巧用定比分点公式 学法指导
定比分点公式的应用
定比分点坐标公式在解题中的应用
定比分点坐标公式在解题中的应用河北 陈庆新许多同窗可能已经能够熟练地应用有向线段的定比分点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 及定比的坐标公式λ＝x －x 1x 2－x ，求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比了．事实上用这两个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题进程显得别具一格，简捷明快，充分展现咱们思维的独创性．下面举例说明其解题中的应用． 一、在几何问题中的应用（一）关于公式的正用例1． 证明：三角形内角平分线分其对边之比等于夹那个角的两边长度之比．证明：以ΔOAB 的极点O 为原点，∠AOB 的平分线OC 因此直线为x 轴，成立平面直角坐标系如下图，设|OA|＝m ，|OB|＝n ，∠AOC ＝∠COB ＝θ，那么A(m cos θ，m sin θ)，B(n cos θ，－nsin θ)，设C 点分−→−AB 的所成的比为λ，由定比分点的坐标公式：m sin θ－λn sin θ1＋λ＝0，解之得，λ＝m n ，即|AC||CB|＝|OA||OB|．点评：本例的结论在解题中有着很多的应用。
请看下面的例子。
例2．已知△ABC 三个极点的坐标别离为A(－1，1)，B(3，1)，C(2，5)，角A 的内角平分线交对边于D ，那么向量AD −−→的坐标为 ．解析：容易计算|AB −−→|＝4，|AC −−→|＝5。
依照三角形内角平分线的性质知：ABAC＝BD DC ，于是可知点D 分有向线段BC −−→所成的比为45，从而由定比分点坐标公式可求得点D 的坐标（239，259），于是AD −−→＝（329，169）．例3．已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线把△ABC 的面积分成4∶5两部份，求点P 的坐标．A C OBx y解析：由题意得：ABCAPQ S S ∆∆＝2⎪⎭⎫ ⎝⎛AB AP ＝49．因此AP AB ＝23，即−→−AP ＝2−→−PB ，λ＝2，设P(x ，y )，那么x ＝1＋2×41＋2＝3，y ＝2＋2×11＋2＝43．因此P 点的坐标为(3，43)．例4．已知在△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，且A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)，求△ABC 的内心坐标．解析：设I 为△ABC 的内心，AD 为∠A 的平分线，那么AB AC ＝BD DC ＝cb ，∴点D 分−→−BC 所成的比为cb ，∴由定比分点的坐标公式可求得D 点的坐标：x D ＝x 2＋c b ×x 31＋c b＝bx 2＋cx 3b ＋c，y D ＝by 2＋cy 3b ＋c．又AI ID ＝AB BD ＝AC CD ，∴AI ID ＝AB ＋AC BD ＋CD＝b ＋ca ，即点I 分−→−AD 所成的比b ＋c a ． ∴xI＝acb c b cx bx a c b x ++++⋅++1321＝ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，同理yI＝ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c ．∴△ABC 的内心坐标为(ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c)．（二）公式的逆用例5．已知一次函数y ＝－mx －2图象与线段AB 有交点，假设A(－2，3)、B(3，2)，求实数m 的取值范围．解析：设一次函数的图象直线l 交AB 于点P(x ，y )且−→−AP ＝λ−→−PB (λ≥0)，当λ＝0时，直线过A 点，那么由定比分点坐标公式知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=λλλλ123132y x ，又因P 在直线l 上，故m ·－2＋3λ1＋λ＋3＋2λ1＋λ＋2＝0，解得：λ＝2m －53m ＋4≥0，从而m ≥52或mACBDI＜－43．又当点P 与点B 重合时符合题意，因此将B(3，2)代入直线l 的方程，求得m ＝－43．故m 的取值范围为m ≥52或m ≤－43．本例能够推行为：已知定点P 1（x 1，y 1）、P 2(x 2，y 2)及直线l ：A x ＋B y ＋C=0，设直线l 与直线P 1P 2相交于点P ，求证：点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C．略解：设点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ，由定比分点坐标公式可求得点P的坐标为：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，将点P 的坐标代入直线l 的方程：A 121x x λλ++＋B 121y y λλ++＋C=0，整理得：（A x 1＋B y 1＋C ）＋λ(A x 2＋B y 2＋C)=0，解之得：λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ．点评：假设利用那个结论来解答一下例5，就显得超级简捷：设点P(x ，y )分有向线段AB −−→所成的比为λ，则λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ＝－－2m ＋3＋23m ＋2＋2＝2m －53m ＋4，因为P 为内分点，因此λ＝2m －53m ＋4≥0，解之得：m ≥52或 m ＜－43，当直线l 过点B时，有m ＝－43．综上知：m ≥52或m ≤－43． 二、在代数问题中的应用 （一）、解不等式例6．解不等式2－x1＋3x≥1．解析：令y ＝2－x 1＋3x －1≥0，那么x ＝1－y 4＋3y＝14＋3y 4×(－13)1＋3y 4，且y ≥0，于是此问题可转化为：数轴上以P 1(14)为起点，P 2(－13)为终点，定比λ＝34y ≥0时，求分点P 的坐标x 的范围问题．由λ＝34y ≥0知点P 为有向线段−→−21P P 的内分点，或与点P 1重合，故应有－13＜x ≤14．例7． 解不等式1＜x 2－2x －1x 2－2x －2＜2．解析：在数轴上取P 1，P ，P 2点依次表示1，x 2－2x －1x 2－2x －2，2，由−→−P P 1＝λ−→−2PP 得λ＝1x 2－2x －3，因为P 内分有向线段−→−21P P ，因此λ＞0，即x 2－2x －3＞0，解之即得原不等式的解集为：{x |x ＜－1或x ＞}3． （二）、求函数的值域例8． 求函数y ＝1＋3x ＋11－x ＋1的值域．解析：令λ＝－x ＋1，那么λ≤0，依题意有y ＝－1＋λ(－3)1＋λ，依照上式可知λ为点P(y )分有向线段−→−21P P 所成的比，其中P 1(1)、P 2(－3)，于是函数y 为分点P 的坐标，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ＝y －1－3－y≤0，解之得y ＜－3或y ≥1．即原函数的值域为(－∞，－3)∪[1，＋)∞．例9．求函数y ＝e x －1e x ＋1的反函数的概念域．解析：问题等价于求原函数的值域．令λ＝e x ＞0，P 1(－1)，P(y )，P 2(1)，那么y ＝e x －1e x ＋1＝－1＋e x ·11＋e x ＝－1＋λ1＋λ，∵λ＞0，∴P 为有向线段−→−21P P 的内分点，∴－1＜y ＜1，故原函数的值域为(－1，1)，即其反函数的概念域为(－1，1)．例10．求函数y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1(1＜x ＜)3的值域．解析：将原函数式变形为：y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝－1＋(x ＋1x )·11＋(x ＋1x )，设P 1(－1，0)、P 2(1，0)，λ＝x ＋1x ，其中1＜x ＜3．由函数λ＝x ＋1x 的单调性可求得，2＜λ＜103．又当λ＝2时，y ＝13；λ＝103时，y ＝713，因此所求函数的值域为(13，713)． （三）、求函数的解析式例11．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像通过点(－1，0)且x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，对一切实数x 都成立，求f (x )．解析：因为当x ∈R ，总有x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，为此不妨设P 1(x )、P[f (x )]、P 2(x 2＋12)为数轴上三点，那么−→−P P 1＝λ−→−2PP ，其中λ≥0，于是由定比分点坐标公式得： f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ，又因为y ＝ f (x )通过点(－1，0)，代入上式得，0＝－1＋λ1＋λ，解得λ＝1，再将λ＝1代入f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ得，f (x )＝ 14x 2＋12x ＋14．（四）、用于处置三角问题例12． 证明：y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．证明：①当sin x ＝1时，y ＝3∉(13，3)； ②当sin x ＝－1时，y ＝－1∉(13，3)；③当sin x ≠±1时，将P(y )视为数轴上的点A(13)与B(3)的分点，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ，得λ＝y －133－y ＝sin x ＋13(sin x －1)＜0，即点P(y )为有向线段−→−AB 的外分点，故有y ∉(13，3)． 综上可知，y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．（六）、用于解决数列问题数列是概念在正整数集上的特殊函数．而等差数列的通项公式为：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )为变量n 的一次函数(d ≠0)，其图象为直线．故而有A(m ，a m )、B(n ，a n )、C(p ，a p )三点共线(其中a m 、a n 、a p 别离为项数是m 、n 、p 的数列中的项)．为此咱们把C 视为−→−AB 的一个定比分点，那么有λ＝p －mn －p，a p＝a m ＋λa n 1＋λ．例13 ．在3与19之间插入31个数，使它们成等差数列，求通项公式． 解析：设通项为a n ，令点P(n ，a n )分A(1，a 1)，B(33，a 33)两点连成的线段所成的比为λ，那么有λ＝n －133－n ，又由题意，a 1＝3，a 33＝19，于是有a n ＝a 1＋λa 331＋λ＝3＋n －133－n ×191＋n －133－n ＝12n ＋52． 即通项a n ＝12n ＋52．命题2． 设数列{ a n }是等差数列，S n 是数列的前n 项和，其中S P 、S m 、S n 知足λ＝p －m n －p (λ≠－1)，那么S m m ＝S p p＋λS n n1＋λ．例14． 设S n 是等差数列的前n 项和，已知S 10＝100，S 100＝10，求S 110． 解析：取λ＝110－10100－110＝－10，那么S 110110＝S 1010＋λS 1001001＋λ ＝10010＋(－10)101001＋(－10) ＝－1，因此S 110＝－110．。
定比分点公式的运用及类比推理
1 x2 P2 ( 2
＋0) ,且
P1 P PP2
，
则 f(x)=
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
定比分点公式的三大应用
定比分点公式的应用线段的定比分点坐标公式：设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是平面内两个定点，点P 0（x 0，y 0）分有向线段12PP u u u u r所成的比为λ，则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ11210210y y y x x x （λ≠－1） 而 01012020x x y y x x y y λ--==--特别地，当点P 0为内分点或者与点P 1重合时，恒有λ≥0，当点P 为外分点时，恒有λ＜0（λ≠－1）。
定比分点公式揭示了直线上点的位置与数量变化之间的转化关系。
灵活应用这个公式，可使解题过程简洁明快，充分展现思维的独创性。
下面举例说明它在解题中的应用。
一、用于求解数值的范围例2.已知,0,1,a b c c <<≠-a+bcx=且1+c求证：[,]x a b ∉。
证明：设(),(),()A a B b P x 是数轴上的三点，P u u r是AB 的定比分点，则定比P ∴u u r是AB 的外分点，则 [,]x a b ∉。
二、用于解决不等式问题 例1.已知1,1a b <<，求证：11a bab+<+。
证明：设(1),(1),()1a bA B P ab+-+是数轴上的三点，P λu u r 分AB 的比是，则1,10,a b P λ<<∴>Q 是u u rAB 的内分点，1a bab+∴+在-1与1之间，即11a b ab +<+。
定比分点公式的类比推理从定比分点公式的结构形式来看，它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题，立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n 项和与项数n 的关系等问题，具有很明显的相似之处。
1．平面几何中的定比分点：命题1：设梯形ABCD 的上、下底边长分别为l 1、l 2 若平行于底边的截线EF 把梯形的腰（高）分成上、下两部分之比为λ（λ≠-1），则EF 的长l=λλ++121l l (λ≥0)。
定比分点公式参数_妙用
aq a +λ = ap+q= p ∴ 1+λ
即 ap+q=0。
q 1p
=0,
三、 求函数解析式 例3 已知二次函数 f 满足条件 : ( x)
(1)f ( -1) =0,
2
(2)对一切 x∈R ,恒有 x≤f ( x) ≤ 1+x 。
2
求f 的解析式。 ( x)
2 2
2 2 %& 上三点P1,P,P2的横坐标。 ,由定比分点公式可知 P分 P1P2所成比为 λ
2
解
由 x∈R 及 x≤f , 1+x 分别对应 x轴 ( x) ( x) ≤ 1+x ,可设数 x,f
x+λ1+x 2 。 f ( x) = 1+λ
2
-1) -1+λ1+( 2 。 f ( -1) = ∴ 1+λ ∵ f ( -1) =0,
52
解题技巧
伴你走进课堂
1+1 -1+λ 2 ∴ =0,λ =1。 1+λ
又 c=t a+( 1-t ) b, d=( 1-t ) a+t b, 比较可知 t =
1+2λ , 2( 1+λ ) 1+2λ 满足题设和结论。 2( 1+λ )
即存在实数 t ,且 t =
又 Q 在线段 M P上 (不包括 M 、 >0。 P),则 λ 由t =
2t -1 2t -1 1+2λ ,得 λ ,即 >0。 = ) ) ) 2( 1+λ 2( 1-t 2( 1-t 1 <t <1。 ’ 2
2
x+ 1+x 1 1 1 2 ∴ f ( x) = = x2+ x+ , 1+1 4 2 4
定比分点公式的推导和应用教案
定比分点公式的推导和应用教案教学目的使学生掌握线段定比分点的意义和公式，并能应用此公式来解题．教学过程一、启发学生提出问题(在教师帮助下，让学生通过分析事物的内在联系，自己得出研讨的问题——“求线段的定比分点”．)师：在平面几何中曾学过，给出一线段，就可以定出它的中点及三分点．如图1，以上三个定点问题，怎样改用解析几何的语言呢？师：对！我们先分析一下，这些问题之间有没有什么联系，能不能用一个更一般的问题来概括它们呢？[教师引导学生将特殊问题一般化，让学生逐步了解熟悉这种认识事物的重要的思维方法．]要知道这些问题之间的联系，首先要分析一下，在平面几何里，是用什么方法来定出线段的三等分点的？其方法如下：现在请同学们想一想：在上面分别定出三个点的位置的方法中，有哪些是相同的，这样，我们知道，定出这些点的位置，可以用一种本质上相同的方法．先取定(可根据学生实际情况，调整填充的空格．)由图 4(1)～(5)可知：________之间，且|BC|越大，λ________，点P越近________．[继续让学生分析图 5(1)～(5)，进行讨论．]线段________，且|BC|越小，λ越________．P点越接近________．线段________，且|BC|越大，λ越________，P点越接近________．师：对上述十个图的分析归纳，可以发现：除了λ=－1以外，对每一个定比λ二、引导学生解决问题让学生自己解决所提出的问题．教师针对实际情况给子启发，帮助学生找到问题的解法．一要注意指导“解法”是如何想到的；二要注意结合学生自己的思路来指导．一部分学生将图画成图6，并按这一特殊情况来解．这时向他们指出不足，并启的解法是否适用？于给我们的条件是“几何的”，因此想到从寻找与这些“数”对应的“几何元素”之当一个问题有许多可能情形时，一般可以先考虑简单的情况．(这是一种有用的思考同样可得出结论．有些学生列出公式时，要指出：这样想是合理的，但要从这个式子中求出点P的坐标x、y是不可能的．于得到，于是有式子：解由①②组成的方程组，求出x、y，但运算太繁了．最后教师归纳得出定比分点的公式：时，点P的坐标是三、培养学生编制问题导出了定比分点公式以后，组织学生自己编制练习问题，使学生加深对定比分点公式的认识，并培养他们运用数学知识解决问题的能力．(1)先提出一些可以用公式来解的问题．是独立的(已知其中三个，另一个就被确定)，所以应该讲已知独立的五个，可以利用公式求得另外两个．如果像上面的问题那样，给了四个不独立的量，那么或者点立量的问题，不能只看形式，要看实质．[学生边编题、边解答，有利于知识的巩固．]四、布置作业针对不同情况的学生布置作业．有些学生可以做课本上的练习；有些学生可以做段AB的一个定比分点？如果是的话，P在AB上还是在它的延长线上？”还可以让有些同学编制“练习题”作为作业．自我评述(1)在中学数学教学中，对发现问题和提出问题的能力的培养，还远不如解决问题来得重视．学生只习惯于从教师或书本上得到题目，自己却不善于提出问题，编制题目．对科学发展来说，提出问题和解决问题是同样重要的．这里设计了培养学生这方面能力的一个教学过程．但从培养发现问题的能力来看，还是不充分的．这是考虑到当前使用的教材和学生的实际情况，目前在课内的步子只能小一点．例如，如放弃现行课本上定比分点公式的形式，就可较多地放手让学这里λ可取任意实数，而且0＜λ＜1时，P为内分点；当λ＞1时，P为外分点，在目前情况下，我认为培养学生发现问题与提出问题的能力，可以采取延续到课外的补救措施．例如，在上一节课结束时，可布置给学生思考：“给定两点位置后，除了两点间距离外，还有什么别的随之确定下来的东西．”或“给定三个点，它们有哪些可能的位置关系？有哪些东西随这三个点的位置的确定而被确定下来？能不能用它们的坐标来反映？”这些问题不要求全体同学去做，课后教师可在有兴趣、有余力的学生间作些了解和引导．在这一节课上课时，就可以让这些学生提出获得的结果与存在的问题，然后在此基础上展开教学．(2)在解决问题的教学过程中，教师主要的任务是揭示“解法”是如何“想到”的．凡是学生自己能够得出的要让他们自己去解．同时让学生自己编出一些应用某一数学公式可以解得的题目，更能使学生理解所学的知识，培养他们应用知识于实际问题的能力．这是符合数学知识的抽象性与应用的广泛性的特点的，这样做也更能提高学生的学习积极性，发展它们思维与联想能力．(3)不同学生应布置不同的作业．有些学生应该解一些理解公式和记住公式的练习题；有些学生则可要求他们编一些“有质量”的问题，并且互相交换着解这些问题．如果编的题目中出现一些矛盾，那么也可以促使学生去研究，这样有利于因材施教，使学生学得更加主动．数学教学中，要让学生记住一些概念、公式、法则．有时教师可以指出一些帮助记住“某一公式”的记忆方法；有时教师要系统地考虑“某一公式”出现的次数与间隔．但我认为，这不等于培养记忆能力．“能力”是要通过“实践”才能得到的，在数学教学中考虑如何安排“记忆”的实践，至少目前还不现实．所以，本课中我考虑了定比分点公式的记忆，但没有提培养记忆能力．。
线段的定比分点
l P2
P
点P是l上不同于P1,P2任意一点，提问：
1º向量P1P与PP2之间位置上有何关系？（共线向量 ）
2º既然是共线向量，它们之间的等量
关系是什么？（P1P= λ PP2 ）
这时， λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。(写出课题)
（3）． λ 符号
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Байду номын сангаас
2.推导公式
若把直线l放在坐标系中，设P1（x1,y1),P2(x2，y2),点P分有向线段P1P2所成 的比为λ，那么点P的坐标如何表示呢？由向量的坐标等于终点的坐标减去
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三.学法指导
1．引导学生回顾共线向量，过渡到建立新概 念上来。
2．让学生运用已掌握的向量的坐标运算， 推导出公式，学会数学过程中会学数学，提高 数学“再发现”能力。
3．在运用公式解题中，深化对公式中各个 量的涵义的理解，尤其是λ，加强思维的创新 性、深刻性、灵活性训练。
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四.教学重点、难点
3
3
注：这是一个重要结论，要求学生记忆。
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4.课堂检测
1.点P在直线MN上，PM
1 2
PN
,
则点P分MN所成的比为( C )
1
（A）2
（B）1 2
( C） 1 （D）2或 1
2
2
2.设线段P1P2的长为5cm,点P在线段P2P1的延长线上，PP1 1cm
则点P分有向线段 P1P2 所成的比为 -6
起点的坐标得：
P1P=（x-x1,y-y1), PP2=(x2-x,y2-y)
∵ P1P= λPP2 ∴ (x-x1,y-y1)= λ(x2-x,y2-y)
∴ x-x1= λ(x2-x) 解得 y-y1= λ(y2-y)
(整理)定比分点坐标公式在解题中的应用.
定比分点坐标公式在解题中的应用河北 陈庆新许多同学可能已经能够熟练地应用有向线段的定比分点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 及定比的坐标公式λ＝x －x 1x 2－x ，求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比了．事实上用这两个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．下面举例说明其解题中的应用． 一、在几何问题中的应用（一）关于公式的正用例1． 证明：三角形内角平分线分其对边之比等于夹这个角的两边长度之比．证明：以ΔOAB 的顶点O 为原点，∠AOB 的平分线OC 所以直线为x 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设|OA|＝m ，|OB|＝n ，∠AOC ＝∠COB ＝θ，则A(m cos θ，m sin θ)，B(n cos θ，－nsin θ)，设C 点分−→−AB 的所成的比为λ，由定比分点的坐标公式：m sin θ－λn sin θ1＋λ＝0，解之得，λ＝m n ，即|AC||CB|＝|OA||OB|．点评：本例的结论在解题中有着很多的应用。
请看下面的例子。
例2．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(－1，1)，B(3，1)，C(2，5)，角A 的内角平分线交对边于D ，则向量AD −−→的坐标为 ．解析：容易计算|AB −−→|＝4，|AC −−→|＝5。
根据三角形内角平分线的性质知：ABAC＝BD DC ，于是可知点D 分有向线段BC −−→所成的比为45，从而由定比分点坐标公式可求得点D 的坐标（239，259），于是AD −−→＝（329，169）．例3．已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线把△ABC 的面积分成4∶5两部分，求点P 的坐标．A C OBx y解析：由题意得：ABCAPQ S S ∆∆＝2⎪⎭⎫ ⎝⎛AB AP ＝49．所以AP AB ＝23，即−→−AP ＝2−→−PB ，λ＝2，设P(x ，y )，则x ＝1＋2×41＋2＝3，y ＝2＋2×11＋2＝43．所以P 点的坐标为(3，43)．例4．已知在△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，且A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)，求△ABC 的内心坐标．解析：设I 为△ABC 的内心，AD 为∠A 的平分线，则AB AC ＝BD DC ＝cb ，∴点D 分−→−BC 所成的比为c b ，∴由定比分点的坐标公式可求得D 点的坐标：x D ＝x 2＋c b ×x 31＋c b ＝bx 2＋cx 3b ＋c ，y D ＝by 2＋cy 3b ＋c．又AI ID ＝AB BD ＝AC CD ，∴AI ID ＝AB ＋AC BD ＋CD＝b ＋c a ，即点I 分−→−AD 所成的比b ＋c a ． ∴x I ＝acb c b cx bx a c b x ++++⋅++1321＝ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，同理y I＝ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c ．∴△ABC的内心坐标为(ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c)．（二）公式的逆用例5．已知一次函数y ＝－mx －2图象与线段AB 有交点，若A(－2，3)、B(3，2)，求实数m 的取值范围．解析：设一次函数的图象直线l 交AB 于点P(x ，y )且−→−AP ＝λ−→−PB (λ≥0)，当λ＝0时，直线过A 点，则由定比分点坐标公式知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=λλλλ123132y x ，又因P 在直线ACBDIl 上，故m ·－2＋3λ1＋λ＋3＋2λ1＋λ＋2＝0，解得：λ＝2m －53m ＋4≥0，从而m ≥52或m ＜－43．又当点P 与点B 重合时符合题意，所以将B(3，2)代入直线l 的方程，求得m ＝－43．故m 的取值范围为m ≥52或m ≤－43．本例可以推广为：已知定点P 1（x 1，y 1）、P 2(x 2，y 2)及直线l ：A x ＋B y ＋C=0，设直线l 与直线P 1P 2相交于点P ，求证：点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ＝－A x 1+B y 1+C A x 2+B y 2+C ．略解：设点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ，由定比分点坐标公式可求得点P的坐标为：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，将点P 的坐标代入直线l 的方程：A 121x x λλ++＋B 121y y λλ++＋C=0，整理得：（A x 1＋B y 1＋C ）＋λ(A x 2＋B y 2＋C)=0，解之得：λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ．点评：若利用这个结论来解答一下例5，就显得非常简捷：设点P(x ，y )分有向线段AB −−→所成的比为λ，则λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ＝－－2m ＋3＋23m ＋2＋2＝2m －53m ＋4，因为P 为内分点，所以λ＝2m －53m ＋4≥0，解之得：m ≥52或 m ＜－43，当直线l 过点B 时，有m ＝－43．综上知：m ≥52或m ≤－43． 二、在代数问题中的应用 （一）、解不等式例6．解不等式2－x1＋3x≥1．解析：令y ＝2－x 1＋3x －1≥0，则x ＝1－y 4＋3y＝14＋3y 4×(－13)1＋3y 4，且y ≥0，于是此问题可转化为：数轴上以P 1(14)为起点，P 2(－13)为终点，定比λ＝34y ≥0时，求分点P 的坐标x 的范围问题．由λ＝34y ≥0知点P 为有向线段−→−21P P 的内分点，或与点P 1重合，故应有－13＜x ≤14．例7． 解不等式1＜x 2－2x －1x 2－2x －2＜2．解析：在数轴上取P 1，P ，P 2点依次表示1，x 2－2x －1x 2－2x －2，2，由−→−P P 1＝λ−→−2PP 得λ＝1x 2－2x －3，因为P 内分有向线段−→−21P P ，所以λ＞0，即x 2－2x －3＞0，解之即得原不等式的解集为：{x |x ＜－1或x ＞}3．（二）、求函数的值域例8． 求函数y ＝1＋3x ＋11－x ＋1的值域．解析：令λ＝－x ＋1，则λ≤0，依题意有y ＝－1＋λ(－3)1＋λ，根据上式可知λ为点P(y )分有向线段−→−21P P 所成的比，其中P 1(1)、P 2(－3)，于是函数y 为分点P 的坐标，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ＝y －1－3－y≤0，解之得y ＜－3或y ≥1．即原函数的值域为(－∞，－3)∪[1，＋)∞．例9．求函数y ＝e x －1e x ＋1的反函数的定义域．解析：问题等价于求原函数的值域．令λ＝e x ＞0，P 1(－1)，P(y )，P 2(1)，则y ＝e x －1e x ＋1＝－1＋e x ·11＋e x ＝－1＋λ1＋λ，∵λ＞0，∴P 为有向线段−→−21P P 的内分点，∴－1＜y ＜1，故原函数的值域为(－1，1)，即其反函数的定义域为(－1，1)．例10．求函数y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1(1＜x ＜)3的值域．解析：将原函数式变形为：y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝－1＋(x ＋1x )·11＋(x ＋1x)，设P 1(－1，0)、P 2(1，0)，λ＝x ＋1x ，其中1＜x ＜3．由函数λ＝x ＋1x 的单调性可求得，2＜λ＜103．又当λ＝2时，y ＝13；λ＝103时，y ＝713，所以所求函数的值域为(13，713)． （三）、求函数的解析式例11．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过点(－1，0)且x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，对一切实数x 都成立，求f (x )．解析：因为当x ∈R ，总有x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，为此不妨设P 1(x )、P[f (x )]、P 2(x 2＋12)为数轴上三点，则−→−P P 1＝λ−→−2PP ，其中λ≥0，于是由定比分点坐标公式得： f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ，又因为y ＝ f (x )经过点(－1，0)，代入上式得，0＝－1＋λ1＋λ，解得λ＝1，再将λ＝1代入f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ得，f (x )＝ 14x 2＋12x ＋14．（四）、用于处理三角问题例12． 证明：y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．证明：①当sin x ＝1时，y ＝3∉(13，3)；②当sin x ＝－1时，y ＝－1∉(13，3)；③当sin x ≠±1时，将P(y )视为数轴上的点A(13)与B(3)的分点，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ，得λ＝y －133－y ＝sin x ＋13(sin x －1)＜0，即点P(y )为有向线段−→−AB 的外分点，故有y ∉(13，3)．综上可知，y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．（六）、用于解决数列问题数列是定义在正整数集上的特殊函数．而等差数列的通项公式为：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )为变量n 的一次函数(d ≠0)，其图象为直线．故而有A(m ，a m )、B(n ，a n )、C(p ，a p )三点共线(其中a m 、a n 、a p 分别为项数是m 、n 、p 的数列中的项)．为此我们把C 视为−→−AB 的一个定比分点，则有λ＝p －mn －p，a p ＝a m ＋λa n1＋λ． 例13 ．在3与19之间插入31个数，使它们成等差数列，求通项公式．解析：设通项为a n ，令点P(n ，a n )分A(1，a 1)，B(33，a 33)两点连成的线段所成的比为λ，则有λ＝n －133－n ，又由题意，a 1＝3，a 33＝19，于是有a n ＝a 1＋λa 331＋λ＝3＋n －133－n ×191＋n －133－n ＝12n ＋52．即通项a n ＝12n ＋52．命题2．设数列{ an}是等差数列，S n是数列的前n项和，其中S P、S m、S n满足λ＝p－mn－p(λ≠－1)，则S mm＝S pp＋λS nn1＋λ．例14．设S n是等差数列的前n项和，已知S10＝100，S100＝10，求S110．解析：取λ＝110－10100－110＝－10，则S110110＝S1010＋λS1001001＋λ＝10010＋(－10)101001＋(－10)＝－1，所以S110＝－110．。
解析几何中的定比分点问题
解析几何中的定比分点问题在解析几何中，定比分点问题是指在一条线段上，已知两个点A和B以及它们之间的比例关系，求解线段上的某一点C，使得AC与CB的比例与已知的比例相等。
这是一个常见的几何问题，在实际应用中有着广泛的应用。
一、问题描述假设已知线段AB的长度为a，点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，已知AC与CB的比例为m:n，其中m和n为正整数。
我们需要求解点C的坐标。
二、解法分析为了求解点C的坐标，我们可以利用坐标系中的比例关系和线段长度来推导出点C的坐标。
具体的解法如下：1. 计算线段AB的长度根据两点坐标的距离公式，线段AB的长度可以计算为：AB = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)2. 计算AC与CB的比例已知AC与CB的比例为m:n，我们可以假设AC的长度为mx，CB的长度为nx。
根据比例关系，我们可以得到以下等式：mx + nx = AB其中，AB为已知的线段长度。
3. 求解点C的坐标已知AC的长度为mx，我们可以利用类似的思路来计算点C的坐标。
假设点C的坐标为(x, y)，则有以下等式：x - x1 = (mx/AB) * (x2 - x1)y - y1 = (mx/AB) * (y2 - y1)将上述两个等式整理，可得：x = x1 + (mx/AB) * (x2 - x1)y = y1 + (mx/AB) * (y2 - y1)4. 求解点C的坐标将上述计算得到的x和y代入，即可得到点C的坐标。
三、示例为了更好地理解定比分点问题的解法，我们举一个具体的例子来说明。
假设已知线段AB的长度为10，点A的坐标为(1, 2)，点B的坐标为(5, 6)，已知AC与CB的比例为2:3。
我们需要求解点C的坐标。
1. 计算线段AB的长度AB = √((5-1)^2 + (6-2)^2) = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.6572. 计算AC与CB的比例假设AC的长度为2x，CB的长度为3x，则有：2x + 3x = 5.6575x = 5.657x ≈ 1.13143. 求解点C的坐标根据上述的解法分析，我们可以得到点C的坐标为：x = 1 + (2/5.657) * (5-1) ≈ 2.2628y = 2 + (2/5.657) * (6-2) ≈ 3.5256因此，点C的坐标为(2.2628, 3.5256)。
线段定比分点公式的几种推导及定比λ
线段定比分点公式的几种推导及定比λ
定比分点是一种方法，用来在一段线段中快速确定一个特定点。
它由定比λ（伽马值）来确定，定比λ为两个端点A(x1，y1)，B(x2，y2)直接分割的比例。
定比分点可以用来容易地计算出某条直线上两点之间某个特定比例（定比λ）的点位置。
确定定比λ，可以使用三种推导方法。
1、直接给出定比λ：即已知两点A、B及定比λ，根据λ的定义，分割的比例为A的比例与B的比例之比。
2、对定比λ求根：先根据两点A、B的坐标计算出分割点的坐标，然后把其与两点的坐标比较，继而确定λ的值。
3、使用方程解析关系：使用定比λ时，可以使用直线方程来确定定比λ。
将两点A、B 的坐标代入垂直平分线方程，计算出λ 的值。
不管采用哪种推导方法，确定定比λ的基本步骤是一样的：首先根据提供的两个点计算出定比λ，然后使用定比λ确定线段上任意一点的坐标。
定比分点是一种比较简单的方法，只要知道定比λ的值，就能快速地确定线段上任意一点的位置，并且它的推导方法也比较简单，方便这使用。
高中数学定比分点公式的一种变形应用 学法指导
高中数学定比分点公式的一种变形应用赵敏 已知点P 在直线AB 上，点P 分有向线段AB 所成的比为)1(-≠λλ，即有PB AP λ=，那么在平面内任选一点O ，则有)OB PO (OP AO +λ=+，由此可得λ+λ+=1OB OA OP ，此公式可以帮助我们解决一类平面几何问题。
例1. 在ABC ∆中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且NC 2AN =，AM 与BN 相交于点P ，求AP ：PM 的值。
证明：连接PC ，设PN BP ,PM AP 21λ=λ=，则有111CM CA CP λ+λ+=，又)AB CA (21CB 21CM +==。
所以AC 1211AB 1211CM CA CP 111111λ+λ+-λ+λ=λ+λ+= 同理：AC 1311AB 111CN CB CP 22222λ+λ+-λ+=λ+λ+=。
因为AC ,AB 不共线，所以根据平面向量基本定理，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧λ+λ+-=λ+λ+-λ+=λ+λ22112111311121111121 解得⎪⎩⎪⎨⎧=λ=λ23421，所以AP ：PM=4：1。
例2. 已知OAB ∆，点C 是以A 为中心的B 的对称点，D 是将分成2：1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，λ=，求实数λ的值。
解：设,t λ==由，可得EA 1OE λ-λ=连结BE ，则 t1BC t BO 31t 1t BE ++=++=，又λ-λ+λ-λ+=11BA 1BO BE λ-λ+⋅λ-λ+=11BC 211BO 又因为BC BO 、不共线，根据平面向量基本定理。
所以有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧λ-λ+λ-λ⋅=-λ-λ+=+11121t 1t ,111t 131 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=λ=5432t例3. 如图3，在ABC ∆中，OA 41OC =，OB 21OD =，AD 与BC 相交于M 点，设a OA =，b OB =。
（1）用b a 、表示OM ； （2）已知在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OB q OF ,OA p OE ==，求证：7q3p 1=+。
线段的定比分点公式的应用(精品绝对好)
线段的定比分点公式的应用一、难点知识剖析（一）、在运用线段的定比分点坐标公式时，要注意(x 1，y 1)是起点的坐标，(x 2，y 2)是终点的坐标，(x ，y)表示分点的坐标，在每个等式中涉及到四个不同的量，它们分别表示三个坐标和定比λ，只要知道其中任意三个量，便可求第四个量．（二）、如何确定定比分点坐标公式中的λ1、由坐标确定：分点坐标终点坐标起点坐标分点坐标--=--=--=y y y y x x x x 2121λ2、由12PP PP λ=确定：先求||||21PP =λ（不能错误的表示为21PP =λP P 1与2PP 的方向决定λ的符号．例：设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 12PP PP λ=，求点P 的坐标.（三）、特殊情况的分析1、λ＝0时，分点P 与起点P 1重合2、λ＝1时，分点P 为线段P 1P 2的中点3、λ不可能等于－1（若λ＝－1，则P 1、P 2重合，与P 1P 2为线段矛盾） ∴λ∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)4、无论λ取何实数（当然λ≠－1）分点P 不可能与终点P 2重合二、例题讲解例1、已知点A 分有向线段的比为2，求下列定比λ：（1）A 分的比；（2）B 分的比；（3）C 分的比．分析：本题直接用公式计算不太方便，若画出图表就一目了然．解答：因为A分的比为2，所以A在BC之间，且|BA|＝2|AC|（如图所示）例2、已知P分所成的比为λ，O为平面上任意一点，．求证：线段定比分点向量公式证明：∵P分所成比为λ，例3、已知三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D点内分的比为，E在BC上，且使△BDE的面积是△ABC面积的一半，求向量的坐标．（提示：三角形面积等于两边与其夹角正弦乘积的一半）分析：要求的坐标，就要求D点的坐标，也要求E点的坐标．由于E点在线段BC上，且已知B、C两点的坐标，因此我们只要能确定E分有向线段的比，应用定比分点公式就能求出E点的坐标，将E点坐标减去D点的坐标就可得到向量．解答：如图所示，∵D点内分的比为，设E分有向线段的比为λ，由题设条件可知：例5．已知a 、b 不共线，b a +=OA ，b a -=2OB ，将符合下列条件的OC 向量写成b a n m +的形式：（1）点C 分所成的比2=λ，求；（2）点C 分所成的比3-=λ，求.分析：借助定比分点的概念解题。
定比分点公式的三大应用
定比分点公式的应用线段的定比分点坐标公式：设P 1x 1,y 1,P 2x 2,y 2是平面内两个定点,点P 0x 0,y 0分有向线段12PP 所成的比为λ,则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ11210210y y y x x x λ≠－1 而 01012020x x y y x x y y λ--==--特别地,当点P 0为内分点或者与点P 1重合时,恒有λ≥0,当点P 为外分点时,恒有λ＜0λ≠－1;定比分点公式揭示了直线上点的位置与数量变化之间的转化关系;灵活应用这个公式,可使解题过程简洁明快,充分展现思维的独创性;下面举例说明它在解题中的应用;一、用于求解数值的范围例2.已知,0,1,a b c c <<≠-a+bcx=且1+c求证：[,]x a b ∉; 证明：设(),(),()A a B b P x 是数轴上的三点,P 是AB 的定比分点,则定比P ∴是AB 的外分点,则 [,]x a b ∉;二、用于解决不等式问题例1.已知1,1a b <<,求证：11a bab+<+; 证明：设(1),(1),()1a bA B P ab+-+是数轴上的三点,P λ分AB 的比是,则1,10,a b P λ<<∴>是AB 的内分点,1a bab+∴+在-1与1之间,即11a b ab +<+; 定比分点公式的类比推理从定比分点公式的结构形式来看,它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题,立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n 项和与项数n 的关系等问题,具有很明显的相似之处;1．平面几何中的定比分点：命题1：设梯形ABCD 的上、下底边长分别为l 1、l 2 若平行于底边的截线EF 把梯形的腰高分成上、下两部分之比为λλ≠-1,则EF 的长l=λλ++121l l λ≥0; 特别地,1当l 1=l 2时,条件为一平行四边形,结论仍成立；2当l 1=0时,条件为一三角形,结论仍成立；3当λ＝1时,即可得到梯形的中位线公式;证明：设BA 的延长线与CD 的延长线交于O,由三角形相似可得由12可得λλ++=121l l l ; 依照命题1的推导方法,不难证明出以下命题：命题1’：设梯形ABCD 的上,下底边长分别为l 1,l 2,若平行于底边的截线EF 把梯形的面积分成上下两部分之比为λ,则有==22l EF λλ++12221l l 特别当l 1=0梯形退化为一个三角形时,结论为2l =λλ+122l 仍成立;2、立体几何中的定比分点：命题2 ：设棱台的上、下底面积分别为S 1、S 2,平行于底面的截面的面积为S 0,此截面到上底面距离与它到下底面距离的比为λ,则有： λλ++1210S S S ＝;特别地,当λ＝1时,=;证明：将棱台补成棱锥,设所补的小棱锥的高为x,截面到上、下底面的距离分别为λh 和h,则由截面性质定理可得：x h x h h S S x h x S S +++=+=λλλ0201,h h x λλ=+ …………1 hh xλ=+…………2, 由1 ÷ 2得λ．即：λλ１＋Ｓ＋Ｓ＝Ｓ２１０．依照公式2的推导方法,不难证明出以下两公式：命题2’:设棱台的上、下底面积分别为S 1、S 2,平行于底面的截面的面积为S 0,若此截面将棱台的侧面分成的上、下两部分的面积之比为λ,则有λλ++=1)()()(222120S S S命题2”: 设棱台的上、下底面积分别是S 1、S 2,平行于底面的面积为S 0．若此截面将棱台分成的上、下两部分的体积比为λ,则有λλ++=1)()()(323130S S S注：以上三个公式,对于圆台也同样成立．上述三个“定比分点”公式,形式整齐,结构对称,富有美感,便于记忆；而且在求解立体几何的有关问题时,有着广泛的应用;3．数列中的定比分点：命题3：设{}n a 是等差数列,其中a p 、a m 、a n ,满足,nm mp --=λ则)1(1-≠++=λλλn p m a a a ; 证明：a p =a 1+p-1d , a m =a 1+m-1d , a n =a 1+n-1d其中a 1、d 分别是等差数列{}n a 的首项与公差将a p 、a m 、a n 代入 nm mp --=λ 中可得 λλ++=1n p m a a a命题3’:设{}n a 是等差数列,Ｓn 是数列{}n a 的前n 项和,其中Ｓp 、Ｓm 、Ｓn满足p mm nλ-=-1-≠λ,则λλ++=1nS p S m S npm ;证明：因为d n n na S n 2)1(1-+= =n da n d )2(212-+⋅ 那么S n =An 2+Bn,即B An n S n +=,所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列,由命题3,即有λλ++=1nS p S m S npm ;三、用于求函数的解析式对于函数y=fx,如果能够化为)1)(()(1)(-≠+⨯+=x t x t x t n m y ,就与λλ++=121y y y 的形式完全相同只须把tx 看成λ,用数轴上两点P 1、P 2分别表示m 、n,不妨设m<n,P 点表示y,且)(21x t PP PP =,则当tx>0时,m<y<n;当tx=0时,y=m;当tx<0时,y<m 或y>m ;例3.已知二次函数fx 满足条件：1 f-1=0；2对一切x ∈R,都有21)(2x x f x +≤≤成立,求fx的解析式;本题如果应用函数、根的判别式、基本不等式等知识来解题的话,过程比较繁琐,有些学生因为综合能力差,听完讲解后仍然似懂非懂,但如果运用定比分点公式解题则非常简单：解：由21)(,2x x f x R x +≤≤∈,可设数轴上的点P 1x,0、Pfx,0,)021(22，x P +,且λ=21PP P P , 则fx=λλ+++1)21(2x x ,因为f －1=0 ,所以01)211(1=+++-λλ,解得 λ＝1, 所以412141)(2++=x x x f ; 四、。
定比分点公式在不等式中的巧妙应用
定比分点公式在不等式中的巧妙应用定比分点公式在不等式中的巧妙应用即可以利用它来快速判断不等式的解集所需满足的条件，从而减少求解步骤和提高求解效率。
一般来说，不等式的解集可以由解得的极限情况，即它的极大值和极小值所确定，但是在实际求解的过程中，不等式通常会遇到各种复杂的情况，比如被分为多个组成部分，这时候不等式的解集就很难用极限来确定，因此就需要利用定比分点公式来进行判断了。
定比分点公式是指，不等式的一个单个变量（未知量）等号右边的被除项和等号左边的除数之比，能否确定其解集的大小范围。
也就是说，先将不等式中的未知变量替换为假设的数值，然后计算等式右边的被除项和等号左边的除数的比值，如果比值小于0，则说明未知变量的值必然小于或等于该假设值；反之，则说明未知变量的值必然大于或等于该假设值，也就能得出未知变量的取值范围。
例如，求解不等式3x-20>2x+1的解集，可以先将x替换为一个任意数a，然后将3a-20>2a+1转化为定比分点公式，令3a-20/2a+1=b，若b<0，则说明a<=(20-1)/5；若b>0，则说明a>=(20-1)/5，这样就可以得出x的取值范围，即(20-1)/5≤x。
另一方面，定比分点公式也可以用来判断不等式的极值。
比如，判断不等式x^2-x+6≥0的极值，可以先将x=k（k∈R）代入不等式中，然后把不等式转化为定比分点公式，令k^2-k+6/k=b，若b<0，则说明k<=3；若b>0，则说明k>=3，即有k<=3为极小值，k>=3为极大值，这样就可以得出极值的取值范围。
总结来说，定比分点公式在不等式中的巧妙应用非常明显，它可以用来快速确定不等式的解集范围和极值，从而减少求解步骤和提高求解效率。
定比分点公式解题妙用_严海平
知识应用定比分点公式解题妙用湖北省武汉市关山中学 严海平作为数学的首要功能之一, 应用既是知识的温习和巩固过程, 又是知识的创新过程和认识的飞跃过程,是思维中的最积极活跃的过程. 因此, 这一过程的探究应当作为数学探究性教学的重点. 下面就定比分点公式在数学解题中的应用进行探究, 以供同仁们交流.点 P 分 P 1 P 2 所成的比 λ的有关内容的教学是在高一数学下册第五章平面向量完成的, 有关 λ的应用篇幅非常少, 但在解题中发觉分比 λ的用途十分广泛,如何巧妙利用 λ来解题是一个值得深入探究的问题.在与数学教研组的各位老师的共同努力下, 挖掘出了 λ 的许多巧妙应用. 以下是利用 λ解题的几个应用例析.一、在函数中的妙用探究1. 求值域【例 1】 求函数①y =sin 2-x sin +2x , ②y =e e x x +-11的值域.解析:①设 - 2 , sin x , 2 分别是 P 1 , P , P 2 在数轴上的坐标,则 y =sin 2-x sin +2x =PP P 1P 2 =λ,因 - 1≤sin x ≤1 结合数轴可知,当|P 1 P |在 1 3 变化时|PP 2|相应的在 3 1 变化,1 1∴λ∈, 3 , 即 y ∈ , 3 .3 3 ②令λ=e x >0, - 1 , y , 1 分别是 P 1 , P , P 2 在数轴上的坐标,则 y = e x - 1= - 1 +e x1= - 1+λ.e x+1 1 +e x1 +λ 由 λ>0 知, P 为有向线段P 1 P2 的内分点, 所以 - 1<y <1 , 即原函数的值域为( - 1, 1). 2. 求解析式【例 2】 二次函数 f (x )=a x 2+bx +c 的图象经过点(0 , 14 ), 且 x ≤f (x )≤x 2 2+1对一切实数 x 都成立,求 f (x ). 解析:因为当 x ∈ R , 总有 x ≤f (x )≤x 2 2+1 ,为此不妨设 x , f (x ),x 2 2+1分别是 P 1 , P , P 2 在数轴上的坐标,则 P 1 P =λPP 2 , 其中 λ≥0.于是由定比分点坐标公式得x+λx 2 2+1f (x )=1+λ.又因 y =f (x )经过点0 ,14, 代入上式得1 λ124 =1 +λ, 解得 λ=1.将λ=1 代入 f (x )=x +λ x 2 2+1中, 1+λ得 f (x )=14 x 2 +12 x +14 .二、在不等式中的妙用探究1. 解不等式【例 3】 已知 a , b ∈ R , ①若满足 a <b <a 1++mbm , 则a +mb实数 m 的取值范围为 , ②若满 a < <b ,1 +ma +mb则实数 m 的取值范围为, ③若满足 <a1+m<b , 则实数 m 的取值范围为.a +mb解析:设 a , , b 分别是P 1 , P , P 2 在数轴上的1 +m a +mb 坐标, 由 知P 分P 1P 2 所成的比λ=m , 求 m 的取1+m 值范围既求定比λ的取值范围.a +mb①由 a <b < 知 P 为 P 1 P 2 的外分点, 在1 +m P 1 P2 的延长线上, 故 m <- 1.②由 a <a 1++mbm <b , 知 P 为 P 1 P 2 的内分点, 故 m >0.29③由a 1++mb m <a <b 知 P 为 P 1 P 2 的外分点, 在P 1 P 2 的反向延长线上, 故 - 1<m <0.【例 4】 解不等式①12+-3xx ≥1 , ②lg (x 2 - 2x - 15)<lg (x +13).解析:①令 y = 2 - x- 1 ≥0, 则 1+3 x 1 + 3 y ( - 1 )x = 44 3 , 且 y ≥0.1 + 3 y4于是问题转化为:以14 , x , - 13 分别是 P 1 , P , P 2 在数轴上的坐标, 定比 λ= 34 y ≥0 时, 求分点 P 的坐标x 的取值范围问题.由定比λ=34 y ≥0 知, P 为有向线段 P 1 P 2 的内分点, 或与点 P 1 重合, 故 - 13 <x ≤ 14 .②原不等式等价于 0<x 2 - 2 x - 15<x +13, 令 0 , x 2 -2x - 15, x +13 分别是 P 1 , P , P 2 在数轴上的坐标 ,P 1 P =λPP 2 , 则 P 为有向线段 P 1 P 2 的内分点, 所以 λ>0 , 而 λ= P 1 P= x 2 - 2x - 15 - 0(x - 5)(x +3) PP 2 x +13 -(x 2- 2x - 15) -(x - 7)(x +4)>0 , 得解集为{x |- 4<x <- 3或 5<x <7}.2. 证明不等式【例 5】 关于 x 的二次方程 x 2 +ax +b =0 有两个实根α,β, 其中 a , b ∈ R , 证明①如果|α|<2,|β|<2, 求证:2|a |<4+b , 且|b |<4. ②如果 2|a |<4 +b , 且|b |<4 , 求证:|α|<2 ,|β|<2.证明:由韦达定理 α+β=- a ,αβ=b , 设数 - 4 - b , 2a , 4+b 分别是 P 1 , P , P 2 在数轴上的坐标.①要证 2|a |<4+b , 只需证 - 4 - b <2a <4+b , 既只需证 P 为有向线段P 1 P 2 的内分点,而λ= P 1P = 2a +4 +b = - 2(α+β)+4 +αβP P 24 +b - 2a4+αβ+2(α+β) =(2 - α)(2 - β)>0 , (因为|α|<2 , |β|<2), 显然 (2 +α)(2+β) |b |=|α||β|<4.②当 2|a |<4+b 时 , 即 - 4 - b <2a <4 +b ,由此知 P 为 P 1 P 2 的内分点, 则 λ=PPP 1P2 >0, 仿 ①可知(2 - α)(2 - β) >0 ,(2 +α)(2 +β)即(2 - α)(2 - β)(2 +α)(2+β)>0 , 所以(4 - α2)(4 - β2)>0.因此有 α2<4 ,β2 <4.(若α2>4,β2>4 , 则与|αβ|=|b |<4 矛盾) 即|α|<2 ,|β|<2.三、在几何问题中的妙用探究【例 6】 证明:三角形内角平分线分其对边之比等于夹这个角的两边长度之比.证明:以 △OAB 的顶点 O 为原点 , ∠AOB 的平分线OC 所在直线为 x 轴, 建立直角坐标系, 如图所示设|OA |=m , |OB | = n , ∠AOC =∠COB =θ,则 A (mco s θ, msin θ), B (nco s θ, - nsin θ),设点 C 分 AB 所成的比为λ, 由定比分点公式得msin θ- λnsin θ=0.1 +λ解得 λ=m, 即|AC |=|OA |.n|CB | |OB |四、在数列问题中的妙用探究数列是定义在正整数集上的特殊函数, 等差数列的通项公式为:a n =a 1 +(n - 1)d =dn +(a 1 - d ), a n 为变量 n 的一次函数(d ≠0), 其图象为直线上的一些孤立的点, 故有 A (m ,a m ), B (n , a n ), C (p , a p )三点共线,为此我们把点 C 视为AB 的一个定比分点, 则有λ=p n -- m p (λ≠- 1), a p =a m 1+λ+λa n .【例 7】 在 1 与 29 之间插入 21 个数, 使它们成等差数列, 求此数列的通项公式.解析:设通项为 a n , 令点 P (n , a n )分点 A (1, a 1), B (23 , a 23)两点连成的线段所成的比为λ,则有 λ=23n--1n , 又由题设知 a 1 =1, a 23 =29 ,a 1 +λa 1+ n - 1 ×29143 2323 - n于是有 a n =1+λ =1+ n - 1= 11 n - 11 .23 - n即通项 a n =14n -3 .111130。
巧用定比分点公式
巧用定比分点公式
梁喜涛陈月双
1、巧求值域
例1. 求函数的值域。
分析：观察上式可联想到定比分点公式
得
即P（y，0）分起点为，终点为的有向线段的比为
当时，
当时，
故函数的值域为［0，2］。
2、巧解数列题
例2. 在8与36之间插入6个数，使它们同这两个数成等差数列，求插入的6个数。
引入命题：设数列是等差数列，是数列中的三项且有
由可得
解：设构成的等差数列为，则
其中
可得，从而知插入的6个数分别为12，16，20，24，28，32。
注意：这里是n的一次关系式。
3、巧解不等式
例3. 解不等式
解：设，3分别对应数轴上三点是的分点，设P分
所成的比为，则。
因为
所以或
故原不等式的解集为
注：对于形如“”的不等式求解或证明题，利用定比分点公式来证明，则独具匠心。
具体方法：
设分别对应数轴上三点，P是的分点，由定比分点公式
如，P为内分点，有。
以上几例，意在启发学生在学习中要善于类比联想，进行知识的横向联系，融会贯通知识点。
人教版高中数学定比分点公式的向量形式及应用
定比分点公式的向量形式及应用众所周知,向量法是解决平面几何问题的重要方法之一,而定比分点公式是解析几何中应用非常广泛的重要公式之一;本文介绍定比分点公式的向量形式及其在解决平面几何问题中的应用;供大家参考.1 定理及其推论定理 设点P 分21P P 的比为λ(即21PP P P λ=,1-≠λ),Q 为平面上的任意一点,则21111QP λλλ+++=.(定比分点公式的向量形式) 证明: ∵21PP P λ=,∴)(21QP -=-λ即21)1(QP λλ+=+,即21111QP λλλ+++=. 推论1设点P 为OAB ∆的边AB 上的点,且,,n PB m AP ==则OB nm mOA n m n OP +++=. 推论2设点P 为OAB ∆的边AB 的中点,则)(21OB OA OP +=.推论3 O A B ∆中，点P 在直线AB 上的充要条件是：存在实数t ，使OB t OA t OP )1(-+=成立证明：（充分性）∵t t )1(-+=，∴)(t -=-，即BA t BP =， 故P B A ,,三点共线，即点P 在直线AB 上.(必要性)(1)当点P 不与B 重合时，可设P 分的比为λ,则由定理可知λλλ+++=111,取λ+=11t 得t t )1(-+=.(2) 当点P 与B 重合时,可取0=t ,显然有OB t OA t OP )1(-+=成立. 推论4在直角坐标平面中,设()111,y x P ,()222,y x P ,()y x P ,,且点P 分21P P 的比为λ(其中1-≠λ),则λλ++=121x x x ,λλ++=121y y y (定比分点公式) 证明:取Q 为原点()0,0O ,由定理可得()()),(1,11,2211y x y x y x λλλ+++=, 即λλ++=121x x x ,λλ++=121y y y2 应用举例(1)证明比例线段关系例1 如图，在ABC ∆中,E D ,是BC 边的三等分点，D 在B 和E 这之间，F 是AC 的中点，G 是AB 的中点，设H 是线段DF 与EG 的交点，求比值HG EH :.分析:要求比值HG EH :的大小,只须得到向量EH 与向量EG 之间的线性关系,由平面向量基本定理可知,可选择一组合适的基底, 则向量、向量都可用这组基底的线性组合表示之,一旦表示成功,则结论也唾手可得了.证明:设a CB =, b CA =,连结CG 、CH ，由于EC BE 2=, 由推论1可知：=+=3132)(3132-+ CG CB -=31)(2131CA CB CB +-==b a 2161-- 即2161+=；∵D 、H 、F 三点共线，∴t t )1(-+=))(1(CE CF t ED t --+===--+)3121)(1(3a b t a t b ta t 21312-+-， ∵与EH 是共线向量，∴0312212161=-⋅--⋅t t ，即53=t ，E故52)2161(52=+=，∴3:2:=HG EH . 评注:①由于本题的相关点均“生长”在ABC ∆的三边上,所以选择以向量=, =作为基底比较合理.②在向量运算过程中,通过合理的运用上述定理的推论,可简化运算过程,甚至可直奔结论.例2(第23届IMO 试题)已知AC ,CE 是正六边形ABCDEF 的两条对角线,点M ,N 分别内分CE AC ,,使得r CE CN AC AM ==::,如果N M B ,,三点共线,求r 的值.分析: ①要求出r 的值,只须得到关于r 的一个方程,故解决问题的关键是如何结合其它已知条件,把条件“N M B ,,三点共线”翻译成关于r 的一个方程.②由于B 、M 、N 三点所在直线过顶点B ，因此选择向量BA 、BC 作为基底比较合理,再把向量BM 、用基底表示之，则不难得到关于r 的方程.解：∵r CE CN AC AM ==::∴()r r NE CN MC AM -==1::: 由推论1可知()r r -+=1()BC r BE r BN -+=1，∵ABCDEF 是正六边形， ∴)(2+=∴()=-++=BC r BC BA r BN 1)(2BA r BC r 2)1(++ ∵N M B ,,共线，∴()()0112=+--⋅r r r r ，故33=r . 评注:由于本题的“情景”与推论1的使用条件非常吻合，因此上述解法B通过推论1的应用使运算过程显得非常简捷,极大地缩短了解题的长度. (2)证明三角形的面积关系例3如图所示，已知ABC ∆的面积为214cm ，D 、E 分别是边AB 、BC 上的点，且1:2::==EC BE DB AD ，求PAC ∆的面积.分析:由于已知ABC ∆的面积,因此要计算PAC ∆的面积,只须求这两个三角形的面积比,注意到ABC ∆与PAC ∆是同底三角形,设直线BP 与AC 交于点Q ,则只须求出点P 分BQ 的比,若选择以向量=、=为基底，再把向量BQ 、BP 用基底表示之，则就大功告成了.解:连结BP 并延长交AC 于Q ,设=,=, ∵C 、P 、D 三点共线，∴t t )1(-+=， 又∵3131==，∴t t)1(3-+=， ∵A 、P 、E 三点共线，∴)1(λλ-+=，即()312λλ-+=，由平面向量基本定理可知λ=3t 且()3121λ-=-t ， 解得71=λ，∴c a BP 7471+=，设BP BQ μ=c a 747μμ+=，∵A 、Q 、C 三点共线，∴,1747=+μμ即57=μ，∴,75BQ BP =,72BQ PQ =472==∆∆BAC PAC S S 2cm .评注：在用向量方法解决平面几何问题时，除注意基底的合理选择外，还需注意方程思想的应用，虽然上述解法操作过程有一定的技巧性,但若在操作过程中始终以方程思想为指导，则思路还是显得比较自然.(3)证明三点共线问题例4（2004年斯洛文尼亚数学奥林匹克试题）设O 、P 是平面上的两个不同的点，四边形ABCD 是平行四边形，两条对角线相交于点O ，点P 不在直线AB 关于直线CD 对称的图形上，M 、N 分别是线段PA 、PB 的中点，Q是直线MC 与直线ND 的交点；证明：P 、Q 、O 三点共线，且点Q 的位置与平行四边形ABCD 的选择无关.分析:要证明P 、Q 、O 三点共线,只须证明λ=,注意到O 是AC 的中点,即有)(21PC PA PO +=成立,故可选择向量PC PA ,为基底,再设法把向量也用基底表示之即可.证明:∵M 、N 分别是线段PA 、PB 的中点 ∴AB MN 21//,∵ABCD 是平行四边形,∴CD AB //即CD MN 21//,∴MQ QC 2=,由推论1可知3132+=3131+=又∵O 是线段AC 的中点, 由推论2可知)(21+=∴32=,即,共线,且PO PQ 32=,即P 、Q 、O 三点共线，且点Q 的位置与平行四边形ABCD 的选择无关.评注:证明三点共线是平面几何中的难点之一,利用平面向量方法证明之思路自然且易于操作.(4)证明平面几何中的定值问题 例6 已知 G 是ABC ∆的重心，过点G 任作一条直线l ，分别交边AB 、AC 于点D 、E ，若x =，AC y AE =求证：yx 11+为定值. 分析: 当点D 与点B 重合,即1=x 时,E 且为AC 之中点,即21=y ,此时311=+y x ,因此只须证明311=+yx 即可.所以只须得到关于y x ,应满足的方程即可,注意到D 、G 、E 三点共线及G是ABC ∆的重心,因此可选择以向量AC AB ,为基底,由向量的两种不同的表示方法中得到此方程.证明：∵D 、G 、E 三点共线∴AE AD AG )1(λλ-+=AC y AB x )1(λλ-+=，又∵G 是ABC ∆的重心，AC AB AF AG 313132+==， 由平面向量基本定理可知31=x λ且()311=-y λ，∴()313311=-+=+λλyx （定值）. 通过以上各例的解法不难发现,用定比分点公式的向量形式及其推论解决平面几何问题的解题程序如下:(1)把平面几何问题转化为平面向量问题;(2)合理选择一组基底;(3)把问题涉及的向量用基底表示之;(4)得到需要的结论并回归到平面几何问题.。
定比分点公式在不等式中的巧妙应用
定比分点公式在不等式中的巧妙应用仲济斋(连云港师专海州校区,江苏 222023)中图分类号:O122.7 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)17-0014-02收稿日期:2001-05-10作者简介:仲济斋(1965-),男,江苏连云港人,江苏连云港师专海州校区副教授,学士. 定比分点公式是解几中非常重要的公式,利用它解(证)不等式将非常巧妙而有效,特介绍如下:1 解不等式 对于解形如x 1<x <x 2(或|x |<a )的不等式,我们是把x 1,x ,x 2分别对应数轴上三点:P 1,P ,P 2,P 是有向线段P 1P 2的内分点,由定比分点公式λ=P 1P PP 2=x -x 1x 2-x,因为λ>0,所以x -x 1x 2-x>0,通过解此不等式可得原不等式的解;而对于形如|x |>a 的不等式,我们同样把-a ,x ,a 分别对应数轴上三点:P 1,P ,P 2,而此时P 是有向线段P 1P 2的外分点,λ<0即x +aa -x<0,解此不等式即可.例1 (1997年高考试题)解不等式组x >0,3-x 3+x >2-x2+x.解 原不等式组等价于-3-x 3+x <2-x 2+x <3-x 3+x且x >0,-3-x 3+x ,2-x 2+x ,3-x3+x分别对应数轴上三点.λ=2-x 2+x +3-x 3+x 3-x 3+x -2-x 2+x=-x 2-6x >0,∵x >0,∴x 2-6<0,∴0<x <6.例2 解不等式12<x 3+2x +32x 3+x +1<3.解 设12,x 3+2x +32x 3+x +1,3分别对应数轴上三点.λ=x 3+2x +32x 3+x +1-123-x 3+2x +32x 3+x +1=3x +5x (5x 2+1)>0,∴x >0或x <-53.例3 解不等式3x1+2x>1.解 首先1+2x ≠0,即x ≠-12.设-1,3x1+2x,1分别对应数轴上三点.λ=3x1+2x +11-3x 1+2x=5x +11-x <0,即(5x +1)(x -1)>0.所以不等式的解为x >1或x <-15且x ≠41数学通讯 2001年第17期-12.例4 解不等式 |x2-10x+21|>x2.解 设-x2,x2-10x+21,x2分别对应数轴上三点.λ=x2-10x+21+x2x2-x2+10x-21=2x2-19x+42-2x2+21x-42<0,即(2x2-19x+42)(2x2-21x+42)>0,(2x-7)(x-6)(x-21+1054)(x-21-1054)>0,最后原不等式的解为x<21-1054或72<x<6或x>21+1054.2 证明不等式 对于证明形如x1≤x≤x2的不等式,我们也是把x1,x,x2分别对应数轴上三点P1,P,P2,P 是有向线段P1P2的分点,由定比分点公式λ=P1PPP2=x-x1x2-x,如果λ>0则P是P1P2的内分点,此时x1< x<x2;当λ=0时,有x=x1;当λ不存在时有x=x2,因此当λ≥0时,即可证明x1≤x<x2,当λ不存在时,x=x2.而对于证明形如|x|≥a的不等式,我们仍然是把-a,x,a分别对应数轴上三点,只是当λ≤0时,即证明了x≤-a或x>a,当λ不存在时,x =a.例5 已知|a|<1,|b|<1,证明-1< a+b1+ab<1.证 设-1,a+b1+ab,1分别对应数轴上三点P1,P,P2.P是P1P2的分点,于是λ=a+b1+ab-(-1)1-a+b1+ab=a+b+1+ab1+ab-a-b=(a+1)(b+1)(1-a)(1-b)>0,∴-1<a+b1+ab <1.例6 设x2+y2=r2(r为正常数),求证:12r2≤x2+y2-xy≤32r2.证 设12r2,x2+y2-xy,32r2分别对应数轴上三点.λ=(x2+y2-xy)-12r232r2-(x2+y2-xy)=(x2+y2-xy)-12(x2+y2)32(x2+y2)-(x2+y2-xy)=(x-y)2(x+y)2≥0,当x=-y时,λ不存在.∴12r2≤x2+y2-xy≤32r2.当λ=0时,即x=y=±22时,不等式的左端取等号;当λ不存在时,即x=-y=±22,不等式的右端取等号.例7 若a>b>0,求证a sin x+ba sin x-b不能介于a-ba+b与a+ba-b之间.证 设a-ba+b,a sin x+ba sin x-b,a+ba-b分别对应数轴上三点.λ=a sin x+ba sin x-b-a-ba+ba+ba-b-a sin x+ba sin x-b=(a-b)(sin x+1)(a+b)(sin x-1).∵a>b>0,-1≤sin x≤1,∴λ≤0或λ不存在.∴a sin x+ba sin x-b不能介于a-ba+b与a+ba-b之间.注:λ=0,即sin x=-1说明a sin x+ba sin x-b=a-ba+b,λ不存在,即sin x=1说明a sin x+ba sin x-b=a+ba-b,λ<0,a sin x+ba sin x-b|a-ba+b,a+ba-b.512001年第17期 数学通讯。
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巧用定比分点公式
梁喜涛 陈月双
1、巧求值域
例1. 求函数x
cos 23x cos 1y -+=的值域。
分析：观察上式可联想到定比分点公式
,1x x x 21λ
+λ+=
得,x cos 321x cos 322131y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= 即P （y ，0）分起点为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,31P 1，终点为⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,21P 2的有向线段21P P 的比为 .32,32x cos 32⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈-=λ 当3
2-=λ时，,2y max = 当3
2=λ时，,0y min = 故函数x cos 23x cos 1y -+=的值域为［0，2］。
2、巧解数列题
例2. 在8与36之间插入6个数，使它们同这两个数成等差数列，求插入的6个数。
引入命题：设数列}a {n 是等差数列，n m p a ,a ,a 是数列中的三项且有
,n
m m p --=
λ 由n
m a a m p a a n m m p --=--可得 ).1(1a a a n p m -≠λλ
+λ+= 解：设构成的等差数列为}a {n ，则
,1a a a ,36a ,8a 18n 81λ
+λ+=== 其中.1
n n 8--=λ 可得4n 4a n +=，从而知插入的6个数分别为12，16，20，24，28，32。
注意：这里)n (f a n =是n 的一次关系式。
3、巧解不等式
例3. 解不等式
.31
x x 23x 2x 2133<++++< 解：设1
x x 23x 2x ,2133++++，3分别对应数轴上三点P ,P P P 21、、是21P P 的分点，设P 分21P P 、
所成的比为λ，则0>λ。
因为
,0)
1x 5(x 25x 31
x x 23x 2x 3211x x 23x 2x 23333>++=++++--++++=λ 所以3
5
x -<或.0x > 故原不等式的解集为.0x 35x x ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧>-<或 注：对于形如“21x x x <<”的不等式求解或证明题，利用定比分点公式来证明，则独具匠心。
具体方法：
设21x ,x ,x 分别对应数轴上三点21P P P 、、，P 是21P P 的分点，由定比分点公式 ,x
x x x PP 2121--==λ 如0>λ，P 为内分点，有21x x x <<。
以上几例，意在启发学生在学习中要善于类比联想，进行知识的横向联系，融会贯通知识点。