《乘法运算定律》具体内容及教学建议

乘法运算定律（第33～38页）教材说明本节教学乘法运算的交换律、结合律以及乘法对于加法的分配律。

在数学基础理论中，自然数乘法的定义有多种方式。

用“同数连加”定义乘法，相对于其他各种定义，比较直观，容易描述，所以一直被小学数学教材所采用。

既然是同数连加，那么“相同加数”与“相同加数的个数”就是客观存在的，非人为的，至于分别叫做被乘数、乘数，还是统称为乘数或因数，则是人为的，它们的书写位置也是人为的。

因此，尽管我们在引进乘法时，不再规定两个乘数的书写位置，但同数连加的定义本身与其他定义一样，都没有包含乘法的交换律，所以教材在这里正式概括乘法交换律还是有必要的。

乘法的交换律、结合律和分配律，除了从形式上抽象地加以证明之外，也可以依据“同数连加”的定义，借助直观进行说明。

例如对于乘法交换律，可以通过直观说明b个a连加与a个b连加的结果相等。

又如关于乘法分配律，可用a个c加b个c等于（a+b）个c加以解释。

在五条运算定律中，乘法的交换律、结合律与加法的交换律、结合律一样，都是同一种运算的规律。

只有乘法分配律，沟通了乘法与加法的联系，因此具有特殊的重要意义。

教材以学生参加植树活动的情境为载体设置主题图，由图引出例1、例2和例3，为概括乘法交换律、结合律和分配律提供具体的事例。

这样编排，能使学生在解决问题的同时，发现、感悟、描述规律。

三个例题在教学内容的处理上与教学加法运算定律的两个例题类似。

例题后的“做一做”和练习六的习题基本上是针对三条乘法运算定律的理解、巩固和应用设计的。

这一节，虽然没有专设例题讲解运用乘法运算定律进行简便计算，但在得出乘法运算定律的例题中已有所孕伏，在练习中也有所体现，使学生初步体验乘法运算定律的运用。

到下一节，再集中学习运算定律在解决实际问题和计算中的应用。

教学建议1．可以参照第1节的教学建议。

只是在概括规律的过程中和用字母表示运算定律的过程中，注意利用学生在上节内容的学习中所获得的经验，进一步发挥学生的主观能动性。

2．本节内容可以用3课时进行教学。

具体内容的说明和教学建议1.主题图。

编写意图这幅图以植树为背景，展示了植树过程中同学们挖坑、种树、抬水、浇树等活动的情境。

教学建议教学时可以先让学生看主题图，说说图中给了我们哪些信息，学生可以按自己看到的说，也可以把图中的两段说明文字复述一遍。

再根据这些信息引导学生发现可解决的一些问题。

学生可能会提出多个问题，其中有些问题，如“每组有几人？”可直接解决。

学生们提出的问题都可展示，为后面的例题教学做准备。

2.例1。

编写意图例1是在主题图的基础上提出问题“负责挖坑、种树的一共有多少人？”解答这个问题所需要的条件，都在主题图中。

教学建议教学时可以让学生自己解答，学生一般都能说出4×25和25×4两个算式。

接着提问：这两个算式得数是否相等？都表示什么？两个算式之间可以用什么符号连接？然后让学生再举出几个这样的例子，再提问：看看从中能发现什么？你能用自己的话说出你发现的规律吗？学生在以前的学习中，对乘法交换律已有初步的认识，这里通过具体例子，采用不完全归纳的方法，使学生发现任意两个数相乘都有同样的性质。

在此基础上，可以让学生自己给这个规律命名，由于学生刚学了加法交换律，所以一般都能自己说出乘法交换律的名称。

然后，启发学生用自己喜欢的方式表示乘法交换律：试一试，用你喜欢的符号表示两个因数，你能用式子表示乘法交换律吗？看看谁的表示方法既简单又清楚？得出a×b=b×a之后，应让学生说一说：这里的a、b可以是哪些数？从而促使学生体会用字母表示数，能把运算规律非常简单明了地表示出来。

进一步，可让学生在主题图中，找出可用乘法交换律解决的其他问题，并列出算式。

3.例2及“做一做”。

编写意图（1）例2仍然是利用主题图提出问题“一共要浇多少桶水？”从解决这个问题的两种算法中，可以得到乘法结合律的一个实例。

在此基础上，引导学生观察、比较、概括得出乘法结合律，其教学的安排与例1大致相同。

（2）第35页“做一做”的两道题分别是乘法交换律在计算中的应用与乘法结合律在解决实际问题中的应用，目的在于通过应用加以巩固，加深印象，并使学生初步看到乘法交换律与乘法结合律的作用。

教学建议（1）教学时可以让学生先根据问题试着从主题图中找到所需的条件，然后放手让学生自己列出算式并计算。

通常，根据不同的解题思路会有学生列出（25×5）×2与25×（5×2）两种算式，可以让学生说说是怎么想的。

引导学生比较两种算法的异同：计算顺序不同，但解决的是同一个问题，计算结果也相同，所以能用等号把这两个算式连起来。

这里，还可让学生通过比较，初步体会到两个算式虽然结果相同，但后一个算式计算起来更简便。

接着，可以让学生再自己编出几个类似例2这样的算式，以积累更丰富的感性认识。

然后引导学生进行概括：先把前两个数相乘，与先把后两个数相乘，结果相等，再让学生用字母表示。

这一教学过程，也可以通过让学生完成第35页上填空的方式进行。

而后的教学与例1基本相似，但可以比教学例1时更放手些。

（2）小结时，让学生进一步思考小精灵提出的问题：“比较加法交换律和乘法交换律、加法结合律和乘法结合律，你发现了什么？”要引导学生通过观察、比较明确：交换律是两数相加、相乘的规律，即交换加（因）数的位置，和（积）不变；结合律是三数相加、相乘的规律，既可以从左往右依次计算，也可以先把后两个数先相加（乘），和（积）不变。

在这一活动中，应允许学生用自己的话，叙述自己的发现。

（3）“做一做”的两道题可以让学生各自独立尝试，再作交流。

第1题的右边一题，交换位置验算时出现了三位数的乘法。

由于百位上是1，多数学生有能力类推。

对于有困难的学生，教师可给予指导，或者请会算的学生介绍，由学生教学生。

第2题学生容易想到的算式是2×24×5或24×2×5，这里可以允许学生按运算顺序算，因为后面第3节的例4还会专门讨论乘法交换律和结合律的应用。

当然也可以启发学生依据所学运算定律使计算简便，即2×24×5=24×（2×5）。

如果有学生直接列出24×（2×5）或2×5×24之类的算式，应予以肯定。

因为其中有的学生在列式时就考虑到了怎样使计算简便。

4.例3及“做一做”。

编写意图(1)例3继续由主题图引出新的问题“一共有多少名同学参加了这次植树活动”。

解决这个问题可以用每组的人数乘组数，即（4＋2）×25；也可以分别算出挖坑、种树的人数与抬水、浇树的人数，再相加，即4×25＋2×25。

两种算法解决的是同一个问题，因而计算结果相同，所以可用等号连接两算式。

有了前面几次类似的学习经历，教材通过比较、概括得出乘法分配律的过程就相对简略一些。

为促进学习的迁移，教材在得出（4＋2）×25=4×25＋2×25的基础上，引导学生自己类推出25×（4＋2）=25×4＋25×2。

用字母表示乘法分配律也有这样的安排。

但不要误认为这两种形式出全，才是完整（a＋b）×c=a×c＋b×ca×（b＋c）=a×b＋a×c的乘法分配律。

由于乘法交换律建立在前，因此只要得出两种形式之一，就可以依据乘法交换律得出另一种形式，所以不必要求让学生同时记忆两种形式。

(2)例3下面的“做一做”，安排了三道判断题，都是学生的典型错例，旨在通过判断，引起学生重视，避免类似问题出现。

教学建议（1）教学时，可以让学生先明确要解决的问题，带着问题去看主题图，找出图中相关的信息，再独立列式并交流不同算法的解题思路。

在理解的基础上用等号连接两个算式，并引导学生比较等号两边的算式有什么相同点和不同点。

学生完成“想一想”后，可以让他们再举出一些类似的例子。

然后引导学生先尝试用自己的话来总结规律，再来看书，与教科书上的语言作比较，体会怎样说比较简洁，并让学生知道这就是乘法分配律。

教学用字母表示乘法分配律时，可让学生完成教科书的填空，包括“想一想”。

（2）小结时，教师有必要指出乘法分配律与乘法交换律、结合律的最大区别，在于乘法分配律是乘、加这两种运算之间的一种规律，而乘法交换律、结合律只是乘法一种运算内部的规律。

（3）“做一做”的三道题可以让学生先独立判断，再集体交流，说一说错在哪儿。

学生可以根据乘法分配律的字母式子，从形式上作判断；也可根据乘法分配律的含义，联系乘法运算意义来进行判断。

如56×（19＋28），从形式上判断，56应当与19、28分别相乘再相加，从意义上判断，56×（19＋28）应当等于19个56加28个56的和，而不是19个56加28。

5.关于练习六中一些习题的说明和教学建议。

第1题，是为后面学习简便运算做准备的，可以让学生直接把得数填在算式后，再让学生说一说这些题有什么特点，即它们的积都是整十、整百、整千数。

第2题，可让学生先独立填写，再交流。

交流时，让学生说一说各题分别运用了乘法的什么运算定律。

与前面阐述三个、四个数连加时所指出的类似，三个、四个数连乘，后面的两个因数交换位置，准确地说，既用了交换律，又用了结合律。

与前面的处理意见一样，例如第2小题有两种填法,25×4和4×25,学生认为都只用了乘法交换律，应给予肯定。

本题完成后可让学生比较等式的两边，想一想计算时用哪边的方法更简便一些，让学生初步体会到运用定律进行简便计算时，要看清楚算式的特点与数据的特点。

这实际上也是在培养学生解决问题时的审题意识和策略选择意识。

第3题和第4题是乘法运算定律在生活中的实际运用。

第4题除了文字提供的信息外，还要引导学生从图中获得解决问题所必需的信息，即新教学楼有4层。

这里，可以引导学生比较怎样算比较简便。

如第3题，先算一个来回游了多少米，再乘7；第4题先算25×4（可解释为4层，每层各取一个教室需配多少套课桌椅）再乘7。

从而使学生初步体会运算定律在现实生活中的实际意义。

第5题，其中的第1、3小题运用了乘法分配律；第2小题只是按运算顺序计算，没有运用运算定律；第4小题运用了乘法的交换律和结合律。

通过本题的比较、辨析，有助于避免相关运算定律的混淆。

第6题是应用乘法分配律使计算简便的练习。

教学时，要启发学生运用乘法分配律使较复杂的计算转化为简单的口算。

比如，第1小题103×12，把它看成求103个12，那么转化为求100个12与3个12的和，计算比较简便。

也就是把103改写成（100+3），用乘法分配律进行计算。