二重积分的计算

非常有用的反常积分公式
ex2 d x
0
2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
利用例6的结果, 得 故①式成立 .
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例7. 求球体
被圆柱面 x2 y2 2 ax
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D : 0 r 2 a cos , 0
2
z
由对称性可知
y y 2(x)
则
D
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
f (x, y) dx dy
b
2 (x)
a d x 1(x)
f
(x,
D
x o a y 1(x)b y) d y
x
若D为Y
–型区域D
:
1(
y) c
x y
d
2
(
y)
y x 2(y) d y
x 1(y)
则
d dy
2(y)
f (x, y) dx
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
R
其曲顶柱体的顶为 z R2 x2
oR
(x,
y)
D
:
00
y x
R
R2
x2
则所求体积为
x
y
R
8
R2 x2 d x
R2 x2
dy
0
0
8 R (R2 x2 ) d x 16 R3
0
3
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二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
D 由 y =1 , x = -1 , y = x3 围成。
例7. 计算
其中D 由
y 4 x2, y 3x , x 1 所围成. 解: 令 f (x, y) x ln(y 1 y2 )
y
4 y 4 x2
D D1 D2 (如图所示)
D1
显然, 在 D1上, f (x, y) f (x, y) 在 D2上, f (x, y) f (x, y)
例6. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
r d r d
2
d
0
a rer2 d r
0
(1 ea 2 )
由于 ex2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
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注: 利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上
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例4. 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x 2
I
0
d
x 2 0
f (x, y)dy 2
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
I D f (x, y) d x d y
2
8 y2
dy
f (x, y)dx
D2
X-型区域或Y-型区域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
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例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
y＝x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X–型区域, 则
I
2
dx
1
x
xyd y 1
2 1
1 2
xy2
xd
1
D
dv
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证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
在uov坐标面上 , 用平行于坐标轴的
直线分割区域D, 任取其中一个小矩
形, 其顶点为
v
vk v
M 4 M 3
D
M1 M 2
o u u h u
M1 (u, v) ,
M 2 (u h,v),
T
M3 (u h,v k), M 4 (u,v k).
x v
(u,
v)
k
o(
)
同理得
y2
y1
y u
(u,
v)
h
o(
)
y4
y1
y v
(u,
v)
k
o(
)
当h, k 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四
边形, 故其面积近似为
M1M 2 M1M 4
x2 x1 x4 x1
y2 y1 y4 y1
x u
h
y u
k
x v
h
y v
k
x x
若 f ≡1 则可求得D 的面积
d 1 2 2 ( ) d
D
20
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1) y r ( )
(2) y r ( )
D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ; (2)
2
2
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J (x, y) cos (r, ) sin
r sin r cos
r
D f (x, y) d x d y D f (r cos , r sin ) r d r d
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yx
例8. 计算 e yx d x d y , 其中D 是 x 轴 y 轴和直线
所围成的闭域.
o
满足 (1) x(u,v), y(u,v) 在 D上一阶导数连续;
D
u T
(2) 在 D上 雅可比行列式 J (u, v) (x, y) 0; (u, v)
y D
定(积3)分变换换元T法: D D是一一对应的 , o
x
则
D
f
b
(xa, fy()xd)xddxy
f [f ((xt)(]u,v()t,)yd(ຫໍສະໝຸດ Baiduu,v()x) J (u(,tv)))d u
及射线 =常数, 分划区域D 为
k (k 1, 2, , n)
o
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
k k
k
k
r rk x
k
1 2
(rk
rk )2 k
1 2
rk
2
k
rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk ,k ), 对应有
k
rk
rk
k rk cosk , k rk sink
所围成的闭区域.
y
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, y x
因此取D 为X – 型域 :
D
sin x
x
dxd y
0
sin x
x
dx
x
0 dy
D x o x
0 sin x dx
2
说明: 当先对 x (或 y )积分很难或根本无法积分时， 则不论积分区域如何，只能选择X (或 Y ) – 型区域。
通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边
形, 其对应顶点为Mi (xi , yi ) (i 1, 2,3, 4)
y
M3
D M 4
M1 M2
令 h2 k2, 则
o
x
x2
x1
x(u
h,
v)
x(u,
v)
x u
(u,
v)
h
o(
)
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x4
x1
x(u,
v
k)
x(u, v)
求 f (x, y)。
D
例10. 设 f (x) 在 (-∞, + ∞) 上连续， f (x) >0 , a >0 ,
b >0 ,
c >0 , 求 I
af f x2 y2 c2
x x
b f
f
y
y
d
.
例11. 设 f (x, y) 在 D上连续，D x, y a x, y b ,
至多有2个交点。 2. Y – 型区域
y x 2(y) d
D
:
1(
y) c
x y
d
2
(
y)
x 1(y)
c
o
x
特征：用平行于 x 轴的直线穿过区域 D，与边界曲线 至多有2个交点。
二、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
0
2y
y x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D1 D2
o 22 2 x
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例5. 计算下列积分
1
3
dx
2
sin y2dy
1
x1
1
yy
1
yy
2
2 1
dy
1
e x dx
1 dy y
e x dx
4
2
2
答：1 1 1 cos 4
2
2 3 e 1 e
82
例6. 设 f (u) 连续，求 I x 1 y f x2 y2 d , D
解: 为计算简便, 选择Y–型区域，
D xyd
2
dy
1
y2
y2 xyd x
y
2 y2 x y
o 1
D
4x
y x2
2 1
1 2
x
2
y
y2
y2 dy
1 2 [ y( y 2)2 y5 ] dy 2 1
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例3. 计算 sin x dxdy, 其中D 是直线 Dx
y
x y 2
解: 令 u y x , v y x,则
D
x v u , y v u (D D)
2
2
ox
v v2
J
(x, y) (u, v)
1 2
1
2
1 2
1
1 2
2
D u v u v
ou
u
D
ev
1 2
dudv
e e1
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例9. 计算由
所围成的闭区域 D 的面积 S .
第二节
第十章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、直角坐标系中的平面区域分类
1. X – 型区域
y y 2(x)
D
:
1(
x) a
y x
b
2
(
x)
D o a y 1(x)b x
特征：用平行于 y 轴的直线穿过区域 D，与边界曲线
则 e f x f y d b a 2 .
D
例12. 求 I xy d , D : x2 y2 R2
D
例13. 求 I ( x + y )d , D : x y 1
D
例14. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.
解: 设两个直圆柱方程为
z
x2 y2 R2, x2 z2 R2
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n
lim
0
k
1
f
(
rk
cos k
,
rk
sin k
)rk
rk
k
即 D f (x, y) d D f (r cos , r sin )r d r d
rd d
d
dr r
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设
D
:
1
( )
r
2
(
),
则
D r 2 ( )
f (r cos , r sin )r d r d
D
d
2 ( )
f
(r
cos , r sin )r
o dr
1( )
r 1( ) r 2 ( )
特别,
对
D
:
0 r (
0
2
)
o
r 1( )
r ( )
D f (r cos , r sin ) r d r d
D
2
( )
d f (r cos , r sin ) r d r o
0
0
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u y
v y
hk J (u,v) hk
u v
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因此面积元素的关系为 d J (u, v) d u d v
从而得二重积分的换元公式:
D f (x, y) d x d y
f (x(u,v), y(u,v)) J (u,v) d u d v D
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
解: 令 u y2 , v x2 , 则
x
y
D
:
p a
u v
q b
D
x2 by
y
y2 qx
D y2 px
x2 ay
J (x, y) (u, v)
1 (u, v)
1 3
o
v b
y 3x
o D2 1 x
x 1
I x ln(y 1 y2 )dxdy D1
x ln(y 1 y2 )dxdy 0 D2
（奇偶对称性）
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例8. 计算 I D
1 sin2 x yd , D : 0 x , y
2
例9. 设 f (x, y) 连续，f x, y xy f x, ydxdy ,
V 4 D 4 a2 r 2 r d r d
o
y
2 acos 0
4a2 r2 rdr
2a
x
32 a3( 2 )
3 23
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*三、二重积分换元法
v
定理: 设 f (x, y) 在闭域 D上连续, 变换:
T
:
x y
x(u, v) y(u, v)
(u,v) D D
x
2
1
1 2
x3
1 2
x
dx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
y
2 y
yx
1
o 1 x 2x
I
2
dy
1
y2xyd x
2
1
1 2
x
2
y
2 d
y
y
2 1
2
y
1 2
y3
dy 9 8
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例2. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
及直线
所围成的闭区域.
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说明: (1) 若积分区域既是X–型
区域又是Y –型区域 , 则既可按X-
y d
y 2(x)
型区域来做，又可按Y –型区域 来做。
为计算方便, 可选择积分顺序,
x
y
c
1(
y) y
x
D
1(x)
2
(
y)
o a x bx
必要时还可以交换积分顺序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
c o
c
1(y)
x
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当被积函数 f (x, y)在D上变号时, 由于
f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y)
2
2
f1(x, y)
f2 (x, y) 均非负
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 注：做题时一般不再写出 D，而是把D画出来，用一 条射线穿过D，先遇到的是下限，后遇到的是上限。