弹性力学热应力ppt课件
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热应力演示文稿(共21张PPT)
叶定律有：
dt
=a
d2t
dτ
dr 2
式中：t——温度；
Ʈ——时间；
r——圆筒体任一点半径；
(3—66)
a——钢材导温系数，a=λ/cρ〔m2 /s〕，此处λ为钢材导热
系数，c为钢材比热容， ρ为钢材密度。
式〔3—66〕难于精确求解，利用数学上的近似计算方法可得：
∆t δ2
∆t =
∆τ 2a
（3— 67）
如果构件的热膨胀在x、y、z三个方向都受到完全约束，那么有：
σtx
=
σty
=
σtz
=
αE∆t
1−2μ
（3—56）
二、产生热应力的几种常见情况
〔一〕构建整体受热而受到外部约束
最常见的是管子及其它圆筒形元件沿长度方向的膨胀受到约束，
而在元件内产生压缩热应力。这类热应力可以通过解除外部约束
而减小以至消除。
整体膨胀，对这类膨胀在设计、安装时一般都做了充分考虑。因而，锅筒在正
常运行时壁面内根本上不存在热应力。
启动和停炉时的情况那么不相同。在启动和停炉中，锅筒金属有一个从冷态
到热态或者从热态到冷态的温度转变。以自然循环锅炉启动时的情况为例：启动前
锅筒金属的温度因保养条件而异，一般为室温；启动时要首先往锅筒内上水，然后
1
K 2 −1 r 2
2ln +
lnK − 1
（3—59）
式中：α—钢棒的线膨胀系数，℃-1；
E—钢棒的弹性模量，MPa；
μ—钢材的泊松比；
K—圆筒体外径与内径之比；
t0，ti—圆筒体外外表及内外表壁温，℃；
R0—圆筒体外半径，mm；
r—圆筒体壁面中求解热应力点的半径，mm。
dt
=a
d2t
dτ
dr 2
式中：t——温度；
Ʈ——时间；
r——圆筒体任一点半径；
(3—66)
a——钢材导温系数，a=λ/cρ〔m2 /s〕，此处λ为钢材导热
系数，c为钢材比热容， ρ为钢材密度。
式〔3—66〕难于精确求解，利用数学上的近似计算方法可得：
∆t δ2
∆t =
∆τ 2a
（3— 67）
如果构件的热膨胀在x、y、z三个方向都受到完全约束，那么有：
σtx
=
σty
=
σtz
=
αE∆t
1−2μ
（3—56）
二、产生热应力的几种常见情况
〔一〕构建整体受热而受到外部约束
最常见的是管子及其它圆筒形元件沿长度方向的膨胀受到约束，
而在元件内产生压缩热应力。这类热应力可以通过解除外部约束
而减小以至消除。
整体膨胀，对这类膨胀在设计、安装时一般都做了充分考虑。因而，锅筒在正
常运行时壁面内根本上不存在热应力。
启动和停炉时的情况那么不相同。在启动和停炉中，锅筒金属有一个从冷态
到热态或者从热态到冷态的温度转变。以自然循环锅炉启动时的情况为例：启动前
锅筒金属的温度因保养条件而异，一般为室温；启动时要首先往锅筒内上水，然后
1
K 2 −1 r 2
2ln +
lnK − 1
（3—59）
式中：α—钢棒的线膨胀系数，℃-1；
E—钢棒的弹性模量，MPa；
μ—钢材的泊松比；
K—圆筒体外径与内径之比；
t0，ti—圆筒体外外表及内外表壁温，℃；
R0—圆筒体外半径，mm；
r—圆筒体壁面中求解热应力点的半径，mm。
弹性力学--热应力 ppt课件
PPT课件
17
由于弹性体所受的外在约束及弹性体内各部 分之间相互约束，上述形变不能自由发生，产 生温度应力。 因而总的形变分量为：
x
1 [ x ( y z )] T E
1 [ y ( x z )] T E 1 z [ z ( y x )] T E
一 基本概念
1.温度场 在同一时间，物体内各点处温度值 的总体。一般说来，温度场是位移和时间的函数。
即
T=T（x,y,z,t）
若T=T（x,y,z），即温度场不随时间的变化而变化， 称为稳定温度场。 3 PPT课件
若 T=T （ x,y,t ），即温度随时间和平面内的两位置 坐标变化而变化，称为平面温度场。 2. 等温面 任一瞬间，同一温度场内温度相同 的各点之间的连线，构成等温面，沿等温面移动， 温度不变；沿等温面的法线方向移动，温度的变化 率最快。 3. 温度梯度 沿着等温面的法线方向，指向温 度增大的方向，其大小等于 ，取沿等温面法线方向 的单位矢量为n0。则
其中：β 放热系数
Ts 物体表面温度
Te 周围介质温度
或
( q n ) s T n
T (Ts Te ) PPT课件 n
15
第四类边界条件 以知两物体完全接触，并以 热传导方式进行热交换。即：
Ts=Te
PPT课件
16
第四节 按位移求解温度应力的平面问题 设弹性体内各点的变温为T,从而引起弹性体内各 点的微小长度发生应变 αT ， α为线热胀系数 , 弹性体 内各点的形变分量为： εx=εy=εz=αΤ，γyz=γzx=γxy=0
2 2 T ( 2 2 ) (1 ) y x y y
弹性力学li优秀课件
y n
z n
（5）热流速度 — 相似于水流流量
dQ — 单位时间内通过等温面面积S的热量，因次： dt ［热量］［时间］-1
6.1 基本概念
第六章 温度应力平面问题概论
（6）热流密度 — 相似于水流速度
q dQ S dt
— 单位时间内通过等温面单位面积的热量，因次：［热 量］［时间］-1［长度］-2
弹性力学li
第六章 温度应力平面问题概论
6 温度应力平面问题概论
（平面热弹性力学问题概论） 什么是温度应力？
当弹性体的温度发生变化时，将发生膨胀或收缩变形，当这 种变形受到约束（外在约束或物体内部各部分之间的约束） 时，即产生应力（温度应力）。
分析思路：
首先计算弹性体的温度场，求出变温；
然后根据弹性体的变温求出弹性体内各点的温度应力。
（2）方程推导
y
qy
q y y
dy
① 吸收热量
qx
dx
qz
qz z
dz
qz
dy
qx
qx x
dx
令微小六面体的温度在dt时 间内升高了 T dt ，吸收
dz
的热量为： t
x
qy
z
Q吸＝cd
xdyTddz t t
6.2 热传导微分方程及边值条件
第六章 温度应力平面问题概论
y
qy
q y y
dy
② 传入的净热量
（4）边值条件 初始条件：弹性体在初始瞬时的温度分布。 (T)t0f(x,y,z)
边界条件：物体表面与周围介质之间进行热交换的规律。
分四类:
第一类：已知物体表面温度，即： Tsf1(x,y,z,t)
第二类：已知物体表面法向热流密度，即：(qn)sf2(x,y,z,t)
(29)弹性力学课件：热应力问题解析
热弹性问题的解法：位移法 T ij ij ij 2Gij kkij Tij
ij ij T x j x j x j x j xi ij
ij
T ij
ij
ij T T fi ( fi ) ( fi fi ) 0 x j x j xi x j x j ( fi fi T )
• 热膨胀系数（热应变系数）：
– 单位温度变化引起的弹性体单位长度的伸长量 T (1/ K ) ij ij T
T
T x
, , , , ,
T y T z T yz T zx
T xy
, , , 0, 0, 0
ij (u )
T E fi xi 1 2
T
温度变化下的位移等 于 实际荷载+热荷载 左右下引起的位移
热弹性问题的解法：位移法 T E T ij (u ) T T fi ( fi fi ) 0 xi 1 2 xi x j
AW , t BW , t 0
A 0
0 1 , E
0 1 B 0 1 ,
v W
§ 10.4 波4
反射波 u( x, t ) f1 ( x C0t ) f 2 ( x C0t ) u1 ( x, t ) u2 ( x, t ) 右行波
C0 E
v t x
1 v E t x
u v t
0
0 v, t 0 1 v, t 0 0 , 1 , 0 1 t E t
弹性力学第四章应力应变ppt课件
弹性体的应变能函数表达式
v 1 2 (xxyyzzxy x yyz y zxz x)z
最新课件
10
1. 极端各向异性弹§性4体.3 各向异性弹性体
利用格林公克 式定 和律 广： 义胡
v
y
yC21xC22yC23zC24yzC25xzC26xy
再对xz求偏导 : y2v xz C25
对于具有一个弹性对称面的弹性体，其弹性常数由21个将减 少为13个。
x C11 x C12 y C13 z C14 yz
y C 21 x C 22 y C 23 z C 24 yz
z C 31 x C 32 y C 33 z C 34 yz
yz C 41 x C 42 y C 43 z C 44 yz
程只有九个:
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1
i,j fi 0(ui),
ij
1 2(ui, j
uj,i ),
j 1,2,3 i, j 1,2,3
其中f i 是已知的体力。从数学分析的角度，上述方程
是不封闭的，因此没有唯一的一组解。还需补充六
个方程，使得方程组封闭。
另外，应力与应变是相辅相成的，有应力就有应变， 反之亦然。对于每一种材料在一定温度下，它们之 间存在着确定的关系，反映了材料的固有特性。本 章的任务就是建立在弹性阶段应力与应变的关系。
新旧坐标系之间的转换关系为
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12
根据对称性质:关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换 时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系 变换时取负值（也可按照转轴时的变换公式计算）。有,
x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =yz，z'x' =-zx x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =yz，z'x' =-zx
弹塑性力学 第9章热应力
9－1 简单热应力问题
【例1】两端固定的杆件受热
【例1】长度为l、横截面为A的杆件，两端被固定在 两个刚性壁之间，杆件材料的热膨胀系数为 ， 弹性系数为E，杆件的温度由T1增加至T2，求杆中 的热应力。 【解】温度由T1升至T2因膨胀而产生的杆件伸长为 lT = l(T2-T1) = lT 温度升高，杆件受到压力 PT的作用，由 PT产生的 杆件的缩短为
或
x 2G x ET /(1 2 ), xy G xy
y 2G y ET /(1 2 ), yz G yz z 2G z ET /(1 2 ), zx G zx
9－3 平面热弹性问题
平面应力问题
E 平面应变问题——在平面应力问题结果中，用 1 2 替换E，用 1 替换，用 (1 ) 替换，即得
1 x ( x y ) T E 1 y ( y x ) T E 1 xy xy G
热弹性位移势
引进一个函数 (x, y, z)，使得 u , v , w x y z
则称 为热弹性位移势。
满足平衡方程的位移势必须满足 1 2 T 1 相应的应力解为
(1)
2 2 2 2G 2 2 , 2G x xy y xy z 2 2 2 y 2G 2 2 , yz 2G z yz x 2 2 2 z 2G 2 2 , zx 2G x zx y
2 2 2 2 2 2 2 x y z
T 为变温的时间微分（偏导数）
弹性力学ppt课件(2024)
建立一维拉伸或压缩问题的数学模型
通过受力分析，确定物体在拉伸或压缩过程中的内力分布和变形情况。
2024/1/25
求解一维拉伸或压缩问题的基本方法
运用弹性力学的基本原理和公式，如胡克定律、应力-应变关系等，对一维拉伸或压缩问 题进行求解。
一维拉伸或压缩问题的有限元分析
介绍有限元方法在一维拉伸或压缩问题中的应用，包括网格划分、单元刚度矩阵和总体刚 度矩阵的建立、边界条件的处理等。
适用范围
适用于大多数金属材料在常温、静载 条件下的力学行为。对于非金属材料 、高温或动载条件下的情况，需考虑 其他因素或修正虎克定律。
2024/1/25
7
02
弹性力学分析方法与技巧
2024/1/25
8
解析法求解思路及步骤
01
02
03
04
05
建立弹性力学基 本方程
选择适当的坐标 系和坐标…
求解基本方程
件和载荷。
平面应变问题建模
02
探讨平面应变问题的特性，构建适当的力学模型，并确定边界
条件和载荷。
求解方法
03
介绍适用于平面应力和平面应变问题的求解方法，如有限元法
、有限差分法等，并讨论各种方法的优缺点和适用范围。
18
极坐标下二维问题处理方法
极坐标系的引入
阐述极坐标系的定义和性质，以及与直角坐标系的关系。
根据问题的实际情况，确 定位移边界条件、应力边 界条件以及初始条件。
通过与其他方法（如数值 法、实验法）的结果进行 比较，验证解析解的正确 性和有效性。
2024/1/25
9
数值法（有限元法）在弹性力学中应用
有限元法基本原理
有限元模型建立
通过受力分析，确定物体在拉伸或压缩过程中的内力分布和变形情况。
2024/1/25
求解一维拉伸或压缩问题的基本方法
运用弹性力学的基本原理和公式，如胡克定律、应力-应变关系等，对一维拉伸或压缩问 题进行求解。
一维拉伸或压缩问题的有限元分析
介绍有限元方法在一维拉伸或压缩问题中的应用，包括网格划分、单元刚度矩阵和总体刚 度矩阵的建立、边界条件的处理等。
适用范围
适用于大多数金属材料在常温、静载 条件下的力学行为。对于非金属材料 、高温或动载条件下的情况，需考虑 其他因素或修正虎克定律。
2024/1/25
7
02
弹性力学分析方法与技巧
2024/1/25
8
解析法求解思路及步骤
01
02
03
04
05
建立弹性力学基 本方程
选择适当的坐标 系和坐标…
求解基本方程
件和载荷。
平面应变问题建模
02
探讨平面应变问题的特性，构建适当的力学模型，并确定边界
条件和载荷。
求解方法
03
介绍适用于平面应力和平面应变问题的求解方法，如有限元法
、有限差分法等，并讨论各种方法的优缺点和适用范围。
18
极坐标下二维问题处理方法
极坐标系的引入
阐述极坐标系的定义和性质，以及与直角坐标系的关系。
根据问题的实际情况，确 定位移边界条件、应力边 界条件以及初始条件。
通过与其他方法（如数值 法、实验法）的结果进行 比较，验证解析解的正确 性和有效性。
2024/1/25
9
数值法（有限元法）在弹性力学中应用
有限元法基本原理
有限元模型建立
热应力
εx=εy=εz=αΤ，γyz=γzx=γxy=0
由于弹性体所受的外在约束及弹性体内各部
分之间相互约束，上述形变不能自由发生，产 生温度应力。
因而总的形变分量为：
x
1 E
[ x
(
y
z )] T
y
1 E
[
y
( x
z )] T
z
1 E
[
z
( y
x )] T
(8)
yz
2 E
(1 ) yz
例：设圆筒从某一
均匀温度加热，内表面
增温Ta ，外表面增温
Ta
a
Tb ，试求筒内无热源，
热流稳定后的热应力。 Tb
b
解：首先求温度场，由热传导微分方程
T a( 2T 2T 2T ) W
t
x2 y2 z2 c
无热源，热流稳定后的热传导微分方程为
b
T d
a
a T d
E (1 ) 2
(
2 b2
a2 a2
b
T d
a
T d T 2 )
a
按 z 0 的条件，应力分量 z ( ) ET
代入上式得：
z
E 1
b2
2 a2
b
T
d
T
a
(上式所示应力在无限长圆筒中或在两端受纵 向完全约束的有限长圆筒中才可能发生。)
第一节 温度场与热传导的基本概念 第二节 热传导方程 第三节 温度场的边值条件 第四节 按位移求解温度应力的平面问题 第五节 微分方程的求解 第六节 轴对称温度场平面热应力问题 第七节 稳定温度场的差分解 第八节 应力函数差分解
第一节 温度场与热传导的基本概念
由于弹性体所受的外在约束及弹性体内各部
分之间相互约束，上述形变不能自由发生，产 生温度应力。
因而总的形变分量为：
x
1 E
[ x
(
y
z )] T
y
1 E
[
y
( x
z )] T
z
1 E
[
z
( y
x )] T
(8)
yz
2 E
(1 ) yz
例：设圆筒从某一
均匀温度加热，内表面
增温Ta ，外表面增温
Ta
a
Tb ，试求筒内无热源，
热流稳定后的热应力。 Tb
b
解：首先求温度场，由热传导微分方程
T a( 2T 2T 2T ) W
t
x2 y2 z2 c
无热源，热流稳定后的热传导微分方程为
b
T d
a
a T d
E (1 ) 2
(
2 b2
a2 a2
b
T d
a
T d T 2 )
a
按 z 0 的条件，应力分量 z ( ) ET
代入上式得：
z
E 1
b2
2 a2
b
T
d
T
a
(上式所示应力在无限长圆筒中或在两端受纵 向完全约束的有限长圆筒中才可能发生。)
第一节 温度场与热传导的基本概念 第二节 热传导方程 第三节 温度场的边值条件 第四节 按位移求解温度应力的平面问题 第五节 微分方程的求解 第六节 轴对称温度场平面热应力问题 第七节 稳定温度场的差分解 第八节 应力函数差分解
第一节 温度场与热传导的基本概念
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εx=εy=εz=αΤ，γyz=γzx=γxy=0
17
由于弹性体所受的外在约束及弹性体内各部
分之间相互约束，上述形变不能自由发生，产 生温度应力。
因而总的形变分量为：
x
1 E
[ x
(
y
z )] T
y
1 E
[
y
( x
z )] T
z
1 E
[
z
( y
x )] T
(8)
yz
2 E
(1 ) yz
q dQ S dt
q 熱流密度 S 等温面面积
5
熱流密度的矢量表示为
q
n0
dQ dt
S
(3)
5. 热传导基本定率 热流密度与温度梯 度成正比且方向相反。
q T
(4)
λ为导热系数 . 由上述公式(1)、(3)、(4)得
d Q T S
d t n
(5)
6
式（5）表明，导热系数等于单位温度梯度下 通过等温面单位面积的热流速度。
2u x 2
1
2
2u y 2
1
2
2v xy
(1 )
T x
0
2v y 2
1
2
2v x 2
1
2
2u xy
(1 )
T y
0
又据平面问题的应力边界条件得：
u l1( x
v y )s
l2
1 2
( u y
v x )s
l1(1 )T
l2
(
v y
u x
)s
l1
1 2
( u y
v x
)s
l2(1 )T
y 3 yx 2
x
即为
2
(
2
)
(1 )
T
x x 2 y 2
x
y
2
( x 2
2
y 2 )
(1 )
T y
又u.v都是常量，所以取：
2 2 (1 )T
(16)
x2 y2
时， φ（x,y）满足(14)式，因此可以作为微分方
程(14)的一组特解。
26
将
u x
v
y
及式（16）代入式（12）得相应与位移特解的应
根据热量平衡原理得：
c T d x d y d z d t ( 2T 2T 2T ) d x d y d z d t
t
x 2 y 2 z 2
化简得：
T
2T (
2T
2T )
W
t c x2 y 2 z 2 c
记
a c
称为温度系数,上式可简写为：
T 2T 2T 2T W
a( )
t
x2 y 2 z 2 c
zx
2 E
(1 ) xx
xy
2 E
(1 ) xy
18
如图所示等厚薄板及坐标系中，没有体力和面力 作用，只有变温T的作用且变温T是x和y的函数。
因而有 z 0, yz zx 0
并由式（8）得出用应力分量与变温T所表示的形变分 量的物理方程，即热弹力学物理方程：
x
1 E
( x
y )
力分量：
x'
E
1
2
y 2
' y
E 1
2 x 2
' xy
E 1
2 xy
位移的补充解u’’.v’’满足式（14）的齐次方程
2u'' 1 2u'' 1 2v'' 0 x 2 2 y 2 2 xy
2v'' 1 2v'' 1 2u'' 0
y 2 2 x 2 2 xy
27
相应与位移补充解的应力分量，可由式（13）令T=0
' xy
'' xy
满足应力边界条件。
在平面应变条件下，将上述各方程中的
E换成
E
1 2
换成
1
α换成
α(1+ )。
29
第六节 轴对称温度场平面热应力问题
下面分析轴对称温度场引起的平面热应力问 题，对于该类问题，由于只存在位移分量 ，故可 直接按位移法求解。设圆筒的内外径分别为a, b， 不考虑体积力平面应力问题平衡微分方程
得出
'' x
E
1 2
u '' (
x
v '' )
y
'' y
E
1 2
(
u '' x
v'' ) y
'' xy
E v '' (
2(1 ) x
u'' ) y
从而得总的位移分量：
u = u’+ u’’ v = v’+ v’’ 并满足位移边界条件。
28
总的应力分量：
x
' x
'' x
y
' y
'' y
xy
2T y 2
d
x
d
y
d
z
d
t
由ABCD 和A’B’C’D’ 两面传入的静热量为：
2T z 2
d
x
d
y
d
z
d
t
因此，传入微小六面体的总静热量为：
( 2T 2T 2T ) d x d y d z d t
x 2 y 2 z 2
11
假定物体内部有正热源供热，在单位时 间单位面积供热为W,则物体在时间dt内产生 的热量为Wdxdydzdt
由式（1）和（4）知
q T
n
热流密度在坐标轴上的投影
qx
T n
cos(n, x)
qy
T n
cos(n, y)
(6)
qz
T n
cos(n, z)
7
式（6）与式（2）比较得
qx
T x
qy
T y
(7)
qz
T z
式（7）表明，热流密度在任一方向上的分量，
等于导热系数乘以温度在该方向的递减率。
8
第二节 热传导微分方程的推导
1 E
(
) T
1 E
(
) T
可表示为
E 1
2
(
)
E 1
T
E
1 2
(
)
E 1
T
代入 再代入
d u
d
,
u
0
得按位移求解轴对称热应力的基本方程：
d2 u
d 2
1
d u
d
u
2
(1 )
dT
d
32
上式改写：
d
d
1
d
d
(u )
(1 )
dT
d
积分两次可得到轴对称问题位移分量：
u
(1 )
a
T
d
c1
c2
式中c1, c2 为任意常数，积分下限可取圆筒内径a。
33
由上式可得应力分量：
E 2
a
T
d
E
1
2
[(1
)c1
(1
)
c2
2
E 2
a
T
d
E 1
2
(1
)c1
(1
)
c2 2
ET
0
在无面力条件下，由边界条件
( )a 0
( )b 0
可求出积分常数：c1
这就是热传导微分方程。
12
第三节 温度场的边值条件 为了能够求解热传导微分方程，从而求得温 度场，必须已知物体在初始瞬间的温度分布，即 所谓初始条件，同时还要知道初始瞬间以后物体 表面与周围介质之间热交换的规律, 即所谓边界 条件。二者合成边值条件。 初始条件一般表示如下：
(T)t=0=f(x,y,z)
(qn)s=β(Ts-Te) 其中：β 放热系数
Ts 物体表面温度
Te 周围介质温度
或
(qn )s
T n
T
n (Ts Te )
15
第四类边界条件 以知两物体完全接触，并以 热传导方式进行热交换。即：
Ts=Te
16
第四节 按位移求解温度应力的平面问题 设弹性体内各点的变温为T,从而引起弹性体内各 点的微小长度发生应变αT，α为线热胀系数, 弹性体 内各点的形变分量为：
9
在时间dt内，由六面体ABA’B’ 面传入的热量 为qxdxdydzdt ,由CDC’D’面传入的热量为
(qx
qx x
d
x)d
y
d
z
d
t
传入的静热量为：
由式
qx d x d y d z d t x
qx
T x
qx x
d
xd
yd
zdt
2T x 2
d
xd
ydzdt
10
同样可得：
由ADD’A’ 和BCC’B’ 两面传入的静热量为：
(1 )
b2 a2
b
T a
d
,
c2
(1 )a2
b2 a2
b
T d
a
(17)
34
将它们代入(17)得:
E 2
2
b2
a2 a2
b
T d
a
a T d
E 2
2 a2 b2 a2
b
T d
17
由于弹性体所受的外在约束及弹性体内各部
分之间相互约束，上述形变不能自由发生，产 生温度应力。
因而总的形变分量为：
x
1 E
[ x
(
y
z )] T
y
1 E
[
y
( x
z )] T
z
1 E
[
z
( y
x )] T
(8)
yz
2 E
(1 ) yz
q dQ S dt
q 熱流密度 S 等温面面积
5
熱流密度的矢量表示为
q
n0
dQ dt
S
(3)
5. 热传导基本定率 热流密度与温度梯 度成正比且方向相反。
q T
(4)
λ为导热系数 . 由上述公式(1)、(3)、(4)得
d Q T S
d t n
(5)
6
式（5）表明，导热系数等于单位温度梯度下 通过等温面单位面积的热流速度。
2u x 2
1
2
2u y 2
1
2
2v xy
(1 )
T x
0
2v y 2
1
2
2v x 2
1
2
2u xy
(1 )
T y
0
又据平面问题的应力边界条件得：
u l1( x
v y )s
l2
1 2
( u y
v x )s
l1(1 )T
l2
(
v y
u x
)s
l1
1 2
( u y
v x
)s
l2(1 )T
y 3 yx 2
x
即为
2
(
2
)
(1 )
T
x x 2 y 2
x
y
2
( x 2
2
y 2 )
(1 )
T y
又u.v都是常量，所以取：
2 2 (1 )T
(16)
x2 y2
时， φ（x,y）满足(14)式，因此可以作为微分方
程(14)的一组特解。
26
将
u x
v
y
及式（16）代入式（12）得相应与位移特解的应
根据热量平衡原理得：
c T d x d y d z d t ( 2T 2T 2T ) d x d y d z d t
t
x 2 y 2 z 2
化简得：
T
2T (
2T
2T )
W
t c x2 y 2 z 2 c
记
a c
称为温度系数,上式可简写为：
T 2T 2T 2T W
a( )
t
x2 y 2 z 2 c
zx
2 E
(1 ) xx
xy
2 E
(1 ) xy
18
如图所示等厚薄板及坐标系中，没有体力和面力 作用，只有变温T的作用且变温T是x和y的函数。
因而有 z 0, yz zx 0
并由式（8）得出用应力分量与变温T所表示的形变分 量的物理方程，即热弹力学物理方程：
x
1 E
( x
y )
力分量：
x'
E
1
2
y 2
' y
E 1
2 x 2
' xy
E 1
2 xy
位移的补充解u’’.v’’满足式（14）的齐次方程
2u'' 1 2u'' 1 2v'' 0 x 2 2 y 2 2 xy
2v'' 1 2v'' 1 2u'' 0
y 2 2 x 2 2 xy
27
相应与位移补充解的应力分量，可由式（13）令T=0
' xy
'' xy
满足应力边界条件。
在平面应变条件下，将上述各方程中的
E换成
E
1 2
换成
1
α换成
α(1+ )。
29
第六节 轴对称温度场平面热应力问题
下面分析轴对称温度场引起的平面热应力问 题，对于该类问题，由于只存在位移分量 ，故可 直接按位移法求解。设圆筒的内外径分别为a, b， 不考虑体积力平面应力问题平衡微分方程
得出
'' x
E
1 2
u '' (
x
v '' )
y
'' y
E
1 2
(
u '' x
v'' ) y
'' xy
E v '' (
2(1 ) x
u'' ) y
从而得总的位移分量：
u = u’+ u’’ v = v’+ v’’ 并满足位移边界条件。
28
总的应力分量：
x
' x
'' x
y
' y
'' y
xy
2T y 2
d
x
d
y
d
z
d
t
由ABCD 和A’B’C’D’ 两面传入的静热量为：
2T z 2
d
x
d
y
d
z
d
t
因此，传入微小六面体的总静热量为：
( 2T 2T 2T ) d x d y d z d t
x 2 y 2 z 2
11
假定物体内部有正热源供热，在单位时 间单位面积供热为W,则物体在时间dt内产生 的热量为Wdxdydzdt
由式（1）和（4）知
q T
n
热流密度在坐标轴上的投影
qx
T n
cos(n, x)
qy
T n
cos(n, y)
(6)
qz
T n
cos(n, z)
7
式（6）与式（2）比较得
qx
T x
qy
T y
(7)
qz
T z
式（7）表明，热流密度在任一方向上的分量，
等于导热系数乘以温度在该方向的递减率。
8
第二节 热传导微分方程的推导
1 E
(
) T
1 E
(
) T
可表示为
E 1
2
(
)
E 1
T
E
1 2
(
)
E 1
T
代入 再代入
d u
d
,
u
0
得按位移求解轴对称热应力的基本方程：
d2 u
d 2
1
d u
d
u
2
(1 )
dT
d
32
上式改写：
d
d
1
d
d
(u )
(1 )
dT
d
积分两次可得到轴对称问题位移分量：
u
(1 )
a
T
d
c1
c2
式中c1, c2 为任意常数，积分下限可取圆筒内径a。
33
由上式可得应力分量：
E 2
a
T
d
E
1
2
[(1
)c1
(1
)
c2
2
E 2
a
T
d
E 1
2
(1
)c1
(1
)
c2 2
ET
0
在无面力条件下，由边界条件
( )a 0
( )b 0
可求出积分常数：c1
这就是热传导微分方程。
12
第三节 温度场的边值条件 为了能够求解热传导微分方程，从而求得温 度场，必须已知物体在初始瞬间的温度分布，即 所谓初始条件，同时还要知道初始瞬间以后物体 表面与周围介质之间热交换的规律, 即所谓边界 条件。二者合成边值条件。 初始条件一般表示如下：
(T)t=0=f(x,y,z)
(qn)s=β(Ts-Te) 其中：β 放热系数
Ts 物体表面温度
Te 周围介质温度
或
(qn )s
T n
T
n (Ts Te )
15
第四类边界条件 以知两物体完全接触，并以 热传导方式进行热交换。即：
Ts=Te
16
第四节 按位移求解温度应力的平面问题 设弹性体内各点的变温为T,从而引起弹性体内各 点的微小长度发生应变αT，α为线热胀系数, 弹性体 内各点的形变分量为：
9
在时间dt内，由六面体ABA’B’ 面传入的热量 为qxdxdydzdt ,由CDC’D’面传入的热量为
(qx
qx x
d
x)d
y
d
z
d
t
传入的静热量为：
由式
qx d x d y d z d t x
qx
T x
qx x
d
xd
yd
zdt
2T x 2
d
xd
ydzdt
10
同样可得：
由ADD’A’ 和BCC’B’ 两面传入的静热量为：
(1 )
b2 a2
b
T a
d
,
c2
(1 )a2
b2 a2
b
T d
a
(17)
34
将它们代入(17)得:
E 2
2
b2
a2 a2
b
T d
a
a T d
E 2
2 a2 b2 a2
b
T d