高中数学《平面》课件
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新人教版高中数学必修2课件：8.4.1 平面
分析(1)根据条件,先适当确定其中的某一个平面,再根据点、线、面的位 置关系,将其附着于固定平面上,注意图形的立体感,要将被遮挡部分用虚 线表示.(2)用文字语言、符号语言表示一个图形时,应仔细观察图形有几 个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何.
解 (1)①符号语言:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC;图形表示如图①所 示. ②符号语言:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC;图形表示 如图②所示.
思维脉络
课前篇 自主预习
激趣诱思
在数学语言的研究中,通常按数学语言所使用的主要词汇,将数学语言分为 三种:文字语言、符号语言、图形语言.例如“点A在直线l上”是利用文字来 描述,以语言的形式表达出来的,因而称其为该定理的文字语言;“A∈l”是用 符号的形式将定理表达出来,因而称其为符号语言;如果我们以图例或实物 来表示定理的条件和结论,则称其为该定理的图形语言.通过文字语言表达 数学问题,言简意赅,寓意深刻;通过符号语言表达数学问题,简明扼要,国际 通行;通过图形语言表达数学问题,形象生动,记忆深刻.几种语言各有特点, 在学习立体几何时,应充分发挥不同语言的教育功能.
依据;(2)判定 点在直线上
2.三个推论
推论 内容
图形
推论1
经过一条直线和这条直线外一点, 有且只有一个平面
推论2
经过两条相交直线,有且只有一个 平面
推论3
经过两条平行直线,有且只有一个 平面
微思考 (1)如何理解基本事实1中的“有且只有一个”? 提示这里的“有”是说平面存在,“只有一个”是说平面唯一,本公理强调的是 存在性和唯一性两个方面,因此“有且只有一个”,必须完整地使用,不能仅 用“只有一个”来代替“有且只有一个”,否则就没有表达存在性.确定一个平 面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词,也就是存在性和唯一性这两个 方面的,这个术语今后学习中会经常出现.
新教材高中数学第八章立体几何初步8.4.1平面课件新人教A版必修第二册ppt
③
×
如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定
一个平面
④
√
平面是空间中点的集合,是无限集
答案:④
4.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α,且直线AB∩l=C,则
直线AB∩β=
.
解析:∵α∩β=l,AB∩l=C,∴C∈β,C∈AB,∴AB∩β=C.
答案:C
∴由基本事实3可知,点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可
证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P,Q,R三点共线.
本例换为:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设线段A1C
与平面ABC1D1交于点Q,如何说明B,Q,D1三点共线?
证明:如图所示,连接A1B,CD1.
显然B∈平面A1BCD1,D1∈平面A1BCD1.
④两条平行线确定一个平面
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
(2)两个平面若有三个公共点,则这两个平面(
A.相交
B.重合
C.相交或重合
D.以上都不对
)
解析:(1)不在同一条直线上的三点确定一个平面.圆上三个点
不会在同一条直线上,故可确定一个平面,∴①不正确,②正确.
当四点在一条直线上时不能确定一个平面,③不正确.根据平
且 P∈l
3.做一做:如图所示,在空间四边形各边AD,AB,BC,CD上分别
取E,F,G,H四点,如果EF,GH交于一点P,求证:点P在直线BD
上.
证明:∵EF∩GH=P,
∴P∈EF,且P∈GH.
又EF⊂平面ABD,GH⊂平面CBD,
∴P∈平面ABD,且P∈平面CBD,
即P∈平面ABD∩平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD,
人教版高中数学必修2《平面与平面垂直的性质》PPT课件
3，∴h＝
3 2.
在△BCD 中，BF＝BD·cos 60°＝2×12＝1，DF＝BD·sin 60°＝ 3，∴DC＝2 3，
故 S△BCD＝12BF·DC＝12×1×2 3＝ 3.
∴VD-BCG＝VG-BCD＝13S△BCD·h＝13× 3× 23＝12.
[方法技巧] (1)在有关垂直问题的证明过程中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的 相互转化．因此，判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键． (2)空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则．解题时， 要通过几何图形自身的特点，如等腰(等边)三角形的“三线合一”、中位线定理、 菱形的对角线互相垂直等，得出一些题目所需要的条件．对于一些较复杂的问 题，注意应用转化思想解决问题．
【对点练清】 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，BC∥平 面 PAD，∠ABC＝90°，PA＝PB＝ 22AB.求证： (1)AD∥平面 PBC； (2)平面 PBC⊥平面 PAD. 证明：(1)∵BC∥平面 PAD，BC⊂平面 ABCD，平面 ABCD∩平面 PAD＝AD， ∴BC∥AD. ∵AD⊄平面 PBC，BC⊂平面 PBC，∴AD∥平面 PBC.
若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α 成立，则②α⊥β 一定成立； 若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α 成立，则①m⊥n 一定成立． ∴①③④⇒②(或②③④⇒①)． 答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)
• 题型二 垂直关系的综合应用
• [探究发现]
• 试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关 系．
提示：在线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化中．每一种垂直的
判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
新教材高中数学第2章平面解析几何2-1坐标法课件新人教B版选择性必修第一册
x1＋x2
y1＋y2
(2)x＝ 02 _____2____，y＝ 03 ______2______.
知识点三 坐标法
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代
数运算等解决问题．这种解决问题的方法称为坐标法．
1．对两点间距离公式的几点说明 (1)公式中，点 A，B 的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB| ＝ x1－x22＋y1－y22. (2)坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推 广. (3)若 B 点为原点，则|AB|＝|OA|＝ x21＋y21.
x1＋x2 _____|x_2_－__x_1_| ____；x＝ 02 ______2______.
知识点二 平面直角坐标系中的基本公式
已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两点，M(x，y)是线段 AB 的中点．
(1)|AB|＝|A→B|＝ 01 ___x_2_－__x1__2＋___y_2_－__y_1_2；
例 1 已知数轴上三点 A(－1)，B(5)，C(x)． (1)当|AB|＋|BC|＝8 时，求 x； (2)若 B 是 AC 的中点，求 x. [解] (1)由 A(－1)，B(5)，C(x)，可知|AB|＝|5－(－1)|＝6，|BC|＝|x－5|. 当|AB|＋|BC|＝8 时，有 6＋|x－5|＝8，解得 x＝3 或 x＝7.
(4)若 A，B 两点在 x 轴上，或在与 x 轴平行的直线上，此时|AB|＝|x2－ x1|.
(5)若 A，B 两点在 y 轴上，或在与 y 轴平行的直线上，此时|AB|＝|y2－ y1|.
注意：(4)(5)在应用时，可根据实际情况去掉绝对值号，解题更容易． (6)在数轴上，点 A(x1)，B(x2)，用绝对值定义两点间的距离，表示为 d(A， B)＝|x1－x2|.若 A，B，C 是数轴上任意三点，则 d(A，B)≤d(A，C)＋d(B， C)． 2．中点公式的两个应用 (1)知二求一．从公式上看，只要知道公式等号两边的任意两个量，可 求第三个量． (2)从图像上看，只要知道图像上任意的两点，可求第三个点．
高中数学 2.1.1 平面 课件 新人教A版必修2
第三十页，共55页。
变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
第三十一页，共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义 公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平 面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要 依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页，共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点 也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交 点也在其他直线上.
第十七页，共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边 界线.
第四十四页，共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3
变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
第三十一页，共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义 公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平 面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要 依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页，共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点 也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交 点也在其他直线上.
第十七页，共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边 界线.
第四十四页，共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3
新教材高中数学第二章平面解析几何1坐标法课件新人教B版选择性必修第一册
如果点对应的①___________为(,
有序实数
)（即的坐标为(, 1 )，记作
(1 , 1 )，其中1 为的横坐标，1 为的纵坐标），且(2 , 2 )，则向量
(2 − 1 , 2 − 1 )
=②__________________，从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的
ห้องสมุดไป่ตู้. 已知(, 6)，(−2, )，(2,3)，若点平分线段，则 + 等于
(
)A
A. 6
B. 1
C. 2
D. -2
2. 已知(1,2)，(, 6)，且|| = 5，则的值为( )
D
A. 4
D. -2或4
B. -4或2
C. -2
3. 已知△ 的顶点(2,3)，(−1,0)，(2,0)，则△ 的周长是(
2. 已知点(−3,4), (2, 3)，在轴上找一点，使|| = ||，求||的值.
[答案] 设点(, 0)，则有|| =
|| =
(−3 − )2 + (4 − 0)2 = 2 + 6 + 25，
(2 − )2 + ( 3 − 0)2 = 2 − 4 + 7.
C. 以点为直角顶点的直角三角形
D. 以点为直角顶点的直角三角形
D. 10
)C
6. 光线从点(−3,5)射到轴上，经x轴反射后经过点(2,10)，则光线从到
的距离为( )
C
A. 5 2
B. 2 5
C. 5 10
D. 10 5
[解析] 点(−3,5)关于x轴的对称点为′ (−3, −5)，则光线从到的距离即
|| =
[5 − (−1)]2 + [3 − (−1)]2 = 62 + 42 = 52 = 2 13，
有序实数
)（即的坐标为(, 1 )，记作
(1 , 1 )，其中1 为的横坐标，1 为的纵坐标），且(2 , 2 )，则向量
(2 − 1 , 2 − 1 )
=②__________________，从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的
ห้องสมุดไป่ตู้. 已知(, 6)，(−2, )，(2,3)，若点平分线段，则 + 等于
(
)A
A. 6
B. 1
C. 2
D. -2
2. 已知(1,2)，(, 6)，且|| = 5，则的值为( )
D
A. 4
D. -2或4
B. -4或2
C. -2
3. 已知△ 的顶点(2,3)，(−1,0)，(2,0)，则△ 的周长是(
2. 已知点(−3,4), (2, 3)，在轴上找一点，使|| = ||，求||的值.
[答案] 设点(, 0)，则有|| =
|| =
(−3 − )2 + (4 − 0)2 = 2 + 6 + 25，
(2 − )2 + ( 3 − 0)2 = 2 − 4 + 7.
C. 以点为直角顶点的直角三角形
D. 以点为直角顶点的直角三角形
D. 10
)C
6. 光线从点(−3,5)射到轴上，经x轴反射后经过点(2,10)，则光线从到
的距离为( )
C
A. 5 2
B. 2 5
C. 5 10
D. 10 5
[解析] 点(−3,5)关于x轴的对称点为′ (−3, −5)，则光线从到的距离即
|| =
[5 − (−1)]2 + [3 − (−1)]2 = 62 + 42 = 52 = 2 13，
新版高中数学必修2课件：8.4.1平面
平面个数是 1 或 3，如果交于不共线的三点，可以确定的平面个数 是 1，所以空间两两相交的三条直线，可以确定的平面个数是 1 或
3. 答案：B
2．如图所示的两个相交平面，其中画法正确的是( )
解析：对于①，图中没有画出平面 α 与平面 β 的交线，另外图 中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同 样的道理，可知②③的画法不正确，④中画法正确．
方法归纳 证明三点共线，可以证明三点都在两平面的交线上或第三点在 两点所确定的直线上．
微点 2 线共点问题 例 3 在四面体 ABCD 中，E，G 分别是 BC，AB 的中点，点 F 在 CD 上，点 H 在 AD 上，且 DF:FC＝DH:HA＝2:3.求证：EF，GH， BD 交于一点．
证明：如图，连接 GE、HF 因为 E，G 分别是 BC，AB 的中点，所以 GE∥AC，GE＝12AC. 又 DF:FC＝DH:HA＝2:3， 所以 FH∥AC，FH＝25AC，所以 FH∥GE，FH≠GE， 所以 E，F，H，G 四点共面，且四边形 EFHG 是一个梯形． 延长 GH 和 EF 交于一点 O， 因为 GH⊂平面 ABD，EF⊂平面 BCD， 所以 O∈平面 ABD，O∈平面 BCD， 所以点 O 在这两个平面的交线上， 而这两个平面的交线是 BD，且交线只有这一条，所以点 O 在 直线 BD 上． 所以 EF，GH，BD 交于一点．
(3)根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线 和虚线的区别．
跟踪训练 1 根据如图所示，在横线上填入相应的符号或字母： A___∈_____平面 ABC，A____∉____平面 BCD，BD___⊄_____平面 ABC，平面 ABC∩平面 ACD＝___A__C___.
新人教A版高中数学第二册(必修2)课件：8.4.1 平面
答案 B
[微思考] 1.几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
提示 没有.平行四边形. 2.一个平面把空间分成了几部分？
提示 两部分. 3.基本事实1有什么作用？
提示 ①确定平面的依据；②判定点线共面. 4.基本事实2有什么作用？
提示 ①确定直线在平面内的依据；②判定点在平面内. 5.基本事实3有什么作用？
点，有且只有一个平面
经过两条相交直线，有且只有 推论2
一个平面 经过两条平行直线，有且只有 推论3 一个平面
图形
作用 定平面的依据
[微判断]
拓展深化
1.一个平面的面积是16 cm2.( × ) 2.直线l与平面α有且只有两个公共点.( × ) 3.四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形.( × ) 4.8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚.( × ) 5.空间不同三点确定一个平面.( × )
证明 如图所示.由已知a∥b，
所以过a，b有且只有一个平面α. 设a∩l＝A，b∩l＝B， ∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l， ∴l⊂α，即过a，b，l有且只有一个平面.
规律方法 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明： (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内. (2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内， 然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.
2.如图表示两个相交平面，其中画法正确的是( ) 答案 D
3.已知点A，直线a，平面α.
①若A∈a，a⊄α，则A∉α；
②若A∈α，a⊂α，则A∈a；
③若A∉a，a⊂α，则A∉α；
④若A∈a，a⊂α，则A∈α.
以上说法中，表达正确的个数是( )
人教版高中数学课件 2.1空间点-直线-平面之间的位置关系--平面 课件
公理2 经过不在同一条直线上的三点,有且只有 一个平面。 B C A
A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
公理2的三条推论:
王新敞
奎屯 新疆
1.经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平 面 2.经过两条相交直线,有且只有一个平面
3.经过两条平行直线,有且只有一个平面
平面公理
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面 与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
（2）集合关系：
图形 符号语言
A a, A , a ,
文字语言(读法)
A
A
a
a
A a A a
点在直线上
点不在直线上
点在平面内 点不在平面内 直线a、b交于点A
A
A
A
b a
A A
a b A
图形
符号语言
a
a
a
a //
文字语言(读法)
a
A
a A
c ,
说明：画图的顺序:先画大件(平面),再画 小件(点、线)
平面公理 观察长方体，你能发现长方体的两个相交平 面有没有公共直线吗？
D
A
C
B
D
A B
C
这条公共直线B’C’叫做这 两个平面A’B’C’D’和平面 BB’C’C的交线． 另一方面，相邻两个平面有一 个公共点，如平面A’B’C’D’ 和平面BB’C’C有一个公共点 B’，经过点B有且只有一条过该 点的公共直线B’C’.
典型例题
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面 之间的位置关系．
a
A l
学年新教材高中数学第2章平面解析几何2.1坐标法课件新人教B版选择性必修第一册
[解] 由题意知|PA|＝|PB|＝2， 即||xx＋－13||＝＝22，， 解得 x＝1． 此时点 P 的坐标为 1，显然此时点 P 为线段 AB 的中点．
第二十七页，编辑于星期五：二十三点 四十分。
2．本例中在线段 AB 上是否存在点 P(x)，使得点 P 到点 A 和点 B 的距离都是 3？若存在，求出点 P 的坐标 x；若不存在，请说明理 由．
第十页，编辑于星期五：二十三点 四十分。
[提示] (1)× 与有序实数对一一对应． (2)× 终点不一定相同． (3)× x 与 2x 的大小无法确定． (4)× 方向不一定相同．
第十一页，编辑于星期五：二十三点 四十分。
2．(1)已知 A(1，2)，B(2，6)，则 AB 的中点坐标为____． (2)已知 A(2，4)，B(－1，3)，则 A，B 两点间的距离为_____． (1)32，4 (2) 10 [(1)设 AB 的中点为 M(x，y)，则 x＝1＋2 2＝32， y＝2＋2 6＝4，∴中点坐标为32，4． (2)|AB|＝ 2＋12＋4－32＝ 10．]
知识点 1 平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上两点间的距离公式 如果数轴上点 A 对应的数为 x1(即 A 的坐标为 x1，记作_A_(_x_1)_)， 且 B(x2)，则向量A→B的坐标为__x_2－__x_1_，数轴上两点之间的距离公式|AB| ＝|A→B|＝__|x_2_－__x_1_| _．如果x1＋Mx(2x)是线段 AB 的中点，则A→M＝M→B．数轴 上的中点坐标公式 x＝___2____．
[解] (1)由题意可知，点 M(－2)位于点 N(3)的左侧，且点 P(x) 位于点 M(－2)，N(3)之间，所以－2<x<3．
(2)确定两点的位置关系，需要讨论实数 a，b 的大小关系：当 a>b 时，点 A(a)位于点 B(b)的右侧；当 a<b 时，点 A(a)位于点 B(b)的左 侧；当 a＝b 时，点 A(a)与点 B(b)重合．
第二十七页，编辑于星期五：二十三点 四十分。
2．本例中在线段 AB 上是否存在点 P(x)，使得点 P 到点 A 和点 B 的距离都是 3？若存在，求出点 P 的坐标 x；若不存在，请说明理 由．
第十页，编辑于星期五：二十三点 四十分。
[提示] (1)× 与有序实数对一一对应． (2)× 终点不一定相同． (3)× x 与 2x 的大小无法确定． (4)× 方向不一定相同．
第十一页，编辑于星期五：二十三点 四十分。
2．(1)已知 A(1，2)，B(2，6)，则 AB 的中点坐标为____． (2)已知 A(2，4)，B(－1，3)，则 A，B 两点间的距离为_____． (1)32，4 (2) 10 [(1)设 AB 的中点为 M(x，y)，则 x＝1＋2 2＝32， y＝2＋2 6＝4，∴中点坐标为32，4． (2)|AB|＝ 2＋12＋4－32＝ 10．]
知识点 1 平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上两点间的距离公式 如果数轴上点 A 对应的数为 x1(即 A 的坐标为 x1，记作_A_(_x_1)_)， 且 B(x2)，则向量A→B的坐标为__x_2－__x_1_，数轴上两点之间的距离公式|AB| ＝|A→B|＝__|x_2_－__x_1_| _．如果x1＋Mx(2x)是线段 AB 的中点，则A→M＝M→B．数轴 上的中点坐标公式 x＝___2____．
[解] (1)由题意可知，点 M(－2)位于点 N(3)的左侧，且点 P(x) 位于点 M(－2)，N(3)之间，所以－2<x<3．
(2)确定两点的位置关系，需要讨论实数 a，b 的大小关系：当 a>b 时，点 A(a)位于点 B(b)的右侧；当 a<b 时，点 A(a)位于点 B(b)的左 侧；当 a＝b 时，点 A(a)与点 B(b)重合．
新课标人教A高中数学必修点直线平面之间的位置关系PPT课件
脚？为什么用三角架支撑照相机？
B A
C
第17页/共30页
2、过空间一点可以做几条直线？两点呢？ 过空间中一点可以做几个平面？两点呢？
不共线的三点呢？
第18页/共30页
公理2
存在性
文字语言 过不在一条直线上的三点，有且只有
一个平面． 图形语言
唯一性
B
A
C
不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的 平面，可以记成“平面ABC”．
• 平面的三个特征:平面是平的；平面无厚薄之分；平面是无限延展的.
第4页/共30页
随堂练习
一、判断下列各题的说法正确与否：
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成R SITE HERE
小结
1，平面的概念,画法及表示
2，点、直线、平面间的基本关系
3，三条平面公理
新疆 王新敞
奎屯
公理1
A B
AB
公理2 A, B,C不共线 A, B,C确定一平面
公理3 P , P , l P l
第28页/共30页
YOUR SITE HERE
第5页/共30页
YOUR SITE HERE
2、平面的画法
平面通常画成一个平行四边形，锐角通常 画成45°，且横边等于其邻边长的2倍 .
D
C
3、记法
A
B
①平面α 、平面β 、平面γ （标记在锐角上）
②平面ABCD
③平面AC 或平面BD
第6页/共30页
4、相交平面画法：
B A
C
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2、过空间一点可以做几条直线？两点呢？ 过空间中一点可以做几个平面？两点呢？
不共线的三点呢？
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公理2
存在性
文字语言 过不在一条直线上的三点，有且只有
一个平面． 图形语言
唯一性
B
A
C
不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的 平面，可以记成“平面ABC”．
• 平面的三个特征:平面是平的；平面无厚薄之分；平面是无限延展的.
第4页/共30页
随堂练习
一、判断下列各题的说法正确与否：
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成R SITE HERE
小结
1，平面的概念,画法及表示
2，点、直线、平面间的基本关系
3，三条平面公理
新疆 王新敞
奎屯
公理1
A B
AB
公理2 A, B,C不共线 A, B,C确定一平面
公理3 P , P , l P l
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2、平面的画法
平面通常画成一个平行四边形，锐角通常 画成45°，且横边等于其邻边长的2倍 .
D
C
3、记法
A
B
①平面α 、平面β 、平面γ （标记在锐角上）
②平面ABCD
③平面AC 或平面BD
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4、相交平面画法：
人教A版高一数学必修2人教版精品课件第2章 2.1 2.1.1《平面》
高中数学人教版必修2课件
2．下列命题正确的是( C ) A．因为直线向两方无限延伸，所以直线不可能在平面内 B．如果线段的中点在平面内，那么线段在平面内 C．如果线段上有一个点不在平面内，那么线段不在平面内 D．当平面经过直线时，直线上可以有不在平面内的点 3．下列说法中正确的是( C ) A．两个平面相交有两条交线 B．两个平面可以有且只有一个公共点 C．如果一个点在两个平面内，那么这个点在两个平面的交 线上 D．两个平面一定有公共点
高中数学人教版必修2课件
例 4：如图 5，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E、F 分别是 AA′、AB 上一点，且 EF∥CD′，求证：平面 EFCD′、 平面 AC 与平面 AD′两两相交的交线 ED′、FC、AD 交于一点．
图5
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错因剖析：遇到此类证明多线共点问题，找不到解决问题 的突破口．
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正确地用图形和符号表示点、直线、平面以 及它们之间的关系．点看成是元素，线、面看成是点的集合， 所以点与线、面的关系用“∈、∉”表示，线与线、线与面及面 与面的关系用“⊂、⊄”表示．
1－1.试用集合符号表示下列各语句，并画出图形： (1)点 A 在平面α内，但不在平面β内； (2)直线 l 经过平面α外一点 P，且与平面α相交于点 M； (3)平面α与平面β相交于直线 l，且 l 经过点 P.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1.1 平面
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1．下列命题正确的是( C ) A．画一个平面，使它的长为 14 cm，宽为 5 cm B．一个平面的面积可以是 16 m2 C．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，一个平面把 空间分成两部分 D．10 个平面重叠起来，要比 2 个平面重叠起来厚
人教版高中数学新教材必修第二册8.4.1《平面》教学课件
⑴点A在平面α内，点B在平面α外；
⑵直线L在平面α内，直线m不在平面α内；
⑶平面α和β相交于直线L； ⑷直线L经过平面α外一点P和平面α内一点Q .
⑸直线L是平面α和β的交线，直线m在平面 α内，L和m相交于点P 。
巩固
下列四个命题中，正确的是( CD )
A、四边形一定是平面图形 B、空间的三个点确定一个平面 C、梯形一定是平面图形 D、三角形一定是平面图形
文字语言
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
β
图形语言
P ·
l
α
符号语言
p
p
l
l
作用 可用于判别两平面是否相交。
基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么这两个平 面一定相交于过这个公共点的一条直线.两个平面相交成一条直线 的事实，使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”.
如果直线 l 与平面α有一个公共点，直线 是l 否在 平面α内？如果直线 与l 平面α有两个公共点呢？
文字语言
基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内.
由点、线、面的关系有
直线 l 在平面α内表示为 l
直线m不在平面α内表示为 l
图形语言
m
. . A
l
·
·B
·
（3）在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也 可以不画。
两相交平面的画法：
⑴先画两平面基本线 ⑵画两平面的交线 ⑶分别画三条线的平 行线
⑷把被遮部分的线段画 成虚线或不画。其它为 实线。
β α
上述三个关于平面的基本事实是人们经过长期观察与实践 总结出来的，是几何推理的基本依据，也是我们进一步研究立 体图形的基础.
⑵直线L在平面α内，直线m不在平面α内；
⑶平面α和β相交于直线L； ⑷直线L经过平面α外一点P和平面α内一点Q .
⑸直线L是平面α和β的交线，直线m在平面 α内，L和m相交于点P 。
巩固
下列四个命题中，正确的是( CD )
A、四边形一定是平面图形 B、空间的三个点确定一个平面 C、梯形一定是平面图形 D、三角形一定是平面图形
文字语言
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
β
图形语言
P ·
l
α
符号语言
p
p
l
l
作用 可用于判别两平面是否相交。
基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么这两个平 面一定相交于过这个公共点的一条直线.两个平面相交成一条直线 的事实，使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”.
如果直线 l 与平面α有一个公共点，直线 是l 否在 平面α内？如果直线 与l 平面α有两个公共点呢？
文字语言
基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内.
由点、线、面的关系有
直线 l 在平面α内表示为 l
直线m不在平面α内表示为 l
图形语言
m
. . A
l
·
·B
·
（3）在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也 可以不画。
两相交平面的画法：
⑴先画两平面基本线 ⑵画两平面的交线 ⑶分别画三条线的平 行线
⑷把被遮部分的线段画 成虚线或不画。其它为 实线。
β α
上述三个关于平面的基本事实是人们经过长期观察与实践 总结出来的，是几何推理的基本依据，也是我们进一步研究立 体图形的基础.
高中数学人必修二课件平面与平面垂直的性质
THANK YOU
汇报人：
垂直的性质：两个 平面垂直，那么它 们的交线垂直于这 两个平面。
垂直的判定：如果 两个平面的法向量 互相垂直，那么这 两个平面互相垂直 。
垂直的应用：垂直 的概念在几何学、 物理学和工程学中 都有广泛的应用。
平面与平面垂直的判定定理
如果两个平面的法向量平行， 那么这两个平面垂直。
如果两个平面的法向量垂直， 那么这两个平面平行。
应用：在几何学、物理学和工程学 等领域，垂直的性质定理有着广泛 的应用，如确定物体的位置、方向
和运动状态等。
证明两个平面垂直的性质定理的推论
如果两个平面垂直，那么它 们之间的夹角为90度
如果两个平面垂直，那么它 们之间的最短距离为0
如果两个平面垂直，那么它 们的法向量是平行的
如果两个平面垂直，那么它 们之间的最长距离为无穷大
垂直
如果两个平面垂 直，那么它们之 间的面积关系为0
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
04
平面与平面垂直的性质 定理的证明
证明两个平面垂直的性质定理
性质定理：如果两个平面垂直， 那么它们的法线互相垂直。
证明方法：通过已知条件，利用 向量和矩阵的方法，推导出两个
平面的法线互相垂直的结论。
两个平面垂直的定义：如果两个平 面相交，且交线与两个平面的法线 都垂直，则称这两个平面垂直。
两个平面垂直的性质定理的应用
判断两个平面 是否垂直
计算两个平面 的夹角
确定两个平面 的相对位置关 系
解决立体几何 中的问题，如 求线面角、二 面角等
01
02
03
04
两个平面垂直的性质定理的推论
如果两个平面垂 直，那么它们的
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体 会三个公理的作用，体会先部分再整体的思想．
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1．(教材改编，P43，T3)判一判(正确的打“√”，错误 的打“×”)
(1)平行四边形是一个平面．( × ) (2)若 A∈a，a⊂α，则 A∈α.( √ ) (3)两个平面的交线可能是一条线段．( × ) (4) 空 间 图 形 中 先 画 的 线 是 实 线 ， 后 画 的 线 是 虚 线．( × )
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关 系
2.1.1 平面
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知识点一 平面的概念
平面的概念及表示
(1)概念：几何里所说的“平面”是从生活中的物体中
□1 抽象出来的
，是
□2 无限延展的．
(2)平面的画法：①水平放置的平面通常画成
□3 一个平行四边形 ，□4 它的锐角通常画成 45°， 且 □5 横边长等于其邻边长的 2 倍． 如图 a.
3
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②如果一个平面被另一个平面遮挡住，
□6 为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．
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3．根据下图，填入相应的符号：A___∈_____平面 ABC， A____∉____平面 BCD，BD____⊄____平面 ABC，平面 ABC∩ 平面 ACD＝__A__C____.
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【跟踪训练 1】 下列四种说法正确的是___②_____． ①平面的形状是平行四边形； ②任何一个平面图形都可以表示平面； ③平面 ABCD 的面积为 100 cm2； ④空间图形中，后作的辅助线都是虚线． 解析 ①错，通常用平行四边形表示平面，但平面的形 状不一定是平行四边形；③错，平面不能度量；④错，看不 到的线画成虚线．
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拓展提升 平面概念的理解及特点
(1)平面是一个只描述而不定义的原始概念，它是由平 时生活中常见的平面抽象出来的，是理想的，是无限延展的， 是无厚薄、大小的．
(2)要注意平面具有如下特点： ①平面是平的；②平面是没有厚度的；③平面是无限延 展而没有边界的；④平面是由空间的点、线组成的无限集合； ⑤平面图形是空间图形的重要组成部分．
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(2)若平面 α 与平面 β 相交于直线 l，点 A∈α，A∈β，则 点 A___∈_____l；其理由是 _同__时__在__两__个__不__重__合__平__面__上__的__点__一__定__在__两__个__平__面__的__交__线__上___．
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2．(教材改编，P43，T4)做一做(请把正确的答案写在横 线上)
(1)如图所示，用符号语言表示以下各概念：
①点 A，B 在直线 a 上：_A_∈___a_，__B_∈__a___； ②直线 a 在平面 α 内：___a_⊂__α__； ③点 D 在直线 b 上，点 C 在平面 α 内：_D__∈__b_，__C_∈__α___.
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解析 (1)由平面的概念，知它是平滑、无厚度、可无 限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面 的概念，所以命题①、②、③都不正确．
(2)对于①，图中没有画出平面 α 与平面 β 的交线，另 外图中的实、虚也没有按照画法原则去画，因此①的画法不 正确．同样的道理，也可知②、③图形的画法不正确，④中 图形的画法正确．
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探究 1 平面概念的理解 例 1 (1)下列命题：①书桌面是平面；②8 个平面重叠 起来要比 6 个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是 50 m， 宽为 20 m；④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的 抽象的数学概念．其中正确命题的个数为____1____． (2) 下 图 中 的 两 个 相 交 平 面 ， 其 中 画 法 正 确 的 是 ____④____．
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知识点二 点、线、面之间的关系 点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
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知识点三 平面的基本性质
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1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现 这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图 形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语 言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符 号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直 观图时，要注意线的实虚．
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探究 2 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化 例 2 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的 关系．
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(1)点 P 与直线 AB； (2)点 C 与直线 AB； (3)点 M 与平面 AC； (4)点 A1 与平面 AC； (5)直线 AB 与直线 BC； (6)直线 AB 与平面 AC; (7)平面 A1B 与平面 AC.
如图 b.
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□ (3)表示法：可以用 7 希腊字母 α，β，γ 等来表
示；用 □8 两个大写的英文字母
(表示平面的平行
□ 四边形的相对的顶点)来表示；用 9 四个大写的英文字母
□ (表示平面的平行四边形的 10 四个顶点 )来表示．
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1．(教材改编，P43，T3)判一判(正确的打“√”，错误 的打“×”)
(1)平行四边形是一个平面．( × ) (2)若 A∈a，a⊂α，则 A∈α.( √ ) (3)两个平面的交线可能是一条线段．( × ) (4) 空 间 图 形 中 先 画 的 线 是 实 线 ， 后 画 的 线 是 虚 线．( × )
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关 系
2.1.1 平面
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知识点一 平面的概念
平面的概念及表示
(1)概念：几何里所说的“平面”是从生活中的物体中
□1 抽象出来的
，是
□2 无限延展的．
(2)平面的画法：①水平放置的平面通常画成
□3 一个平行四边形 ，□4 它的锐角通常画成 45°， 且 □5 横边长等于其邻边长的 2 倍． 如图 a.
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②如果一个平面被另一个平面遮挡住，
□6 为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．
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3．根据下图，填入相应的符号：A___∈_____平面 ABC， A____∉____平面 BCD，BD____⊄____平面 ABC，平面 ABC∩ 平面 ACD＝__A__C____.
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【跟踪训练 1】 下列四种说法正确的是___②_____． ①平面的形状是平行四边形； ②任何一个平面图形都可以表示平面； ③平面 ABCD 的面积为 100 cm2； ④空间图形中，后作的辅助线都是虚线． 解析 ①错，通常用平行四边形表示平面，但平面的形 状不一定是平行四边形；③错，平面不能度量；④错，看不 到的线画成虚线．
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拓展提升 平面概念的理解及特点
(1)平面是一个只描述而不定义的原始概念，它是由平 时生活中常见的平面抽象出来的，是理想的，是无限延展的， 是无厚薄、大小的．
(2)要注意平面具有如下特点： ①平面是平的；②平面是没有厚度的；③平面是无限延 展而没有边界的；④平面是由空间的点、线组成的无限集合； ⑤平面图形是空间图形的重要组成部分．
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(2)若平面 α 与平面 β 相交于直线 l，点 A∈α，A∈β，则 点 A___∈_____l；其理由是 _同__时__在__两__个__不__重__合__平__面__上__的__点__一__定__在__两__个__平__面__的__交__线__上___．
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2．(教材改编，P43，T4)做一做(请把正确的答案写在横 线上)
(1)如图所示，用符号语言表示以下各概念：
①点 A，B 在直线 a 上：_A_∈___a_，__B_∈__a___； ②直线 a 在平面 α 内：___a_⊂__α__； ③点 D 在直线 b 上，点 C 在平面 α 内：_D__∈__b_，__C_∈__α___.
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解析 (1)由平面的概念，知它是平滑、无厚度、可无 限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面 的概念，所以命题①、②、③都不正确．
(2)对于①，图中没有画出平面 α 与平面 β 的交线，另 外图中的实、虚也没有按照画法原则去画，因此①的画法不 正确．同样的道理，也可知②、③图形的画法不正确，④中 图形的画法正确．
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探究 1 平面概念的理解 例 1 (1)下列命题：①书桌面是平面；②8 个平面重叠 起来要比 6 个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是 50 m， 宽为 20 m；④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的 抽象的数学概念．其中正确命题的个数为____1____． (2) 下 图 中 的 两 个 相 交 平 面 ， 其 中 画 法 正 确 的 是 ____④____．
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知识点三 平面的基本性质
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1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现 这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图 形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语 言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符 号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直 观图时，要注意线的实虚．
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探究 2 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化 例 2 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的 关系．
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(1)点 P 与直线 AB； (2)点 C 与直线 AB； (3)点 M 与平面 AC； (4)点 A1 与平面 AC； (5)直线 AB 与直线 BC； (6)直线 AB 与平面 AC; (7)平面 A1B 与平面 AC.
如图 b.
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□ (3)表示法：可以用 7 希腊字母 α，β，γ 等来表
示；用 □8 两个大写的英文字母
(表示平面的平行
□ 四边形的相对的顶点)来表示；用 9 四个大写的英文字母
□ (表示平面的平行四边形的 10 四个顶点 )来表示．
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