二重积分的计算
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法本文在介绍二重积分的计算方法前，先来介绍与二重积分有关的性质，最后总结出二重积分的计算步骤.（一）二重积分的性质性质1 设，为常数，则⎰⎰[f (x, y) +g(x, y)]d=⎰⎰f (x, y)d+⎰⎰g(x, y)d.D D D性质2 如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和⎰⎰f (x, y)d=⎰⎰f (x, y)d+⎰⎰f (x, y)d.D D1 D2性质3 如果在D 上，f (x, y) =1 ，是D 的面积，则⎰⎰1d=⎰⎰d=.D D性质4 如果在D 上，f (x, y) ≤g(x, y) ，则特别地，有⎰⎰f (x, y)d≤⎰⎰g(x, y)d.D D⎰⎰f (x, y)d≤⎰⎰ f (x, y) d.D D性质5 设M ，m 分别是f (x, y) 在闭区域D 上的最大值和最小值，是D 的面积，则m≤⎰⎰f (x, y)d≤M.D性质6 （二重积分的中值定理）设函数f (x, y) 在平面闭区域D 上连续，是D 的面积，则存在(,) ∈D ，使得⎰⎰f (x, y)d=Df (,).（二）二重积分的计算方法1.利用对称性和奇偶性进行判断（1）利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性①若积分区域D 关于y 轴对称，且被积函数f (x, y) 关于x 具有奇偶性，则1⎧⎪2⎰⎰ f (x , y )dxdy , f (x , y )关x 于为偶函数 ⎰⎰ f (x , y )dxdy = ⎨ D 1 ， D ⎪⎩0, f (x , y )关于x 为奇函数其中 D 1 为 D 在 y 轴右侧的部分.②若积分区域 D 关于 x 轴对称，且被积函数 f (x , y ) 关于 y 具有奇偶性，则⎧⎪2⎰⎰ f (x , y )dxdy , f (x , y )关y 于为偶函数⎰⎰ f (x , y )dxdy = ⎨ D 1， D ⎪⎩0, f (x , y )关于y 为奇函数其中 D 1 为 D 在 x 轴上方的部分.（2） 利用变量的对称性①若积分区域 D 关于 y = x 对称，则⎰⎰ f (x , y )dxdy = ⎰⎰ f ( y , x )dxdy .DD②若积分区域 D 关于 y = -x 对称，则⎰⎰ f (x , y )dxdy = ⎰⎰ f (- y ,-x )dxdy .DD2. 利用直角坐标计算二重积分（1） 适合先 y 后 x 的积分区域（ X 型区域）若积分区域 D 由不等式1 (x ) ≤ y ≤ 2 (x ) ， a ≤ x ≤ b 确定，则b 2 ( x )⎰⎰ f (x , y )dxdy = ⎰adx ⎰( x )f (x , y )dy .D1（2） 适合先 x 后 y 的积分区域（ X 型区域）若积分区域 D 由不等式 1 ( y ) ≤ x ≤2( y ) ， c ≤ y ≤ d 确定，则d2 ( y) ⎰⎰ f (x , y )dxdy = ⎰cdy ⎰ ( y ) f (x , y )dx .D1在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序，这时, 1既要考虑积分区域 D 的形状，又要考虑被积函数 f (x , y ) 的特性。
二重积分的简单计算
探秘二重积分的计算方法
二重积分是高等数学中的一个重要概念，用于求解平面上某个区域内的面积，也被称为二重积分面积公式。
下面，我们将探讨二重积分的简单计算方法。
首先，二重积分的计算需要先确定被积函数和积分区域。
假设被积函数为f(x,y)，积分区域为D，其在直角坐标系下的边界可以用以下公式表示：
∬f(x,y)dxdy = ∫∫f(x,y)dA
接下来，我们需要根据积分区域D的形状来确定积分的范围。
当积分区域为直角坐标系下有界区域时，我们可以采用以下方法求解：
1. 积分区域为矩形时，通常采用先对x积分后对y积分的方法，即：
∫∫f(x,y)dA = ∫ab∫cd f(x,y)dxdy
其中，积分范围为a≤x≤b，c≤y≤d。
2. 积分区域为三角形时，可采用先对y积分后对x积分的方法，即：
∫∫f(x,y)dA=∫cd∫h1(x)h2(x) f(x,y)dydx
其中，积分范围为c≤y≤d，h1(x)≤y≤h2(x)。
3. 积分区域为梯形时，可采用换元法将积分区域转化为矩形的形式，即：
∫∫f(x,y)dA=∫ab∫g1(y)g2(y) f(x,y)dxdy
其中，积分范围为g1(y)≤x≤g2(y)，a≤y≤b。
以上是二重积分计算的基本方法，希望能对您有所帮助。
二重积分的计算方法
若区域如图， 则必须分割.
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
D3 D1
D2
.
D
D1
D2
D3
例 1
改变积分
1
dx
1 x
f ( x, y)dy 的次序.
00
解 积分区域如图
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
（6）若D对称于原点，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 0.
D
（7）若D对称于直线y x,则 f ( x, y)d f ( y, x)d .
D1
D2
(或 f ( x, y)d f ( y, x)d ). 对称于直线y x
(t
1 2
sin
2t
)
|04
1
4 说明：
(11分）
形如积分 f ( x, y) d , max{ f ( x, y), g( x, y)}d ,
D
D
min{ f ( x, y), g( x, y)}d , sgn{ f ( x, y) g( x, y)}d
D
D
等的被积函数均应当做分区域函数看待，利用积分的
的可加性分区域积分。
(17)(本题满分 11 分)2008 年数学二、三 y
计算 max{xy,1}dxdy,其中
D
D={(x, y) | 0 x 2,0 y 2}.
解 曲线xy 1将区域D分成
2
D2 D1
o
2x
两个区域D1和D2
D
二重积分计算法
2
12
22
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
11
1 y2
2y
计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也
可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视
积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定.
例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体 的体积. 解 : 设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为
x2 y2 R2, x2 z2 R2 它们在第一象限的图形如下
二、利用极坐标系计算二重积分
由二重积分的定义知
n
D
f
(x,
y)d
lim
0 i 1
f
(i ,i ) i
极坐标与直角坐标之间的关系
__
__
i ri cos i , i ri sin i
n
lim
0
i1
f
(i
,i
)
i
n_
__ _ _
D
c 1(y)
上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这
个积分也常记作
d 2 (y)
f (x,y)d dy f (x, y)dx 2'
Dc 1(y)来自二重积分化为二次积分时,确定积分限是解题关键.
若将其交换积分次序,先对x积分后对y积分,则其积分 区域如下图
交换积分次序为
2x
dx f (x, y)dy
lim
0
i1
f
(ri
cosi
,
ri
sin
i
)
ri
ri
i
即： f (x, y)d f (r cos ,r sin )rdrd
10.2 二重积分的计算
∫∫D
b a d
f (x, y) dx dy
ϕ2 ( x)
1
= ∫ d x ∫ (x) f (x, y) dy ϕ = ∫ d y∫
c
ψ 2 ( y)
ψ 1( y) y)
f (x, y) dx
y y = ϕ (x) 2 d x =ψ2 ( y) x =ψ1( y) D y y = ϕ1(x) c o a x bx
§10.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法
1
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 被 函 由曲顶柱体体积的计算可知 当 积 数 f (x, y) ≥ 0 且在D上连续时 且在 上连续时, 若D为 X – 型区域 上连续时 为 ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) D: a ≤ x ≤b
I = ∫∫ f (x, y) d x d y = ∫ dy ∫
D
2
8− y2 2y
0
f (x, y)dx
8
例5. 计算 所围成. y = 4 − x2, y = −3x, x =1 所围成. 解: 令f (x, y) = x ln(y + 1+ y )
2
其中D 由
4
y = −3x
y
y = 4 − x2
令ρ = ∆u + ∆v , 则
2 2
T
y
M4
M3
D
M1
M2
o
x
∂x x2 − x1= x(u + ∆u, v) − x(u, v)= ∆u + o(ρ) ∂u (u, v)
18
∂x x4 − x1= x(u, v + ∆v) − x(u, v) = ∆v + o(ρ) ∂v (u, v) 同理得 y2 − y1 = ∂ y ∆u + o(ρ) ∂u (u, v) ∂y y4 − y1 = ∆v + o(ρ) ∂v (u, v) 充分小时, 当∆u, ∆v充分小时 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 充分小时
二重积分的计算
求体积关键：画出投影区域D，想象出曲顶。
例10、求下列积分。
（ 1）
y x
f ( x , y ) dxdy 0 x 1,0 y 2 others
1, f ( x, y) 0,
（ 2）
f ( x , y ) dxdy
x2 y z
xy , f ( x, y) 0,
又 I1 I2
D1
(x
2
y ) dxdy ,
2 3
D2
(x
2
y ) dxdy , 则有 ( C )
2 3
A.I 1 4 I 2
B .I 1 4 I 2
C .I 1 4 I 2
D .I 1 2 I 2
例7、设 D 是 xoy 面上以
的三角形区域
( 1 ,1 ), ( 1 ,1 ) 和 ( 1 , 1 ) 为顶点 ,则
2
f ( x , y ) dx ;
(3)
dx
0
0
2
dx
1
f ( x , y ) dy .
0
1
例7、 计算积分 I
例8、计算
2
2 1 4
dy
y 1 2
y
e x dx
1 1 dy 2
y y
y
e x dx .
D
y x dxdy , 其中 D : 0 x 1 , 0 y 1 .
0 x 2 ,0 y others
x 2
作业
习题7-2（1）：1（奇数题）、5 （奇数题） 练 习 题
42二重积分的计算
o
x
o
x 2 ( y)
x
如果去掉以上结论中关于 z f (x, y) 0,(x, y) D 的限制，则上述结论仍是成立的.
几点说明：
（ⅰ）若区域D是一个矩形，即D
为
D : a x b,c y d
则
b
d
d
b
f (x, y)dxdy a dxc f (x, y)dy c dya f (x, y)dx
A(x)
y
为确定曲顶柱体的体积,可在
oa x b
x
x处用垂直 轴x 的平面去截曲
顶柱体,设其截面面积为 A(x)
由定积分的应用可知：已知
z
平行截面面积的立体的体积
公式为
A(x)
y
从而
b
V a A(x)dx
b
f (x, y)d a A(x)dx
D
oa x b
x
其中 A(x) 是垂直于 x轴的平面与曲顶柱体相交部分
这样，我们就把计算二重积分的问题化为计算两次
定积分的问题。第一次计算定积分
A(x) 2 (x) f (x, y)dy 1 ( x)
时，x看作是常量， y是积分变量；第二次积分时，x
是积分变量.
这是先对 y，后对 的x 两次积分(适合于 型X区域).
类似地，如果D是Y型区域,可用垂直于 y 轴的平面
D
2
y
D1
1 0 1 x D2
二、利用极坐标计算二重积分
在二重积分的计算中,如果积分域是圆域或部分圆 域,被积函数为 f (x2 y2 ), f (形y )式, f,(利x )用极坐
xy
标变换来计算二重积分会十分方便. 积分的变量代换是计算积分的一个有效方法,对二 重积分也有类似的方法.在这类方法中极坐标变换
高等数学《二重积分的计算》
D
y x , x 1 所围.
y
解 将 D 看作 y — 型区域 , 则 1
D={(x , y)| y x 1 ，0 y 1 } , y y x
xydxdy
1
0
dy
1 y
y2
sin
xy
d
x
o
1x
D
1
[
y cos
y2
y cos
y]dy
0
1 sin 2
y2
y
sin
y
cos
y
1
0
1
cos 1
d
2
dx
1
x 1 x
x2 y2
dy
D
2(x3
1
x)dx
1 4
x
4
1 2
x
2
2 1
9. 4
例 5 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
D {(x, y) | 0 x y , 0 y 1} ,
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
a
1 ( x )
d dy 2( y) f ( x, y)dx.
c
1( y)
为计算方便,可选择积分次序,采用哪一种次序积分 通常取决于被积函数的结构.
必要时还可以交换积分次序.
例2 计算 y2 sin xydx dy , 其中 D 由 y 0,
0
1 1 y2
y2 x y 2x x2
例 8
二重积分定义法计算
二重积分定义法计算二重积分定义法计算是一种使用二重积分的基本定义来计算积分的方法。
下面是一个使用定义法计算二重积分的例子: 假设我们要计算以下二重积分:∫∫[a,b] x^2 dy我们可以使用二重积分的定义来计算这个积分。
根据定义，二重积分等于被积函数在积分区间内的立体面积乘以积分常数。
因此，我们可以将积分常数设为 c，并将积分区间重新写成 [a,b]。
这样，我们就可以将积分式子化简为:∫∫[a,b] x^2 dy = (b-a) x^3 / 3 |[a,b]现在我们可以使用二重积分的定义来计算这个积分。
根据定义，我们可以将积分区间 [a,b] 分成两个部分:[a,c] 和 [c,b]。
其中，c 是积分常数。
我们可以分别计算这两个部分的面积，然后将两个部分的面积相加起来。
对于第一部分 [a,c],我们可以将积分式子写成:∫[a,c] x^2 dy = x^3 |[a,c] - 3x^2 |[a,c]根据积分的基本公式，我们可以将第一部分的面积计算为:A1 = x^3 |[a,c] - 3x^2 |[a,c] = (c-a) x^3 - 3(c-a) x^2 对于第二部分 [c,b],我们可以将积分式子写成:∫[c,b] x^2 dy = x^3 |[c,b] - 3x^2 |[c,b]根据积分的基本公式，我们可以将第二部分的面积计算为:A2 = x^3 |[c,b] - 3x^2 |[c,b] = (b-c) x^3 - 3(b-c) x^2因此，整个二重积分的值等于:∫∫[a,b] x^2 dy = A1 + A2 = (c-a) x^3 - 3(c-a) x^2 + (b-c) x^3 - 3(b-c) x^2= (b-a) x^3 - 6(b-a) x^2 + 3(b-a) x^3 - 3(b-a) x^2= (b-a) x^3 - 9(b-a) x^2因此，我们使用二重积分定义法计算得出的结果为:∫∫[a,b] x^2 dy = (b-a) x^3 - 9(b-a) x^2这个结果与我们使用其他方法计算得出的结果应该是一致的。
第二节二重积分的计算
(改变积分 ,按次 先 x后序 y积分次序 ) 计算
I
1 y si ny
dy
dx
0
y y2
1siny(yy2)dy 0y
1
1
0sin ydy0ysin ydy
1 c1 o (s c 1 s o 1 i )s n 1 s1 i .n
由以上几例可见，为了使二重积分的计算较为 简便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的 特点来确定，同时还要兼顾被积函数的特点，看被 积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分 区域和被积函数的特点。
注意两种积分次序的
I
11
dy
(x22y)dx
0
y
计算效果！
1(1x32xy)|1 dy 1(12y7y3/2)dy
03
y
03
3
(1yy214y5/2)1 2.
3
15 0 5
例2. 计算 D xyd, 其中D 是抛物线 y2 x 及直线
yx2 所围成的闭区域.
y
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 2 y2 x
f(x,y)d等于 D为 以底，z以 f(x,曲 y)为 面 顶
D
曲顶柱体的体积．
应用计算“平行截
z
zf(x,y)
面面积为已知的立 y2(x)
体求体积”的方法,
得
y
A( x)
A(x) 2(x)f(x,y)dy 1(x)
D
ax b x
f(x,y)dxdy D
b
a A(
x)d
x
b
dx
2(x)
f
y1(x)
x2 y2 8
2
y
1 2
二重积分的计算与应用
二重积分的计算与应用在数学的领域中，二重积分是一种重要的数学工具，广泛应用于各个科学领域。
本文将探讨二重积分的计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、二重积分的定义与计算方法二重积分是对二元函数在某个有界区域上的积分运算。
设有函数f(x, y) 定义在平面上的有界闭区域 D 上，记作：∬D f(x, y)dxdy其中，D 表示平面上一个有界区域，f(x, y) 表示在此区域内的函数，dxdy 表示对 x, y 的积分。
二重积分可以通过以下两种常用方法进行计算：1. 直角坐标系下的二重积分计算在直角坐标系下，二重积分可以表示为：∬D f(x, y)dxdy其中，D 表示 x 轴与 y 轴所围成的区域，f(x, y) 表示在此区域内的函数。
使用直角坐标系下的计算方法可以将二重积分转化为两个一重积分的运算，具体过程如下：将 D 区域划分为若干个小矩形或小平行四边形；在每个小矩形或小平行四边形上取一点(xi, yj)；设Δxi 和Δyj 分别为小矩形或小平行四边形的宽度和高度；计算 f(xi, yj) 与Δxi Δyj 的乘积的和，即为所求的二重积分。
2. 极坐标系下的二重积分计算在极坐标系下，二重积分可以表示为：∬D f(x, y)dxdy其中，D 表示极坐标系下的一个有界区域，f(x, y) 表示在此区域内的函数。
使用极坐标系下的计算方法可以将二重积分转化为一重积分的运算，具体过程如下：将 D 区域在极坐标系下表示为R ≤ r ≤ S, α ≤ θ ≤ β；将x = rcosθ，y = rsinθ 进行替换，使得函数 f(x, y) 转化为 F(r, θ)；计算F(r, θ) 与 r 的积分后再对θ 进行积分，即为所求的二重积分。
二、二重积分的应用1. 几何应用二重积分可用于计算平面图形的面积。
通过在直角坐标系或极坐标系下进行适当的变换，将图形转化为简单的几何图形（如矩形、圆、扇形等），然后进行二重积分的计算，便可得到所求图形的面积。
二重积分的计算
由给定的积分限可知积分区域D的范围为
0 ≤ y ≤1(外层积分限所确定 ), y ≤ x ≤1(内层积分限所确定 ).
1,2 在y轴上的积分区间为 2
1 当 ≤ y ≤1 时,平行于x轴的直线与区域D相交时, 2 1 沿x轴正方向看,入口曲线为x = ,出口曲线为x=2. y
当1 ≤ y ≤ 2时,平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看,口曲线为x=y,出口曲线为x=2.
2 2 x2 1 2x 2 2x ∴∫∫ 2 dxdy = ∫1 dy∫1 2 dx + ∫1 dy∫y 2 dx y 2 y y D y
=∫
2 6x x2 0
[
3yx
]
y 3(1 ) 2 dy 0
=∫
2 9(1 y + 0
y )dy = 6 , 4
这个结果与我们熟知的四面体的体积 1 1 1 V = 底×高= × 2×3 × 6 = 6 3 3 2 是一致的.
y 例2 计算积分∫∫ 2 dxdy,其中D是正方形区域: Dx
2 2 D
2 1 π 2 = ∫02 [sin( xy )] 0 dx 2 1 π = ∫02 sin 4xdx 2 = 0.
π 2 0
x2 1 例6 计算 ∫∫ 2 dxdy,其中D由不等式 y ≤ x,≤ xy Dy 及 x ≤ 2所确定.
解法1 化为先对y积分后对x积分的二次积分. 作平行于y轴的直线与区域D相交,沿y轴正方 向看,入口曲线为 y = 1 ,出口曲线为y=x, y=x x 因此
因此
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫
D d
d S( y)dy c
= ∫c ∫x ( y) f (x, y)dx dy
二重积分计算方法
二重积分计算方法引言二重积分是高等数学中的重要内容，常用于计算平面区域上的面积、质量、重心等问题。
计算二重积分时，需要掌握一些常见的计算方法，本文将介绍三种常见的计算方法：直角坐标系下的累次积分法、极坐标系下的累次积分法以及变量代换法。
直角坐标系下的累次积分法直角坐标系下的累次积分法是最常用的计算二重积分的方法之一。
对于平面上的一个区域D，可以将其分解为若干个小矩形区域，然后通过对每个小矩形区域进行积分求和，从而得到整个区域的二重积分值。
具体步骤如下： 1. 将区域D划分为若干个小矩形区域，每个小矩形区域的面积可以通过计算两个相邻顶点之间的距离得到。
2. 对每个小矩形区域进行积分，积分的上限和下限分别是该小矩形区域在x轴和y轴上的边界。
3. 将每个小矩形区域的积分结果求和，得到整个区域D的二重积分值。
极坐标系下的累次积分法在一些特殊的情况下，采用极坐标系进行计算可以简化计算过程。
极坐标系下，平面上的点由极径和极角两个参数决定，适用于具有旋转对称性的问题。
具体步骤如下： 1. 将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分。
极坐标系下，二重积分的积分变量可以表示为r和θ。
2. 将区域D在极坐标系下表示出来，确定积分的上限和下限。
3. 对每个小区域进行积分，积分的上限和下限分别是在极坐标系下的边界。
4. 将每个小区域的积分结果求和，得到整个区域D的二重积分值。
变量代换法变量代换法是一种常用的计算二重积分的方法，通过引入新的变量进行积分变换，从而简化计算过程。
具体步骤如下： 1. 引入新的变量，将二重积分中的自变量进行变换。
2. 将原来的二重积分转换为新的变量下的二重积分。
3. 对新的二重积分进行计算，可以使用上述的直角坐标系下的累次积分法或者极坐标系下的累次积分法。
4. 将计算得到的结果转换回原来的变量，得到整个区域D的二重积分值。
总结本文介绍了三种常见的二重积分计算方法：直角坐标系下的累次积分法、极坐标系下的累次积分法以及变量代换法。
二重积分的计算法
且对 y [c,d ],
则累次
积分
也存在, 且
证明 类似于定理1.
6
推论2.1 设f ( x, y)在矩形区域 D [a, b][c, d ]上连续, 则有
7
例1 设 f ( x, y) 1 x y
其中 D [0,1][0,1].
y
解 因为f (x, y)满足推论2.1
的条件, 所以
1
x
10
一般区域
分解成有限个无公共
内点的
或
因此
一般区域上的二重积分计算问题归结到
或
上的二重积分计算问题.
11
定理2.3 设f (x, y)在X型区域 D上连续, 其中 y1( x) y2( x)在[a,b]上连续, 则
y
d y y2(x)
y y1( x)
c
a
F
(
x,
y)
f
(
x, y), 0,
x
o D, 常数与D的边界至多交于两点.
r1( ) r r2( ), .
d
r2( ) f (r cos , r sin )rdr.
r1 ( )
(ii )
D r r( )
o
x
原点 o 在 D 的边界上
13
类似可证 若f (x, y)在Y型区域 D上连续, x1( y)
x2( y)在[c,d]上连续, 则
注 意 : 积分限的问题 务必保证 : 下限 上限 同一定积分
先定后积 累次积分
14
例 2 求 ( x2 y)dxdy，其中D 是由抛物线
D
y x2和 x y2所围平面闭区域.
解 两曲线的交点
将积分化为极坐标下的二重积分, 然后化为
二重积分公式
二重积分公式1. 二重积分的定义二重积分是对二维平面上的某个区域进行积分的概念。
它是将一个函数在该区域内进行“求和”的过程。
设函数 f(x, y) 在平面区域 D 上有界，划分 D 为 m 行 n 列的小矩形，其中每个小矩形的面积为∆S。
取 D 中的一组任意点（ξi,j，ηi,j），构造函数值与面积的乘积f(ξi,j, ηi,j)⋅ ∆S，然后对所有小矩形内的乘积进行求和，即可得到二重积分的近似值。
当 m 和 n 均趋于无穷大，且∆S 趋于零时，如果此极限存在，则称此极限值为函数 f(x, y) 在区域 D 上的二重积分，记为∬Df(x, y)dS。
2. 二重积分的计算方法2.1 通过极坐标变换计算二重积分对于某些特殊的平面区域，在直角坐标系下求解二重积分可能会比较困难。
这时可以利用极坐标变换来简化计算。
设平面区域 D 在极坐标下的表示是 R（r，θ），且区域 D 内的任意一点（x, y）与极坐标下的点（r，θ）存在一一对应关系。
则二重积分∬Df(x, y)dS 可以改写为∬Rf(r cosθ, r sinθ)r dr dθ。
在极坐标下，面积微元dS = r dr dθ。
因此，对于函数 f(r cosθ, r sinθ)，可以进行类似于直角坐标系下的计算方法，将其转化为对 r 和θ 的积分来求得二重积分的值。
2.2 通过直角坐标系计算二重积分除了利用极坐标变换来计算二重积分外，直角坐标系下的计算方法也是常用的。
对于平面区域 D，利用直角坐标系划分为 m 行 n 列的小矩形，每个小矩形的面积为∆S。
取每个小矩形的中点（ξi,j，ηi,j），构造函数值与面积的乘积f(ξi,j, ηi,j)⋅ ∆S，然后对所有小矩形内的乘积进行求和，即可得到二重积分的近似值。
将 m 和 n 均趋于无穷大，且∆S 趋于零时可以得到二重积分的精确值。
2.3 利用重积分的性质简化计算在实际计算二重积分时，有时可以根据重积分的性质进行简化。
二重积分的计算
D1
y
= ∫∫ 4a2 − ρ 2 ⋅ ρdθdρ
D1
D1
π 2a cosθ
∫ ∫ x2 + y2 = 2ax = 2 dθ 4a2 − ρ 2 ρdρ ρ = 2a cosθ 0 0
θ
D1 x
π 2a cosθ
= ∫ 2 dθ ∫ 00
4a2 − ρ 2
(− 1 )d(4a2 − ρ 2 )
2
=
ρx
∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ
D
∫ ∫ =
β
dθ
ϕ2(θ )
f (ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρ
α
ϕ1(θ )
2、极点在积分区域内部 D : 0 ≤ ρ ≤ ϕ (θ ),(0 ≤ θ ≤ 2π )
y D
θ
O
ρ = ϕ(θ )
ρx
∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ
3
−
16 9
a3
∴ 由对称性，得： 所求立体的体积
V = 4V1
= 16πa3 − 64 a3
39
例5
证明：∫0+∞ e− x2 dx =
π
2
证(1) 设 D : x2 + y2 ≤ a2 且 x ≥ 0, y ≥ 0
∫∫ e− x2 − y2 dσ = ∫∫ e− ρ 2 ρdθdρ
D
D
y
a ρ=a
§2 二重积分的计算
二、极坐标 上面我们讨论了二重积分在直角坐标系下的 计算法。 但是， 对某些积分区域或某些函数 的积分，用直角坐标来计算比较困难，然而， 用极坐标来计算却较简便。
下面，我们就来学习二重积分在极坐标系下 的计算法。
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解: 为计算简便, 选择Y–型区域，
D xyd
2
dy
1
y2
y2 xyd x
y
2 y2 x y
o 1
D
4x
y x2
2 1
1 2
x
2
y
y2
y2 dy
1 2 [ y( y 2)2 y5 ] dy 2 1
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例3. 计算 sin x dxdy, 其中D 是直线 Dx
第二节
第十章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、直角坐标系中的平面区域分类
1. X – 型区域
y y 2(x)
D
:
1(
x) a
y x
b
2
(
x)
D o a y 1(x)b x
特征：用平行于 y 轴的直线穿过区域 D，与边界曲线
x
2
1
1 2
x3
1 2
x
dx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
y
2 y
yx
1
o 1 x 2x
I
2
dy
1
y2xyd x
2
1
1 2
x
2
y
2 d
y
y
2 1
2
y
1 2
y3
dy 9 8
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例2. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
及直线
所围成的闭区域.
则 e f x f y d b a 2 .
D
例12. 求 I xy d , D : x2 y2 R2
D
例13. 求 I ( x + y )d , D : x y 1
D
例14. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.
解: 设两个直圆柱方程为
z
x2 y2 R2, x2 z2 R2
非常有用的反常积分公式
ex2 d x
0
2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
利用例6的结果, 得 故①式成立 .
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例7. 求球体
被圆柱面 x2 y2 2 ax
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D : 0 r 2 a cos , 0
2
z
由对称性可知
D
d
2 ( )
f
(r
cos , r sin )r
o dr
1( )
r 1( ) r 2 ( )
特别,
对
D
:
0 r (
0
2
)
o
r 1( )
r ( )
D f (r cos , r sin ) r d r d
D
2
( )
d f (r cos , r sin ) r d r o
0
0
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u y
v y
hk J (u,v) hk
u v
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因此面积元素的关系为 d J (u, v) d u d v
从而得二重积分的换元公式:
D f (x, y) d x d y
f (x(u,v), y(u,v)) J (u,v) d u d v D
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
D
dv
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证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
在uov坐标面上 , 用平行于坐标轴的
直线分割区域D, 任取其中一个小矩
形, 其顶点为
v
vk v
M 4 M 3
D
M1 M 2
o u u h u
M1 (u, v) ,
M 2 (u h,v),
T
M3 (u h,v k), M 4 (u,v k).
y
x y 2
解: 令 u y x , v y x,则
D
x v u , y v u (D D)
2
2
ox
v v2
J
(x, y) (u, v)
1 2
1
2
1 2
1
1 2
2
D u v u v
ou
u
D
ev
1 2
dudv
e e1
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例9. 计算由
所围成的闭区域 D 的面积 S .
c o
c
1(y)
x
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当被积函数 f (x, y)在D上变号时, 由于
f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y)
2
2
f1(x, y)
f2 (x, y) 均非负
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 注：做题时一般不再写出 D，而是把D画出来，用一 条射线穿过D，先遇到的是下限，后遇到的是上限。
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例4. 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x 2
I
0
d
x 2 0
f (x, y)dy 2
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
I D f (x, y) d x d y
2
8 y2
dy
f (x, y)dx
若 f ≡1 则可求得D 的面积
d 1 2 2 ( ) d
D
20
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1) y r ( )
(2) y r ( )
D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ; (2)
2
2
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解: 令 u y2 , v x2 , 则
x
y
D
:
p a
u v
q b
D
x2 by
y
y2 qx
D y2 px
x2 ay
J (x, y) (u, v)
1 (u, v)
1 3
o
v b
所围成的闭区域.
y
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, y x
因此取D 为X – 型域 :
D
sin x
x
dxd y
0
sin x
x
dx
x
0 dy
D x o x
0 sin x dx
2
说明: 当先对 x (或 y )积分很难或根本无法积分时， 则不论积分区域如何，只能选择X (或 Y ) – 型区域。
通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边
形, 其对应顶点为Mi (xi , yi ) (i 1, 2,3, 4)
y
M3
D M 4
M1 M2
令 h2 k2, 则
o
x
x2
x1
x(u
h,
v)
x(u,
v)
x u
(u,
v)
h
o(
)
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x4
x1
x(u,
v
k)
x(u, v)
例6. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
r d r d
2
d
0
a rer2 d r
0
(1 ea 2 )
由于 ex2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
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注: 利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上
J (x, y) cos (r, ) sin
r sin r cos
r
D f (x, y) d x d y D f (r cos , r sin ) r d r d
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yx
例8. 计算 e yx d x d y , 其中D 是 x 轴 y 轴和直线
所围成的闭域.
0
2y
y x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D1 D2
o 22 2 x
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例5. 计算下列积分
1
3
dx
2
sin y2dy
1
x1
1
yy
1
yy
2
2 1
dy
1
e x dx
1 dy y
e x dx
4
2
2
答：1 1 1 cos 4
2
2 3 e 1 e
82
例6. 设 f (u) 连续，求 I x 1 y f x2 y2 d , D
V 4 D 4 a2 r 2 r d r d
o
y
2 acos 0
4a2 r2 rdr
2a
x
32 a3( 2 )
3 23
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*三、二重积分换元法
v
定理: 设 f (x, y) 在闭域 D上连续, 变换:
T
:
x y
x(u, v) y(u, v)
(u,v) D D