 单调递增. …………………………………………………………………(9分) 故)(t f 在βα=t 或αβ=t 处有最大值且αββαβα+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛f 及βααβαβ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 两者相等. 故)(t f 的最大值为βααβ+,即βααβ+≤+=t t t f 1)(.………………(12分) 由t ba=,得βααβ+≤+b a a b ,其中等号仅当βα==b a ,或αβ==b a ,成立.…………………………………………………………………………(14分)16. 解:如果某方以1:3或0:3获胜,则将未比的一局补上,并不影响比赛结果.于是,问题转化为:求“乙在五局中至少赢三局的概率”.…………(3分)乙胜五局的概率为531⎪⎭⎫⎝⎛;………………………………………………(6分)乙胜四局负一局的概率为3231415⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C ;………………………………(9分)乙胜三局负二局的概率为.32312325⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C ……………………………(12分)以上结果相加,得乙在五局中至少赢三局的概率为.8117……………(14分) 17. 解:(1)因为()x x x f -+=1ln )(,所以函数的定义域为()+∞-,1,…(2分)又xxx x f +-=-+='1111)(.……………………………………………(5分) 当[]n x ,0∈时, 0)(<'x f ,即)(x f 在[]()*∈Nn n ,0上是减函数,故().1ln )(n n n f b n -+==()()().1ln 1ln 1ln n n n n b n a n n =++-+=-+=…………………………(8分)因为()()()141421212222<-=+-k k k k k ,所以 ()()()()()121121212126754532312421253122222+<+⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅k k k k k k k . …………………………………………………………………………(12分) 又容易证明1212121--+<+k k k ,所以 ()()()*-∈--+<+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k k k k k k a a a a a a p k k k 1212121242125312421231,………………………………………………………………(14分)n p p p +⋅⋅⋅++21()()()12123513--++⋅⋅⋅+-+-<n n112-+=n 112-+=n a .即 .11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p ……………………(16分)18. 证明:(1)设()00,y x P 、()11,y x M 、()22,y x N . 则椭圆过点M 、N 的切线方程分别为192511=+y y x x ,192522=+y y x x .…………………………………………(3分) 因为两切线都过点P ,则有19250101=+y y x x ,19250202=+yy x x . 这表明M 、N 均在直线192500=+yy x x ①上.由两点决定一条直线知,式①就是直线MN 的方程,其中()00,y x 满足直线l 的方程.…………………(6分)(1)当点P 在直线l 上运动时,可理解为0x 取遍一切实数,相应的0y 为.107500-=x y 代入①消去0y 得01637052500=--+y x x x ② 对一切R x ∈0恒成立. …………………………………………………………(9分)变形可得 01910635250=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+y y x x 对一切R x ∈0恒成立.故有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.01910,063525y yx由此解得直线MN 恒过定点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q .……………………………(12分) (2)当MN ∥l 时,由式②知.70176370552500--≠---x x 解得.53343750=x 代入②,得此时MN 的方程为03553375=--y x ③ 将此方程与椭圆方程联立,消去y 得.012251280687533255332=--x x …………………………………………(15分) 由此可得,此时MN 截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q 的横坐标,即.14252553327533221=⨯--=+=x x x代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q 的纵坐标,即 .10925332125491357533142575-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯-⨯=y 这就是说,点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q 平分线段MN .……………………………(18分)。
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)一试预测卷二(含解析)
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2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2023年全国高中数学联合竞赛一试仿真模拟卷(二)一、填空题(每题8分,共64分)1.若sin cos sin 222θθα⋅=,sin sin cos θβθ、、成等比数列,则2cos cos2αβ-=________. 2.已知正实数列{}n a 满足:11a =,27a =,21214(2,3,)12n n nn n a a a a n a +-+==+,则2018a =________.3.已知定义在R 上的函数()y f x =(x ),对任意满足222p q r +=的p 、q 、r 均有()f p +()()0f q f r +=,M 、m 分别为函数()()tan 3g x f x x =++,在(),22x ππ∈-上的最大值和最小值,则M m +=________.4.在直三棱柱111ABC A B C -中,已知1AB BC ==,1BB =90ABC ∠=︒,E 、F 分别为边111AA B C 、的中点,则点E 沿棱柱的表面到点F 的最短路径的长度为________.5.设复数123z z z 、、满足1232018z z z ===.则123123111z z z z z z ++++的值为________.6.已知:211111()11121212n n a n +-=++++∈++++N ,则[]20181k k a ==∑________. 7.已知1F 、2F 为椭圆和双曲线的公共焦点,P 为其中的一个公共点,且123F PF π∠=,设椭圆和双曲线的离心率分别为1e 和2e ,则2212e e +的最小值为________.8.用1、2、3、4、5、6、7这七个数字组成没有重复数字的七位数,使其恰好是11的倍数的概率为________. 二、解答题(共56分)9.(16分)设正整数数列{}n a 满足:24a =,且对于任何*n ∈N ,有11112111n n n a a a n n ++++<<-+12na +.求数列{}n a 的通项n a .10.(20分)如图,设动点P 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ,2APB θ∠=,且存在常数(01)λλ<<,使得212sin d d θλ=.(1)证明:动点P 的轨迹C 为双曲线,并求出C 的方程;(2)过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点,试确定λ的范围,使0OM ON ⋅=,其中点O 为坐标原点.11.(20分)已知函数()f x =(0,)x ∈+∞. (1)当8a =时,求()f x 的单调区间; (2)对任意正数a ,证明:1()2f x <<.2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2023年全国高中数学联合竞赛一试仿真模拟卷(二)详细解析1.1-.解:由题意得:sin sin cos αθθ=+,2sin sin cos βθθ=⋅. 故222222cos cos21sin (12sin )sin 2sin (sin cos )2sin cos 1.αβαβαβθθθθ-=---=-+=-++⋅=-2.201832-.解:由题意得,()2111112222722(2,3,)3222212n n n n n n n n n a a a a a n a a a a +++--+++++=-⇒==⇒==+++++. 故数列{}2n a +是以123a +=为首项,3q =为公比的等比数列. 从而,1332n n a -=⨯-.故2018201832a =-.3.6.解:令0p q r ===,则(0)0f =.令0q =,p x =,r x =-,则()(0)()0()()f x f f x f x f x ++-=⇒=--. 所以()f x 为奇函数.故()3y g x =-也为奇函数.因此,6M m +=.4.32.解:比较以下三种情形下的线段EF 的长度:分别将以下三个二面角11111111A A B C A BB C A AC B ------、、展成平面, 利用余弦定理计算即可. 5.14072324.解:因为2018(1,2,3)i z i ==,所以22018i i z z =.从而,212018i i z z =.故原式12312322221231231120182018201820184072324z z z z z z z z z z z z ++++===++++. 6.2016.解:一方面,211111112212222n n n a --<++++=-<. 另一方面,当3n ≥时,11111111123512235n n a -=++++≥++>+.所以当3n ≥时,[]1n a =.又112a =,256a =,从而12[][]0a a ==.故[]201812016k k a ==∑.7.12+.解: 设1PF x =,2PF y =(不妨x y >),椭圆的长轴长为2m ,双曲线的实轴长为2n ,122F F c =.则2x y m +=,2x y n -=,2224x y xy c +-=.故22234m n c+=,所以2212134e e +=. 于是,222212122212134()()4e e e e e e ⎛⎫+=++≥+ ⎪⎝⎭.所以221212e e +≥+. 当221222213e e e e =,且2212134e e +=,即2114e =,2234e =时,2212min ()12e e +=+. 8.435.解:注意到,一个正整数被11整除当且仅当其奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差被11整除.记七位数为7654321a a a a a a a .则满足题意的七位数共有7!个. 又()()75316420(mod11)a a a a a a a +++-++≡. 而()()7531642max 456712316a a a a a a a +++-++=+++---=.故只能是7531642a a a a a a a +++=++, 即:753164214a a a a a a a +++=++=.于是,分组只能是:{2,3,4,5}和{1,6,7},{1,2,4,7}和{3,5,6},{1,2,5,6}和{3,4,7},{1,3,4,6}和{2,5,7}.和共四种情形.每种情形可以组成4!3!⨯个被11整除的七位数.故所求的概率为44!3!47!35⨯⨯=. 9.解法一:易得:11a =,24a =,39a =,猜想:n a n =. 下面用数学归纳法证明.(1)当1n =,2时,易知2n a n =均成立; (2)假设(2)n k k =≥成立,则2k a k =,且满足1111122111k k k ka a a a k k ++++<<+-+ ①当1n k =+时, 由①得221122122221211112(1)2(1)(1)11(1)1(1)(1).11k k k k k k a ka k k k k k k a k k k k k a k k k ++++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭++-⇒<<-+-+⇒+-<<+++- 因为2k ≥时,22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥,所以22(1)(0,1]1k k +∈+. 又11k -≥,所以1(0,1]1k ∈-. 又*1k a +∈N ,所以221(1)(1)k k a k ++≤≤+. 故21(1)k a k +=+,即1n k =+时,2n a n =成立.由(1),(2)知,对任意*n ∈N ,2n a n =.解法二:易得:11a =,24a =,39a =,猜想:2n a n =.. 下面用数学归纳法证明(1)当1n =,2时,易知2n a n =均成立; (2)假设(2)n k k =≥成立,则2k a k =,且满足1111122111k k k ka a a a k k ++++<<+-+ ①当1n k =+时, 由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭. ①即21111(1)122k k k k k a k a k+++++<+<+. ②由②左式,得2111k k k k k a +-+-<,即321(1)k k a k k k +-<+-,因为两端为整数, 则3221(1)1(1)(1)k k a k k k k k +-≤+--=+-于是21(1)k a k +≤+.③又由②右式,22221(1)21(1)1k k k k k k k k a k k +++-+-+<=. 则231(1)(1)k k k a k k +-+>+.因为两端为正整数,则2431(1)1k k k a k k +-+≥++,所以4321221(1)11k k k ka k k k k k +++≥=+--+-+.又因2k ≥时,1k a +为正整数,则21(1)k a k +≥+.④据③④得,21(1)k a k +=+,即1n k =+时,2n a n =成立. 由(1),(2)知,对任意*n ∈N ,2n a n =.10.解法一:(1)在△P AB 中,||2AB =,即222121222cos2d d d d θ=+-,2212124()4sin d d d d θ=-+,即122d d -==<(常数),点P 的轨迹C 是以A 、B为焦点,实轴长2a =的双曲线,方程为:2211x y λλ-=-. (2)设11(,)M x y ,22(,)N x y①当MN 垂直于x 轴时,MN 的方程为1x =,(1,1)M 和(1,1)N -在双曲线上.即111λλ-=-211102λλλ-⇒+-=⇒=,因为01λ<<,所以12λ=. ②当MN 不垂直于x 轴时,设MN 的方程为(1)y k x =-.由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩,得:2222[(1)]2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ--+---+=, 由于该方程有两个不同的解,故2[(1)]0k λλ--≠,所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--,2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--.于是,22212122(1)(1)(1)k y y k x x kλλλ=--=--. 因为0OM ON ⋅=,且M 、N 在双曲线右支上,所以2121222122212(1)0(1)121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+==⎧-⎧⎪>⇒<<⎪⎪+-+>⇒⇒⎨⎨⎨+--⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎩-.由①②知,1223λ-≤<. 解法二:(1)同解法一(2)设11(,)M x y ,22(,)N x y ,MN 的中点为()00,E x y ①当121x x ==时,22||1101MB λλλλλ=-=⇒+-=-,因为01λ<<.所以λ=②当12x x ≠时,22110222211111MN x y x k y x y λλλλλλ⎧-=⎪⎪-⇒=⋅⎨-⎪-=⎪⎩-. 又001MN BE y k k x ==-所以22000(1)y x x λλλ-=-; 由2MON π∠=得()2220||2MN x y +=,第二定义得()()221220200||2221(1)21.MN e x x a x x x λλ+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=-=+---所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-.于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ-=-⎧⎨-=--+-⎩ 得20(1)23x x λ-=-.因为01x >,所以2(1)123x x ->-,又01λ<<,解得:1223λ-<<由①②知1223λ≤<. 11.(1)当8a =时,11()33f x =+=+.则(1)(1()1x f x x+⋅=+=='''令()0f x '>,结合0x >,解得01x <<.故()f x 在(0,1)单调递增,同理()f x 在(1,)+∞单调递减.所以8a =时,()f x 单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,)+∞.(2)对任意给定的0a >,0x >因()f x =,若令8b ax=,则8abx =. ①则()f x =②先证()1f x >:因为11x >+11a >+11b >+.又由28a b x +++≥=,从而6a b x ++≥.所以111()11132()9()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)1()() 1.(1)(1)(1)f x x a ba b x ab bx ax a b x ab bx ax x a b x a b a b x ab bx ax abx x a b =+>+++++++++++++++++=≥+++++++++++++==+++ 再证:()2f x <:由①、②的关于x 、a 、b 的对称性,不妨设x a b ≥≥,则02b <≤,1°当7a b +≥,则5a ≥,从而5x a ≥≥,1<1≤=<.所以()2f x =++<. 2°若7a b +<,由①得8x ab=,则=因为222111114()2(1)b b b b b a b b ⎛⎫<-+=- ⎪++++⎝⎭.12(1)bb <-+.12(1)a a <-+,于是1()2211a b f x a b ⎛<-+- ++⎝.现证明11a b a b +>++因为11a b a b +>++> 只要(1)(1)8a b ab ++<+,即证18a b ab ab +++<+,即7a b +<,由假设知该式成立.综上,对任意正数a ,1()2f x <<.。
全国高中数学联赛预赛试题汇编
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函数值域与最值1、 (20XX 年江西省预赛试题)函数21)(2+-=x x x f 的值域是2、 (20XX 年安徽省预赛试题)函数242)(x x x x f --=的值域是3、 (20XX 年山西省预赛试题)若],0[π∈x ,函数xx xx y cos sin 1cos sin ++=的值域是4、 (20XX 年辽宁省预赛试题)函数|cos |3|sin |2)(x x x f +=的值域是5、 (20XX 年全国联赛一试试题)函数x x x f 3245)(---=的值域是6、(20XX 年河北省预赛试题)已知关于x 的不等式k x x ≥-+2有实数解,则实数k 的取值范围是7、(20XX 年江西省预赛试题)设多项式)(x f 满足:对R x ∈∀,都有x x x f x f 42)1()1(2-=-++,则)(x f 的最小值是8、(20XX 年四川省预赛试题)已知函数424)42()(24224+++-++=x x x k k x x f 的最小值是0,则非零实数k 的值是9、(20XX 年全国联赛一试试题)已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-,则实数a 的取值范围是10、(20XX 年全国联赛一试试题)函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8,则它在这个区间上的最小值是11、(20XX 年福建省预赛试题)已知函数|2|)(a x x x f -=,试求)(x f 在区间]1,0[上的最大值)(a g12、(20XX 年辽宁省预赛试题)已知131≤≤a ,若12)(2+-=x ax x f 在]3,1[上的最大值为)(a M ,最小值为)(a N ,令)()()(a N a M a g -=(1)求)(a g 的函数表达式; (2)求证:21)(≥a g 恒成立。
1、(20XX 年河北省预赛试题)函数)1(+=x f y 的反函数是)1(1+=-x f y ,且4007)1(=f ,则=)1998(f2、(20XX 年山西省预赛试题) 函数2)(2-=ax x f ,若2))2((-=f f ,则=a3、(20XX 年辽宁省预赛试题)不等式x x 256log )1(log >+的整数解的个数为4、(20XX 年吉林省预赛试题)已知1)1,1(=f ,),(),(**N n m N n m f ∈∈,且对任意*,N n m ∈都有:①2),()1,(+=+n m f n m f ;②)1,(2)1,1(m f m f =+,则)2008,2010(f 的值为5、(20XX 年山东省预赛试题)若函数x e ex x f -=ln )(,则=∑=)2011(20101k kef6、(20XX 年山东省预赛试题)函数432)(23+++=x x x x f 的图像的对称中心为7、(20XX 年山东省预赛试题)已知函数)0(4321)(2>--=a x ax x f ,若在任何长度为2的闭区间上总存在两点21,x x ,使41|)()(|21≥-x f x f 成立,则a 的最小值为 8、(20XX 年福建省预赛试题)函数)(cos sin )(*22N k x x x f k k ∈+=的最小值为 9、(20XX 年河南省预赛试题)设11)(+-=x x x f ,记)()(1x f x f =,若))(()(1x f f x f n n =+,则=)(2010x f10、(20XX 年湖北省预赛试题)对于一切]21,2[-∈x ,不等式0123≥++-x x ax 恒成立,则实数a 的取值范围为11、(20XX 年甘肃省预赛试题)设0>a ,函数|2|)(a x x f +=和||)(a x x g -=的图像交于C 点且它们分别与y 轴交于A 和B 点,若三角形ABC 的面积是1,则=a 12、(20XX 年甘肃省预赛试题)函数R R f →:对于一切R z y x ∈,,满足不等式)2(3)()()(z y x f x z f z y f y x f ++≥+++++,则=-)0()1(f f13、(20XX 年黑龙江省预赛试题)设)(x f 是连续的偶函数,且当0>x 时是严格单调函数,14、(20XX 年贵州省预赛试题)已知函数2232)(a ax x x f --=,且方程8|)(|=x f 有三个不同的实根,则实数=a15、(20XX 年安徽省预赛试题)函数=y 的图像与x e y =的图像关于直线1=+y x 对称16、(20XX 年浙江省预赛试题)设442)1()1()(x x x x k x f --+-=,如果对任何]1,0[∈x ,都有0)(≥x f ,则k 的最小值为17、(20XX 年湖南省预赛试题)设函数x xx x f 2cos )24(sin sin 4)(2++⋅=π,若2|)(|<-m x f 成立的充分条件是326ππ≤≤x ,则实数m 的取值范围是 18、(20XX 年新疆维吾尔自治区预赛试题)已知函数221)(x x x f +=,若)1011()1001(...)31()21(),101(...)2()1(f f f f n f f f m ++++=+++=,则=+n m19、(20XX 年河北省预赛试题)已知函数)1)(1ln(1221)(2≥+++-=m x x mx x f(1)若曲线)(:x f y C =在点)1,0(P 处的切线l 与C 有且只有一个公共点,求m 的值; (2)求证:函数)(x f 存在单调递减区间],[b a ,并求出单调递减区间的长度a b t -=的取值范围。
高中数学竞赛(预赛)训练试题+数学竞赛初赛试题(含答案)
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高中数学竞赛(预赛)训练试题+数学竞赛初赛试题(含答案)高中数学竞赛(预赛)真题训练(一)一、填空题(本题满分56分,每小题7分。
) 1.已知复数m 满足11=+m m ,则=+200920081mm . 2.设2cos sin 23cos 21)(2++=x x x x f ,]4,6[ππ-∈x ,则)(x f 的值域为 . 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若0,01615<>S S ,则15152211,,,a S a S a S 中最大的是 . 4.已知O 是锐角△ABC 的外心,10,6==AC AB ,若AC y AB x AO +=,且5102=+y x ,则=∠BAC cos .5.已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1,O 为底面ABCD 的中心,M ,N 分别是棱A 1D 1和CC 1的中点.则四面体1MNB O -的体积为 .6.设}6,5,4,3,2,1{=C B A ,且}2,1{=B A ,C B ⊆}4,3,2,1{,则符合条件的),,(C B A 共有 组.(注:C B A ,,顺序不同视为不同组.)7.设x x x x x x y csc sec cot tan cos sin +++++=,则||y 的最小值为 . 8.设p 是给定的正偶数,集合},3,22|{1N ∈=<<=+m m x x x A p pp 的所有元素的和是 .二、解答题(本题满分64分,第9题14分,第10题15分,第11题15分,第12题20分。
) 9.设数列)0}({≥n a n 满足21=a ,)(2122n m n m n m a a n m a a +=+-+-+,其中n m n m ≥∈,,N . (1)证明:对一切N ∈n ,有2212+-=++n n n a a a ; (2)证明:1111200921<+++a a a . 10.求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数.11.已知抛物线C :221x y =与直线l :1-=kx y 没有公共点,设点P 为直线l 上的动点,过P 作抛物线C 的两条切线,A ,B 为切点.(1)证明:直线AB 恒过定点Q ;12.设d c b a ,,,为正实数,且4=+++d c b a .证明:22222)(4b a ad d c c b b a -+≥+++.湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(一)参考答案一、填空题(本题满分56分,每小题7分。
2024年全国高中数学联赛初赛试题+答案[北京、广西、吉林、内蒙、四川、浙江、重庆]
![2024年全国高中数学联赛初赛试题+答案[北京、广西、吉林、内蒙、四川、浙江、重庆]](https://img.taocdn.com/s3/m/cf60365b773231126edb6f1aff00bed5b8f37350.png)
2024年重庆市高中数学联赛初赛试题 2 2024年浙江省高中数学联赛初赛试题 3 2024年四川省高中数学联赛初赛试题 4 2024年吉林省高中数学联赛初赛试题 5 2024年广西省高中数学联赛初赛试题 7 2024年内蒙古高中数学联赛初赛试题 9 2024年北京市高中数学联赛初赛一试 10 2024年北京市高中数学联赛初赛二试 11一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1.已知复数z 使得z -4z为纯虚数,则z -1-i 的最小值为.(其中i 为虚数单位)2.设函数f x =2x -2-x 的反函数为y =f -1x ,则不等式f -1x -1 <1的解集为.3.若点A -12,32关于直线y =kx 对称的点在圆x -2 2+y 2=1上,则k =.4.在△ABC 中,已知AB ⋅AC =2BC ⋅BA =3CA ⋅CB,则△ABC 最大角的正弦值为.5.数列a n 满足a 1=1,a n +1-a n a n =a n +2-a n +1a n +2n ∈N * ,若a 1a 2+a 2a 3+⋯+a 6a 7=3,则a 2024=.6.由1,2,⋯,9这九个正整数构成的所有圆排列中,任意相邻两数之积均不超过60的圆排列的个数为.7.已知四面体ABCD 满足AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,AB =BC =CD =1,且异面直线AD 与BC 所成的角为60°,则四面体ABCD 的外接球的体积为.ABCD A 1D 1O 1O 8.一珍稀物种出现在地球,对每个珍稀生物,每天有如下事件发生:有p 0≤p ≤1 的概率消失,有1-p3的概率保持不变,有1-p 3的概率分裂成两个,有1-p3的概率分裂成三个.对所有新产生的生物每天也会发生上述事件.假设开始只有一个这样的珍稀生物,若希望最终这种生物灭绝的概率不超过12,则p 至多为.二、解答题:共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.16分 已知函数f x =ln x -sin x ,若两不相等的实数x 1,x 2∈0,π 满足曲线y =f x 在点x 1,f x 1 和点x 2,f x 2 处的切线斜率相等,求证:f x 1 +f x 2 >-2.10.20分 已知抛物线Ω:y =x 2,动线段AB 在直线y =3x -3上(B 在A 右侧),且AB =2 3.过A 作Ω的切线,取左边的切点为M .过B 作Ω的切线,取右边的切点为N .当MN ⎳AB 时,求点A 的横坐标.11.20分 设x 1=3,x n +1=x n +14-x n +2n ∈N * ,求x 1+x 2+⋯+x n 的值.(其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数.)一、填空题(每小题8分,共计96分)1.设集合A =x x -12x -1≤0 ,集合B =x ∣x 2+2x +m ≤0 .若A ⊆B ,则实数m 的取值范围为.2.设函数f :{1,2,3}→{2,3,4}满足f f x -1 =f x ,则这样的函数有个.3.函数y =sin 2x +sin x +1sin 2x +1的最大值与最小值之积为.4.已知数列x n 满足:x 1=22,x n +1=x n n n +1x 2n+n n +1,n ≥1,则通项x n =.5.已知四面体A -BCD 的外接球半径为1,若BC =1,∠BDC =60°,球心到平面BDC 的距离为.6.已知复数z 满足z 24=z -1 510=1,则复数z =.7.已知平面上单位向量a ,b 垂直,c 为任意单位向量,且存在t ∈0,1 ,使得向量a +1-t b 与向量c -a 垂直,则a +b -c的最小值为.8.若对所有大于2024的正整数n ,成立n2024=2024i =0a i C in ,a i ∈N ∗,则a 1+a 2024=.9.设实数a ,b ,c ∈(0,2],且b ≥3a 或a +b ≤43,则max {b -a ,c -b ,4-2c }的最小值为.10.在平面直角坐标系xOy 上,椭圆E 的方程为x 212+y 24=1,F 1为E 的左焦点;圆C 的方程为x -a 2+y -b 2=r 2,A 为C 的圆心.直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点P 3,1 .当∠OAF 1最大时,实数r =.11.设n 为正整数,且nk =0-1 kC knk 3+9k 2+26k +24=1312,则n =.12.设整数n ≥4,从编号1,2,⋯,n 的卡片中有放回地等概率抽取,并记录下每次的编号.若1,2均出现或3,4均出现就停止抽取,则抽取卡片数的数学期望为.二、解答题(13题满分14分,14、15题满分各20分,合计54)13.正实数k 1,k 2,k 3满足k 1<k 2<k 3;实数c 1,c 2满足c 1=k 2-k 1,c 2-c 1=2k 3-k 2 ,定义函数f x =k 1x ,0≤x ≤1k 2x -c 1,1<x ≤2,k 3x -c 2,x >2 g x =k 1x ,0≤x ≤1k 2x -c 112,1<x ≤2k 3x -c 212,x >2 试问,当k 1,k 2,k 3满足什么条件时,存在A >0使得定义在[0,A ]上的函数g x +f A -x 恰在两点处达到最小值?14.设集合S ={1,2,3,⋯,997,998},集合S 的k 个499元子集A 1,A 2,⋯,A k 满足:对S 中任一二元子集B ,均存在i ∈{1,2,⋯,k },使得B ∈A i .求k 的最小值.15.设f x ,g x 均为整系数多项式,且deg f x >deg g x .若对无穷多个素数p ,pf x +g x 存在有理根,证明:f x 必存在有理根.(考试时间:2024年5月19日9:00∼11:00)一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1.设函数f x =ln x +x -2的零点都在区间[a ,b ]a ,b ∈Z ,a <b 内,则b -a 的最小值为.2.已知a >b >1,若log a b +log b a =52,则ba +4的最大值为.3.设a ∈R ,若函数f x =ax -ax-2ln x 在其定义域内为单调递增函数,则实数a 的最小值为.4.用f X ,Γ 表示点X 与曲线Γ上任意一点距离的最小值.已知⊙O :x 2+y 2=1及⊙O 1:x -4 2+y 2=4,设P 为⊙O 上的动点,则f P ,⊙O 1 的最大值为.5.设△ABC 中,AC =2,∠ABC =2∠BAC ,则△ABC 面积的最大值为.6.将边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1绕着其中心旋转45°得到一个十面体ABCD -EFGH (如图),则该十面体的体积为.7.若T =100k =1299+k ⋅3101-k ,则T 的末尾数字0的个数为.8.记I ={1,4,5,6},U ={1,2,3,⋯,25},集合U 的子集A =a 1,a 2,a 3,a 4,a 5 ,满足a i -a j ∉I ∀1≤i <j ≤5 ,则符合条件的集合A 的个数为.(用具体数字作答)二、解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(16分)已知t 为正实数,若曲线y =t ⋅e x 与椭圆C :x 22+y 2=1交于A 、B 两个不同的点,求证:直线AB 的斜率k <22.10.(20分)设复数x ,y ,z 满足:x +2y +3z =1.求x 2+y 2+z 2+x 2+y 2+z 2的最小值.11.(20分)给定正整数n ≥2,数组a 1,a 2,⋯,a n 称为“好数组”是指:a 1,a 2,⋯,a n 均不为0,a 1=1,且对任意的1≤k ≤n -1,均有a k +1+a k a k +1-a k -1 =0.求“好数组”a 1,a 2,⋯,a n 的组数.一、选择题:本大题共6小题,每小题x 分,满分x 分.1.记S =32+432-4+42+442-4+52+452-4+⋯+132+4132-4,则与S 最接近的整数为()A.14B.15C.16D.172.在四边形ABCD 中,AB ⎳CD ,AC =λAB +μAD λ,μ∈R .若λ+μ=32,则CDAB=()A.13B.12C.1D.23.函数f x =ax 3-6x a ∈R ,若f x ≤2对∀x ∈-1,12成立,则()A.f x ≤1对∀x ∈-12,12 成立B.f x ≤32对∀x ∈-12,12成立C.f x ≤18对∀x ∈-32,32成立D.f x ≤352对∀x ∈-32,32成立4.在正四面体ABCD 中,棱AD 的中点和面BCD 的中心的连线为MN ,棱CD 的中点和面ABC 的中心的连线为PQ ,则MN 与PQ 所成角的余弦值为()A.118B.117C.116D.1155.已知函数f x =2x 4-18x 2+12x +68+x 2-x +1,则()A.f x 的最小值为8 B.f x 的最小值为9C.f x =8有1个实根D.f x =9有1个实根6.已知A ,B ,C 是平面上三个不同点,且BC =a ,CA =b ,AB =c ,则c a +b +bc的最小值为()A.2-12B.22-12C.2-22D.1-22二、填空:本大题共6小题,每小题x 分,满分x 分.7.设集合S ={1,2,3,4,5}.若S 的子集A 满足:若x ∈A ,则6-x ∈A ,则称子集A 具有性质p ,现从S 的所有非空子集中,等可能地取出一个,则所取出的非空子集具有性质p 的概率为.8.函数f x =log a 4-ax (a >0,且a ≠1),若f x ≥1对∀x ∈[1,2]成立,则实数a 的取值范围.9.已知甲、乙、丙、丁四位同学对某10道判断题的解答情况如下表:题号12345678910甲×√××√×√√√×乙××√√×√√√××丙√√×√√√×√×√丁××√√××√√××若甲、乙、丙三人均答对7题,则丁答对的题数为.10.已知函数f x =ln x -1x2+2ax -ax .若∃m >0,使得f m ≥a 2,则实数a 的最大值为11.设函数f x =sin x⋅sin3x,若关于x的方程f x =a在(0,π]上有奇数个不同的实数解,则实数a的值为.12.在△ABC中,AP平分∠BAC,AP交BC于P,BQ平分∠ABC,BQ交CA于Q,∠BAC=30°,且AB+BP =AQ+QB,则∠ABC的度数为.三、解答:本大题共4小题,每小题x分,满分x分.13.已知椭圆C1的中心为坐标原点O,焦点在坐标轴上.圆C2的圆心为坐标原点O,过点A-2,0且倾斜角为30°的直线与圆C2相切.(1)求圆C2的方程;(2)过圆C2上任意一点P x0,y0x0⋅y0≠0作圆C2的切线,与椭圆C1交于A,B两点,均有∠AOB=90°成立.判断椭圆C1是否过定点?说明理由.14.已知数列a n满足:a1=1,a2=2,a n+1=1a n+an-1n≥2.求证:2024k=11a k>88.15.如图,⊙O1、⊙O2外切于点A,过点A的直线交⊙O1于另一点B,交⊙O2于另一点C,CD切⊙O1于点D,在BD的延长线上取一点F,使得BF2=BC2-CD2,连接CF交⊙O2于E,求证:DE与⊙O2相切.16.全体正有理数的集合Q+被分拆为三个集合A,B,C(即A∪B∪C=Q+,且A∩B=B∩C=C∩A=∅,满足B*A=B,B*B=C,B*C=A,这里H*K={h⋅k∣h∈H,k∈K}.(1)给出一个满足要求的例子(即给出A,B,C);(2)给出一个满足要求的例子,且1,2,⋯,35中的任意两个相邻正整数均不同时在A中.2024年广西省高中数学联赛初赛试题一、填空题(本大题共8小题,每小题10分,共80分).1.设函数f x =log2x.若a<b且f a =f b ,则a+2024b的取值范围是.2.已知椭圆x 2a2+y2b2=1a>b>0的焦点为F1,F2,M为椭圆上一点,∠F1MF2=π3,OM=153b.则椭圆的离心率为.3.若正实数x,y满足x-2y=2x-y,则x的最大值为.4.方程3x=x37的正整数解为.5.设x1,x2,x3,x4均是正整数,且x i x j x k∣1≤i<j<k≤4=18,36,54.则x1+x2+x3+x4=.6.正三棱雉P-ABC中,AP=3,AB=4.设D是直线BC上一点,面APD与直线BC的夹角为45°,则线段PD的长度是.7.已知四次多项式x4-25x3+ax2+61x-2024的四个根中有两个根的乘积是-253,则实数a=.8.设数列x n满足x1=2001,x n+1=x n+y n,其中y n等于x n的个位数,则x2024=.二、解答题(本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)9.(15分)如图所示,AD=CD,DP=EP,BE=CE,DP<AD<BE,∠ADC=∠DPE=∠BEC=90°.证明:P为线段AB的中点.10.(15分)设A为数集{1,2,3,⋯,2024}的n元子集,且A中的任意两个数既不互素又不存在整除关系.求n 的最大值.11.(20分)用[x]表示不超过x的最大整数.设数列x n满足:x1=1,x n+1=4x n+11x n.求x2024的个位数.12.(20分)图G是指一个有序二元组V,E,其中V称为顶点集,E称为边集.一个图G中的两点x,y的距离是指从x到y的最短路径的边数,记作d x,y.一个图G的直径是指G中任意两点的距离的最大值,记作diam G.∣x,y∈G,即diam G=max d x,y记Z n={[0],[1],[2],⋯,[n-1]}是模n的剩余类,定义Z n上的加法和乘法,均是模n的加法和乘法,例如在Z12={[0],[1],[2],⋯,[11]}中:[3]+[4]=[7],[6]+[9]=[3];[3]⋅[4]=[0],[6]⋅[9]=[6].在Z n中,设[x]≠[0].若存在[y]≠[0]使得[x]⋅[y]=[0],则称[x]是Z n的一个零因子.记Z n的所有零因子的集合为D Z n,它是以={[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]}.Z n的零因子图,记为ΓZ n .例如D Z12D Z n为顶点集,两个不同的顶点[x],[y]之间有一条边相连当且仅当[x]⋅[y]=[0].下图是ΓZ12的例子.证明:对一切的整数n≥2,都有diamΓZ n≤3.2024年内蒙古高中数学联赛初赛试题(2024年5月19日,8:30-9:50)一、填空题(本题满分64分,每小题8分)1.集合M ={1,2,3,5,6}的全部非空子集的元素和等于.2.设a ,b ,c 是实数,满足a +b +c =1,a 2+b 2+c 2=1,a ≠0,bca 3的取值范围为.3.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长为4,底面边长为2,过点A 的一个平面截此棱柱,与侧棱BB 1,CC 1分别交于点M ,N ,若△MNA 为直角三角形,则△MNA 面积的最大值为.4.已知在△ABC 中BC =3,A =π3,BD =14BC,则线段AD 的最大值为.5.从1,2,⋯,11中任取三个不同的数,则这三个数可以构成等差数列的概率为.6.O 是原点,椭圆x 24+y 25=1,直线l 过1,0 且与椭圆交于A ,B 两点,则△ABO 面积的最大值为.7.数列a n 中,a 1=110,且对任意n ∈N *,a n +1=a 2n +a n ,求2024n =11a n+1 的整数部分是.8.已知关于x 的方程x 3-3x +4=0的三个复数根分别为z 1,z 2,z 3,则z 1-z 2 2z 2-z 3 2z 3-z 1 2的值为.二、解答题(本题满分56分)9.(16分)已知双曲线C :x 24-y 23=1,直线l :y =kx +1与双曲线C 的左右支分别相交于A ,B 两点,双曲线C 在A ,B 两点处的切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值.10.(20分)已知函数f x =e x -1-xax 2-2x +1.(1)当a =0时,讨论f x 在-4,12上的极值.(2)若x =0是f x 的极小值点,求a 的取值范围.11.(20分)设n 是一个给定的正整数,集合S n =i ,j ∣1≤i ,j ≤2n ,i ,j ∈N * ,求最大的正数c =c n ,使得对任意正整数d 1,d 2,都存在集合S n 的子集P ,满足集合P 至少有cn 2个元素,且集合P 的任两个元素i ,j ,k ,l 均有i -k2+j -l 2≠d 1,i -k 2+j -l 2≠d 2.2024年北京市高中数学联赛初赛一试考试时间:8:00-9:20一、填空题(1-8题每题8分,第9题16分,第10,11题每题20分,共120分)1.设整数集合A=a1,a2,a3,a4,a5,若A中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为B={-30,-15, -10,-6,-5,-3,2,6,10,15},则集合A={-30,-15,-10,-6,-5,-3,20,10,15},则集合A=.2.已知函数f x =x+2,x<0;ln12x+1,x≥0.若关于x的方程f f x=m恰有三个不相等的实数根x1,x2,x3且满足x1<x2<x3,则2x1+9ln x2+4的取值范围是.3.从1,2,⋯,2024中任取两个数a,b a≤b,则3a+7b的值中,个位数字为8的数有个.4.设复数z满足3z-2i=6,令z1=z2-10z+74z-5+7i,则z1的最大值是.5.已知函数f x =x,若x为无理数;q+1p,若x=qp,其中p,q∈N*,且p,q互质,p>q.则函数f x 在区间89,910上的最大值为.6.对于c>0,若非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0,且使2a+b最大,则3a-4b+2c的最小值为.7.已知函数f x =cos4x+sin4x+a sin4x-b,且f x+π6为奇函数.若方程f x +m=0在[0,π]上有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4,则fx1+x2+x3+x44的平方值为.8.已知A⊆{1,2,⋯,2625},且A中任意两个数的差的绝对值不等于4,也不等于9,则A 的最大值为.9.设多项式f x =x2024+2023i=0c ix i,其中c i∈{-1,0,1}.记N为f x 的正整数根的个数(含重根).若f x 无负整数根,N的最大值是.10.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AA1上的一点,且A1E=1,F为截面A1BD上的动点,则AF+FE的最小值等于.11.数列a n定义如下:设2n!n!n+2024!写成既约分数后的分母为A n ,a n等于2A n 的最大质因数,则a n的最大值等于.2024年北京市高中数学联赛初赛二试考试时间:9:40-12:301.(40分)设a,b,c是三个正数,求证:2a2a2+b2+c2+2ba2+2b2+c2+2ca2+b2+2c2≤32a+b+c5a2+5b2+5c2+ab+bc+ca.2.(40分)如图所示,锐角△ABC的三条高线AD,BE,CF交于点H,过点F作FG⎳AC交直线BC于点G,设△CFG的外接圆为⊙O,⊙O与直线AC的另一个交点为P,过P作PQ⎳DE交直线AD于点Q,连接OD,OQ.求证:OD=OQ.3.(50分)有n个球队参加比赛,球队之间的比赛计划已经安排好了.但是每场比赛的主场客场还没有分配好.这时每个球队都上报了自己能够接受的客场比赛的最大次数.最终组委会发现这些次数加在一起恰好是比赛的总场次,并且组委会还发现任意挑出若干支球队,他们能够接受的客场次数之和都要大于等于他们之间的比赛总场次.请问组委会能否安排好主客场使得每支球队都满意,请证明你的结论.4.(50分)设a1,a2,⋯,a n为n个两两不同的正整数且a1a2⋯a n恰有4048个质因数.如果a1,a2,⋯,a n中任意多个数相乘均不是一个整数的4049次方,求n的最大值.2024年重庆市高中数学联赛初赛试题 2 2024年浙江省高中数学联赛初赛试题 3 2024年四川省高中数学联赛初赛试题 4 2024年吉林省高中数学联赛初赛试题 5 2024年广西省高中数学联赛初赛试题 7 2024年内蒙古高中数学联赛初赛试题 9 2024年北京市高中数学联赛初赛一试 10 2024年北京市高中数学联赛初赛二试 112024年重庆市高中数学联赛初赛试题一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1.已知复数z 使得z -4z为纯虚数,则z -1-i 的最小值为2-2.(其中i 为虚数单位)【答案】2-2【解析】z -4z 为纯虚数⇒z -4z =-z -4z⇔z +z =4z +zzz.当z +z=0时,,z -1-i min =1;当z +z≠0时,,则z =2,,此时z -1-i min =2-2<1,,当z =21+i 可取等号.2.设函数f x =2x -2-x 的反函数为y =f -1x ,则不等式f -1x -1 <1的解集为-12,52 .【答案】-12,52 【解析】因为f x 为R 上单调递增的奇函数,,且值域为R ,,所以f -1x 也为R 上单调递增的奇函数.注意f 1 =32,,故f -1x -1 <1⇔-32<x -1<32⇔-12<x <52.3.若点A -12,32 关于直线y =kx 对称的点在圆x -2 2+y 2=1上,则k =3.【答案】3【解析】注意点A 在圆x 2+y 2=1上,,且A 关于直线y =kx 对称的点必然在圆x 2+y 2=1上,,而圆x 2+y 2=1与圆x -2 2+y 2=1仅有唯一公共点B 1,0 ,,因此对称点只能是B .易知∠AOB =120°,,因此k =tan60°= 3.4.在△ABC 中,已知AB ⋅AC =2BC ⋅BA =3CA ⋅CB ,则△ABC 最大角的正弦值为31010.【答案】31010【解析】设△ABC 的内角A ,,B ,,C 所对的边分别为a ,,b ,,c ,,由条件知b 2+c 2-a 22=a 2+c 2-b 2=3a 2+b 2-c 2 2,,解得b 2=85a 2,,c 2=95a 2,,故最大角为角C ,,由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =1010⇒sin C =31010.5.数列a n 满足a 1=1,a n +1-a n a n =a n +2-an +1a n +2n ∈N * ,若a 1a 2+a 2a 3+⋯+a 6a 7=3,则a 2024=62029.【答案】62029【解析】由a n +1-a n a n =a n +2-a n +1a n +2可得1a n +1a n +2=2a n +1,,则数列1a n 为等差数列,,首项为1a 1=1,,设公差为d ,,则a 1a 2+a 2a 3+⋯+a 6a 7=11+d +11+d 1+2d +⋯+11+5d 1+6d=1d 1-11+d +11+d -11+2d +⋯11+5d -11+6d =61+6d =3⇒d =16,,故1a 2024=1+20236=20296⇒a 2024=62029.6.由1,2,⋯,9这九个正整数构成的所有圆排列中,任意相邻两数之积均不超过60的圆排列的个数为21600.【答案】21600【解析】一个圆排列满足要求当且仅当该排列中8,,9与7,,9这两对数均不能相邻.设满足8,,9相邻的圆排列有N1个,,满足7,,9相邻的圆排列有N2个,,满足8,,9相邻且7,,9相邻的圆排列有N3个,,则N1= N2=A22⋅7!,,N3=A22⋅6!,,从而由容斥原理,,满足要求的排列的个数为N=8!-N1+N2-N3=21600.7.已知四面体ABCD满足AB⊥BC,BC⊥CD,AB=BC=CD=1,且异面直线AD与BC所成的角为60°,则四面体ABCD的外接球的体积为55π6.ABC DA1D1 O1O【答案】55π6【解析】由题设条件,,可将四面体补成直三棱柱ABD1-A1CD,,如图所示.由题知∠A1AD=60°,,AA1=1,,于是A1D=AD1=3,,又AB=BD1=1,,则∠ABD1=120°.设四面体ABCD的外接球球心为O,,则O在平面ABD1的投影O1为△ABD1的外心,,且OO1=12.由正弦定理知,,O1A=1,,从而外接球半径R=OA=52,,于是V=43πR3=55π6.8.一珍稀物种出现在地球,对每个珍稀生物,每天有如下事件发生:有p0≤p≤1的概率消失,有1-p3的概率保持不变,有1-p3的概率分裂成两个,有1-p3的概率分裂成三个.对所有新产生的生物每天也会发生上述事件.假设开始只有一个这样的珍稀生物,若希望最终这种生物灭绝的概率不超过12,则p至多为5 17.【答案】517【解析】设开始有一个珍稀生物、最终灭绝的概率为f1 =q≤12,,那么若开始有n个珍稀生物、最终灭绝的概率则为f n =q n.由题知,,f1 =p+1-p3f1 +1-p3f2 +1-p3f3 ,,从而有q=p+1-p3q+1-p 3q2+1-p3q3即q-11-p3q2+2q+3-1∣=0,,由于q≤12,,则0=1-p3q2+2q+3-1≤1-p 3⋅174-1,,得p≤517.故p至多为517.注:该题也可以用母函数.其第n天的母函数为f n x ,,其中f x =p+1-p3x+1-p3x2+1-p3x3,,考虑limn→+∞f n 0 ≤12即可.二、解答题:共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.16分已知函数f x =ln x-sin x,若两不相等的实数x1,x2∈0,π满足曲线y=f x 在点x1,f x1和点x2,f x2处的切线斜率相等,求证:f x1 +f x2 >-2.【解析】先证一个引理:对x>0,,有sin x<x.引理的证明:令φx =sin x-x,,φ x =cos x-1≤0,,故φx 为减函数,,所以当x>0时,,φx <φ0 =0,,引理得证!4分回到原题:f x =1x-cos x,,由题知f x1=f x2 .不妨x 1>x 2,,则x 1-x 22∈0,π2,,于是由f x 1 =f x 2 并结合引理可得x 1-x 2x 1x 2=cos x 2-cos x 1=2sin x 1+x 22sin x 1-x228分≤2sin x 1-x 22<2×x 1-x22=x 1-x 2,,因此x 1x 2>1.12分所以f x 1 +f x 2 =ln x 1x 2-sin x 1-sin x 2>-sin x 1-sin x 2≥-2.16分10.20分 已知抛物线Ω:y =x 2,动线段AB 在直线y =3x -3上(B 在A 右侧),且AB =2 3.过A 作Ω的切线,取左边的切点为M .过B 作Ω的切线,取右边的切点为N .当MN ⎳AB 时,求点A 的横坐标.【解析】设M x 1,x 21 ,,N x 2,x 22 ,,注意k MN =x 22-x 21x 2-x 1=x 1+x 2,,从而当MN ⎳AB 时,,k MN =k AB =3⇒x 1+x 2= 3.5分因为y =2x ,,所以k AM =2x 1,,可得切线AM 的方程为y -x 21=2x 1x -x 1 ,,即y =2x 1x -x 21.同理可得切线BN 的方程为y =2x 2x -x 22.由题设中A ,,B 的要求,,可设A t ,3t -3 ,,B t +3,3t ,,10分将A t ,3t -3 代入切线AM 的方程,,得3t -3=2tx 1-x 21,,即x 21-2tx 1+3t -3=0,,可求得x 1=t -t 2-3t +3,,这里取较小的根是因为M 为左边的切点.同理可求得x 2=t +3+t 2+3t +3.15分于是x 1+x 2=3⇒t -t 2-3t +3+t +3+t 2+3t +3=3,,整理得t 1+3t 2-3t +3+t 2+3t +3=0⇒t =0.故点A 的横坐标为0.20分11.20分 设x 1=3,x n +1=x n +14-x n +2n ∈N * ,求x 1+x 2+⋯+x n 的值.(其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数.)【解析】设f x =x +14-x +2=12x +14+x +2.对于x >0,,f x 连续且单调递减.由于x 1>2,,则0<x 2=f x 1 <f 2 =2,,进而依次可以得到x 3>2,,0<x 4<2,,即0<x 2k <2,,x 2k +1>2.5分令g x =x +f x .由于g x =1+12x +14-12x +2>0恒成立,,故当x ≥0时,,g x 单调递增.又由于g 2 =4,,故当x >2时,,g x >4;当0<x <2时,,g x <4.10分当n 为偶数时,,设n =2k k ∈N * ,,有x 1+⋯+x 2k =x 1+x 2 +x 3+x 4 +⋯+x 2k -1+x 2k =g x 1 +g x 3 +⋯+g x 2k -1 >4k ,,且x 1+⋯+x 2k =x 1+x 2+x 3 +x 4+x 5 +⋯+x 2k -2+x 2k -1 +x 2k =x 1+g x 2 +g x 4 +⋯+g x 2k -2 +x 2k <4k +1,,故x 1+x 2+⋯+x 2k =4k =2n .当n 为大于1的奇数时,,设n =2k +1k ∈N * ,,有x 1+⋯+x 2k +1=x 1+x 2 +x 3+x 4 +⋯+x 2k -1+x 2k +x 2k +1=g x 1 +g x 3 +⋯+g x 2k -1 +x 2k +1>4k +2x 1+⋯+x 2k +1=x 1+x 2+x 3 +x 4+x 5 +⋯+x 2k +x 2k +1=x1+g x2+g x4 +⋯+g x2k<4k+3,,故x1+x2+⋯+x2k+1=4k+2=2n.当n=1时,,x1=3.综上,,当n=1时,,x1=3;当n≥2时,,x1+x2+⋯+x n=2n.20分2024年浙江省高中数学联赛初赛试题一、填空题(每小题8分,共计96分)1.设集合A=x x-12x-1≤0,集合B=x∣x2+2x+m≤0.若A⊆B,则实数m的取值范围为m≤-3.【答案】m≤-3【解析】集合A=x 12<x≤1,,要使A⊆B,,则12+2×1+m≤0,,解得m≤-3.2.设函数f:{1,2,3}→{2,3,4}满足f f x -1=f x ,则这样的函数有10个.【答案】10【解析】令y=f x -1∈{1,2,3},,则f y =y+1.对f1 =2以下三种情况都满足条件f2 =f3 =2;f2 =f3 =3;f2 =f3 =4,,共3种.同理对f2 =3,,f1 =f3 有3种情况;f3 =4,,f1 =f2 也有3种情况.又f1 =2,,f2 =3,,f3 =4显然满足条件.所以满足已知条件的函数共有3×3+1=10个.(可以看出这种映射的限制仅在值域上,,因此也可对值域大小分类讨论.)3.函数y=sin 2x+sin x+1sin2x+1的最大值与最小值之积为34.【答案】34【解析】令t=sin x,,-1≤t≤1,,原式变形y=1+1t+1t ,,当t≠0时,,12≤y≤32.当t=0时,,y=1.所以y的最大、最小值分别为32,,12,,其积为34.4.已知数列x n满足:x1=22,x n+1=xnn n+1x2n+n n+1,n≥1,则通项x n=n3n-1.【答案】n3n-1【解析】将已知条件变形得1x2n+1-1x2n=1n-1n+1,,将上式从1到n叠加得到1 x2n -1x21=1-1n,,即x n=n3n-1.5.已知四面体A-BCD的外接球半径为1,若BC=1,∠BDC=60°,球心到平面BDC的距离为6 3.【答案】63【解析】因为球心在平面BDC上的投影就是△BDC的外心,,由已知求得△BDC的外接圆半径为33,,所以球心到平面BDC的距离为1-332=63.6.已知复数z满足z24=z-1510=1,则复数z=12±32i.【答案】12±32i【解析】由已知得z =z-1=1,,解得z=12±3i2.显然这两个解满足题设条件.。
全国高中数学竞赛试题及答案
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全国高中数学竞赛试题及答案试题一:函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \),求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二:解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \),其中\( a > b > 0 \),求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程,已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三:数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \),公差\( d = 2 \),求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和,其中\( b_1 = 1 \),公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四:概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球,求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次,求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品,求从一批产品中随机抽取10个产品,至少有1个是次品的概率。
试题五:组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子,将球分配到盒子中,每个盒子至少有一个球,求不同的分配方法总数。
2. 证明:对于任意的正整数\( n \),\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试试卷(预赛)(A卷)(含答案)
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2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试试卷(预赛)(A卷)一、填空题:本题共8小题,每小题8分,共64分。
1.若实数m>1满足log9(log8m)=2024,则log3(log2m)的值为______.2.设无穷等比数列{a n}的公比q满足0<|q|<1.若{a n}的各项和等于{a n}各项的平方和,则a2的取值范围是______.3.设实数a,b满足:集合A={x∈R|x2−10x+a≤0}与B={x∈R|bx≤b3}的交集为[4,9],则a+b的值为______.4.在三棱锥P−ABC中,若PA⊥底面ABC,且棱AB,BP,BC,CP的长分别为1,2,3,4,则该三棱锥的体积为______.5.一个不均匀的骰子,掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次,所得的点数分别记为a,b.若事件“a+b=7”发生的概率为17,则事件“a=b”发生的概率为______.6.设f(x)是定义域为R、最小正周期为5的函数.若函数g(x)=f(2x)在区间[0,5)上的零点个数为25,则g(x)在区间[1,4)上的零点个数为______.7.设F1,F2为椭圆Ω的焦点,在Ω上取一点P(异于长轴端点),记O为△PF1F2的外心,若PO⋅F1F2=2PF1⋅PF2,则Ω的离心率的最小值为______.8.若三个正整数a,b,c的位数之和为8,且组成a,b,c的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8,则称(a,b,c)为“幸运数组”,例如(9,8,202400)是一个幸运数组.满足10<a<b<c的幸运数组(a,b,c)的个数为______.二、解答题:本题共3小题,共56分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
9.(本小题16分)在△ABC中,已知cosC=sinA+cosA2=sinB+cosB2,求cosC的值.10.(本小题20分)在平面直角坐标系中,双曲线Γ:x2−y2=1的右顶点为A.将圆心在y轴上,且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P,圆心距为d,求d|PA|的所有可能的值.11.(本小题20分)设复数z,w满足z+w=2,求S=|z2−2w|+|w2−2z|的最小可能值.参考答案1.40492.[−14,0)∪(0,2)3.74.345.196.117. 648.5919.解:由题意知,sinA +cosA =sinB +cosB ,所以 2sin (A +π4)= 2sin (B +π4),所以A +π4=B +π4或(A +π4)+(B +π4)=π,即A =B 或A +B =π2,当A =B 时,C =π−2A ,且A ∈(0,π2),由cosC =sinA +cosA 2,知cos (π−2A)=sinA +cosA 2,即−2cos2A =sinA +cosA ,所以2(sin 2A−cos 2A)=sinA +cosA ,所以2(sinA +cosA)(sinA−cosA)=sinA +cosA ,因为A ∈(0,π2),所以sinA +cosA ≠0,所以sinA−cosA =12,又sin 2A +cos 2A =1,所以(12+cosA )2+cos 2A =1,解得cosA =7−14或cosA =− 7−14(舍负),所以cosC =−cos2A =1−2cos 2A =1−2×(7−14)2= 74;当A +B =π2时,C =π2,所以cosC =0,此时sinA +cosA = 2sin (A +π4)=0,而A ∈(0,π2),所以A +π4∈(π4,3π4),所以sin (A +π4)>0,与sin (A +π4)=0相矛盾,所以cosC =0不成立,综上,cosC = 74. 10.解:考虑以(0,y 0)为圆心的好圆Ω0:x 2+(y−y 0)2=r 20(r 0>0).由Ω0与Γ的方程联立消去x ,得关于y 的二次方程2y 2−2y 0y +y 20+1−r 20=0.根据条件,该方程的判别式Δ=4y20−8(y20+1−r20)=0,因此y20=2r20−2.对于外切于点P的两个好圆Ω1,Ω2,显然P在y轴上.设P(0,ℎ),Ω1,Ω2的半径分别为r1,r2,不妨设Ω1,Ω2的圆心分别为(0,ℎ+r1),(0,ℎ−r2),则有(ℎ+r1)2=2r21−2,(ℎ−r2)2=2r22−2,两式相减得2ℎ(r1+r2)=r21−r22,而r1+r2>0,故化简得ℎ=r1−r22,进而(r1−r22+r1)2=2r21−2,整理得r21−6r1r2+r22+8=0①,由于d=r1+r2,A(1,0),|PA|2=ℎ2+1=(r1−r2)24+1,而①可等价地写为2(r1−r2)2+8=(r1+r2)2,即8|PA|2=d2,所以d|PA|=22.11.解:根据z+w=2,得w=2−z,可得|z2−2w|=|z2−2(2−z)|=|z2+2z−4|=|z+1+5|⋅|z+1−5|.|w2−2z|=|(2−z)2−2z|=|z2−6z+4|=|z−3+5|⋅|z−3−5|.以上两式的最右边各项分别是z到复平面中实轴上的点(−1−5,0),(−1+5,0),(3−5,0),(3+5,0)的距离,将z=x+yi换成其实部x时,各个距离都不会增大,因此只需考虑函数f(x)=|x2+2x−4|+|x2−6x+4|在R上的最小值.由x2+2x−4=0的根为−1±5,x2−6x+4=0的根为3±5,且−1−5<3−5<−1+5<3+5,分以下几种情况讨论:①若x≤−1−5,则f(x)=2x2−4x,f(x)在(−∞,−1−5]上的最小值为f(−1−5)=16+85;②若x∈(−1−5,3−5],则f(x)=−8x+8,此时f(x)的最小值为f(3−5)=−16+85;③若x∈[3−5,−1+5],则f(x)=−2x2+4x,此时f(x)的最小值为f(3−5)=f(−1+5)=−16+85;④若x∈[−1+5,3+5],则f(x)=8x−8,此时f(x)的最小值为f(−1+5)=−16+85;⑤若x≥3+5,则f(x)=2x2−4x,f(x)在[3+5,+∞)的最小值为f(3+5)=16+85.综上所述,f(x)在R上的最小值为f(3−5)=f(−1+5)=85−16.即S=|z2−2w|+|w2−2z|的最小可能值是85−16.。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛加试(A卷)试题(含答案)
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2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷)参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不得增加其他中间档次.一.(本题满分40分)给定正整数r .求最大的实数C ,使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ,满足n a C 对所有正整数n 成立.(x 表示实数x 到与它最近整数的距离.)解:情形1:r 为奇数.对任意实数x ,显然有12x ,故满足要求的C 不超过12. 又取{}n a 的首项112a ,注意到对任意正整数n ,均有1n r 为奇数,因此1122n n r a .这意味着12C 满足要求.从而满足要求的C 的最大值为12. …………10分 情形2:r 为偶数.设*2()r m m N .对任意实数 ,我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ,从而21m C m . 事实上,设1a k ,其中k 是与1a 最近的整数(之一),且102. 注意到,对任意实数x 及任意整数k ,均有x k x ,以及x x .若021m m ,则121m a k m . 若1212m m ,则22221m m m m ,即21m m r m m ,此时 2121m a a r kr r r m . …………30分 另一方面,取121m a m ,则对任意正整数n ,有1(2)21n n m a m m ,由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ,其中K 为整数,故21n m a m .这意味着21m C m 满足要求. 从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r .综上,当r 为奇数时,所求C 的最大值为12;当r 为偶数时,所求C 的最大值为2(1)r r . …………40分二.(本题满分40分)如图,在凸四边形ABCD 中,AC 平分BAD ,点,E F 分别在边,BC CD 上,满足||EF BD .分别延长,FA EA 至点,P Q ,使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切.证明:,,,B P Q D 四点共圆.(答题时请将图画在答卷纸上)证明:由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ,故,BP CA 的延长线相交,记交点为L .由||EF BD 知CE CF CB CD.在线段AC 上取点K ,使得CK CE CF CA CB CD ,则||,||KE AB KF AD . …………10分由ABL PAL KAF ,180180BAL BAC CAD AKF ,可知ABL KAF ∽,所以KF AB AL KA. …………20分 同理,记,DQ CA 的延长线交于点L ,则KE AD AL KA. 又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD,即KE AD KF AB . 所以AL AL ,即L 与L 重合.由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ,所以,,,B P Q D 四点共圆.…………40分三.(本题满分50分)给定正整数n .在一个3n ×的方格表上,由一些方格构成的集合S 称为“连通的”,如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ,存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==,满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K :若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色,总存在一个连通的集合S ,使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解:所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ,记b S 是S 中的黑格个数,w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格,这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =,[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先,如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色,我们证明对任意连通的集合S ,均有||b w S S n −≤,这表明K n ≤.设[1,1]是黑格,并记{0,1}ε∈,满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格,这是因为若S 不包含所有黑格, 取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小,这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =,取{}S S A ′=,则S 仍是连通的,且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =,则存在与A 相邻的白格C ,而C 与S 中某个方格B 相邻,取{,}S S A B ′= ,则S 仍是连通的,且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ,使得S 包含所有黑格,保持S 的连通性,且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=,3,5,,1k n ε++,每个k W 中至少有一个方格属于S ,否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+,而1(3)2b S n ε=+,故b w S S n −≤. …………10分 类似可证w b S S n −≤.同上,可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−,每个k B 中至少有一个黑格属于S ,否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−,故w b S S n −≤. …………20分 下面证明K n =具有题述性质,即对任意的染色方案,总存在连通的集合S , 使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格,在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格,因而S 是连通的. 而b S X =,w S y =,b w S S X y n −=−≥.综上所述,max K n =. …………50分四.(本题满分50分)设,A B 为正整数,S 是一些正整数构成的一个集合,具有下述性质:(1) 对任意非负整数k ,有k A S ;(2) 若正整数n S ,则n 的每个正约数均属于S ;(3) 若,m n S ,且,m n 互素,则mn S ;(4) 若n S ,则An B S .证明:与B 互素的所有正整数均属于S .证明:先证明下述引理.引理:若n S ,则n B S .引理的证明:对n S ,设1n 是n 的与A 互素的最大约数,并设12n n n ,则2n 的素因子均整除A ,从而12(,)1n n .由条件(1)及(2)知,对任意素数|p A 及任意正整数k ,有k p S .因此,将11k A n 作标准分解,并利用(3)知11k A n S .又2|n n ,而n S ,故由(2)知2n S .因112(,)1k A n n ,故由(3)知112k A n n S ,即1k A n S .再由(4)知k A n B S (对任意正整数k ). ① …………10分 设n B C D ,这里正整数C 的所有素因子均整除A ,正整数D 与A 互素,从而(,)1C D .由(1)及(2)知C S (见上面1k A n S 的证明). 另一方面,因(,)1D A ,故由欧拉定理知()1D D A .因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ,但由①知()D A n B S ,故由(2)知D S .结合C S 及(,)1C D 知CD S ,即n B S .引理证毕. …………40分回到原问题.由(1),取0k 知1S ,故反复用引理知对任意正整数y ,有1By S .对任意*,(,)1n n B N ,存在正整数,x y 使得1nx By ,因此nx S ,因|n nx ,故n S .证毕. …………50分。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 集合(解析版)
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全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题18集合真题汇编与预赛典型例题1.【2019年全国联赛】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和,则x 的值为.【答案】【解析】由题意知,x为负值,.2.【2018年全国联赛】设集合A={1,2,3…,99},B={2x|x∈A},C={x|2x∈A},则B∩C的元素个数为【答案】24【解析】由条件知,.故B∩C的元素个数为24.3.【2013年全国联赛】设集合.则集合中所有元素的和为______. 【答案】-5【解析】易知,.当时,;当时,.因此,集合.从而,集合中所有元素的和为.4.【2011年全国联赛】设集合.若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为,则集合______.【答案】【解析】显然,在集合的所有三元子集中每个元素均出现了3次.于是,.从而,集合的四个元素分别为.因此,集合.故答案为:5.【2019年全国联赛】设V是空间中2019个点构成的集合,其中任意四点不共面.某些点之间连有线段,记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n,满足条件:若E至少有n个元素,则E一定含有908个二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点,且任意两个二元子集的交为空集.【答案】【解析】我们来证明一个更为一般的引理:简单连通图H有n个顶点,m条边,则一定可以将其边集划分为个二元子集,二元子集之间不交且每个二元子集内的边有公共端点。
证明:归纳对m,m=1,2,3,显然成立.设结论对m≤k成立,k≥3,则m=k+1时,考虑所有叶子顶点,若有两片叶子连在同一顶点B上,则将A i B与A j B分为二元子集,对其余m-2条边由归纳假设,可分为个二元子集且两两不相交,结论成立,否则设分别接在顶点上,若存在度为2,设B i与A i,C相连,将与B i C取下,同理由归纳假设结论成立,否则对任意,将去掉,得图,则在中没有叶子结点,连通,则为一个环,此时设B1在环上与C,D相连,在H中把与B1C去掉,图依然连通,由归纳假设同理可证,引理证毕.故原命题成立.6.【2015年全国联赛】设为四个有理数,使得.求的值.【答案】【解析】由条件知为六个互不相同的数,且其中没有两个为相反数.于是的绝对值互不相等. 不妨设.则中最小的、次小的两个数分别为.故.结合,只可能.由此易知.经检验,两组解均满足条件.从而,.7.【2015年全国联赛】设,其中,个互不相同的有限集合,满足对任意,均有.若表示有限集合的元素个数),证明:存在,使得属于中的至少个集合.【答案】见解析【解析】不妨设.设在中与不相交的集合有个,重新记为;设包含的集合有个,重新记为.由已知条件,得,即.于是,得到一个映射.显然,为单射.从而,.设.在中除去后,在剩下的个集合中,设包含的集合有个,由于剩下的个集合中,设包含的集合有个,由于剩下的个集合中每个集合与的交非空,即包含某个,从而,. ①不妨设.则由式①知,即在剩下的个集合中,包含的集合至少有个.又由于,故均包含.因此,包含的集合个数至少为。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 集合(解析版)
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全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题18集合真题汇编与预赛典型例题1.【2019年全国联赛】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和,则x 的值为.【答案】【解析】由题意知,x为负值,.2.【2018年全国联赛】设集合A={1,2,3…,99},B={2x|x∈A},C={x|2x∈A},则B∩C的元素个数为【答案】24【解析】由条件知,.故B∩C的元素个数为24.3.【2013年全国联赛】设集合.则集合中所有元素的和为______. 【答案】-5【解析】易知,.当时,;当时,.因此,集合.从而,集合中所有元素的和为.4.【2011年全国联赛】设集合.若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为,则集合______.【答案】【解析】显然,在集合的所有三元子集中每个元素均出现了3次.于是,.从而,集合的四个元素分别为.因此,集合.故答案为:5.【2019年全国联赛】设V是空间中2019个点构成的集合,其中任意四点不共面.某些点之间连有线段,记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n,满足条件:若E至少有n个元素,则E一定含有908个二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点,且任意两个二元子集的交为空集.【答案】【解析】我们来证明一个更为一般的引理:简单连通图H有n个顶点,m条边,则一定可以将其边集划分为个二元子集,二元子集之间不交且每个二元子集内的边有公共端点。
证明:归纳对m,m=1,2,3,显然成立.设结论对m≤k成立,k≥3,则m=k+1时,考虑所有叶子顶点,若有两片叶子连在同一顶点B上,则将A i B与A j B分为二元子集,对其余m-2条边由归纳假设,可分为个二元子集且两两不相交,结论成立,否则设分别接在顶点上,若存在度为2,设B i与A i,C相连,将与B i C取下,同理由归纳假设结论成立,否则对任意,将去掉,得图,则在中没有叶子结点,连通,则为一个环,此时设B1在环上与C,D相连,在H中把与B1C去掉,图依然连通,由归纳假设同理可证,引理证毕.故原命题成立.6.【2015年全国联赛】设为四个有理数,使得.求的值.【答案】【解析】由条件知为六个互不相同的数,且其中没有两个为相反数.于是的绝对值互不相等. 不妨设.则中最小的、次小的两个数分别为.故.结合,只可能.由此易知.经检验,两组解均满足条件.从而,.7.【2015年全国联赛】设,其中,个互不相同的有限集合,满足对任意,均有.若表示有限集合的元素个数),证明:存在,使得属于中的至少个集合.【答案】见解析【解析】不妨设.设在中与不相交的集合有个,重新记为;设包含的集合有个,重新记为.由已知条件,得,即.于是,得到一个映射.显然,为单射.从而,.设.在中除去后,在剩下的个集合中,设包含的集合有个,由于剩下的个集合中,设包含的集合有个,由于剩下的个集合中每个集合与的交非空,即包含某个,从而,. ①不妨设.则由式①知,即在剩下的个集合中,包含的集合至少有个.又由于,故均包含.因此,包含的集合个数至少为.8.【2014年全国联赛】设.求最大的整数,使得集合S有k个互不相同的非空子集,具有性质:对这k个子集中任意两个不同子集,若它们的交非空,则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.【答案】【解析】对有限非空实数集A,用分别表示集合A的最小元素与最大元素.考虑集合S的所有包含1且至少有两个元素的子集.注意到,,故.于是,这样的子集一共个.显然满足要求.接下来证明:当时,不存在满足要求的k个子集.用数学归纳法证明:对整数,在集合的任意个不同非空子集中,存在两个子集,满足,且. ①显然,只需对的情形证明上述结论.当时,将的全部七个非空子集分成三组,第一组:{3},{1,3},{2,3};第二组:{2},{1,2};第三组:{1},{1,2,3}.由抽屉原理,知任意四个非空子集必有两个在同一组中,取同组中的两个子集分别记为,在排在前面的记为,则满足结论①.假设结论在时成立.考虑时的情形.若中至少有个子集不含,对其中的个子集用归纳假设,知存在两个子集满足结论①.若至多有-1个子集不含,则至少有+1个子集含,将其中+1个子集均去掉,得到{1,2,…,n}的+1个子集.由于{1,2,…,n}的全体子集可分为组,每组两个子集互补,故由抽屉原理,知在上述+1个子集中一定有两个属于同一组,即互为补集.因此,相应地有两个子集满足,这两个集合显然满足结论①.于是,时结论成立.综上,.9.【2013年全国联赛】一次考试共有道试题,名学生参加,其中为给定的整数.每道题的得分规则是:若该题恰有名学生没有答对,则每名答对该题的学生得分,未答对的学生得零分.每名学生的总分为其道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为.求的最大可能值.【答案】m(n-1)【解析】对,设第题没有答对者有人.则第题答对者有人.由得分规则,知这个人在第题均得分.设名学生的得分之和为.则.因为每一个人在第道题上至多得分,所以,.由,知.则.由柯西不等式得.故.另一方面,若有一名学生全部答对,其他名学生全部答错,则.综上,的最大值是.10.【2012年全国联赛】试证明:集合满足(1)对每个,若,则一定不是的倍数;(2)对每个表示中的补集),且,必存在,使的倍数.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)对任意,设.则.若是任意一个小于的正整数,则.由于中,一个为奇数,它不含质因子2,另一个为偶数,它含质因子2的幂的次数最多为,因此,一定不是的倍数.(2)若,且,设,其中,为大于1的奇数.则.下面给出三种证明方法.方法1 令.消去.由,知方程必有整数解其中,为方程的特解.记最小的正整数解为.则.故,使得的倍数.方法2 注意到,,由中国剩余定理,知同余方程组在区间上有解,即存在,使得的倍数.方法3 由,总存在,使得.取,使得.则.存在,使得.此时,.从而的倍数.1.【2018年江苏】在1,2,3,4,…,1000中,能写成的形式,且不能被3整除的数有________个。
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题及答案
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全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第Ⅰ卷(选择题 共60分) 参考公式1.三角函数的积化和差公式sin α•cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)], cos α•sin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)], cos α•cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)], sin α•sin β=21[cos(α+β)-cos(α-β)].2.球的体积公式V 球=34πR 3(R 为球的半径)。
一、选择题(每小题5分,共60分)1.设在xOy 平面上,0<y ≤x 2,0≤x ≤1所围成图形的面积为31。
则集合 M={(x,y)|x ≤|y|}, N={(x,y)|x ≥y 2| 的交集M ∩N 所表示的图形面积为 A .32 B .31 C .1 D .61 2.在四面体ABCD 中,设AB=1,CD=3,直线AB 与直线CD 的距离为2,夹角为3π。
则四面体ABCD 的体积等于 A .23 B .31 C .21 D .333.有10个不同的球,其中,2个红球、5个黄球、3个白球。
若取到一个红球得5分,取到一个白球得2分,取到一个黄球得1分,那么,从中取出5个球,使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A .90B .100C .110D .1204.在ΔABC 中,若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC ,则 A .ΔABC 是等腰三角形,但不一定是直角三角形 B .ΔABC 是直角三角形,但不一定是等腰三角形 C .ΔABC 既不是等腰三角形,也不是直角三角形 D .ΔABC 既是等腰三角形,也是直角三角形5.已知f(x)=3x 2-x+4, f(g(x))=3x 4+18x 3+50x 2+69x+48.那么,整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A .8B .9C .10D .116.设0<x<1, a,b 为正常数。
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2012各省数学竞赛汇集2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题(70分)1、当[3,3]x ∈-时,函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.2、在ABC ∆中,已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r则AC =___4____.3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率为_____310_______. 4、已知a 是实数,方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b (i 是虚部单位),则||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中,双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ,一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆的面积为,则直线的斜率为___12____.6、已知a 是正实数,lg a ka =的取值范围是___[1,)+∞_____.7、在四面体ABCD 中,5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为____________.8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足:11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___.(*n N ∈)9、将27,37,47,48,557175,,这7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数,则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为31,三边,,a b c 均为整数,且a b c ≤≤,则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.二、解答题(本题80分,每题20分)11、在ABC ∆中,角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ,证明: (1)cos cos b C c B a +=(2)22sin cos cos 2C A Ba bc+=+12、已知,a b为实数,2a >,函数()|ln |(0)af x x b x x=-+>.若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+. (1)求实数,a b ; (2)求函数()f x 的单调区间;(3)若实数,c d 满足,1c d cd >=,求证:()()f c f d <13、如图,半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点C ,D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.14、设是,,,a b c d 正整数,,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根.证明:存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形.2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案(高一年级)说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档;解答题的评阅,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题(本题满分64分,每小题8分。
直接将答案写在横线上。
)1.已知集合∈>=≤=b a b x x B a x x A ,},|{},|{N ,且I I B A N }1{=,则=+b a 1 . 2.已知正项等比数列}{n a 的公比1≠q ,且542,,a a a 成等差数列,则=++++963741a a a a a a 352-. 3.函数741)(2+++=x x x x f 的值域为6[0,6. 4.已知1sin 2sin 322=+βα,1)cos (sin 2)cos (sin 322=+-+ββαα,则=+)(2cos βα13-. 5.已知数列}{n a 满足:1a 为正整数,⎪⎩⎪⎨⎧+=+,,13,,21为奇数为偶数n n n n n a a a a a 如果29321=++a a a ,则=1a 5 .6.在△ABC 中,角C B A ,,的对边长c b a ,,满足b c a 2=+,且A C 2=,则=A sin 77.在△ABC 中,2==BC AB ,3=AC .设O 是△ABC 的内心,若AC q AB p AO +=,则q p的值为32. 8.设321,,x x x 是方程013=+-x x 的三个根,则535251x x x ++的值为 -5 .二、解答题(本大题满分56分,第9题16分,第10题20分,第11题20分)9.已知正项数列}{n a=11a =,28a =,求}{n a 的通项公式.解 在已知等式两边同时除以1+n n a a ,得3141112++=++++nn n n a aa a , 所以11)=. ------------------------------------------4分令111++=+nn n a a b ,则n n b b b 4,411==+,即数列}{n b 是以1b =4为首项,4为公比的等比数列,所以nn n b b 4411=⋅=-.------------------------------------------8分所以n nn a a 4111=+++,即nn n a a ]1)14[(21--=+.------------------------------------------12分于是,当1>n 时,22221121]1)14[(]1)14[(]1)14[(-------⋅--=--=n n n n n n a a a∏∏-=--=---=--==112111121]1)14[(]1)14[(n k k n k k a Λ ,因此,⎪⎩⎪⎨⎧≥--==∏-=-.2,]1)14[(,1,11121n n a n k k n ------------------------------------------16分10.已知正实数b a ,满足122=+b a ,且333)1(1++=++b a m b a ,求m 的最小值. 解 令cos ,sin a b θθ==,02πθ<<,则322333)1sin (cos 1)sin sin cos )(cos sin (cos )1sin (cos 1sin cos ++++-+=++++=θθθθθθθθθθθθm .----------------------------------------5分令θθsin cos +=x ,则 ]2,1()4sin(2∈+=πθx ,且21sin cos 2-=x θθ.------------------------------10分 于是21)1(23)1(22)1(22)1(232)1(1)211(223332-+=+-=+-+=+-+=++--=x x x x x x x x x x x x m . ------------------------------15分因为函数21)1(23)(-+=x x f 在]2,1(上单调递减,所以)1()2(f m f <≤.因此,m 的最小值为2423)2(-=f . ------------------------------------------20分11.设)3(log )2(log )(a x a x x f a a -+-=,其中0>a 且1≠a .若在区间]4,3[++a a 上1)(≤x f 恒成立,求a 的取值范围.解 22225()log (56)log [()]24a a a a f x x ax a x =-+=--. 由⎩⎨⎧>->-,03,02a x a x 得a x 3>,由题意知a a 33>+,故23<a ,从而53(3)(2)022a a a +-=->,故函数225()()24a a g x x =--在区间]4,3[++a a 上单调递增.------------------------------------------5分(1)若10<<a ,则)(x f 在区间]4,3[++a a 上单调递减,所以)(x f 在区间]4,3[++a a 上的最大值为)992(log )3(2+-=+a a a f a .在区间]4,3[++a a 上不等式1)(≤x f 恒成立,等价于不等式1)992(log 2≤+-a a a 成立,从而a a a ≥+-9922,解得275+≥a 或275-≤a . 结合10<<a 得10<<a . ------------------------------------------10分(2)若231<<a ,则)(x f 在区间]4,3[++a a 上单调递增,所以)(x f 在区间]4,3[++a a 上的最大值为)16122(log )4(2+-=+a a a f a .在区间]4,3[++a a 上不等式1)(≤x f 恒成立,等价于不等式1)16122(log 2≤+-a a a 成立,从而a a a ≤+-161222,即0161322≤+-a a ,解得4411344113+≤≤-a . 易知2344113>-,所以不符合. ------------------------------------------15分综上可知:a 的取值范围为(0,1). ------------------------------------------20分2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高二年级)说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档;解答题的评阅,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题(本题满分64分,每小题8分。
直接将答案写在横线上。
)1.函数741)(2+++=x x x x f 的值域为________________.2.已知1sin 2sin 322=+βα,1)cos (sin 2)cos (sin 322=+-+ββαα,则=+)(2cos βα_______________.3.已知数列}{n a 满足:1a 为正整数,⎪⎩⎪⎨⎧+=+,,13,,21为奇数为偶数n n n n n a a a a a 如果29321=++a a a ,则=1a .4.设集合}12,,3,2,1{Λ=S ,},,{321a a a A =是S 的子集,且满足321a a a <<,523≤-a a ,那么满足条件的子集A 的个数为 .5.过原点O 的直线l 与椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 交于N M ,两点,P 是椭圆C 上异于N M ,的任一点.若直线PN PM ,的斜率之积为31-,则椭圆C 的离心率为_______________.6.在△ABC 中,2==BC AB ,3=AC .设O 是△ABC 的内心,若AC q AB p AO +=,则qp的值为_______________. 7.在长方体1111D C B A ABCD -中,已知p AB C B AC ===11,2,1,则长方体的体积最大时,p 为_______________.8.设][x 表示不超过x 的最大整数,则2012120122[]2kk k +=+=∑ . 二、解答题(本大题满分56分,第9题16分,第10题20分,第11题20分)9.已知正项数列}{n a=11a =,28a =,求}{n a 的通项公式.10.已知正实数b a ,满足122=+b a ,且333)1(1++=++b a m b a ,求m 的取值范围.11.已知点),(n m E 为抛物线)0(22>=p px y 内一定点,过E 作斜率分别为21,k k 的两条直线交抛物线于D C B A ,,,,且N M ,分别是线段CD AB ,的中点.(1)当0=n 且121-=⋅k k 时,求△EMN 的面积的最小值; (2)若λ=+21k k (λλ,0≠为常数),证明:直线MN 过定点.2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案(高二年级)说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。