平面向量数量积的坐标表示学案

必修4 2．4．3

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

【学习目标】

1.举例说明平面向量数量积的坐标表示、用坐标表示向量的模、夹角、垂直、平面内两点间的距离公式；

2.能运用以上知识解决有关问题和解决问题的思想方法；

3.通过本节课的学习，进一步加深对向量数量积的认识，提高同学们的运算速度、运算能力、创新能力及数学素质.

【学习重点】平面向量数量积的坐标表示、坐标表示向量的模、夹角、垂直、距离等公式. 【难点提示】平面向量数量积的坐标表示、坐标表示向量的模、夹角、垂直、距离的综合

运用以及灵活解决相关问题.

【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材106108P 结合进行自主学习（对教材中的文字、

图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；

2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.

【学习过程】 一、学习准备

前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题：

1.两个非零向量的夹角 ，夹角的范围是 ； 当两向量共线与垂直时夹角分别是 、 、 ；与非零向量a 垂直的向量有 个；

2.平面向量数量积定义 ，

向量数量积的几何意义 、向量数量积的性质 、 、 、 、 .

3.向量数量积满足的运算律 、 、 ；

4.平面向量的坐标表示及坐标运算 ，平面向量共线的坐标表示 ；

热身练习 已知△ABC 的三点为A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，求：（1）____AB =； （2）____AB AC -=；请问同学们，你还能求：____AB =，____AB AC ⋅=，

cos ____ABC ∠=，该△ABC 的形状如何？等. 这就是我们本节课要探究的问题！

二、学习探究

通过“学习准备”，在想一想：前面我们学习了平面向量的坐标表示，我们已经会用向量的坐标表示来表示向量中的哪些相关知识？能用向量的坐标表示解决向量的哪些问题？上节课我们又学习了向量的数量积及相关知识，那么，现在你能用向量的坐标来表示向量的数量积、模、夹角吗？请同学们发挥你的想象探究一下：

探究向量数量积坐标表示 已知：11(,)a x y =，22(,)b x y =，请你坐标表示a b ⋅？ 【提示】请同学们一定要先独立思考，再看链接1 探究：

归纳结论 若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a ⋅b

= .

快乐体验 1.已知：(3,4),(5,12)a b =-=，求：|a |= ，|b |= ，a ⋅b

= ，

cos ___θ=（θ为向量a 与b 的夹角）

解：

2. 已知(2,3),(2,4),(2,4),a b c ==-=-求2,()(),(),().a b a b a b a b c a b ⋅+⋅-⋅++ 解：

3.已知△ABC 的三点为A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，求：（1）____AB AC ⋅=； （2）____AB =；（3）△ABC 的形状是 . 解：

同学们通过探究、归纳、体验，对向量数量积的坐标表示有哪些感悟？它们有哪些性质呢？你能对它们进行深度思考和挖掘拓展吗？

挖掘拓展 1.你能用几种语言来描述平面向量数量积的坐标表示？它实质就是一个运算公式，这个公式又怎样的特征？有几个变量？如何运用该公式？

2.设),(y x a = ，则|a |= 或|a

|= (长度公式)

3.如果表示向量a

的有向线段的起点和终点的坐标分别为A ),(11y x 、B ),(22y x ，那么

||||AB a ==

(平面内两点间的距离公式)

4.夹角的计算：设),(11y x a =，),(22y x b = ,夹角为θ，则cos θ=

5.垂直关系分析：设),(11y x a =

，),(22y x b = ，则b a ⊥⇔ ⇔

三、典例赏析

例1.已知a =(3,4)，求：（1）a 的单位向量；（2）与a 垂直的单位向量； （3）与a 平行的单位向量. 解:

解后反思 求解该题运用了哪些知识与思想方法？有易错点吗？ 变式练习 已知向量 (34)a OA ==-,O 为坐标原点，求： （1）与向量a 平行的单位向量；（2）与向量a 垂直的单位向量； （3）将向量a 绕原点逆时针方向旋转45°得到的向量的坐标． 解：

例2.在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k)，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值

解:

解后反思 该题的题型怎样？求解时运用了哪些知识与思想方法？求解的关键在哪里？有易错点吗？

变式练习 如图2.4.3-1，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使∠B = 90︒，求点B 和向量的坐标． 解：

四、学习反思

1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？ 你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：向量数量积、向量的夹角、长度、垂直的坐标表示都掌握了吗？这些公式给向量的运算与运用带来什么？（链接2）

2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？

3.本节课见到那些题型，

都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数

图2.4.3-1